02.随机变量及其概率（B）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:49:05

好，接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境啊，没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天晚上我们就继续开始，我们的概率论部分的基础班部分内容，那么上次过程当中啊，刚好开了个片讲的东西啊，难度系数不是说特别大，那么接下来过程当中啊，

我们稍微复习一下。但是要注意啊，知识点很多，对吧？难度不大，但是知识点很多，所以像这种零零散散的一些知识点呢？你必须要建立一个体系。所以说像上课过程当中啊，我带着同学们进行去复习的这个内容就是我们上节课过程当中的框架体系好了，那么接下来过程当中我们一起来开始吧。我们先来看看上次过程当中讲解的几个事情，当然在讲这个问题之前呢，我们讲了一个叫做随机试验，你还记得吗？

对吧，什么叫做随机试验？我们说在相同条件下可以重复发生，每次进行之前我们知道所有结果，但是每次之前我不知道哪个会发生。这叫随机实验，但是你光进去去背这个东西啊，没有任何作用，你举个例子吧，比如说抽签的问题。对吧，比如说掷色子的问题，比如说掷硬币的问题啊，这都算，然后接下来过程当中我们再来看什么叫做全体空间呢？

哎，就是你所有发生的结合这个集合。这个集合啊，我们就把它叫做什么，就叫做样本空间，那比如说举个例子，我们掷色子，我们掷色子的话，你发现一个事情，一二三四五六。哎，这个东西你发现就是一个样本空间，然后这个样本空间的子集，我们把它叫做随机事件，我之前都讲过了，

像这些部分内容它不重要。你了解一下就行了，你只需要知道随机事件需要用大写字母来表示，那就可以了，随机事件是样本空间的自己。然后这个随机事件呢，我们通常会什么会用这个大写字母来表示，哎，这是随机事件。然后接下来过程当中，我们一起来看看第一个重点问题，随机事件之间的关系，那随机事件之间拥有几个关系呢？我们总共讲了有四个关系。那第一个事情呢，

叫做包含像这些事情都可以用韦恩图的形式，是否能画出来好，我们先来看看第一个人。如果这个人是a事件，然后这里面当中的话，你看这个部分是b事件。好这个人，你像这个东西就是个包含关系很明显啊，如果这是a这是b，那这个东西就叫做a包含于b。或者什么情况呢？叫做b包含a哎，这两个东西啊，都可以这样说，那么这个东西非常重要的一个解释，

你要注意到。这个东西所凸显出来的解释是a，如果发生。一定会导致什么情况？一定会导致b的发生。如果一个人的发声会影响另外一个人的发声，它就是一个包含关系，要注意啊，一个人的发声会影响另外一个人的发声，这就是包含关系。所以非常简单啊，就是你会影响我，那比如说举个例子，一个题目当中说这样的一个事情，说A货币发生。

对吧，则什么情况呢？A货币发生则c1定发生怎么写？如果在考试过程当中出现了这句话，你怎么去写那么首先我们先写一下a或BA或b发生的话怎么办？就是a并b。就这个人的发生，它一定会导致c的发生，它就属于它。你要注意啊，一个东西的发生，导致另外一个东西的发生，那就是一个属于关系，你要会把这种什么中文字转换成数学语言。啊，

这个事情非常重要，如果我们再来看，说什么呢？a发生。然后则什么东西啊b且c发生。你怎么去写？那这个时候你看这个前面这个人发生就是AB和c呢，就是b交上c。对吧b发生且c发生就是你发生且我发生就是交的这个部分，那怎么办呢？我属于你。所以一定要注意啊，把这个东西啊，一定会转换成数学语言啊，这个事情非常的非常的重要，

好了，这是我们讲的这个第一个问题，对吧？他们之间是一个什么关系啊？是一个导致关系哎，你的发生会导致这个人的发生，这非常重要，然后接下来过程当中，我们再来看看第二事情，那如果是相等的。那相等的话，你发现一个事情，如果这块东西是a，那这块东西也是b，这就叫相等，

对吧？在这种当中，你发现一个事情。我们来看看，就这个范围，这个范围既是a也是b，这就叫做。相等情况。如果这个东西是相等，你发生了，我也发生，你不发生，我也不发生，对吧？这个基本问题，

然后接下来过程当中啊，我们再来看看互斥的问题，好再来看第三个点互斥。那互质是什么意思呢？两者之间没有交集，你来看看我把这个稍微的改一下，那如果这个东西是a这个东西是b。两者之间怎么办？两者之间没有交集，唉，这个东西啊，就叫互斥，所以同学们注意啊，什么叫互斥？什么叫互不相容？

是从韦恩图的角度上，然后来看的，两者之间没有交集，然后最后一个事情，什么东西叫对立呢？再来看最后一个人对立事件是这样说的，把一个全齐空间一分为二，一分为二的话，你发现两者之间的交集是空集。两者之间的并集是全集。所以在这种当中，你会发现a是什么a就是b的8b是什么b就是a的八。好了，这就是我们在这里当中讲的第一个问题。随机事件之间的关系问题好了，

那么接下来过程当中，我们再来看第二事情。随机事件之间的运算。那运算的话，你发现又包括以下几个人，那么首先我们先来看看第一个事情，第一个事情叫加法运算。什么叫加法运算？加法运算就是一个或的关系，你看这是a，然后接下来过程当中，我们再来画一个b。啊，再来画一个b，你假设它是这个情况，

那么先来看看第一个事情什么东西叫做加法事件呢？就是你。或者我发声。注意啊，或者你发声，或者我发声，你发声行，我也发声行，所以说你看你发声是可以的，我发声也是可以的，是不是这两个东西的全集啊？所以叫加法事件，然后接下来过程当中，我们再来看第二事情，那就是乘法，

乘法是什么？乘法是且。且的关系。两者之间是且。你发生且我也发生，那这个东西啊，就是中间这个部分。然后再来看看第三个事情，如果是什么呢？减法呢？就是你发生，但是我不发生，它表示的是这个部分。所以说它表示的是a-b你发生，且什么东西我不发生。

哎，你发生且我不发生，所以同学们注意啊，见到a-b立即写成AB吧，这是个能力。对吧，这是一个水平，所以你发现一个事情，这是我们上节课讲的第一波内容吧，关系有四个，然后运算有三个，总共是七个情况。然后记项的过程当中，我们再来看看下面的问题，随机事件之间是不是有运算率啊？

好，我们先来看看第一事情，最重要的就是我们的吸收率。吸收率啊，非常的关键，那吸收率怎么讲的呢？如果这个a是属于这个b，那这时候你发现个事情。交取小吧，两者一交取小的，两者一并取大的。交取小并取大，所以在这里面当中，我们就知道，如果这是个空集呢？

空集是任何人的子集。消取晓。空气是任何人的子集并去搭，就等于a。好像这些基本问题啊，你必须都要会啊，你看这个人的运算很重要，好了，那么接下来过程当中，我们再来看交换律，那交换律这个事情就比较简单了，你看a×b跟b×a是一样。啊a+b跟多少呢？b+a是一样的。好，

这是这个事情，结合律我就不讲了，两者之间啊，可以结合，而且可以分配，那最后一个人呢，对偶律很重要。那对偶律的话，你发现你看这是a，然后这是b，那你怎么办？各自拔下，把这个开口呢，换个方向。然后接下的过程当中，

我们再看看这个人，那如果是交呢，你拔下，我也拔下，把这交改成b。所以像这个对偶律啊，我们经常要用。对吧，非常喜欢用对偶句。所以像在上课的过程当中，我们去求解这个概率啊，我们经常会用到这个事情。对吧，比如说你举个例子，你让我们继续去求什么，

你求这个人再乘上这个人呢，你求这个人到乘上这个人的话，其实就是这个人怎么办？这个人交上这个人，那其实你看你可以把它拔一下，反着写，就是这个人。那这个人的话，又可以写成一减去PA加b，对吧？这样就可以操作，所以操作性不是说特别难。好了，这是我们上次过程当中啊，讲的这个第一波问题，

你看起来这个知识点很多，但是这个东西的难度系数说实话不大。所以你下去过程当中啊，要把这个讲义上的例题啊，你要好好进行看看好了没？可以了吧，来我们接下来过程当中，我们再来看看下一个问题，叫做随机事件的概率。那这里面当中的第一大重点就什么情况呢？如果这个东西是什么？如果这个东西是不可能发生事件，我立即可以推出什么？推出这个人的概率等于零，但是如果概率是零，

能推出不可能发生事件吗？这是不行的，如果这个人是必然发生事件，我一定可以推出。这个概率等减一，但是你发现概率等于一能推它吗？那也不行，所以我们就知道一个事情，你像这块类的类型问题啊，一定要注意啊。如果从事件推概率，那还可以。你像考试过程当中，如果从概率推事件一般都不行。你要注意这个问题啊，

从概率推这个事件的情况往往都不行，往往都应该是从事件进行去推概率。诶，它是这个情况好，我们再来看看第三个事情概率的范围呢，概率的话不会小于零，也不会超过一。然后接下来过程当中，我们再来看看最重要的一个问题，概率不等式黄金重点。如果什么情况呢？如果这个a属于这b，然后我就可以立即说出来这个a的概率就小于等于b的概率。而你发现一个事情，我们就住到这儿。

所谓什么情况呢？越教越小，你教的越多，你就会越小于这个人，你教的越多，你就会越小于这个人。那既然你这个人小于这个人，那你这个人的概率就会小于等于a的概率，那你既然的话，你发现是这个情况，你这人的概率也会小于等于b的概率。你还记得上节课过程当中，我们讲过一个题吗？那个题很重要，那题说这个东西就小于等于多少二分之PA加PB是吧？

就这个内容。所谓什么东西呢？乘的越多，概率越小，你看你乘的越多，你概率越小，你乘的越多，概率越小。所以说叫做越乘越小。哎，越沉越小。就是在一个概率里面，你乘的越多，你概率越小，你乘的越多，

概率越小啊，这个事情很重要，越乘越小。还记得吧，好，那么接下来过程当中，我们再来看看上次过程的一种叫做概率公式，概率公式啊，也非常重要，那么首先我们来看看第一个事情加法公式。PA+b还记得吗？PA+b+c还记得吗？那这人呢？这人的话，你发现一个加两个就是减再减去多少AB没了？

然后这个人呢，一个加两个减三个加对吧？这个基本问题，然后再来看看这个减法公式。pa-b立即写成多少a发生且b不发生，然后就是PA，然后再减去多少pab，你在上课之前跟着我复习啊。然后再看这个人对立事件公式呢PA吧，就等于一减去多少PA？所以大家主要都上了这么久的课了，你每次的话，你要发现一个事情，就是你想知道上节课过程当中我们学习的这个框架结构，你就好好进行去把我们。

下节课这个部分的上节课的知识点，回顾的内容，你好好看看，这就是上次过程讲的黄金重点框架结构就是这样。对吧，就是这些东西，所以核心重点的公式必须要知道，难也不难，但是啊，讲究一点逻辑性。讲究一点，里面当中啊，你自己要好好进行转转，比如说ABC至少有一个人发生。对吧a发生且b发生且c发生。

a发生或b发生或c发生，你看怎么去写？你得进行转转好，这个基本问题啊，我们就讲到这过去了，可以吗？好，掌握清楚给我回复一。呃，这些内容啊，都在你脑子里面当中有印象，你都能记得，请给我回复个一，我看同学们的消化情况怎么样？啊，

可以啊啊，可以可以。但今天人呐呃，没有这个前天人多对吧？这果然是过五一去了啊，今天五一我们也不容易啊。啊五一当天的话，我们还在上课，你们今年一定能取得非常好的成绩的啊，好了，那么接下来过程当中我们就继续吧，我们来看看今天的重点内容。我们先看看第一个问题，先补一个东西，叫条件概率。

条件概率条件概率啊，是一个重点内容，哎，条件概率。那么，在这种当中，我们来看看这个人内容是什么样子呢？他这样说的。若一要不这样写吧，就说在a发生。的条件下。b发生的概率。b发生的概率。为多少呢？那就说在你发生的条件下，

我发生的概率。那怎么去写呢？他这样写的a发生的。条件下。必发生的概率。a发生的条件下b发生的概率，我先看看你的语文能力怎么样？好不好？大家告诉我事情。这个PA发生的条件下b发生跟pab一样不一样。你琢磨一下啊，用你的语文能力进行去翻译，用你的逻辑感翻译一样不一样。肯定不一样。这个人是什么意思呢？

是你发生的条件下，在你发生的这个条件下，我再发生的概率。对吧，然后这个人呢？是你发生且我发生的概率，对吧？这个东西讲究同时性。这个东西讲究先后性。在你发生的条件下，我再发生对吧？这有先后性，然后这个东西呢？你发生的条件下。且我发生那这个东西呢，

具有同时性。能理解吧好，这是这个问题哦，所以接下来过程当中我们来看看这个概率公式怎么算呢？虽然这个人非常简单，你发生的条件，我发生的概率就是a的概率分之AB共同发生的概率。好，就这样算，但是你要注意一个事情啊，这个公式要想使用它有前提条件的，它的前提条件是这个东西不为零。但是你这样写有点尴尬，证明的话，你发现你不了解概率，

那概率的话本来就是大于等于零，如果不为零，你就是大于零，你就这样写就行。能理解吧，就写一下这个概率大于零，我本来就是大于零，大于等于零，小于等于一的，你不为零就是大于零。啊，就这样写在你发生的条件下，我发生的概念。好了，这是这个事情，

这是第一个人。好，再来看看这里面当中的第二个人，继续啊，那如果说什么情况在b发生的条件下a发生的概率呢？你有可能没有我写的快哦，然后的话你就听就行了，我这粘一下就过来了，好了，我们再来看看第二事情。在b发生的条件下，a发生的概率来看，这个人怎么去写啊？也非常简单吧，走b发生的条件。

下a发生的概率。那这人怎么算呢？你发现一个事情，你发生的条件下，你的概率分之我们共同发生的概率。但是要注意一个事情，你必须要保证什么情况，保证这个PB大于零啊，这个结果。所以说这两个类型问题啊，你至少要把这个定义掌握清楚。你要知道这个概率的定义，它表示的什么事情，比如说一个题目当中出现了这个符号，你要知道什么意思啊，

另外事情你要知道这个条件概率的计算公式啊。这非常重要。能理解吧好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们来看看下面一个问题，它就可以推出第三个公式乘法公式。我们有加法公式，我们有减法公式，我们有乘法公式，乘法公式是什么呢？我们来琢磨一下pab。那这个东西等于多少呢？你发现看刚才这个人的分子上就有pab，如果这是PA呢？

那就是a发生的条件下b发生概率，所以就是这两个相乘，你发现就是a的概率。诚意你看先出现谁，这就出现谁？能理解吧，就是PA乘以什么情况呢？a发生条件下b发生概率。能理解吧，那如果在这里面当中的话，你发现是PB呢？那这个东西的话，你发现它就要做分母，它做分母的话，这就是b。

能理解吧，它在b，然后这是a。你听得懂吗？所以大家说一个事情，你看PA×a发生条件下b发生概率也就相当于什么东西呢？你看。这个东西很像这个东西和这个后面这个东西约掉了，然后pab这个东西很像这个东西和这个东西约掉了，然后pab。非常像吧好，这是这个人的啊，你要听清楚，这就是乘法公式。a的概率乘上什么情况？

a发生条件下b发生概率，然后这个东西啊b的概率乘以b发生条件下a发生概率。这就是著名的乘法公式，大家想想这个乘法公式能干嘛？能切换。能切换怎么切换呢？你发生的条件下，我发生概率，这是我发生条件下，你发生概率，这两个条件概率可以怎么办？相互切换。哎，它可以切换啊，所以说一会过程当中我们要用它好了，

这是这个问题吧，那么记下过程当中来做几个题吧。我估计大家还是喜欢做这个题，对吧？题目难度系数啊不大啊，都是基础题来我们一起来看看这个题。这怎么上去了？我好难受啊，对吧？你这这这不对齐呢啊？放心吧，就这样吧啊，好，我们来看看它说PB的概率零点四。a+b的概率是零点五，

你看我见到加法，我先什么都不想，我先写出加法公式，这是我的素养。我赶紧写出加法公式好，我的素养就有了。它等于多少呢？它等于零点五。这是我的素养，然后接下来过程当中，你再看这个东西是零点几零点四，所以说在这个题目当中，我只能得到什么，我只能得到这个人。就是PA减去多少pab，

然后等于多少零点一？对吧，这是你的一个基本素养，就是我别管别的，我也不知道这个题要做什么，但是你发现我建造加法公式。加法定级写公式，然后得出这个信息点。好，再来看第二个人。那所以说原式这个人等于多少？你看这个人这条件概率吧。这有什么打码的啊？不用啊，不用不用打点也不用啊，

来我们来看看这个人，你发现在这个条件下。然后我们共同发生的概率。那马上写公式这块东西难度系数不大。对吧，就是写公式，你把这个公式写出来，你公式写出来之后的话，我们继续来看来走一下，这是多少一减去PB？然后这个是多少呢？这是a减b，然后接下来过程当中，你发现这是一减去PB，然后上面是多少p？

pa-pab。是不是这人哎出来了呀？你发现你看这一减，这是零点六，这一减的话，这是零点一六分之一本题结束。所以你想想一个事情，我们做了两节课，这两节课过程当中啊，我们去计算一下这个概率的这个情况，就是利用概率公式。见到什么东西写什么公式，见到什么内容写什么公式，难度不大吧？你看这里面当中建造加法写加法公式，

建立对立事件的话写对立事件公式，建造减法写减法公式，建造条件概率写条件概率公式。基础题啊，非常的简单。好，我们再来看看下面一个问题，来看看一点一这个题。好来看这个题。呃，这个题啊，你发现个事情呃，就是个骗子。就这个题就是个骗子，你发现你看起来很恶心，

你看起来这个东西呢，震势很大。但是你发现非常简单，你看条件概率吧，条件概率吧，条件概率吧，见到条件概率写条件概率公式。而且你看b发生吧b发生吧b发生吧，它的分母都是PB哎。所以说在这种当中，我们就直接来，你看第一个人他是多少，他是PB分之多少p，然后这是a1。加上a2。

和谁呢？和这个b共同发生的概率。对吧，就是这个情况，然后你看看这个人，你这个人也继续写呗，那PB分之多少，然后是你和b共同发生概率，然后这人呢，就是PB分之多少你？和什么东西呢？和b共同发生概念。你说这个东西难度系数一点吧，你见什么写什么嘛，我们在这块的考题难度也不大。

就是你能达标这个能力啊，你做很多题你都能做出来，你见到什么去写什么，所以说接下来过程当中分母是不是约掉了？对吧，这个约掉了，约掉了之后的话，你看看第一个人。第一个人是不是用一下分配率啊？分配率就是a1和b共同发生a2和b共同发生。然后中间是加法，然后这人等于多少呢？它就等于a1b，然后再加上多少，再加上a2b。

好，所以说这个东西啊，立即出来了，正确答案选几啊，正确答案就选择b选项正确。所以有什么东西你就写什么吧，看起来阵势很大，其实难度系数，你发现这个就是个骗子啊，这种题啊，很骗人的。好了，我们继续吧，我们再来看看下面一个事情，一点一二这个题。

来再来看看这个。那么，这个人的话，我们首先看第一个事情。他知道PA，他又知道这个人，那知道这个人的话，你发现个事情，我们就赶紧写，我见到这个人写什么东西啊？且条件概率公式，所以说它就等于多少，它就等于PA分之多少pab。那所以说接下来过程当中，我们一起来看看这个人，

你发现这个人是多少零点五，这个东西是多少零点四？所以说接下来过程当中，从这个式子当中，我们就能推出pab等于多少，这是零点二。是不这个情况好了，这是这个点，然后接下来过程中又见到这个人，你见到这个人继续写，那就是b发生的条件下a发生的。那就是PB分之多少？PB分之pab。那这个时候你看看这人是多少零点二，然后这人是多少，

这是零点二五，那你告诉我这个结果等于多少，那这个结果不就等于零点八吗？所以说这结果出来了。这是我们在这里当中啊，介绍的第一种对吧？我见什么写什么，我见到条件概率公式，我写条件概率公式，我见什么写什么。当然，同学们，这题还有方法二。哎，方法。

有没有发现一个事情，你看AA发生bbb发生a那这个东西不就乘法公式吗？我们都知道乘法公式告诉我们。PA乘以多少呢？a发生条件下b发生概率，它就会等于PB乘以什么情况？b发生条件下a发生概率哦，明白了。原来如此，这个人是零点四哦，原来如此，这是零点五，原来如此，这个东西是我要求的，那这个人呢？

是零点二五来素描一下。那这是零点二，然后再除上零点二五也是零点八也出来了，本题结束。对吧，你可以用一下乘法公式，所以说就是你对这个公式的感应程度，我这人是a发生b，我这是b发生a，那这两个东西的话，围成它们两个东西相等。非常简单吧。很好做啊，这个人。好了，

这是这个事情吧，我们就讲到这，然后接下来过程当中，我们再来看一个问题呃，这个题啊。等会再做吧，好吧，一点一三这个题啊，等会再做这题，先放到这一点一三，等会那么接下来过程当中，我们看一下今天的一个重点内容。叫做事件的独立性。事件的独立性研发其实也没说那么难学啊。你慢慢来，

这个概率啊，我觉得稳扎稳打的话，拿一个满分，这个问题点都不大，但是唯一我担心的一个点呢。就是一会儿过程当中啊，我们会学习的这个问题。我唯一担心咱们概率过程当中啊，你会发现会失分的点就是这个人，我特别担心这个人，别的我都不担心。你像什么呢？这个用积分学的进行去处理，你像什么一维随机变量，什么离散连续函数的分布，

尤其函数分布，我到时候我们都有套路性方法，万能的方法。你像后面过程当中什么期望方差，我也不担心，但是你发现我所有会担心的点就在这。啊，就是这个古典概型。啊，这个排列组合的问题。就这个内容啊，你发现是我唯一会担心的。对吧，比如说东西就摸球。哎，

摸球的问题。怎么去摸？摸完了之后放回去，我摸几个，我摸完了，不放回去，我摸几个，我一次性摸几个，你看这这这，所以说这个问题啊。你看就是高中的一些点，所以一会过程当中啊，我们再来复习一下这个点好吧，那么接下来过程当中，我们一起来看看下面事情。

事件的独立性啊，事件独立性。首先我们在讲这个问题，之前呢，我们先来看看第一个事情，什么叫做两个事件独立呢？大家注意，如果一个题目说a与b。事件a与b相互独立。两个人独立嘛，两个人独立跟相互独立有什么区别嘛，没什么区别，你就两个人嘛，两个人就是相互两两哎，就是我们两个人。

我们两个人独立。独立啥意思啊？什么意思？大家注意它的意思是a与b的发生无关。大家注意，这是他的地位。两个人的发生是没有关系的。你我的发生没有关系。啥意思啊？你发生了，我发生与否跟你没关系，你发生了，我可以发生，也可以不发生，你不发生，

我也可以发生，也可以不发生，我们两者之间没有关系。两者之间没有关系，你我的发生是没有关系的，这就是它最基本的定义。所以将来过程当中啊，别人问你什么叫独立啊，我们两者之间的发生无关，所以接下来过程当中，我们就要推了。那你想想一个事情，那这个东西最起码用数学语言怎么说呢？数学语言说起来非常简单，就是你发生的条件下，

我发生。还有什么情况呢？你不发生的条件下，我发生我们概率是一样的。你发生了，我发生。你不发生的条件下，我发生哎，我们概率是一样的，那不就说明我们两个发生无关吗？所以大家注意，这是一个基本定义。你要注意我写的这个页面特别重要。哎，这个东西就说你发生了，

我发生你不发生了，我发生那概率一样，不就说明我俩发生不管吗？所以接下来过程当中，我们注意到这儿，我们要通过这个公式啊，推出一个黄金重点内容来，一起来看。那么，这个东西的话，你发现我把它抄下来。你发生的条件下，我发生你不发生的条件下，我发生好了，那么接下来过程当中这俩概率一样，

我们可以怎么办？用一下条件概率公式吧。用一下第一人是多少PA的概率分之pab？然后接下过程当中再看第二人，那这是多少PA 8分之多少BA 8跟得上吗？好，这是这个问题，然后接下来过程当中，这个人等于多少？这人等于一减去PA上面，这人呢等于？b-a因为b发生且a不发生b-ab-a的话就是b的概率再减去AB的概率。那这样东西的话，你发现相等啊，不看主间那对角线相乘是不是结果是一样的好，

我们对角线相乘，对角线相乘的话就是PA。然后再乘上一个PB，然后再减去一个pab，跟得上吗？同学们，然后这半边呢？这半边就是pab，然后再乘上多少，再乘上一减去PA哦，完美。我们对角线一乘，然后你看这是PA乘上pab，这是PA乘上pab哦，这两个东西约掉了。

这样东西约掉了之后，我们就留下什么情况，就留下了这个前面这个人就是PA×PB，它就等于多少？pab.这是两个人独不独立最重要的判定性方法。核心判定方法也叫定义性的判定方法。大家注意这个东西怎么来的呢？就是通过这来的，那么推出了一个最重要的一个定义，判断两个人独不独立就是看。cab的概率等不等于a的概率乘以b的概率，大家注意啊，这是核心。就来看看乘积的概率等不等于概率的乘积。

如果乘积的概率等于概率的乘积，说明这两者之间是独立的。就说我们共同的发生的概率等于你的概率乘上它的概率，这就叫做两者之间都独立。所以你发现有些的话，这个书籍当中进行去定义这个独立性怎么定义的呢？哎，独立性，它就这样定义它怎么定义啊？它就这样说。说如果这两个事件满足乘积的概率等于概率的乘积，他就说这两个事件之间是什么独立的？有的时候你发现他把这个公式啊，用作了第一。但是同学们，

我今天来讲课的过程当中，我不喜欢这样讲。如果一开始就给你讲说pab=PA×PB就叫独立性，那什么叫独立啊？这啥玩意？所以大家就要一点一点的来。什么叫独立呢？就叫发生无关。那发生无关什么意思？你发生我发生，你不发生我发生，我们是一样的，我就推出了这个核心定义，所以说大家注意啊，将来过程当中，

我们去判断两个人独不独立就。就用这种方法。你想继续去判断这两个人独不独立呢？就来看看乘积的概率等不等于概率的乘积。所以这个问题点你必须要想清楚。那么，既然讲到这，我们就多讲一点，那我想问你个事情，独立。跟互斥有关系吗？有没有关系啊？两个人之间是独立的。两个人之间是互斥的，有没有关系啊？

大家注意，这两者没有任何关系。一点关系都没有。有些书籍上是这样写的，说独立是用概率定义的。是用乘积的概率等于概率的乘积，用概率定义的，它没办法画出尾音图，确实啊，没法画。你告诉我，我们两者之间没有关系，我怎么画百云图，我画不了啊。我们两者之间没有关系，

我怎么画个圆图，我画不出来。还是说独立是用概率定义的，画不了尾音图互斥是可以画尾音图，你这叫什么没有关系啊，你根本就没有说清楚，大家注意不要这样理解。我就想问你个事情，什么叫互斥啊？两者之间没有交集。两者之间没有交集，就是a跟b之间没有交集，不能是这样，你只能是这样。而什么叫独立呢？

独立是发生无关好，我们先来看互斥。我问你个事情。如果是互斥a发生了b1定怎么办？不发生吧。那当然了a发生了b1定不发生，这是互斥的问题。但是你发现独立呢？独立是你发生了呢？我可以发生，我也可不发生。哎，你看看从定义的角度上，我们能理解的非常通透，你们本来就没有关系，

八竿子打不着的两件事情。所以你要注意啊，如果硬生生想说互斥跟独立之间关系没有什么关系。一点关系都没有，独立能推互斥吗？不能互斥能推独立吗？不能不独立能推互斥吗？不能。互斥能推不？独立吗？不能。所以大家注意，没有半毛钱关系，所以如果在考题过程当中见到说由独立推互斥，由独立推不互斥，

反正同学们注意，只要涉及这句话都不对。没有关系，一点关系没有，对吧？哎，你发现一个事情，这件事情就是什么呢？你在草原上骑马。你在海里面进行游泳就是这样的一个问题，你听懂我的意思吗？八竿子打不着，这有什么关系呢？诶，没什么关系好，

这是这个问题，能想清楚吗？哎，这个事儿你要理解清楚。然后接下来过程当中，我们再来看看这个人的充要条件，还有几个人？啊，还有几个人，如果a和b独立，那这个时候你发现a和b拔也独立。a和b拔也独立，然后说什么情况呢？a拔于b也独立。然后最后一个事情就是a拔与b拔也独立。

这是你要注意的。这些东西啊，都是它的充要条件，所以说你发现一个事情在这里面当中啊，充要条件我写了五个。你发生的条件，我发生你不发生的条件下，我发生我们之间是独立的，那判断独立的核心是什么？乘积的概率等不等于概率的乘积？还有呢，如果a和b独立a和b拔a拔和BA拔和b拔都是独立的。你想不想我震一下？好，这里面到时候挑一个吧，

我会给你这一个。所以说这里面当中的充要条件有一个有两个，有三个有四个有五个，这是充要条件可以有彼此之间互推的。你想让我震哪个？你不要全证了啊，我只选一个证明。这哪个？呃正这第五个吧，可以吧？好，我们正这个人。那么，接下来过程当中，我们看已知AB独立，

怎么能推a拔和b拔独立呢？怎么能推a拔和b拔独立呢？那么接下来过程当中，我们来这一项。非常简单。怎么证明独立性？啊，怎么证明独立性？独立性怎么证明？独立性的话，你发现不就是来看看乘积的概率。等不等于概率的乘积嘛？是吧，乘积的概率等不等于概率乘积，那这个人怎么去用呢？

我们慢慢来，两种方法一点一点的做。或者是一步做到位，一步做到位的话，还得整理哎，你就慢慢做吧，你可以把它用一下，对偶律，我们还是慢慢做。这东西的话就是这个人在减b，听得懂吗？我发生且你不发生就是我捡你。我减你的话，你发现一个事情就是你的概率，然后再减去什么情况，

再减去共同发生的概率。那共同发生的概率的话，就是a把b。好，这个人那这个人的话，你发现看第一个人这个人是多少呢？这是a8。然后后面这个人呢？你发现这个人怎么做你这个人的话，你还可以再推一下呀，你发现一个事情，这是PB吧，你可以写成b-a呀。b-a的话，你发现你看这是a8这个人，

你再减去这是多少pb-pab，那就是加上pab。能跟上吗？哎，就加上这个人。但是我们刚才题目当中已经说了a和b独不独立？a和b已经是独立的。我们这个题目条件已经告诉你，他就想让我们去推嘛AB独立，能不能推他独立，那既然AB已经独立，那这里面当中的话就非常简单。那就说明乘积的概率就等于它概率的乘积。是不是这个人，然后接下来过程当中，

你发现你看这是PA 8，然后继续这一点当中是不是可以把PB提出来？如果这里面当中用减号吧，把PB提出来。PB提出来就是一减PA，一减PA怎么写？一减PA不就是PA八吗？然后这里面当中把PA拔提出来p拔提出来不就是一减PB吗？一减PB不就是PB拔吗？哎，完美。乘积的概率等于概率的乘积，说明这两者之间呢，确确实实是独立的。所以将来不用推导，

将来直接用a和b独立a和b拔独立a拔和b独立a拔和b拔也独立。所以说这三者之间呢，你发现随便给人来个拔它都是独立的。跟得上吧，哎，基本内容。呃，这个推导不是说特别难的啊，你慢慢来，所以说在这里面当中啊，我们就得到了独立性判断的几个充要条件。大家注意，这知识点特别重要。如果将来过程当中看到两个人是独立，独立是什么情况？

独立是两者之间的发生，没有关系。然后第二事情你发生，我发生你不发生，我发生一样的乘积的概率等于概率的乘积，核心是它呀。只要见到独立的判定，就是去看乘积的概率等不等于概率的乘积。能想清楚吧，来做一个题吧，往前翻，前面有一个一点一三这个题把它给我素描了。选几啊？选不出来问题就大了，选几啊？

选几啊这？如果考试考这样子，那就太没有意思了啊，但是你发现考过这是一年，我们的一年的真题啊。你发生的条件下，我发生你不发生的条件下，我发生说的就是什么a和b怎么办？相互独立耶。那独立的话，你发现乘积的概率等于概率乘积才能说明独立啊，好，这个问题立即出来了，基本信息点啊，你下去过程当中好好想想。

好，这是我们讲的这个第一个问题，然后接下来过程当中啊，我们再来看看第二个事情好继续做。再来看第二个问题，这叫什么？两个事件的独立。那么，接下来过程当中，我们再来看看多个事件。好几个事件独立。比如这里面当中，你把三个人的之间呢，你想清楚了，什么都清楚了。

a与b与c，它们都独立。与c这之间呢，相互独立。哎，它们之间相互独立。a与b与c，它们之间是相互独立的，哎，我们之间是相互独立，什么叫相互独立啊？我来给你讲讲。相互独立，现在是几个人三个人吧？好，

三个人。任意的取三个人，他们是独立的。任意的取两个人也是独立的。这就叫相互独立，那如果是四个人之间呢？四个人之间就是任意取四个人独立，任意取三个人独立，任意取两个人也独立。能理解吧，哎，这就是他们的一个情况，什么叫做相互独立？多个人之间好，几个人之间你们之间的相互独立什么意思？

那如果是五个人呢？随便取五个人独立，随便取四个人独立，随便取三个人独立，随便取两个独立，所以接下来过程当中，我们一起来看看这个事情。那这个人是什么意思呢？如果三个人之间的相互独立，那就说明我随便的取什么东西啊，两个人a与b独不独立独立？a与c独不独立？独立你随便取两个人嘛，还有什么情况？b与c独不独立？

独立随便的取两个人都独立。好，这是两个人，还有一个事情呢，你要取得什么ABC呢？也得独立。这才叫叫相互独立，相互独立的定义是你随便取两个独立，随便取三个也得独立。好，这是这个人，然后接下来过程当中，我们先来看第一个人，如果说。这两个人的话，

独立的话怎么说就是pab等于多少PA×PB是不是这两个人独立，然后这两个独立呢就是PAC等于多少？PA×PC。没问题吧，如果这两个人独立呢，就是PBC乘以多少PB×PC？那么，除此之外啊，我们还需要满足一个人，那就是三个人也得那就PA BC就等于多少呢PA？长PB长PC好了，这就叫做相互独立，所以将来过程当中我们就知道，哎呀，好几个人，

好多人。好多人的相互独立，什么意思啊？相互独立就是任意取两个，任意取三个，任意取四个，都是独立的，能理解吧？好，这是这个问题。而同学们注意任意两个人之间的独立呢，我们又给它起了个名，这个东西叫做两两独立。两两独立。随便的进行去取，

两个人都独立，就叫做两两独立。诶，随便的两个人独立就叫两两独立。所以说接下来过程当中，你发现如果我们来看看这里面当中有三个人或者是四个人或者五个人都行。ABC.相互独立。那我问你个事情，相互独立，能不能推出两两独立呀？能不能你们之间是相互独立？能不能继续去推出这个东西两两独立呢？哎，这件事情可以，

你从这可以推过去。但是你注意两两独立，可以推相互独立吗？不行的。如果是三个人。三个人的两两独立，怎么样才能推出相互独立？你得再加一个这个人。三个人啊，那四个人的话，那就更多了。一般情况下，考三个人就了不得了，就是你在这里面当中再加一个PA BC=PA×PB，乘PC就行。

能理解吧好，这是这个人诶，那我问你个事情，如果只有两个人呢？只有两个人啊，俩人。两个人的话，你发现相互跟两两一样不一样。哼，一样不一样，只有两个人呢，我只有我们两个人的话，你发现说相互我们两个的相互，我们两个的两两，这有啥区别嘛？

都是你们两个人，这没什么区别了，所以我们更加喜欢把两两和相互区分开，是三个或者三个以上。能理解吧好，这是个基本问题，那就没啥意思了。好，这个点我们就讲到这，然后接下来过程当中，我们来看看一点一四这个题。来看这个内容。他说了一个事情，他说ABC三个事件两两独立哦，两两独立。

如果他们三个人之间是两两独立，能推出相互独立的充分必要条件是什么？你告诉我，用你朴素的认知告诉我们事情，这个东西只需要加上一个什么？我就看看，再加上一个谁能推出PA BC=PA PB再PC。是不这个事情啊，我就来看看abcd四个选项当中哪个人能推出PA BC=PA×PB×PC。为什么？因为他们现在已经两两独立了，只需要在满足这个条件，他们就相互独立。就缺了一个什么PA BC=PA×PB×PC。别的事情我就不管了，

好，我们先看a选项。a选项说你和他独立哦，你和他独立就是乘积的概率等于概率的乘积好这个人。而你发现又因为他们两两独立，哎，两两独立b和c也独立b和c也独立的话，你发现PBC=PB×PC哦，完美你就可以啊。选a那么这个人完啊，完全的话，这个东西啊，就没有任何问题。对吧，我就能推出什么情况PA BC=PA×PB×PC，

然后你自己再去看看这个剩下的人。也就说呢，我觉得c选项也对呀。c选项不行。c选项的话，你看你这个东西说这两个独立，你只能推出pab啊，这两个东西的沉积的概率等于。概率的乘积。等于概率的乘积。然后接下来过程当中，我们来看一个事情。a交上b再交a再交c什么意思啊？a交上b再交c。再叫a还不是这个东西吗？

其实你发现这东西就是ABC。这能听懂吧？就是你发现a交b再交a再交c，那还不是ABC吗？然后说这两个东西独立，因为两两独立嘛，就等于PA乘。乘PB，然后这人呢？等于PA×PC。好，就这样写，那么所以说你发现一个事情诶，你这个PA BC=PA×PB×PC吗？不等于你后面还要乘一个这个。

而我们都知道一个事情，这个人呢，是小于等于一的。你这个人小于等于一，只有你等于一的时候，我们这两个东西才相等。对吧，只有你概率等于一的时候才相等，但是一般很少情况下等于一，所以一般情况下都是什么？一般情况下这都是什么？PA BC这个人，他应该是什么？小于等于PB×PA×PB×PC。所以说你不行。

能理解吧，同理而言的话，你发现这个b啊，这个b选项和d选项也是这样推的，就是这两者相交的概率等不等于乘积的概率呢？啊，这个东西呃，很繁杂了，你自己可以，你想让我画一下吗？画下来对吧？不然的话，这个有些同学心里不放心啊。呃，光把这个a选项做了，

我再做一个，你想让我做哪个？那么，在这种当中，做b选项还是做d选项？好，我们先看b选项，b选项的话，你发现看他说这两人独立，那这样独立的话，你发现就是AB这个人。它乘以什么情况呢？a并c的概率。乘积的概率等于概率的乘积。好，

这个所以在这个当中，你可以把这个东西啊，这样写。对吧，这样写，然后这个东西呢，用一下分配率AB再交c呢啊AB再交a呢，还不是AB吗？AB再交c呢，那就是ABC。然后这个人呢？这个人就等于pab，然后再乘上多少，再乘上PA加上多少？PC，

然后再减去多少PAC？好这个人，然后这个部分呢？它就是pab加上多少？PA BC，然后再减去AB和ABC相交呢，就是PA BC。对吧，你a交b再交a再交b再交c还不是ABC嘛，然后这个东西啊，就等于这半边那这半边是多少呢？这半边就是个pab。再乘上PA，然后再加上pab。再乘上多少PC，

然后再来怎么办？就是再减去一个pab，然后再乘上PAC。你看这个人。所以说接下来过程当中，我们一起来看看这个问题，你发现这两者之间呢，也没有什么相等性，你再画一下吧，这人就等于p×PB。这人等于p呃，这个人推不出来对吧？你这两个东西诶。这两个东西约掉了吧？对吧，

这样东西约掉了，那就因为这玩意，你发现你的概率加上你的概率再减去这个交集嘛，所以说这个人的话，你发现就没有这一项。那你告诉我，从这个式子当中，能不能推出PA BC=PA×PB×PC啊？当然不行啊。你里面连ABC这个玩意儿都没有了。你都没有这个东西，我怎么能推出这个PA BC=PA×PB×PC啊？那肯定退不出来。你能理解我的意思吗？你琢磨清楚就行，

你发现做了半天都在干嘛？用公式推公式对吧？用公式推公式好了呃，这个d选项你自己下去过程当中，你自己再看看。咳，能理解我的意思吗？好基本点，把它掌握清楚。把这个基本信息点掌握清楚，好我们再来看看下面一个题。所以我觉得这个题啊，对于我们班的同学。而言的话，达到的最基本的要求是什么呢？

哎，他们已经两两独立了，怎么样才能推出相互独立呢？再加上一个ABC它。他们也独立就行。这是你要注意的问题，然后接下来过程当中，我们来看看一点一五这个题啊，这种题很重要，来看看这个题。先来读一下，它说两两。相互独立。有些东西疯了，对吧？

什么叫做两两相互独立呢？你告诉我个事情，两两相互独立是两两独立还是相互独立啊？有人说，老师，这个题有问题。啊，什么东西啊？用你的语文能力给我理解啊。它的意思就是任意两个人之间是相互独立的。两两之间，比如说AB之之间是相互独立的，AC之间是相互独立的，这题是两两独立。你这语语文语文能力啊。

对吧，语文题目啊。好了，这是这个事情吧，说两两独立的这个事件ABC，然后满足这个ABC为空集。对吧？ABC为空集，然后的话说a的概率p的呃b的概率c的概率都是小于二分之一，然后说a交b交c的概率是。十六分之九同学们告诉我，有你朴素的认知，在干嘛呀？你见到这个东西，你的素养是什么呀？

你的素养当然是把公式给我写出来呀，所以说这个东西就是PB，然后再加上PC，你再减去多少pab？然后你再减去多少PAC，你再减去多少PBC，然后再怎么办？加上一个PA BC。是吧，这就是这个问题。所以说接下来过程当中，我们再来看，因为你这人是空集，这个概率是零。我们可以把这个概率设成x，

设成x，设成x，那这就是x，这就是x，这就是x。那么这个东西就是3s。然后因为你发现两两之间的两个人之间是相互独立的，对吧？你发现这两个独立独立的话就是PA×pbs×s。然后这是PA×pcs×spb×pcs×s，加上这个点，所以说我们就知道了，就是3s。减去三倍的x方就等于多少？十六分之九。

能理解吗？好了，这是这个问题，所以说s方这个人减去s，然后再加上多少十六分之三？十六分之三等于零。那么，接下来过程当中，我们再解一下吧，因式分解一下就行了。因式分解的话，你发现这是四分之一，这是四分之三。然后这是负的，这是负的，

然后这是ss刚刚好吧？然后这是负四分之三，负四分之一，刚好负一。所以x减几减四分之一x减几减四分之三，然后这个结果等于几零，因此你发现这概率等于多少？概率要不然等于四分之一，要不然等于四分之三。但是人家说的很清楚啊，人家说小于二分之一啊，你只能是四分之一。好了，这是这个问题，难不难？

没有难度。你发现我们又学习了一个东西。学了一个东西的独立，就是增加了一个公式，就是见到独立的时候，我就知道乘积的概率等于概率的乘积就得到这个情况，我们就能把这个什么？这个乘法给划开了。等于说，在这种当中啊，我们又学了一个新的公式，就是独立的时候的乘积的概率等于概率的乘积，就这么简单。非常简单，所以我们在这种当中啊，

学了半天呢，都在学公式捋一下，学了加法公式。学了减法公式，学了对立事件公式，学了乘法公式，学了什么相互独立的时候，乘积的概率等于概率乘积的公式。就学了这些人呐，一直在学公式，把这些公式啊练清楚就行好了，同学们好基本点，我们就讲到这。呃，掌握清楚给我回复一吧啊，

这个问题我们就说到这，你要知道什么东西叫独立。什么东西叫互斥，两者之间没有关系，那独立之间的话，我怎么进行判定这个事情很重要？好，这是这个问题吧？行吧，同学们好了呃，我们稍微休息会吧啊，休息会，然后一会过程当中我们再来看看下半节内容。一会儿过程当中，我们要讲重点内容啊。

所以说为什么在这儿稍微的停顿一下呢？你调整一下状态，一会儿过程当中啊，我们会重点来讲讲这个排列组合的东西，因为它有点恶心。这是很多同学的硬伤，所以一会儿过程当中啊，我们来多来看看，好稍微休息会儿，一会儿我们继续。

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