01.随机变量及其概率（A）-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:48:42

接下来我们就准备开始今天的课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音，而且画面没有问题啊，请给我回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境没有问题啊，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的全程班的课程，那么今天啊，我们将会进入这节新的版块，内容叫做概率论，所以说首先我们在正式上课之前呢，我们还是对。这个板块的内容，我们先做一个描述以及大纲过程当中要求的核心考点，

我们给同学们进行去啊，详细的进行去讲评一下。那么，接下来过程当中，我们来说一下三九六的这个概率论部分的这个大纲呃，说实话吧，如果你只去看这本书啊。这是没有任何的价值的，你发现一个事情，这本书的过程当中，你发现说的非常的简洁，里面过程当中说分布和分布函数的概念。就这么一点吗？里面当中的东西可太多了，比如说一维的离散型，

随机变量，一维的连续型，随机变量，连续型，随机变量的函数的分布。哎，你看这个东西很多啊。还有常见的分布，所以说他一句话，你发现其实就是第二章过程当中的第一个核核心考点，然后接下来过程中常见分布，然后就是期望和方差。说的太间断了，而且你发现一个事情，这类目当中它没有说二维随机变量的问题。

所以如果说你只按照这个大纲进行去复习啊，那我觉得这个概率论呢，你会发现一个问题，你根本就没办法复习好。所以接下来过程当中，我来说一下，我们在三九六过程当中概率论的考纲要求，因为这件事情很多同学是模棱两可的。所以今天过程当中啊，我们重点来说一下这样一个事情。首先，在这个分布对吧？哎，我们学习这个分布函数或者是这个常见的分布或者是一维的分布，之前呢，

还有一个非常重要的板块内容，叫做随机事件及其概率。注意下这个内容很重要。比如说我们来看看去年的三九六的考研真题啊，这是最新鲜出炉的二零二三年的三九六经济类联考试卷。我们在考研过程当中，我们考七道概率论的题，我们不叫概率论与数理统计，我们只叫概率论，我们没有数理统计的部分。其实你发现一个事情概率论与数理统计，它是一本书对吧？前四章的部分主要是概率论，后面部分是数理统计部分内容。那么，

接下来过程当中，我来给你看看这个真题部分的考点，这个部分呢？你要注意啊，一道都不能过错，一分都不能丢。线性代数和概率论与数理统计难度系数考的不会特别大，你要注意去年过程当中呃，我相信如果你是二战同学，太了解这个问题了。去年的过程当中，为什么这个？最终的成绩考的不是特别好的，都被前面那个高等数学给啊，这个搞得就是心态有点不好了。

那后面过程当中线性代数其实考的很简单，但是你发现一个事情到了后面线性代数啊啊，要不是没有时间，要不是就没有心态了。所以说要不就没有心情了，对，就是这个同学说的。所以接下来过程当中，我们来说一下这个概率论部分，你看看这里面当中有几个问题，大家稍微的进行去看一下。你发现你看这个部分问题。这就是随机事件及其概率的部分内容。就是我们第一章要学习的东西，学习一些概率公式啊，

得基本的运算这个东西的难度系数一点都不高。如果你按照考纲的部分的内容进行复习啊，你发现就没有这个部分的要求。所以大家注意啊，切记不能按照这个考纲就这几行字，然后进行去复习，这是第一个问题。然后再来看你看这是第一章，然后接下来过程当中我来说一下，我们三九六考纲过程当中一种不讲武德的部分内容。就是这个板块。你来好好看看这个部分。这个部分其实是二维随机变量，不是一维随机变量，所以说之前过程当中很多同学不会做这种题，

他的一直的复习过程当中都是按照一维随机变量复习。然后你看这里面当中考了二维随机变量。这是一个事情，然后接下来过程当中，我们再看这种题。这又是第一章的题。你看又是第一章，如果你不进行去复习，随机事件及其概率，那么在这里面当中的话，你发现你看你这29题。你发现你看这31题，我们总共考七道题，他考了两道。然后接下来过程当中才是第二章过程当中的第一个核心考点，

就这个部分内容。哎，这个部分是第二章内容，然后这个部分常见分布这个东西啊，每年过程当中必考。然后所以第三个事情的话，你看考虑到期望的求解，然后接下来过程当中再考虑到什么东西呢？哎，你发现这个方差的求解。对吧，一道期望的求解，一道方差的求解。所以说在这里面当中啊，我来跟同学们进行去重点聊一下这个概率论大纲呃，

你们不用着急这个事情对吧？你怎么做都行。我再强调一遍，那么这个做题的顺序的东西啊，不要进行去问别人的经验，别人的经验都是空中楼阁。我一直给你讲一个事情，你现在问这个事也没有什么用。我们到了九月份过程当中，你进行去做模拟题的时候，我们做上个十几套模拟题，你去练一下，因为每个同学的话，这个擅长点不一样，有些同学擅长高数。

有些同学擅长现代，有些同学擅长概率论与呃概率论部分。所以说你在模拟的过程当中多磨几套就出来了，这个东西啊，应该是更加具有这个什么，每个同学都不一样。你比如说在这里面当中，你去找一个你的学长学姐，你去问一下，哎呀，比如说他考了高分，你问一下哎，你去年过程当中是做的什么东西啊？你要注意那个东西也不一定适合你。对吧，

每个人擅长的点是不一样的，所以说到了这个九月份的过程当中，我们做几套这个模拟题，你自己去磨一下。我们定时定量的进行去模考，你模几套什么东西都出来了，你现在问谁都没有用，所以大家主要像这种问题啊，你问了也白搭。问了也没有任何意义，而且有可能会耽误你好了，这是我们在这种当中，我们先说一下第一个事情，第一章随机事件及其概率。哎，

这是我们在这里面当中啊，第一章会考的内容，我们考研过程当中啊，在这个问题考七道题，你看去年的这一章部分内容考了两道题。所以说第一章的随机事件及其概率很重要，然后是第二章，第二章必考。在第二章当中，有个常见分布，还有什么分布函数离散连续型的？这个分布这个部分一定会出题，有可能是两道，有可能是三道，都有可能会出题。

然后这里面当中的第三章，我进行重点来说一下，大家知道这个第二章很重要，这前两章啊，然后接下来过程当中我们说一下这个第三章的问题。就这个第三张换个颜色吧，换个这个。呃，这个第三章啊，大家听好了，你只用进行去复习二维离散型随机变量，听得懂我的意思吗？不用进行去复习，二维连续性随机变量，当然同学们你们都是跟着我们全程班的课程在走，

我讲多少你听多少就行。你只用进行去复习二维离散型，随机变量，你听好了，不用去复习连续性，为什么二维连续性随机变量有些部分问题的处理会涉及二重积分，你们要求二重积分吗？我们不要求二重积分。所以说在这里面当中不需要进行去复习，连续性随机变量，只用进行去复习二维离散性随机变量就行。然后是第四章，第四章应该叫做数字特征问题，你放心吧，这个部分内容必考换成我喜欢的绿色。

呃，这章部分内容必出题，一个是期望的求解，一个是方差的求解，其实你发现这一章的内容的标题应该叫做数字特征。随机变量的数字特征不光有期望，不光有方差，还有斜方差和相关系数，那两个东西我们也不用学。我们只用去学，期望我们只用去学方差，我们学习这两个类型问题就行了，因为这个东西啊，大纲说的是非常清楚的。期望和方差就行，

所以啊呃，这些内容就是我们三九六的大纲，总共考研的分值呢14分。啊14分，所以说你发现有人说那分也不多啊，我们总共只有70分呀，14分，然后的话，这里面当中的话，这个呃信息代数也是七道。高等数学考21道，总共35道题，所以这个题量还是挺大的，对吧？你发现这个板块内容考的不会过于的难。

哎，这个东西啊，但是你一定要把这个基础打好，所以概率论与啊，这个线性代数部分内容啊，这个基础为王。基础班过程当中是非常重要的，在这个基础班的过程当中，这两件事情你必须要把它给我拿下来，把这里面当中的基础的部分东西拿下来之后啊，就处理清楚了。斜方差不是方差里面的，你要不太懂，你就先别说话啊，那说明的话你不了解什么叫斜方差。

斜方差是两个人的事情啊，你不太懂，你就先听就行了，所以说证明这个之前的过程当中啊，你都没有把这个东西啊，了解透彻。好了，这个问题啊，我们就讲到这。所以说这是我们第一件事情，我们先说的这个概率论的考纲的要求，所以接下来过程当中啊，我们将要正式的看这门课程。然后在正式上课之前呢，我提前先说一下，

大家注意。学第一章的时候不要飘。能听懂吧，第一张不要飘，但是有些同学的第一张也飘不起来。就第一章过程很多说那老师我高中过程当中学文科的，我没有学过排列组合的内容啊，没有关系，下节课过程当中我们会进行去讲这个部分呢。概率的部分的计算，我会讲的一个部分，然后到时候我给你进行去重点的复习啊，那个内容我再给你讲讲啊，那个排列组合的内容。基本的点还是要会的，

所以说大家注意，如果你高中的过程当中没有基础，或者是你高中的这个部分没有学。没有关系，到时候过程当中啊，我们都会补，不要说这个之前过程当中怎么样，或者说我大学过程当中概率论就学的不好，那大学学的不好，你也不要因为这件事情影响了现在的复习。所以说我们现在所有同学都站在同一个起跑线上，在走好不好？同学们好了，那么今天我们将正式的学习这门课程。这门课程呢，

是我特别喜欢讲的一门课程，因为相当的有意思，好，我们先来看看第一章随机变量啊，这个。第一章啊，叫做随机事件及其概率。随机事件及其概率。呃，那个讲义上是不是打错了？你叫我看看啊，这个讲义上这几个字，这几个字排版哦，随机这个这个改一下啊这个。这你就把它改一下，

随机事件及其概率，这个排版给排错了。好了，那么接下来过程当中，我们先来看看这里面当中的第一章部分内容，随机事件及其概率。你们的没错是吧？哦，我的错了。哦，那就是我的错了。诶，那很神奇啊，你们的没错，为啥我的错了呢？

行吧啊，不管了。好了，那么接下来过程当中，我们先说一下第一章过程当中的考点的部分的内容，那这里面当中啊，有几个重点的事情，我们先来看看第一个问题。第一个问题，核心重点就是随机事件的关系与运算。哎，这是我们要进行去突破的第一个问题。随机事件的关系和运算，第一个信息点考纲内容的第一个要求就是这个部分内容。稍微等我一下，

我把这个调一下大小。哎，这是第一个板块内容随机事件的关系及其运算，第二件事情重点内容就是随机事件的概率，或者我们就称为概率公式的应用。的应用好这个问题，然后第三件事情就是事件独立性的检验。独立性。做检验，所以在我们的第一章过程当中啊，你发现一个事情核心重点，就这三个事情，第一件事情随机事件的关系和运算。这个板块内容是一个基础。哎，

它是一个基础，它是会为这个概率部分的学习啊，打下了一个基础，然后接下来过程当中，我们在这章的核心是什么呢？核心当然是这个概率公式的应用，这是非常重要的第三个事情，独立性也是考研当中的一个重点。所以我们的核心重点应该是第二个和第三个内容好，那么接下来过程当中啊，我们先来看看这里面当中的第一个问题，大家注意啊，听就行了，不要给我背哦。你听懂我的意思吗？

带着这个什么脑子来听就行了，听就可以了，不用记，不用动手，在讲义上画就行了。好了，那么接下来过程当中，我们先来进行去讲一下第一个类型问题哎，随机试验和样本空间这个内容不会考的。但是你要自己知道你学习概率论的话，你发现你不知道什么叫随机性，你不知道什么叫随机实验，这可不行。好，那么接下来过程当中，

我们先来看看第一个事情，随机实验。有些同学就来了，说什么叫随机实验，然后早上开始背，可以在相同条件下重复发生。每次试验的结果不止一个，并且事先明确所有的可能结果，然后说进行一次试验之前不知道哪个会发生，然后每天早上开始背。你背这东西干嘛？不要被理解，听我来讲。我讲一件事情就可以了。那么，

这件事情的话，你发现一个事情，我们来看看，比如说举个例子。掷色子。哎，我们来看看这个问题。掷色子，比如说你发现一个事情，你去掷一个色子。对吧，你只是个色子，那我问你个事情，第一件事情同学们告诉我，在相同的条件下是不是可以重复的进行啊？

对呀，在相同的条件下，可以重复的发生。你要想值你一直在那值都行啊，天天值没事干了就值色子值值值对吧？你都可以一直在值。这第一个问题。在相同的条件下，可以重复的发生第二件事情，每次试验的结果可能不止一个。那当然呢，你发现一个事情，你掷色子，它有什么东西呢？直到一点，

直到两点，直到三点，直到四点，直到五点，直到六点，没问题吧？哎，就说每次实验的这个结果可能不止一个。然后在事先明确所有的结果，哎呀，我知道你肯定是这样六种结果当中的一个。你不要在这里面当中，有些同学说那不对吧，我看过一些什么港剧。那好家伙，

摇摇摇对吧？摇这这个几个色子的话，你发现把它这个摇碎了。这个六点和这个五点又跑到一起了啊，摇出了个11点，你不要这样，你是港台剧看多了，那么在这里面当中啊，我们要尊重客观的事实。好，这样的一个问题，它只有这几种情况。然后接下来过程当中第三个事情进行一次试验之前，你知道哪个东西会发生吗？你知道谁会发生吗？

我不知道啊，我在职之前的话，你发现我当然不知道，如果你知道你就出老钱了。你想想是不是啊？你肯定就出老钱了，你比如说那个有些岗，他摇摇的时候为什么一直能摇到六呢？他在里面注了一点水银，对吧？有的时候你发现摇的时候它不均匀，它就会一直摇到那个六哎，所以说你发现如果你知道了这件事情，不就出老千了吗？所以在这里面当中的话，

你发现你有没有知道什么叫随机事验呢？就是三个事情，第一件事情在相同的条件下可以重复的发生，哎，我可以一直支下去，每次之前呢试验的结果不止一个。而且之前知道所有的情况，但是试验之前呢，又不知道哪个东西会出现，听就行了，不要急啊，这东西不重要。再比如说同学们，我想问你个事情，你的考研。

对吧，你的考研是不是一个随机试验呢？呵呵，如果在相同的条件下，你愿意考，你可以一直的考下去，每次试验结果不止一个，要不是考上，要不是考不上。然后事先明确了所有的可能，结果然后进行一次试验之前，你并不确定哪个会发生，但是同学们注意啊，对咱班同学一定不是。为什么我觉得这个东西啊，

你们一定可以考上的。好了，这是这个事情，我们就简单讲到这。所以大家注意啊，了解一下就行啊，就是你要知道什么东西叫随机实验，你听懂我的意思吗？哎，这就叫随机实验，或者比如说举个例子，你直硬币。你直硬币，你可以一直指下去。在每次实验的结果不止一个，

有正面和反面。对吧，而且事先你明确所有的可能，结果要不是正面，要不是反面，而且进行一次实验之前，你不知道哪个东西会发生。好，这个问题点听得懂我的意思吗？哎，这是这个事。好，这是我们讲的这个第一个问题，那么接下来过程当你听懂了吗？你不要背啊，

这不会考的，然后接下来过程当中我们再来看看第二个问题，我们来讲讲。样本的空间。什么东西叫样本空间呢？哎，你发现一个事情，他说。随机试验所有结果组成的集合，就叫样本空间。你比如说举个例子。刚才我们说的掷色子，你掷色子这个集合里面当中可以有一有二，有三，有四，

有五有六这个点。对吧，这就是一个什么，这就是一个掷色子的样本空间。当然，如果的话，你发现一个事情，你执硬币，你执硬币的话，你发现一个事情有正面有反面啊，这样的一个集合，这就是什么情况呢？这个东西就是一个样本空间。所以在这种当中啊，你要注意什么东西叫样本，

我再说一遍，这块的学习不要轴啊啊，太泛轴了。你不要在那抠字眼儿。你哭字眼我就疯了，我再强调一遍这种东西，了解一下什么东西叫随机实验。知道什么东西叫样本空间，你不要在那一个字儿一个字儿的，这个咬文嚼字啊，那这件事情你会把自己给学疯的。那你要我干嘛呀？我不是在这里面当中带着你去理解吗？我讲完几个东西了之后的话，你发现你在脑子里面当中就有了一个印象，

你不然要我干嘛？啊，你要不然的话，你直接去背就行了，你就直接背这段话，在在相同条件下怎么怎么样怎么怎么样怎么怎么样啊，千万不要这样啊。好了，这是这个事情，样本空间。所以说你发现所有可能结结果的这个集合就叫一个样本空间，那么接下来过程当中我们就来看看什么东西叫做随机事件。好好听啊，这句话比较绕一点，但是我觉得希望同学们注意你要理解清楚，

他是这样说的。叫做什么样本空间的刺激？有些同学就不理解了。啥叫样本空间的刺激啊？哎，你这个样本空间的子集就叫随机事件吗？而且随机事件我们通常用大写字母表示对吧，比如说a事件b事件c事件。哎，这有些同学就困惑了呀。什么东西？你觉得你死机就叫随机事件呢？其实大家注意，我们要把这个数学语言翻译成中国话。怎么进行翻呢？

比如说与掷色子这个为例，我想问你个事。比如说举个例子。一三五。请问同学们注意，这个集合是不是样本空间的子集啊？是你的自己吧，所以说这就叫做一个随机事件。这个随机事件表示的什么东西呢？表示的这样的一个东西值出奇数点的时候。诶，就说你掷色子掷出了奇数点。哎，那这就是一个事件呐，你发现你清楚了哦，

什么叫随机事件就说我去掷色子掷出这种情况，它就叫一个随机事件。你再比如说。二四六它是不是个子集啊？是诶，这也是个事件。那这个事件表示了一个什么实际含义呢？哦，它是这样说的，指出了偶数点。对吧，你再比如说举个例子，我们再来看，如果你发现一个事情，这是五六是不是它的子集是子集，

那叫不叫随机事件也叫？那么，这个东西叫什么呢？叫做点数。不小于多少呢？不小于五。哦我掷色子掷出的点数不小于五哦，这也叫一个随机事件诶，那么接下来过程当中，我们再来看，那么请同学们告诉我诶，这个空集是不是它的子集啊？你高中学过吧？空集是任何一个集合的子集，它也是个子集啊哦，

空集也是它的子集，所以说在这里面当中，如果是空集，你就不用打那个集合符号了，你就直接写空集。能听懂吧，不用写这个人，所以接下来你看这东西也是个随机事件，这个随机事件叫什么呢？哎，这个随机事件就叫不可能。发生事件。发生事情。所以接下来过程当中，我们再来看你发现这个样本空间。

这个全集空间是不是它的子集啊？自己是自己的子集吧？你不要再去想高中，我还学过真子集，别别别这样子集就行了。那自己就是自己的自己，所以你发现你看这也是一个随机事件，那这个词语随机事件叫什么呢？你发现你每次指它都是这几种的情况。这叫什么？这叫必然发生事件。哎，必然发生事件，大家听懂了吗？所以说你要注意啊。

事件表示了什么情况呢？就是我们在完成这样的一件事情的时候，他的所有情况的这个子集。啊，就叫做一个随机事件，能理解吧，我希望大家的考研都是一个必然发生事件啊，那么在这里当中，我们来看看下面一个问题。所以说在这种当中，我们就规定了很多内容，那么接下来过程当中，我们来看看事件的分类，这块东西不重要。哎，

不重要，考研的过程当中啊，你发现他不会硬生生的考什么东西啊，哪年过程当中考一个题来名词解释。什么叫做基本事件？名词解释什么叫复合事件来解释一下，什么叫必然发生事件疯了，对吧？不可能的，那这就不叫数学了。你学的这个东西就不是一个数学了。好了，我们接下来过程当中理解理解为主。那么，首先我们先来看看第一个事情，

基本事件。还是这里面当中啊，我们以什么东西呢？掷色子为例。直筛子为定。它能直出的情况就是这个集合。那么，先来看看第一个事情，基本事件说由一个样本点组成的单点集聚，叫基本事件啥意思啊？你发现你看你这个东西是不是它的子集啊？你这个东西是不是它的子集？你这个东西是不是都是它的子集？叫单点机，它就叫基本事件，

你这是不会考的啊。你听啊，要理解，就是这块内容，我们不是说考试怎么样，就算你是真正的去学概率论，你也要进行去理解。你要理解这个东西到底在说什么？不是要去进行去把这句话把它给我背过一字不差的背过，这不是这不叫学数学。所以你明白了。什么叫单点级呢？比如说我举个例子，我掷色子有六种情况。直到一这个点，

哎，这就是个单点机。指出二这个点，这叫做单点集，指出三这个点，这叫单点集，所以说你发现这叫基本时间。由基本事件组成的时候呢，就叫啊，所有的这样的一个什么全集空间。好，我们再来看一下第二事情，复合就是有两个两上的基本点，就叫复合事件，这个东西就不用看了，

好什么叫必然发生事件呢？你发现就是这个人本身。就是你要注意，它是一定会发生的，每次实验当中，它一定发生，它就叫必然事件。如果在每次事件当中，它不可能发生，它就叫不可能发生事件。同学们听懂了吗？就这么简单，你这里面当中的话，像这两个内容都不用看了，什么基本事件？

什么复合事件，就是你这个事件当中的话，如果只有单电极，那就这是什么叫做基本事件，如果是什么两个两个以上就叫什么复合复合事件。不用管，不用管，理解，所以说你要来听课呀。这一块内容是自学当中的bug，所以说你要来听课呀，你要听我来讲啊，好那么接下来过程当中我们再来看看下一个问题。什么叫做事件的发生？呃，

这上面有个重点，就是你要记住，如果是必然发生事件，我们有全局空间，如果是不可能发生事件，我们用什么空集表示？这是你要注意的，来再来看看什么叫事件发生。只要事件当中有且仅有一个基本点啊，有有且仅有一个样本点出现，叫事件发生。我举个例子吧，这这说的这个东西就有点什么呢啊，有点抽象了。比如说举个例子，

掷色子的样本空间是一二三四五六。然后的话，接下来过程当中，我们看看一个集合二四六二四六是不是它的子集，是它的子集，既然是它的子集，就叫做一个随机时间。那什么叫做这个随机事件发生呢？我问你个事情。是二四六都发生就叫发生，叫发生还是直出二直出四直出六，只要有一个被指出来了就叫发生啊。当然是一个啊。你去读一下它什么意思？它说你只要植出偶数点就行了。

我只要能指出一个二哎，发生了。我只要能直出一个四发生了，我只要能直出一个六发生了，你听得懂我的意思吗？好，这件事儿就清楚了。所以将来过程当中，我们说怎么叫做这个随机事件发生呢？你比如说我再举个例子。我说不超过多少呢？不超过五，那就是一二三四。五不超过他。比如说有一天过程当中，

你指出了一个六，它叫发生了吗？它没有叫发生。你直说一个五叫发生了吗？它确实不超过六啊，不超过五那就叫发生了。你能理解吧，不超过他。好，这是个基本问题，行吧，那么这个内容就过去了。呃，那么接下来过程当中，我讲考试的要求好吧，

刚才过程当中的内容，无论是你在平时的学习概率论。还是我们将来过程当中的话，你发现这是就是因为你们都是经管类啊。你们将来过程当中上研究生啊，这门课程对你们很重要。啊，对你们很重要。你们研究生的过程当中是会用到这些东西的，尤其是概率论。那所以在这里面当中，这个都部分东西啊，你要好好进行去学，打好一个基础。那么，

接下来过程当中，我来说一下考试的要求。如果刚才讲了这么半天，从考试的要求上只有一个事情。就是你要知道。随机事件用大写字母表示。这个东西表示了必然发生事件，这东西表示了不可能发生事件。诶呃，我先问一下咱们班有没有同学的话，考的专业课是？考的专业课是概率论与数理统计啊。有没有啊？就考这本就是这个呃，非常经典的教材，

卯世松的这个概率论与数理统计有没有同学？呃，好了，这是这个。我不知道咱们班同学有没有啊？啊，行吧，那么接下来我们继续呃，那个部分呢呃，如果三九六我们这个部分的话，你发现一个事情就是稍微的话会浅一点了啊。都不考是吧啊好。好了，那么这个点呢，我们就说到这来，

我们接下来过程当中，我们来看这节课的重点，大家好好听了，真正的重点。从下面这个问题正式的开始。那么，首先我们先来看看第一个事情，随机事件的关系和运算。随机事件之间的关系和随机事件之间的运算好，我们先来讲讲随机事件之间的关系。大家都知道。这个事件呢，其实就是个集合吧。对吧，事件之间其实就是个集合。

你这个事件，比如说我举个例子，我这个事件的话，里面我比如说指出偶数点二四六。比如说我这个集合的话，只能指出二这个点啊，这是个集合，那么接下来过程当中，我们来看看这个事件之间的关系，你要注意啊，你把你所有的重点从这开始学。首先，事件我们是用大写字母进行表示，对吧？我们先来进行去讲讲什么东西呢？

我们先讲事件之间的关系。先来看第一个事情包含关系。什么叫包含关系呢？就是你发现就叫a包含于b。a包含于b或者叫b包含a。有些同学我知道。他就要说一个问题了，这是包含等号的过程，我将来过程当中，我说a属于b行不行？你不要犯轴就行了。我就觉得这个有些同学把这个数学啊，学的太死板，我说属于行不行？曾经有些同学，

他跟我说说老师不对吧？我们高中过程当中，比如说这是二四六。b这个人的话，你发现这是二四。事件之间的话，不应该说的是属于吗？啊，应该是什么事件之间不应该是集合之间不是包含吗？属于应该是这个东西属于这个集合呀，你不要那么泛轴，你泛轴我就我就有点难受。你要注意，你学这个东西最重要，问题是要把它理解学通了啊。

我将来过程当中，我就说a包含于b，我说a属于b，你要理解我什么意思就行，好那么接下来过程当中，我们一起来看看。这样的一个情况，我们可以用韦恩图的形式来表示。韦恩图，这是一个全集的空间，哎，全集空间，然后接下来过程当中，我们来看看。b事件呢？

b事件它的集合是这么大好，这是事件b随机事件b。然后接下来过程当中，我们再来看看下面一个人诶，这个人是随机事件a。好，这是a事件。对吧，这是a事件，把它投向a事件。那么，在这样的一个情况下的话，你就发现a这个集合是不是就怎么办？属于b我们事件之间，我们就说a属于。

属于b或者你说a包含于b啊，这个非常简单啊，那么接下来过程当中我们讲重点了，你如果理解到这儿，你这这就没有啥学进去。来，我们一起来看看重点内容，大家来告诉我事情，你发现一个问题，这件事儿怎么去理解啊？这件事情的理解非常简单，如果a发生b是不是一定发生？对吧，则b1定发生。啊a它的发生一定会导致b的发生，

为什么你看如果这里面当中有一个人，他成立了，那你发现是不是在这个人里面？a发生一定会导致b发生，所以大家注意啊，这个属于关系就有一个什么东西呢？就有一个哎导致。如果你的发生会导致我的发生，那你就会属于我。能理解我的意思吗？好，这是这个问题，所以说接下来过程当中，我们再来转。大家都知道逆否命题一定正确吧，

那么同学们告诉我，如果b怎么办？不发生。则什么情况a1定不发生？这没问题吧？哎，你去看这个图形也可以看出来，如果b不发生，那么这个东西就在b的外面。对吧，在b的外面那b的外面也在a的外面啊好，这是这个这有啥逻辑呀？你别别别扯太远了，这啥逻辑？这一点逻辑都没有啊，

然后接下来过程当中，我们再来看你，发现一个事情，这里面当中是不是有个字则你导致了它？那么，接下来过程当中，我们来看，如果这个人不发生，我们记作成必拔。哎，拔下这叫对立时间，一会过程呢，我们讲了拔下就叫不发声，然后这个a呢啊叫a拔。所以说你看你的发生会导致我的发生，

哎，我属于你。能听懂我的意思吗？所以说b拔这个人就属于a拔。所以在这里面当中，大家一定要注意一个问题，我觉得这里面当中的事情最重要的一个问题就是你的发生会导致另外一个人的发生，这就是属于关系。好跟得上我的意思吗？这叫包含关系，过去了基本问题能听得懂吗？好，这是这样的一个事，你看。你不发生就是必拔发生嘛，

必拔发生就是必不发生，你的发生导致这个人发生就是你属于他。好，这是这个问题啊，非常的简单。好了，那么接下来过程当中，我们就继续，我们再来看。这不是好像，这就是逆否命题。啊，好了没？这个很简单哦，很简单，

来来来，继续继续，我们再来看第二事情事件的相等。事件的相等，我觉得没什么讲的，对吧？就说你发现一个事情，你这个事件跟这个事件是相等的。什么东西叫事件的相等呢？就是这两个事件呢？是一样的。好，那么接下来过程当中，我们再来画一个全景空间。好，

这是这样的空间，那么在这个当中，我们来看看这个第一个人。你看这是a事件，这是a事件，这个集合。那他也是b事件，这个集合哎，他们俩人都是这个人。那这个东西啊，就叫相等你发生了，我发生你不发生，我不发生啊，这个东西没啥可讲的，好了，

我们再来看看第三个人就叫互斥时间。大家注意这个名词很重要，互斥也叫互不相容。这个名词很重要，考研重点互斥也叫互不相容。什么叫互斥？什么叫互不相容呢？那么在讲这个东西之前呢？我们再讲一个问题，你不要觉得乱啊，因为没有办法，我们讲这个东西我必须要用到下面那个内容。我先多讲一点点可以吗？一会我再给你重新梳理一遍好不好？好，

那么接下来过程当中，我们再来讲讲这个人的运算。我把事件的运算讲完了之后再去讲那个人。能听懂吧，好那么接下来过程当中，我们先来看第一个问题，这个思维方式逻辑感是非常清晰的，两个板块内容，一个东西叫关系，一个东西叫运算。好，那么接下来过程当中，我们来看看事件的运算。你都知道，如果是两个时间。

你进行四则运算的话，不就是加减乘，但是有没有除呢？没有，但是你要注意啊，这个东西的这个事件呢？就是这个事件。它的一个什么运算跟我们的那个加减乘除还不太一样，我们先来看看第一个事情和事件，什么叫和事件呢？就是a+b。就是a+b好，我们来看看这个人。a+b，你看这是a，

这是b。我们先来看看第一个问题。核事件核事件就是a+b。a+b也可以写成a并b，这两人是一模一样的。a并比就是a+b这两种写法是一样的。那么什么东西叫做a并b呢？这个东西就说拟发生。a发生。且毕业发生。a发生且b也发生。就说你发生了呢，我也发生，所以说同学们注意告诉我一个事情，这个人的范围在哪儿？

这个范围就在这儿。哦，你发声，我也发声，就是这个整个全体。你发生我也啊，这个什么你发生或者我发生不好意思啊。或者我发声。你发声或者我发声就是你发声可以，我发声也可以。然后接下来过程当中，我们再来看看第二事件这个东西啊，就叫基事件。基事件叫什么呢？其余时间的话，

你发现一个事情就是乘法。乘法的话，你发现一个事情就是教。这个东西表什么呢？就是你发声。且我发生大家注意啊，这个东西是且上面是或。或啊，这个什么且这个能发生。那这些东西什么意思呢？就说你发生了，而且我也得发生，就是中间相交的部分。能理解吧，上面这人是霍。

哎，这个人的话是或你发声，或者我发声，对吧？我们两个都行，你行我也行，所以说这叫加法。但是什么叫基事件呢？就说你发生，且我发生，这是中间相交的部分。那么再来看看第三个事情，什么叫差事件呢？叉事件的话，你发现它是这样子的。

比如说a。减b这个人什么意思呢？他的意思是a发生。且必不发生。那你告诉我个事情，这东西怎么写啊？a发生。b不发生中间是且且是乘法还是还是这个加法呀？加法是或你发生，或者我发生，如果是且呢且是乘法吧。所以就是AB拔，所以这件事情很重要，如果将来过程当中你遇到a-b呢，立即写成AB拔。

a-b写成AB吧，它表示的哪个范围呢？它表示的这个范围。哎，这个范围。所以说，在事件的运算的过程当中啊，有三种运算，一种是什么呢？一种是核事件，一种是基事件。一种是减法。只要见到a-b，立即写成AB 8，这件事情能做到吗？

应该是可以啊，你注意啊，这块东西都比较简单，还没开始呢。慢慢来啊呃，我们这个基础班会讲的非常的基础，所以说你好好听就行了，来回到我们刚才部分。运算讲完了，那么接下来过程呢？我们来看关系。关系有包含关系。有相等的关系，有互斥的关系，那么接下来过程当中，

我们就来看看什么东西叫互斥。互斥呢？互斥的意思就是两者之间呢？没有交集的部分啊，就说你这个人。和我这个人呐，我们两者之间没有什么交集。哎，就说你看你这是a。我这是b我们两者之间没有交集，那同学们告诉我这个人怎么去写？走怎么写啊？a和b相交这东西是一个空集。好，所以同学们注意啊，

如果互斥什么意思呢？两者的交集是一个空集，或者也叫互不相容。哎，两者之间的交集是空集，那么同学们告诉我事情来继续走，那你告诉我一件事，这个东西还能怎么说呢？你发现一个事情，我可以这样说，我可以说a发生了。则b呢，一定不发生，你告诉我对不对？那当然对呀，

如果发生在AB，一定不会发生，所以说两解交集是空集，就是你发生我一定不会发生。来，同学们继续看到泽字了吗？泽字的出现就会属于关系，那就是a的发生。b的不发生a的发生一定会导致b的不发生。所以说a这个人呢，属于b吧，其实你发现非常简单，你看。必拔在哪呢？必拔是除了这个阴影部分之外的所有部分，

你当然是在这个范围内啊。所以大家要会听哦，当然的话，你也可以转一下。必发生。那a1定不发生。对吧，那就b还属于a吧。是一样的，你怎么转都行。好了，这是这个问题，但是最重要的问题啊，你要知道什么东西叫互斥时间，互斥时间就是两者之间的交集，

没有这个交集是空集就行，非常简单啊。两者之间的交集是空集好，这是我们讲的第三点，然后接下来过程当中，我们再来看看第四个问题，第四个问题叫对立事件。那对立事件又是什么意思呢？接下来过程当中，我们来重点看。对立视线是这个意思。这是一个全局空间。哎，全局空间。把这个全息空间呢，

一分为二。这两人就是互为对立事件。啊，这俩就是对立时间，全局空间一分为二，所以有两个要求，第一要求我们两者之间的交集是个空集。但是注意一个问题，我们两者之间的并集哎，我俩之间的加法加法是一个什么是个全集空间？把全击空间一分为二，我们俩合起来是全击空间，我们俩之间没有交集啊，就这样的一个基本问题好，这就叫对立事件。

所以说大家注意啊，对立事件你来看看这个部分。这个部分这个部分就叫什么这个部分就叫a的对立部分。对对，非此即彼。你看这里面当中不是a就是b，不是b就是a，所以大家注意一个事情，你看这个东西也叫什么叫哎b把？就是b的什么对立事件部分啊？b的对立事件部分。所以大家要注意一个事情，就说两者之间互为对立事件，你这个人呢，也能叫做我的拔。

能理解吧，基本问题。所以你看我们就讲完了。讲了几个事情呢，捋一下，那么请同学们告诉我，如果说随机事件之间的关系有几种关系啊？有四种关系，第一种关系属于关系，第二种关系相等关系，第三种关系。互斥关系或者叫互不双容啊，相容关系最后一种就是对立关系。如果说随机事件的运算有几种运算呢？有三种运算，

我们两者之间的加法，这是或的问题。如果我们俩之间的一个什么乘法，这是且的问题，如果是我们的减法，减法是什么呢？减法立即写成你发生，且我不发生。这是什么排除掉一个问题？所以大家注意啊，这是差事件的问题。所以事件之间的关系有四种，事件之间的运算有三种，难度系数不高。你发现一个问题，

这块儿就算你没有基础也行，你都能听得懂啊。你就是简简单单的一个事件之间的关系和运算好，那么既然有运算的，那就有运算率啊，好，我们来看看。第三个点特别的重要事件的运算率。呃，在这里面当中啊，我讲的可能会比较多一点啊，我讲的可能比较多一点，那么在这里面当中啊，我们先来看看第一条，因为第一条最重要。

这叫什么？叫做吸收率。哎，叫吸收率。我们来看看这样的一个问题，吸收率。先看第一个人。什么叫吸收率呢？这条内容很重要。那么，在这种当中，我们来看看一个事情。如果在这里面当中啊，你这个a。属于这个b。

对吧a是属于这个b的a在b的里面，那我想问你个事情，两者之间的交集是谁呀？两者之间的并集又是谁呢？告诉我胶是谁？你想想一个问题，你假设这是b，你这是a，你让a交是谁？对交是a。然后b呢b是大的b是b。所以同学们，你要注意啊，交取小并取大。交取小并取大，

这个很重要。交取小并取大，因为这条内容的话，我们在考试过程当中用的非常的多。交取小并取大，我写到这。所以在这里面当中啊，我们来注几条，你知道谁小一点一交就是谁，那当然了，一并取大的嘛，交取小并取大，我们注几条。我来问你个事。空集是不是任何集合的子集啊？

不可能发生事件，你发现看你这个东西是任何人的自己。这个没问题吧？那当然呢，所以同学们告诉我一个事情，一个空集跟一个人相交呢，交区小肯定是空集。空集跟一个人进行去并呢，那并取大当然是他。这没有任何问题，然后再来看任何一个事件，都是一个全局空间的子集啊，所以说如果这个事件跟全集空间进行相交呢？消取小，如果这个东西你发现跟全局空间b呢，

并取大就是它。这个很好理解啊，大家放轻松一点，因为你第一次有些同学可能第一次学。好，我们再来问一个。下面这个东西不得了，我来问你个事情AB。和a谁大呀？谁大呀？AB和a。你AB这个人和a到底谁大呢？不知道，那不可能不知道你原来这是a吗？你a被浇了一坨的话，

你发现你还是在a的里面变小了。啊，你要注意一个事情，你看AB是a且b。对吧a且b，所以同学们注意一个事情啊，我们这个集合我就是属于你。属于你的时候可以相等的，没有关系的可以相等。小于等于也是小于啊，也是属于。能理解我的意思吗？我们刚才过程当中还写过这个东西，还属于它呢。哎，

能理解吧，好注意一下这个事啊，一定要注意，那么这个内容对就叫越教越小。越教越小，你原本是这么大b这个东西，再教一下，有可能是自己自己也属于自己啊。如果你不是他自己的话，教的这个东西就变小了，所以同学们注意教的越多，变得越小，越教越小，越教越小。所以大家注意考题就喜欢考。

如果a跟AB进行交呢？啊，对吧？你这样东西像胶囊。我们来看看。交相取小的就是AB。AB这个人跟a进行去并呢，并取它就是a。哎，这个问题。所以说这条内容非常重要，越教越小，越教越小，这条内容很重要，你下去好好理解一下。

好，这是我们讲的这个第一个问题。然后接下来过程当中，我们再来看看第二件事情，我们再看看结合律。结合律，结合律这个事情啊，就比较简单了，那么在这个当中我们来看看第一个问题，来看看结合律。你听啊。好，这是a交了b交了c。你看我a。跟b交跟c交交出来，

是不是这个部分？是不是啊？那你能不能使AB先交再跟c交或者BC交了再跟a交那都一样啊。你俩交了之后再跟他交，还是那一块，你俩交了之后再跟那一块交，还是那一块，你俩交了之后再跟这个交，还是那一块？所以大家注意啊，无所谓的，你两者可以先交。对吧，如果在这里面当中，我们再来看，

如果是bin呢bin就是加法。如果我们三个人并呢，三个人并就是这所有。所有你俩并一下了之后再跟我并我俩并一下了之后再跟你并是一样的吧，反正都是那一块内容。大家听啊，这非常简单，很好理解，这叫结合律。跟得上吧哎，这就叫结合律。然后接下来过程当中，我们再来看看第三个事情啊，第三个事情就叫交换律。交换铝。

好，我们再来看看第三个点交换率。交换律长什么样子呢？交换律长这样子我们来看啊。如果你发现个事情AB。跟BA一样不一样。一样不一样，你告诉我AB跟BA一样不一样，你a和b交是这一块b和a交还不是那一块吗？你教我是这儿，我教你还不是这儿吗？你发声且我发声那都都一样啊。有些同学。你发现一个事情，如果你是剪辑党。

你下去过程当中，你直接把这个一截，你看周老师讲线性代数当中AB=b，我疯了对吧？你注意啊，这不是矩阵啊，矩阵a×b跟b×a不一样。那是巨真。你要注意矩阵没有交换律，你别再给我胡来啊，大家注意，我们这里面当中啊，讲的不是这个人啊。我们现在这个东西啊，讲的这个东西啊，

是随机事件的问题，你要听清楚啊，你别跟我胡来啊，有些同学估计矩阵都给忘完了。反正你不要乱来。然后接下来过程当中，我们再来看，如果a并b跟b并a一样不一样，当然也一样啊。你看这是a，这是b，你AB的话都是这些，你并我，我并你都是这啊，没有关系，

所以说这个问题啊，都是一样的。你听懂我的意思吗？哎，这条内容很有用。我们来做一个题吧，好，我们来看一个题目。离那么请同学们给我判定一下啊，我们来判断一个事情，请同学们告诉我。这个AB。与a拔b。互斥吗？好，

这两个东西互斥吗？有些同学可能想在那画图，对吧？你画半天啊？判断一下，互不吃啊。诶，怎么进去去判断互斥啊？判断互斥，其实你发现个事儿就是判断你交上我。是不是空集？对吧，你交上我是不是空集？那你教上我是不是空集，我怎么看呢？

这是AB，然后这是a8b。大家都知道一个事情，这中间是乘法，那么你都知道这两个东西是不是具有交换律啊？交换律，你把它交换一下，交换一下了之后就是AA把BB。那么，在这里面当中，我们来看看这两东西一结合。a跟a拔相交是什么？a跟a拔相交是空集b和b呢？b再交b还不是b吗？那这辆溢胶呢？

空集是比你小的郊区小空集哦，明白了。原则，两者之间的话，你发现交集是空集，那当然是互斥啊，没有问题。所以大家注意啊。两者之间的这个交集是空集，那么这两个东西啊，你发现就是互斥的。你会做了吧？哎，所以说严格着扣着这个内容再走，就说你发现看你这两个字之间有交换律啊。

你有个交换率，我交换一下，然后这两个可以结合一下，结合一下出来了，非常简单啊，这个你学轻松一点。好，这是这个问题，过去了可以吗？来再来看下面一个问题。这是第三个点，然后接下来过程当中，我们再来看看第四个点。好，这是第四个点，

别着急啊，这个前面都是知识点的铺垫，再来看看第四个点。第四个点叫做分配律。哎，分配什么东西叫分配率呢？我们来看看这里面当中的内容，它是这样的一个事情，就说如果你这是a呀。你交上了一个什么b并上c，它是这样做的，那就是a来比。a来b就是a交b。然后是a来c就是a交c好，这俩东西那这俩东西的话之后的话，

你发现中间是个并集。哦，非常简单，就说你a跟b来一下a跟c来一下，中间是什么号就是什么呀？那如果你发现个事情，你看这是b。然后这是b交c呢。那就是a跟b来一下啊a并BA跟c来一下a并c，然后这两个东西之间呢，你发现一个事儿。浇一下就行。能理解吧，好，这就是我们讲的这个分配律。

能学会吗？基本点啊，你把这个事你想清楚就行。好了，这是我们讲的这个第四个点，然后接下来过程当中，我们再来看看第五个点，第五个点特别重要，第五个点叫做对偶律，也叫摩尔根律。对偶率。也叫摩根绿。哎，也叫摩根绿，或者叫摩尔根绿好，

我们来看看第五个人。呃，第五个人呢？你高中应该学过啊，那学的时候的话，你发现一个事情，你就学过这个内容，它什么意思呢？它这样意思？就说你拔了一下，你这个a怎么办？AB上b。那这个内容等于多少呢？这个内容就等于你发现啊，你看那就是给a这个人拔一下。

给b这个人拔下，然后把这个b改成这个交。能听懂吧哎，你看就是我们各自来讲，你拔下我拔下，把这个并改成角，这个去年有同学说这个有个口诀，对吧？什么叫做长杠变短杠啊？这个开口换方向，这好家伙对吧？那学数学的话，你发现也行吧，你通过这种方式记住也行是吧？长杠变短杠，

开口换方向，你看这个人。好了，这是这个问题吧？那么当然在这里面当中的话，你发现还有继续再来。如果这东西是胶呢？哎，这个胶。交的话，你发现一个事情就给a拔一下，然后再给b拔一下，然后这里面当中呢，你发现这个交就改成b。好了，

这是这个问题，能听懂吧？好，这个基本点诶，那同学们想想一个事情，那如果是三个人呢？好，这是第一个事情。那第二事情你再来看，如果这是三个人呢你？我他那这时候结果是什么？但是我给你推一遍哦，你发现你学东西，你要会学贼简单，你可以把这两个人看成一个整体。

然后前面这个人的话把一下。后面这个整体拔一下，然后这个并改成这个交。然后再来看看后面这个人继续b拔一下c拔一下，这并改成交，所以说你就会发现一个事情，这个内容就变成了a拔。b吧c吧，然后把这个并呢改成交，改成交能听得懂我的意思吗？好，这是这个事儿。然后接下来过程当中，我们就继续看，那如果说你发现这是a交b交c呢，

你就可以同理写。你拔下我，拔下我也拔下，然后把这个胶呢改成冰，改成冰，我知道有些同学就要问了。啊，当然的话，问这种东西的同学肯定就有点懒了，他说老师那万一这里面当中符号不一样呢，我们可以讲讲啊，这是考研还没有说就。这也不叫恶心，那这样呢？那这样呢？

这样你自己也可以推一下，其实是一样的，你要是心里不放心，你就推一下，这有什么难度呢？来走把这两个看成整体来。第一人拔下第二个，这个整体拔下，把这人呢改成交，然后接下来过程当中的话，你发现你看这拔一下。这拔一下，然后呢？把这改成b，这又什么呢？

这什么挨骂呀？对吧，这难度系数一点都不大。所以大家注意啊，你学东西要学透它。你要理解到这个东西的最深处啊，要理解它，所以大家注意一个事情，这个核心重点的话，其实你发现你把这东西看成一个整体就行了。你有啥难的，好了，这个事儿啊，一定要听清楚。好了，

这东西就叫我们的队伍里，或者叫摩尔根律，那么接下来过程当中，我们来做几个题吧，来看看几个题。先来看看第一个题呃，第一个题啊，这种题的话，考研肯定不会直接出。啊，不会直接出，但是你要会去写。一定要会去写，我们再来说一下。如果是且的关系。

他们就是教的问题。如果是或的问题。他们就是病的问题。这是乘法，这是加法。能理解吧好，这是这个问题，那么接下来过程当中，我们先来看看第一个例题，它说ABC啊，为三个随机时间。然后说这个ABC表示了下列时间来，我们一起看啊，第一事只有a发生。同学们，

什么东西叫只有a发生啊？只有a发生，应该是a发生，且b不发生，且c不发生，这三件事情必须同时发发生，能理解吧？就说你发声。我不发生，我不发生这三件事情，必须同时来，所以说这是个且的关系，是不是就是乘法？会写吧，有的人你又没有写BC的话，

你发现你怎么能保证只有它发生啊？好，我们再来看看第二个人。继续AB都不发生。而且。c不发生啊AB都发生，而且c不发生，同学们告诉我这个意思就是a发生且b发生。且c怎么办？不发生这三者之间什么情况？这三者之间就是一个交的关系，就是乘法。哎，能理解吧，哎，

这非常简单啊。你们逻辑也学这个内容吗？啊来再来看第三个人。第三个人的话，你发现说三个人同时发生，同时发生，你发生，我发生，你也发生且的关系吧。好，这是这个事情，然后再来看看第四个人。哎，再看第四个人。什么叫做ABC？

至少有一个发生呢啊，这个至少有一个发生很简单，就说拟发生。我发生他发生什么关系？什么关系或者关系吧，你发生或者我发生或者他发生，所以说或者就是并的问题。好，这是这个事儿，然后接下来过程当中，我们再来看第五个点。第五说AB至少有两个发生。什么叫做至少有两个发生呢？至少有两个发生。可以是这两个发生。

也可以使这俩发生，也可以使这俩发生。对吧，你看至少有两个发生。那你就发现一个事情。这辆发车。这俩发生，这俩发生。能理解吧呃，等会儿再讲这个对立时间好吧，你先听。所以说在这种当中的话，你发现至少有两个嘛。很多同学在这里面当中写的，说什么呃，

至少有两个就是两个发生或者是啊，然后还有三个三个发生的情况。呃，在这里面当中啊，有两种写法，那么这里面当中，我们先看第一种，那这个方法写法太多了，我们多讲一点吧，反正今天过程当中啊。把这个东西的基础你要打牢，第一种写法。就只看这个人。你俩发声。或者你俩发生，

或者你俩发生，这就是个病的问题。啊，或者怎么去写呢？或者可以这样写，你不说至少有两个发生吗？那就是两个。发生的，然后是三个发生的。那这里面当中的话，如果是两个发生的呢AB发生c不发生。AC发生b不发生。a这个不发生BC发生。还有三个发生的呢，三个发生的是ABC，

所以同学们，你可以这样写，你把这所有的情况列下来，然后并一下。那么，上面的第一种情况的话，它的写法就是我只考虑AB，他说至少有两个发生嘛，那AB这两个发生AC，这两个发生BC，这两个发生。对吧，这叫至少两个，那如果管AB的时候不会管c你c你c发生的时候属于这个人，你c不发生的时候也属于这个人。

你能听得懂我的意思吗？好，这是这个事啊，好听明白的给我回复一，这非常简单啊，就说上面这人不看第三个人。你无论你发不发生，我们都在这里面，那么这里面当中还有一些法，再看第三种。你可以对立式先行，那么你想想，要不是一个发生两个发生三个发生，要不是零个发生。对吧，

现在说至少有两个，至少有两个的话，你发现一个事情，你可以这样。就是这个，那就是至多有一个。那至多有一个的话，你发现那就用全集把这两种情况给减掉，但是减两个，我觉得那就没有必要了。啊，那就没有必要这样来了。大家注意一个事情，你算这个东西是算两个，你算这个东西还是算两个，

那就没有必要了。那如果是这个东西要算三个，这个东西只算一个，那我算对比事件简单。你能听得懂我的意思吗？你发现我的对立事件也是算两个。对吧，对立事件也是算两个，那我觉得就没有必要了。你如果像我这个人算的多，我对立事件算的少，我有对立事件。好了，那么接下来过程当中，我们再看第六个人。

ABC只有一个发生。诶ABC只有一个发生，可以是a发生BC不发生的情况，这算。也可以是b发生AC不发生的情况，叶酸也可以是c发生AB不发生的情况，叶酸告诉我这三种情况是什么？是或的关系吧。第一种情况叫只有一个发生，第二种情况叫只有一个发生，第三种情况也叫只有一个发生，能理解吗？好，我们稍微休息会儿，留座大家休息的时间坐下第七个吧，

你发挥一下坐下第七个人。然后再把一点二这个题和一点三这两个题把它都做了。啊，再做一下，一点二再做一下，一点三可不可以？啊，你们下课休息了，我都做了六个了，给你留一个，你可以发挥一下吧，做一下这个人啊，不多余了解一下。然后再把一点二一点三做一下好，稍微休息会儿，

一会儿我们继续吧。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册