05.零基础考点精讲5-1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-14 09:22:23

好，接下来我们就准备开始今天课程了，首先我们先测一下声音啊，能听到声音啊，画面没有问题啊，请回复一好，我们先保证一下这个正常网速环境，我们就准备开始了。那么今天我们就继续开始我们的零基础极限学的课程，那么在上节课过程当中啊，其实我们已经重点讲到这个七种未定式极限计算。那么，在这之前过程当中啊，我们已经把每一种类型问题的计算性方法都全部讲完了，那么在这里面当中啊，

我们讲过无穷小的等价的方法，我们讲过这个泰勒公式的展开性方法。那么，在上节课过程当中啊，我们又讲了一个事情，讲了洛必达法则的方法，以及在这里面当中啊，讲了四则运算法则的事情。那么，首先第一个事情，我们在上课过程当中啊，还是来把上节课部分的内容啊，做一个重点的回顾。那么，首先第一个事情，

我们先来看看洛必达法则。那么，在这里面当中啊，洛必达法则讲了件什么事情？它是这样的一个内容，如果在这个极限下。你发现两者之间是作弊的极限。对吧，两者之间作比，如果在这种当中，你落下，它立即就变成什么情况，就变成了导函数之比的极限。但是注意一个问题，这个东西啊，

是有严格的要求的，它的要求是什么？就是你落完了之后的这个极限，它要不然是个数，要不然是无穷大。千万不能怎么办？不能是不唯一这个结果，如果是不唯一这个东西就不对，这是洛必达法则唯一的bug点。好，这是我们讲的第一个事情，然后紧接着我们又讲了第二个问题，四则运算法则，那么在这个当中啊，讲四则运算法则重点的内容啊，

首先第一事情我们讲了一个问题都存在。才能拆开算，如果是加减法，要想拆开算都得存在，如果是这个乘除法，要想拆开，对吧？你都得存在。那么所以说在这里面当中讲的第一个事情，核心重点其实就是拆开的问题。好，这是我们在这里面当中介绍的第一个问题，然后紧接着我们又讲了第二事情，那就是四则运算的性质，那么在这里面当中我们讲了什么？

那么讲到第一个性质，如果是存在加减存在，它一定是存在。如果是存在加减，不存在它的结果，一定是不存在，如果第三个人不存在，然后加减上不存在，这个结果是什么？这个结果是未知的。所以在这里面当中啊，我们得到了一个非常重要的经验，什么叫经验呢？因为我们都知道一个事情，通常情况下。

我们在考研过程当中，如果给你个极限，这个极限结果一般都是存在的。那如果在这里面当中，你发现一个题目当中是加减法，对吧？加减法我只要看到其中一项是存在，另外一项呢？必然是存在。如果这项式存在，我立即可以怎么办？我就从这进行拆开来算。所以在这里面当中啊，得到了一个非常重要的一个经验，什么样经验呢？

就是我们在这里面当中介绍的第一个问题就是加减法当中，只要见到存在，我立即可以拆开算。对吧，加减法。然后看到什么项，看到存在项立即就可以拆开来计算，所以这是我们在这里面当中啊介绍的第一个问题，然后第二事情又介绍了个内容，叫做非零因子。什么叫非零因子呢？一定是乘除法。它保证的是因子，然后是非零项保证的非零。所以说非零因子有两个要求。

一个要求是非零，一个要求是因此乘除法中的非零项，可以先把它代入进行计算。是不是这个问题，所以在这里面当中一定要注意啊，只有非零因子可以先算，别的东西都不行，如果这个东西它不是非零因子，它不能先算的。好，这时候在这里面当中啊，介绍到一个重点内容，那么讲到这儿，我们把所有极限计算型的方法都讲完了。对吧，

接下来过程当中，我们就进行重点处理七种未定式的极限计算呃，这里面当中啊，我还是想讲一个事情。因为这两天过程当中啊呃，其实我们对于我们二四的同学。如果在这个微博群里面基本上都是应该是第八个群或者第九个群，对吧？八九群，所以这个前两天过程当中我也经常看了一下这个微博。对吧，看了一下这个群，里面有些同学可能进行去探讨一些问题，对吧？问了一些问题点呃，

我在这里面当中啊，我想强调一个事情。大家一定要注意一个事情，一定是把上课部分的内容消化到位，然后再去做作业。对吧，你上课的知识点都没有消化到位，你去做作业这个事情很麻烦，对吧，然后一做的过程当中出现问题，一做就出现问题，你比如说举个例子，我记得前天晚上吧。呃，还是这个大前天晚上问过这样的个题。

好同学们，你告诉我个事情，这个极限等几。你看这个极限，然后在这里面当中，如果进行去对比一下，你看这个极限又等于多少？好，大家注意要注意对比啊。好，先看第一个人，然后在这里面当中，我们继续看你，比如说趋向零的时候，然后这是is+sins比上s，

还有在这里面当中is趋向无穷大，然后这是is+sins比上s。好了，同学们，你给我回复一下这四个答案分别是多少？是多少？你看在这里面当中，我们给了四个人。那这四个人答案是多少？先看第一个人，第一个答案是一吗？你像这种题完完全全可以考给我们一道题啊，没有任何问题，第一节限多少？你看第一个人。

那第一个这个极限呢？有些同学可能会觉得说哎，这个极限不就是一吗？为什么呢？他说这里面当中，你看这个部分，它不就等价无穷小于x分之一吗？不是的，同学们。不对的。那么，这一里面当中，你看第一个事情，这个部分是无穷大，它怎么能等价呢？

我们等价是这样子，如果这个框趋向于零。阿克贪这类框才会等价无穷小于框。是吧，一定要等于保证这个人是趋向于零，你现在这里面当中是无穷大，它不是零啊。所以在这里面当中怎么操作呢？这里面当中的重点，其实你看这前面是个无穷小，这是什么？这是有界，我们都知道一个事情，阿克tan这个人永远是介于负二分之派到二分之派。所以说这个人是个有界变量无穷小乘有界无穷小无穷小极限是零。

是吧，这是第一个人，然后这里面当中的第二事情，你看当s趋向无穷大的时候，这人就是零。那这人是零的话，他就可以等价，那这个时候你看我们来背一下框趋向零阿尔克摊，这个框等价无穷，小框这两个一乘是一。你看这人出来了，你再来看看第三个人，这个题是个什么题？零比零型的题，那这样一除是一这样一除是一，

所以说这个极限是二。你再来看下面这个题，下面这个人是无穷大无穷大，加上个有界还是个无穷大？所以在这种当中可以抓大头，你抓大头的话，你看如果趋向无穷大，这是s我比你远远大抓他，这人是一。好，这四个题没有任何问题吧，我相信一定要汇总，因此我一直给你强调一个事情，我说这一开始学习数学啊，不要着急。

你学习顺序不就是在学习规则吗？人家规则明显要求的是什么？趋向于零才能等价，但是很明显一个事情，这个人不是趋向零，怎么等价？所以大家注意啊，下去过程当中把这个方法论的东西啊，一定要用透好，这是我们介绍的第一个问题，点过去了，可以没有，所以上节课过程当中啊，把所有的方法我们结束到位。那么之后我们怎么办呢？

我们就进行去处理七种未定式的极限计算。那么，在这里面当中，我们就进行第三个专题，七种未定式的极限计算。那么，在这里面当中啊，首先第一个事情你必须要知道有哪七种未定式吧。好，我们一起来复习一下，你在屏幕前跟着我一起来记该背的东西还是要背啊，可能很多同学感觉是什么事情？数学的学习，你居然让我背。总感觉到一个事情，

数学跟这个背诵放在一起，总感觉到是这个，对吧？非常的不协调，不是这样子的。你数学学习过程当中很多要记的东西，也要把它记清楚，该背的东西要背，该记的东西要记，背的东西还挺多呢。好，那么接下来我们先看第一个事情，七种未定式，那第一种零比零型未定式无穷比无穷型未定式零乘无穷大型未定式。无穷大减无穷，

大型一的无穷大无穷，大零零的零，大家注意，总共有这七种微零式。那么，在这七种背离式当中啊，考的比较多的这个人。这个人这个人啊，这三个人考的是最多的，当然别的东西啊也会考。那么所以说在这里面当中总结了一下方法，拿到极限怎么办？先定型后定法，定法之前先四化。所以在这里面当中一定要注意，

定完型了之后一定要注重这个人的化，简化，简完了之后再进行去确定方法。那么，在上节课过程当中啊，我们讲了一个题啊，然后下去过程当中啊，有些同学的话就来问这个事情，那么在这里面当中x趋向零。然后这是is再乘上sins coss，比上三次方吧，是不是讲过这个题？那么在这里面当中啊，当时而言的话，有些同学问了一个事情，

说这个东西的分子。能不能进行去河曲堤街？你发现一个事情，河曲DJ能不能取？很多同学老是在这个学习方法的时候，你看上课过程当中学会了你下去过程当中不复习，你学习一个规则，要严格的扣制这个规则。那么，同学们来看看第一个事情，请你告诉我这是几节？这是个一阶吧，然后在这里面当中，我们再来看当s趋向零的时候，sines乘上cosine等价多少？

那么注意一个事情在做，等价无穷，小代换的时候，你看这个人是x cos是几啊？cos是一非零因子，可以淡化。啊，记住这个事情在做，等价无穷小的过程当中，非零因子也可以淡化。所以同学们发现一个事情，这个人也是一姐，怎么合取弟姐？俩人都是一姐或者二爷，你把他进行作比泥球一球，

这个极限结果是负一。两者作比的极限是负一，说明是同阶无穷小，没有低阶啊。没有高级啊，所以这个类型问题啊，一定要注意这个事情，还有一个事情啊，这个下去过程当中有些同学还问，比如说当时过程当中我讲过这样的题。对吧，一+I三次方。对吧，我讲过这样的题，这是我们在当初过程当中介介绍的这个题，

然后紧接着你发现我们又问了一个这样的题啊，然后又出了一个这样的题。然后这个题等价多少？很多同学你发现就混淆了，那么这一点当中我们先来看看第一个事情，那么请问同学们，你发现这个人是姐姐？一阶这个人是几阶？二阶这个人是几阶？三阶请问同学们这三个人是不是不同阶？因为它们是不同阶，所以说和取低阶取最低阶。没问题吧，那么当时过程当中有些同学做这个题的时候，他就迷茫了。

说老师，你发现看这个人是一姐，这个人是一姐，这个人是二姐，那不还是何取弟姐吗？那么，在这种当中，我们就来介绍一下这个知识点，我把这个内容我讲一下呃，有一个同学问的吧，你们应该是这个同学，应该今天在听课啊。啊，有人说这个确实啊，因为你只要发在这个微博当中，

你发在这个小红书当中，我只要看到了我在这节课过程当中，我看到这个事情，我就会给你进行去。解释一下这个问题啊，所以说避免着很多同学在这个学习过程当中出现盲点啊呃，所以说这也是直播课程的一大好处。好了，那么接下来我们来看一个点，我把这个信息点我来跟同学们进行重点讲一下，好认真的听。请问同学们，我们来看一个考点。你听一下这个内容，它可以考选择题。

它说，如果在趋向零的时候，这个fx等价无穷小于a倍的xm次方。然后这个js等价无穷小n倍的SN次方，那么请同学们告诉我个事情，请问fs为多少解？它是不是为m减无穷小？然后这里面当中，你看js为多少，解js为n解无穷小没问题吧？一个人是m阶无穷小，一个人是n阶无穷小。好了，我们先来看第一个事情，请问我说在这两当中，

两人相乘就为多少呢？就为m+n阶无穷小对不对？好，先看这条。因为你等价这个人，我就说你是m阶无穷小，你等价这个人，我说你是n阶无穷小，那么请同学们告诉我，两人相乘是m+n阶无穷小，对不对？对不对？对还是不对，大家注意啊，这条没有问题。

唉，绝对没有问题，为什么呢？你看j里面当中的fs乘上js，它这个乘法本来就能等价，所以说两者一乘也就a×BS m次方SN次方不就是a×b。x多少m+N次方是不是这个解没有问题做的对着呢？所以在这里面当中，我们就会发现一个事情，你看如果这个人是es- 1。对吧，这人是一姐sin x是一姐，所以说这个整体就是二姐。乘法是累加的，没有问题，

那么接下来过程当中，我们再来看第20题，那么请同学们告诉我，如果这是fs+gs。它就为多少呢？为m和n之间的最小，直接请同学们告诉我对不对？这么多阶的无穷小量，你回答我这句话对不对？你是个m阶。你是个n姐，我们两者之间相加减。然后取的是什么情况？取的是最小直接对不对？对不对？

对还是不对？你是m阶，我是n阶，我们两者之间相加减，就是最小值阶，对不对？没有问题吧你，比如说举个例子，在趋向零的时候，然后这个s in是一解，然后是EX方减，一是二解。那么，同学们告诉我，两者之间相加减去几阶，

取的是一阶没有问题吧？一阶和二阶取一阶，二阶和三阶取二阶，三阶和四阶取三阶，永远都是最小值阶，对不对？是不是啊？不是的，同学们，那这条绝对不对？你发现一个事情，我在刚才举例子的时候，我耍了一点小心机啊。你看我永远过程当中都说的是你是一，我是二，

你是二，我是三，你是三，我是四，永远结果就是最低界。但是同学们注意一个问题，你来听一个事情，如果趋向零的时候，同学们告诉我们看这个人是几间？一减三一是几减一减，但是同学们告诉我个事情，两个一减是不等价无穷小六分之x三次方是几减三减？哎，你看看这个事情，你是一阶，

我是一阶，两者一减蹦的比一阶还要高。我蹦成三节了。你看看这个事情，所以说同学们注意一个问题，一定要记住一个事情，两个同阶的东西相加减，有可能比这个阶数蹦的还要高。你是一阶，我也是一阶，那么然后这两个东西你发现比这个阶触蹦的还要高，所以在这里面当中，你看看这里面当中的内容，一定要听清楚。如果是不同节。

对吧，两者之间是不同阶，那不同阶你比如说举个例子，你是一阶，我是二阶，当然取的是最小值阶，没有问题。但是如果两个人之间是同阶呢？同阶的话，在这里面当中，你可以出题，如果是趋向零你，比如说s+s in，你是一阶，你是一阶等价的是2s还是一阶？

但是你发现如果是x减去s in，那这人是六分之一x三次方蹦的，比这个人还要高。所以一定要注意啊，两个同阶无穷，小相加减，这个阶数啊，有可能比这个阶数蹦的还要高。能掌握清楚吗？你看听清楚这个经验就非常棒了。所以你刚才过程当中一直想的都是不同节。如果是统计啊，在这里面当中就不行了，因此我们在经常过程当中做题的时候，你比如说举个例子，

我们来看一个点。这是s，然后再怎么办呢？我在这里面当中加上一个ln 1，加上s方，我再怎么办？减去一个s in。好，这个人那么同学们告诉我个事情，你看这个题怎么做？如果趋向零，请你告诉我，等价无穷小于多少？啊，看水平的点就来了。

那么，请同学们注意，我们这里面当中有种方法，它的名字叫做标接法啊，你听清楚它的名字叫做标接法。哎，你就在做题的过程当中啊，你就把这个人的接给我标出来对吧？叫做标接法。那么，这里面当中你看很多同学这个做的不好啊，他其实是这个一解一解不对啊，那么这里面当中我们先来看看第一个事情。你来抽象，你看这是一阶吧？

然后这人是二姐吧，然后这人是一姐吧，有些同学学河曲DJ学的非常的差，他就在这里面来了，他说等价无穷小多少呢，等价无穷小于一姐。然后等下我需要六分之I三次方同学们注意，这就错完了。这就废了。这一定不对，所以我们在标接的过程当中，一定要稍微注意一下，你看这个人是一阶，后面是一阶，我们都知道两个一阶有可能比这个阶数蹦的还要高。

所以说这两个一一节一定要相同的看。放到一起去看。听懂我的意思吗？所以在这种当中记住一句话，同阶要放倒一起来看。那这个时候你看这人就是三姐，这人是二姐，两个人之间同姐还是不同姐，不同姐何去理解？出来了，跟得上我的意思吗？所以一定要注意一个事情，两个是同阶的，一定要一起来看。对吧，

你是一阶，你也是一阶，这两个人的阶数有可能比他蹦的还要高。所以在这种当中，我们接下来就可以回来了，回到我们刚才过程当中啊，说的这个题，那我相信这个题目你应该是学的非常的清楚。同学们注意啊，我再强调一遍，我不要你会，我要让你学的是非常会非常的清楚，所以下去过程呢，要听话同学们。你没有经验的时候，

你就听话。你下去过程当中，一定要先整理笔记，整理完笔记再来进行处理题好，那么接下来我们来对比一下这两题，你看第一个人。这个人是一阶，这个人是二阶，这个人是三阶和取d阶，取一阶好本题结束。但是同学们注意，这个人是一阶，这个人是一阶，所以说同学们注意这两个一阶要一起看，有可能比那个阶数蹦的还要高吧。

是不这个问题有可能比这个阶数蹦的还要高，所以说这两个人他是几阶，他这个人是二阶。你自己看看这个事情嘛，当s趋向零的时候es-1-s，同学们跟着我来做，把它进行态的展开，第一项是它不要了。第二项是他不要了，留下第三项就是等价项，所以说你看这个人还是二姐俩人都是二姐，哪来的何取弟姐啊？就没有何去理解了。所以希望同学们一定要下去清楚这个问题，这个东西就没有何去理解了。

跟得上我的意思吗？好，这个点我就讲到这儿，行吧？同学们，你听明白了给我回复一，所以说这个人不能何去理解啊。能想清楚吧啊，下去过程当中好好练习一下，因为这个刚才说的这个题啊，是我们在这个这两天过程当中，因为呃，这个微博当中啊，有些同学在里面讨论一些题。啊，

我刚好看到这个事情，所以在这里面当中啊，我刚好看到我就来说一下这个事情。那么，既然讲到这个事情吧，呃，等一会儿过程当中，我把零比零再复习一下，然后在这里面当中，我再讲一个题，我希望加深一下你的印象。好同学们，注意注意一个事情，那么接下来看第一事情四化有哪四化见到非零因子要淡化？见到加减法当中的存在，

项可拆化见到根式要有理化，对吧？见到这个幂值函数，幂值转换化最后一话，上节课没有讲，这节课来讲。所以你先不要记一会儿过程当中，我再来讲，那么接下来过程当中，我们这里面当中啊，先来看看第一种类型，对吧？我们讲了第一种未定式，它的名字叫做零比零型未定式。那既然是零比零型，

微定式等价无穷，小泰勒公式洛必达四则运算都可以成立。对吧，都是可以成立的，所以说这些方法都能处理，那么这里面当中我们能不能找一个题啊，这个题可能稍微的。啊，对我们而言的话，你发现稍微的会难一点点。能不能做我相信没有问题啊，你只要我找了这个题都是能处理的。能做吧，好那么接下来过程当中，我们来完成一个题。

来处理一个题。好，这个题呃，这个题啊，我觉得对于我们三九六同学，你发现。考研的过程当中啊，他可以把它拆成拆成两问，我都可以做，所以在这里面当中啊，你不要觉得这个题难了啊，其实还好，对于我们而言都是可以做的。非常好的打基础的题，那么首先第一个事情，

我们先来看看吧，来请。他说了一个事情，给了一个函数，是这个函数，然后说a啊是趋向于零，这个函数的极限对吧？然后让我们去求a。那你告诉我个事情，这个a是多少？这个a不就是在这里面当中，你发现趋向于零这个人的极限吗？所以在这里面当中啊，其实就是趋向于零这个人的极限，一加s再减去s分之一的极限。

所以接下来过程当中啊，拿到极限先定性，你来定一下零分之一是无穷大。然后这人是零，这人是一零分之一，也是无穷大，因此这个题啊，是一个无穷大减无穷大的未定式。一会儿过程当中，我们会讲到我们先提前讲到，那么请同学们告诉我，在做极限的过程当中，你喜欢加减法还是乘除法？我当然喜欢乘除法，我不是会喜欢加减法，

所以在这种当中，你既然喜欢乘除法，我就在这里面当中，怎么办？我把这个人进行通分项。对吧，把这个东西啊，进行通分一下，一通分就是x乘上三一，然后这是x+x^2再减去三一。好同学们，你告诉我个事情都回答我，请问这个题做的是无穷大的题还是无穷小的题？无穷大还是无穷小。就这个题目，

你发现一个事情，我做的是无穷大的题，还是无穷小的题？对无穷小的题，无穷小的题要有接的感觉，那么接下来过程当中啊，你发现这个题目当中啊，其实这个题已经结束了。我来问你个事情，你能不能一眼瞅出这个题的答案？我相信你可以的，你在这个题当中，你看当s趋向零的时候，你发现这人是s方。那么，

这里面当中，我们来使用标接法一阶，二阶是一阶同阶一起看，所以说s和3e一起看。然后再加上平方。那这个时候你继续来标接，你看三阶二阶何取低阶取二阶，所以说这个题是一，你看这题就结束了。因此，你发现一个事情，你看这个题的操作，如果你会这题做的非常简单。跟得上吧，而不是说什么一阶二阶是一阶，

等价是一阶，不不不，同阶要一起看同阶，这个阶数有可能蹦的会更加的高一点。学会了吗？同学们好，那么接下来继续我们再来看看第二问。它这个第二问当中啊，它说这个事情，它说趋向于零的时候，这个函数减去a使xk的同阶无穷小。什么意思呢？就这个人和这个人，两者之间是同阶无穷小。怎么处理啊？

大家想一个问题，两个人之间对吧？两人之间。两个人之间是同截无穷小，那非常简单了，其实就是趋向于零下，把这两者之间做个比，这个a是几a是一两者之间做个比。这个结果是一个不为零的数。没问题啊，两者作比是一个不为零的数，两者之间就是同阶无穷小，那这个时候你发现我们就可以把它带进去。好，来看看fs fs就是多少一加s比上三，

然后再减去s分之一，再减去一比上sk次方，这人等于a不为零。是做成这样了，那么接下来过程当中，我们就来求一下这个极限跟上啊，来求这个极限，求这个极限的话，你发现上下同乘就行。两个一乘的话，你看我乘个s再乘个s in，所以说这个人就是变成了x，再加上x方，然后再减去s in，再减去x倍的s in。

好，这个极限。说实话，如果你是个高手，这个题又结束了。那么，在这个题当中，首先第一个事情，你在这里面当中当x趋向零的时候，你看这是x的k+2次方没问题吧？等价成堂。那上面这个人呢？我怎么处理啊？刚才过程当中啊，我给你讲过一事情标接法，

你看一阶二阶一阶二阶，所以说这两个一阶在一起s和s in在一起。后面两个人也在一起，你看把s抽出来是s-z。所以你发现一个事情，每次考研题的过程当中啊，做这个题当中最重要的事情就是你想想，比如说举个例子。你是个做题的人。你去看一本参考书。从这一步到这一步的时候，难道你不想去问一下吗？那为什么把这两个东西放一起？那我为什么不把这两个东西放一起？这两个东西放一起，

你不纠结吗？当然很纠结。所以我一直给你讲一个事情，做题一定要有理有据，每一步的做题过程当中的思维方式很重要。所以现在你知道了，因为是同阶放到一起，看那么接下来过程当中，你看这个题怎么去处处理啊？怎么做那么这里面当中，你首先第一个事情我们来处理一下。把这里面当中，这是k+2次方。然后这点当中你就可以提出来，那其实就是x+1倍的，

然后是x- 3。是不这个人那么接下来过程当中，我们再来看请问一个事情，这一项的极限结果是一吧？乘除法中的非零项，可以先算，所以说这个人是非零因子。那因此，非零因子抛出去的就是k+2次方。然后这个部分呢，又等价无穷小于六分之一x三次方，那么请同学们告诉我一个事情，要想等于一个不为零的数，很明显一个事情，这个k加二次方一定会等于三，

所以说k等于几？等于一是不是这事情立即就出来了？但其实同学们注意这个速度太慢了。如果是我们做，我一眼就飘出来了，我何必写这么多步骤，我早都把这个题做完了，好同学们继续，我们再来看方法二。我直接看这一行。哪一行呢？就这一行。大家注意啊，直接飘那么请同学们告诉我个事情，眼睛一瞅，

这是三界吧？然后这是三阶，这是一阶，这是四阶和取低阶，取低阶，所以说这里面当中一步做到这儿。然后只是k+2。那这个时候你发现一个事情在这里面当中，当x趋向零六分之一x三次方xk+2次方，这个人等于不为零的数，所以说这个k+2就等于三立即可以推出，这个k等于几等于一。那本题结束了，我何必在这里面当中整理，我找到这上面过程当中一眼漂出最后的结果。

你看这个水平点，所以像这种类型问题啊，希望同学们一定要过程当中也会处理，对吧？我们在打基础的过程当中像这种题啊，多做一做。啊，多练练好了，同学们，你想清楚吧，同阶要放到一起看。如果你发现一阶二阶三阶何去递进一阶一阶二阶，那不知道。两个一阶要一起看，两个一阶有可能比这个接触泵的还要高。

好了，这是这个点听明白我的意思吗？哎，所以说一定要小心这种问题。好了，像这个题啊，我们就介绍到这儿，那么接下来同学们，我们继续吧，我们再来看看第二种被定式无穷，大比无穷，大型被定式。呃，这种未定式啊，在考研过程当中，

我们觉得还是一个重点，对吧？绝对的重点，那么在这种当中，首先我们来看看啊，处理问题的方法。那么，首先在这里面当中，第一种方法。如果它是无穷大比无穷大，那么首先第一种你当然可以进行，怎么办？洛必达法则的处理嘛。可不可以？当然可以，

那这地方当中还有没有方法有我们都之前讲过，我们还可以怎么办？上下同除异。最大项。对吧，上下同处于最大项，也是一种非常好的处理方法，那么在这个当中还有第三种，第三种是最重要的。想无穷大比无穷大的背力时，一定是可以怎么办？使用抓大头的方式，这种方法一定是最重要的。哎，去把抓大头的方法好好看一看，

因为抓大头的方法是重点中的重点。所以说下面过程当中这个三点五这个题啊，我们已经讲过了啊，这个题啊，我们就不重点讲了，你下去过程当中啊，你再看看。好了，像这里面当中，洛必达上下同除抓大头这几种操作性的方法都非常的重要。好了么？同学们好，这个第一个信息点我们就介绍到这呃，这个题我们不讲了，因为这个题我们讲过了，

对吧啊？不哆嗦了。好，这是我们讲的第二种微定式，再来看看第三种微定式无穷大减无穷，大型微定式。第三种那么刚才过程当中啊，其实我们已经做过预言了。对吧，做过这个预言了，那么首先第一件事情，你看如果见到无穷大减无穷大，肯定是一个东西减一个东西。但是同学们告诉我个事情，你喜欢一个东西，

剪一个东西吗？我不喜欢。我怎么可能会喜欢一个东西减一个东西，我喜欢的一个东西乘一个东西，除一个东西，所以说在这里面当中，只要见到无穷大减无穷大的位理是首选通分。对吧，赶紧通分那么，所以说在这种当中，我们先来看看这个题。拿到极限先定型零分之一，这个结果是无穷大零分之一，这个结果是无穷大，所以说这个题啊，

是一道无穷大减无穷大的未定式。那么，既然是无穷大减，无穷大的费力时，在做这个题的过程当中，我们是怎么处理的？通分吧，来把这人通下，那就是ix方再乘上个tangent。然后这里面当中这个部分就是个tangent，然后这个部分就是个s。所以说这个题是不是结束了来继续来看，当x趋向零的时候，你发现你看这个人等价无穷小S。上面怎么做？

两者之比的极限是负一，不能直接等价，而我们都知道一个事情，当x趋向零的时候x减去tant立即等价无穷小于负三分之x三次方。所以说这个人呢，就是三分之一的三次方去向零两者一除三分之一。你看这个题，我们立即出来了，所以遇到这种无穷大减无穷大的未定式，只要见到这个事情，我立即想通分。我通分一做就出来了，能通就通。好，这是我们讲的第一个问题，

那继续可以吗？再来看第二题啊，再来看看三点七这个题。那这个题啊，首先第一个事情我们还是来操作，拿到极限先干嘛先定型，既然是先定型，你发现这人是无穷大。我非常想知道前面这个极限往哪儿跑，我就把它单独求下极限，听懂了？大家注意啊，我没有做题啊，我在定型呢，我单独的看看这个人是往哪儿跑的，

同学们告诉我，你能听懂我的意思吗？能听懂吧，注意一个事情，我没有拆开啊。你要理解我的意思，我没有拆开，我就非常想知道你往哪跑？我想知道你往哪跑，我就把你单独的拿出来求个极限，听懂我的意思吗？好了，这里面当中我们继续看，你发现x是趋向无穷，大x分之一就趋向零。

一个人趋向于零，就是框趋向于零，是框你告诉我事情一亿的框减，一是不等价无效框。所以说在这里面当中，你看趋向无穷大极限是无穷大，明白了你的极限是无穷大。你放心吧，现在是零基础，提前学，我还这样讲一下，等到了这个基础班呢，我相信没有一个同学会这样做。因为怎么办呢？你看到后面是无穷大，

前面是无穷大，前面是无穷大，后面是无穷大。经验告诉我们的都不会这样做了。好了，那么接下来我们就继续吧，我们来看看这题怎么处理啊？刚才就讲过无穷大减无穷大的未定式，我喜欢通分。对吧，无穷大减无穷大，我喜欢通分。那么你发现一个事情，要想通分，它得是分式啊。

分式才能够进行通分。但是你会发现一个问题，这个东西是什么？这个东西是个整式哎。整式能通分吗？整式不好通分。所以你就会发现一个事情，这个东西它是个整式，整式是不好通分的。那整式既然不好通分，我怎么去想？我就想把整式化成分式。有些同学是这样子，我把这东西除下去，那不行。

不行的，你把这人除下去，他还是这个样子。那么，请同学们告诉我怎么把整式变成分式啊？如何变非常简单倒带环。哎，换元就行。所以在这里面当中啊，我们经常讲的方法是能通分就通分，如果通不了分，请注意，我们就使用倒代换的方法来做。记住，它能通分就通分，

通不了分倒带宽哎，能通就通，通不了分倒带宽。所以在这种当中啊，我们接下来过程当中，我们就继续来看看这个问题。对吧，能通就通，通不了分倒带换，那么接下来过程当中啊，我们来看看倒带换是怎么做的，令x=t。t分之一对吧？哎，零s等于t分之一，

那么这个时候你发现你看我一换换了之后的话，在这种当中我们就可以处理了。把s东西换成ts是无穷大分之一，就是趋向零，然后这里面当中这个部分就变成了t方分之一。然后这是e的t减一，然后再减去t分之一。好，做成这样了，一旦做成这样了，之后的话，你看这是t趋向零，然后这人是t方，然后这人是e的t- 1再减t。那么做成这样了之后的话，

你看这个人是零，上面是零零比零型的位理是。那既然是零比零型未定式，告诉我个事情，这个极限怎么做？当然非常简单，我落一下就行，我一求导的话，你发现这人是2t，我一求导的话，这人是变成了一的t- 1。然后上面等价无穷小于t，所以说这个极限等于二分之一啊。你看这个题是不是出来了，所以在这里面当中，

我们就把这个题啊立即做出来了。能通分就通分，通不了分倒贷款。所以像这个题啊，我相信无穷大减无穷大的未定式啊，没有一个同学会出现问题。对吧，你能通分我就通分了，你不能通分，我倒贷款。所以处理性的方法应该是不是说特别难的好了，这是我们在这种当中啊介绍的这个题，过去了可以吗？好在这里面当中啊，我还想再讲一个题啊，

我再来给你写一个题，你来看看。好，那么接下来我们再来这里面当中啊，看看第三这个题。我再来写一个。那么，这里面当中我们写个这样的题。你看题趋向无穷大，然后这是根号下x再减去三倍的根号s。然后再减去个多少呢s，再加上根号s好了，同学们，你给我看这个极限等于多少？你看这个题。

那么，这题怎么处理啊？那么，首先我们先看第一个问题啊，这个题第一种方法我们先来讲讲。那么，这一点当中先来看看，当s趋向无穷大。这个人比这个人大得多。所以说前面的极限是无穷大。后面的极限也是无穷大，因此这个题是一个无穷大减无穷大型的未定式的极限，对不对？哎，没有问题。

那而且我们都知道一个事情，当s趋向无穷大的时候s是怎么办？比这个根号s远远大的。所以在这里面当中，我们就怎么办？我就在这里面当中，你看前面这个部分怎么办？把这人不要了，抓个大头是他。后面这个东西，这个人不要了，抓过大头是他，所以说极限等于几等于零，对不对？同学们告诉我对不对？

是不等于零。对不对？你来看这个题啊，在这个当中，前面一抓，后面一抓。两位一抓的话，最后一减是零对不对啊？对个鬼绝对不对？大家注意啊，如果这样做，这题就废了。为啥不对啊？啊，同学们告诉我，

你能告诉我个事情，为啥不对？你就可以看出来，这个就普普通通一个题啊，你就可以体现出来很多同学在下去过程当中完成题目的一个这个。的这个操作的能力对吧？胡乱用。为啥不对？为什么大家想一个事情，你刚才在这里面当中，你发现你是干嘛了？你抓大头了是吧？你是不是抓大头了？而我们都知道，你看这里面当中注注注意啊，

你看。呃，说明很多同学这个学习啊，根本就没有进来，你不要看我们今天过程当中讲了这几次课程。根本就没有进来，有些同学说什么情况呢？第一个同学说两者之比的极限不是呃，是负一。你注意一个问题啊，你在做无穷大的问题，我没有做等价无穷小代换。对吧，这这就有点胡学体了。你胡乱学习了。

我们说什么情况呢？如果这是a+b，我等价无穷，小于f+j，保证前后之比不是负一。同学们注意一个事情，这不是无穷小问题。这是无穷大问题，这跟前后之比是负一有什么关系呢？等价无穷小代换，再讲那个好，这是我讲的第一个点。第二信息点，刚才过程当中说老师这是减法，不不不，

跟这个人也没关系，大家注意最重要的问题点是什么？你胡用提吗？胡用方法论呢，我们明显说了一个事情，我说抓大头要无穷比无穷才能用，我是不是这样说的？不是除法才能用，我说过一个事情，无穷比无穷才能用。我说过这些事情吗？我说过了呀，你这个题是什么？你这个题是无穷减无穷啊，你怎么能用呢？

你看学了这么久，下去肯定没有复习下去，肯定没有整理这些知识点呢，没有刻骨铭心。所以在这里面当中第一步，如果抓大头了，这题就废了。啊，所以说有些同学感感觉说什么哎呀，我学习这个对吧？我做的非常的优秀，我做的很好。啊，这都不行，所以这个题当中啊，

我们到底怎么操作呢？上节课过程当中，我还给你讲过定势思维。我们说只要见到两根号做差，我都不会去想别的，只要遇到两根号做差，我立即在这里面当中游立化。对吧，所以说在这里当中呃，注意啊，这个题只能是趋向于正无穷，你把它改一下，只能是正无穷，因为这个s等于大于零。对吧，

所以在这种当中，你看我们这是is减去根号s，我就变成什么，加上这个人。游离话下，游离话下之后，就变成了你的平方，减你的平方，两个人一减是多少？两个人一减是负四倍的根号s。所以说这个题啊，立即就做成这个样子了。那么，同学们告诉我个事情，一旦做成这个样子，

接下来怎么处理？再来定型，你发现上面这人是无穷大，下面这人呢？无穷大加无穷大还是无穷大？那么，请同学们告诉我，现在能不能抓了？当然可以了，现在就可以了，因为你发现现在这个人呢，是无穷大比无穷大为力士。因此，在这种当中，你看我一抓是你，

我一抓是你，我一抓是你，所以说这个结果等于几等于负二。你看这样的一个题啊，其实就给很多同学提上了一个醒。我们在做题的过程当中，不要乱用方法。所以很多东西下去过程当中做题的时候勒不住了。拦不住了，做题毫无章法，你也不知道你这个题当中到底怎么做的，就跟这个你看了一些古装剧，对吧？武侠剧里面当中这个就容易走火入魔，对吧？

你在这个时候的话，你发现用那个方法，你脑子里面当中虽然有很多武功秘籍。你有很多方法论的东西，但是你发现你用的永远都是胡用。容易走火入魔啊，所以因此同学们注意一个问题，下去过程当中做题一定要注意，要检验这个规则。这个规则到底什么时候能用？把它用好好这个点呢，我们就讲到这儿，这是例三这个题能学会吧？无穷大。减无穷大型的微定式下去过程当中做的第一个事情要背公式啊，

第二个事情一定要注意这个上课的定力性方法，一定要把它掌握清楚啊。第三个事情，在座的训练啊，把这些东西啊都做好。好了，这个点我们就讲到这，那么接下来我们再讲下面一个重点，之前呢，我们要做一个铺垫，所以说接下来过程当中啊，我希望每个同学注意力都集中一点。一定要把注意力集中，我先问一下你们现在状态怎么样？啊，

状态怎么样？请拿出你今天最好的状态，然后来听下面一部内容。好好听啊，我们有大概率事件，今年过程当中会考好好听讲，那么接下来过程当中我们先来讲一个知识点。这个人呢？它的内内容叫什么呢？我来问你一个事情，如果在这里面当中，你看下面是常数，上面是一个函数，这叫什么函数？这叫指数函数。

如果下面是个函数，上面是常数，这叫什么函数？这叫幂函数。对吧，这叫幂函数，但是同学们告诉我，如果这是一个函数，这也是一个函数呢，这叫什么函数？大家注意这个东西啊，叫做幂值函数，我们考研必考。哎，我们考研绝对的重点幂值函数。

所以像这个东西啊，它不叫复合函数，它也算一种复合函数，但是它有名字的。学名啊。啊，这是人家的学名，人家叫什么？人家叫做幂值函数。所以在这里面当中，我们首先看看第一个事情，这里面当中啊，有一个定式思维，把这个定式思维啊，一定要学会。

什么样的定式思维呢？只要你在考研过程当中见到幂值函数。同学们，注意什么东西都别想，立即秘制转饭。哎，立即密制转换，只要你见到了密制函数，立即密制转换，这是我希望同学们一定要做到的事情。就说你只要见到这个人，立即秘制中环。所以接下来过程当中，我来给你讲讲什么叫做幂值转换。幂值转换呢，

其实就是一个指对数变换的内容，那么在这种当中，我们先来看看第一个事情，你看这有一个函数。这有一个函数，这就叫幂值函数。那么，在这里面当中，我们先做的第一个事情是什么？我加个e，我加个ln，然后这里面当中的内容变成了这个人。好，你告诉我个事情，相不相等？

相等还是不相等？你这两个东西约掉了没？当然想到，然后在这里面当中，我们再来看第三个事情，请问头顶上的那人是不是可以跑前面去？没问题吧？哎，头顶上这个人一定可以跑到前面去。所以在这里面当中，我希望我们每个同学啊，在这里面当中做题的时候，你先把这个经验性结论要掌握清楚。哎，这个。

但是同学们注意，每当你做题的时候，你不要在这里面当中说啊，我先写到这一步，再做到这一步，不太慢了。一步到位对吧？一步到位，我写几个，你跟着我一起来，比如说第一个人跟上x。2s好一步到位e等，然后这个人起来了，2s跑前lns。跟得上吗？

好，跟上了给我回复一，然后这里面当中我们再写一个，如果这是coss。然后这里是x分之一好，再看这个。继续怎么写来继续e头顶上跑到前面去了ling你。好，这是这个人来，我们再写一个，如果这里面当中是fs，这是sins，然后这是coss。e的抬起法，这是什么破名字啊？

好了，那么接下来我们就继续，我们再来看那这个内容变成多少e的？cos跑前罗隐身。是吧，所以说这种方法的名字啊，就叫幂值转换啊，就叫幂值转换，所以我只要见到这个人，我立即把这个东西写出来。啊，加个一头顶跑前搂你，它能学会吗？好了，这件事情学会了，

请给我回复个二。哎，就这波知识点，你都听明白了，请给我回复，二一定要把这个定式思维能力给我学会了。只要见到幂值函数，立即幂值转换，无论是求极限，求导数，求积分，求什么东西都行。只要见到幂值函数，立即幂值转换。那么，

接下来我们就来看看我们今天最重要的内容，一等无穷大的未定式。大家注意啊，这一波内容，我希望每个同学你都好好听，好好去学。那么，在这里面当中，我们先看第一个事情，如果在这里面当中，我给你个极限，对吧？这是一个极限。这有一个函数是u。这有一个函数是v，

它们满足一的无穷，大的未定式。满满足满足了吧，满足一的无穷大未定式。那么，首先第一个事情，你想在这个帽子下。它是一个什么？它是不是一个幂值函数啊？你下面是函数，上面是函数，就幂值函数。那既然是个幂值函数，首先第一步怎么办来？幂值转换一定是微倍的li nu。

好幂值转换幂值，转换了之后，同学们，我们再来看。你是不求e一个人的极限注意啊，他一个人。头顶是1e的一，头顶是2e的二，头顶是3e的三，头顶是无穷大e的无穷大，所以在这里面当中，你是不核心思想，重点是求头顶上的极限。对吧，我的核心重点就是来求头顶上的极限。

求这个人极限。那么，求这个极限的时候，同学们，我们再来看。继续来闯。请同学们，你们要看帽子。帽子在哪儿？帽子在这儿，这两项是乘法。那么jam当中稍微进行去瞅一下一个事情，你就告诉我个事情，这个u往哪跑？优这个人的极限是不是一啊？

哎，这个人极限是一，也就说这个部分的极限是一耶。那既然是一的话，同学们想一个问题，只是I趋向无穷大。这个v跟这个人是乘法罗印一个函数趋向于一，立即等价无穷多少。非常好，当下无穷小于这个函数在减一。能听懂我的意思吗？所以在这种当中，我们就总结出来了这个方法，把这个东西啊，动手进行总结一下。

啊，一定要动求总结，你看如果在一个极限当中趋向它，这是u的v，如果它是一的无穷大的微定式。那么，在这种当中，极限结果是多少？答案就等于一的极限符号照抄，然后是什么呢？头顶部分照写底再减一好了，这里面当中的内容我立即就把它写完了。这就是我们做题方法，你注意啊，我不说别的，

这一定是最快的。这一定是最快的，没有比我们这更快的，然后试面过程当中有些同学说来，我先幂值转换我，然后再把它变成u- 1太慢。有那功夫，我做了三四道题呢，或者而言，你看到市面过程当中说我三步走没有必要。四步走也没有必要，有些过程当中写两步走也没有必要，就是你把这个过程当中分布了，没有必要。太慢了，

我一步到位，因此过程当中，我们再来总结，如果在一个趋向下，这是个底。这是个密赐。它之间符合一的无穷大未定式答案，等于多少来给我背一遍答案，就等于一的极限符号照抄。头顶密刺照写，再乘上敌减一。记住这个问题，只要你是一的无穷，大为你是答案就等于一的极限符号，照抄头顶，

照写低减一。我再说一遍答案，就等于e的极限符号照抄头顶照写d- 1，我再说一遍啊，只要是一的无穷大未定式，你在屏幕前跟我喊一遍啊，当当然你不要喊对吧？你给我说一遍，只要是一的无穷大背景是答案，就等于e的极限符号照抄头顶照写b- 1念念不忘必有回响，你晚上的过程当中，我相信你在做梦过程当中，你都能梦到它。一定要给我想清楚一的无穷大，不一定是答案等于一亿的极限符号，

照抄头顶照写第减一好了，那么接下来过程当中我们再来看下面一个问题。呃，这两个同学啊，你们下去过程当中把这个上节课讲的内容啊，你给我抄上个十遍啊。好，这两个同学好吧？不给我抄个30遍啊，肯定会刻骨铭心的，你们两个同学啊，你肯定是上节课的笔记没整理。不是以前讲过上节课讲的。首先第一个事情，你的上节课的笔记肯定没有整理，

另外一个事情，你会发现学了就忘，学了就忘，你发现一个事情，你所有到到了最后，你说这个对于东西。你曾经我们讲过的题，你都不记得了。这是最尴尬的。我来给你进行翻脑，你好好给我看。来认真抽整，就给你们两个翻的啊，那么这里面当中的内容来给我进行去看看嗯。打不开了。

怎么能打不开呢？来看看上节课内容。那么，上节课过程当中啊，我们讲到七种未定式的极限计算，我们上节课过程当中还讲过这个题吧？讲不讲过这个题？不记得了。你上课过程当中还拍案叫好过呢？你上课过程当中，你会觉得哦哇，我下次过程当中见到这个题，我一定会做，我是不讲过这个内容，你来看。

罗印一个函数行，这个函数趋向于一罗印，一个函数趋向于一，立即等价无穷，这个函数减一，我就给你讲过这个事情，我说你将来过程当中不要给我写中间。直接等价到这儿，我说过这个问题吧，而且这个事情讲完了之后，我们又练了一个题，当时过程当中，我说这是曾经过程当中考研的十分的题。你曾经跟我说说啊，这样好简单，

好厉害，好妙。你看吧，这是这我就觉得最尴尬的事情。你上课过程当中，你还觉得妙，你上课过程当中，还觉得好，你上课过程当中，还觉得说我将来一定会记得。你连我们上课讲的这些题讲的这些知识点都不记得，你说到了最后学习怎么办？这就跟去年过程当中这个数学一同学，数学二同学，数学三同学，

我当时暑假过程当中讲到的那道去年的压轴题。我可以稍微的进行翻翻。那么，在去年过程当中啊，这个。我给你看看这个事情。就这个题，你可以把这个题啊，你截个图，你看看跟去年数学一数学二数学三同学考的压轴题，基本上非常的相近。有多少区别呢？里面当中就是把这个a换成了负a，把这个b换成了a。如有多少区别，

就最尴尬的一个问题点就是我们讲到最后而言的话，这个题我们曾经也讲过，你上课过程当中也学过，然后你下去过程当中就是不记得了。那么，同学们要去反思学习方法。这不是少数，这很多人啊，很多同学都会犯的问题点一直都在学习，一直都很努力，最后成绩为什么上不来呢？你发现这个学习方法，你的主要的部分东西啊，你没有掌握清楚，你一直都在做题，

但是你的基本盘基本方法老是忘。好了，这个内容我们就讲到这儿，我们再来一遍，如果是一的无穷大答案，就等于e的极限符号照抄头顶照写d-e能学会吧。好了，那么接下来我来说一个事情。那么，请同学们告诉我个事，你还记得我们在大学过程当中学习过一个内容，它的名字叫做。两个重要极限吗？学过吧，你稍微有一点印象，

你大学过程当中都学过这个人。两个重要极限来看，第一个重要极限。第一个重要极限是谁呢？说趋向于零的时候sins比上s极限是一，你说这个内容谁不会呀？所以我没有讲，你看吧，等我把课程都要快讲完了，我连两个重要极限提都没提。你说这谁都不会呀，然后再来这里面当中看第二事情，如果趋向于零一，加上s的x分之一次方。这个结果等于几呢？

等于一。你看这个内容，我也没有讲这个东西，我们会非常快，你来看这个题。瞅一下这个事情，前面同学们下面是不是一？头顶是不无穷大一的无穷大未定式，同学们告诉我来答案等于一的极限符号找抄。头顶部分照写d- 1是x，两者一乘是一，答案等于一的一次方，你看这人不就出来了吗？我需要，为什么要把这个东西给你讲清楚？

这个东西就算你不会，我们在考试过程当中也会算，这就是我们的水平。因此，在这里面当中啊，大家下去过程当中一定记得什么用重要极限的方法来做题，都不用去学，都不用去学习这些事情。那么，接下来过程当中，我来带着你进行去看一些题。这里面当中啊，我来给你找找同济七版的教材啊。好呃，我们在这里面当中啊，

我们来找一些题，把它进行处理一下，你比如说这里面当中啊，我们先来看看这个题。找课本吧。好，来看看这几个题，在这里面当中，我们来直接看看这个课后习题吧。你放心啊，这个课后习题啊，有可能就是我们在考研过程当中啊，我们能直接出题的点啊，我们有可能就直接出题，就出这个题。

来直接操作，立即干掉四个人，非常的快啊。那回答我第一个事情，请问同学们拿到极限第一步干嘛？先定型一定是多少呢？你看这个部分是一。零分之一是无穷大，所以说第一个人就出来了，答案就等于e的极限符号照抄，然后这个部分是头顶照写，然后d减一答案等于e的负一次方结束。你看这个题多快呀，然后在这种当中，我们再看第二题，

继续拿到极限先定型，你看这人是一零分之一，是无穷大答案就等于一亿的极限符号照抄，然后头顶部分照写第减一，然后这个人。等于一的平方，你看这人多快啊，然后接下来过程当中，我们再看第三个事情再来瞅。现在x是往无穷大跑。无穷大跑里面抓个大头，这是一所以说这是一的无穷大答案等于多少一的极限符号照抄s是往无穷大跑。头顶照写底减一，这个底是多少？一+s比上s再来减一，

然后这个部分的内容就变成了limits，趋向无穷大，这是2s。然后这是多少？这是x分之一，加上一再减去一，所以说这个部分你看这两个东西约约，这是一的二次方。你看这题又出来了，你再来看下面x是趋向无穷大这个分之一就是零一的无穷大。所以说这个题啊e的无穷大答案等于多少e的极限符号找抄头顶ks照，写这个d减一是多少负的x分之一答案等于e的负k。你就这样操作就行，那么像这个东西啊，你可以速战速决的进行去秒题，

那这些题啊，你真的是可以进行去把它秒掉的。所以像考研过程当中见到一的无穷大，你要非常开心，其实像这种问题点应该是一个难点。对于很多同学而言是个难点，你为什么觉得难呢？因为你看到的方法。是凑重要极限。所以说它麻烦。不信你去看一下各种参考答案，我很明显，过程当中我在几秒钟当中就能做出来的题，你会发现一个事情，那个答案写的极其的麻烦，

比如说举个例子啊，我们来看一个题。你来看看上面这个例题。比如说这个例题啊，我们来操作一下，拿到这个极限怎么办？我们先来定型，一定的话，你发现这人是一，然后这头顶是无穷大，因为趋向无穷大嘛。对吧，所以说这是一的无穷大答案，等于e的极限符号照抄头顶照写d- 1，所以说这个答案等于e的负一次方结束了，

你看它怎么写的？他在这里面当中，首先第一个事情说这个东西需要做一个附带换。代换完了之后，把它凑成重要极限，然后把这些做完，太慢了，我有这功夫，我做了N多道题呢。所以希望同学们注意一个事情，你下去过程当中啊，好好思考一下这个问题。听懂我的意思吗？诶，把这个点呐，

你要想清楚。跟得上我的意思吗？你像这种题会做的非常非常快的，那么接下来过程当中我再来讲。诶，我再来说一个事情，看下面一个问题。力离。那么，这里面当中，我们说一个事情啊，你比如说说下列求下列极限吧。啊求下列的极限。那么，首先第一个极限，

那么这里面当中说s趋向零，然后这是一加s的s分之一。第20题limit x趋向无穷大。然后这是一加上x的s分之一啊，这个题你现在做不了。我改一下，如果这是趋向于零，然后这是一加上。s的s分之三次方啊，这个不好s次方，然后第三个事情limits趋向无穷大。然后这是一加上s分之一的s。然后第四个是。呃，这是它，

然后接下来过程当中，我们再看lx趋向零一，加上x。分之多少呢？分之这个s分之四次方。好做几个题啊？来操作一下。大家注意一个问题，首先第一个事情，你可以快速写答案。记住一个问题。符合一的无穷，大的最简形式就叫重要极限。就叫第二个重要极限，那么同学们告诉我个事情，

你看这个人。这个人是一，这是无穷大一的无穷大为理是。那么，在这种当中，我们继续看啊，继续往下走，你看这个人，这个人是多少呢？一的无穷大。这俩人都是一的无穷大，一的无穷大，请告诉我个事情，这是不是最简形式啊？最不最简。

最简单，这两个东西绝对是最简单的，你发现你看limits趋向零，要想是一的话，这人是s这是分之一，这是最简单的，它就等于一。然后在这种当中，如果趋向无穷大的时候，你看这人要想是一的话，这是分之一，这是s，它就等于一。所以记住一个事情，这两个东西都叫第二重要极限。

第二，重要机型。符合一的无穷，大的最简形式就叫重要极限。这就叫做最简形式，所以像这个答案的话，当然你可以再做，那么这个人则是多少呢？趋向无穷，大头顶照写d- 1，这是一的一次方。继续来答案，就等于e的极限符号照抄头顶照写d- 1真是多少e的一次方？好，这两个东西啊，

注意这个事情，符合一的无穷大的最简形式，叫做重要极限，那么接下来过程当中，我们再来看看这个题。那这个题等于多少呢？你再来定性，你发现一定这人是一，这人是零，你还能答案等于一的极限符号照抄头顶照写低减一吗？你就胡来了。只有一的无穷大才能这样做，这个题是个已定式还是未定式？它是个已定式，它就是一。

这个人是个已定式，他不是那个一的无穷大。你要想清楚，那么接下来我们再来看看下面一个人，你再看这个人，这个人是多少呢？真是一一斗无穷大。但是它是最简形式吗？它不是，所以在这种当中答案等于多少e的极限符号照抄头顶照写d- 1e的四次方。能学会吧，你像这种题啊，你就可以秒了。你做的这种题难度系数非常的低，你像考研过程当中，

如果考这种事情就是送分题，你要有这种自信心。为什么别人做的慢，那是因为他的方法用的不好。另外一个事情，我相信我们的考题不会的，因为你发现我们考的题都是选择题。诶，选择题你会稍微的进行去漂一下选项，这里面当中啊，一定要注意啊。不要少了一。对吧，不要少了一。有些同学做题的时候就非常懒，

他说这个答案等于e的AA等于极限符号照抄头顶照写d- 1。然后等于四好，最后填空题答案填了个四废了。等你最后一看答案，我操，不是e的四次方吗？所以你发现答案是e的四次方，那就悔恨不已了。就非常难受了，不要把这人忘了，所以每次过程当中，你看我写的时候，我都把那个e给你带着呢。你听懂我的意思吗？你看每次过程我都给你带着呢。

我没有给你进钱少。因此，在写的过程当中，我们把这个e带上它。不要少了，少了这个东西就尴尬了啊，但是我们考的题啊，都是选择题，很难这个出错这种点对吧？眼睛一瞅诶，有意义体现了自己啊，不要忘了少掉这个。也不要忘了，今天周老师说过这句话好了，这个点我们就讲到这儿，

那么接下来继续吧啊，再往下走。那么，接下来我们来看看几个题啊，我们先来看看这里面当中三点八这个题，把这题啊，我们先来做一下。好，先看看这个题目。这个提前处理一下。拿到极限先干嘛？拿到极限先定型，所以首先第一个事情我们来操作一下，把刑天定下。一定这是多少呢？

cosine这是一。然后这人是零罗因零分之一，这是无穷大。所以告诉我个事情，能不能直接用结论当然可以的，答案就等于多少e的极限符号照抄。头顶部分照写，然后是敌减一。那么，接下来告诉我个事情，这两者之间能不能等价？可以吗？当然可以，因为同学们，你要看帽子，

帽子在这儿，这两者之间是乘除法，当然可以等价。所以首先第一个事情，这类目当中，罗隐一家框立即挡下五小框，那这人是s方分之一。然后这个部分呢，是负的二分之一x方，因此这个题的正确答案等于e的负二分之一。好，这题就出来了，你看这个题，你在往年真题当中啊呃，这是数一数二数三，

同学们考的题，当然现在而言，这个题完全可以考成我们这道题。你在很快的时间内就把这个题的答案做出来了。你像这个题啊，曾经过程当中是四分，你现在考给我们这个题啊，完完全全可以出成我们一道题，没有任何问题啊。因为你看我选的这些题都是我们可以考的。好，这是我们讲的这个三点八这个题来继续吧，再来做下三点九这个题啊，把这题处理一下。那么，

这个题首先第一事情你还是先定型，要不然这样吧，我们要休息时间，然后我们稍微的休息会儿吧，可以吧啊，这个体字啊，不是休了好，我们稍微休息会儿。休息会的话，你下课休息的过程当中，把这题完成一下。把这个题做一下，我为什么不把这个标给你去掉呢？原因非常简单，我想增加一下你的自信心啊。

你看这是十分的题，稍微休息会儿吧，一会儿我们继续把这题完成一下，三点九这个题啊，好同学们稍微休息会儿，一会儿继续啊。

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