排列组合-基础自测题-问题求解（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:13:33

好，下面咱们看第12题，这个题这里考点主要考察大于某个所给的数的六位数或者小于某个所给六位数，好在这里面大家呢，要注意考点它的就是查字典。查字典从高到低逐一查字典好，那什么叫查字典？比如说咱们查一个英文单词是吧？所以在这里面好，那么你查一个英文单词，查一个英文单词是不是先看前面的开头？字母啊，好前面开头字母呃写出来了，比如说查这个数学这个单词math好，那么你是不是首先看这个m？

开头的是吧？好m查完后，然后再找a开头的，然后再找t，然后最后再查，所以这个查字典从高到低啊一个查。啊查这个。呃，单词一样好吧，所以在这里面大家呢，要知道它的做题的方法好，那下面咱们来看一下啊，要大于它的大于它的，我们先看高位，高位大于它高位，

大家发现只要比三大的。啊比三大的，所以说在这里面啊个十百千万十万好，就看十万位。十万位的话就是。六位数对吧？十万位十万位，如果要取四跟五这样的，所有的六位数是不是都？比它大呀，所以在这里面大家看看它这个特征是吧，所有六位数都比较大，所以在这里面大家可以发现十万位就相当于c二一，然后乘以一个剩下五个数可以随便排，看看这个是不是学会了？

240。是吧，也就是说这十万位最高位取四也好，取五也好，那剩下这五个数，它可以是随便排，这样就写出来了，看这个是不是学学好了？好，那接着咱们再查看查万位万就说明最高位就是三再看万位。再看万位好吧，最高位三，然后再看万位好，那么万位的话，在这里面大家可以看万位，

它的特征是什么呢？万位。外面的话，原来万位是不是四啊四的话，那么比四大的啊，先看比四大的比四大的只能是五了是吧？只有这这一个数，外面它只有这一个数就是五嘛，没有其他的情况是吧五？然后剩下四个数全排对不对？剩下四个数全排就得24，看这个是不是学会了？好吧，当然这个一也可以省掉啊，我写出来就代表是万位，

它只有一个比。四要大的好吧，然后再看千位。千位好，千位就是十万位，是三万位，是四，然后这个千位。好千位比五大的千位千位，大家发现千位是不是现在是五啊？比五大大的没有就是零。是吧，比我大的没有没有就就就零个，然后再看百位。再看这个百位百位的话，

就十万位三万位四。然后千位是5000位是五啊，然后这个千位是五，然后百位百位比零大的数看百位比零大的数百位比零大的数只能是一跟二。那为有同学为什么不能用三呢？因为它人家说的是无重复数字的数，对吧？不能重复，不能用三啊，所以比零大的这个百位只能取一和二是吧？所以百位由两两种取法对吧？百位由两两取法，所以剩下两个数呢？那在个位和十位可以随便排，随便排，

这是八个是吧？就八个这样就写好了啊，八个这就可以写成c二一。然后呢，乘以二阶乘，所以就得到四个，看这个是不是学会了c二一就代表百位可以取一二就两个挑一个啊，就c二一，然后乘以个二的阶乘二的。阶乘的话，在这里面就个位和十位，剩下两个数可以随便排好吧，好在这里面就写好了，然后最后再查到这个十位。查到十位的话，

那在这里面我们可以看一下，就三四五零。好十位比一大的数，是不是只有一个啊？因为十位大家可以发现，原来是不是一呀一比一大的数，是不是只有一个？嗯，没有其他的吗？你因为不能取三，也不能取四，不能取五，它不能重复啊，所以唉，十位它比一大只有一个，

那个位它也只能有一种方法，个位只能放那个一就就这一个。是吧，好，那这个就查完了啊，查完了就没了是吧？所以在这里面大家看是不是就学会了？好吧，所以把这几个加在一起，240+24+4，然后再加上这个一啊，就得到是二百六六九所以共。就269个这个呢，就选c选项，看这个是不是学会这叫做我们把它啊名称啊，

叫做查字典，就查一个英文单词一样，从呃高位到低位，一个个查，如果这里要求。改成要小于这个六位数有多少个？小于六位数的有多少个？在这里面大家呢？就也从高位到低位查。看十万位比三小的有多少个，然后万位比五小比四小的有多少个是吧，然后千位比五小的有多少个，反正就一个挨个查就行了，看这个是不是学会了啊，所以当然考试它不会给六位数啊考试。

可能给一个四位数或者五位数是吧？比比较简单的啊，它的这样分类就不不那么多，但这个思想大家一定要知道啊，这个很重要，叫查字典的一个策略。好，下面咱们看一下第13题，这个题好，这题考点主要考察就是选取问题取样。好男生24，女生20，从中选择三男两女，担任不同的班委啊，三男两女担任不同班委好，

这个不同班委会的组织方案到底有多少种？不同班委会的组织方案等于多少种？好在这里面大家可以发现，就是从这个24里面选三个，从20女生里面选三个，这样就就就行了，看这个学会没有？好学员，因为他要担任不同的班委是吧？担任部门，比如有学有数学委员，有英语委员，然后再乘以五的阶乘这个呢，就是相当于是排个序这个班委。还有排个序，

看这个是不是学会了就选d选项，注意它这个不是加号啊，因为大家一定要注意这个什么是加号什么乘号，这个我们反复讲，那么加号就代表完成的意思。好吧，乘号就代表活儿没干完，记住，只要活儿没干完，都写乘号活儿，一旦干完了就写加号，看这个题是不是学会了，是不是听懂了？好，下面咱们看一下第14题，

这个题这题他某小组有四名男同学和三名女同学从小组中选了四个人，完成三项不同的工作，其中女同学至少要选两名，每项工作都得有人做，不能说有空。那不同选选方法到底是多少？所以这道题又是考察取样，而且还要考察分配问题。取样还要考到咱们讲的分组和分配好，在这里面他说其中至少要有两名女同学，我们就要分类好吧分类啊，因为它有可能是。两个女同学，然后呢？就是呃，

两个男同学，因为他选四个人嘛，是吧？有可能是两个女，两个男，或者说三个女。一个难。看这个是不是学会了是吧？好，这这选好四四个人就取四个人好取四个人，因为要完成三项工作的话，我们要按照二一一分堆，对吧？就四个人按照二一一分成三堆。按照二一分三类，

这个一定要把咱们前面讲分堆的方法听的听一听啊，分堆它就可以写成c四二c二一c1，一定要除以二的阶乘是吧？当然咱们讲了，如果都是一的话，可以省略，因为这个分子分母就可以约掉直接。写c四二这样也可以，所以直接就乘以c四二就分成三堆，分成这个分堆。分成三堆，分成三堆以后，然后呢，给它安排三项工工作，就排个序，

这个安排工作。排个序，这样就可以写出来答案，这个算就等于792答案就求解出来好看，这个题是不是听懂了啊？我们一步步来。首先第一步，我们看取四个人，他有多少种取法取四个人，女同学至少有两人可以是两两。两女两男也可以写三女一男是吧，所以说在这里面它取四个人，然后呢，再乘以一个c四二c四二的话就相当于是把这四个人要分成三堆儿。按照它的三项工作分成三三堆儿，

然后再乘以剩下三的阶层，三的阶层就代表是好，那么它的这个要排序工作，要排序看这个是不是学会了？是不是弄明白了？好，下面咱们看下第15题，这个题好，那这个题的考点主要考察有终止条件的取样好吧，所以在这里面大家呢，要知道它的取样方式。考点也是考察这个取样。就像他说呃，这个某种产品有四只次品和六只正品，每只产品均不相同，

且可以区分啊，就相当于次品呢，是不一样的正品呢，也是不一样的。好吧，都是不一样的，而且呢，可以区分出来啊，很明显看出它是不一样的，每经每次取一支来测试。直到四次次品全测出为止好吧，这个停止则最后一支次品恰好在第五次测试时发现的不同情况数到底是多少？好在这里我讲了，这是第一次，第二次，

第三次。三次第四次第五次。那这个写上有终止条件，它的取样有终止条件，它的取样情况好吧，有终止条件，它的取样好，那最后一支次品在第五次发现啊，这第五次一定是。一个次品，然后说明那么前四次还会出现三个次品，对吧？还会出现三个次品，一个正品，看这个是不是学会了是吧？

所以说那么前四次里面会出现三个次品，一个正品，看这个是不是学会了？好，那在这里面，我们呢就写一写它的这个情况好，那么次品的位置是什么呢？次品的位置？好，先给次品定位置好吧，定位置，因为次品第五次它一定得放一个次品，对不对？前四次选三个位置选三次，比如说选的是一三四选这三次。

好，这样话那么次品的位置是不是都写好了？看一三四+5那这个说明这四次是次品，但次品它又是不一样，所以乘一个四的阶乘就四个次品呢？它就是可以进行排序的，看这个是不是学会了？好吧，就是先把次品它的座位儿啊，给它。写出来写完以后，然后呢，我们把四个次品往那座位放的时候，它可以进行排序，可以交换，

然后剩下还有一个是正品，对吧？还有正品从六个正品里面选一个正品。这样就可以了，好看这个是不是学会了这个就算的是576这个答案就选择c选项，看这个知识点是不是弄明白了好吧，所以通过这道题，大家要掌握的做题方法是什么呢？我们来看一下。就是从这个先把次品的位置写出来，写出来进行排序，然后呢，再把其他的正品再往往里选。这样就行了，看这个题是不是听懂了，

是不是学会了？好，下面咱们看一下第16题，第16这道题主要考察不含某数字，不包含谁的一个？分析啊，不包含。某元素，它的这个情况好在不大于1000的正整数中，不含数字三的自然数的个数到底有多少个不含自然数的个数在不大于1000不大于1000就小于等于1000。这个正整数由于这道题小于等于1000的正整数，它有可能是一位数，有可能是两位数，有可能是三位数，所以在这里面我们就可以分类好吧，

就看一下一位数。好一位数不含三的就是一到九九个，然后再减减掉一个，所以就就是减掉一个含三的就是八个是吧？就一二三四五六七八九。然后减掉三就得到是八好吧，然后咱们看两两两位数，两位数不含三的话，大家看这个两位数这个十。十位十位要不含三的话，在这里面它就是c，因为十位又不能取取零啊，不能取三，所以就c八一这就十位，然后再看个位。

那个位个位的话，那么只能从个位可以取零啊，只能从零到九里面去掉三就是c九一就得到72个好吧，就得到72个。看这个是不是学会了就得到就72个就写好了？好，这是它的这个情况，然后咱们再看三位数不含三的啊，三位数不含三的话，那么在这里面我们看啊，这个千位千位的话只能是c。八亿c8亿，它不含三的不含三，比如说千米，它可以取四啊，

可以取五，可以取六啊等等的。注意它这个不大于签证的时候，它可以重复啊，比如说什么叫可以重复，比如说千位是600位是60位，它也可以是是六好吧，只要不含数字三都行啊。所以说这个十位它的选取就c9一个位，它选取也是c九一，看这个是不是学会了？好吧，这个等于648个，看这个是不是听懂了？好吧，

就c8a×c九再乘c9等于六六百四十八个。八八个，然后在这不大于1000的注意，还有一个四位数就是1000，很多同学做到这不要少选一个。四位数就是1000，就是这个就是一个好吧，看这个是不是学会了，所以八+72再加648再加一就得到它的这个结果了，就得到七二九这个答案选e啊。不要选择728好吧，这是给大家强调的，不含数字三，它的个数的情况好，那么有同学说我能不能呃从我反面考虑含数字三含数字三的话，

这个也行，用总共呢？啊，用1000个数减掉含三的，这样也可以做好吧，所以在这里面有同学是不是问含三的反面？含三的情况，含三的情况，在这里面，大家可以看出总共是1000个正整数，对吧？小于等于1000，这个1000个数用这个总情况1000个数减掉含三的。含山的话，咱们看一下啊，

那么个位含山的十位含山的那么啊，就是一位数含山的两位数含山的三位数含山的都可以是吧？所以在这里面我们来看一下一位数。一个数含算就一个是吧？就就三啊就三，然后两两位数。两位数含三，两位数含三的话，要么百位含三，要么十位含三，要么百位和十位都含三是吧？所以如果百位要含三的话。大家可以发现啊，这个个位它可以从零到九可以有十种是吧？如果就是啊，

十位要含三的话，那么这个。个位个位的话，它可以从零到九嘛，十种情况好，如果个位要含三的话，个位要含三的话，个位要含三的话，那么这个。百位它可以，十位可以从一到九是不是九个啊？但是再减去一个啊个位和十位都是三的情况好吧，这样就18个看这个学会没有，就是我再说一下十。十就代表是十位，

固定是三个位，它从零到九有十种取法，所以说这就十，然后这个九代表什么意思？九的话就代表个位，它为三。然后十位它可以从一到九，所以它有九种，但是这时候它又重复了，都重复了33，这样的情况，所以要给它减掉好吧，这是两位数的情况，然后咱们再看三位数的情况。再看三位数的情况。

三类的情况在这里面，大家呢，要看懂，如果百位要是300位，要是300位要要是三的话，那在这里面，我们来可以看一下它这个。十位它有十种情况，个位它有十种取法，是不是就一一百种情况？看这个是不是学会了就是？十位它有十种情况，个位它有十种情况，就是100种情况，看这个是不是学会了啊？

是不是弄明白了？好，然后在这里面，我们再看一下。看一下好这个十位啊，十位它要为30位要为三的话，在这里面我们来看一下它的特征多少，十位要为三。好十位要为三的话，那么它啊，这个百百位的话，它可以是一到九是吧？一到九。然后各位话它又是零零零到九，对吧？

它就是零到九，所以在这里面看这个是不是学会了？好，然后咱们再看个位为三的情况，个位为三的情况，好个位要为三的时候，那这个。百位只能从一到九是吧？百位它只能从一到九啊，只能选一到九的，这个情况是吧？一到九，然后这个十位的话，十位它可以选什么呢？可以选。

啊可可以选，然后零零零到九，它可以选零零到九啊，这样的情况，但在这里面大家注意它这个100个和它这个90个和它这90个。是不是都含有三三三是吧？所以在这里面它都含含有三三三，因为这个百位为三的时候，个位和十位它两个都有可能。去去掉三是吧？所以在这100个里面，它包含了33好，然后在这里面这个如果这个十位要为30位要为三的话，百位和个位随便取的时候，它也会出现。

33对吧？你会出现33。然后的话，然后它这个。个位为三，个位为三的时候，那么十位和百位随便取的时候，它也会出现33，所以33它算了三次，所以要要减掉三。唉，要减掉二是吧？要保留一次减掉二，这样就可以写出它的结果好，那在这里面大家可以发现这是九十九十就是180，

180，180，然后呢加上。100就280，280，然后这个278。是吧，这是278。然后这样就写出来了，看这个是不是学会了，是不是掌握它的做题的方法好吧，所以这个90+90，180，180加这个二百八二，280，

280-2。就278好，278然后呢？在这里面好，那这是一一位数含三的，有一个是吧两位数，然后这里面。有18个好，这有19个。19个，然后再把它这个加在一起，这样就可以得到它的结果了，好在这里面看这个是不是学会了，是不是掌握它的做题的方法啊？好，

那在这里面，我再给大家进行强调一下它的特征和内容好吧，所以我把这个式再给大家先介绍一下啊，看是不是听懂了，所以有同学从含三角度含三数，数三角有可能含一个三，有可能含两个三，有可能含两个三，有可能很。含三个三，所以在这里面呢，大家呢，要写出它的方法好，那么一位数含三呢，就一个一定要知道。

啊，它就一个好，然后呢，两位数含含三的，两位数含三的啊，有可能是。啊，十位含三是吧？所以在这我解释一下，十位是三个位，它可以是从啊零到九。啊，来来进取。这时候呢，它包括了这个33是吧好，

然后呢，或者说个位含有三个位，还含有三这个百位可以从一到九。来来进行选，它又包含了33，所以在这里面大家呢，要知道它的做题的方法，看这个是不是学会了好，然后在这里面我们再看一下三位数含三三位数含三呢，这块儿呢就稍微难一点，给大家进行解释一下。啊，如果是百位是是三。百位是13，百位是三，

这个数呢？可以从零到九选这个数呢？也可以从零到九选。听听懂没有，从零到九来进应选，所以又从300到399啊，300到300。99啊，在这里面大家呢，要知道，所以这个其实这个就相当于从300到三百九十九九十九啊，这个啊，总共有100个含有三的。对吧啊，100个含有三的，

看这个是不是学会了，是不是弄明白了？好，那在这里面好那么呃，第二个第二个如果十位含有30位含含有三的话，在这里面十位含有三，那么前面呢数可以从一到九来进行选。是吧，一到九来来进行选，然后各位它可以从零到九来进行选，所以在这里面它从一到九进行。进行挑从一到九进行挑它当，当然也有可能挑到三呀是吧，所以也有可能挑挑到三。所以在这里面，

它呢，也有可能出现这个三好，出现这个三，然后它从零到九挑它也可能出现这这个三。是吧，所以在这里面大家呢，要注意它这个十位要为三的时候要掌握它的做题的这个方法，看这个是不是学会了？好吧，所以它呢，这就会出现这个重复的这个情况啊。好，那么在在这里面，如果个位要为三个位要为三好个位要为三的话，那这个百位是从一到90位呢？

是从零到九啊？零到九零到九，在这里面大家可以发现，如果个位要为三的话，那么在在这里面这个十位，它有可能。取到三是吧？十位，它可以取到三，然后这个百位它也有可能取到三，另外在这里面它重复的不仅是三三三了，所以在这里面大家可以看它重复的内容。就不仅是是33，所以在这里面你可以看一下，那么第一种就是百位为为三的时候，

那它跟后面这个三的时候你看，比如说它可以出现三二三三。四好，那在这个情况的时候，它有可能出现三三四，你看到没有？所以在在这里面就在第二种情况就是这个。我把这个它画上红色，大家可以看出好，这是百位固定为30位固定为三和个位固定为三好，大家可以发现在百位固定为三的时候是不是可以出现三三四啊？然后在十位固定为三的时候，它也可能出现三三这个这个数选一个四，它也会出现重复是吧好？然后在这里面，

大家可以看，如果它这个呃同样这个道理，这个道理的话，它这个三三四它都已经出现了重复，所以说这个三位数的时候，大家用这个角度来减的话，就容易出错，所以我要给大家进行强调，所以有同学做到这。发现呢唉，怎么做的呃，不好解呢，在这里面我们换一个角度来进行思考，我们换为含一个三的，含两个三的和三个三的，

这样话就不会出错好吧，好，那么在这个三位数里面含一个三的。含一个三呢，要么个位为30位为300位为三，就其他都不能为三了是吧，然后再讨论还有两个三的再讨论，还有三个三的。那这样的话就可以写出它的这个结果了，好吧，所以这个我们就可以换另外一个方法好，如果还有一个三，还有一个三，如果个位要为三。或者十位为三，

或者百位为三啊，如果要百位要为三，其他都不能为三。所以百位要为三，其他都不能为三，这时候呢，就是个位和十位，它只能是九乘。乘以九是吧？这就相当于是百位，它为三个位和十位，不能为为三。好，或者说十位为三啊，百位和个位，

它又不能为三，所以在这里面啊，那么在这里面它不能为三，不能为三的话就是八乘。乘以九，因为它又不能取零嘛，是吧？所以就不能取取零好，那加上如果个位要为三，其他两个数位，它不能为三，也是八乘以。乘乘以九是吧？好，这是一个三的情况，

好，另外咱们看如果含有两个三，另外一个数不能为三，如果前两个数要为三，前两个数要为三的话，在这里面我们就可以写出来它个位，它只能是九。九九个数是吧？好，然后或者说什么呢？或者说那么。百位跟个位为30位呢，它也是九九个，然后再加上什么，再加上如果个位和。

个位和十位，它为三两个三，如果两个三的话，这个百位它只能取八个数，只能取八个数，这是含有两个三，然后再加上含有一个三的。啊，这样就可以写出它的这个结果，看这个是不是弄明白了好吧，所以在这里面大家看看是不是听懂了，所以这样讨论呢，就稍微麻烦点，从含酸的角度来说的话，大家不要讨论错了。

啊，不要写错了，这是给大家强调做题的方法好，另外在含酸的角度，还有一个简单的一个一点啊，就是分为一位两个三位之外，还有一个简单点的，因为这样分的话，我要给大家进行强调，因为有同学这样做。在做的时候不要出现错误好吧好。那么，我们来看一下这个，这个其实也很好算啊，你看这是这是八×9+9是九×9是吧？

然后这个。啊八×9+9也是九×9，后面又是一个九是吧？所以后面它又是又又是一个九，所以在这里面大家可以发现这个是九×9+9×9再乘。加九次。乘以九再加一个九是吧？所以说在这里面，其实这个算的话倒很好算啊，很好算，然后这正好正好是九×9。九乘乘以九×3，然后再加九，正好等于28个九是吧？二十八九所以八九七十二进七。

嗯，二九十八二百五十二好，252加上前面的这个一跟这个18+1个十。19正好是271个数好，271个数，然后用总共的1000，总共1000呢，减掉271就得到729了。是吧，因为总共是1000个数，也能得到e选项，这个答案好吧好，这是它的这个做题方法，另外在这里面我们还可以用一个简单一点的方法来来进行做，然后大家想想刚咱们是按照一位数两位数三位数来讨论的。

其实大家可以发现，如果这两个数都取零的话，其实是不就是一位数啊？对吧，你看这两个数，它都取零是不是就是不是就相当于一一位数啊？对不对？这样是不是就简简单一点？是吧，反正这两个都取零嘛，都取零，所以这时候呢，你就让这个这两个都可以取零，这不就行了吗？所以说我们看一下含一个三的含一个三，

这时候啊，注意它们的。都可以取零，但不能取三啊，不能取三，所以说含有一个三，如果三要放在个位十位。百位那么其他数字呢啊，就是相当于c三一c三一这个代表三可以放在个位十位百位啊，那么它有有三种方法，那么其他两个数位都不能取三，但是其他两个数位不管是百位也好，十位也好，都可以取零。啊，

都可以取零，所以说就是九×9是吧？所以这样就写出它它这个结果了。好，那这是一个三的情况，然后咱们看两个三看两个三的时候，两个三的时候，大家可以发现啊，如果这个百位为零，是不是就是零三三呀？就相当于是。两位数嘛，所以在这里面好，那我们就c三二c三二就代表是这个三个数位选两个数位，把两个三放到里面去，

剩下那个数呢，只能是从零到九去掉三。来来阴血就三乘，乘以九是吧？所以在这里面大家看是不是学会了，然后再看还有三个三。三个三的话，那只有一个数，所以这个加在一起，这两个加加在一起就是270。是吧，这个加在一起就是二百七二百七，再然后再加上一就共271个271个，它总共不是1000个吗？1000个减271就等于729。

好，这样写也是e选项啊，所以在讨论含有三的时候比较难给大家进行介绍一下，所以这道题就给大家全方位讲解了，然后不含三，我们应该怎么做，然后含三的时候应该怎么做，如果它在数位要不固定的时候。有可能是一位数。有可能两位数，有可能三位数的时候，这时候大家呢，让它的高位有可能取零。这样就不用再讨论一位数，两位数，

三位数，这样要简单一点，看这个是不学会了。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册