定积分的换元法和分部积分法

罗泽兵 · 发表于 2024-3-31 03:32:27

各位同学大家好，今天我们在学习第五章的第三节定积分的换元法和分步积分法。在这之前呢，有个定积分的计算，我们主要学的一个方法就是利用牛顿男分子公式来计算定积分。但是也有很多积分用牛头男公式并不方便，所以我们在这还要介绍另外两个常用的方法，就是换元法和。和分布基本法。首先，我们来学习定积分的换元法。那我们知道不定积分不是有换元法吗？定积分呢？那这地方相应的换元法是什么？为什么要讲这个换元法？

那我们在这看一个例子，比如说零到a根号的这个a方减x方dx。那有同学就会问我们不是有牛顿难度的公式吗？哦，那这个a到b小于f的积分。就等于谁啊？就等于这个原函数在上限的值减去原函数的下限的值。你给了我这积分，那我先做谁啊？先做这个不定积分。用谁用我们不定积分的化原法，从这个不定积分就可以找出大f，找出大f以后，然后再代算值。那么，

这样两步第一步不定阶段的换元，第二步牛顿来自公式不就做出来了吗？可以，但是大家注意啊，你在用不定积分的化原法，你x=asi net做出来是t的函数。最后在这儿要用，你还得再换回去，就得反带回去。那所以呢，我们就想能不能直接做换元，不用反代。所以这个定积分换元法，直接用它的优势就在于直接做变量代换，不用反代回去。

所以我们这要讲电解分的化验法。而电解分化学法呢？对f的要求就是在这个区间上，它是连续的。做的变量代换是谁啊x=p hit啊，这个时候把变量x要换成t。那这个要求x=p hit，它要在这个范围内有连续的导数。并且呢，它的值域。正好要属于I的这样一个有定连续的这个区间上。这个时候呢，我们令x=p hit以后，这个时候就把x用p hit换掉。dex呢，

就用phi 1撇TD替换掉，这被随式就换掉了，然后注意还要换上下限。下象限是个对应关系啊，如果当t等于阿尔法的时候x刚好等于a。那如果当这个t等于贝塔的时候，这个x刚好等于b，所以这个上下限是个对应化。所以电子积分这个边上带换，你看把x换成t以后，它不用再反带回去。比这儿那直接用不定积分分布，再用牛顿的公式要来的方便。好，那么在这呢，

下面我们来看，比如说我们计算这样一个基本。那这个地方的麻烦当然是这个根号了，那为了取得这个根号，我们可以做一个谁啊？三角代换。加上我们在这呢类x等于谁呀？a乘上谁sine的t？那么在这呢，注意我们因为这个地方呢，就是最后要出来把一个平方开方，所以我们在这对这个t呢，加一个限制。那注意你这个x呢，它本身应该在哪里变化？

是在零到a。这个范围内是变化的。x的零到a范围的变化，那我们这个t呢？这要限定在谁啊？限定在零到谁啊？零到一。t在零到1 sine，这个时候呢呃t是零到二分之派啊。大家看呃，我们把t限定在零二分之派。那么这个时候呢，这个s in正好是零一变化，所以乘上a以后这个x刚好是0a变化。然后完了以后呢，

我们就把它代进去，原式就等于。先放倍积式，把这个里边的x就用a×si net换进去，那这个时候里边呢是a方cosine方。但是在这个范围之内，cosine是正的，所以cosine方就开出来，所以这就是a乘上cosine的t。然后dx呢？那就等于a cosine tdt，所以这个dx就用a cosine tdt把它换掉，这倍斜线换掉。然后换上下切。大家看当这个x=0的时候，

对应的就是t等于谁啊零，所以下限对下限当x=a一的时候。那sint=1，那就是t要等于谁啊？二分之派。这样子，通过这个变量代换，就把原来关于x的定积分化成关于t的定积分，如何算这个积分呢？那这个时候注意这儿前面呢，是一个a的平方。那后面这个呢？cos平方tdt那cos平方tdt它可以写成谁啊？写成一个二分之一，所以这个地方可以写成。

二分之一零到二分之派，然后这儿可以写成谁一减去啊一加上。啊，因为这是cos 1，加上cos的谁啊？2t，然后底的t。这个时候呢，原函数也很好找，这就是二分之a方，那么里边呢，就是t，然后再加上二分之一的。s in的2t，然后带零带二分之派。

那这个时候带二分之派进去，这个等于零，这个是二分之派，所以就是四分之派a方。然后带零进去，质量都等于零，所以最后就四分之派a方，这就算出来了。那这就是非常典型的用定积分的化约法来做这样一个积分，那这个时候比用不定积分的分布，再加牛顿它的公式。就来的方便。这是我们要看的第一个例子。下面呢，我们再看第二个例子，

走这样一个积分零派根号s in方减s in五次方。那实际上呢，大家看这个里边实际上是谁，它可以写成零到派，然后根号里边。这地方提一个s in立方。如果把sine立方提走，这是个一减sine方。一减sine方就是cosine平方。但是注意这个平方开方是要加绝对值的。因为在零派里面cosine是有正有负，所以加上绝对值，你还得去那怎么去呢？得分两段就是零二分之派。那这一段上呢？

那这个地方就是sine的二分之三次方x。然后cos x直接开出来。但是后半段呢，cos平方是个负的，所以平方开方应该是负的，这就是二分之派到派。然后是sine的二分之三次方x cosine xd x就平方k方要加绝对值，但是要达到绝对值的分区间。然后完了以后呢，我们看这个地方。这个cos可以凑底s in，所以原函数就是谁啊？就是s in的二分之三加一，二分之五x。前面呢，

就得五分之二，然后带零带，谁带二分之派？后面是一样的，那就是减五分之二，然后是sine的二分之五次方x。这是带二分之派和派。那这个具体带一下算一下，这个具体的过程，我们不在这看了，最后答案就是五分之四。当然这个题呢，这样做是一个传统做法，但是也可以把它做的更快一点。怎么能够把它做的更快一点呢？

你看它这个地方只出现了sine。然后是领导派。但是大家知道sine这个函数。它的零派的图形。确实哎。这是sin x。它是不是应该关于谁呀？这个二分之派是左右对称的。所以sine在零派零二分之派跟二分之派派是一样的，那所以它呢，也应该具有这样一个性质。如果这样做，就会做的简单，所以我们就可以得到它，应该等于谁等于零二分之派。

这段上切分的2倍。而在这一段上，做这个阶层的话。那这个时候平方开方就直接开出来，那就直接写成sine二分之三次方x。cosine xd x.因为零二分之派cosine是正的平方，开方直接开出来，这样子只算一项，那当然比刚才算的快，那就是五分之四。实际上呢，我们从这地方可以看出来，就以后这种地方就是零派f sine。这个都应该等于二倍的，

谁呀？零到二分之派，然后f的s in。这实际上是个一般结论，所以我们从这儿直接可以到这一步，那这样子算起来会更方便。这是我们要看的例二。下面呢，我们再来看例三做这样一个结论。实际上呢，大家看这个地方的麻烦在哪里？麻烦主要就是在这个地方是根号。在不定积分里边，我们是不是讲过这样的积分就是二的x，然后根号ax+b？

然后cx+d。dx.那么这个呢？我们一般方法是谁？就是直接等于这个根号等于t。那这个里边呢？就根式里边是两个一次式比注意我们这个根式里边就是个一次式，所以呢，这个地方是类似的思想。那我们就拿到这个题，以后啊，我们直接可以利用谁啊？这个根号的2 x+1。等于t两边一平方，那我们就得到谁2x就等于这个t方。

再减一。所以我们得到x等于谁二分之一的t方减一。那dx呢，就等于谁dx就等于t底的t。好，然后我们把它带进去，带进去以后我们就会得到谁啊？这个原式就等于。首先，带倍积是根号2 x+1，这就等于t上面呢？是x+2。x等于谁啊？x是等于它，所以x加二就是二分之一的。

t的平方减去一，然后再加上谁二，然后这个dx。等于TD的t。这就必须是换好了，然后得换上下限。那么上下限呢？大家看，一旦你x=0。那这个t显然等于几啊，1 x=4呢，二四八加一九就开放谁啊三？所以是一到三。这个时候大家看就变成这个积分一到三，这个tn下面就消掉了，

所以里边就是谁啊，里边就是二分之t平方。减一个二分之一，加上一个二，然后d得t。那么大家看，这是个多项式积分，这就比较容易算这个算的过程，我们不在这看了，最后算一下的话，最后就是三分之二十二。所以你看，对于这个地方来讲，就是做了这样一个变量代换，直接利用这个根号等于t。

最后把这个积分就化成一个非常简单的定积分的计算。这是我们要看的这个例三。下面呢，我们再来看。呃，说f它是在什么？在这样一个零一这个区间上是连续的。要证明谁零二分之派f sine等于零二分之派f cosine。那么，特别的零二分之派si nen方就等于零二分之派cosine n方？第二是证明这个结论，算这个积分，我们一个一个来先看谁呀，先看这个第一个的证明。那大家注意，

这是要证明谁呀？证明两个定积分相等。但是左右这两个电积分呢，别的地方都一样，就哪里不一样，就这儿sine这儿是cosine。所以我们就想做什么变量代换，把sine换成cosine呢？注意到零二分之派。那我们知道sine的这个二分之派减去x就等于sin EX啊。所以我们在这儿是不是可以利用谁啊x=2分之派减去t？那么，做这个变量代化以后，大家看这个零二分之派，然后f的sine xd x。

它就等于谁先后位倍积是。sin EX就等于sine 2分之派减t，而sine 2分之派减t就等于谁呀？就等于cos的t。然后dx应该等于负的dt，我先把它写成dt，这里嵌了个负号。那还要换上下限，大家看x要等于零的话t应该等于二分之派。x=2分之派，t就等于零，但是刚才嵌了个符号，把这个上下限一对掉。那是不是就是零二分之派？但是有同学说这是x你这是t，

那我们知道定积分的值与积分变量用什么记号没关系？所以这个的证明呢，就是只要做这样一个变量代换x=2分之派减t。这个证明以后，那我们就会得到零二分之派si nen方等于零二分之派cosine n方。好，这是第一个就解决了，下面呢，我们再来看第二个。要证明这样一个基本等式。大家看这两边呢，这个别的地方都是一样。就是这有个x，这里边没x在前面多一个二分之派。哎，

那怎么来证明它呢？证明积分等式比较多的都是用谁啊？变量代换。但是关键是选哪个变量代换呢？诶，这是s in，这也是s in。但是这是零到派。但是我们知道sine。派减x就等于sin x。所以我们应该令谁啊x等于派减t。因为这样定了以后，大家看左端就是零到派xf的sine xd x。它就等于谁，等于x就变成派减t。

那么f sine派减t就等于谁？就等于sine的t。而dx等于负的dt先写成dt欠哪个符号，注意还要换上下限。当x=0的时候t应该等于派。当x等于派的时候t应该等于零，但是刚才嵌这个符号上下限也对调，这就是零到派。但有同学说没证出来呀，但是这个时候你注意把这个式子再写，这可以拆成两项，其中第一项就是谁呀派可以提出来。这就是零到派f的s in的tdt。然后呢，再减去一个零到派，

这是tfboys in tdt。但是这个时候注意这个积分和这个积分。区间一样被积函数一样，就是用的积分变量不一样，那我们知道定积分的值与基本变量用什么记号没有关系。所以把这个移过去二倍的，它应该等于它。二倍的它等于它把2e除过来，那不就是我们要的这个结论吗？所以这个证明过程当中，核心还是用这样一个变量代换。呃，大家注意，有了这个结论以后，你看我们来算这样的积分，

就会带来方便。那这个地方你要直接算，大家看还不是很方便。但是呢，你看上面这个结论的意义，主要在这个地方，你看左边跟右边别的地方一样，就这儿不一样，这儿是个x。这没有x，但是前面多一个二分之派。那你注意我们这个呢x×sine一+cosine^2。那它能写成这个，因为cos方可以写成这个一减s in方，所以它属于这个类型。

那这个时候这个结论一用它的好处在哪里？里边这个x就没有了。所以我们用一下这个结论，我们就会得到零派x sin x1加上。cosine平方x。它就等于谁，就等于二分之派倍的零到派。然后上面就是sin x，这一下就是一+cos平方xd x。但是这个时候大家注意这两个。可以凑成谁负的底cosine x。所以这个原函数就可以写出来，就是负的二分之派阿克的tan的谁呀？cosine x.然后代零代派进去。

那这个就等于谁负的二分之派，然后再派进去。cos派是等于负一阿克塔定理，负一应该是负的四分之派。然后减去把零代进去cosine 0是一阿克达定理一四分之派减四分之派。然后大家看负号乘进去两个四分之派，一加是二分之派，二分之派，再乘二分之派。那所以最后答案就是四分之派平方。那么在这儿呢，大家注意我们证明的这个节呢，还有这个节呢，在电解分计算当中经常会用到它们会给我们带来方便。这是我们要看的类似。

下面呢，我们再来看这例五。f是连续的周期函数。并且以t为周期。然后证明a到a+t=0到t。那实际上呢，这都是一个周期，就是起点不一样，实际上从几何上想，这个结论是很明显的，就周期函数在长度为一个周期，任何区间上值都一样。但这个从数学上需要证明。证明了这个结论，以后再用这个结论来算这个积分。

首先，我们来证明它。那么，大家看如何来证明这样一个结论呢？那注意左边是它，右边是它也有同学，可能说做变量代换，实际上变量代换一换，你直接证证不出来。诶，那怎么办呢？那注意我们积分对区间具有可加性，你看a到a+t的积分。它得等于谁啊？就等于因为要让它出现右端，

就等于a到零的积分，加上谁啊零到t的积分。再加谁呀？t到t+a的结论。诶，我们要证的实际上是它要等于这个。这个时候注意我们把这个拿来，就是t到a+TF xd x这个阶段。做一个变量代换就是x等于谁呀t+u。这样子的话fx就是ft+u或者就u+t，它实际上就等于fu，因为这个t是个常数。dx呢，就等于du还要换上下限。大家看你x=TU就等于零啊x要等于a+t，

这个u就等于大t。所以这个积分实际上就等于零到t的积分。呃，这个地方七分就等于零到a，抱歉啊，零到a的七分。诶，这还有一个a到零的积分，零到a的积分和a到零的积分是不是正好差符号，所以我们立马就得到这个，就等于谁？这个就等于零到t，然后f的ud的u。这个阶段就证明了。当然，

这个结论从几何上看，很明显，那数学上证明可以这样来证明啊，这是关于这个结论的证明。然后完了以后呢，在这呢，我们来看这个用这个节能来算这个积分。当然，这个时候大家可能说了，那算这个积分诶，那这里边呢？这个sine 2x。可以写成二倍sine cosine，这写成sine方加cosine平方开方，但是你得加绝对值，

这个是零到n派。n个周期注意，这个s in 2x，所以使得它的周期就是谁呀派？那你这样的话，你要分区间拿掉，觉得就分的太多，所以我们做这个时候用一下刚才的结论。这是它在n个周期上积分，那n个周期就等于一个周期上的n倍。所以那我们就把这个零到n派，然后根号的一减sine二xd x。利用刚才的结论就写成n倍的一个周期零到派。那这个时候呢，这个里边呢，

我们刚才说了，它可以写成谁可以写成sin ex-cosine x的完全的平方。但是在这儿呢，按理说写出来应该是n倍的零到派这去掉平方k方要加绝对值。sin ex-cosine x。然后dx。但是，在绝对值基分啊得分区间，拿到这个从哪分，从这个里边等于零。这个等于零时在哪里？四分之派，所以这就写成n倍的零到四分之派。在零四分之派，cosine大于sine，

所以这里边写成cosine x-sine xa x。然后呢，在后半段那这个时候呢，就加上n倍的四分之派。到谁到牌？但是这段上呢，谁大是sine大，所以这可以写成sin ex-cosine xd x。这样子分别算这两个积分，这题就做出来，最后具体算一下的话，这个就等于二倍的根号二的n。所以这个地方我们证明了一个一般结论，那然后利用这个一般结论来算这个积分，第一步就是很重要，

用周期性n个周期等于一个周期上n倍。给后面带来了方便。好，这就是有关定积分计算的这个换元法。那下面呢，我们再看一个，比如说像这样的问题。这是个分段函数，要算这样一个积分。这是注意，这是fx- 1，不是fx，所以我们拿到这种题目以后啊，那我们首先做一个变量代换。也就是零二这个fx- 1 dx。

在这儿呢，我们令x- 1=t。这个时候fx- 1就变成ftd x，就等于d的t，然后换上根线。x=0，t=- 1x，要等于2t，就等于一。然后呢，注意在负一到一之分。这个函数表达式的大于零，小于零是不一样的，所以得从零点分开负一到零。所以这部分那所以这儿呢，

就应该是一+t^2分之t方，然后d的t。然后另外一段区间就是零到一，这属于这个xt是大于零带这个，所以这儿呢应该是ET。t加一分之一dt。然后呢，就分别算这两部分的积分，这部分大家知道给这减一个一哎，给这加一个一减一个一。那前面呢，一原函数就是t后面呢，减一+t^2分之一就减阿克。tant的t，然后带负一带零。

然后加上这个地方，这地方大家大家知道给这是不是加一个et- 1个ET？这样一消是一一的话，积分就是t后面呢，这个刚好能凑相等微分，所以是减。ln的谁啊？ET+1。然后带上下限带零带一。这个具体带的过程，我们不在这带了啊，具体带一下，最后可以算出的结果就是二减四分之派。然后呢，再减一个l引的二分之一加一。

好，那刚才呢？我们讲的内容就是定积分的换元法，我们在这也举了一些例子啊。但是这个定定的化学法核心就在于谁啊？这个变量代换的选取选谁？作为变量代换主要是根据被积函数的特点。好，这是我们要讲的第一个方法，换元法。下面呢，我们来看定积分的分布基本法。那我们知道在微分学里边，我们有这样的结论，就是底的uv。

就等于谁ud v，然后加上谁v底的u。如果我们这个是两边一切分a到b的切分，然后这里边呢是底的uv。好来写的好看一点啊，那就是说这个地方呢，里边是duv。就是d的uv。那就等于谁，就等于a到bud v加上谁呀a到b的。v的底u。那这个时候呢，注意我们。这个放在这边，把这个移过去。

移过去以后呢？那这个积分就等于谁就等于这个u×v带a带b，所以你看我们这样子啊。把这个留在这儿。那么这个呢？移过去，你看最后就是uv带ab-vdu。所以只要有一项就得到我们定积分的分布积分法。就是a到bud v=uv带a带b，然后减去vdu。当然，大家可能要问了，说我达到一个后什么时候用分布积分，如果要用的话，那就把谁先凑进去呢？

实际上，这个跟我们不定积分那个地方是完全一样的原理，什么时候用分部积分一般是两类被积函数相乘。但是这一把谁先凑进去？这个原则跟我们前面讲的不定，基本是完全一致的，下面我们再讲例子时候再说明。六位的选取，或者把谁先凑进去？好比如说我们来看这个题目。首先，大家看这是x这是个幂函数，这是个反三角两类不同函数相乘，我们说一般比较适合用分布。把谁先凑进去啊，

在不定积分里边，我们知道出现反三角都是把反三角以外凑进去。所以这个呢，我们错进去就写成二分之一，谁啊零到一阿克tant xd x平方。那么，这一分布积分呢？就等于二分之x平方阿克tan tx带零带一减去。二分之一这俩交换位置x平方，先出来注意这个求微分就等于它求导数，再乘dx就等于一加x平方分之dx。然后零一的七分。那么大家看这个后面一下就变简单，这个呢，上下限一代这个地方好做，

你给它上面加一减一。这个等项具体算的过程，我们不在这算了，那么最后算一下的话，这个题等于四分之派。减二分之一。这个问题的关键在于，第一，首先要想到分布是因为什么是幂函数乘反三角两类不同函数相乘。第二。谁先凑进去，出现反三角，包括把反三角以外凑进去，这是这个问题的关键。那下面呢，

我们再来看，比如说像这样的地方。单独一个烙印。那么也可以看出log n乘上一个常数。那这种呢，也是适合用分布。把谁凑进去，我们出现烙印以外，应该把烙印以外都凑进去，烙印以外已经没有了，都已经凑进去了。所以这个拿来就直接分布。那么直接分布，我们就得到谁啊？xl n的一+x。

然后呢？带零带一减去交换位置。这个x出来，这个ln求微分就等于ln求导数乘dx，那就是一加x分之dx。然后零一。但是它后面这个积分很好算，这个呢，就带上下限，这个具体过程我们不看了，最后就得到谁啊，四分之一。所以仅仅有烙印这种，这种也是典型的适合用分步积分的。好，

下面呢？我们再来看。这两个是相等，我们前面证过了，现在关键是这个值怎么来算啊？求这个in。好，那我们拿来注意这种in。就是这个跟n有关系，大家知道n越小值越好，算你看n=0就好，算n=1也好算。所以这种一般是想办法得一个递推关系式。如何得到这样一个递推关系式呢？好，

那我们看一下这个in等于谁？就等于零到二分之派si nen方。在这我们假定n是大于1n，如果等于一，我们立马算出来了。诶，那这样的话，我们就写成si nen- 1x，拿出那个sine跟dx写到一块，可以写成底的cosine。在前面应该有个负号，我们用一下分步积分，它应该等于负的s in的n- 1x。cosine x带零带二分之派减去，因为这个负号就变成加上。

那这个时候呢，大家注意这个现在要出来，这个就要求导。那这个出来以后大家注意，这儿应该有一个cosine x。但这个求导，这是不是应该有一个n- 1，然后这儿就是sine的n- 2次方x？还要乘上sin EX导数，sin EX导数又有一个cosine，所以这就变平方，然后dx这是零到谁呀？二分之派。然后我们看这个地方带二分之派进去，那这个时候呢？

因为cos。是等于零代零进去n大于1s in=0，所以这一项带上下限等于零，只剩下后面这个。但是我们如何得到这个递推关系式呢？因为大家知道这个sine方就等于谁，就等于一减cosine方，就等于一减sine方。所以你看这个地方就可以得到谁啊，就可以得到一个n- 1倍的。里边是不是就是si nen-2-si nen次方那si nen-2实际上就是in-2？减去si nen次方实际上也就是我们的in。然后完了以后呢，大家注意把这个负的n- 1倍的in移过来。那我们是不是就可以得到n倍的in就等于谁，

就等于n- 1倍的？an- 2。这一步我们就可以得到谁，我们就可以得到这个in就等于谁。这个in就等于n分之n减一倍的in减二。好了，如果我们这个地方再往下推一次，你看这是in这是n分之n减一，这in减二。那么这儿呢，就是n分之n减一，这应该写谁n减二分之n减三？这就是in- 4。那么这样子呢，一直推这个时候呢，

推到哪里去？那这个时候跟n是奇数还是偶数是有关系的？所以我们在这个地方来，我们可以得到谁？我们可以得到这个in就等于。好，那前面呢？是这个，那这是n分之n减一，然后n减二分之n减三。那注意，如果n是偶数。注意，这一次是推两个，看到没有？

最后就推到哪里来呢？那就最后这个地方推到二分之一的时候，后面应该是I零。啊，应该是二零，但是二零等于谁？sine零次方是一，所以I0等于谁等于二分之派。但是n如果是奇数的话，那这个前面呢？是n分之n减一。n减二分之n减三。最后这个对吧？会配到谁I1？但是IE前面应该是谁？

IE前面应该是三分之二。啊，但是呢，这个I1后面应该乘I1I1是谁就零二分之派si nine积分？但是零二分之派s in基本等于一，这就不用写了，所以我们最后就得到当n是偶数的时候n分之n减一n减二分之n减三。最后是二分之派，然后二分之一乘二分之派，那要是奇数，最后就到三分之二。所以以后算这种积分，那我们就直接用这个结论，不用再用其他方法仔细算了，比如说我们刚才在讲前面一个积分碰到零二分之派。

然后这个地方呢，零又二分之派，我们最后不是化成一个cos平方x，我们还用二倍角，现在就不用了。这个是偶数，所以这就是二分之一乘上谁二分之派直接写答案，四分之派给我们，很多题目会带来方便。好，下面呢？我们再看一个例子。零一x次方根号一减x方，大家知道麻烦就在于它。那么，

出现这种根号，不管是不定积分，定积分比较常用的是谁啊？变量代换，所以我们可以内。x等于谁啊s in的t？那这样的话，这个原式我们可以把它化成谁化成x是si net，这就是sine 4方体。根号一减sine方cosine方cosine方呢？那这个时候直接可以把它开出来，那这个就是因为它对应的范围应该是谁？你看连续对应的范围应该是零二分之派，所以cosine呢，在这个里边是正的，

所以这直接就是cosine t。dx呢等于cosine tdt，所以这是平方dt。当x=0的时候t=0，当x=1的时候t=2分之派。如何算这个阶段呢？剩下大家看它可以写成谁零二分之派，然后这是sine 4方体。后面呢，就是一减s in平方tdt。拆成两项，第一项是s in 4方偶数。n分之n减一，四分之三乘二分之一，再乘谁二分之派减去谁？

后面是sine六次方，也是偶数n分之n减一，这就是六分之五乘上谁四分之三。然后再乘二分之一，再乘二分之派。这都是用了刚才的结论。然后完了以后呢，大家注意，你看这部分。这部分是一样的。这是多少？十六分之三派啊，十六分之三派，最后剩下一个谁一减六分之五？一减六分之五是谁六分之一？

然后呢？这俩一消底下剩二，所以最后等于谁就等于32分之。指派，所以你看像这种地方，第一步先用一个变量代换，把它化成这个化成这个，再利于我们零二分之派si nen方。和cosine n方的结论计算就非常简单。好，今天呢，主要学了两个内容，一个就是定积分的换元法，一个是定积分的分布计准法。好，

下面呢，我们给大家把内容做一个总结。有关定积分的计算，实际上我们主要的方法都讲了。主要有哪些方法呢？一个就是牛顿难度公式，这是上次给我们讲的。今天我们讲了谁啊？我们讲了换元法。那这个换元法的核心就是变量代换的选取，实际上这个变量代换选取跟不定地方，那个地方原则是一样的。啊，那第二呢？就是分部积分分部积分跟不定积分一样，

那就是这个地方什么时候用？如何用？因为如何选取原则也跟不定期分配对方一样，那就是出现两类不同函数相乘用。谁先凑进去？那这个时候我们在不定阶段给大家专门总结过。这应该是计算电子积分比较常用的三大方法。但是，对一些特殊问题还是要特殊对待，那就是具有奇偶性，周期性。如果函数有奇偶性，那关于原点对称，区间上积分奇，函数积分等于零哦，

函数积分等于一半是二倍，这叫做利用奇偶性来计算。还有一个利用周期性。就是周期为t的周期函数，它在长度为一个周期的任何周期上积分值都是一样的。这是第四个方法。第五个方法呢，就是利用已有公式，这都是我们今天推导出的公式，就是零二分之派si nen方，零二分之派cosine n方。n是偶数等于它，n是奇数等于它。还有一个公式就是零派x fs in=2分之派，零派fs in，

这个我们也专门举了第一次。所以到今天为止，我们计算定积分常用的五大方法都讲了，就是我们以后计算定积分呢，这个常用的方法。主要是有这样五种。好，这就是关于内容的一个总结。那回去以后希望大家做一些练习啊，254页。第一题的第90，12，16，23，24小题。

第三大题还有这第七大题的第二七九十一小题。好同学们，我们今天的课就讲到这个地方，同学们再见。

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