解析几何-综合提高题-问题求解（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:05:00

好，第一个题目，它的考点主要考察啊圆的位置关系与这个圆外切。而且与坐标轴相切，这个动圆它的圆心应该满足下面什么样的方程好，这得考点是考察圆的位置关系。在位置关系里面相切是比较重重要的好，另外还考到了与坐标轴相切啊，与y轴相切。这个我们在讲前面知识点的时候给大家画过图啊，桌轴相相相切。好，那在这里面大家看一下这个情况啊，坐轴相切，如果一个圆要跟y轴相切的话，

大家可以发现。如果假如圆心是x0y0，圆心x0y0好，它的半径r就等于x0的绝对值是吧？就是与y轴呃相切，它的特征啊，只要与y轴相切，它的。圆的半径就等于x0的绝对值好，我们把它所给的圆给它配方，可以把它配成x- 2^2，加上y方就等于四。配成x- 2^2加y方等于四这样的一个情况。好，那在这里面，

大家可以发现，如果两圆要外切的话，外切的话就圆心距d啊，就圆心距。d就等于根号下这个圆的圆心坐标是二零点，这个圆的圆心坐标假如假如是x0y0则就x0-2^2，加上y0方。好原句d正好等于两圆的半径之和，这个圆的半径是为二的，这个圆的半径就为二。好，这个圆的半径是二，加上另外一个半径是s0，绝对值，注意这地方一定要有绝对值啊，

如果你要不带绝对值的话，这道题你只算出来一种情况，它其实有两种情况好做到这两边平方，把根号去掉。左边就变成x0-2^2，加上y0的平方，这右边就变成四+4倍x0的绝对值，再加x0的平方。好，那么把左边这个x零减二括号平方给它展开，展开后得到x零的平方减四倍x零加四。加上y0的平方=1个四+4倍x0的绝对值，再加x0的平方。好，然后在这里面，

大家就可以看到它这两边正好s0平方跟s0平方正好能减减掉。是吧，然后这个四跟四这两个呢，也就减没了，这时候遇到s0绝对值，遇到绝对值，我们这个时候可以分两种情况讨论啊。当x0大于零的时候，当x0大于零的时候，这个绝对值是不是直接就去掉了去掉，然后左边有个负的啊，一移到右边来就变成y0方就等于八倍的x0。啊y0方等于八倍x0，所以说这个x0y0这个圆心它落在什么样的方程呢？落在YY方等于8x上面是吧啊落在。

y方等于8x上面啊，落在这个上面好，然后在这里面，大家呢，还可以看出它的这个特征好，那么当x0如果小于零的时候。好x0如果小于零，那这个绝对值去掉是不是有个负号呀？有个负号这边是负的4倍s0是吧？这边也是负的4倍s0，这个四倍s0跟四倍s0就抵消掉了。也就是说，只剩下y0的平方y0平方等于零，就说明y0就为为0y零就为零，就相当于是它这个坐标在y=0这个线上。

就是x轴上好，这样就写出来，所以这样答案应该选择。啊，这个c选项看这道题是不是听清楚了？所以这道题不是很难啊，大家只不过看到这道题求轨迹方程啊，可能有同学呢，就是感觉很陌生，有同学不会做，其实这道题的话。啊，就是按照咱们讲的知识点啊，一点点的去化简这题的难点就在于动圆跟y轴相切，这个半径要会写，

此外两圆如果要外切的话，两圆的圆心距正好等于半径之和。然后来进行求解，最后一步，这s零一定要分为两种情况去讨论，找答案就可以了，好下面咱们看一下第二题这个题。好，这个题这里他说已知两点mn，然后给了四个方程，四个方程上存在p点，满足mp=np，它的方程到底有几个？大家想想就相当于这个p点。要满足什么？

满足到m点和n点的距离相等是吧？所以在这里面其实就是中垂线的一些概念啊，中垂线。啊中垂线啊，大家知道，假如这点是m点，这点是n点好，那中垂线上的点，这个直线l它到。mn的距离是相相等的啊，这个只要p点落在l上，不管在什么位置，到到m点到n点，它的距离呢，都是相等的。

看这个是不是学会了是吧，然后到这im点到n点距离一样。好把中轴线求出来，中轴线求出来，它说什么叫存在点p呢？这里面只要是它所给的四个方程，四个方程跟l有交点就行，跟l的那个交点就是它所求的p点，明白吧？如果这个所给的这四个方程跟l要没有交点，没有交点就说明不存在这样的p点，满足mp=np。好看这个呃，表达式弄清楚没有？所以这一方面考纵对线的特性，

另外一方面还考察位置关系。没有关系，看有没有交点，如果有交点，那说明就存在这个p点，如果要没有交点，就不存在p点好吧，所以在这里面要找它特征好，那接下来我们来看一下它的。表达式好吧，看看它的这个情况啊好，那我们首先要求中垂线，求中垂线，那么这个可以有两种方法，第一种方法呢，

你就是用mp=np。然后呢？用两点距离公式啊，假如假如这个p点坐标是xy是吧？然后到m点的距离等于到n点的距离，然后呢？用两点距离公式两边再。呃化简分析，只不过那样做就比较麻烦，我们下面可以找另外一个方法，另外一个方法就是纵垂线，就是直接写它的方程，首先求出km nk mn的话就是斜率，找到斜率找到就等于。二分之五除以一个五就等于二分之一是吧，

所以大家还记不记得前面讲了两点斜率公式是吧？用y坐标相减除，以x坐标相减，求它的斜率k。好，那么如果mn的斜率知道了l的斜率跟它是垂直关系，所以说斜率是互为负倒数，所以l的方程就用典型式来写方程，它的斜率就是负二，因为二分之一的负倒数就是负二。又因为经过mn的中点mn的中点坐标，大家会写吧，就两个相加除以二啊，就有两个相加除以二就是它终点两个相加除以二就是负的二二分之三。和零是吧？

这个x加上二分之三好，那这样就可以推出它的方程就是二x加y加三等于零，这样就可以写出来了，这是l的方程。写出来了，中位线方程，所以大家学会了没？如果已知两点，求中位线方程，那么有两个方法，第一个方案就用具体公式啊，两点距离公式mp=np，只不过这样两边在化简整理。啊，麻烦点儿，

第二步呢，就是根据它的斜率啊，用点斜式写出这个直线的方程好，那么接下来这个直线方程只要跟一二三四有交点，有交点的话，那么在这里面它。就说明存在p点好，第一个大家可以发现是平行的，对吧？因为这个是2 x+y+3=0，这个是4 x+2 y。这个斜率是相等平行平行的话，说明它就是无交点，无交点就说明不存在这样的pp点。啊，

找不到这样的p点，满足PM=pn好，那第二个第二个是一个圆圆心的话，我们要先算出圆心到直线的距离dd呢，就等于根号下，因为这个圆的圆心正好是零零点是吧零零点。好到这个直线距离用距离公式四+1，上面正好三，然后这个就等于三除以根号五三除以根号五，大家可以发现这小于这个半径r根号三。小于半径r根号三好，因为这个根号五是二点多嘛，是吧？是二点多，如果实在不不会算的话，

你可以把根号五乘过来。三可能小于根号15，因为这个三可以写成根号九对吧？三可以写成根号九嘛？是不是根号九肯定小于根号15？也就说你把这根号五给大家乘过来的话，就是根号十五三肯定是小于根号15的。所以说在这里面也可以证明它是小于半径的，小于半径说明这个直线跟圆是有交点，有交点那个交点就所求的p。好吧，而且这道题条件跟它是相交，而且是有两个交点，所以这道题第二个方程还可以写成存在两个点pp，可以找到两个点。

反正只要存在嘛，存在只要找到一个就行了，如果再具体一点问就可以找到两个点啊，有两个p点可以满足这个mp=np，然后第三个，第三个这个圆的话，大家可以发现它的d它的d呢也等于。三除以根号，五只不过就是大于半径一了。啊啊，就是大大于这个一，因为这个根号五是二点多嘛，三÷2点多的数肯定是一点儿多，所以大于一，所以这个就这个圆呢，

跟直线没有交点，没有交点说明不存在点p。好，第四个，第四个这个直线跟它说给这条直线呢，不是平行的，不平行就相交是吧，所以两个之间相相交，它是有交点的啊。有交交点，所以这道题建议大家选b选项啊，而且呃第二个方程可以找到两个p点，第四个方程可以找到一个p点，满足mp=p看这道题是不是学会了这道题考察知识点还比较全面？由于出条件重新判断题的时候就会考的比较好，

听到没？根据条件一和条件，大家呢，要会分析和思考啊。好，下面咱们看第三题这道题，这里如果大家遇到一个动点到两定点，距离最小值，大家一定要用对称求最值啊，这个我们在前面讲对称的时候强强调过是吧？就利用对称。求最值。啊，求求最值的方法，这里还考到了一些圆的，

一些相关性性质啊，好那么怎么想利用对称求最值呢？你要看到p点是一个运动点，到两地点距离之和最小值，那这是。时候呢，要找到对称好，那我们读一下题，如图所示mn是圆o的直径mn等等于二，就说明这个直径为二。对吧，直径为二，半径为一，然后点a正好在圆o上角amn等于三三度，这个角呢，

3度说明a的位位置呢，是在这儿。点b呢，为这个弧mn的中点弧m的中点好，这是弧的一半p呢是。直径上运动点p点是在这条线上运动啊，在直径上运动，它是一个动点。好，那求PA+PB的最小值，这时候呢，你就可以做b点，也可以做a点的对称点都行啊，好，如果做b点的对称点的话，

那这个就是b1撇。你做a点对称也行啊，好做的b1撇好，这个b1撇这个写好了，它要求PA+PB最小值，那我们就这时候就连接。AB 1撇，比如p点运运到这儿的时候，那么它这个aap+PB是最小的好吧，所以做一个对称点啊，这个咱们前面讲利用对称。求出一个最值，接下来我们要求出啊AB 1撇，它的长度是吧？也就是PA+PB，

它的最最小。就为AB 1撇是吧？最小值就AB撇这个红色这一段接下来如何来求这个呢？肯定要连接圆心呐是吧？是吧，所以这道题还用了圆的一些性质啊，连接这个圆圆圆心。因为大家知道这个amn这个角是30度30度，大家知道这个圆周角30度圆心角是它的。是它的两倍是吧？所以说这这个就六六度啊，就可以得到角a on就等于就角a on等于。二倍的角。amn.这就等于六六六度，

是不是这样的？好，如果这角60度的话，由于b点是中点b点中点的话，角BP NB pn如果弧要是一半，那它对应的角也是。它的一半就等于二分之一角a on。就二分之一角a on，然后这个就等于三三度是吧？好，所以这个角BP n是三度BP n三度啊，由于它这个是。啊，这个是对对称的是吧？就是BON啊，

就BON。BON有BON，它的30度，因为因为这个弧是它的一半，听到没有就BON BON呢，这正好是a on的一半儿啊a on的一半儿。好，那这个就是它一半儿，它要大家可以发现这一联的话，一联是对称的，对称的话是不是又等于角b1撇on？是吧，就是b1撇on跟这个BON，它俩都是三三十度对吧？都是30度。

好的，3度那在这里面，大家就可以看出上面这个角是6度，下面这个角是33度，所以6度加3度，是不是九九九十度啊？就可以得到得到这个三角形这块儿就比较难，大家有同学可能想不到。就三角形aob 1撇就为等腰直角三角形。等腰直角三角形，而且它的半径oa的长度ob 1撇，长度半径它都都为一。是吧，它半径它正好都为一都为一，这样AB 1撇就可以写成等于根号二倍的半径r就等于根号二，

所以正确答案就选择d选项，答案就求解出来了。好看，这道题是不是学会了这道题以后大家记住，如果某个点在一条直线上运动，比如p点在这个直径上运动，它到两点距之和的最小，值得要做对称来进行分析，找到对称的方法。是吧，利用对对称来进行求解就行了，好那么这道题还考到了圆周角圆心角还有弧。弧是它一半角度，是它一半这样的一些性质来进行求解的，看是不是听懂了好，

下面咱们看第四题。其实第四题跟上一题考点差不多，也是动点p与两定点距之和最小。求p点的坐标到底是多少？在这里面，大家有掌握对称点就就行了，好吧，也就说这个线。然后这个这个点假如是a点啊，这个点假如是b点是吧，所以a点。和b点在这里面，大家呢？写出来以后，我们呢就可以看出它的这个方法是吧a点？

然后。b点，然后这时候呢，你做谁的对应点都行，做a的对对应点也可以是吧，做b的对应点也行，然后这样就可以看出它p点运动到。运到这个位置的时候啊，那这个就是AP+PB是最小的好吧，你做b点对点也可以啊，所以这道题的考点。考点就利用对称求最值。好利用对称求最值看这个方法是不是写好了啊？利用对对称。来解这个最值，

好在这里面大家呢，可以看出它的这个特征好，那就求。从这个a点a点角四负一这个点关于2 x-y- 4=0的对称点。啊，这个用咱们在前面呃知识点讲解的时候讲的方法，这个自己去解好吧，所以a点关于它的对称点。啊，那么a1撇，我们就可以写出来，就是等于零一点好a1撇就解解出来了啊，好那么a1撇解完以后，那我们就可以。找到它这道题，

可以让求最小值，也可以让求p点坐标啊，这道题如果要求AP+BP最小。最小就是a撇b是吧？只不过上面上面这道题是求的是距离的最小值，那这道题我们就换个问法啊，这里也可以求求它的最小值。只不过这道题是换一个方法，求求p点的坐标是吧？求p点坐标，求p点坐标的话，那我们要求出AB 1撇的方程b点不就是三一吗？所以它的方程就是a1撇b，它的方程，它的方程的话，

我们就可以求它的，它的这个方程，这个方程大家可以看到很简单是吧，正好呢，这个我们看y值它。都为一。看见没有y指差，正好都为一。那正好就y。等等于一好，那么y等于就是条水平线，对吧？就条水水平线。好，那这个水平线的话，

那么它的交点。啊与就是这个与这个I2 x-y- 4等于它的交点啊，这个p点我们就可以求求出来，就这条线跟它那条线交点。正好就是二分之五一。好，接下来就选择b选项，看这道题是不是学会了？好吧，如果这道题要求最小的距离在这里面，我们也可以写出来，好吧，要求最小的距离。这样一样，这样也能求求解出来啊，

好，这是给大家强调它的这个特征是吧？所以在这里面又找到对称点，然后这样一连。然后就可以写出它的结果，然后这道题我们要用求对应点的一些方法啊，一些方法把前面对应点方法，这地方就省掉了，然后呢，就是a撇b两点求方程，这个也很好写，方程写完后p点坐标就求出来了。看是不是学会了好，那第五题第五题呢？是考察求x方加y方的最值好，

那么求x方加y方最值，那么前面这个条件可以改成一一个直线。有一次函数可以改成直线，也可以改成一个圆，只不过这个地方大家高中学过同学知道这就是一个椭圆，只不过如果要忘记的同同学的话，这块儿不找椭圆也不影响。好吧啊，也不影响啊，所以在这里面的考点。求x方加y方最值情况。最最值，如果要知道它图形的话，你可以用它几何意义做？比如说如果前面xy要满一条直线，

就可以用几个e做这个直线跟圆好，那么要是相切的时候，它可以找它最值是吧？然后如果要前面要要是一个圆要圆的话，跟这个圆。那么两者也相切的时候，找它最值就行了，只不过这地方是椭圆，其实椭圆跟这个圆也是相切，只不过椭圆大家有同学没学过，不不会做不会画它的图，这个就算了，那我们可以用几个亿，或者说什么方？方法呢，

或者说抛物线。好吧，如果呃，你要几个e要不会你就用。代数法用抛物线做这道题呢，我们要求x方加y方，你可以把x方换成y方或者y方换成x方，怎么这道题你把这个y方用x方表示要简单，大家可以发现这个y方。正好等于二分之六x减三ix方，是不是这样呢？这样要简单，因为这x方用y方来表示不好表示，因为后面还多了一个六x是吧，所以这个代入到。

这个表达式得到x方加y方就等于x方，加上这个就三x减二分之三x方就等于负的二分之x方加上三x。好坐在这，大家可以把这表示换成关于x的一个开口向下抛物线，因为x平方系数为负的为负的，所以它开口呢是向下的。对吧，开口向下向下，那有同学说在对称轴的时候就取到最小值对称轴呢，正好是负三，有同学说对称轴不就等于负的二a分之b吗？啊，对称轴正好就是三有同学说就在三的时候，它取到最最大值，这时候呢，

就会出现问题好吧，出现问题有同学说s等等于三的时候，它取到最大值。为什么会有问题啊？因为在这里面要注意x取值范围，大家知道这个y方是不是等于二分之六x减三x方啊？这个y方是不是要大于等于零？因为它实数它不可能是虚数啊。实数实数的话，平方大于等于零，就说明要求什么呢要求。这个6 x- 3x方要大于等等于零，这个x范围我们就可以很容易去解出来s，在两点之间零到二是吧？而是在零到二，

大家可以发现这个三这个点是不是就取不到呀？所以有同学如果把这个三带到里面去，就会算出错误选项，听到没有？所以这道题大家呢要注意啊，那么这时候是三取不到。三取不到怎么办？那么x在零到二离这个盾轴越近，它的数值越高，所以只有当。x=2的时候，那它有最大值，所以最大值。带到里面去就v当然等于二带到里面去就是负二+6就得到四，这个答案就选择b选项。

看这道题是不是学会了，是不是掌握它的方法，所以通过这道题，大家要掌握求x方加y方最值的啊，一些思路好吧，这也是考试经常考的啊。所以前面xy可以满足直线圆椭圆，或者说其他的曲线都都行好，如果这个几个意义图你不会画的话，你可以借助抛物线把xy用一个未知数来表示，表示完以后画抛物线。抛物线在求它对称轴最值的时候，一定要看x取值范围，不要做错了，所以这是到底给它设置一个陷阱，

看是不是弄明白了。好，下面咱们看下第六题，这个题这里主要考点是考察。那么，直线与纵坐标轴围成三角形的面积最值，一个是围成三角面积，另外求最的求位置值呢？我们就利用利用这个均值不等式啊，就就均值定定理了，所以考点。就直线。与坐标轴。围城面积这个大家会思考，另外还考察一个最值。

这时候我们就用均衡定理做就行了啊，好，那我们来看一下方法，方法由于它过这个一二点，而且AB均均为正数啊，就是过一二点AB均为正数，就说明x=1。y为二，它为一是吧就s。等于1y呢是为二那这个它正好都为正数嘛。对吧，正好作为正数好，那么直线与xy的所形成三角面积，那这个面积是不是等于二分之一两个截距相乘，因为它这个正好给的截距是方程，

对吧？所以说它的三角形面积就是两截域相乘，我们只要求出a和a乘b的最小值就行了，大家知道用平衡定理a分之一加b分之二是不是大于等于二倍的根号下，它两个相乘呀。对不对啊？根号下它两个相乘，所以在这里面我们就可以求出AB它的最最小值是吧？所以就可以求出AB它的取值范围AB上来就大于。等于八这个很容易解啊，两边平方把根号去掉，然后把这个。分母变一下形，因为AB都是正的嘛，分母变一下形得到a×b大于等于8a×b大于等于八，

那说明面积就大于等等等于四，这些答案就写出来了，看这个题是不是学会了是吧？所以就是b选项，所以这道题呢，就考察一个平行定理，把这个加法变成乘法，然后在这里面求出它的呃呃范围，然后再算它最值就行了。所以这是两者的一个结合点，好下面咱们看第七题这道题，这里考察距离的平方和它的最小值长度的平方和最小值，这里我们先按照一般化给大家推一下，然后呢，我们再给大家总结结论好吧，

所以这道。这道题考察这个距离。它的最值，而且这道题呢，我们呢，用这个抛物线求最值，反正咱们求最值就有两大重要的方法了，一个是抛物线，还有一个就平平定理。是吧，在这里用抛物线求它有三个村庄坐落在三角形的顶点上，三个边长分别是三四五千米。然后在这三角形内部啊，建一个批发中心，要求这个批发中心到三个村庄距离的平方和最小，

因为这个批发中心的话，要兼顾到三个村庄。所以说要离它们距离的平方和最小好，那对于这道题我们如何做呢？我们要把这个平面几何建立坐标系，转成几一几何啊？这也是咱们在高中学的一个比较难的点是吧？然后把这个图形建立一个坐标，不管立体几何，平面几何，大家在高中学过建立坐标，建立坐标的目的呢，这个每个点的位置就好确定了是吧，而且大家可以发现它这个长度正好三四五三四五正好是直角三角形，所以。

所以说你就不妨在建坐标的时候，不妨把这三个村庄的分别分别给它弄特殊的纸是吧？比如这个点，一个点是在原点上。啊，一个点正好在四这个点上。还有还有一个点在三，这个点上是吧？这个坐标就是三三，那这样它们的长度正好是三四五是吧？正好就三四五啊，这是它的长度好，然后呢，我们再看一下四角形内有一个点。啊三角形内那一点，

假如这个p点好p点，假如是就xy好吧p点坐标，假如就是xy好在这种它让求谁的最小值啊？求到三个点的距离的平方，距离还要平方一下啊，距离的平方的最小，所以这地方还有一个平方和最小好，就相当于是AB的平方加呃AP的平方。加上BP的平方，加上CP的平方啊，所以求p点这个平方和最小，当然这里还可以求p点坐标啊，这里还可以求p点坐标也，这这个还可以换用方。问，

p点坐标是多少？或者求这个p点平方和都都行啊？好，我们讲了p点sy。大家知道两点距离公式是不是有个根号呀？有根号这地方加平方目的就把根号给大家去掉了好吧，所以说AP的平方正好就是因为a点不是零零点嘛，就是x方加y方了是吧？等于p的平方BP平方b平方就是x- 4^2，加上y方，然后CP的平方就x方加上一个y- 3^2。好，这是CP平方，好在这里边大家就把含x放在一起，含x这个x平方，

这个x平方就变成3x平方，减去个8x，加上一个16。好，因为这地方有x- 4^2给它展开，然后再合并，所以说得到3x平方减8 x+16，然后再把含y方的放在一起，这地方有个y方，这有个y方，后面还有一个。平方展开就变成三倍的外方，减去个6 y+9好，这是情况，大家可以看，

要求这个表达式最小值的话。这个前面是关于x的一个抛物线，后面关于y的一个抛物线，而且这两个抛物线它不存在x×y的交叉项，也就说x是xy是y它不存在x×y这样的干扰项是吧？所以在这里面，大家直接用抛物线，大家可以看这个是不是开口向上的一个抛物线，这也是开口向上的抛物线啊，当这个抛物线最小值，这个抛物线也取最小值的时候整体。就达到最小是吧？所以在这里大家可以发现，当x正好等于它对称轴，大家会做吧？

对称轴正好负的呃。二a分之b是吧？所以正好等于三分之四，然后y等于什么y等于一的时候。是吧y正好就呃y等于负的二分之by正好为一的时候好，那这时候它有最最小值，它最小值能把它带到里面去。啊，带到里面算算，就等于三分之五十好吧，这个自己下去带啊，带到里面算算就三分之五十，剩下咱就选择e选项好看，这道题是不是学会了？这道题它的考点就考察的知识点就是x和y，

它的值啊，带到里面去啊，考察两个抛物线来求求解。学会没有两抛物线。来求求解啊好，那在这里面大家可以发现这个点我要给大家进行总结，是这个点最好是三角形的重心。三角形的重心。那三角形重心坐标什么呢？坐坐标就是ABC三个点坐标相加除以三是吧？你看a点坐标是零零点。b点坐标是四零点，c点坐标是零三，这个点好，你把x坐标相加除以三是不是就三分之之四啊？

把y坐标相加除以三，是不是就为一啊？还记不记得重心坐标啊？重心坐标就三个三角形，三个顶点的x坐标相加除以3y坐标，三个相加除以三。就得到重心的坐标，所以这个点记住是重心啊，重心可以满足到三个顶点的距离的平方和最小，如果记住这个结论的话，考试到时候直接就选重心，所以这道题就给大家进行补充，一个重心的特征。特性啊，万一考试要考到的时候，

大家要知道啊，因为四星在最近几年考试里面经常出现考试时候要把这个知识点掌握清楚。好，下面咱们看第八题，第八题这道题考点是考的绝对值，所围成的土图像。啊，绝对值它的图像。好，其实图像的话，在这么看它所围成图像的面积是吧？好，那在这里面，大家给大家推导一下好吧，你可以把右边都给它移到左边来嘛，

就xy- 3x绝对值，加上六。减2y绝对值等于零好，前两项提供因式，后两项提供因式，前两项可以提出x绝对值，就剩下有y的绝对值减三，看这个是不是学会了，因为x×y的绝对值可以写成x绝对值乘以y的。绝对值是吧？所以提出s绝对值可以上y绝对值减三，然后后面这两个可以提出一个负二，提出负二也变成y的绝对值减三了。看到没有，就六跟这个二提出一个负二来，

比如说剩的y绝对值减三，大家可以看这两个是不是都含有y的绝值减三呀，所以就变成变成什么了，变成x绝值减二乘以个y的绝值减三它。正好等于零好两个相等等于零，那么前面这个如果要为零的话，说明x就等于正负二。后面这个v0的话，说明y就等于正负三，它所围成的呃图像就是四条线x等于正负二，就代表两条竖线是吧？就负二和二。y等于正负三是代表两条平行的线啊，就是这个正三，这是负三，

所以它所围成的图形就是四条线围成图形，大家可以发现正好就是一个矩形。是吧，正好它又是一个矩形，看这个是不是学会了好这个矩形，这个矩形的宽度正好就是四高度，就正好是六。是吧，宽度是四高度，它正好就为六。所以这个宽度和高度正好一个四一个六，所以它的面积s就等于四×6就等于24，答案就求解出来了，好，这是给大家强调做题方法的思路，

看是不是学会了。好，那通过这道题，它要掌握的知识点就是要掌握的知识点就是要把这绝对值对它进行分解变形，所以有同学可能想不到这一块，想不到这一块啊，你可以把它呃总结成一个公式，所以在这里面我们可以。给大家总结成一个公式啊，大家可以把这公式呢记在旁边，以后遇到这种特性就想到了啊，第一次想不到不要紧啊。好，如果xy绝对值加上AB=a倍的s绝对值加上b倍的。b倍的y的绝对值，

这里面要求AB都是正数啊，要求AB它都是正数。AB是正数，而且AB都是给定的常数好，这时候大家就可以按照刚才咱们讲一项一项，然后提公因式听懂没有，可以变成x-b。乘以y的绝对值减a它等于零，这样的话就代表s等于正负by就等于正负a。然后这样大家呢，就可以写出它的矩形面积，它矩形面积呢，就得到是4 AB。啊，这样就求解出来了好吧，

这个就是两条水平线，两条竖线围成的一个矩形。好把这些总结结论把它记下来。看是不是学会了？下面咱们看第九题，这个点第九题，这道题这道题呢，就考直线和圆位置关系，另外还要求三角形面积作为这个o是原点，不是圆心，所以有同学呢。就理解成圆心了是吧？所以在这里面啊，别弄错了好吧，所以在这里面大家呢，

要掌握它的特征啊，所以考点。考点就考察直线与圆它的位位置关系，而且还考察三角形的面积。还考察这个三角形的面积好看，这个题是不是学会了好？那这道题它给的是x- 2 y- 3=0和x- 2^2。加上y+3^2。啊y+3^2的平方等于九啊，这个圆交于ef两点啊ef两两点啊，求这个三。三角形e of注意，它这是坐标原点，听到没？坐标原点好，

那我们首先看一下它的这个弦弦长。啊，也就说啊，在这里面大家呢，就是这样的呀，这个是ef两点。是吧啊ef两点求求出来了，求出来要求oef oef。是吧，所以在这里面啊，我们可以画一个简单示意图，帮大家理解。好，那这个圆的圆心正好是二负三，这个点s等等于2 y=- 3是吧？

这是它的圆心。大家可以看半径是不是正好为三呀，所以它正好是跟x轴相切，对吧？这个半径正好为三嘛，它正好跟x轴相切。好，那在这里面，我们呢？再看这条线，这条线是x减二y减三等于零是斜率为二分之一的一条线。好，那么大家可以看当x等于零的时候y等于负二分之三。好，这是y等于负二分之三当y为零的时候x等于等于三。

好，那这是这条线，我把这条线给大家画出来。好，这条线好，这条线跟这个圆交ef两点，这个是oo是坐标原点好，那么要求。这个oef这个三角形的面积要求oef的三角面积，我们用底乘以高做就就行了是吧？要求这个三角形的面积。好，我们就底乘以高这CN底呢，就ef高的话，高的话怎么弄？

高的话你就求出圆。求出这个原点，到这个。高就这个距离是吧？这就是二分之一底乘以高，所以我要修先求弦长，那这弦长怎么求呢？大家想想，弦长公式是不是先求圆心到直线距离d啊？圆心是二负三。到这个直线。s- 2 y- 3=0，它的d就等于根号下一+4，然后这个。二+6-3，

这样就等于根号五是吧？就等于根号五。好，那么这个半径r，它正好就为三圆的半径r，正好为三，所以这个弦长ef就等于二倍的根号下。啊r方减d方r方就是九减去d，所以这个就算出来就等于个四。好，这个ef算出来就为四好ef算出来就为四，下面我们要算出这个三角形的高就可以算出它面积了是吧？所以在这里我们求它的高好，它高的话就用呃原点。到直线的距离，

所以再又用一次距离功能零零这个到。x- 2 y- 3=0，它的距离d就等于根号下啊，这个是一+4上面就三。就等于根号五分之三是吧？好，这样就写好了。好，然后它的面积s就可以写出来s就等于二分之一底乘以高。高呢，就是五分之三倍根号五。好，这样就等于五分之六倍根号五，这样就求求解出来那五分之六倍根号五。正确答案就选择d看这个是不是学会了啊？

正确答案就选择d好，那通过这里大家掌握的方法和思路是什么呢？首先要看这个三角形的特征，我们决定采用三角形面积的方法，这道题呢，就是用二分之一底乘以高来进行算啊，所以这个底的长度就是弦长，所以这个就用了弦长公式。啊，用斜长公式求方法好，这里又用了点到直线距离公式，然后呢，求出这个高，然后算出它的面积就可以了。

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