7-03圆

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:01:02

下面我们来看一下圆这一块啊，圆这一块首先我们来学习啊，圆的方程这个知识点。好那么圆的方程，我们来看一下它对应的特征和方法，第一个圆的方程，它的两种形式，一个是标准式，还有一个是一般式。啊，标准式还有一般式好，如果它圆心为s0y0半径为r的圆，可以表示成x-x零方向y-y零方等于r方。可以得到这样的一个特征。给它写成s-s零方加y-y零方等于r方好，

为什么这个圆的标准式它怎么来的呢？大家一定要知道，不要死记硬背。是吧，好，这是我们给大家进行推导一下啊，假如这个是一个坐标系。好什么是圆呢？我们前面在中学学过圆的根本定义，圆的根本定义是到定点的距离等于一个。固定的层数，比如说这是圆心x0y0。好，那么如果一个动点到这个定点距离等一个常数啊，这个动点到这个定点距离等一个常数，

这是动点xy。好，到这定点距离等一个常数，大家可以发现，正好是不是两点的距离公式啊？大家想想是不是这回事，正好是两点的距离公式。啊，用两点距离公式来进行分析的啊，大家就可以看一下两点，它距离公式的情况好，那么两点距离公式我们就可以写出它的这个结果是不是？所以两点聚功，大家记得我们前面讲的是两点聚功等于什么呀？就等于根号下，

然后x坐标相减的平方s-s零的平方。像y-y零的平方，是不是这两点的距离啊？这样等于固定的常数r，这样等于固定的长r，然后这样就写出来了。然后这就是圆的方程，只不过这个圆的方程看起来不太习惯，因为它带有根号，不太习惯，所以两边可以去掉根号是吧？两边把根号去掉，然后这边就变成r方。连着把根号去掉，就变成r方，

然后这样就写好好吧，得到就是r方好，这是它半径为r它的圆的表达式。好，接下来我们再看一下一般式。好，一般式的话，我们在这里面，我们可以看到什么呢？就把所有的括号都给它展开展开后，然后把右边的常数移过来，把它写成右边，写成一个零。这个一般呢，跟咱们直线一般是一样，

就把等号右边所有的东西都给它移到一边啊，移移到左边来，移到左边右边呢，变成零就可以了。啊，右边它变成零这样就可以写出它的结果好吧，这是它的特征啊，所以这是一般式，它的可将其配方变成一个标准式标准式就是x加二分之a。括号方加上y加二分之b，括号方等于四分之a方，加b方减四c是吧？然后这个怎么配的方呢？用咱们前面代数学过的完形平方公式啊。完与完全平方公式，

就可以把它配成s加二分之a方，加上y加二分之b方，然后等于四分之a方加b方减四c，有所有的东西都给它移过来移过来。如果这个配方的目的什么配方目的就是想把它配成这种标准式配标准式呢，主要是看它圆心和半径明白吧，所以在这里面好它的圆心就相当于是负二分之一就这个圆的圆心。就负二分之a和负二分之b。它圆心，然后等号右边这个值是半径r的平方啊，等号右边这个值右边这个值呢，就半径r的平方就写出来，所以r就等于它开根号，这样就写好了。然后这个一般式，

它要想成立，它要构成圆的要求，什么要求要右边这一块一定要是大于零的。右边这块，因为左边是两平方相加，对不对？两平方相加，然后让这块大于零大于零，然后呢？它就是乘以条件就a方加b方减4c大于零，这样就写好了。好看，这块是不明白了啊，这是它的两个基本的方程表达式。接下来，

我们围绕考试出现的一些特殊的语言，我们给大家介绍一下特殊的语言，特殊语言，我们先用这个标准式来给大家进行写好吧，标准式写。当s=0的时候I=0的时候，那它这个圆的标准方程就变成s方加y-y零方等于r方啊，那这个只剩一个s方。好，那就说明它的圆心正好在y轴上啊，这个圆心的坐标正好在y轴。然后第二个就是y0要为0y零要为零，就是这边只剩一个y的平方，这是x-x零的平方，然后这它圆心呢，

正好在x轴。啊，圆心呢，正好在x轴，这样就写好了圆心的坐标是x轴的。然后咱们再看一下啊，这个特殊的圆里面的s0和y0都为0s零和y0都为零，就x方加y方等于r方，这时候它的圆心正好在坐标原点。啊，原因呢？是在坐标原点。啊，另外呃，接下来几个比较重要，

如果这个半径r正好等于y0就是圆心。纵坐标的绝对值，这时候圆呢是跟x轴相切的，这个是考试考点啊，他说这个圆跟x轴相切，那怎么办呢？你把这个圆给它配方，配完方以后。那么就是相当于圆心。啊，它的y坐标正好等于啊，这个半径r你可以看这个圆心的YY坐标，这个是y0，然后正好等于半径r好，这是它这个情况。

然后咱们再看与y轴相切，与y轴相切的话，那在这里面大家可以发现啊，它圆心的x坐标啊，绝对值正好等于半径r，那这时候呢？让它跟y轴呢是相切的，这样的特征相切，然后还有就s0绝对值加y0绝对值等都等于r都等于r，它与两轴都相切好，这几个相切。大家要掌握住啊，比较重要，这个在二零一七年考真题里面啊，就出现过哎，

这相切的内容，看是否明白了。好，这是特殊的一些圆好，接下来我们就来看一下呃圆的一些方程地点，它主要考点是考察它这个表是一个圆，问它m的取值范围到底是什么样子的？它表示，一个圆好，如果它要表示一个圆的话，我们把它配方看m的要求好吧，这个先把这个标准呃，把这个一般式配方变成标准式可以配成，因为这四。4x6y嘛，

可以把它配成x- 2^2。加上y+3^2等于个这边就变成四+9-m。啊，这样的情况啊，所以就减m这就是13-m13-m是不是大于零呀啊？大于零大于零，然后在这里面我们呢就可以推出m呢是小于13的。m小于13，这样就写出来了正确答案，应该选择b选项好看，这个知识点是不是学会了啊？m呢是小于13的。好，这是它的m的取值范围，就求解出来了，

好通过这道题，大家要掌握的思路和方法，当然还可以套公式啦，只不过让大家训练一下配方情况，如果要套公式也行，套公式刚才咱们讲的。a方加b方减4c大于零套，这个公式也行，这个a相当于是四四的平方+6^2。减4m大于零。啊，得到得到的结果呢，是一样的啊啊，一样都是m小于13这个呢选b选项。下面我们来看一下这个题，

若圆的方程式x方加y方等于一则它的右半圆右半圆就在第一象限和第四象限的部分到底是什么？那这个就是半圆方程，半圆方程我们来看，这是它给的，是一个完整圆是吧？我们把这个完整圆画出来x方加y方等于一。这个圆很好画吧，就圆心正好在坐标原点半径知道，所以以后画图怎么画呢？知道圆心知道半径就可以把它图画出来，所以它的图就这样的一个图。有这样图就是啊，圆心在零零点，然后半径r它正好就为一啊，半径r它正好就为一。

这样写好了啊，圆心正好在零点半径r正好为一这样写好了，写好以后我们接下来我们就可以写它的表达式是吧，接下来我们就可以把它表达式呢？给它求解出来，好比方说他说要求的是右半圆右半圆，他怕你这个呃理解上出现一些歧义，他说在第一象限和第四象限部分就这一块。大家可以看右半圆是不？正好是x大于零的部分，对不对？x大于零的部分，所以在这里面，如果求右半圆的话，你把这个。

写的s方。等于个一减y方，然后开根号，本来这个开根号可以可以正负根号啊啊，也可以跟正根号也可以写成负根号。是不是这样的，如果x要写成根号，下一减y方这个x就相当于是大于等于零的，大于等于零的话，那代表是右半圆明白没有，所以在这里面就是b选项。就是成立的啊啊，然后你把这个根号再给它移过来，就变成x减去根号一减y方等于零，这是右半圆。

好，这是右半圆，它的这个情况，如果这个要问左半圆，要问左半圆，这个呢？就是左半圆啊，这个是右半圆。啊右半圆，然后这个呢？就是左半圆。因为这个s相当于是小于等于零，就是左半圆啊，这个情况好，如果要改成上半圆，

下半圆是什么情况呢？大家想想，如果改成上半，下半圆就把这个y方呢给它写成一减I。x方如果y要等于根号下正的根号一减x方好，这就是上半圆。好，如果要写成y等于负的根号一减x方，那就是下半圆。好，接下来我们把这几个选项给大家先写写，这个a选项其实表示是上半圆，听到没？a选项表示上半圆。然后这个b选项表示是右半圆，

然后这个c选项表示是下半圆，然后d选项表示是左半圆。啊d选项比较左边好e选项，它仍然又是一个圆啊e选项，它是一个新的圆，跟原来这个圆半径要小一点是吧？它它跟原来这个圆半径小一点，所以e呢，它不是半圆啊。所以这一块要掌握它的特征，看是否明白了。好，接着我们来看一下圆与坐标轴的交点，不管圆跟坐标轴交点还是直线与坐标轴交点，这个求解方法都是一样的。

令y=0，可以求出圆与x轴的交点。令y为零，可以求出圆与x轴的交点。令x为零，可以求出圆。与y轴的交点，它跟y轴交点情况，所以当呃圆跟坐标轴只有一个交点时又称为跟坐标轴相切。不管它跟x轴相切，跟y轴相切，它都这样的情况好，这个大家问与x轴的两个交点是多少？与x轴两个交点与x轴两个交点的话，在这里面我们就令谁为零呢？

令y为零就行了。令y为零就得到x方加上一就等于四，这样话就得到x方就等于三，就推出x又等于正负根号三。啊，这样的情况就得正负根号三好，正负根号三在这里，我们可以发现这样的答案就选择d选项是不是这样情况，如果这道题要求。它跟y轴的交点也要会啊，如果跟求这个圆跟y轴的交点的话，你又令谁为零令x为零令x为零，然后把y轴的交点解出来，这个是一样道理啊。所以在这里面大家呢要呃掌握它的焦点的这个情况。

好，下面咱们看一下这个题，这个题以p点负二三为圆心，且与y轴相切的圆方程到底是多少？啊圆好，那么在这里面大家注意，以它为圆心，要与y轴相切啊，这个圆心呢是负二三。圆心呢，在第二象限是吧？所以就是负二。然后三。啊，这是三好，

它要与y轴相切，与y轴相切的话呢，这个圆的半径大家可以发现，我们刚刚讲过圆的半径的话，它就相当于是。啊，正好等于这个，这个半径r正好等于这个圆心x坐标的绝对值是吧？所以在这里面我们就可以写出来啊，所以它的半径应该啊，等当于一个。负二的绝对值就等于二啊，半径等于二好，大家知道圆心知道了半径知道了就可以写它圆的方程，明白吧，

圆心知道了半径知道我们就可以写它的方程就。就可以写成。啊，就可以写成它的这个表达式啊，就在这里面就x+2^2，加上y- 3^2，然后就可以写它的结果。然后就可以写出等于r方是吧？等于r方等于r方，这就为四，所以就写成s+2^2，加上y- 3^2啊，它的值我们就可以写正确答案就选择。这个b选项答案就求解错了，如果这道题要改成它与x轴相切，

大家也要会思考明白吧，跟x轴相切。答案呢，是一样的，如果跟x轴相切的话，在这里面大家呢，就半径呢，就变成三就行了啊啊，半径它就为三好看这个题是不是明白了，是不是学会它的？做题的方法，所以以上呢，就考察基本的圆的一些概念，比如圆的方程，圆的焦点，

还有半圆的方程啊，还有相切的这个情况，大家把它掌握清楚就可以了。下面我们来学与圆相关的位置关系的这块的考题，好与圆相关的位置关系也是非常重要的考点，我们看一下与圆相关的位置关系有哪些？具体的知识点第一个那么就是相当于是点与圆的位置关系情况，点与圆位置关系，比如说一个p点。啊，一个p点。好，那p点在这里面，我们来看一下，如果坐标是spy p，

然后这个圆的方程是知道了，那么这个点到底在圆内还在圆外还在圆上呢？我们把这个点p带到这个圆的方程里面去。如果要小于r方啊，这个p点就在圆内，如果等于r方，这个p点在圆上啊，如果。大于二方这个p点就在圆外好吧，所以在这里面好，那么就圆内圆外啊，它的思路和知识点要把它掌握清楚呃，就小于二方有圆内。等压方圆周上大压方就在圆外啊，这是它的。

特征这个呢，比较简单啊，这跟咱们前面讲过的点与直线的位置关系差不多，好吧，它也在三个方位啊。啊，那么只不过圆的话，一个内部一个圆上一个圆外。接下来我们来看一下对应的这个题目啊，看一下题目，题目的话就点圆未关系呢，比较简单，将点带入圆的方程，然后再进行判断就可以了。好，

我们来看一下这个题好，如果p点在这个圆内部，然后则m的取值范围到底是多少？大家可以看这个呢，给的是一个一般式，对吧？一般是一般是直接就可以把这个点带到里面，让它小于零就行了啊，让它小于零，这样就可以了，好吧，所以在这里面呢圆内。这个呢，跟咱们前面讲直线不一样，直线的话一定要把它的，

如果要直线，要是一般式的话，要把这个直线y的系数做调整在这里面，圆的话就不用调整，直接带。这个时候呢，就不用再把它配成啊，一般式了啊，不要把它配成标准式了，直接用一般式来写就行了，一般式如果要小于号，那这一块啊，就在圆内等于号就在圆上，大于号就在圆外。所以在这里面直接把这个点带到里面去就行了啊，

点带到里面去好点带到里面去，我们可以看看出把x=2 m带到里面就4m方。加上m方减去8m，加上2 m+1，因为它在内部内部就小于零就行了好吧，内部然后这样可以得到5m方减去一个6m。加一小于零。所以这样把它写在一起就是5m方减6m小于零，这个我们就可以用十字相乘来分啊，然后来分一分。然后这个前面五可以分成一乘以五，然后这个一可以分成负一乘以负一，写出来就说它的小于零解应该在两根之间，它一个根是一，一个根是五分之一，

所以它两根。之间就可以写出来，就是五分之一到一最难就选择a选项好看，这个题是不明白了，是不学会了，这道题比较简单，就是点在圆内圆外圆上。不管是用一般式还是用标准式，它的判断方法是完全一样的。接下来我们看一下直线与圆的位置关系，直线与圆位置关系呢，这个更为重要，有三种情况啊，直线与圆位置关系，我们来看下这个图，

它有三种情况，这个几乎是每年必考的啊。它有三种情况好，那么直线与圆第一种情况相离，现在它的判断方法呢？就是d大于r这个d是什么d？有圆心到直线距离，圆心到直线距离怎么求呢？用咱们前面讲过的，点到直线的距离公式做就行了啊，点到直线的距离公式点到直线距离公式，大家把d求出来d，如果大于这个半径r，那在这里面我们就可以发。发现这个直线跟圆离得比较远，

那这时候呢，就相离两者呢，无交点。第二种情况，直线与圆相切，直线与圆相切就在这里面，就相当于是圆心到直线距离d正好等于半径r就相切的。另外，就直线与圆相交，相交的话就d小于二就相相交，相交时候大家一定要会解这个直角三角形啊。会解这个直角三角形。好在这三种位置关系里面比较重要，就是相切这个比较重要，求切线啊，

两者相切情况，另外这个相交相。相交的话，这个直角三角形要解这个直角三角形，这个直角三角三边长看ob的长是半径r是不是ob长是半径r，然后呢oa的长度正好是d？oa长正好d，然后这个弦长弦长就是整个这个长度啊，求弦长。另外，大家还要注意的是AB正好是弦长的一半啊。AB的长正好是弦长一半，所以它的弦长。正好等于二倍的AB 2倍AB AB怎么写？用r方减d方好吧，

这有个弦长公式给大家先写一下啊叫求。直线跟圆相交产生的弦长，大家要会分析和思考。那么，此外，在这里面，大家还要掌握的内容是什么内容呢？咱们就是相离。相切和相交。比如说咱们考试，如果说直线与圆不相交，直线与圆不相交，就相切或者相离，知道吧？它给三种情况上下，

如果不是这种情况。那么就是另外两种情况，听到没有？所以在这门考试出现了不相交或者直线一圆。啊，它的不相切不相切的话，有可能相连，有可能相交，在这种不要对这些文字呢描述呢，出现了错误。好，另外在这里面还要注意相交跟有交点，它的区别在这里面一定要掌握一下，因为考试有时候会出现一些文字游戏，我给大家进行讲一讲啊。

就香蕉。和有焦点。相交和有交点好，它的概念好，那么有交点是是指有一个交点或者两个交点叫有交点，所以相交是特指是两个交点啊。为了说明两者的区别，我在这里把这个数值给它写上相交的特值，两个交点有交点有可能是一个交点有可能两个交点，这叫有交点相交，它一定是有交点。但有交点，它不一定相交。有交点，比如相切，

这也要有有交点啊，对不对？好，另外还要注意的关系是。不相交。和无焦点。好不相交和无交点它的这个特征啊，不相交和无交点好那不相交和无交点它是什么样的概念呢？我们看看不相交跟无交点。好，那么在这里面不相交，它有可能是零个交点，有可能是一个交点，无交点就是零个交点，是不是这样的？

所以在这里大家可以发现。不相交，推不出，无交点，无交点，可以推，推出是不相交的讲，这我们要知道直线跟曲线。啊，不管咱在高中学椭圆还是什么啊，直线跟曲线跟圆也好，跟跟椭圆也好，跟那个曲线咱讲的相交。这只是两个焦点，明白吧，

所以这个含义要弄清楚，不要给写错了啊，好，这是强调的考试一些概念，因为理解错了，那么很容易判断丢分的啊。接下来我们看一下呃，直线与圆的位置关系，它对应的考题直线与圆的位置关系第一步先求出圆到直线距离d，然后比较d和r的大小。啊，进行判断，然后比较重要的位置关系呢是相切啊，这个重点是相切当直线与圆相交时，要要会用固定的求弦长啊弦长公式，

我刚才给大家进行推导了啊。二倍的根号下r方减d方好，接着我们来看这个题，他说这个直线是圆的一条切线，那么k的值到底是多少啊？直线是圆切线。那说明圆心到直线距离应该等于半径是吧，所以在这里我们看一下圆心，而且这条直线要把它弄成一般式啊。好！它的圆心坐标，我们看圆心坐标是正好是零零点是吧？圆坐标正好是零零点。零零点，然后到直线的距离。

好，这个直线距离就可以写成kx，然后减y+2 k=0。好就相当于是好，那到直间去就可以写成kx-y，然后加2 k=0好，那这个d我们写一写dd又等于根号下。啊d等于根号下啊a方加b方就k方加一。啊k方加就是a方加b方就是k方加一，然后把这个零零点带到里面就是2k，然后加上一个绝对值，这是d。然后等于半径r这个r正好为1r为一，这样就可以求出k的值好做到这，我要给大家讲咱们在计算方面需要注意的问题，

咱们在后面。经常会碰到这样的一个表达式，上面带绝对值，下面带根号，上有绝对值，下有根号，这样的表达式一定要会解。好吧，上有绝对值，下有根号，这样的式大家一定要会分析啊，就上面带绝对值，下面带根号，它的这个特征，上面带绝对值，

下面带根号，那怎么去解呢？你两边平方，所以平方。啊，这个方法既能把绝值去掉，又能把根号去掉，所以平方平方完以后我们可以发现其上面这个平方就变成4k方，把分母呢可以乘过来啊，分母乘过来就4k方。正好等于k方加一，所以就可以得到k方。正好等于三分之一k方等于三分之一就推出k就等于正负三分之根三，这个答案选d选项看这个题是不是明白了，是不是学会了？

好，这是给大家强调的例二这道题，它的做题的方法和思路，看是不是听懂了？好，下面咱们看一下那个题，它已知圆c的圆心是直线，它与x轴的交点好，那么先把这个交点找到这个圆心知道了。而且这个圆呢，跟这个东西又相切好，问这个圆的方程是什么？要写圆的方程的话，那么圆的方程要具备两个基本的要素，一个是圆心，

一个是半径是吧把圆心和半径找到。那这两个呃参数找到就可以写个圆的方程啊，好，那接下来我们来看一下它这条直线与x轴的交点与x轴交点是不是让y为零呀？好y为0y为零就s=- 1嘛。是不是所以它这个与x轴交点，让y为零就就行了，然后这个圆c与它又相切相切，我们求出半径半径r是等于什么呢？r就等于。这个圆心到直线的距离d，是不是就等于根号下？啊，点到直线距离公式啊，点到直线距离公式根号下a方加b方就一+1是不是？

然后把这个值带到里面值代表就负一+3。然后这个算出来就等于根号二啊，这个算出来就等于根号二好，这个半径r写出来，而且大家可以看圆心知道了。半径知道了那么方程，我们就可以写出来啊，方程方就x+1^2，加上y方正好等于r方r方正好是为二。这样就求出它的结果，这些答案我们可以发现，就是选择b选项好，这是给大家强调的做题点比较简单啊，一个是要会找。呃，

直线也好，圆也好，与坐标轴的交点，这个方法大家学过，另外一个就是相切相切的话就可以写出它的半径半径。知道了，那么圆的方程就可以写出来。下面咱们看六要求这个弦长弦长的话，我们要记弦长公式，首先要求出圆心到直线的距离，圆到直线距离呢，然后算出来，然后呢，再套弦长公式啊，先求d，

当然这个圆呢，我得需要配方啊。这个圆把它配成什么配成x减减一方，是不是x- 1^2加上y- 2^2？正好等于五，所以它这个半径r正好等于根号五，半径r等于根号五啊，所以这个一个是一，一个是二，所以它这个就是五。啊95好，这个r写出来，然后咱们看一下这个d它的值等于多少dd呢？就是拿这个圆心到直线去，它的圆心呢是正好一二点啊，

圆心坐标是一二点。啊，这个圆的圆心一二点好，那么到这个直线的距离，利用咱们点到直线距离公式，那么根号下a方加b方就相当于一+4。然后把这个一二带到里面去，一二带到里面就一+4-5，加上根号五。然后绝对值，然后它正好大家可以算到这个是根号五分，母根号三分子也是根号五，所以为一好d为一，那接着我们写出弦长公式。现在问大家背一下答案，

背一下公式啊，现在公式等于什么呀？各位同学说一说二倍的根号下r方减d方是不是这样的？所以二倍的根号下r方是5d方是一，然后在这里面就可以得到是四啊，得到四这样写的这个答案就选择c选项。好，这道题大家要学的公式要求弦长一般要用两个公式，第一个公式呢，就是距离公式。第二公式就勾股定理里面的啊，一个公式勾股定理啊，要求解公式把这两个公式用好就可以了。下面咱们看一下这个题，它实际上有公点就代表有交点。

所以有交点不等于相交啊，这个我们刚才在讲概念时候给大家已经讲过，它有交点，它不等于不代表相交，它只说明是有交点。啊，有有交点，有交点的话，那就说明这个这个包括什么问题啊，包括相切或者相交。或者相交。它包括相切或者相交啊，所以它有共共点，它可以是相切，也可以是相交，

在这里面那有相切的话就第。就等于r相交的话，就d小于r，所以合在一起就d小于等于r就行了啊d小于等于r，接下来我们来看一下。看一下它的这个d到底是等于多少啊？它的圆心大家可以发现a正好是零是吧？所以在这里面它圆心是a零点好，那这个d我们写了d就等于根号下。就是圆心到直径的距离根号下a方加b方就一+1啊，一+1就a方加b方一+1，然后把a零点带到里面去a零点带到里面就a+1的绝对值。是不是这样的，所以把a0带到里面去s=ay为零带到里面就是a+1的绝对值。a+1约一的绝对值，

它要小于等于半径rr是等于多少r，正好等于根号二是不是好，大家看一下分母是不是根号二呀？分母根号二这边也是根号二是不是这样的？分母根号二这个也根号二根号二乘以根号二是不是就为二呀？所以就可以得到这个a+1的绝对值小于等于二，小于等于二，在这里面a的值我们就可以得到它的结果。a的值得到是。然后呢？是一这边是负三是吧？就负三到一，这样就求出来，这样大家应该选择b选项啊，好这是。

得到它的这个结果，看这个题是否明白了，通过这道题，大家呢，要掌握的方法就是有共点，那包括相切或者相交，所以说它这个要带等号啊。考试时候不要忘记选了这个开区间，那就容易错了。好，接下来我们再研究一下两圆的位置关系，圆圆的位置关系，大家看一下书，圆圆位置关系，它有五种情况啊，

有五种情况是吧？那么比如说圆o1和圆o2。好那么圆o1，它的原因是1y一，然后圆o2是原因是2y二，然后这个半径一个是r1，一个是r2，我们就不妨假设r1大于r2。如果考虑到不知道r1和r2大小的时候，你就加绝对值啊，如果要知道它大小的话，就好好写d是代表什么d是代表两圆的圆心距圆距用什么来？这呢，用两点距离公式来算，两点距离公式来算好，

那么我们两圆由远及近，我们看一下由远及近。它两圆的交点情况，那么产生这五种好比较远的时候就外离外，离的话它就d大于r 1+r是吧？就这个d啊，就代表两圆的圆心的距离，大家可以看一下。两岸圆心的距离大于r 1+r二，就是外离的啊外离，然后它的供电条总有四条啊内供电线内供电线有两条啊内供电线。好内供应线什么？就是在两圆内部就这样的供应线好，这样就是内供应线，然后外供应线是什么？

外供应线是在它在在它外部啊，在外部就这样的一条线，这样的条线，这个是外供给线。好外公切线，它也有两条，所以总共呢是四条公切线，这上面写的好，如果要外切，什么情况外切的话就两圆是外切是这样的一个特征。两圆外切，两圆外切，这个d呢，正好等于r 1+rd，正好等于r 1+r，

然后它的供给线条数，那么这个呢，内观线就变成一条了，就是。这样的，这是内关线，就一条了，而且这个公交线跟o1o2是垂直的啊，跟o1o2是垂直关系，内关线就只有一条了。然后呢，外光线仍然是两条外光线呢，我们可以画一画，它仍然是有两条啊，这是一条，

这又是一条，它仍然是有两两条。啊，这就写好了，然后咱们再看相交情况，相交情况的话，那这个d呢，它就是比这个I+r要小了，就再小就两圆呢，更近一点。听懂没？两圆更近一点，这时候内公业线没有了，就为零只剩下两条外公业线，外外公业线，

这是两条外公业线。啊，只有两条外公积线了，然后在这里面它d是小于r1+r二大于r1-r二，如果要不知道r1和r2大小考试两圆半径，不知道大小的时候或者不确定让求半径的时候。这时候要加绝对值好吧，加绝对值好，这是相交情况，然后内切内切的话就一个小圆在里头跟这个它相切啊，这个是切点是吧？切点，然后d呢等于r1-r二，如果要不知道圆大小的话，你可以加上绝对值，

因为不知道r1和r2两圆半径谁大谁小，加上绝对值。好，这个。内光线就为零，外光线只有这一条了啊，只有在这一条，而且这一条的话也是垂直于两圆的圆心的连线，你想象一下把两圆呃圆心连线连完后，它这个光线是跟它垂直的这样。空线跟它是垂直的，这样的一个特征啊，相垂直的，然后内涵内涵的话就d小于r1-r，加上绝对值。

啊，这r 1+r都不用加绝知，因为r1和r2都是正数，这种两个相加，它还还是正的啊，如果要相减的话，如果呃，不确定谁大谁小，那这时候呢，就加绝知，如果知道谁大谁小，这时候呢，就不用加绝知。然后内函数，它又没有公给线。

所以在这里面大家注意两圆由远及近，很好去思考是吧？两圆是外离。慢慢外切，然后慢慢就有相交，然后慢慢内切，然后最后变成内涵，就这样的一个特征好，那么在这里面我们看一下两圆位置关系，给大家进行总结一下好吧？总结一下，总结一下，因为这个个图的话，大家可以发现我们其实抓住的关键点是谁呢？抓住关键点就是这样的关键点，

一个是I+r。一个是r1-r二就是内切和外外切，这两个啊，这两个这两个是关键点，看所有的范围都是与这两个数有关，是不是？在这里面，我们呢，就可以画一个d的取值范围的一个数轴，所以给大家进行总结一下啊，如果这个d是取值范围。好，它把数轴分为这几个区域。r一加r二r一减r二，如果要不知道谁大谁小加绝对值和零啊，

因为因为这个距离d这个距离d的话，它不能出现负的啊，两点距离共能d呢，就两圆的圆心的距离，它不能为负的。所以d呢，它只能是正的正的，所以说它就大呃，这个大于零的，这个情况好，那如果d要大于r 1+r二这样的情况，这样情况就两圆什么呢，两圆就是外离。两圆外离好，如果d刚好等于这一点d刚好刚好在这个点这那这就是。

外切。好外外切的情况好，如果d要落在这样一个区间里头，这样区间里面就相交两圆呢，就是相交的情况，两圆相交。好在这里面大家呢，就可以看出，如果刚好在这一个点d，刚好等于r1-r二就是内切。刚好是内切好，如果在这里面，大家可以发现好d呢，要小于它小于r1-2，这就是内涵。

啊，内涵还有一个特殊情况要给大家强调的是，如果d刚好等于0d，刚好等于零是同心圆。啊，叫做同心圆。同心圆是什么状态呢？比如这是一个圆，里面又一个圆啊。这时候它的d呢是为零的。就两圆的圆心，正好在一个位置，这样咱们看射击打靶，它的靶子都是一圈一圈一圈一圈，这都是同心圆。

啊，所以在这里面d为零就同心圆好这样的特征啊，所以两圆的位置关系。啊，由远及近就是这样的情况，接下来我们写上公斤线的条数好吧，写上公斤线的条数公斤条，然后这个外离的话是四条。弓箭线有两条，外弓线两条，内弓线，然后外切的话就三条。然后相交的话是两条。啊，相交就是两条。

然后内切就变成一条。然后这块就变成零条。啊，所以说我再说一下外离对应的关线，总共是四条，然后外切，这在这一个点啊，一个状态是三条。然后相交的时候是两条，然后内切就一条公线，然后内含就是零条光线，所以大家把这个图记下来，这样话大家在学的时候呢，更方便一点是不是？更好记一点，

反正也是对应刚才咱们讲的这个表格啊好，这是给大家强调它怎么来学习和记忆。接着我们来看一下圆与圆它的位置关系的情况啊，圆与圆它的位置关系好，圆与圆位置关系的话，先求出两圆的圆心距d。先求两圆圆，心距d好。圆心距d写完后，再与r1+2和r1-r二去比较来判断啊，再跟它去比较。好吧，比较比较比较重要的位置关系就是内切和外切好吧，而且注意尺位置关系和公积线的对应情况啊。要注意这个位置关系，

比如有几条公约线，大家要知道啊，好，接下来我们来看这个题目，它说两圆的半径分别是方程x方减3 x+2等于两根。且两圆的原距等于三就d为三，则两圆的位置关系到底是什么好？两圆半径是这个方程，两根当然这个方程，两根大家可以把这两根给它解出来是不是？这两个一个是一，一个是二，可以一解解出来。当然，如果要不好解的话，

这这道题跟一个一一个二，这个好解啊，至于谁为一谁为二这个呃，没关系是吧？大家可以发现两根之和。正好等于一+2，正好等于三，正好等于个d=d，所以它正好就是呃外切选择b选项是吧？如果它的值要不好解，大家一定要学会用韦达定理啊，所以另外还要给大家强调这个韦达定理r 1+r二。等于负的a分之b是吧？两根用美达定理啊，如果这个d要改的小一点d，

要改的小点，比如d要改成一或者改成根号三。这时候呢，还要比较r一减r二r一减r二绝对值r一减r二绝对值一定要再背一下，我们在讲韦达定理非常重要的啊，这个表达式。就是两根之差的绝对值，两根之差绝对值等于什么呢？大家各位同学再背一下。啊，有同学背出来了是吧？就是a的绝对值分成根号德尔塔。你像这道题两次啊，绝对值啊，要背一下，

比如说它这个值要改成根号三，要改成根号三的话，那正好介于呃，它俩之间那就变成橡胶了是吧？所以在这里面。啊题不重要，重要的是大家做完后一定要把韦达定理啊，如何结合方程求两个数值和两数之差，两根之和两根之差，这样的概念要弄清楚啊。接下来我们看一下这个题，它说已知两圆相切，问AB满足什么样的参数，这个相切它包括什么呢？包括内切或者外切啊？

所以在这里面，大家选的时候不要漏掉了，不要漏掉这个情况啊，有可能内切有可能外切好，大家呢，看看，只不过这道题它比较简由，由于两圆半径是相同。半径是相同，这道题就不可能是内切，因为要内切的话，两边半径一样的话，它又重合了好吧，所以这道题半径是不一样的，它只能是。

外切如果这两圆半径要改成不一样，比如说一个半径是2r，一个半径是r，那这个呢，它就会产生内切，还有外切的这样两种可能性好吧。所以这道题因为它半径可以观察，正好是一模一样，一模一样的话，那在这里面我们就不用管它好，这个圆的圆心正好是AB这个点，另外一个圆的圆心是BA这个点。好它d就可以写成根号下。a-b^2+b-a^2，然后d正好，

因为它只能是外切，外切就等于两圆的半径线线。相加了就等于2r是吧？2r然后两两两式平方左右两边给它平方平方完后，这个a-b^2跟b-a^2是一模一样的啊，所以平方完以后把根号去掉。就变成二倍的a-b^2啊根号去掉二倍a-b^2，然后这边就变成4r方是吧4r方，然后两边把二约掉就得到a-b^2。这样等于2r方在这里面，我们就可以选择是b选项就求解出来了，好，这是给大家强调的，我们再把这个题需要注意的地方给大家进行进行说一下。这个相切，

首先大家注意相切，包括内切，外切这两种情况不要漏了，另外观察这两圆半径的情况，有时候有一种切呢是。呃，不存在的，像这道题啊，半径一样，那些是不存在的，然后抓住它外切的判断条件，然后再来化简就可以了。好，下面咱们看判断两圆共线有几条共线线呢？我们先求位置关系啊，

一定要先求出它的位置关系，然后再写公切线。先把位置关系写出来，然后再求它工业线好位置关系的话，我们把c1这个圆给它配方好吧，因为这个圆得配方。x+1^2。加上y+1^2。等于个四是不是这样的好c2这个圆给它配方c2这个圆圆可以配成x- 2^2，加上y- 1^2，它也等于四。啊，这两圆半径是一模一样的，是不是这两圆半径它是一样配方好？那这个圆心距d我们看这个圆心呢？

是负一负一是不是？这个圆心呢是二一，这个点好d又可以写成根号下好，这个两点距离公式这个二跟负一差值就相当于三的平方。加上一跟负一的差就二的平方，就等于根号13是吧？就等于根号九加四九+4就得到了13啊，就三的平方+2^2九+4就等于。根号13好写好了，写好大家可以看这个根号13。这样小于r1+r二大于r1-r二，因为这道题大家可以看r1-r二正好为零，是不是因为这两个圆的半径，它都为二，所以它这个这边就为零啊零？

然后呢？这边呢？正好是四，因为两个圆半径都为二二+2，正好是四，所以在这里面大家可以发现这两圆呢是相交的情况。好，如果两圆相交的话，它的公应线应该有几条啊？是不是应该有两条啊？所以在这里面有呃两条，而且这两条是什么公应线啊？是两条外供应线，它没有内供给线。是吧，

所以在这里面就两圆是相交状态，它就有两条空间线好，这是给大家说的这个例八看是不是会分析了？接下来我们看一下这道题，他说这两圆有交点啊，我们在讲直线和圆倍的关系时候给大家已经说了，有交点和相交，这个是不一样，概相交是特指。是两个交点啊，就是只要涉及到曲线，它们的相交这个词就代表是两个交点，现在有交点有交点，它可以是一个交点，也可以是两个交点。

是吧，所以说在两圆，它要有交点的时候，一个交点就可以相切相切，有可能是内切。有可能外外切是不是，然后两个交点呢，就相交，所以它包括这几个位置关系，到时候写范围的时候不要给求错了啊，不要给写错了，好在这里面我们来看一下。啊，这两个圆，第一个圆已经把它配成呃，

配成这个标准式啊，不用动了，第二个把它变形成标准式，然后可以把它配成x减。x- 3^2+y- 4^2=1个25。是不是可以把它配成s- 3^2加y- 4^2，正好等于25可以把它配成这样的情况啊，配成s- 3^2加y- 4^2正好等于25。把它配好。配有它的半径正好15，看是不是这样的，它半径正好为五好，那在这里我们先求出两圆的圆心距d是吧？两圆的圆心距dd呢？就等于什么呢看？

好，这个圆的圆心呢？是二一点啊，这个圆的圆心是二一点，这个圆的圆心呢？是三四点啊，这样就写好了。好，那么这个是二一点，这是三四点，那么d就可以写成它的这个数值根号下，然后这个三跟二相减是一的平方加上。四跟一相减就三的平方，它正好等于根号十是吧？根号十好，

那么它要满足有交点，那在d要满足什么情况？是不是d得小于等于r 1+r？是吧，大于等于r1-r绝对值，因为这两个圆你不知道谁半径大谁半径小，所以这个就得加上一个。呃，绝对值啊，它的半径是r嘛，你有可能它的半径大，它的半径大，不知道，所以这个时候加上绝对值啊。好套这个公式就行了，

套公式就可以得到什么呢？得到这个r就是第一个圆的半径了，第二个圆半径是五啊r2，相当于是等于五，明白吧？小于等于这个d这个d是等于几几呢d呢是等于根号十。然后小于等于r，加上这时候右边不用加绝对值啊，右边这个r1就是第一个圆半径就是r。加上r第二圆，半径是五，大家知道这个五肯定比根号十大，对不对？五比根号十大，它加上r它。

加上一个数更比根号十大，所以右边就不用解了，我们重点就解左边这个行了好吧，左边就解r- 5的绝对值小于等于根号十。小于等于根号十就得到r- 5，小于等于根号十，大于等于负的根号十，然后这样r我们就可以写出来r呢，就得到是五加上根号十。大于等于五减根号十好，这样写好了啊，所以说五减根号十到五加根号十，这就求出它的这个结果，看这个题是不是学会了？好吧，

要掌握它的。啊，做题的方法看是不是听懂了，好通过这道题，大家要掌握的内容，我们呢，就要知道它如何啊，找到把这有焦点进行转化。转化完以后，我们呢就可以写出它的这个结果啊，而且这个有焦点，包括一个教练，两个教练，一个教练，内切外切啊，

这样的情况啊，所以右边取等号就是外切，左边取等号就内切。然后如果都不等，都没有等号，都是小于号，都是小于号，那就变成相交，所以把这几种情况合在一起，就这个结果，好在这里面建议大家就选择c选项c选项这。加上一个等号就行了啊好，这是给大家强调的做题的方法，看是不是听懂了，是不是学会了？

好，下面咱们看一下这个题，又问这个两圆的共心线有几条共线，有几条还是要找两圆的位置关系是不是？所以这道题我们呢先？把第一个圆给它配方啊，配成x- 2^2，加上y+1^2，它应该等于四第二圆，把它配成x- 2^2。s+2^2加上y- 2^2，它等于个九是不是这样的，所以在这里面它等等于个九。好，那么它的圆心呢？

正好是二负一，这个点它的圆心呢？是负二二，这个点啊，它的半径呢是二。它这个半径呢，是三好，接下来我们算出dd就等于根号下好，那么这个两圆的原距就二跟负二就是四的平方是吧，然后负一跟二距离就三。的平方正好等于五啊，所以这个d=5 d，它正好等于r 1+r二呃，我们看d它跟r 1+r二的这个要求啊。所以看一个半径是二，

一个半径是三，所以它正好等于二+3。所以这样等于r 1+rr一+r就说明两圆是外切，对不对？好，既然两圆外切的话，那我们讲外切是不是有三条公共线？想想外切。那有三条公业线，其中有一条是内公业线，有两条外公业线是不是这样的，所以说大致呢，就三条公业线，所以正确答案选择c选项。看这个题是不是学会了，

是不是明白了？好，接下来我们来看一下已知圆的位置关系，要求这个参数a到底是多少？好，那这两圆内切这样内切得要注意的特征什么特征呢？就到底谁的圆半径大，谁的圆半径小，要知道啊。所以大家不要漏掉了，听到没有？可能这个圆大把另外一个圆包到里面，有可能这个圆小被另外一个包到里面都有可能啊，好接着第一个圆，它的圆心呢是零零点，

它的半径呢正好是二。好，第二个圆，大家配一下方，第二个方可以把它配成x-a^2，是不是加上y方，它正好为一，所以这个圆的圆心是a零点，它半径r2。正好为一啊，所以它的圆心大家可以看，正好是a零点，它半径是呃为一的好，接下来我们来看一下内切内切的话就d我们先把d求出来啊。dd的话，

大大家可以看这个是零零，这个是a0它d呢，正好等于a的绝对值是吧？就等于a的绝对值。好，这个零零点跟a零点嘛，其实就是a的绝对值好a绝对值，它正好等于这个呃，要那些就等于r1-r二。是吧啊r1-2这个举例子，因为这个半径大，这个半径小，那只能是呃前面这个圆大，前面这个圆大哈，那说明前面把后面给切住，

如果如果后面这个圆啊，后面这个圆如果含有一个参数，知道吧？比如这个，它不是一个常数含一个参数，参数你不知道这两个圆半径到底谁大谁小，这时候呢，要把这个r1-r二这块要加上绝对值。感觉这道题当然不用加，绝对值了是吧？这道题呢？比较简单一点啊，比较简单，因为这两个半径都是都是已知的常数，那这个好算，

如果不是已知常数的话，这要加上绝对值，这个正好就唯一。这样推出a等于正负一认，认为选d选项答案就求解出来了好，这是给大家已经强调了两圆，它的一些位置关系一个判断方法，看是不是学会了，是不是明白了。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册