7-02直线（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 19:00:09

接着咱们来看一下直线这块，直线这块是咱们考试重点内容，先看一下直线第一个内容，直线第一个就核心参数，我们谈到这条直线最关键的是什么呢？最关键就是切角。和斜率好，为什么倾角斜率是最关键，就像咱们呃爬山一样，比如说啊，你说跟你同学说爬山了，比如说呃最关心的什么，这个山是陡还是缓？是吧，陡缓情况啊，

这个坡度怎么样？是吧，这个爬山的时候坡度，所以这个是呃，倾斜角也是大家呢，关心最多的啊，就相当这个直线，它的倾斜程度啊。那么，怎么定倾斜角？倾斜角就是ux轴正方向所形成的夹角啊？ux轴正方向所形的夹角就称为倾斜角，然后即为阿尔法。啊，其中要求阿尔法是在零到派的，

阿尔法是在零到派，然后阿尔法那么最小就是零啊零是什么情况呢？零它又跟x轴呃重合，或者说跟x轴平行。啊，平均就有倾斜角呢为零，然后它逆时针转啊，绕着哎，绕着这个这个点，然后逆时针转。绕绕这个焦点，逆时针转，逆时针转这个倾角，慢慢在增大，慢慢在增大是吧？

增大然后啊，一直转到接近180，如果超过180怎么办？超过180你就取旁边那个小角就行了啊。凑180你就取那个小角，这样就可以写出来了，好，这是给大家强调的做题点和方法。好，那我们看呃，注意两个特殊的情况，一个是直线水平的时候，如果直线水平的时候倾斜角就为零啊，直线水平倾斜角为零，直线数值的时候。

倾斜角就为90度啊，所以就是一条水平线，那这时候它的倾斜角就为零啊，如果一条竖直线这样的话，那么倾斜角就是90度啊，这是。给大家强调的特征，接着咱们看一下斜率，看一下斜率的情况好，那么倾斜角有一个什么样的弊端呢？它并不说这个倾斜角越大。直线越陡峭啊，并不是这样的，比如说啊，这是3度的。

好，这是六六十度的，然后这还有个一一百五的，你看这个60度倾倾斜角。啊，这个把画一条啊x轴啊，画一条这个ix轴，这是150度。大家可以发现，这个150度是不是比60度大？但是这个150度我们看它直线，反而平缓一点是吧？不是那么陡峭啊，所以在这里面就是呃倾斜角，它有个弊端不能够。

呃，客观的描述直线都缓程度，所以在这里面呢，我们呢就引入斜率啊，斜率斜率是引入一个三角函数啊，在咱们讲平面几何的时候给大家讲过一个正弦定理，还有一个余弦定理正弦余弦是吧？然后在咱们解析几何里面，再学一个正切，这样的话就够了啊，其他三角函数咱们不要求了，好那么k就等于tan阿尔法啊tan阿尔法就是倾斜角的正切值。就是为斜率。啊切线角正切值，然后这阿尔法呢？

是不等于二分之派的啊阿尔法，它不等于二分之派好，这是它的这个特特征。好，那么因为呃90度的时候，这这些值它是不存在是无穷的好吧，所以阿尔法等于二分之派的时候，为什么它这个不存在，因为它分母为零啊，所以说它就无意义，所以要把它去掉。那接下来我们看几个特殊情况，当阿尔法等于零零的时候，那么这个斜率k就为零，因为它那阿尔法就为零。

啊，关于这个tan阿尔法，有同学总是弄不清楚它的呃含义是什么，我来给大家进行解讲，讲那么一个角。一个角，它的正切值正切值是什么叫tan阿尔法？它怎么计算的？它概念啊，因为中学学的有同学忘记啊，好那么它tan阿尔法就等于一个角的对边比上一个角的邻边啊，就等于对边。比上一个邻边。好，这样的一个情况啊，

就拿对边比上邻边，这样就写好了啊，对边的值比上邻边的值。所以说呃，首先这个tan阿尔法，它都要在直角三角形里面啊，直角三三三角形里面啊，一个角它的正切值就等于对边比上邻边。啊，这是它的，它定它定值的一个定义情况好，那接下来我们来看一下它的特征啊啊，它特征当阿尔法为零的时候，当阿尔法为零的时候，因为这个对边就为零。

发现没有当阿尔法为零，大家想象一下，然后这个边长就为零，这个边长为零零，比上任何数，它还为零，那这时候呢k就为零，斜率为零。好，当然的话，零到90度的时候，这时候斜率为正啊，这个k呢是大于零的。好当阿尔法等于90度的时候，如果这个角要是90度，

大家想一下要90度的话啊，90度的话，那这个邻边就为零是吧？如果这个要90度的话，这个邻边它就为零。好邻边，它为零的话，分母就为零，分母就为零的话，所以这个k呢啊，它就不存在了啊k，它又是不存在好。好吧，所以在这里面tan阿尔法啊，它就无穷啊，

不存在也可以写成无穷啊，也可以写成无穷都可以，阿尔法大于90度，小于180的时候k就小于零。啊k是小于零的啊，阿尔法大于零，小大于90度，小于180的时候k是小于零的，这样话就可以。看出来有这种情况啊k是负的。好，所以说当斜率k要为正的时候，它这个直线呢？是这样画这样画这条直线是单调增的，当k要小于零的时候，

它直线是这样一种倾斜程度它。直线单调递减的也就说随x增大，它的直线呢，是越来越小啊y越来越小好，接下来咱们看一下两点斜率公式，两点斜率公式，这个呢，非常重要，这块怎么推导出来的，我给大家进行写一写。好，那我们来看一下它这个怎么推导出来的？好，这是一点p1。好，

那么这后面还有点p2。啊p2。好，这个p1还有这个p2。好p1和p2，然后这个p1坐标是x1y1，这个p2是x2y2。s2y好，那在这里面，我们来看一下什么叫做斜率，刚才咱们讲了斜率就是倾斜角正切值这个是不是就是倾斜角啊？倾斜角这个正切值，但这个倾斜角这个角度咱不知道对吧？不知道咱们怎么做呢？咱们就做一个辅助线。

做一个这样的辅辅助线，做一个辅助线以后，然后这个不就是阿尔法吗？是吧？做一个辅助线这个就是阿尔法。好，这个就是阿尔法作为一个辅助线，注意看，这是阿尔法好，那这个阿尔法大家可以发现这两个阿尔法它一样对不对？因为这是我们前面讲过的p。平行直线什么角啊？大家回想一下。啊，是同位角对吧？

所以这个同位角它是相等的同位角，它相等那么在这里面，我只要求出这个阿尔法探针值，阿尔法探针值，刚才咱们讲了这个探定，阿尔法是等于谁比谁呀？是不是等于对边比上邻边呀？对边比上邻边，所以这个就是对边，对边就是y2-y一比上邻边，邻边就是x2-x一。是吧，这样的情况啊，这是y2比减yx2-x一，好在这里我们就可以写出它的判定值啊，

就等于这个公式拿这个对边比上邻边。套上面那个定义式，这样就可以写出来好看，这一块是不是明白了？是不是学会了？接下来我们来看一下，给大家再继续强调一下动态的直线，刚才咱们讲的都是静态化的是吧？静态化的呃，容易分析，我们看一下动态直线。好，为什么要学动态之间呢？因为在二零年考试真题里面就给我们呃提提醒了，未来考试的趋势都考到动态的变化的最值或者范围。

啊，这是咱们未来考试呃，核心点，而且也是大家容易丢分的啊，容易错的点好，那么首先大家要注意这个tan阿尔法，它的一个变化情况。tan阿尔法，它的变化情况是什么样的？刚才咱们说了，当这个阿尔法等于零的时候，那么tan 0。它就为零，当阿尔法大于零，小于90度的时候。

好那么tan阿尔法啊，这是为正的，而且随着阿尔法的增大，阿尔法增大这个tan阿尔法，它也在增大。它它也在。增大的好，这是它的这个特征，它也在增大好当，阿尔法等于90度的时候，阿尔法等于90度的时候，那么这个tan阿尔法。它等于无穷，当然也可以描成不存在。你可以描成不存在，

所以记住啊，这时候tan阿尔法等于零，我从呃呃着重给大家标注一下，这是一条水平线。好，这是一条竖线。好，这条水平线，这条竖线，这样就写好了好吧，一条水平线，一条竖线写好了好，然后在这里面我们来看一下，当阿尔法大于90度，小于180的时候。

好，这个tan阿尔法，它是小于零的，实际上这时候随着阿尔法增大，这个tan阿尔法，它也在增大啊，它也在。是增大的，所以大家可以发现这个tan阿尔法总是一个单调增的一个函数单调增的。啊，这个函数这个函数同样我们就不要求了好吧，大家要知道它的变化趋势，动态的一个变化趋势就行了啊，这是给大家说的这个特征。好，

接着咱们看一下直线，它的旋转情况啊呃，旋转情况通过刚才咱们那个tan阿尔法，它的一个动态的变化，我们就知道直线它旋转情况好。假如这是x轴，这是y轴。这是x轴，这是y轴这一条线。然后这是阿尔法，阿尔法好，阿尔法等等于零的时候，这是水平线。然后阿尔法大于零，小于90度的时候，

阿尔法在大于零，小于九，90度的时候。然后直线如果逆时针旋转啊，逆时针旋转。逆时针旋旋转时，阿尔法在增大这个斜率k，它也在增大，好吧，就是它这个逆时针是怎么逆时针旋转就绕着？一个固定的点啊，绕着某一个固定的点就是这个点，这个点固定在哪无所谓啊，固固定是否在x轴上无所谓，好吧，

所以在这里面就以固定在x轴上为例，要简单啊。固定到任何点都行，然后它这个逆时针在在旋转。这样在转是吧？所以在这里面大家呢，要要知道，比如说转过来以后啊，那我们比如说我们再画一个蓝色的线。啊，转到这，咱们这个蓝色的线比这个黄色的线呢，斜率要大，而且它倾斜角，这个倾斜角也在增大。

好，接下来再转转到阿尔法等于90度的时候。这时候称为一条竖线。啊，一条竖线好那么水平线的方程，我给大家先写一写啊，水平线的方程可以把它y等于某个常数。啊，竖线放在。x等于某个常数。好，这是它的这个特征，好，那接下来我们看一下阿尔法大于90度，小于180的时候。

好大于90度，小于180的时候，它继续再逆时针旋转啊，我再给大家再画一再换一个，这个情况好吧？然后它说这个好，继续再逆时针旋转啊，就超过90度好，超过90度再继逆时针旋转。好逆时针旋转时。好，这个阿尔法它在增大是吧？这阿尔法它的倾斜角在增大，比如说啊，100度啊，

120呀，140啊，160啊等等的阿尔法在增大。这个斜率k它还在增大啊，斜率k还还在增大，但在这里面注意这个斜率k是负的啊，它的绝对值在减小，明白吧？绝对值它在减小，但它斜率本身是在增大的，明白吧？斜率本身是在是在增大的，所以大家呢？要注意它的这个特征，比如说我给你举个例子，

这这条直线下来，斜率k是负二。啊，写的k是负二好，那再往下画。再往下k，就可以变成。呃，负一啊，负零点五啊，你可以发现它这个斜率，它在慢慢在增大的好，这是给大家说的这个特征和方法，看是不是明白了好，这是给大家。

这样的，所以我们可以概括一下一个什么特征呢？概括一下概括就不管怎么样，只要直线逆时针在旋转斜率都在增大。好吧，协议都在增大，这是给大家进行强调，做题时候不要出现错误，因为有时候要选择斜置的范围情况，大家呢，不要写错答案。好，所以我给大家进行总结，直线逆时针旋转那么k的值怎么变化啊？直线啊k的绝对值到底怎么变化是吧？

所以在这里面我们就可以给大家进行总结一下啊，就是把这个。板书基本上后，我们呢就可以。给大家进行写好，那么直线如果逆时针旋转的话，那么不管怎么样啊，逆时针直线逆时针旋转。k都在增大直线。逆时针旋转。如果要顺时针就反过来啊，顺时针就反过来，所以直线逆时针旋转。啊k是在增大。就无论是正负情况啊，

无论k是正的还是负的，它都是在在增大好k的绝对值情况，我们来看看，如果直线要逆时针旋转。啊直线如果要逆时针旋转。直线逆逆时针旋转，旋转的时候，如果这个阿尔法要在零到9度的时候。这个k的绝对值其实就等于k，它是在增大的。好阿尔法如果大于90度。小于180的时候，这个k是负的k的绝值等于负k。好k的绝值是在减小的。k的绝对值是在减小啊k本身在增大，

明白吧？k本身在增大k的绝对值是在减小的。好，那么在这里我们就可以给大家进行概括一下，就是k的绝对值越小。k的绝对值越小，那么直线越平缓。好越平缓代表什么意思？就越接近于水平的，就像爬山一样，这个山比较平是吧？平如果k的值越大，这个直线呢越陡峭。啊，直线越陡陡峭，

比如让你比较一个k。等于一个负五和k呃，等于一个二那这两个它的情况，我们可以看k=- 5，它的绝对值比较大是吧？绝对比较大，它又比较陡。不要抖画出来是什么情况呢？呃，画画出来就这样的一个情况是吧？这样情况就是k=- 5的时候。k等于负好，那么k=2的时候什么情况？k=2 k=2的时候它就稍微缓和一点啊k为二的时候。稍微缓一点好吧，

所以这是给大家进行总结的啊，把这一块要记下来，做题时候不要给选错了，尤其比如说k大于几小于几，怎么旋转在做题中，大家千万。别给选错了。好，那如果顺着旋转，那就反过来是吧？顺着旋转k的值呢？就在减小啊，所以在这里面我们也可以简单写写，顺着旋转k的值就在减小。如果顺时针。

旋转好k呢，它是在减小的。它k的值在减小，越来越小越小好，那么如果k的绝值变化情况就刚刚咱们写的啊，把它给呃分成两种情况是吧，如果阿尔法要在零到90度的时候，那么k是在减小它顺着旋转。如果阿尔法要在呃呃这个9度到一百八九度到180的时候，那么顺着旋旋转那么k的绝对值，它在增大好吧，这块刚刚咱们写过了，大家把那个文字呢补充一下就行了。好，这是给大家进行强调的特征。

好，接下来我们就通过考试方向，把这个直线的核心参数给大家进行总结一下。ctrl 1就倾斜角和斜率。倾角斜率它注意特殊的倾斜角，比如90度，而且注意斜率的正负和大小变化到底斜率在增大还是在减小，是往大的方向变还是往小的方向变，要知道。好，我们来看一下这个题，关于倾斜角及斜率下列说法，有几个是正确的啊，注意第一个倾斜角越大，斜率越大，

这个错了。是吧，这个这个错了，比如说呃倾斜角阿尔法等于这个120度的时候，那这个时候k。啊k还有阿尔法等于这个60度的时候，这个这个k虽然这个120度比这个60度这个k呃这个倾斜角大，但是这个斜率要比它小，因为这个斜率是负的，对不对？这个斜率是负的啊，所以第一个错了，第二个当倾斜角为135度的时候，斜斜率为一，那这个错了，

因为它大于这个90度，大于这个90度的话，斜率应该是负的。好吧，这个应该是负值啊，应该负的。好倾斜角小于90度的时候，倾斜角小于90度的时候，小于90度的那倾斜角越大，斜率越大，这个是对的，刚才咱们讲过是吧？倾斜角小于90度就零到90度的时候。那倾斜角越大，那么斜率越大。

当倾斜角大于90度的时候，倾斜角越大，斜率越小啊，这个错了。倾斜角越大，还是斜率越大是吧？倾斜角越大，就相当于这个直线在逆时针旋旋转。进行旋转的时候，那这时候斜率。啊，斜率它仍然是越大，所以在这里面好，这个答案应该选择b啊，选择b，

所以这一块叙述错了，另外通过这个，大家要掌握常见的判定值啊。常见几个摊点值，就跟我们在学上一章，要让大家掌握常见几个正弦值一样好吧，所以大家常见几个摊点值这一块，也要会分析和思考啊。所以tan值的内容大家要会分析，比如tan啊，这个阿尔法和tan阿尔法。阿尔法还有tan阿尔法，然后零。好，然后呢？

就30度30度可以写成六分之派。45度。然后60度和90度。好那么零的时候，它这地方阿尔法就为零。另外，3度3度有三分之根号三。45度是一，然后60度是根号三，这个90度是无穷或者写成不存在好吧，这是tan阿尔法啊，如果要是。呃，互补的两角要互补它的呃，它的值互为相反数，

比如说30度是30根号三，如果要150度。啊，150度150度又负的三分根号三，如果要135度135度斜率为负一好吧，135度斜率为负负一要120度就负根号三。这样的特征好吧，这个给大家强调这个做题的方法，看是不是明白了，是不是学会了？好，下面咱们看一下这个题，直线l与呃与直线y=1 y=1注意，这就是一条水平线啊，这个咱们前面讲过l=7就是一个竖线。

分别交于pq两点啊，如果pq的中点坐标是这个值问直线l的斜率到底是多少？好在这里面我们来看一下呃，这道题要用的知识点，一个是焦点，还有特殊的线，要知道是吧，就是特殊线就水平线，刚才讲了水平线要写y等于某个数。然后竖线写s等于某个数啊水平线，然后另外。又利用了中点坐标公式啊好，那么这个直线l与这条直线交点p点好，大家知道p点呢，它的坐标y坐标肯定为一，

所以我们可以假设p点坐标是x1。是吧p点坐标就是x1嘛，因为它的y坐标肯定就是一另外一个坐标，咱不知道是多少，因为这条直线咱们不知道。然后q点。q点因为这个是是竖线产生的焦点，竖线产生焦点，所以这个呢就是x7，然后这个就是y。好吧，所以这个焦点这个焦点就是七啊，这个x坐标七，然后横坐标焦点就是y，这样就写好了。

然后这个pq知道了，然后又由pq终点pq终点。终点为一负一，这个我们呃前面讲过终点公式，终点的公式还记不记得我们怎么用啊？就两个相加等于终点坐标的两倍是不是？大家看有没有两两相加等于纵坐标两倍，所以这个x+7应该等于二。s+7应该等于二，然后一+y一+y应该等于负二啊，一+y它应该等于负二，这样的情况啊，就一+y它应该等于负二。啊，这样就可以写出来，

写出来后那么就可以把x和y给它解出来x又得到是负五，然后y的值。y的值就得到是负三。好sy解出来了，那么就相当于是两点知道了，因为这个pq正好在直线l上，如果直线它经过这两点，那么它的斜率跟。跟上一题一样好吧，所以这个l它的斜率。k就等于然后让y坐标相减y坐标，这个不是负三吗？负三啊，我用前面减后面吧，就一减负三就一加三是不是？

所以就一减负三一加三，然后x减七x减七就负五减七，然后这上面有四，这是负十二就得到负的三分之一。这个呢，就选择b选项答案就求解出来了，好看这道题涉及到知识点，我们给它概括一下是不是学会了，第一个就是呃，特殊线，水平线和竖线的方程会不会写y等于某个常数就是水平线x等于某个长就是竖线。第二个就是两点的终点公式，大家会会不会写是吧？然后第三个就是两点坐标，知道了，

求两点的斜率，看这一块是不明白了。是不学会了，把这几个公式掌握清楚就可以了。

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