平面几何-综合提高题-问题求解（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:59:34

好，下面咱们看第15题，这道题主要考察一个角度问题啊，考察特殊角。好已知正方形abcde是CF上的一点啊e点是CF上的一点，然后四边形它的菱形好，大家注意菱形的特征就是四边长度相等。好菱形的特征，它的四边长度呢？是相等的啊菱形。这个be fd菱形菱形这个四边长，它是相相等的好则角be f到底是多少啊？求这个角be f。到底为多少？好，

那要求这个角度的话，那我们来看一下菱形，关键点要连对角线啊，所以菱形这一块儿，它对角线很重要，所以在这里面。好，我们要想到连一下这个对角线。啊，这个对角线好，那在对角线这个三角形里面，我们再做一条垂线啊，因为我们把它转换成直角三角形，那这一块儿呢就好分析一点，所以说我们在做一条垂线。

啊，做一条垂线，这样就好，分析一点好，大家知道假如这个是。eg啊，这是好这一点啊，做一条垂线，好垂线以后我们可以看一下这个e到。这个BD的距离跟隧道BD的距离是一样的，也就说这两条红色的线啊，它的距离呢？这个是一样的，为什么？因为它是平行的啊。

因为BD跟CF它是平行的啊，就BD的BD的长度跟CF它是这两者呢，是平行关系。平行关系法，所以这个做垂线，这个呢也做垂垂线，所以在这里面好，那么这两个垂线长度呢是一样的，所以eg的长度。啊，就等于啊，这个c座垂线的长度好，那c座垂线长度正好是bcd，这个等腰直角三角形，它的一个高。

啊，它的高等腰直角三角形，它的一个高，我们假设这个正方形的边长为一好吧，这样好做一点啊，假如正方形的边长为一。所以这个一一的长度应该等于一个二分之根号二倍的啊，所以在这里面我们呢就可以求出，就是二分之根号二倍的BC。它要等于二分之根号二。啊，等于二分之二好，那在这里面，由于这个be的长度等于BD的长度。是吧，

所以在这里面大家知道be的长度等于BD的长度啊，这是题目已知。条件因为它是一个菱形啊，它是一个菱形，所以b的长度跟b的长度相等，那都等于根号二。倍的BC，这都等于根号二好，那在这个直角三角形里面，大家可以发现呃，这个角这个直角边是斜边的一半儿是吧？直直角边斜斜边一半儿，所以就可以推出这个角角ebd是等于30度。所以角ebd它有3度好，那么角ebd它正好是3度好，

这个角就是3度。好，那这个角要33度的话，那在这里面我们呢就可以求出bf这个角啊，就推出角。be f就等于120度。啊bf它是啊，120度啊，150度啊，用180减掉30。就是150啊，这个呢，就选择d选项答案就求解出来了，所以这道题大家做题的方法主要是借助咱们讲过的直角三角形啊，特殊直角三角形。

30度69度，要知道它三边的一个比例关系啊，这样就可以把角度求出来，角度求出来以后，然后我们就可以写出那么其他的角度啊，答案就写好了。好，第16题我们来看这道题，它主要考察啊，这个图中它的阴影面积到底是多少？好，那阴影面积的话，我们在这里面，我们把每一块儿啊，圆环的面积写出来，

它对应的圆心角。都是9度啊，对应的圆角，它都为9度，好在这里面我们看一下它给了啊，这些长度啊，给了这个长度，然后这个一呢是代表这之间的距离。然后三呢，是代表这之间的距离啊，这个之间距离是三二呢，是代表这个圆环之间的距离。啊，圆环之间距离好，那我们来可以看一下，

假设里面这个圆的半径为r1，中间这个圆半径为r2，外面这个圆的半径为r3。好，我们就可以知道r1正好等于二啊，等等于3r一呢，正好就为三。所以r1的值它又是三，然后r2的值r2的值就三+2就等于五。然后r3的值r3的值就是三+2，再加一就等于六好吧，所以这样写出来好那么s阴影就可以写成。好，首先来看最外层这个圆弧就四分之派r的平方，它就是派r3方。

减r2方。对吧，然后再加上四分之派，中间这个值中间这个值正好是r2方。r2方减r1方。然后再加上四分之派，再加上四四分之派的话啊。这里面这个圆弧，这里面这个圆弧正好就是r1方啊，属于四分之派乘以r1方，好在这里大家可以发现，你可以把这个四分之派都给它。啊，提出来好把四分之派提出来，就算r三减r二r二减r一加上一个r一，

所以这样就得到四分之派。乘以r3的平方。然后就等于四分之派。乘以一个六的平方，这样就得到九派，所以这道题正确答案就选择e选项，答案就求解出来了。所以通过这道题，都要学会每一个圆弧啊，对应的面积啊，用这个圆相减，它是一个圆环啊圆环。希望大家在做的时候先把它化简，再带着数值啊，可以有同学在一开始做的时候是把每一个面积都给算出来了啊，

就这个数值算出来，这个数值算出来，这个数值算出来，然后最后再算总的答案，这个虽然答案是正确的，但。就是你这个化简的时候就是稍微复杂一点，咱们呢，直接这样做的好好处，就是看看r2跟它约掉了是吧？r1跟它这个r1它在加的时候。直接就可以约掉啊，就可以抵消掉，所以这样做起来比较简单。好，

第11这道题。它是正方形的，边长是十。啊正方形的边长是十，它有两个半圆弧，所围成的一个阴影面积到底是多少啊？阴影面积到底是多少？好，大家可以看这个圆弧的半径就为五，因为它直径为十啊。半径呢，是为五的，所以这个圆呢，半径为五啊，当然这个圆呢，

半径也为五，所以说在这里面大家可以看一下。这一连，这其实正好是它的中点好吧，所以这个长度它都为五，正好是它的中点。好，那接下来咱们来看一下啊，我们算一下它的这个值好，你这个连线以后大家可以看出什么问题呢？就是右边这一块儿啊，右边就这这一块儿。这块儿可以给它割掉割掉，补到这一块儿来是吧？补到这个空白的地方来，

然后左边左边是这一块儿啊，左边这一块儿。好，左边这块儿也给它割掉，补到这块儿来啊，补到这块儿来，然后补完以后那么就可以发现正好是整个正方形面积的一半儿啊，所以s阴影。正好等于正方形面积的一半。正好等于50，这样大家就选择d选项啊，正好得到它整个正方形面积一半，得到是50d选项。所以通过这道题，大家要学会这个割补法。

好割补法，把它用好了，对咱们做题来说是非常的简单啊，如果你不用割补法，你要求出每一部分面积在相加，那这个过程就比较复杂。所以大家要想到割补法，用割补法来进行分析和求解。好，下面咱们看第18题好，这个题目大家来看一下它的这个图。它的这个图有点像八卦图一样好AB是圆的直径啊，其长为一啊AB的长度呢，它是为一的。就AB总长，

它是唯一，它现在有三等分点啊，分别为c跟d。好，那也就是说，通过这个就知道AC等于CD等于BD，它都等于三分之一。就AC等于CD等于BD它等于三分之一。好那在AB的两侧以AC。以AC，然后AD，然后CD。然后BD分别，然后来画这些圆啊画圆，然后这四个半圆将原来的圆呢分成三部分啊。

啊，分成三部分，然后则其中阴影面积到底是多少？求其中阴影面积的值到底被多少？好，大家可以发现这个阴影面积的话，它上下是对称的啊，按上下它图形正好是对称的。对吧，所以它这个对称的啊，对称你只要求出其中上面一半儿，然后再乘以个二。就行了是吧？上面一半儿，所以上面一半儿就是上面这样以以AD为直径的一个半圆。

啊，半圆减去，以AC为直径的一个半圆，然后再乘以二，这样就行了啊，好，所以在这里面s阴影。se然后呃，这个半圆，然后再乘以20就是一个圆啊，就是一个圆就等于派。乘以这个二分之。AD的平方减去，然后二分之AC的平方啊，这样的情况啊。

所以得到二分之AD的平方，减去二分之AC的平方，这样就写好了。然后AD的长度正好等于一个呃三分之二啊AD的长度正好等于三分之二三分之二，那这个就变成三分之一的平方了。然后AC的长度正好是三分之一AC长三分之一，那除以二就是六分之一的平方，所以这样就等于派乘以个。九分之一再减去一个，三十六分之一。然后算出来就等于十二分之一啊，算出来就等于十二分之一，所以就等于十二分之派。所以第七题正确答案就选择e选项啊，这样就求解出来了，

所以第七题答案就选择e。这样就写好了，好这个给大家强调的做题的方法和思路好，那这道题它主要的考试知识点和内容呢，就是要掌握的内容就是我们在学的时候啊，要看一下。它的几部分的面积的关系啊，用这个呃圆弧相减啊，来求它的面积。好，下面咱们看下第19题这道题。角bac=45度啊，这个角bac。bac啊，这个角45度。

然后CA的长度就AC的长度正好是10 AC的长度，这个十好，然后求阴影面积到底是多少？好在这里面由于它45度，那这样一连。啊，说明b点正好是终点是吧？因为a是要为直径的话，那这个角是九九十度嘛，因为咱们讲过直径所对的圆周角都是90度。好，那这45度，那这个角自然而然也是45度了，对吧啊？也是45度好，

所以两边呢？正好是对称的。所以两边对称的话，你可以用根号把下面AB下面这块儿阴影部分，就这块儿阴影阴影部分。好一部分给它减掉，减掉给它补到这来啊，补到这来，然后这样啊就好求解了。补到这了，所以这样的话，一补的话，那这个就可以拿一个45度的一个扇形，然后减去一个等腰直角三角形就行了啊，所以s阴影。

s一就拿四十五度的一个扇形好，那么四十五度的一个扇形就相当于是八分之一圆啊，就八分之派乘以r方。好，那这个半径呢？就是十啊，半径就是十百分之派，乘以二方就半径呢？就是十啊，所以在这里面。它的半径，这就为十。减去一个等腰直角三角形，大家知道等腰直角三角形的面就等于就等于四分之斜边的平方啊。所以说，

对于等腰直角三角形，它求面积的公式就等于四分之斜边的平方啊，这样就可以写写出来。好，那这样就可以提出一个25，提出25这个剩一个二分之派，然后再减一个一，这样就行啊。第八题建议大家就选择e选项，所以这道题也要大家学会收获，也要学会呢，用那个补法。还有这个减法。啊，所以各部法，

然后用两者相减，用圆弧剪掉三角形就可以得到它的命运值了，这样就可以写出来。好，这第八题给大家强调的考试要点和方法，看是不是弄明白了？好，下面咱们看一下20题，这个题来告诉我们这个角bad啊，等于个45度。然后AB的长度是20 AB的总长为20，好那么求这个阴影部分的面积到底是多少？求阴影部分的面积，好在这里面大家可以发现好这个阴影部分。啊，

它怎么样去进行求解啊？怎么样求解要简单一点好吧？好，那我们来看一下它的阴影部分好，这是一个半圆减掉这一块儿。对吧，是这一块儿好，然后这个就是一个四四十五度的一个扇形扇形，然后再剪掉这个空白的。再检查这个空白的。好，所以在这里面对押呢，就可以用这个分块儿的方式啊来进行分析，比如说这个abcd。好，

你可以把它分成四块儿啊，当然观察能力比较好的同学，你自己不分块儿，直接在大脑里思考也可以，但对于观察能力不好的同学来说的话，大家呢，就要学会把它分块儿。啊，分成四块儿abcd，分成四块儿，它让求的是a+d对吧？求的是AA+d，这是阴影面积。啊，就等于a+d好a+d，

大家知道a+d不好，求我们可以给它凑一个a+b，这不是半圆吗？对吧？好，这就是半圆。所以a+b这很好求，就是一个半圆，然后d不好求，但是b+c+d很好求，对吧？b+c+d很好求。好，那在这里面，我们再减掉多的部分。

啊，多退少补给它减掉啊，多退少少补把它给减掉，或者说在这里面这个c+d很好，求这块儿不加上b这样也行是吧？所以这个c+d本身它就很好，求了就不用再加b了，好，然后再比左边多的，比左边多的正好呢，就是b+c。啊，比左边多的部分，所以说这样就多退少补，就把它变成a+b是一个半圆，

然后c+d是一个扇形是一个45度的扇形。然后再比左边多的给它减掉，比左边多了一个什么呢？大家看多了一个b和多了一个。c是吧，多了一个b的值，多了一个c的值，所以减掉b跟c啊，多了一个b的值，多了一个c的值。这样就行了，好，那在这里面大家可以看出这个a+b这个半圆跟这个b+c这个半圆，其实呢，它这个就是一样的，

你发现没？它这个它这两个都是半圆，这两个半圆它是一样的啊，一样的，所以说我们呢就可以看出来这两个就减掉了，就剩一个CC+d。好，那c加d正好等于一个啊，八分之一唉圆，因为它是一个扇形四十五度扇形有八分之派r方。这样就可以写出它的这个呃结果啊，然后正确答案就等于50派答案就求解出来，正确答案就是选择b选项。啊，这是50派好通过这道题，

大家要遇到很多块儿啊，很多块儿，然后每一块儿呢都是不规则啊。啊，遇到了若干块，每一块都不规则，每一块都不规则，然后呢，我们要求。好，这个阴影部分的面积，求它的面积，这时候我们在这里面，大家呢，就要注意的方法就是我们采用分块法。

分块儿分块儿完后就重新进行搭配和组合，就有点像咱们学拼图一样好吧，就学这个拼图一样，然后给它搭配组合一下，这样就可以了。好，下面咱们看21题这道题，这个题那么四边形abcd，它是平行四边形啊ABC，它平行四边形。圆o的半径r呢是为三啊，这个半径r呢，告诉我们是三则阴影部分面积到底是多少？好，那在这里面，

那显然大家要用到割补法，你连接BD连BD要把CD这一块儿这块儿给它割掉，割掉给它补到这块儿来是吧？所以大家。看图观察可以发现，用割补法好，那么割补法这个补过来以后，大家可以发现正好得到就是s阴影面积正好等于三角形abd的面积。啊，这个阴影部分的面积啊，阴影部分好，阴影部分正好等于三角形abd好，那这个三角形abd的面积正好是什么呢？abd的面积，因为它是一个平行四边形呀，

因为abcd是一个平行四边形呀，平行四边形，大家知道对角线不分的面积是一半吗？所以正好等于x3角形bcd的面积。是吧哎，三角形bcd的面积好，由于圆的半径正好为三啊，这块儿是三，这块儿是三，这块儿也为三，所以它的底它就等于二分之一底。乘以高就等于二分之一，这个六乘以三，这就得到是九。所以这样呢，

就选择e选项答案就求解出来，得到这个九。好，那通过这道题，大家呢，就采用这个割补法，割补法以后把它变成一个规则的三角形，然后再结合平行四边形的特征，然后转换，然后就求出它的答案。这样就可以了，就很很容易得到它结果。好，下面咱们看22题，这个题目好，

这道题它给的是一个长方形啊，长为四。然后宽为二啊，长为四，宽为二，则阴影面积到底是多少啊？阴影面积。啊，它的值到底是多少？好，那大家可以看这个半圆，这个半圆大家可以发现它的半径，它的半径r呢？正好就为二。是吧，

直径呢为四，半径为二好，那这个阴影面积我们到底怎么样来进行求解和分析呢？我们过它的圆心，做一个垂线好，做一个垂线以后，它的阴影部分，我们可以把它以这个竖线为界，分成左右两部分。好吧，以竖线为界，竖线为界，分为左边一部分，右边一部分啊，左右两部分。

好，最后两步，大家可以看左边这一部分，这个三三角形，左边这个三角形跟。右上角这个三角形看跟右上角这个三角形。跟右上角这两个三角形应该是全等的好吧，这两个三角形它全等，所以把左边这一块儿的阴影部分给它割掉，然后补到右边这一块儿来。这个也用到了割补法。这也用到了这个各部法好把它补过来，以后正好得到就是一个四分之一元啊，所以s阴影。正好等于四分之一派r方啊，

得到就四分之一元，好就等于四分之一派乘以二的平方，就等于派。所以这些答案就选择a选项，答案就求解出来了啊，所以这些答案就选择a，这样就求出来了，好，这是这道题给大家强调的做题的方法和思路，看是否弄明白了。好，我们再看23题。好一机械零件的横截面啊，如六杠三所示做圆o1的弦AB啊，这个圆。

o1，它有一个弦AB与圆二正好相切啊，这个弦跟o2正好是相切的。好且AB平行于o1o2啊，跟这两圆的圆心的连线，这是平行的好，如果AB为十，那么则下列说法正确的是，其实下列说法呢？就让我们来求这个阴影面积是吧？这个阴影面积好，求阴影面积在这里边，我们假设这个o1这个半径呢，为r1o2的半径为r2。为r2是吧，

然后在这里面我们就可以发现这个阴影面积s阴影。七就等于派r1方减r2方是吧？就等于派r1方减r方就拿大圆减掉小圆，但这两个半径都不知道是不是这个面积就求不出来呢？我们可以进行一个等级转换，所以这道题叫等面积。转换。啊等等级转换等面积转换等面积转换就是在不改变阴影面积的时候，我们把它图给它等价的转换，因为大家看中间这个小圆，不管移到在哪啊？不管移到在什么位置啊，然后呢，它的阴影面积不变，所以我们可以不妨把两个圆呢移到同心圆这一块儿。

啊，移到同同心圆是吧？这个移到同心圆，移到同心圆，以后那么AB那就在这儿了。啊，这是AB。好，那这个圆心两圆圆心都在一起了，然后这样我们就做一下辅助线好，大家可以看这个长度就大r1是吧？就是大圆的半径。这个长度就是小圆的半径r2啊r2，所以在这里我们可以根据这个直角三角形勾股。呃，

勾股定理可以发现啊，就r1方减r2方等于AB长度的一半儿的平方啊，就等于AB长一半儿平方之间的派。乘以个二分之AB它的平方。啊派二分之AB平方，所以就得到是二十五派答案就求解，这样答案就选择c选项啊，得到就二十五派。这样就写好了，所以这道题就是利用这个弦长的一些关系来进行分析和思考啊，利用这个。弦弦长好吧，然后答案就求解出来了，好，这给大家强调的做题的方法和思路好24题这道题。

好给他给了一个等腰梯形。好，那么等腰梯形上底长是一啊BC长，它是一上底长为一，然后这些弧的半径是相等啊，就给了什么弧ob啊？然后od呀BD呀，然后等等的啊，等等的，所以它的半径是相等，然后它所在的圆心分别是a点和o点啊，就是o点是一个圆心。然后a点又是一个圆心啊，然后。好，

我们再来求图中阴影面积这道题，大家很显就给看，用割补法做比较简单。好用割补法做这个要简单一点啊，割补法，所以我们又连接这个BO啊，连接BO。好零一BO，大家可以发现BC上面这段儿阴影面积啊BC这段儿阴影面积可以把它放到这个BO这一块儿来。然后CD右边这块儿面积啊CD右边这块儿面积右边这块儿面积可以放到od这一块儿来，可以放到od这一块儿来。这样啊，它就可以转化成啊，一个平行四边形面积啊，所以说s阴影。

就等于so bcd啊，这个平行四边形的面积好吧，所以这个阴影部分好，阴影部分的话就等于整个平行四边形的面积。好，这个平行四边形，大家可以看，其实就是菱形，对吧？它就是一个菱形啊，唉，因为它这个长度它都为一了。啊，都为一，所以说在这里面啊，

那这个菱形它的边长都为一啊，边长都为一，边长为，而且呢，这个边长都为一的话。啊，那这个角度我们就可以算出来好吧，这个角度它正好是一个60度，因为ABO它正好是一个等边三角形。所以说这个菱形的话，里面这个都是60度啊，120，所以这个菱形相当于什么呢？相当于两个等边三三三角形啊，两个等边三角形。

大家记住，等边三角形面积，每个同学背一背，想想等边三角形面积等边三角形面积得一块儿回答，是不是等于四根号三倍的边长的平方？然后就等于二分之根号三，所以这样答案就选择b选，选择b选项答案就求解出来了。好看，这道题是不是学会了？好，那通过这道题，大家学会的基本思路和方法就是啊，利用割补法割补法，然后转换成一个菱形，

转成菱形以后，这个菱形，然后再看它的角度。正好把它拆分成两个等边三角形来进行分析，唉和求解，这样就可以了好，这是给大家强调的，它的做题方法和思路。好，那么这是我们要讲的啊，这个呃问题修解题给大家已经讲完了啊，最后祝大家金榜题名。

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