平面几何-综合提高题-条件充分性判断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:58:53

下面咱们再说一下条件，重新判断题做题的方法，看一下条件，重新判断题好，第一题它说在直角三角形中AB=BC啊AB。跟BD相等d是BD边上一点由角dac。dac=1个15度啊，就确认这个角是15度好，那这道题考点主要考察这个三角形。而且直角三角形，而且求这个角度。啊求角度好好，那我们来看一下条件，一条件一它说是AB+BD=1个AD加上。CD啊，

就是AB的长度。加上BD的长度就等于AD的长度，再加上CD的长度是吧啊，得到这个长好，另外大家。可以知道AB跟BC长度是一样的，对吧？所以在这里面啊，因为题目说了嘛AB和BC长度是一样的。啊，就是AB的长度跟BC的长度就就就是一样，看这个学会没有，所以这个AB。啊，就可以换成BC好这个BD，

还有这个CCD，大家知道呃，这个AB也可以写成BC，你就把AB写成BBC啊BC+BD。等于AD+CD好，大家知道BC的长度，BC的长度是不是可以把它写成BD+CD啊？所以b的长度可以把它写成BD+CD。然后再加BD=AD，加上CD得到这样一个长度，看是不是学会了。好，那在这里面大家呢就可以。把这个CD两边就给它减掉。是吧，

所以两边这个CD呢就减没了啊，所以这个CD这个CD两边就抵消掉了，抵消掉就可以推出什么呢？推出AD就等于两倍的BD。是不是啊？就可以推出AD等于两倍的BD好AD等于两倍的BD，那根据咱们直角三角形讲的情况，那说明这三组角所对应的直角边是斜边的一半儿。是吧，这就可以推出角bad就等于30度，看这个是不是学会了bad就就33度嘛？BD 30度，大家知道角bac是不是等于四十五五度啊？因为整个是一个等腰直角三三角形嘛，所以它这个45度拿45度减到30度就可以推出dac，

所以条件一呢是充分的。就可以得到它的答案。好，那么单独条件单独条件，只知道这两个BD=CD这两边相等，这两边相等，但是不知道AD的长度到底是多少？所以在这里面它呢，就是不充分的好吧，所以这个因为这两个长度它它一样，它一样的话，那么这个。只能只能得得到什么，得到这个BD是AB的一半儿是吧？BD是AB的一半儿那那这个角度呢？

就就就不知道了好吧，所以它就不是。那就不是30度，不是30度的话，那这个角就不是15度啊，所以这道题选择a选项题目，一是充分的看这道题是不是学会了？好，下面咱们看一下第二题，这个这道题考点主要考察三角形面积好，这个三角形面积的话，大家一定要一定要抵高关系啊，所以利用。底高。比例。

然后求面积。用这样一个方法求啊底高比例求面积好，它告诉我们三角形ABC整个面积为一啊，这个为一好能确定求这个三角形ade的面积是六分之一。啊，就这阴影，部分ade面积六分之一好，我们来看条文，一条文一告诉我们bde这个三角形啊，就bde这个三角形。跟什么跟dec跟dec就这两个三角形是相等的是吧？好就bde。跟dce是相等，这两项相等只能得到这个BD=CD，但是呢？

啊，这个ae这个长度你不知道是多多少呀是吧？所以说通过这两个面相等，因为这两个三角形，它是等高的嘛。这两三项，它等高等高的话，所以它供应，因为它供应的顶点嘛，等高，所以只能得到这两个底相等。好底相等的话，那么在这里面BD跟CD是一样，对吧一样？那这时候呢啊，

得不到啊，那么题干的ade因为不知道ae。长度到底是多少？所以单独条件一不充分好，单独条件单独条件就是呃dec的面积跟ACE面积相等，所以单独条件只知道这两个三角面相等就是dec。这个三角形面积啊de是c的面积，跟这个ACE的面相等跟。a是以这两个三角形面积相等，这两个三角形面积相等，但是你不知道bde到底是怎么情况啊，所以这个单独呢，也是不充分的是吧？好，下面我们两条线联合起来分析啊。

联合。分析好那么联合分析的话，我们来看一下联合分析的话，就说明这三个三三角形是相等的是吧？我们再画一个三角形。好，就相当于这个蓝色的等于黄色的等于红色的是吧？就是三个三角形。相等好三个三元相等，大家可以看出，就是说明这个呃蓝色的加黄色的是不是等于红色的两倍啊？所以说联合分析我们就可以得到什么问题啊，得到三角形bce就是bce的话就是这个蓝色的加黄色的。啊，就是相当于是红色的两倍。

是吧，所以说因为这三个三角面相等，这两个加在一起肯定是它的两倍啊，它两倍大家看这个三角形bce跟ACE是不是共有一个顶点c啊？因为它都共用一个顶点c，这地方有c，这地方也有c，说明它等高了，对不对？等高它灭之比，是不是等于底？知比呀是吧？等底底知比得到be=ae的两倍。看这个是不是学会了？b都等于ae的两倍，

好be=ae的两倍，接下来咱们再来看看一下，由于整个三角形面积是一整个大三角面积，这个题应该给我们了。整个大三角形面积为一，大三角形面积为一，大家可以发现这个蓝色的面积是不是占了三分之一啊？就bde应该占了三分之之一的面积对吧？因为整个面积它为一嘛，所以这个蓝色就占了三分之一，好，我们再把这个地方擦掉，好，我们再看所求的阴影部分。啊，

所求阴影部分啊，就这个绿绿绿色的看这个阴影部分阴影部分跟这个蓝色的是不是又等高啊，因为这两个是不是共有一个顶点呀，看看。是不是共有一个顶点对吧？所以在这里面好，那就说明s3角形啊，这个ade这个阴影部分。啊，因为这个底边之比正好是二比一嘛，是吧？因为得到b=2倍的ae 2比一二比一，那说明这个面积就是它面积的一半儿是吧？就是因为它。共有顶点，

它等高的，所以它面积之比就是它底值之比正好是它一半儿，所以这个得到是六分之一，所以两条线联合充分正确答案就选择c选项。所以这道题呃，为了让大家看得清楚，我多次用不同的颜色来表示啊，不管呃它怎么分析关键点。这道题主要用等高，只要两三人共用顶点，它面值比都能抵之比用这样一个方式来分析就可以了，看这个题是不是学会了？好，下面咱们再看一下第三题这个知识点，第三题，

第三题它要确定AC边上高是吧？求这个高，所以这道题就相当于是三角形啊求。长度。这道题是求这个高啊，求这个长度好，那我们来看一下条件，一条件一它只给只知道AC和BC的。长度是吧？ABC好，假如AC是5 BC为七。它要求AC边边上高。那这个AB的长度不知道它得高。肯定都在变化呀，所以条件一呢是不充分的。

条件儿他说BC边上高为四啊，他说BC边上高为四条件儿，只知道BC边上高，这个BC边上这这这个高是四。这高式如果其他边上都不知道的话，那没法求这个AC边上高，所以单独条件二也不充分，所以要联合起来。了解BC边上的高是四，大家知道，根据三角形面积，三角形面积的话，就是底乘以高，等于这个底底乘以高是吧？所以说就是面积相等，

那就得到四×BC边上的高。然后再乘以二分之一，这二分之一就约掉了啊，就约掉了，听听到没有，然后就等于AC边上的高乘以AC的。长度这个h就等于五分之二十八，所以就通过面相等啊，就是底高底乘以高等于这个底乘以高。然后这样就写出来了，所以两条线联合充分正确答案就选择c看这道题是不是学会了，是不是听懂了？好，那第四题这道题这道题呢？咱们之前也遇到过类似的情况是吧？

比如说啊，里面是一个小正方形，外面又是一个正方形，然后周边呢是？直角三三角形四个全等的直角三角形能确定这个正方形的面面积是四减二倍根号三。是吧，就确定啊，这个中间这个小正方形啊，就能确定中间这个正方形的面积。是四减二倍根号三。好，那咱们我们来看一下这个条件，一条件一告诉我们这个正方形的边长为二。正方形边长为二，但是这个直角三角形这个角度不知道，

就不知道这个边这个边的长长度啊。所以单独调整一不太行，对吧？你这个角度可以调整一下这个这个里面这个小正方形，它的边长它也在变化呀，所以它这个呢？就不充分条件条件，只知道这个角度是30度就是a。a bae，这个这个3度3度，但不知道条件，不知道这个正方形的边长呀，光知道3度也没没用啊，所以要联合起来。所以这道题的考点主要考察这个四边形。

还有三角形。它的面积情况是吧？它的面积的一些关系啊，所以显然要联合起来，好联合以后大家知道这个是30度，这个AB长为二，那么这个。AA 1长是不是就为一啊？这底下就可以得到AA 1=BB一=CC一=dd一就等于一是吧？啊它。都为一好都为一的话，那在这里面大家知道这个aeb。就等于一个根号三对吧？AB就等于根号三好，那这个边长是不是就拿根号三减一啊？

是吧，这个边长最后推出a一b一就等于根号三减一，因为BB一不就为一嘛，就BB一这段长度为一。那么a一b总长是根号三，所以说这一段就根号三减一好，那就推出s中间所求正方形。就等于边长的平方，大家说正方形面积是不是等于边长平方呀？好，这个平方展开就得到四减二倍根号三，所以两个条件联合充分，这个答案就选择c选项。答案就求解出来了，好看这道题是不是学会了？

是不是听懂了啊？好，这是给大家强调的呃，求正方形面积的一些关系好，下面咱们看第五题这个题目啊，这个题目呃，它给的是矩形abcd面积为六。那么，要求这个三角形BEC就这个三角形的面积为一，所以这里也是考点，是考察求面积。好，这个矩形面积呢？是六然后be呢？等于个df那这两个是相等的，

求这个三角形面积。好，那来看条件，一条件一的话，它说be比上ae等于个一比二啊，be等于比上ae=1比二。这是一，这个是二好，那就说明什么问题，说明这个三角形BEC就等于二分之一底乘以高be乘以个BBC是吧？等于二分之一底乘以高好，这个be。这个底正好等于三分之一AB。对吧，然后再乘以BC，

这能看懂吧？好，就这个be的这个长度be的长度就等于三分之一。BC看是不是学会了，好在这个大家可以发现这个AB×1个。BC啊AB×1个BBC是不是代表就是这个矩形的面积六啊是吧，所以正好积就为六，所以算完就为一啊，就这两个相乘积就矩形面积就是六。所以这个就写错了，所以条件一呢是充分的，可以推出它这个为一，然后条件儿条件儿它说AB长为三。ce等于根号五好，如果AB为三。

ce等于根号五。好，那在这里面，我们来看一下能不能求出它这个面积，因为c长是根号五对吧，然后AB总总长为三好，根据这个矩形面积为六。根据面积为六，是不是可以推出BC的长对吧b长是不是就为二啊？因为这个距离面积不是六嘛六一个边长是三，另外边长是不是就是二？就二所以b长为二好，b长为二在根据勾股定理，我就可以推出b1的长度是不是啊？就可以推出b1长，

因为这个。呃c1的长度不就是根号五嘛？啊c1的长度是根号五根号五的话，然后在这里面大家就可以看出这是根号五。然后这个是二，然后be长度就为一是吧？用勾股定理做好，然后这样我们就可以算出三角形bce的长度啊bce的面积。好三角形BC面积就等于二分之一啊be乘以高就等于一是吧，因为它三角面积不等于二分之一底乘以高嘛，这个底是不是就是一啊高，它正好就为二。啊，所以也算也充分，所以两条均充分，

这些答案就选d看这道题是不是学会了？是不是听懂了？好，这第五题讲的考试要点。好，下面咱们看第六题这道题，这道题对应的知识点主要考察圆弧里面的求长度。圆里面的求长度。好它如图所示，圆o的两条半径是垂直的，就oa和ob，这是垂直的，然后AC。与ob的延长线交于c点。好AC呢，

与圆o呢，又交于点d啊，能确定CD的长度等于七点五是吧？就CD长等于七点五。好条件一这个圆的直径为15角oac等于六六六十度啊，好直径是15啊，这个直径为15。直径为十五，说明半径啊，所以条一半径就说明等于二分之十五就等于七点儿五是吧，所以半径知道了。角oac看到oac，这是60度。好，如果这个角要是60度的话，

大家连接od。0 od说明三角形aod是不是为等边三角形？对吧，是不是为等边三角形为等边三角形的话，那在这里面大家知道。啊，这个长度就是AD的长度是不是也等于个七点儿五是吧？a长也等于。七点五好，另外大家知道这是30度，这30度那么ACA AC。好AC是不就是因为这个角3度嘛，斜边是不是直角边的两倍两倍的ao=15？好AC呢，等于15 AD=7点儿五就可以推出CD CD就等于AC，

减去一个AD是吧？就等于七点儿五这样就推导出来了，所以条文一呢是充分的。看这个是不是学会了啊，只有通过这个AD的长度和AC的总长，然后利用。特殊的三角形，这里用到了一个等边三角形，还用到了一个36度9度的啊，一个直角三角形，然后进行分析的，所以在这里面。答案就可以写出来，看是不是学会了好，下面咱们再看条件二条件，

它说是啊oac啊，我们把这个擦掉，我们看一下条件二。条件是oac，oac等于两倍的。oca.等于两倍的oca好在这里，大家可以发现条件，如果这个等于两倍的，这两个加一起又等于60又等于九十九十度嘛，所以说很快就可以推出啊，就通过这个可以推出角oac=60度。角oca=30度是不是这样的？所以说它总共加在一起等于90度嘛，它两个又是一个二倍的关系，

所以60度和30度好又告诉我AC长等于十。十五AC长等于十五的话，因为这个角不是三十度吗？三十度就可以推出ao的长度就等于二分之十五是吧？就等于它的一半儿。等它一半儿，接下来就同理了同理，然后这样这是六六度就可以得到AD的长度，就等于ao的长度都等于二分之十五。这个就可以推出CD的长度CD，长度就等于ac-ad，所以也等于七点五是吧？跟上面。跟跟上面这个条件一差不多，两个条件都充分正确，

答案选d，总之的话就这道题就在直角三角形里面，求它的角度变成一个特殊直角三角形，然后把三边的比例关系找到就可以了。可以了，看这道题是不是学会了？好，下面咱们看一下第七题这道题，它要求这个阴影面积求阴影面积，大家可以观察这个图形的特征啊，大家可以看到它左右。啊，面积是对称的对吧？左边跟右边它是对称的，所以你只要求出其中一半儿，

然后再乘以二就可以了，所以这道题涉及到一个对称。图形。它的这是一个对称图形好，那对称图形我们只要求出其中一部分，然后再乘一个倍数就可以了。还有三角形ABC是一个等腰直角三角形啊ABC是一个等腰直角三角形，分别以AB为圆心呢，这个画这个弧两弧相交于d点。选项d点则阴影面积为这个数好条件，一给的是AB长度为20条件，二给的是AC长度为20。好，下面我们看由条件一，我们看一下，

而且这两个条件是矛盾的啊，所以说啊，一个是给了AB的长度，一个给了AC的长度，而且这个。AB跟AC那这个题只能有一个条件是充分的啊好，那下面咱们来看一下这个题，这个题我们就求出其中一半儿好吧，其中求求出一半儿长度一半儿的面积，然后再乘以二，因为它左右对称。好，那我们就可以求出左边这一块儿面积好吧，左边这块儿左边这块儿面积怎么求呢？左边这一块儿大家可以发现拿一个四分之一圆。

然后再减掉一个等腰直角三角形，这样就行了，好吧好，那下面我们来由条件一，我们推导一下，看行不行啊？啊，有条件一条件AB长度正好等于20 AB长度要等于20就推出AD的长度就为十。对吧，就AD的长度，它正好就为十，然后AD的长度要为十，那说明af的长度也为十。对吧af的长度也为十好，那么就s阴影就等于两倍的啊，

一半的面积好，这一半面就拿一个四分之一圆啊。就四分之派，乘以r方啊，四分之一元啊，四分之派，乘以r方。四四分之一派乘以r方好吧，所以四分之一派r方这个半径就是十啊。十然后呢，再减到这个等腰直角三角形，咱们再次强调一下，等腰直角三角形面积就可以写成四分之一斜边的平方啊，如果要知道斜边就用斜边来求它面积，如果要知道直角边就用直角边来。

求面积就行了啊，就等于四分之斜边的平方。好，那在这里面，我们呢就可以提出这个数来，好吧，这就可以提出五五十，然后里面正好派减一，所以它这个是充分的调一呢，是可以的。条件就不用再做了，为什么不用再做呢？因为条件AC长要为20的话，那就可以得到AB的长度呢？等于20倍的根号二。

是吧，就等于20倍根号二，那如果要把这个AB换成20倍根号二带到这个这个第一问啊，算出来这个表达式里面肯定是不充分的。所以这个条件一充分条件二不充分就选择a选项答案就求解出来了。好，下面咱们看一下第八题，这个考题好，这个题目要求阴影面积求阴影面积的话。我们可以看到，这里用减法做。用减法由这个因变怎么算呢？用这个三角形减掉呃，这个一二三这三个呃扇形就行了。而且由于ABC呢，

为正三角形就ABC是一个等边三三角形等边三角形的话，那这些而且del分别是中点。dl分别是。终点所以就减掉三个啊，因为它等边三角形，这都是60度，所以说三个60度的扇形，三个60度的扇形相当一个半圆。啊，相当于180度的扇形嘛，就一个半圆，所以在在这里面，我们看一下条件，1 BC长为16好条件，一如果BC长为16。

那么，这个面积s阴影就等于。s阴影就。等于等于就拿这个等边三角形等边三角形等于四分之根号三倍的啊，边长的平方。是吧，边长平方叫做BC方。减去一个就是二分之一派r方啊，二分之一。派乘r方。然后这样就可以得到是六十四倍的根号，三减三十二派。好，那条件一呢，这是充分的画一个勾条件2a一的长度为八啊a1的长度为八跟条件一呢是？

等价的好不好？因为ae的长度为八，那就可以推出啊，那么AC长度这个边上也为16，所以说在这里面同上它也是充分的。所以两条呢，单独均充分，这个答案就选择d选项啊，两条线都是满足两条，如果等价的话，只要一个条件做完了，另外一个条件呢，就不用再推了。这样就可以了。好，

下面咱们看第九题，这个题好，那这个题要求图中阴影面积好，我们看一下条件一。啊，它给的这个情况啊，题干应该给的这个图形呢，就是两个正方形啊，然后呢，这又连上一下这个线，然后这又画了一个四分之一圆啊。所以条件一，我们可以把图画大一点。好，这是一个正方形，

这又是一个正方形。然后这个画了一个四分之一圆弧好，然后这又画了一个，连了一条线啊，求这个啊，阴影面积到底是多少？求它的阴影面积好，那要求它阴影面积，我们可以把这阴影面积呢分成它两部分，分成两部分来。求解这边呢，是一个直角三角形对吧？这边它是一个直角三角形。好，然后右边的话应该是啊一个。

这个不规则的一个圆弧啊，不规则的一个圆弧，然后呢，我们把这个就以中间为界，把它分成两部分啊，分割成两部分。以这个为界，把它分成两部分好，那接下来我们呢，就来看一下它的面积的呃，求解啊好，那这个大正方形边长为六小正方边长为四。为四那这个边上也是四好也是大家可以发现这个红色的三角形跟上面空白，这个三角这两个三角形它是相似的。相似比正好是三比二，

对吧？现在因为它六比四嘛，六比四正好就三比二，三比二，三比二，那这个总长不是四吗？总长四那这一段儿跟这段儿比也是三比二。三比二，所以说这段儿长度就占了五分之三啊，所以这个红色的这这一段儿我们就可以算出来要占了四乘以个五分之三。是吧，这是它这一段好，上面这个黄色，这一段黄色，这一段这一小段，

这一小段就占了四乘，以个五分之二。啊，这个黄色这一段是因为这两段比它就是二比三二比三的话，一段占五分之三，一段占五分之二。好，那这样我们就可以算出它的这个面积的这个情况啊，面积这个应面积怎么算呢？应面积就可以拿这左边那个红的三角形，加上右边右边，这就是一个四分之一圆减掉这个空白的四三角形。就行了啊，所以条件一我们的计算方法s阴影。就等于二分之一底乘以高。

加上啊，一个四分之一元就四分之。派r方，然后减去减去上面这个小三角形，上面这个小三角形的面积二分之一底乘以高。这样就写好了，好，那这样我们就可以算出它的这个数值来，好吧，这样我们就可以化简一下。化简一下，这个就得到五分之。然后这个就是36。减去五分之十六，加上四派。

所以这个就得得得到是四派加四，所以题案一是充分的啊题案一。这个充分，所以条件一呢，就是用用了这种相似啊，还用了这个减法好吧，然后条件我们来看一下。填上它这个图形的话，大家呢？就这个是八啊，这个是八，这个八说明圆的直径为八，半径就是四。同学们，这个高有四。

好，这道题我们就想办法用这个割补法啊，所以说第二个我们用割补法做。所以就用割补法。根号那s阴影就等于好，你可以连接这两个点啊，连接这两点，唉，这样大家可以发现啊，右边这块阴影部分可以给它补到啊，右边这块给它补到这个空白的里头来，对吧？对吧，右边这块给它补到这个空白里面来，补完咱可以看它正好是一个直角三角形，

而且这个直角三角是一个等腰直角。三角形啊，所以就二分之一四×4就得到是八，所以条件二呢是不充分的，所以第四题这个呢，就选择a选项啊。答案就为a，所以第四题答案就选择a条件一呢，是充分条件二呢，这个是不充分的。好，下面咱们看第十题这个题。好，这道题它给了这个半圆弧啊AB为这个半圆的直径d是半圆上的三等分点啊d呢是？这个CD是半圆上三等分点，

它把这个圆心呢三等分，然后若圆o的半径为。一啊，就这个圆o它的半径r是唯一的。则图中阴影部分面积为六分之派啊，阴影部分面积为六分之派，条件1 be的长度是等于一个零点二五，条件2 be的长度等于零点三。好，那我们来看这个阴影部分，其实大家可以发现这个不管e在什么位置啊，这个e不管它怎么移动。不管它它它怎么移动啊，大家可以发现这阴影阴影部分它的面积是不变的是吧？不变可以把e点移动到o点来。

是吧，所以说原来这个阴影部分面面积呢，这个是不变的好，有同学可能不理解为什么它是不变的，因为大家知道啊这个。CD.啊，跟AB呢是平行的对不对啊？CD跟AB呢是？平行的啊，就CD它平行于AB啊，这两个它是平平行的好，那这两个如果要平行的话，大家可以看出啊，那么在移动的时候，

那也就说三角形。啊，先看三角形，先不看下面这个弧啊，下面还还有一段弧是吧？好三角形大家可以看cde。是不是等于三角形ocd是吧？所以说这两个因为这两个是等高啊，同底等高。啊，它等高的啊，同底等高，所以它面积呢？相等好面相等，也就是说这个阴影部分。

se.而s1就等于s这个扇形。COD啊，这个面积是吧？就等于这个扇形COD它的面积。好，那这个COD它正好是一个60度是吧？好，为什么这个COD它这个这个呃，这个角度是60度呢？因为呃CD是三等分点CD 3等分点，所以说明这边是60度。右边也是6度，中间也6度，它正好三等份，

就把整个180度平均分成三等份，所以都60度，60度就可以写成六分之派r方。然后这r为一得到就六分之派，所以这道题条件一条件二都充分，因为它跟这个d的位置呢是啊，跟e点的位置是没有关系的好吧，没有关系，所以这道题就考察了一个等级的一个变换情况啊。啊，所以等级转换。等级转化这个呢，就要简单一点好吧，这个求解起来，如果你要分别去求，

然后先求这个三角形，再求这个圆弧啊，或者怎么拆分怎么解，那就比较复杂啊，所以这道题其实条件条件来。说的话告诉我们一点，是不影响它的答案的。下面咱们看第11题，它的考点看一下好，这道题它让求这个圆环它的面积。啊，圆环的面积圆面，它是两个同心圆，然后大圆的弦AB与小圆呢相切于p点。就就这个咸啊。

这个AB跟这个小圆呢，是相切的。相接，然后大圆的这个弦CD呢，又经过这个p点，然后能求这个圆环的面积啊，两圆圆环面积，圆环面积，我们讲的大圆的半径是r1，小圆的半径是r2。好吧，所以这个圆环的面积s其实等于派r1方减r2方，接下来我们要求r1方和r2方，看能不能算出来？好吧，

算算，所以条件一它只给了CD的长度为13。好CD长度为13的话，这个确定不了好，这个小圆和大圆嗯，它的半径情况啊，只知道CD长度，它是十十十三。啊c长13这个半径可以大一点，可以小一点，反正它的弦啊都是13啊，所以在这里面的圆环，这个是确定不了的啊。好条件条件，二是知道pd的长度。

啊，知道pd的长度，知道pd长度，那这一块儿也不行，知道pd长度的话，那这个呃，这段长度知道了，那这个圆的半径大一点小一点，这个也是。不知道的，所以这个也没法求解啊，所以说肯定要联合起来。两条线联合就代表两条都用上啊，两条要联合两条都要运用上，所以在这里面大家呢，

就可以写出CD呃CD长度是。13然后pd长度为四，说明cp的长度就等于13-4得是九是吧？所以这段是四，这段就是九。啊，这个四这个99。好，那下面咱们来看一下，跟AB有什么关联是吧？所以在这里面我们来看一下跟AD它的一个关联情况。好，那我们来看一下，要相切相切的话，那这个肯定是垂垂直的了是吧？

所以这一块儿它肯定是垂直的。啊，这块儿垂直好垂直，然后呢，我们再来看一下这个，这个也是它的弦。所以说在这里面对于这个地方，这个CD长度不是九吗啊呃，是这个是是是九。几何化？然后呢？这个两个呢？就可以连在一起啊，然后呢？再连接大的啊，

连接大的。啊，连接大的好，所以在这里面我们呢，就可以利用垂直的这一些关系啊来进行分析。好吧，这样话大家呢，就是可以找到它的两个圆的半径之间的关联，找两圆半径之间的关联，然后就可以把答案给大家求解出来啊。好，所以在这里面，首先大家拿到这道题，以后我们可以看到它这个整个这个长度啊，整个这个长度啊，

我们呢就可以。来进行转换啊好，那首先我们把这个题的思路再给大家说一下，这个圆环面就拿r1方减r2方。好吧，用这个来进行分析，另外这个弦AB啊，弦AB弦AB的话，在这里面大家要知道啊，要知道我把这个给。擦掉，然后大家可以知道这个r1方跟r2方，这是r1方跟r2方，然后正好等于PB的平方，所以这个算出来就等于。

派乘以一个PB的平方。是吧，所以我们只要把PB的长度给大家求出来就行就行了，所以接下来我们如何来求PB的长度？好，那么根据咱们讲的这样一个基本的定理啊，定理定理的话，那就是PA的平方=PC×pd。啊，那这就是咱们前面讲过的啊，就PA的平方=PC×pd。有p1的平方。好p1的平方，它就等于PC×pd，或者说BP的平方也行。

AP的平方。啊，就等于PC×1个pd。正好一个是四啊PC是9 pd是四，这么等于36，所以这样得到AP的长度，它就为六。好AP的长度，它为六，然后我们就可以得到它的这个数值关系好吧，这个答案呢，就可以写写出来，然后带到里面去就可以得到是36派，所以两个条件联合起来这样。带到答案就可以求解出来，

36派所以联合充分就选择这个c选项。好，那通过这道题要给大家解释一下，和很多同学的疑问好吧，疑问在咱们园里面这个重要的这个公式啊，这个公式。啊，要给大家进行强调一下好吧，所以这个公式这个这个情况大家要学会分析。和思考好我，所以我们接下来这道题大家重最重要的收获就是这个公式得如何来进行分析好，那么PC。和pd下相乘，其实就是圆的一个相交弦定理啊，相交弦定理，

其实它给的就是PC×pd。等于AP×1个BP好，它是这样得到的啊，这样得到的好，那我们给大家进行讲一下这个什么叫相交弦定理啊？在一个圆里面，如果要有两条弦啊，要有两两条弦。相交，然后他们交于p点。交于这个p点，交于p点，然后这个是c这个d这个是a这个是b好，然后呢就是。得到这个情况就是。

啊，就是。CP的长度乘以pd的长度等于AP的长度乘以BP的长度啊，所以在这里面啊，有个相交弦定理啊，就在这个圆里面，如果有两条弦是相交的，两条弦相交的话。那在这里面，它这个每一线段的长度相乘呢？它这个是相等的，这样的一个特征和关系好，那在这咱们这道题里面，因为AP跟PB呢是相等的是吧？只有得到AP的平方啊，

得到这样一个公式好，这就就叫做一个相交弦定理，就两条弦相交啊，就相交弦。它的一个定理。所以用这个定理来思考，所以这道题大家最关键的地方啊，就是这个相交弦定理，大家呢，看看是不是能够想到。啊，能够想到的话，那这道题就好好做了啊，就容易分析了。好，

这是给大家解释这个定理，它的一个使用情况啊，所以这道题。最终的答案就选择c选项。好，下面咱们看第12题这个题。这个在正方形中分别以边长为直径，作半圆，求图中阴影面积到底是多少，这里得要学会用割补法做。要学会用割布法做好，我们就可以连接这个对角线，把对角线一连。对角线一连以后，大家可以看这样再一连连完后，

我们可以发现什么呢？就把这下面这一段的弧啊补到。左边来好吧，就这一段弧给它补到这来，然后这段弧给它补到这来，补完后大家可以发现这个s阴影面积正好等于正方形面积的一半儿啊。一半儿好，所以条件一那这个是正方形的，边长为呃为八，边长为八的话，面积就是六六十四，所以s阴影。阴影面积咱就给得到32条件也也是一样的好吧，也一样，因为条件二它面积为64啊，

那说明阴影面积也是32。所以这道题呢，就用割物法把这个圆弧给它割补完以后，就凑成一个规则的三角形啊来进行分分析，所以这样做起来要简单一点。看大家是不是想到这个割补法了，好那么本章的题目我们就讲解完毕，欢迎大家继续关注我们后续的课程。

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