平面几何-基础自测题-条件充分性判断（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:58:13

好，下面咱们看一下第七题这道题，这题的考点主要考察求阴影面积啊，求求这个阴影面积，而且这道题呢啊，求阴影面积的话。啊，是用了圆弧啊，遇到这个圆弧求面积，大家一定要用减法做，听到没？考试用减法请三角形ABC为正三角形，这个正三角形就代表等边三角形，它边长为a。这个弧babbcca分别为是以。

它为圆心。a为半径的圆弧，则图中阴影面积等于多少？好，那在这里面大家看一下啊，我们把这个面积表达式给它写出来吧，先不看条形和条件，先把这面积。表示写写出来，因为这个边长为边为，那我们可以看出什么，只要求出其中一个。圆弧的面积对吧？求出其中一个圆弧的面面积，然后呢？

再乘以三就行了是吧？求出其中一个圆弧面积，这个面积不是六十度吗？就拿六十度的扇形剪成一个等边三角形啊六六十度扇形有六分之一派。r方减掉一个等边三角形等边三角形是不是四分之根号三倍的a方呀，然后给它乘以个三，这是不是就se面积啊？乘以个三，所以这样。s又等于一个把这个三乘到里面去，就得到是二分之派a方减去四分之三倍根号三a方。好，那么这样对照一下它所给的表达式，显然a=1的时候是充分的，对吧？

所以a=1的时候，这个是满足题意的条件，一不行，所以这个答案就选择b选项。所以这道题大家注意，还是求圆弧里面，如果出现对称或者这几部分啊，面积是相同的，那只要求出其中一块儿面积，然后再乘以三就可以得到答案了，好吧，把一块儿面积求出来就可以了。把这第七题掌握的做题方法，看是否学会了。好，

下面咱们看第八题，这个题这题考点主要考察它的一个比例关系，所以考点。主要考察面积。与这个长度它之间的关系好，在矩形abcd中be=df有be的长度正好等于df。啊，这两个长度是相等，能确定原来这个矩形面积与四边形a ecfa ecf，它是一个平行四边形，对吧？就a ecf是一个平行四边形。四边形好，那么原来这个矩形这个矩形就是abcd了，然后面之比是不是等于三比二好，

大家可以发现这两个。矩形就这个矩形，跟这个平行四边形，它的高是一样的，你发现没有，就是这个平行四边形的高高呢，也是这个BC。这个矩形面积高也是BC，所以如果两个高要相等的话，它的面之比就等于它的底边长长度比。啊，这个矩形面积，它的底边长就CD。好，这个平行四边形面积就是CF。

当然或者也可以写成AB比上ae了，所以我们只要找到AB和ae的长度。或者找到CD跟CF的长度比值，这样都可以啊，好条件一条件一告诉我们be比上EA是一比二。be比上EA。be比上EA啊，这个是一比二，所以在这里面啊，这就一比二好，这一比二大家可以发现总长是不是可以把它看成三呀总长？就可以把它看成山。是不是在这里面总长把它看成三份儿，总成三份儿，有的由条件一这个AB比上ae正好等于三比二，

正好等于三比二，那说明这个矩形面积。跟这个平视平面之比也三比二，所以它这个条件一充分好，条件条件它告诉你AB长度为六。啊AB是等于六的，然后BC呢是为三，其实这个BC要不要无所谓，然后ce的长度？啊ce长度啊ce长度等于根号13好，那BC长度啊等于三的话BC长度为三，这个ce长度等于根号13，通过这两个长度我们就可以推出什么呢？可以推出be的长度是吧？所以在这里面大家用勾股定理，

关键是要把be的长度给大家找到啊，所以这个长度是三。那ce长度是根号13，然后这个用勾股定理做它的平方，减掉它的平方就是13，减掉九，得到四四，再开根号就等于二是吧？就得到b长度就为二，这两个长度啊，用固定求出b长度，求出b长度以后大家可以发现这个AB。比上ae就等于六，比上四也等于三比二啊，因为因为be长度为二了AB总长不是六吗？

总长六，所以六减二就得到四。所以说ae长度就是四啊，所以这样有六比四也得到三比二三比二，它也能推出题干，所以两个条件单独均充分正确答案就选择d。所以通过这个大家学会的思路是，如果两个四边形，它的高是相同的，它面之比就等于底的长度之比，所以找到底的长度之比，这样就可以写出它的答案，这样就可以写出它的结果，看是不是学会了。好，

下面咱们来看一下第九题，这道题的考点，这类考点主要考察菱形，还有三角形，所以这道题考点就考察四边形，还有三角形。好，那下面咱们来看一下菱形，它的一边和等腰直角三角形的直角边相等，那么则菱形和三角形面积之比是不是根号三比一啊？就菱形，它一边与等腰直角三角形，它的直角边是相相等的。好，另外还有一个等腰直角三角形好，

我们换一种颜色来画，等腰直角三角形。加这个是直角三角形好吧，好一个等腰直角三角形直角边是相等，这个是直角边。这是相等的好则菱形和三角形面积之比，是根号三比一好，那在这条件一其实条件一和条件二是等价的，你发现没有？因为一个角是60度，另外一个角肯定有个120，如果一个角120旁边这个对旁边这个角就是60度好吧，所以相对的这个东西。所以这两条件是一样，只要求出一个就行了啊，

如果有个角要6度，有个角6度的话，我们假设菱形的边长为一。对吧，菱形边长为一的话，那这个菱形是不是可以把它分成两个等边三角形做啊？所以这时候s菱形。比上s3角形就等于好，我们就可以设菱形的边长为一，他就可以把它看成是两个等边三角形的面积是吧？所以大家知道，等边三角形面积是不是等于四分之根号三倍的a方呀？等边三角形面积就是四分之根号三倍乘以一的平方，然后乘以二就是整个菱形的面积。然后比上这个这个。

直角三角形，直角三角形的直角边长都为一，它的面积是二分。之一所以就等于根号三比一。对吧，然后这样就求解出来了啊，所以就根号三比这样就写好了，看这个题是不是学会了，所以条件一充分条件二也充分，这个答案就选d啊。所以这里就考察一个特殊的菱形，这个特殊菱形把它分成两个等边三角形啊面积来做，这样就可以找出它的答案。好，下面咱们来看第十题，

这个题这题考点主要考察这个求这个长度。呃，三角形里面求长度啊，好在等边三角形ABC中ABC的等边三角p为BC上一点p是BC上好d为AC上一点。则角apd=60度，这个角呢？是60度，则三角形ABC的边长为三。啊，这三角形边长为三好，那在这里面大家呢啊，要找到它的一个求长度的关系，求长度关系，我们来看这60度到底怎么用？是吧啊，

六六十度到底看一下这个怎么用好，大家可以发现这个角b和角c是不是也是60度啊？对吧，角b和角c也是60度。好在这样我们假设这个是角一这个角二，这是角三。啊，这个角三好，大家可以发现啊，这个角一加角二是不等于120对吧？角一加角二就等于120吧。那么这个角二。加角三是不是也等于120对吧角二加角三这两角加在一起也等于120？好页面里面就可以推出角一就等于角三对吧？推出角一就等于角三好，

那又由于角b等于角c。都等于60度好，大家想想三角形里面有两组角相等了，有两角相等，那这两个三角形是不是有相似的就相似的啊？就可以得到三角形abp。相似于三角形PC。d啊，就是pcd。好跟这个abp这是相似的。好相似的话，它对应边就成比例好，那下面我们再看条件好吧，先把这个题干化简到这，我们再看条件条一必须的长度为一。

CD的长度为三分之二。这里长长的为三分之二好，那大家就可以看出我们根据它的这个比值关系啊，就可以看出这个。对应边成比例嘛就相当于是CD比上一个BP。啊CD比上BP就等于PC。就等于PC比上一个AB。对吧啊PC比上一个AB好，这也就写好了好，那在这里大家知道CD的长度比上BB长度是不是就等于一个？三分之二呀，等于等于等于三分之二好就说明PC占AB的三分之二好，那么这个AB又等于什么呢？大家可以看，因为它是等边三角形。

这个AB。又等于PC+1能能看出来吧，所以说这个PC的长度再加上一就等于整个边长，所以说啊p。pab就等于pz+1。由于PC比上AB就等于二比三，这样就可以推出这个边长就为三啊，所以条件一是充分的。对吧，氧一充分的好，那条件同样道理，你把这带到里面去啊，带到里面这个就不满足好吧，这个因为这时候这个BP的长度如果为2 CD的长度为。三分之四虽然这个比值还是二比三，

但是这个时候这个AB就等于PC加二了。p+2所以在这里面，它的边上就不是三了，就扩大两倍了，就变成六了，所以条件二是不充分的，这道题正确答案选a，所以在这里面啊，如果想到那么找到这两个三角形的它的一个。相似关系，因为它给了其实考试时候你要想不到给了这个条件，可以发现给了BP，给了CD是吧？那显然这两个三角形一个BP一个CD，那自然而然要想到把它。

找到一个比例关系，找到比例关系，那想到用相似来做。那怎么证明相似？要把这中间这60度这个角要把它用好，这个角用好以后，那么这个呃。相似就产生了，然后就可以根据它的比例找到它的长度好，这道题相似考的呢，技巧性比较强，大家呢，好好的把它琢磨琢磨啊。好，下面咱们来看一下这道题，

它是在长方形abcd中ef分别为a dcd的中点啊e和f分别它的中点。然后eg的长度等于二倍的fg啊，就eeg的长度等于二倍的这个fg。啊，就是它有个两倍的关系，然后则阴影部分面积呢是12啊，阴影面积是12。好，那这道题我们来看一下，首先大家就可以连接一下be。啊，连接下b。好连接be以后那我们来看一下它的这个给的这个情况好吧，给的这个情况好在这里面好条件一给的是AB=6 BC=12。条件儿给的是AB=5 BC=10。

好，这是它给的这个条件啊，我们下面来算一下这个阴影面积到底看是等于多少？好，那首先我们要求出bf的面积，对吧？把bf的面积求出来以后，然后再根据这两个三角形利用。同底等高啊，利用等高，然后看它面积之比等于底之比来进行分析，所以第一步呢，大家的思路一定要先求bf。好，那这个bf面积怎么算呢？

bf面积大家用整个矩形的面积啊，整个矩形的面积，然后减掉啊，这个三个啊角的。啊，就左左边右边和下边啊，这个三个角啊，它的这个情况好吧好，那下面咱们来看一下条件一。题干1 AB长呢是6 BD长呢是12啊12。好，那在这里面，由于它都是中点是吧？这些都是中点，都是中点的话，

那这个为六，这个也为六，这个三，这个三，所以首先要求出三角形be f的面积。好，那bf的面积就等于呃整个矩形的面积，矩形面积就六乘以十二，减去二分之一六乘以六，再减去二分之一十二乘以三。再减去二分之一六乘以乘乘以三好吧，就再减去它的这个情况啊，所以六乘以十二减去二分之一六乘以六减二分之一十二乘以三减去二分之一。啊，然后啊，

这个六×3减掉这几个，然后这样就可以把bf写出来，这个等于72。啊，这72，然后减去一个18，然后再减掉一个18。啊，再减掉一个九啊，这是36，36，36减掉九得到27。好，那么这是呃bf的面积，求出来就27，

27以后，然后这两个三角形正好是等高啊，就是beg和bfg这两个三角形是等高的。等大面之比等于底之比，底之比正好是二比一，二比一，那就说明这个三角形啊就是。bgfg的阴影面积应该占整个三角形面积的三分之一。就三分之一乘以二十七得到就是九啊，所以挑一呢，这是不充分的，挑一是不充分。好，那么条件儿啊，同样道理，

这个大家自己去做了啊，条件儿条件儿，你就把这个数啊都给它换换，这个表达式就不再一写了，好吧，把这个数都换换，换成五跟十啊，这都换换，换完后，然后同样。去进行计算就行了，所以条件儿，然后计算啊，就同上啊，方法跟它一模一样啊，

我由于时间有限，就不给大家再重复讲了啊，没有什么新的东西啊，所以条件儿也不充分，两条也没法联合。所以这道题就选e选项，所以通过这道题，大家要一定要学会在一个矩形里面画三角形，如何求三角形面积，而且这里用了一个等高啊，很关键的一个等高。如果两三腰等高的话，那什么时候等高呢？就两三角形。它底边在一条线上，

然后它顶点在一起，所以它等高，如果等高的话，它面积之比等成底之比底之比，所以说这样就可以算出它的啊，所占的一个比例答案就求解出来了。好，下面咱们看主要考察啊，这个相似情况好吧，所以说在这里面的考点是考察三角形的相似，相似的话，大家注意面积比等于相似比的平方，所以条件一。求角一的话，它的周长比就是相似比啊，

周长比就等于边长比，所以周长比就等于边长比好，它的面积比还是三角形ABC。比上三角形a1撇b1撇c1撇好，就等于根号二的平方，比上根号三的平方就等于二比三。所以它条件一是充分的，然后条件二条件二就是三角形ABC和AB 1撇c1撇，它的边长比。而且这两个角是互补的是吧？这两个角互补的，然后第二个条件大家怎么做呢？我们知道三角形呢，有一个求面积的公式。啊，

在咱们教材上就等于一个二分之一AB乘以AC再乘以夹角的s in值。啊，这个在咱们二零一七年考试里面就曾经考过这个条件二的啊，大家做真题的时候就可以发现啊。然后这个就是写成二分之一a一撇b一撇，乘以a一撇c一撇，再乘以s in角a一撇。然后这样我们就可以洗，因为大家注意，如果两个角要互补的话，两个角要互补，大家注意两个角要互补，就两个角的筛应值，这个是一样的。好吧，

如果两个角要互补，两个角是互补关系，就说明这两个角的三值，它是相等的。啊三值它是一样的，三值一样，那就剩下这两个了好吧呃，就剩下这两个比了。所以在这里面，我们就可以求它的比值就等于二分之一根号二，然后乘以一个根号三。根号二乘以根号二除以二分之一根号三乘以根号三也等于二比三，所以条件二也充分，这个呢，就选择d选项两条件单独均充分。

好条件，我再强调一下条件，大家注意，如果要知道三角形的两边和它的夹角，它的面积公式，大家要知道就等于二分之一两边相乘，再乘以夹角的正弦值。这样就可以了啊，所以这样我们就可以写出它的这个答案来好，而且要知道两个角要互补的话，它的正弦值呢是一样的啊，正弦值。它正好是一样的好，下面咱们来看一下这个题，这个题考点主要考察这个长度好，

再求这个长度，大家学会这个。等效转换好吧，等效转换大家可以看你把这个地毯分为两部分，一个是树的这部分长度。就红色的这部分长度，红色这部分长度跟BC长度，它正好是一样的。对吧，跟b的长度一样，然后再分横着的这个长度，横横的这个长度，横横的这个长度，话这个水平的这个长度。好水平的，

这个长度的话，它正好跟AC的长度呢，它它是一样对吧？跟AC长度一样，所以在这里面大家就可以写出这个地毯。它的长度。就等于总长，就等于AC+BC是吧？就等于AC+BC好，那我们来看一下条件一。条件一的话，这个BC长度为二。然后AB长度为四好，这样的话根条件一先把AC长度求出来啊，可以勾股定理，

我们就可以把AC长度求出来aac长度就等于四的平方减二的平方。正好就等于二倍根三。好，这样就可以得到AC+BC就等于二倍根号三，再加上二，所以它这个是充分的。条件儿AC长度为二倍，根3 AB长度为四，其实同理它也成分啊，跟这个。好，下面咱们看一下这道题，主要考察这个求长度问题好，它说在三角形ABC中m是三角形ABC的重心啊，那么求am长度条件一，

它给的是a bac，我们画图。给的是AB=AC都是17，然后BC长度是16啊，BC长度是16。然后求amm是重心。好，那我们来看一下重心。对啊，这一点是d点，这个是m好，大家知道根据重心的特性，我们知道重心就分的中线长度是二比一两段儿。啊，所以am的长度。

就等于三分之二倍的AD的长度啊AD角是中线啊AD是中线。好，所以提问题，我们把AD的长度求出来好，大家可以看这个BC的长度是16，那么CD的长度就是八就是八。所以说就AD的长度就等于根号下十七的平方减八的平方。然后这样就写出来了，好，如果记住勾股数的话，大家知道我们勾股数，大家能不能想起来有没有同学记住勾股数正好是八十五十？是17，所以一个边是八，一个边17，

另外一个边就15，所以这样的话就不用再去解了。这样算正好等等于十是吧，这样就条件一呢，这是充分的答案，就求解出来了。然后条件条件，如果要是边长为20等边三角形。等边三角形，它的高啊，这个am它的这个高，它这个高的话也等于三分之二倍的它的。呃，这个AD的长度好吧，它的高。

啊aad的长度，然后AD的长度，对于这个等边三角形来说的话，它的高就等于底边长度的二分之根号三倍。等于底边长度的二分根号三倍，所以得到三分之二十倍的根号三，所以条件儿呢是不充分的，所以这道题正确答案就选择a选项啊。答案就选择a选项，答案就求解出来了，所以通过这道题，大家学会的方法就是我们要学会求中线啊，它的比例的特性。而且还会利用直角三角形呀，还有等边三角形这些快速来算，

它的边长，另外大家还要记住这个常用的勾股数啊，把常用的勾股数把它记好。这样考试的时候就可以提高我们的运算速度。

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