6-06综合题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:57:42

下面我们来看一下。模块儿。零六综合题。看一下考点第一个知识点，三角形的定理及常用的结论，首先我们来看一下，第一个就是考点里面的直角，三角形，直角，三角形是比较重要的，也是必考的。啊，直角三角形不仅在平面几何非常重要，在解析几何以及立体几何里面都非常重要，所以构造直角三角形是很多题目解题的突破口。

第一个就是勾股定理。购物定理就是要满足a方加b方等于c方，这是购物定理。购物定理大家要记住常用的购物数啊，常购数就三四五。然后六八十。九十二十五。其实这也都相当于什么，相当于是这几个都相当于什么呢？相当于3k。4k5k也就说三四五给它乘以同样的倍数，它还是个股数是吧？三四五给它乘以同样的倍数。三四五就3k，4k，

5k。乘以同样的倍数，它仍然是个股数。好，这是三四五六八十九十二十五。啊，另外呢，还有就是什么呢？就是五十二十三。对勾55还有七二十四二十五。80，57，这是勾股数是吧？这是勾股数。好，

接下来咱们看一下第二个，这个适应定理啊，适应定理，适应定理在咱们上次考试里面，大家注意适应定理的逆用。在这个直角三角形ABC中，然后CD垂直AB，然后则射影定理，这三个定理是怎么来呢？它用相似推导出来的，所以大家注意它是利用相似推导出来的。然后直角三角形，然后做一条高，它会产生三个直角三三角形。啊，

就左右两个小的直角三角形加上啊，原来这个大的直角三角形总共三个直角三角形，这三个直角三角形任意两个都是相似的。啊，任意两个都相似啊，三个直角三角形任意两个，它都是相似的。所以在这里面，大家呢，要注意它的相似情况，所以第一个就CD方CD的平方=AD×BD，这个是用什么相似？这个用左边。和右边这两直角三角形相似好吧，所以在这里面就是a cd这个直角三角形跟bcd这样直角三角形相似相似的话，

它对应边成比例，所以第一个结论我们可以简单的推导一下。好，第一个阶段的话就相当于是啊，那么对应编程比例就是AC。比上BC。就AC的值比上BC的值是吧？就是斜边比斜边。啊，等于AD比上CD的值啊AD比上CD。啊，等于一个CD比上一个BD。啊，所以说用左边的和右边的两直角三相似相似，大家知道对应边成比例，

对边成比就可以得到这个结果。啊，就是AC比上BC就等于AD比上CD也等于CD比上BD。然后大家知道比例问题，我们可以用交叉相乘，这两个相乘等于这两个相乘是吧？就这两个乘等于这两个乘。然后在这里面这两个象征CD×CD就是CD的平方。等于AD乘以个BD。是吧，所以CD×CD就CD的平方就等于AD×BD得到这样一个结果。是吧，得到这样一个值啊，所以CD的平方就等于AD×BD啊，这是第一个第二个。

第二种相似相的话就是AC。a dab是吧？AC就AC的平方=AD×AB，它是用什么箱呢？用左边这个a cd这个三角形。跟整个大三角形ABC这个是相似的啊，就a cd跟ABC这个是相似的。是吧，这是相似的情况好，所以说a cd跟这个ABC那这两个三角形相似相的话，那对应边呢是成比例。那么正比就是斜边比上斜边，所以AC比上这个斜边AB。等于AD。等于AD比上AC。

然后等于CD比上个BC。啊CD比上BC，所以用这个相似，然后推导出来好，这是给大家强调的，它的这个内容，然后大家知道。这个交叉相乘是相等的是吧？就AC×AC就等于AB×AD，然后这样就写好了，就等于AC的平方。就等于AD×AB。好，这是第二个。然后第三个，

第三个就BC的平方=BD×AB，那第三个是用右边这个小的跟整个大的相似就行了啊。呃，右边这个小的。啊，右边这个小的跟整个大的是相似的，然后右边这个小的我们看看，应该是等于谁比谁是吧，右边小右边小的就相当于AB。AB比上BC。AB比上BBC，然后就等于等于这个AC比上CD。好等于这个AC啊，比上CD好，那也等于也等于。

这个BC比上BD。好，那这段右边小的跟整个大的啊来相似，就是AB比上BC的值等于这个AC的值。啊，等于aac的值啊AC的值比上CD的值。然后呢，也等于BC的值比上BD的值，好在这里面咱们也是交叉相乘，交叉相乘，大家可以发现。好，那这地方有个BC，这地方有个BC，所以就可以交叉相乘得到BC的平方。

等于啊BD×AB。好，这是相似得到的这个结果，另外这个。这个数的平方等于另外两个数相乘，也可以把它称为成等比数列，或者说等比中项在咱们考试真题里面。出现了好几次，它说等比中项或者说等比数列是吧CD呢？就是a bad和BD的等比中项。或者说等比乘三个数，乘等比数列好，这是它的这个概念，是用相似推出来的，大家要注意它的概念。

然后第三个就是斜高斜高的话，是用用面积相等推出来的啊，面相等因为大家知道这个直角三角形，它面积可以写成二分之一两直角边相乘。也可以写成二分之一。底乘以高是吧？所以面积可以写成二分之一AB，也可以写成二分之一c乘以h。啊，这样的值二分之一c乘以h啊，这样的结果这样就写好了。好，这是它的斜高的这个关系，大家要知道好，这直角三角形，

接下来咱们再说一下，一般三角形。一般三角形有几个定理，第一个就是正弦定理，正弦定理它的概念就是这个边比上它对应边的夹角a比上s in a。等于b比上sinb，等于c比上sinc都，等于2 rr就代表外接圆的半径都，等于2r。啊，这是它的这个基本的概念。啊，尤其当这个角c是90度的时候，角c90度的时候，这个AB就变成了这个直径了。

AB就变成这个直直径啊，变成直径直径，那相当于是sinc=90度s in cc要等于90度的时候。我们知道三十九度是唯一的三十九度，唯一就代表c比上一就等于二r，然后r就等于二分之c。r就等于二二分之c，这就写好了是吧？r就等于二分之c，所以说对于直角三角形，然后呃它的。外接圆半径就等于斜边的一半儿好吧，所以这是直角三角形，它的一个情况。第二个就余弦定理。

余弦定理就是角ABC，它的对边分别为ABC，那么则有a方就等于b方加c方减二倍的BC×cosine。角a cosine角a或者把第一个呃给它变一下，变一下除过来就cosine角a就等于b方加c方减去。a方除以2 BC，然后这个地方呢？大家呢？就可以怎么去理解呢？讲这个是a。这是b，这是c角a对的，就是a这个边角b对的b，这个边角c对的c，这个边是吧c，

这个边。然后第一个就代表什么呀，代表a的平方就这个边的平方a的平方就等于b方加c方减去二倍的BC乘以角a的cosine值。那cosine a cosine a就等于b方加c方，减掉a方，然后再除以二倍的BC，这样的结果是吧？除以二倍的BC。这样的值。好，那第一个弄懂了，其他都一样。其他或者说你这样记也行，就是这个cosa那么三角形角的余弦值就等于这个角的两边的。啊，

相邻两边的平方和再减掉a的这个平方除以二倍BC就行了，除以二倍的BC。它的这个值这样就可以写出来是吧？这样的结果就求出来了好，这是它的余弦的这个情况。然后接下来就常用角度的正弦，余弦值好，大家知道那么s in方加cos方是唯一的啊，所以在这里面大家注意。就是有个s in。方加cos方就等于一，就是s in平。方加cos平方，它是唯一的两个相加加在一起，它是唯一。

唯一然后在这里面，大家可以看一下就可以看一下它相加是唯一，另外一个就三应值，大家注意，如果两角互补的时候，正弦值是相同，余弦值是互为相反数的。比如说s in。150度和s in 3度是一样的。s in 150度就等于s in 3度。它都等于二分之一，只要两角相加等于一百八，叫两角互补，两角互补的时候，它的正弦值是一样的，

都等于二分之一。然后如果两角要互补的话，余弦值是互为相反数，也就cos 150度。就等于负的cos 30度。啊，这样的。啊，内容好吧。然后另外还要知道呃，那么90度的时候s in值为1 cosine值是为0 cosine值是为零的s in值为1 cosine值为零。好，这样的一个基本情况好，这是它的这个数值，看是不是明白了，

是不是懂了？好，那么第三个就中线定理啊，中线定理，中线定理的话就是如果三角形三边长知道。那么求那么某一个中线这个长度啊，这个AD是是中线，这个d就是终点了。d就是终点，所以这就是中线。好它就有，它就得到是AB方加AC方。等于二倍的括号。b地方加a地方。啊就BD方加AD方二倍的BD方加上AD方啊，

这样的情况，然后BD正好就等于二分之一BC。啊，这是中线定理好中线定理怎么推导的？就是用咱们刚才讲的余弦定理来推导的，余弦定理咱们呢？可以用扩散角b相等来进行推啊，所以中线定理它的推导过程，我们简单写写。这个问题就cosine角b。我们可以在整个这个大三角形里面，大三角形里面用一下cos角b，大三角形用一下cos角b就等于AB方。AB方加上BC方。减AC方。

这样的啊，就AB方加BC方减AC方除以二倍的。AB×BC。二倍的AB×BC是吧？这是cos角b，它的这个在大三角形里面用一下啊，就AB方。加上BC方减掉AC方除以二倍的AB×BC。然后在这个小三角形就是abd，这个小三角形里面再用下余弦定理，反正两个三角形口三角b是一样的，再用余弦定理。所以就可以得到AB方。加上BD方减AD方。所以二倍的AB乘以个BD。

好得到这样一个值好吧，然后根据这两个相等，然后分母。二可以约掉是吧？这个大家自己去推就行了，二可以约掉，然后AB也可以约掉。AB约掉，然后这个BD呢，正好是BC长的一半儿一半儿，所以说这个约掉完以后正好它二倍二倍，然后呢，这个分子给它一项整理，整理完就得到这个。中线定理了。

好，那接下来我们再看一下角平线定理。角平线好，如果这个AD是这个三角形的角平线，那么则有一个重要的则AB。比上AC正好等于BD。比上CD是吧？就是三角形的，两边的长度比正正好等于它角平线分的这两段儿长度比。这两段儿长长度比，然后在这里面，它怎么去证明这个怎么去证明怎么去证明它我们呢？就用这个。相似法或用等面积法证都可以用相似法吧？用相似法来进行证。

啊，相似法好，那么相似法是怎么样用相似法的呢？在这里面，大家可以看到我们可以过b点做一个平行AC的一条平行线。啊，这在这里面这个写就过b点做。它的一个平行线。啊做跟AC是平行的，就是也说bf。平行AC是吧？BL平行a cbl平分平行AC以后在这边大家知道啊，这是角一这是角二角一跟角二肯定是相等的，因为它是角平线嘛。角明显，

所以角一等于角二。啊角一和角二那么肯定是相相等的，角一和角二那么相等的，然后在这里面，这是角平行线。角面角一和角二，这是相等的。好，那这个是正好，那就是啊，等于这两个角相等，这两个角相等的话，大家知道平行的话，那角和角三也相相等，因为平行直线嘛。

平行直线内，错角相等，所以角二跟角三它相等。角二和角三，它是相等的是吧？这是内错，角是相等的，那这个就可以得到角一跟角三是一样的，对吧？角一跟角三一样。角一跟角三一样，那就说明bf。跟这个AB长度，它是一样的，另外啊，

平行又用了相似啊，用了相似就是bdf这个三角形。跟这个a cd这个三角形是相似的，相似的话，对应边要成比例呀，对应边成比例就是bf比上。AC的值就等于BD比上CD的值，也等于df比上AD的值。是吧，然后这样当然后面这个用不着了，咱主要看前面的，所以bf比上AC的值就等于BD比上CD的值。由于这个bfbf的这个长度正好等于AB啊，正好等于AB，所以我们把它换成AB。

换换成AB，换成AB就变成了AB，比AC就等于BD比上CD好，这样就证出来了好吧，这是它的这个一个证明。接下来咱们看施工的定理啊，施工的定理，施工的定理的话就是啊AD的平方就等于AB×ac-bd×CD。所以说在这里面用这个角平定定理的时候，那么先用第一个式子。大家先用第一个结论，第一个结论的话，把BD和CD的长度得求出来是吧？BD CD的长度求解出来，求解出来以后，

然后接下来我们再根据。啊，那么这个施公式定理那求出角平线角平线就是AD的平方AD平方正好等于AB×ac-bd×CD。好，那这样的话就求出AD的数值了，好，这是它的情况，这个事故认定它推导的情况可以用余弦定理，余弦定理，大家知道。啊，那么扩散角bad啊，扩散角bad啊，就这个这个角，假如这是角一，

这是角二吧？就相当于cos角一啊，那用在这个三角形里面用一下原定理，然后角因为角一和角二相等，所以说又等于这个cosine。是吧，然后这两式呢，然后去化简整理，整理完就得到上面这个结果了，好吧，这个化简过程咱们就省略了。好，这是给大家强调，它不管是中线定理还是角平线，相关的内容都是用余弦定理来推导，

所以余弦定理也是求一些长度的一个基础。啊，这是它的一些基本的方法和概念，看是不是懂了好，那这些定理大家一定要知道它在什么情况下用，比如说正线定理，它在什么情况下用余线定理，在什么情况下用。那这些定理大家要知道，它的处理方法和思路。接下来我们看一下考项，一先学习直角三角形，直角三角形有的题，它没有给我们图，一定要先画图。

把图画好，图画好后，我们结合固定力，适应定理和斜高关系来进行求解和分析就可以了是吧？结合这些定理。啊，就是由于适应定理是用相似来分析和推导的啊，好，接下来我们看一下例25这个题。在直角三角形ABC中，它没有图就画图像，有的题它比较友好，它有图有图的话就不用再画了是吧？然后在直角三角形ABC中。大概画一个示意图吧。

然后这个斜边AB。好等于五啊AB的长度，这是五。然后BC长度正好为二。b常知道了d为AC上一点啊d呢，是AC上一点啊，随便点一个点d点。acn点，然后de呢是垂直de垂直AB交AB于点e。然后这样AD长正好三点二AD长三三点二，那么求d长到底多少？大家知道这个垂直就产生相似，所以这道题呢，主要考察相似问题。相似像这些小三角形ade跟大三角ABC是相似，

为什么相似呢？因为这个大三角形是直角。是吧，这个也是9度，所以这两个角都是9度，另外角又是共用的是吧，所以它这个相似，所以有三角形ade。相三角形AD相似于三角形ABC啊，这个三角形相似。相似我们就可以得到，什么情况得到ad比上ab？就等于de比上BC是吧，然后AD的值AD的值上等于三点二AD的值等于三点二AB的值上等于五，这个题目告诉我们的AB值是等于五的。

然后这个de的值上求的BC值正好为二b的值，正好为二，所以这个de的值就可以求解出来de的值就等于五分之六点儿。四是吧，五分之六点四就等于一点二八，这样就写好了，这个答案应该选择的是c选项啊，这样就求出它的结果。答案就选择的是c好，这是它的做题方法和思路，看是不是懂了。啊，那这道题它主要考察相似，根据这个角度相等，那我们可以推出两三个相似相似对应边成比例，

利用相似求长度也是考试里面比较常见的出题的方法。接下来我们来看一下例二六这个题。在直角三角形ABC中，角bac=90度AD，垂直BC于点d是吧？这道题也是没有图，没有图的话，那没办法，只能画个图呗。是吧，就是bac。啊，这个bac是90度，然后AD呢，又垂直BC AD垂直BC。

AD垂直BC啊，如果AC比AB=3比四啊，就是AC。和AB比占了三比四三比四。然后求这个BD和CD的比，到底等于几比几BD和CD的比，到底是几比几？那这道题我们得用一下，这个适应定理做是吧？大家知道这个这个AC的平方。啊AC的平方应该等于就是AC的平方用射影定理，就等于它的投影CD再乘以一个BC总长。CD乘以个BC总长。然后AB的平方。啊AB平方好AB平方就等于BD×BC总长。

好AB的平方AB的平方就等于BD×BC它的总长啊，拿BD×BC它的这个总长。好，这是它的这个式子，然后这两个相除这两个相除，正好把BC给它约掉，所以相除。像素就得到AC÷AB。平方等于一个CD÷1个BD是吧？好，那这样我们就可以写出来它这道题上求的是。BD÷CD，你给它反过来就行了是吧？这个考试时候别弄反了，所以它这道题要求BD÷CD。

p÷c就等于AB÷AC括号的平方。就等于三分之四括号平方，然后就等于九分之十六答案就求解出来了。所以就等于九分之十六正确答案就选择c选项啊，就九分之十六啊，这是它的做题的方法和思路，看看这个是不是懂了？得到九分之十六，它的这个取值。好，那在这里面除了这种方法之外，还有一种方法啊，这用适应定理，然后两个相除来进行分析的，还有方法什么还有方法，

我们可以另外一个思路。另外是我们可以利用这个AC=3 k。当然，大家知道这个k呢，是不影响咱们这个最后答案的，因为求比值嘛，这个k它最后约掉了，所以你干脆可以也可以利用k=1 k等于一直接AC的长度就是三。然后BC的呃AB的长度就等于4k，就是看成四就行了，所以说一个边长三，一个边长四，那b的长度就是五是吧？好b列长度，它正好九为五。

BC长度这样就求解求解出来嘛，所以BC的长度。就等于5k就三四五，它正好勾股数嘛，正好勾股数，勾股数的话，那在这里面大家呢啊，就用咱们学过的这个定理就可以把这个BD的长度给它解出来。是吧b的长度就可以求解出来，因为大家知道呃，这个AB的平方。AB的平方正好等于BD。乘以个BC。所以BD就可以求解出来，好BD就等于BC BC正好是五嘛五，

然后AB呢正好是4k4k的平方，就是16k。所以五分之十六k这个BD就写出来了，然后同样道理在CD还是用四零定理CD啊CD用AC的平方等于CD乘以一个BC。这样可以把这个CD给它求解出来c就等于五分之这个九k啊，五分之九k，然后这两个相除正好等于十六。比九这样就写写出来了是吧？16比九啊，它这个。啊，这样的一个比例关系是吧？所以这个用什么关系做都行啊，取特征法把它看35一个特殊的三角形。做这样也是没问题的，

也是可以的好，这是给大家强调的做题的思路和方法。下面咱们看27题，这个题。在直角三角形中，角a cb=90度又是没有图没有图，咱们自己画个图吧。那怎么画都OK了？然后这个是c，这是a，这是b，所以说a cb这样得90度啊，这个角是90度，然后CD呢垂直AB。那么CD。

CD垂直AB啊CD呢？是垂直AB的，然后AC的长等于六。然后这个。AC长等于6 AD长是三点儿，6 AD长三点儿六求BC长度到底是多少？求b的，这里还是要用摄影定理做是吧？大家知道AC的平方。应该等于AD×AB。是不是然后AC的平方正好是六的平方，六的平方正好36 AD是三点六乘以个AB？这样就推出AB的长度上等于十。AB长，它正好就为10 AB长为十，

然后求BC长度b长，我们可以用什么用固定的做就行了，因为大家知道AC长度为六。AB长为16，80嘛，这就可以解出BG长度为八。内长为八，所以这样呢，应该选择e选项啊，这样就求解出来了，当然这里还可以再加一份各位同学思考一下，让求CD的长度会不会求解？啊CD的长度，大家会不会分析和求解？如果让大家求这个CD长度看会不会做啊？

CD长度应该如何做？那CD长度呢？也很好做CD长度，直接用勾股定理做就行了，你看。AC是等于六。然后AD=3点六，那么CD我们直接就可以写出来是吧？CD就等于根号下。AC方减AD方。就等于六的平方减三点儿，六的平方，这个自己化简就可以得到这个CD的数值啊，这样就求解出来。当然，

这里还可以让你求BD的这个长度b长的话，那就可以用BC的平方=1个BD×1个AB。是吧，用这个来进行求解也是可以的，所以这是给大家强调的做题的方法和思路，看是不是懂了？接下来我们看考情二正弦定理和余弦定理，正弦定理和余弦定理，关键是有的题它没有图，我们先找到边与角的关系，利用正弦定理或者余弦定理来进行分析和思考。好，那这些定义主要考察的是一个比例关系，就是它的边长长度和角度的一个比例关系。好三角形三个内角之比是呃一比二比三，

大家知道三角形的内角和等于180。内角和为180度，然后内角之比。是一比二比三。这样就可以推出那三个内角，内角的角度。内角角度分别为3度，6度和9度。3度69度3度69度，其实这块儿呢，正好是一个特殊的直角三角形了。有3度，6度和9度，它说直角三角形，所以它在这里面正好是一比根号三比二，

所以三边长度之比。这样一比根号，三比二正确答案选d，因为它特殊角就不用这个正弦定理去进行求解了是吧？直接是一个特殊的，这个角度就可以得到它的比例。一比根号，三比二。所以30，69度这样一个特殊三角形，要把它记住。下面我们再看一下例29这个题在三角形ABC中角a=60度b等于一三角形面积等于根号三求，这个值到底是多少？我们首先分析一下，他要求这个值需要什么，

然后再根据条件转化成我们需要的东西是吧？我们想要什么？所以大家知道我们这道题，考察一个正弦定理。还考了一个等比定理，比如a比s in a。等于b比sinb。等于c比上sinc是吧，然后大家学过等比定理吧，就分子相加。除以分母相加。是吧，这是这地方又用了一个等比定理。是吧，等比定理就OK了，

然后接下来我们看一下它角一=60度，角一=60度，相当于s in a是知道的，对吧？这s in a是知道那我们。要把a求出来就行了，所以这道题我们需要把a求出来a求出来了，那这个比值就可以算出来是吧？那接下来我们看怎么样求这个a？怎么求得a的话，它给它面积，那知道三角形的面积，我们画个图。假如这是a，这是60度。

6度，然后呢啊？这个是b。这个是c好吧，然后这个是b所对的边为一啊为一。好，那接下来我们知道这个三角形面积公式，我们学过的是吧？三角形面积，三角面积等于二分之一，然后呢？甲这个边长是c吧？这个边长用a小写字母a来表示好，那么因为它知道这个夹角，它的面积我们可以这样写啊，

面积我们可以写成。b×c再乘以s in 60度。然后大家知道这个三十六度是二分之根号三b的值，又是唯一的b的值是唯一，所以带到里面去就二分之一。这个b的值为一×c×36度36度，是二分之根号三。让它正好等于一个根号三。正好等于根号三，所以在这里面大家呢，就可以看出它的命运值，刚好是根号三嘛，当然这样的话，我们可以推出c的值。c的边长为四，

也就是c这个边长求出来等于四，但是呢，接下来如何来求a这个长度呢？如何来求a这个长度呢？我们就要用。这个啊，余弦定理，所以这道题用了正弦定理，还有等比定理，还有三角形的面积公式，以及余弦定理是吧，原原定要求a嘛，如果已知两边和夹角，也会求这个。它的边长a啊，

把a求出来就行了，好a怎么求呢？那a的平方。就等于b方加c方减去二倍的BC。乘以个cosine。好乘以cosine，然后角a。这样的好，那大家知道b的平方b的平方正好是是一了是吧？b为一嘛c的平方就是16。减二乘以一乘以四，然后cosine cosine六十度cosine六十度正好等于二分之一cosine六十度等于si nine三十度嘛。这正好等于二分之一。要等于二分之一好，这样就可以写出来，

就等于十三。好，那这样就求出来，就等于13。啊13以后，那a就等于根号13。a等于根号13好a等于根号13这个写好以后，那接下来a÷s in a就OK了是吧？所以在这里面就a÷s in a。a是s in AA呢，就根号13那sina sina是有36度，36度正好是二分之根号三。二倍根号三，所以等于根号三分之二，倍根号十三。

就连三分之二倍的根号都把它有理化嘛，都乘以根号三得到三十九。啊，这样就可以写出它的数值和结果，那这样答案就选择d选项。三分之二倍的根号，三十九正确答案就选择d好，这是这个题，这个题它用到的公式还是比较多的，知道吧？用到的这个正弦定理和等比定理还用到了。这个三角形啊，余弦定理，然后三角形的面积公式，然后呢，

再来求出这个结果就可以得到答案，好，这是给大家强调的做题的方法和思路看。是不是听懂了？接下来我们看30题边长为五七八的三角形，最大角与最小角的和到底多少就最大角和最小角的和。好在这里面我们来画一个图。好，这是五，这是七，这个是八是吧？然后呢？大家知道那么大边对大角这个角是最大的角是吧？这个角是。最大的咱给它编上号吧，

然后这个角是最大的。这个角是最小的。因为这个边是最小的，然后这个角呢是？中间的角是吧？中中间角，它要求的是最大角，它这道题是求的什么？求角a加角c。求角a加角c，大家知道那么三角形内角和等于180内角和等于180，就说明角a加角c应该等于180度减角b。是吧，就等于一点八度减去角b的值。啊，

180度减去角b，所以就角a加角c就等于180度减掉角b的值，然后得到这个结果。得到这个数值。然后减掉角b的值，然后接下来我们只要把角b求出来就可以了，对不对？那角b求出来，那如果三边长知道了，那肯定要用余弦定理，余弦定理这道题就cos角b。框架角b就等于AB方加BC方减AC方。所以二倍的AB×BC。这样情况二倍的AB×BC。然后AB的平方是五的平方。

减掉七的平方，除以二×5×8得到这个结果好，那在这里面我们来看一下。它这个数值大家知道这个。五的平方是25。五的平方是25，然后减掉49。然后除以个这个是80是吧？除以80这样就写好了。就等于80分之，然后这个64减掉49，大家可以得到得到这个结果，得到十五十五，上面就是40。所以就得到是二分之一。

二分之一所以扩展角b等于二分之一扩展角b等于二分之一，大家知道那么角b就等于呃六十度。角b=60度，角b要60度的话，180减掉角b就是角a加角c，所以180减掉60度，180减掉60度，减60度得到是120，这个答案就选择的是b选项。啊120这样就写好了啊，这是它的做题的思路和方法。啊，这道题呢？大家要根据三边和内角和，然后来进行转化，

用一下余弦定理来进行求解和分析，看是不是听懂了？下面看31题，这个题。三角形ABC中，若a+b+c×b+c-a=3 BC乘求角a是多少，它给了三角形三边关系。300块钱求角度，那么肯定要用余弦定理做，所以这道题大家注意a+b+c，你可以把它写成b+c+a。乘以个b+c-a=3 BC，这样的话，大家可以把b+c看成一个整体啊！b+c跟AB+c-a。

可以把它看成整体，看成整体，以后呢，这样的话，我用平方差公式做就行了，平方差公式啊b+c+b+c减用平方差公式。得到b+c^2，减a的平方=3 BC。等于3 BC，然后这样的话，我们就可以把这个用平方差写完后b+c^2，然后再展开再展开展开就可以得到是b方加上。2 BC+c^2减a方等于三倍的BC。然后这个BC可以把它合并一下是吧？BC可以把它合并，

合并完后就可以得到是b方。加上就减去BC+c^2减a方，它是为零的，它要求角a求角a，那我们用余弦定理呗，余弦定理是cos角a。就等于等于这个b方加c方减a方除以2 BC是吧？这样的情况。好在这里面大家知道这个b方加c方减a方正好等于BC是吧，所以分子正好等于BC，根据这样的一个。是指刚才已知条件的化简，这个正好等于BC分母是二倍的BC，现在得到二分之一，然后这个值得到是二分之一。

好得到二分之一cosine角a是二分之一cosine角a是二分之一，那说明这个角a就等于六十度。角一就等于60度，这样就求解出来这个答案，应该选择a选项答案就写好了，好，这是它的做题方法和思路，看是不是听懂了。好，这道题大家一定要把这个式子来化，简化简完后，然后再想到余弦定理来进行求解和分析，就可以得到答案了。好，这是上案一体，

它的做题的思路和方法。下面我们来看考项三那中线定理，这里如果已知三边求中线长度，可以利用中线定理来进行分析和思考。好，那接下来我们来看一下例32这个题32。材料这个题它给的是AB长是五。这是AB长，是5 AC长，是7 BD长，是八。然后d呢，正好是ABC的中点d呢，是BC的中点啊，这是终点，

然后终点，然后求AD的长度。AD其实有中线了，对不对？AD有中线好，大家知道这个BD的长度。就等于BC长度的一半儿，应该等于四。是吧BD长度这一块儿长度，它就为四，这就写好了，写好那用中间定义可以得到什么？内容啊，中线定理。专利就是AB的平方，

加AC的平方等于两倍的BD方，加上AD方。这样写就可以了，好那么AB的平方正好是五的平方。AC的平方是七的平方=2倍的BD方，正好是四的平方，加上AD平方。这样写好了，然后大家知道五的平方是25。然后七的平方49是吧？就是25+49，这个算出来正好就等于74。啊74÷2得到三三十七。所以AD平方就等于37减掉一个，16就等于21。

好，二一这个求出来了，然后在这里面，它就等于根号21正确答案就求解出来了，所以AD就等于根号21。这样就算它结果这个呢，应该选择b选项好它的做题的方法和思路，看看这个是不是懂了啊，就这中线定理它的考试内容。中线定理的话，在这里面，大家呢，就把这个边长。带到里面去来求出中线的长度就可以了，所以已知三角形三边长度，

那么求中线长度那都要会分析和思考。接下来看，这个角平线定理，角平线定理，如果你的三边求角平线的长度，那可以用角平线定理来进行分析和思考。好，接下来咱们画一个简单的示意图。好，这是AB AB长的为4 AC，长的为6 BC，长的为八，然后AD呢为角bac的角平行线。那AA dad呢？AD呢？

是这个bac的，这个角平线。啊，这个角平线那那求AD的长度到底是等于几是吧？求AD的长度数值到底是等于多少？就AD的值，到底是等于几好？那在这里面那第一步大家呢？先要把这个这个什么BD和CD求出来。是吧，那我们知道这个AB比上AC。这样等于BD比上CD是吧？就是BD比上CD这样的AB比a cab比AC这样等于二比三。因为它一个边是四，一个边是六，

所以四比六正好等于二比三。啊二比三啊二比三，这个算出来以后那么就可以算出这个BD的长度就占，因为它正好是二比三嘛。正好是二比二比三，那这个BD就占BC总长的五分之二，所以BD的长度就可以求解出来BD长就占总长的五分之二。就等于五分之十六。然后CD CD又占总长的五分之三。就等于五分之二十四是吧？CD就等于五分之二十四啊，这一个占五分之二，一个占五分之三，好BD CD写出来，然后接下来我们算AD好，

接下来用角平线定理。啊，就写出来就是AD的平方，这样的AB×AC。减BD×CD。好AB的长度是四AC，长度是六减去BD的长度BD的长度正好就是五分之十六。实际上，正好五分之二十四。然后这个数值好，这个公式这个题怎么去计算啊？计算方法也还要知道，因为这个是二十四四×6也是24，所以可以提出个24。提完税后就剩剩的是一减去二十五分之十六是吧？

所以这因为五乘以五正好是二十五嘛。二十五，除以二十五分之十六，所以就等于二十四乘以个二十五分之九。然后这个AD的平方，然后再开根号就可以了啊，所以AD就等于根号根号，大家知道二十五分之九开出来根号就正好是五分之三。再乘以根号24。根号二十四的话，正好等于二倍根号六，所以五分之六倍根号六，这样就写好了，好，这是它的这个答案等于五分之。

六倍根号六选择e选项答案就求解出来了，好，这是它的做题方法和思路。那角平线定理和这个中线定理还可以结合着余弦定理来做什么，怎么样结合余弦定理做？比如说。知道角一的角度就不告诉你BC的长度啊，就BC的长度不知道。BG的长度呢？不告诉你，只告诉你AB的长度和AC的长度以及角a这个角度，那第一步你先用余弦定理，把BC的长度求出来。b长度求出来以后，然后呢，

再用中线定理那求出这个这个AD的长度是吧？这样的一个结果。然后同样啊，这个33题也一样，如果要知道。呃，这个AB和AC以及再告诉一个角a，大家第一步先求出BC的长度。先求出BC的长度BC长度求出来以后，然后呢，再利用角平线定理，然后再求出AD的长度是吧？所以这是给大家强调，所以大家可以结合余弦定理来分析。和思考看各位同学是不是听懂了？

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