6-04三角形的四心（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 18:56:04

接下来咱们学习三角形的四先。接下来咱们看一下三角形四心，三角形四心，它的考虑要点，咱们看一下这个表格。第一个内心。啊，内心内心就是内切圆的圆心啊，内心内切圆圆心，它的位置位置正好在是位于角平线的交交点。为角平线的交点叫内线。内心到三边的距离相等啊，内心到三边的距离是相等的。这个距离其实就等于内弦半径，懂了吧？

好，这是距离相等，然后有一个公式就是面积就等于二分之r，乘a加b加c是吧？二分之r，乘a加b加c。那s代表面积r代表内切圆半径。啊，这样写出来了好，那接下来外星。那你代表外接圆圆心。是三条边的中垂线交交点。然后位移到三个顶点的距离。相等这个距离其实就等于它的半径。所以，

直角三角形外心正好在斜边的中点。然后三角形面积就等于ABC÷4r。好为外接圆半径，这公式咱们都会给大家推导的。然后重心重心就是三条中线的交点。像中线焦点，中线将三角形分成三个面相等的三角形。我分三个面相等三角形。然后而且重心将中线分成二比一的两段好吧，重心将中线分成二比一的两段。呃，接下来咱们简单的说说这几个内切圆半径的推导好吧，内切圆半径的推导。好，那这有一点，

它到三边的距离相相等。三边距相等好，那可以把这个点一连。啊，一点一点可以写成三分成三个三角形。三个小三角形面积相加，就等于整个大三角形面积是吧？三个小三角形相加，就等于整个大三角形面积。所以这个地方大家可以看到这个是r，这个是r，这个是r是吧？这是rrr好，这是半径。所以这个边长分别是ABC。

边长分别是呃，这个ABC好，那s就等于二分之一a乘以r。二分之一b乘以r，二分之一c乘以r。是不是这样的，就二分之一a乘以r二分之一b乘以r二分之一c乘以r这三个加在一起就得到整个三角形面积是吧？所以它这根据面积推导出来的啊。面积要出来了，所以这个也可以把r写成一个。二倍的面积除以它的周长。好，可以把它写成二倍面积，除以周长这样写好了啊。好，

这是内嵌半径，它的推导情况，接下来咱们还要给大家进行强调直角三角形，所以我们给大家总结一下，咱们前面学的内容好吧？叫r内切圆半径，然后这二倍的面积除以它的周长，所以任何三角形它都是满足的。好吧，任意三角形，它都是满足的，得到二倍面积除以周长。任何三角形。都满足第二，如果要直角三角形。

只有三角形，大家可以把它写成什么呢？现在二分之a加b减c。呃，直角三角形，它写成二分之a加b减c。好，这个只对直角三角形适合啊，其他三角形它也不能用这个公式了。就二分之a加b减c。得到这个结果。那接下来咱们再来看一下，等边三角形。好等边三角形等边三角形就六分之根号三倍。好，

这样就完整的把内切圆半径的公式给大家写上了。好，第一个它可以适用所有三角形。所以第二个和第三个记不住，也可以用第一个呃套到套第一个公式也行，直角三角形套第一个也可以。等边三角形套第一个也可以好吧，所以内切圆半径就等于2s÷a+b+c。那也可以写成二分之a加b减c。也可以写六分之根号三倍a好吧，这是它的这个情况。然后咱们看一下外接圆半径的推导。外接半径最小，咱们记住有一个正弦定理。a比s in AB比sinb。

c比sinc。这等于2r。是吧，好这个定理。然后在这里面，大家呢，可以把这个变形成r=a除，以二倍的s in a是吧？用这个a表示。那么，第一个表什么？第二个表都都行啊，这样r就可以写出来。r就等于a÷2倍的s in a。然后咱们又学过这个三角形面积公式，

面积公式等于二分之一BC乘以夹角正弦值，所以可以把这个s in a。写成二倍的面积除以BC。二维面除以BC带到里面去。是吧，就用二倍的面积除以BC带到这个里面去。大家认为r就等于ABC÷4倍的s是吧？r就等于ABC÷4倍的s，这样的情况啊。r就可以写出来，就等ABC÷4倍s把这个往往这个分母里带。分母呢，把这个翻上来就得到了ABC÷4倍的s。好，那这是它的半径的推导，

那接下来咱们再把这个三角形再给大家进行总结一下。等一下，如果。一般三角形都可以拿ABC除，以四倍的s来分析第二个，这是任意三角形都适用。呃，第二个就是如果只有三三角形。直角三角形，如果等边三角形。啊，这样的是吧？等边三角可以写成这样的。好，这是它的方法是吧？

好，如果要是任意三角形可以写ABC除以四s，如果直角三角形写了二分之c，如果。要等边三角形等边三角形写三分之根号三倍的a啊，三分之根号三倍a好，这样的方法。好，那接下来咱们看一下命题方向好吧，然后做一下里面题，大家一起思考里面题，第一个三边长为五六七的内切圆的面积到底多少？要求这个内切圆面积，我们首先呢，要求出内切圆半径。

把那些半径给它求解出来啊，那些半径。好要求内弦半径，那第一步要求这个三角形的面积是吧？三角形的面积。j me，咱们用海量公式求二分之五加六加七。就等于九。是吧，好p求出来，所以呢，三角形面积就可以写出来。那s就等于根号下九乘以九减五，九减六，九减七。

就等于六倍根号六。啊六倍根号六，然后面积写成，然后内圈半径r。就可以选这等于二倍的面积，除以它周长。就等于十二倍根号六除以十八等于三分之二倍根号六。是不是所以大家呢？就可以把这个内弦半径给它求出来。所以这个公式要非常熟练，求解求解之后，然后咱们算一下内切圆的面积，就等于派r方。就等于三分之八派，这样写好了，

是不是大家想想是不是这样的？好，这用了公式来求它的答案，看是不是听懂了？好，这是第一个题，第一个题的话，要会求一般三角形。它的内圈。这个情况。然后咱们再看一下这个，有一个30度角的直角三角形小直角边长为a，它的内弦半径到底是多少？这3度角最小直角边为a，那大家知道3度69度三边之比。

三到69度，三边之比正好是一比根号三比二。是吧，就一比根号三比二。好一比根号三比二，那接下来我们呢？就看看它内弦半径就等于二分之两直角边相加。再减斜边好吧，这个大家直接就给口算出来好吧，所以直角三角形那些半径直接口算出来就可以了。很简单。好，咱们再看等边三三角形好吧，等边三角形。好等边三角形的话，

先根据它的面积，要把它边长算出来是吧？边长算出来，边长算出来以后，然后再算内切圆半径。好看这个题，大家会不会思考？啊，这个题这地方我们可以看到。等边这样写，那面积正好等于一个四分之根号三倍的a方。相等于九倍根号三是不是通过这个式，大家可以快速把a解出来a的值上等于六。是吧，开始把a的值写到a的值上等于六。

x值等于六算算，大家马上算内切的半径。例文的根号三倍的a。就等于根号三是吧啊，然后接下来再算内圈的面积就等于派r方。就那三派，是不是三派这样就做出来了？对吧，大家想想是不是这样的，所以以上三个题就把一般三角形直角三角形和等边三角形。这三种。公式。都给大家进行分析了，看各位同学是不是明白了啊？都分析了一下，

看是不是懂了啊？接下来咱们来看外接啊，外接另外大家还要知道什么呢？知道就是这个锐角三角形外心在三角形内部。钝角三角形在外部，直角三角形的外心正好在斜边的中点。好吧，就咱们四心里面的，就内心和重心，不管什么三角形，它都在三角形内部知道吧，不管什么三角形，它都在内部。啊，大家要知道好吧。

接下来咱们看一下例四这个题。等腰直角三角形的内切面积与外切面积之比到底是多少？等腰直角三角形内切圆的面积与外切圆面积之比到底是几比几？好面试被大家知道，就要找到半径。面比等于半径比的。平方是吧？所以我们看一下等腰直角三角形。但要求比值可以取特值做，知道吧？求比值可以取特值做。呃，求比值，那我们可以设一一和根号二呃。好，

那我们来看一下内切圆半径。就等于二分之a加b。减c。那内切圆半径是不是？然后咱们看外接圆半径，外接圆半径正好斜边的一半。大家是不是这样的，看第一步是不是听懂了？看第一步是不是明白？你看那圆的面积s内比上s外。就等于半径之比的平方啊。好这个呢，就选择e选项是吧？好选择e。好看，

这个是不是动了是吧？好，接下来咱们看例五这个题呃例五这个题咱们。呃，可以可以把四个新的坐标都给大家讲讲。呃，四个坐标都可以说一说。啊四心的坐标。外心内心重心垂心是吧？四个心坐标都可以给它进行讲一讲。好，大家想想，如果要知道三角形三个点。那么，要求四个新的坐标，

大家会不会求？求四个新的坐标。好，那么外形它的求法一个说了，如果要知道已知三点。第一个，我们看求外形。求报警，它有三个方法啊，第一个咱们看求。求外形，求外形，它有三个方法，第一个方法画图。画图做可以，

你稍微把图画的稍微精确点。然后呢，你也可以观察出来。因为咱们选项都是都是整数，而且这几个选项呢？它的差距还是比较明显的，有的干扰性不是很强啊，干扰性不是很强。科幻性不是很强，大家可以画图。做出来第二个。第二个。第二个，大家可以按照外形的定义是三条边的中垂线的交点。好找中位线，

它的交点。但找中文线，那就稍微麻烦点。是吧，所以慢点，不过这里还好，这里比较特殊点，在是在什么地方AB，它正好是水平线。因为a点和b点。a点和b点。它正好y坐标一样。是吧y坐标一样。大家可以看y坐标是一样的，一样它正好在水平上，

这个纵横线还好找点是吧？咱就找纵横线，纵横线怎么找呢？纵横线就过两点的终点，而且跟它垂直。这样垂直线，所以过两点中点，然后跟它垂直，可以找到斜率，然后又经过中点，用点斜式来写它方程就可以了。是吧，写到方程好，这是第二个第三个。这是距离相等。

好，第一个可以，第三个也可以，这都是比较快的，好比较快，所以这道题咱们就可以采用距离相等来做图呢，自己可以画啊图考试要。写完计算麻烦的话嗯，画图做应该是比较快的。考试画图啊，可能是比较快了，图画准一点。然后接下来咱们设这个距离相等。那这距离我们假设外星坐标是。xy.

它到a点去用两点距离公式做啊，两点距离公式大家知道，两点距离公式含有根号，但它都有根号，都有根号，相当于根号可以不要了。是吧，所以这个y心跟a的距离y跟a的距离相当于是x+1^2，加上y- 5^2。等于外心跟b的距离，外心跟b的距离就是s- 5^2。加y- 5^2，然后外形跟c的距离。啊，外形跟c的距离。

y应该c就s- 6^2。加上。y+2^2。是吧，好，这是它的这个方法。好看懂了没有啊？是s- 6^2加y+2^2好了，如果不想解的话，也可以验证选项。不想解可以验证选项，看选项到底是多少？是吧，验证这个选项，所以通过验证完了以后，

我们可以发现这样是在二一这个点是可以的，你看二一它都满足。但代账里面是不是二一正好都满足？好正确答案就选择b是吧？选选择b好，这是求外形好，这个给大家已经讲完了，这个关键是听的方法，知道吧？方法呃，答案不重要，听的方法。第二，咱们看一下啊，求这个内线。

求哦，类型类型第一个也可以画图。第一个也可以画图。第二个是角平线交点。第三个，它距离相等。是一项的。好，大家知道呃，这个这里面就画图做是最快的了。画的最快的角平线是最麻烦的，知道吧？三角形要求角平线非常复杂。角分线，这是不好求的。

你角平线那个斜率得用咱们这个角夹角公式那个求解很很复杂。知道吧，所以这个这个角平线角平线这个很不好求。比如这个角角平线。这叫角平线是吧？你找这个角平线，这个角平线呢？不好求。是吧，角明显很复杂，因为这个角它得用夹角公式啊，这个角不好求。然后距离相等可以距离相等，它是这个内心到三边的距离是相等，所以第一步还要求三边的直线方程。

所以一般呢，用用这个距离相等也行，距离相等实际上呢，我就大概说一下思路，这道题咱就不再解了好吧，大概怎么去判断呢？首先，求出三边的直线方程，用这个方法。用这个方法先求出三边的直线方程。啊先求三边三条边的直线方程。好三角边的直线方程求出来以后，然后再来看什么呢？再来看它到三边的距离相等是吧？点到直线距离公式。

它到三边的距离相等。它到三条边的距离是相等的啊，到每条边距离它都是相等的。是吧，他们俩边距相等好，这是它的这个方法。好看是不明白了是吧？它到三边的距离是一样的。好，这是它的这个距离情况。好，第三个呃，就是求垂心。先讲重心吧。重心好重心呢，

是最友好的重心呢，连图都不画了，重心的话直接求平均值。九品音乐。就三个点的。坐标。ABC三个点坐标相加。求平均就行了是吧？重心就是求平平均。啊，三分之这三点坐标相加啊，求平均就可以了是吧？写下它平均值。啊，重心是最最简单的，

然后第四个就是垂心。随机性化第一个，你可以画图。第23条高的焦点。它不能用距离，它不能用用用距离做啊好了，这是如果知道三角形三个顶点的坐标。那我大概分析这四个新的坐标，求四个新啊，这个给大家进行呃，说一下方法好吧？接下来咱们看重心重心的结论呢，是比较多的啊重心。重心，它表示，

三条中线的交点最后结论第一个重心将中线分成二比一的两段，这个用的比较多。第二个，这个中线长度的两段正好是重心到顶点，距离与重心到对边距，终点距离之比二比一。所以第二句跟第一句这两个其实是一个意思。第三个重心和三个和上三个顶点组成三个三角形，面积是相等的。第四个在平面直角坐标系中，纵心坐标是它的平均值算法。平均值刚才咱们讲过，直接相加，除以三。第五个就重心到三个顶点距离的平方和它最小。

这平方和最最小。呃，这个大家在做作业题的时候有这样一个题，比如说有三个村庄这样构成三角形。是不是三个村庄构成三角形？我们在它们内部呢。修一个，比如说批发中心或者修一个什么超市，修一个购物中心。要因为在购物中心的话，你不能离某一个太近，离某个太近，其他人就不过来了，对吧？所以说在这里面要兼顾到这几个，

兼顾到这几个，怎么兼顾呢？要保证这个距离的平方要最小。比如这个，这个点是p点。要保证PA方加上PB方。将PC方要最小。就PA方加PE方加PC方，它最小呃就PA方PE方PC方，它正好是最小的。正好是最小好那ppb PC平方，最小最小的话，它正好就是重心好吧，正好就是这个这个点啊，重心就可以了。

好吧，为什么要加个平方？知道吧？为什么要加个平方？因为咱们要放在解集合里面证，因为大家知道两点距离公式，它有根号，根号如果不加平方的话，不加平方的话，这个根号我们不好处理。它主要是呢啊，为了把根号给大家进行呃，变一变是吧，这个根号给它进行变一变。所以PA PB PC，

然后这个就是它的平方问题好，这是给大家强调它的方法。是吧，这是第六个重心，到是是三角形内到三边距离乘积最大点，比如p到它们乘积这个距离是最大点。好吧，这是乘积最大，这平方和是最小的点距离乘积最最大的点啊，这是它的这个方法。你比如说那么随便，这里面重心的题特别多啊，随便选一些题。然后例六三角形内有一点p，若三角形面积相等，

则p点为什么心，你要知道三角形面积相等。它是重心对吧？这个大家直接记公式就可以了啊，重心就知道三三个三角形面积是相等的啊，就是重心坐标。好，这个p点到三边，距离与边量成反比。这个例例七怎么推出来例七呢？是用例六来推的是吧？例六来来推的，然后这一块大家可以看看。好，这个不能用外形呃来定好外形，

外形有有同学想到什么，想到这三个距离相等。呃，不是。你这三个距离相等的时候，这个平方和不一定是最小。三个距离相等，它平方和它不一定是是最小啊，好有同学想这个相等的时候趋等号呃，它不是用奇数定理，它不是说相等的时候。取等号不是相等数，它是取等号啊，所以呃，有的同学想啊，

正好选这个外形到三个长度相等。所以相当相对，因为有时候大家注意搞平民主义呃，大锅饭会影响效率是吧？会会打击一些人的积极性。不能搞平行主义，对吧？就平行主义要不得，所以就这个意思，那不能让它都相都相等，其实这些点并不是最佳位置。啊，并入最佳位置，它要p方加p方加PC方最小最好最好是这个点是重心重重重心的话，有时候可能离某个点近一点。

啊，离某个点呢，会稍微远一点，但是呢，这样是最佳啊，最最佳的情况啊，所以不要不要想着距离相等来定那个是商场。好，那接下来咱们来看一下这道三边距离成反比p点，它也为重心。好，如果定义最佳定义最佳的话，就要看人家问什么呃，问什么问，如果平方和最小。

平方和最小平方和最小的话，那就是重心是最佳的。呃，就是在重心这一块好吧，就这个最佳的衡量角度，衡量角度一般就找这个平方和是最小。平方和到这个平方到这个平方到这个平方和最小，因为你要是要是pap与PC相等的话，它的平方和它会稍微大一点儿。它会比这个值稍微大点，这个大家可以放到坐标系里面，然后去简单去证证一下，可以看出那它这个。平方和会大一些。好那么像例七这个题，

它到三边距离与边长成反比啊成反比。好成反比的话，那就说明什么问题啊，这个反比怎么去理理解啊，咱们学过反比。反比y等于s分之k就成反比，反比相当s乘以y等于k，所以说如果两个量相乘等于一个。常数两两相等于常数好，那就是反比关系是吧？所以这个是a，这是b，这是c。然后这h1h2呃h3又得到AH 1=bh二=ch三是吧？然后都给它乘以二分之一，

所以说就推出了上面这个结论，面积相等，所以p点就重些好吧，如果它要成反比，它是二分之一a乘以h一等于二分之一b乘以h二。等于二分之一c乘以h三，对吧？这样写好了。然后这样就可以得到它的面积相等啊，所以这个反比就两个变量相乘等于常数叫做反反比。啊，反比的定义，咱们要知道好吧，反比。反比概念，

这个要知道呃，反比反比就y等于s分之k反比反比，把它看成两个相乘等于个常数。所以这里就代表是它的边长和对应的距离，相乘的一个常数啊，这个边长和这个距离，相乘的一个常数。乘上，然后都乘以二分之一代表面积面积，这样就写出来了啊，这样就知道是重心。没有它的方法。然后例八这个题这个题呢，求中心坐标，那就很很简单了，

比如这里，这里它可以。改成一个那个什么来来来，进球改成修建商场，建商场的题是吧？建商场比如说ABC有三个。呃，三个这个小区。啊，他们居民要购物是吧？建一个商场，这样的话，那要保证他们的距离的平方和是最小，这样那就找重重型就行了。这里直接把三个相加除，

以三有三分之负一加四加六。这三分之五加三减二，这样就可以写出来好吧，可以写出它的这个值，所以得到三二点。这样就写出来，这样答案就选择b啊12点。这就求出来了。

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