6-03四边形（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 14:00:29

好，接下来咱们看一下第三个菱形，菱形两对角线互相垂直平分，菱形的面积就等于对角线乘积除以二啊，对角线相乘除以二好，这是菱形它的面积的计算方法和公式。好，那接下来咱们看这道题菱形两条对角线长分别是十和24，具体的面菱形的面积多少，对面直接就拿对角线相乘。除以二就可以得到120这个答案选b，这个很简单好吧，知道对角线也会算面积，当然如果要知道一条对角线。和面积也可以算另外一条对角线，

要会反着用这个公式来求解。接下来看一下菱形的周长为五十二一条，对角线长为24，求菱形的面积到底是多少？菱形面积到底是多少？好，那接下来我们呢？来看看它的图。啊，它的图简单画一个图。啊，如果它周长周长正好为52周长要为52，说明它边长正好为13。边长就是52，除以四得到13。

啊，它的边长也都13。然后这个长度正好是24。好，那对角线。长度为24，大家一定要知道菱形对角线，它是互相垂直平分的，这边那这一半有12是吧？这样对角线的一半嘛，一半有12。12那这是13，这是12，那这个高度就是五这一半儿注意这一半儿长度就是五。对吧，

一半乘了五，因为五十二十三嘛，五十二十三那大家知道菱形面积可以用一个三角形面积算出来，然后呢？啊乘以一个一个三角形面积乘以四嘛，它上下左右全等三角形都是全等的，可以算它面也可以用对角线相乘除以二它对角线。那这个对角线一半25，然后这个整个长度就是十，然后另外一条对角线24，这样算也可以，仍然是120。啊，这个答案选b好，这是周长呀，

还有对角线啊，三角形啊之间的关系要弄清楚。好，接下来咱们再看这个题，在菱形abcd中，两对角线长，分别是六和八对角线长度知道了。六和8p呢，是AC上一点。啊p呢，是AC上一点，然后mn分别是它的中点。啊mn分别是a bbc的中点，则PM+pn的最小值啊，注意如果。

p点在某条直线上运动，那求PM+pn的最小值要用对称好吧？用对称。对称来求最值，这时候你做m的关于AC的对称点或者n关于AC的对称点都可以好吧，做哪个都行，那做n的对称点吧，反正这都OK的。好，那对称过来，这个n1撇。还有n关于AC，它的对称点。就为n1撇好，这是n关于它对称点就是n1撇n1撇在这，

然后这时候呢，大家可以看到这个PM的。长度加上pn的长度啊，我们写写。啊，就是PM。加pn就等于PM+pn一撇。是吧，就PM+pn。因为这对称的嘛pn和pn 1撇，它是一样的。大家可以发现，这再再连这正好是一个三角形是吧？再连在一起正好是一个三角形。大家知道三角形里面两边之和要大于第三边是吧？

所以大于等于mn 1撇。对吧？好，那什么时候取等号呢？正好是它p点，正好是在这条直线上，在mn 1撇，在这个交点上。在这个点的时候，它正好呢啊，那么就取等号，这样的话长度相加，正好等于mn 1撇。大家知道，因为m点是终点n1撇，

它也是终点知道吧，这对称过来，它也是终点啊，终点，所以说这mn 1撇正好就等于什么等于这个。菱形它的边长是吧？菱形的边长好，菱形边长，咱们再重新画个图，因为刚才这个图有点乱，再重新画个图。我们可以发现啊，菱形。好它一条对角线长是八，一条对角线长是六。

是吧啊，一条对角线长为八。一条对角线长为六啊，这样的好吧，所以说那这段一半长度就是四这一半长度就是三，然后这个边上不就是五吗？这能看到吧，所以这些对角线，它正好是一半儿啊，一半儿，所以说这个就等于五我这个选c选项好，所以这就是利用对称来求它的最值问题。好吧，大家要会分析和思考，然后大家以后记住动点，

在一条直线上运动到两个点，它的距离和的最小值，那么做对称。这也是咱们在后面讲这个几何，里面有个非常著名的就将军饮马。一个典故。好，那那典故是什么样？比如说这是一条河流。啊，一条河流。然后呢，将军，比如说在这个a点，他他打完仗了，

在a点要回这个营地，比如营地呢，是在这个b点。啊，营地是在这个b点，要要回这个营地，但是呢，这个直接回去呢，是不行的，因为这个马它渴了。是吧，他这个马呀渴了，他要喝水，要不然这个得补充点能量是吧，所以他就找一个人算，

就是咱们。先呢，去这个河流喝水，喝完水以后，然后再回营地，怎么走最短？那找一个人算好那一个人呢？唉，拿出地图，然后做一个对称点。你做谁的对称点都行啊，然后做b的对称点也可以做一个对称点，然后这两者一连啊，一连在c点。所以说它先走到c，

然后这一块啊，到河流这喝水，喝完水以后，然后再走回来。然后然后再走回来，这样就最短的知道吧，这个最短，这是将音码模型做一个对称就可以了，好，这是它的这个。呃，含义啊，用对称求最值的一个思路和方法，要弄清楚。接下来看一下平行四边形。

好平行四边形的话，这个很简单，核心的就对角线，如果没有其他要求，平行四边形可以特殊成矩形或者正方形来找答案。因为咱们考试都是选择题，像咱们在之前的考题里面，它给了一个三角形，你把它看成一个特殊的等边三角形一下答案就找到了。好吧，所以这个三角形要弄清楚。比如像这个题，这个题的话，你如果不把它特殊化，然后这个题做起来会非常复杂，

它p点是平行四边形内一点。然后且这个AP AB这个三角形面积为五，然后pad这个面积是二是吧？这个面积是二。然后这个面积是五，然后求PAC，它这个面积到底是多少？它只知道是平行四边形。啊，如果用呃传统方法做的话，那特别复杂，要设很多量，最后这个量呢，又抵消掉了好吧，所以接下来呢？

咱们就可以把特殊化特殊化成一个一个正方形吧，好吧，就特殊成正方形啊，那什么时候可以特殊，只要它给的这个图形不影响选项答案，你看选项答案都是固定的，有时候这个平行四边形是矩形。也好是正方形也好，它这个答案是固定的选项，它的答案是固定的，并不是说变化的是吧？并不是说它不确定，或者说它无法求解。或者说呢，这个。

啊，数值呢啊，与什么变量有关，如果这样的内容的话，那要看它跟那个图形有没有关系，这道题它选项它都固定的。所以我们可以找特殊图形。这个特殊图形有点像咱们前面学习的特值法一样，找一个特殊情况来找答案，这道题我们把它特殊成一个正方形。啊正方形这样就好做一点正方形，然后这是abcd。abcd这样，然后呢？这个AC这样它对角线。

啊，一些对角线，咱们把它弄得简单点p点刚好就在。啊，在什么地方呢啊？把p点呢？咱们呢？刚好在另外一条对角线上。好讲到p点，咱们就在这个位置好吧，咱们弄得简单p点，在这个位置好，这样一连大家可以发现这个三角形正好就为二。下面这个三角形就PB正好属于V5V5，大家知道这个二+5正好是这个。

三角形就是七，这个七是吧？这是七，大家知道这个正方形，这个对角线将面积分成一半嘛，这个就是七。这个能看到吗？好，这个就正好数值，它有为七。啊为七号，他要求什么求？求这个p。AC的面积PC的面积PC面积，大家知道这个这这个点啊这个点。

好，这个点我们就可以这样去写，大家知道这个三角形abd正好就等于一个。二+5正好等于七对吧，然后甲交点这个交点甲的是o点吧，交点是o点那三角形aob。大家知道这个对角线的交点吗？正好是这个整个这个七abd这个三角形面积的一半儿是吧？一半儿就是二分之七就等于三点五。三点五三点五呢，这个小的小的三角形aop正好等等于一个。五减三点五。这等一点五。是吧，一点五一点五的话，

那接下来就好办了，接下来就相当于做完了。然后把这一连一连的话，大家知道。啊，这个PAC因为它是一个正方形，而且p点在对角线上，所以左右两个这个是一样的，你这边一点五这边肯定也一点五嘛。是吧，所以它这两个都是一点五都一点五的话，大家可以发现那加在一起就得到是三是吧？得到三所以就得到PAC。啊值正好等于三好，这个答案应该选择的是b选项好，

这做题方法思路，看是不是懂了啊，所以要知道它的考试内容。那把特殊化这道题就好做多了。接下来咱们看一下梯形，梯形要注意梯形的面积，还有一些性质，而且要注意特殊的梯形直角，梯形和等腰梯形，这两个特殊的梯形要弄清楚。知道吧，这两个特殊题型也会分析和思考。好，接下来咱们来看一下这个题。啊，

它说AB垂直BC于b点啊，这是垂直垂点CD，垂直于BC于c点。然后这两个角平线啊，这两个角平线就是角bad bad，有个角平线。然后这个cda这个角平线恰好交于上面一点e点。啊叫e点，然后AD长度正好是八啊AD长是8 BD长是六，所以这个四边形。它的幂到到底多少啊？就BC强度的正是六。啊六然后呢？这一块儿AD长度呢？这个长度是八，

大家想想这个abcd的面积，那首先大家可以发现ABC它是一个直角梯形。为什么是梯形呢？首先它有两条边平行，那个梯形为什么直角梯形呢？因为它有个腰跟它垂直，所以它就正好是一个直角梯形。好，那接下来这个角明线这个很很关键好吧，这个角明线这个很关键好，那这个角明线就说明角一跟角二它是相等的。啊角三跟角四，它也是相等是吧？这个角它都一样嘛，因为角平线，

所以角bad还有一个角平线。然后呢角这个CD它有个角平线是吧？然后这这是角一和角二相等角三和角四相等。大家知道这个平行直线，首先大家知道这个AB和CD肯定是平行的，对吧？就AB和CD肯定是平行。平行线大家知道这个呃同旁内角肯定是互补，这个大家都知道是吧角bad。加上角啊，这个cda这等180度，这个大家能懂吧？就角bad。角bad和角这个cda正好是180度好，180度大家知道这个。

这个角加这个角180度，那角一和角二正好是bed的一半嘛啊，一半一半的话，那说明这个这个角二加角三这样等于90度。是吧，然后角一加角四，它也是90度。是不是这样的，所以在这里面我们就可以得到那么角二加角三。这样等于零点九度。是不是这样的啊，然后这个角一加角四，它也是9度啊啊，也也9度好，那接下来咱们来看一下。

啊，那么这个六这块它怎么去用是吧？这个长度是六，所以我们接下来我们呢？知道这个梯形的面积，梯面我们知道这个四边形ABC的面积。是不是就等于上底加下底，然后乘以高高呢？就是BC长度。是吧AB作为梯形的上底CD，作为梯形的下底，这个BC呢，就作为它这个高作为它的高。好，那我们来看AB和CD，

它这个怎么去思考？所以在这里面可以做过一点，做它的一个。一个垂直的啊，一条线垂直的，一条线垂直一条线，以后大家知道，假如这点是ff。好，我们知道这个角平线还有一个性质，什么性质角平线？它到角两边距离是相等的是吧？角平线上点到角两边距离是相等，所以在这里面我给大家写上好吧，就角平分线。

这样的点。到脚两边，距离相等。所以说在这里面，大家可以发现一个一个什么情况呢？大家思考一下。对不对？然后就可以就可以得到这个b长度跟这个。ef长度，它是一样的。是吧啊，一样，然后呢，就可以把它这个对称相当于相当于折折过来是吧，相当于给大家进行。

折折过来，折过来后，那么也就说相当于什么？相当于这个a be，这个三角形跟aef这个三角形，它是全等的，知道吧？它全等同样道理，这边也一样。是吧，就是呃cde这个三三角形跟这个是df这个三三角形，它也是圈的。现在我们就可以得到一个非常重要的内容，非常重要内容，就相当于是什么，

相当于就相当于是这个af就等于AB。对吧af=AB，然后df就等于CD，然后把它虽然a和af我不知道多长df，不知道多长，但是把它相加。现在又得到af+df，正好等于AB+CD。而af+df正好是这个，就等于AD的长度。正好等于八是吧？等于八好做到这，大家可以发现这个上加底正好等于八，然后这个高正好是六，这样话我们就可以算出来等于24。

这样就求解出来了，好这个呢，应该选择的是b选项，所以这道题大家在做的时候，我们在分析时候一定要啊，用角平线的一些性质是吧，而且还可以证明。这个aed这个三这个三角形是一个直角三角形，当然这道题咱们呢没有用到这个这个结论。啊，所以说角平行线还要用到平行直线的同旁内角互补等等的，就这个给大家进行分析一下它这个结论，所以在这里面我们呢？这个结论求出来，然后剩下就好做了，

接下来我们再用角平线，它到角里面去相等，或者说角平线分成的左右两个。三角形是全等的，现在就可以把上底这个数值转成af来求下底CD转成df来进行求，这样就没问题了，就可以写成答案。好，这是它的做题思路。好，那接下来咱们看这个题。然后如图在t abcd中。AD平行BC啊AD和BC平行点pq分别平分。平分AD和BC也说这个q呢，是BC的中点啊，

这个p呢，是AD的中点点o呢，又平分。pq啊o呢，就是pq的中点。然后过o点做一条直线，与AD交于m啊，与上面交于n点，则四边形amn。b啊，这个四边形，咱们找一下am NB这个四边形。跟mdc n这个四边形，它的面积到底是几比几是吧？它的比值到底是多少？

好，那通过这个我们来看一下它的这个数值，其实大家可以发现啊，这样想就是。am NB这个四边形啊，就是am NB这个四边形。好，这个四边形这个四边形，大家可以发现什么发现？它的这个特征就是。这一块儿啊，就相当于是就是关键是是是这一块儿，这个小三角形。对不对啊？这个关键是要小三角形，

或者说这样写，它可以把梯形一半就二分之一abcd。因为大家知道这个pq，它正好是平分的，所以pq就将这梯形分成一半，知道吧？就AP qb。正好是梯形的一半儿啊，一半儿对吧？一半儿一半儿呢？正好相当于什么？相当于加上一个这个pmo。这个三角形。pom，这个三角形，

然后又减掉了什么？又比这个这个梯形一半又少了一个no q。哒哒哒。少了一个no q是吧？又少了一个。no q这样的。是吧，所以就这样啊，接下来很容易可以发现这个三角形pom跟三角形no q。啊，这两个它是。面积是一样的，为什么一样？大家想想这两个三角形，它应该是全等的，

为什么全等大家可以看OP？OP跟oq长度一样，另外其他角度它都一样，看到没有上下这个角度，因为上下平行这个每个角度它都一样，而且这都是垂垂直的。就说所以它是全等的。啊全等好，既然这两个是一样啊，这个就可以约掉约掉，正好占整个啊这个。梯面一半儿，那剩下一部分，它也占一半儿，就不用再写了吧？

mdc n面积，它也是一半儿，所以它比值就是一比一。知道吧，一比一，它各占一半，知道吧，只要看上下这两个三角形，它是一样一样话，其实它每一个。四边形都占整个梯形面积一半，所以两者面积是相等的，所以它比值呢，就是一这样就写好了。接下来看一下其他四边形，

其他四边形一定要把它做辅助线，分割成三角形，或者把转换成特殊四边形来进行分析和思考啊。好，我们来看这个题已知abcd是一个平行四边形啊，这abcd它是一个平行四边形，然后BC比ce正好等于三比二，BC比ce正好等于三比二。啊BC的长度和ce长度正好三比二。三比二，然后呢？这个ode的面积正好是od面，正好为六。啊ode的面积正好为六。od的面积，

它正好为六好求，这阴影面积到底多少？啊求阴影面积到底多少是吧？就od这个面积，它正好就为六。这能看到吗？求这个阴影面积好，那接下来大家要想想一想，你能不能想到这阴影面积，它是一个不规则的。四边形不归，四边形是不是想到连接AC？连接对角线。连AC以后，大家可以发现这个aced正好就是一个。

梯形是吧？所以说这个aced这样为梯形。啊梯形梯形，咱们也可以用梯形的底心定理来做了是吧？因为大家知道这个BC和AD长度是相等的，也就是AD的长度和BC的长度是相等，为什么相等？因为它是一个平行四边形。平行四边形，对边是相等的啊，是AD，所以说在这里面就可以得到AD比上ce的长度就等于一个三比二。是吧啊，它它正好就等于个也是三比二。上边我们学过梯形的同学应知道它这几块面积的比例关系，

要知道好吧，这个比例关系比例关系还记不记比关系忘记同学，我们再给大家进行说说一下好吧？啊，再给大家进行说一下，这个比例关系。如果上底为下底为b，它的几块面积的比例份数分别是a方b方AB AB。是吧，就a方b方AB AB，要知道它这几份儿的比例关系a方b方AB和AB。这个能懂吧，它的一个比例关系啊，就四份，所以它命值不是a方b方啊，

它正好是比例的份数关系啊，所以这道题的比例分数你看上面是三，下面是二。这是九，这是四，这是六，这个也是六，不过它刚好就是六，刚好就是六六，这个也是六，刚好就是。啊，一倍的关系是吧？刚好有一倍一倍的话，那这块儿就是六，

这是四，这是九，就写好了好吧，所以根据这个三角形ode的面积等于六。我们就可以推出，那么其他这几个面这个面就是九这个面积四这是六啊六啊六，那接下来以后我们可以看到这个a cd的面积就可以求解出来是吧a cd的面积？a cd页面这样的六+9，这样的15。是吧，15 aacd就等于六+95好，大家知道a cd正好是这个平行四边形abcd面积的一半儿，因为abcd它是一个平四边形，这个对角线分成面积正好是一半儿。所以说就可以算出abcd这个平行四边形的面积。

正好就等于。啊啊，这样就等于30是吧？30或者说你不算abcd也行，算这三角形ABC的面积ABC的面积，它也等于15。是吧，就ABC的面积，它也等于15，因为AC将这个平行四边形分成两半儿，它是一样的啊，所以说在这里面。它都等于15=15，那这个阴影部分就可以算出来s阴影部分也就这块是15。而是in部分in部分正好等于15，

加上六正好等于21，懂了吧？注意啊，如果他要把这道题改成ode的面积等于12 ode面积要等于12的话，你要把这个扩大两倍，知道吧？这六份儿要乘以两倍啊。乘200刚好，我再强调一下，刚好咱们算的a×b，它也是六知道吧，这个分数它也是六，它本身的值也刚好为六，这是一个巧合，所以只要是一倍的关系就行。

如果这地方它面要改成12，改成12，要都把它乘以两倍，知道吧？所以要扩大两倍，扩大两倍以后，然后所有值都相应的扩大两倍就可以得到答案了啊。好，那接下来咱们看这个题，长方形abcd，它被这个分成四块，已知三块面积分别是二五八好吧，这三块面积都知道了是二五八。那么，余下四边形嗯of BC，

它面积到底是几啊？就是of BC，它的面积值到底是等于多少？of BC，它的命令值到底是等于几？那这道题要知道of BC，它也是一个不规则，四边形不规，四边形大家能不能想到先连接一下CF？所以说这首先要连接CF。好，那CF啊，给大家连连接好CF，连接好了，接下来大家发现什么，

我们再连接一下de吧。啊，连一下d。连一下d啊，连一下d连一下CF，然后这个大家可以发现，这正好就是一个梯形。啊，这正好有一个梯形，所以大家可以发现这个ED CF正好为梯形。啊啊ED CF，它正好就是一个梯形。啊ED CF这样一个梯形好t呢，大家知道上下面积相乘等于左右面积相乘对不对？这个大家都知道对不对？

所以说就可以得到三角形。啊，这个是eod，应该等于三角形cof，应该都等于四。为什么都等于四知道吧，因为左右相乘等于上下相乘，大家知道上下相乘正好等于16嘛，二×8=16。16然后呢？左右梯形的面左右这两个三角形是相等啊，在梯形里面记住左右两个三角形，这个咱们前面给它证过啊，左右两个三角形，它面积相等，

所以它都为四。知道吧，就一呃就是二×16。那二×8=4×4，就是上下面相等得左面相乘，知道吧？所以说啊eod。等于cof啊，它的都为四。啊，都会四好，最后这很多同学可能忘记一个关键点了啊，关键关键点就咱咱们前面讲过的这个就cdf这个面积。三角形cdf面积这样等于八+4，这样等于12，

这个12正好是占了整个abcd矩形面积一半儿，这一定要知道，可能有同学就忘记了啊。忘记了，大家可以看到这个三角形cdf，正好有一个边跟矩形边呢，是共用的，另外一个点在。这个编的。对边这个点上。是吧，在这个点在这点呢，这个三角形是整个矩形面一半，这要要弄清楚，所以说这个abcd这个矩形面积正好等于24，

这个求出来了。好求出来以后呢？接下来我们把这个都给擦掉好吧，都给都给擦掉那擦掉那这个问号我们就可以算出来了问号。问号就相当于是他让求的，求的就相当于是of BC。of BC.它等于整个矩形24减掉二减掉五减掉八就得到是九好吧啊，减掉二减掉五减掉八得到九正确答案就选择b选项。好，这是它的做题的思路方法，看是否弄明白了好，这是它的考虑要点啊，所以这道题就稍微难一点，要连接辅助线，

把构成一个梯形。听出来，然后用梯形的底面定理，把它算好算好，然后再掌握这个三角形是整个矩形面一半儿啊来进行分析，这样话就可以找到做题的突破口。然后最后让求这些四边形，咱们用减法做，用整个矩形减掉几个几部分的面积，减到这二五八这几个面积就可以得到问号。它的这个答案。好，接下来咱们再看一下多边形，一般遇到多边形可以做辅助线啊，一般呢，

连对角线知道吧，可以把它分成若干三角形。咱们多边形呢，考了主要是五边形和六边形。啊，咱们就尤其掌握一下正六边形，这六边形考了三三次真题里面，所以考的次数还比较多啊，正六边形。这个边形，咱们把公式给大家说说这个边形。啊，五边形的话，你可以用减法做，也可以把它分割五边形，

咱就不再说了啊，六边形考的多，然后接下来咱还可以把正六边形给它进行连接，这个对角线。把它分割成六个等边三角形来进行思考，知道吧，所以转化成所以正六边形把它分成。六个等边。三角形。好，把它分成六个等边三角形。好，这是它的这个思路好吧，就一二三四五六分成六个等边三角形啊。啊，

这是它的这个方法好，那么大家可以发现，如果正六边形的边长要为a。这个边长要为什么正六边形就正六边形，政治就代表是每个边长都一样，每个内角都120度，然后它面积就可以写的面积就等于一个等边三角形面积，咱们前面推导过是吧？就四分之根号，三乘以a方，然后再乘以六知道吧？乘以六那因为它六个等边三角形嘛，最后化简完就得二分之三倍根号，三乘以a方。好能记住这个公式更好，

记不住的话，你要想象的它是哪一个？等边三角形面积乘以六就行了啊。好，那接下来咱们看一下。这个题目边长为二的，这种边形的面积为多少？那这样我们就可以写成就等于二分之三倍根号三乘以a方就行了。好吧，然后就等于。AA相当于取二就乘以四这样的得六倍根号三，然后答案就选d，所以这是给大家强调的方法很简单，所以大家呢，就把这些。

图形都是建在三角形基础之上，把三角形内容掌握好，其他图形都可以迎刃而解。好，这是咱们给大家强调的做题的方法和思路，大家把这些方法和思路一定要好好理解，消化整理就可以快速提升你的做题速度。

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