6-03四边形（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 14:00:17

各位同学大家好，接下来我们学习第三个板块四边形。好四边形和多边形呢？它都是由三角形构成的，所以三角形也是研究四边形的基础，所以大家掌握三角形的一些相关的内容。首先，咱们看四边形里面的考察内容，另外，咱们在中学知道边数为偶数条边的图形要简单。边数为基数条边的图形要难。比如说四边形，六边形四六，这些都是偶数，偶数的话，

它要简单奇数，比如三边三角形就三边。然后五边形，还有七边形三五七这样的奇数，它就比较难。好，那接下来咱们看一下四边形，四边形相对来说要简单一点，首先看平行四边形，平行四边形，两边长分别是AB。好，它的面积和周长，我们就可以简单的求解一下好吧，所以大家可以看一下它的这个，

这就是平行四边形平行四边形，大家接触的也比较多。好，那么大家首先呢讲这个是？a这个是b，然后一定要做一条高。所以它的面积就是底乘以高，然后周长就是二倍的括号a+b啊，这个很简单。然后矩形矩形呢，就有个角为直角的这个。平行四边形就是矩形，矩形如果它一个边长为a，一个边长为b，然后这有个对角线。

你看对角线，对角线的话，它就等于根号下a方加b方用勾股定理来进行求解啊，这是矩形。然后菱形菱形的话，它四边相等的啊，这样的啊，图形这样的四边平平行四边形。好它四边长度都一模一样的，这样四边形就是菱形，然后它呢面积可以写成二分之一底乘以高一般菱形的话，它高不好找，知道吧高高呢，你可以做一个垂垂线。啊，

找这个高啊，一般很少用这个高，然后一般用二分之一l一乘以l二来进行分析啊，所以说大家可以发现菱形，它对角线是互相垂直的，平分的这个l一。这个l2好吧啊，这个长度是l1，这个长度是l2，对角线是互相垂直平分的。也说菱形的面积是这一个三角形面积的四倍好，大家知道这段长度是二分之l一，这段长度是二分之l二。知道吧，就这段长度是二分之l一，

这段长度是二分之l二，所以说它为什么是二分之一l一l二呢？我们给大家推导一下这个。四边形面积就等于二分之一。底乘以高，这是一个三角形。再乘以四，知道吧？因为它这个上下左右四个三角形，它是全等的，所以能算到一个三角形的面积。二分之一底乘以高一个上，下面算出来，然后再乘以四倍就可以得到这个结果，好吧，

就等于二分之l一l二这样的数值就可以了。好吧，然后这个s它的值就写好了，然后周长周长就等于4a啊啊周长。啊，周长，它这个就等于4a啊，周长值，它等于4a，这样就写好了，好，这是它的这个数值和方法啊，大家呢，要知道它的内容。它的菱形。

然后接下来咱们看正方形，正方形呢，更简单，正方形是吧？正方形就是最特殊的了，然后它四个角都直角四个边线相等，好吧，这就不用多说了，面积。就等于a方，然后周长就等于4a，然后它对角线就等于根号2a。那对角线是边长的根号二倍好吧，这它正方形的啊，一些特征。

然后梯形梯形呢，咱们再看一下梯形梯形呢，就相当于是啊，那么上底为a我们画一个梯形。啊，这是一个梯形梯形，如果上底为a。啊，上底呢是a。下列为b。对吧，那高高呢，正好是h。这个垂直高高二就是h好，那它的梯面又可以写成上底加底乘以高除以二好，

这大家都知道的。好吧，然后它有中位线，咱们三角形其实也有中位线，中位线就连接两。腰的中点啊，这样条线对吧？称为中位线。啊，中位线正好在位置正中间正中间的部分好，那中位线的长度就是正好等于二分之a加b。这样上底下底除以二这样它的。一个平均值啊，中心线的这个数值上上底和下底，它的平均值啊，

这是它的这个特征。然后梯形有特殊情况，就是一个等腰梯形和一个直角梯形等腰梯形，就两边的腰，它相等。好吧，咱们说一下，等腰梯形。咳。等腰梯形，其实上面画的就是一个等腰梯形了，等腰梯形啊，它的两腰长是。相等的。好，

这假设是一个等腰梯形。上底为下底b两腰长都为c在这里面呢，一定要会做一个辅助线。把它高求出来，注意这个边长。啊，这个长度注意它只有两边对称的啊。左右两面对称，左右两面对称的，所以这个长度这个长度啊，那么就拿下底减上底，再除以二。知道吧，就b-a再除以二就可以了，就拿下底的长度减掉上底，

然后再除以二得到这段儿。然后再根据勾股定理，你把h给它求出来，知道吧？hh呢就就得根号下，然后c方减去二分之。b-a平方。把高求出来，然后自己就算面积就可以了好吧，这等腰梯形啊，接下来咱们看一下直角梯形。好这道题这道题给大家画一个这样的示意图。好，这是一个直角梯形，就是上下它是垂直的。

好上底为a，下底为b这个直角边就是h就是高，然后讲斜边为c这个大家要会做一个辅助线。把它做一个垂直辅辅助线，然后这段长度正好是b-a。好，这个乘的值啊，正好就是b-a。这个长号值就是b-a。懂了吧，就是下底减上底就b-a好，所以h就可以写成根号下。c方减去b-a平方好，把这高求出来了，然后这样再算它面积好吧，

有时候等腰梯形，如果知道上底下底和两腰的长度。啊，要会求它的面积。还是要求高，如果要对于直角梯形，要知道上底下底和斜的这个腰长，大家也会先求高再算它面积好，再提醒它的相关的概念。接下来看四边形有个非常重要的，就是因定理，因为咱们以上都是规则的四边形，比如平行四边形啊，矩形啊，菱形啊，

都是规则的，包括梯形，也是稍微规则的。然后dnd里呢，主要是出现一些不规则的四边形啊，不规则四边形啊，求解啊，通过构造模型。啊，一方面可以使不规则四边形，它的面积与四边形的三个角三和三角形。连起来注意这个点点点啊，也就是咱们讲到这那注意四边形最核心的内容啊，四边形核心内容。核心呢，

就对角线。大家注意，四边形核心内容就对角线啊，对角线啊，比如说这是一般的四边形，这个通过对角线一连就可以把四边形分成四个三角形。好，这个迪恩定理它其实利用等高这个推导出来的好吧，用等高这个概念去进行推导和分析的。等高内容。好，我们简单给大家推导一下啊，大家知道这个s1跟s2这两个三角形是等高的。对吧，等高既然等高的话，

它面积之比等于底之比，所以s1比上s2，它等高面积之比等于底之比等于od比上ob。对吧，所以大家可以看s4跟s3这两个，它也是等高的是吧？s4跟s3。s跟s3这两也等高，这俩也也是等高，等高它面之比等于底之比，所以s4比s3。啊，它这个呢，也等于od比ob好，这是第一个式，

是这样得到的，对吧？一般呢，咱们把这个额比值啊，看成一个乘法，大家学过比例，这个交叉相乘，应该相等的。然后这两个相乘，这两个相乘交叉相乘，应该相等，所以s1×s三=s二×s四，知道吧，这两个乘积呢，应该是相等的，

这个能懂吧？啊相等的关系。好，这是第一个是大家记住口诀，就上下乘积等于左右乘积好吧，它的口诀啊口诀上下乘积。等于左右面积的乘积啊，这个口诀代表什么意思？就剩下这两三角形的面积的相乘。等于左右两三角形的面积相乘的结果。然后接下来咱们再看，还回到第一个式，那这个咱们前面学过，等比定理等比定理的话，大家知道，

如果两个比例要相等，可以让分子跟分子相加。除以分母跟分母相加，还记得咱们在前面讲三角形燕尾定理的时候是用减法还是用等比定理啊？是不是用相减？推出来的是吧？咱们这个四边形呢？是用加加s 1+s四，大家知道s1。有分子两个相加嘛s 1+s四就大三角形，这个a cd知道吧？就大三角形a cd我们给大家画出来吧，大三角形a cd。啊，就是a cd这个三角形就是这个绿色三角形，

跟咱们这个ABC这个三角形。啊，就这个红色三角形知道吧啊，这个红色三角形好绿的三角形跟红色三角形，这两个比值。正好就等于另外一条对角线的两段儿长度比就等于od比ob，知道吧？od的长度比上ob的长度啊，用这两段儿长度比就OK了好吧，这是它的。这个方法用这两段长度比比值，然后我们根据这个等比定理我们呢，就可以得到这个值得到这个值，然后呢，同理同理还可以换个方向，

换方向就s 1+s二。就是abd这个三角形跟另外一个x 3+x四就是bcd这个三角形面积比就等于另外的对角线的长度比就等于ao比上oc。好吧，这是它的。把对角线的长度比和三角形的面比就转化出来了好吧，这是点n定理它的这个内容，这是这个点点对任意适配性都适用啊。当然，咱们在听里面用的比较多一点，所以咱们再说一下梯形梯形呢，它具备呃任意识别性定理之外，还满足自身所特有的一些性质。咱们把共性的给大家写上，还有特性的给它标注出来，好吧好，

咱们看第一个s1比s 2=s比s 3=od比上ob。前面这是共性的。是吧，大家可以标注上，这是所有四边形。都满足的啊，这是共性的，然后后面这一块。后面这块是个性的，只有梯形所特有的，最好等于上底比下底好，为什么等于a比b为什么od比ob？啊od比ob=ABB啊，因为它上下两个三角形是相似的啊，相似咱们学过相似相似的话就可以得到什么？

上底比下底。啊，上底比下底啊，就是上底就是AD比上BC，这样等于od比上ob。od比上ob。啊，这样就等于一个oa比上oc。啊，这样等于啊oa比上oc是吧？这样的啊，上底比下底啊，得到这个值，这样就写好了好吧，这是第一个。

第二个，第二个s1×s三=s二×s三下相乘等于左右相乘，这也是任意都适用。任意都适用啊。第三个就是上面三角形，下面三角形这两项相似，相似面积比就等于相似比平方，这个是梯形所特有的，咱们把它给它。圈出来啊，这是题型所特有的好吧啊，这是题型绿色的代表题型所特有的啊。然后接下来就是s2和s4相等s2就左右两边面积为什么相等左两面相等不是它这个是全等啊，不是全等啊s2跟s4并不全等。好，

那么它相等原因是因为s 2+s三=s四+s三。知道吧s 2+s三=s四加加s3为什么s 2+s三呢？因为大家知道s 2+s三正好是ABC这个三角形。是吧ABC这个三角形，然后x 4+x三正好是bcd这个三角形，因为这两个三角形正好是同底等高，所以它面积相等，知道吧？所以这块正是同底等高面积相等就可以推出s2和s4是相等的。s2和s相等这一块呢，也是梯形所特有的，知道吧？梯形所特有的好，那这是？啊，

数值如果你要分开记的话，得记四个，我们在这里面可以把它啊合并成什么合并成一个来记合并成一个来记啊，就把四个变一个，这样话就更简单一点。知道吧好，那这个什么得到了，我给大家进行说一说好吧，在这里面给大家讲一下哪些是题型所特有的就是就是这后面就是第一个的画这个绿圈儿的。还有第三个和第四个啊，第四个这是画绿色的。都是听所特有的好吧，听所特有的，然后第一个前面这个方框的和第二个都是所有四边形满足的啊，就所有四边形。

定义定义，它都可以用的，接下来我再说一下这个统一比例，怎么去统计出来的？好，它的推导过程是这样的，我们先根据s1比s 3=a^2比b方。好由这个作为基础来写。好，大家可以看到s1和s3，你把s1看成a方s3，看成b方。好吧好，那接下来我们根据刚才讲的s1比s2又等于a比b。是吧，

根据第一个s1比s 2=a比b，所以你上下都乘一个a变成a方，除以AB。好，也就说你把这个s1看成a方s，一看成a方s，三把它看成b方s，二和s4。是相等的，都把它看成AB就行了好吧，也就说s1你把它看成a方。然后呢？s三把它看成b方。然后s2和s相等，刚才咱们证过了，

都把它看成AB就行是吧？都把它看成这个AB，这样就OK了好，这是它的推导过程。好，那如果觉得这个不好记，其实很好记，大家一起来画个梯形。一起画个梯形。啊，提醒提醒，如果上底为下底为b，上底为下底为b，然后这一块儿就是这个四块儿面积的比值啊比值，这样写就是a方。

b方AB AB这四块面积的比值就是这个a方，不是它的面积的真实值，是它占的一个比例份数啊。就a方b方AB AB左右，它占的比例份数都是AB AB，上面是a方b方啊，这样的一个式子，这样的一个方法，懂了吧？然后这是它的这个思路啊，要弄清楚。好，那接下来咱们看这块儿考试解读四边形呢，比三角形要简单，四边形最核心的是对角线，

对角线可以把它分成一些三角形来研究。好吧，好要掌握四边平行，四边形，菱形，矩形和梯形的特征及隐含条件，就有时候题目它没告诉我们，但它也隐含。条件借助相关性的那些解题和分析。然后四边形经常与三角形的相似来结合考察。啊，相似，所以特点呢，要做一些辅助线是吧？做一些辅助线作为辅助线目的就产生平行。

咱拼音来解题就行了好吧，这是它的这个内容。然后接下来咱们来看一下第一个问题，正方形正方形正方形四边形边长为a四个角度9度。然后s=a^2周长呢，正好等于4a这正方形呢，都比较简单啊。好，我们来看一下。这个题好，也就是正方形abcd四条边与圆都相切。而正方形efgh又圆的内接四边形都是跟圆相关好，如果正方形ABC的面积为一，则正方形efgh的面积到底是多少？大家发现，

如果正方形abcd面为一说明，边长就为一。是吧，变量值是不是为一变量值为一？大家知道这里面这小正方形的对角线。小对角线正好等于。啊小对角线长，正好等于外面这个正方形的边长，为什么等于外面这个正方形的边长大家知道啊，这个外面这个大正方形。它的边长正好是这个圆的，直直径能看到吧，所以正好是这个就外面这个大正方形，它的这个边长的长度正好是圆的直径。然后里面这小正方形，

它的对角线长啊，对角对角线长，它也是圆的直径，这样的好吧，圆的直径。所以接下来我们就可以看出，比如说这个AB的长度正好等于一个根号二倍的。eg的长度是吧？而AB的长正好是一，所以可以得到eg的长度正好等于二分之根号二。二杠那就可以得到s。efgh！正好等于二分之一。啊，这样等于这个二分之一好吧，

因为它的面积等于边长平方，这样就写出来了好吧，所以正确答案就选择b选项。好，这是一个思路，还有一个思路是什么？还有一个思路，这样的大家可以把里面这个小正方形做一下旋转。啊，做一下这个旋转知道吧，想让它做一下旋转。好，这里面这个正方形那做一下旋转就可以了，给它转一下啊，旋转一下，

因为它的旋转大小和面积都不改变。知道吧，所以说我们可以这样一连。这样一连这样一连这样一连好，这连上大家可以发现啊，那么就是原来这个正方形。跟这个绿色正方形的面积是一样的是吧？是一样的，而这些缺点都是外面这个正方形，每每条边的中点。啊，正好正中间这个点中点啊，正好是中间这个点，然后呢？这正好是中点，

中点的话，所以说它正好是占整个面积的一半儿。所以通过这个就告诉我们一个结论呃，连接四边形各边中点所得的四边形面积是原来面积一半好吧？有连接。啊，四边形。各边中点。它的。四边形面积为原来一半。啊，那面积为圆一半儿好吧，然后连四边形各边终点，它的视平面积为圆的一半儿。啊，

所以说主要是啊，不一定是这个正方形啊，其他四边形也行啊，一般四边形也可以知道吧，一般四边形它也行。比如说这个很一般的一个四边形好连接它个边中点。啊呃，个别终点好，个别终点，这也连连完后，它面积也是原来的一半儿。好，这个面积就是原来一半儿好吧，这个列完后面积就是原来一半儿。有这个面积是原视频面一半儿就是其他视频也是这样的，

知道吧？这个东西大家好理解，那其他视频有同学不知道为什么想推导一下，很简单。这条线你连接一下，这个对角线。你看对角线就可以看出来，那这条线大家可以发现什么发现那这条线肯定是上面这个三角形的中位线。因为这两个点都是中点，所以说是这个三角形的中位线。是不是啊？就是说它的中心线。好，那中位线那同样这个边跟它也是平行的平行，然后这条线也是下面这个三角形的中位线。

啊中心线，然后接下来我们呢就可以看出它的这个面积的一个关系是吧？好，那就通过这个话，我们就可以得到。啊，假如这个三角形面积是？x.面是x那这一小块就变成四分之x。对不对啊？就占四分之一x这个写好了是吧？然后这样就就就写出来了。好，这是四分之一x那同样，然后这个点是终点，

这个点也终点，那中间这个它也是终点。啊，也是重点啊，这个点呢，肯定也重点，所以说所以说在这里面。好，那这个小三角形。啊，那它这个比例也可以看出来是吧？也可以看出来，然后这个小扇形它的比例也可以算，也可以看出来。好，

那么就通过它这个终点，我们呢就可以啊，进行这个分析是吧，因为它这两点是它的，是它终点。重点好，那么我们呢？呃，如果想证的话，其实很好证啊，想证想证的话，在这里面啊，你假设这个对角线长。啊长是a，然后这个对角线长为b，

然后呢，分别可以看出它都占这个四分之一，就这个地方占四分之一，这个地方占四分之一。这个地方占四分之一，这个地方占四分之一，所以合在一起，大家就可以看出啊，它所占的一个整体的一个比例情况。所以很容易就可以看出它的数值啊，所以在这里面大家呢就是。啊，用这个对角线的方法啊来进行分析和思考就可以了啊，要么给大家先写一下也可以好吧，所以首先要把原来这个四边形，

然后分成。那么，两个三角形来进行研究，知道吧？两个三角形啊，如果这个三角形的面积是x。啊，这个三角形面积是x，比如说AB。CD啊，加个这个是这个是efgh。是吧，然后接下来啊，只要是abd这个面积是x，然后呢？

这个是？这是abd，然后这是bcd。啊，面积是y啊是y好，那整个四边形面积是不是就x+y啊？整个四边形面积我们可以算算，就是x+y。好，那接下来我们可以看到啊，那么这个三角形面积正好占了啊，这个abd的四分之一，因为它这正好是中位线。啊，中位线正好是是是一半占了四分之一是吧？

所以说就可以得到这个呢？就可以写上四分之x。这就写出来了，然后这个面正好四分之外啊，四分之外好，这就求解出来了好，这是根据它的这个中位线得到的同样道理啊，我们再换另外一边儿。啊，再换另外一边儿好，另外一边儿的话，那一样啊同样。道理啊，那画另外一条对角线。啊，

另外一条对角线好，另外一条对角线，大家可以看出啊，这个呢是占了。占了整体的啊，那么也是占了这个三角形的四分之一是吧？也占了三角形四分之一好，那相当于是这个三角dh g啊，也占了四分之一三角形。a cd.对吧，然后这样的四分之一a cd，然后呢，接下来be f它也占了四分之一ABC。啊be f占了四分之一的啊，

这个是ABC。好，那这是它的这个式子，然后刚才咱们把它写完整。啊，写完整写完整就是a eh？啊a eh占了这个四分之一的abd。啊CF g CF g CF g占四分之一的bcd。啊cfg占这个它的它的这个四分之一的bcd啊占这个。啊，这个写好了，是不是然后写出来，然后大家把这个四个相加在一起啊？四个相加在一块儿，把四个一相加。

你看看好左边这一相加，大家可以发现，正好是外面这四个三角形。的面积是吧？四个三角面积右边相加，右边相加，大家可以看到这两个相加就等于整个四边形的面积。这两个相加又等于整个四边形的面积，所以相加完以后正好是二分之一，四边形的面积也就说外面这个小的。四个三角形加在一起，正好是等于整个大四边形面积的四分之一。呃，就二分之一了是吧？这就可以得到，

反正写写就相当于是相加，以后就dh g。加上。be f再加上a eh。再加上。再加上这个是cfg。啊cfg这样就等于二分之一的。a呃二分之一的abcd。是吧啊，正好得到二分之一的abcd好，这就给它正了，当然以后大家也不用再正了好吧，好把这相加，因为这两个相加。四分之一提出来啊，

这两个相加正好是四分之一的abcd，这个两个相加又是四分之一的abcd。知道吧，所以在这里面大家呢就可以看出来，然后呢，合在一起就是二分之一bcd，所以就可以证明外面四个小三角形加在一起，等于整个四边形的一半就给中。就可以证出来，中间这个四边形就是整个大四边形，面积一半好，这是给大家证的一个方法思路，大家要知道以后记住这个结论就可以了，就不用再证了。好，

下面咱们看一下这个题，如图一个周长为20的一个正方形内接于周长为28的正方形。如果大家知道周长，我又可以算它边长，也就说外面这个大正方形的边长是七。外面大正方形边长，正好为七，然后里面这个大正方形边长应该是五。好，里面这个正方形的边长应该是五外面这个正方形的边长应该是七小正方形，一个顶点与大正方形的一个顶点，最大距离是多少？啊，这道题这道题的，反正随便你用眼睛可以看出，

比如说g点跟e啊，这个就是最远的。啊，最远的是吧？反正就是这个。对着的是是最远。这是这是最远对吧？或者c跟这个点啊，或者f跟这个点，或者d跟这个点，反正随便求哪个点都OK了，好吧，这个就无所谓了。好，我们就连接。

de啊，求这个点，其实这个关键点是什么？关键点要把这个dh的长度求出来好吧？dh长度我们假设dh长度为x。啊dh乘的等于x。啊，或者说我们设这个dg的长度为x也行dg的长度为xd长为x，那么dh的长度因为。因为这个he它也是等于xx了是吧？he它也等于x。对吧，它这个长度是一样的，你像dh。dh等于七减x是吧？

dh好这一块儿就是七减x，然后接下来我们用。啊，这个三角形啊，这样的一个方法啊，三角形直角三角形，它的勾股定理得到s平方，加上七减s的平方就等于五的平方。就行了啊，就是s平方加这个正好等于五的平方，所以如果记住勾股定理的话，正好三四五是吧？三四五所以s正好就等于一个。啊，这个四是吧？

这个四所以在这里面大家呢啊，就可以写出来这个s指它要为四。啊，这个给求出来了，当然s值还有一个为三为三的话，那是不可能因为这个x肯定肯定要大占的多啊x值肯定大，所以说这个边四这个边三。这就写好了，写好，然后最远最大距离。最大距离就是GE的长度，最大距离，最大距离就相当于是s=4，这个边长为七，这样就等于四的平方，

加上七的平方。啊，这样就写出来了好吧，所以说我们呢，就可以写它的数值，然后这个整个长度正好是为七。好，49+16就等于根号65。所以正确答案应该选择是e选项，答案就求解出来，正确答案选e好，这是它做题方法和思路，看是不懂了。好，接下来咱们看一下30题四边形abcd是正方形。

abcd是正方形l1 ll 3，经过ABC三点。然后而且它是平行的，而且这地方出现垂直啊，垂直就bm跟这个l1是垂直的，这垂直的。然后垂直于点m，说明m就是直角点垂直点BN呢，是垂直于这个，这个是垂直。n点呢，是直角。l1跟l2的距离，这个距离，这个数值为五为五的话，

这个距离为五，其实就相当于bm就等于五。bm=5，然后l2和l3的距离相当于BN BN的长度正好为七。好那则四边ABC的面积到底多少？好，那这道题我们看一下怎么样去求它的这个面值？好，我们接下来看看。啊，它们有什么关系？我们是不是能想到这个三角形？跟下面这个三角形，这两个三角形是不是全等的？为什么全等？

因为它有条斜边是一样的。啊，这两都直角三角形啊，有一条边AB和BC是相等的，另外显然可以看角是相等，因为这个小角跟这个小角一样，为什么呢？因为中间它正好是这个。角b也是垂直的。角b也垂直的，所以说就可以很容易看出来咱们过程就不用再写了吧，就AB m应该全等于三角形。然后bcn。啊bcn好，那这两三个全等，

那又说明什么问题啊？说明这个am跟这个BN是相等都等于七。是吧，就是am是7 bm刚才说的是五，然后就可以算作AB的平方，根据勾股定理。AB平方啊AB平方正好等于七的平方，加上五的平方就可以了是吧？就正好等于七的平方，加上五的平方。现在49+25=74好，那这个AB的平方其实就相当于是这个这个四边形abcd的面积。是吧ABC的面积好，这个呢，应该选择的是b选项好，

这是它的做题方法思路，看是不是懂了啊，它的考试要点看是不是明白了？好，接下来咱们看长方形，长方形它的特征就是对边呢，是互相垂直对角线呢，是互相平分的。最矩形中直线可以将其分成三角形的命题是吧？里面啊画好多线段，把它切割成三角形来进行分析和求解。好，我们来看一下这个题啊abcd两条边长分别是八和六。啊，大家可以看图，

因为如图，你可以看长的边是八，短的边是六，然后四边形呃oefg。这个面积是四，然后求这个因面积到底多少？求这个因面积值到底是为几？阴面值好，那在这我们要知道它这个阴影面积包含几部分是吧？包含几部分？首先我们知道这abcd它的面积正好是等于48的。是吧，这个abcd它这个整个面正好是48，这就写出来。四十八四十八大家知道这个咱们学过平行四边形，

对角线分出来的四个三角形面积相等啊，所以每个面积占整个面积四分之一。就aod这个占了整个面积的四分之一啊，所以aod。就占整个面积的四分之一。这个等于12对吧？这个面积是12。所以考试时候这个过程可以省略，直接在图上标注就行了，这个是12，然后接下来我们看它要求阴面，求阴面就是这两小块儿。啊，两小块儿好，这道题求解方法很多，

你可以设这块面积是a这块面积是b好sa，加上SB这两块面积。我们可以用adf这个三角形。减掉aod再减掉oefg就可以了是吧？也可以写成这个三角形adf- 3角形aod。再减去这个是oefg。好，那么大家知道这个adf这个三角形。不管f点在哪adf这个三角形占整个矩形面积的一半，为什么呢？因为这个三角形的底跟这个矩形的底是一样的，它的高。跟句型高是一样是吧？高也是六。这是它占整个面积一半就占24，

建议aod的面积aod面刚才已经算出来了，正好是12。然后再减了一个四，再减到这一块，四边形变形四，这样的话，我们就可以得到它是八好，这是它的这个方法。好a+b的面积，求出来以后，那接下来我们再来看。好再看的话，然后要求这个阴影部分怎么求阴影部分，大家可以看出s阴影部分。我们可以用这个这块的形状的面积。

或者说大家可以看到，这是一个凹过来的，一个形状是吧？凹进去一块形状好，这个形状应该占整个具体面积的四分之三。因为下面这个BOC这个三角形占整个矩形的四分之一，所以这所以说这个a boc。d这块这个图形占整个面积的四分之三。啊，这样整个面积是不是算？啊43所以这样的话，43×1个48。然后减掉a和b的面积，减掉a和b的空白面积a和b空白面积就减掉八。啊a和b的空白面积a和b的空白面积，

它就是八这样就写好好吧，所以这样话我们就得36。减八正好等于二八，所以答案就选择b选项好，这是它的做题方法思路，看是不懂了啊，所以通过这道题大家呢，要知道的收获啊，有以下几点？首先第一个是平行四边形，要知道。当然，矩形也属于特殊平行四边形好，那平行四边形的话，它这个对角线把这个。

面积分成。四部分啊，分成这个四部分，这四部分面积是相等的，知道吧？也说s1s2s3s4。这四部分面积是相等的。它都占整个面积的四分之一好，这是它的这个方法。然后第二个啊，第二个大家要知道是对任意平行四边形。还是平行四边形矩形也可以的，矩形我给它画矩形也可以。好，那么如果跟有一个。

边跟这个矩形边重合，另外一个顶点在它对边这个点上，那这个三角形面积。包括。这样画也可以。都可以。好，这样画的这个都OK，然后这个三三角形。好，那么也占整个面积的一半儿是不是？然后这块儿所以说这块儿就三角形占整个面积，整个矩形面积一半儿。是吧，这个三角形面积占整个矩形面积一半儿好，

这是这道题给大家总结结论，不管这个点在什么位置变化啊，这个点不管怎么移动。或者三角形，不管怎么画，所以只要有一个三角形跟矩形呢？是共边的，这个阶段对平行四边形也可以的，它原理是什么呢？原理原理它底。和高跟这四边形底和高一样，那面积呢？因为三角形有个二分之一底乘以高，所以说这块它有个二分之一倍好吧，这是给大家讲的它的。

结论好，那接下来咱们看这个题啊，如图在矩形abcd中。然后efg分别在这个边上点p呢，在矩形内部啊，它的任意点。啊，基于内部，然后如果AB长度为4 AB长度为4b长度为六。然后这个ae的长度。呃ae长度它为三是吧？ce长度它也为三。啊就ae的长度为3 ce的长度也为三，然后bf的长度啊和dh长度都是四啊bf长度是四。dh乘了也为四好，

那求这四边形，四边形ae ph的面积多少就ae ph就这一大块面积。唉，这个面积为五是吧？这个面积啊，告诉你这个面积为五，求这个pfc t这个面积值。求这大块面积。好看起来这道题感觉好像无从下手，因为这个p点呢，它这个它也是不规则，也不知道在什么地方是吧，而且这都是斜过来的。是吧，斜过来，

这时候大家要注意，如果他给了很多等量关系，要学会。偏高。要学会拼高啊，拼接高好，那么怎么拼高咱们来看啊？怎么来拼这个高？然后你要把这个。四边形跟这个所求的四边，因为这个面积不是五嘛，求这个面积，我们要把它呢连成三角形啊，所以首先它这个求解的这个面是不规则面积，不规则面积，

我们要把它连成三角形啊。只有连接AP。啊，把这AP给大家进行连接一下。AP连一下，然后呢PC也给它进行。连连一下p也连一下连一下，大家可以发现啊，那么这个三角形。跟下面这个三角形。啊，跟下面这个三角形大家知道。因为这个BC总长是六。BC总长六，那说明这段长度，

它又为二。这长度它也为二是吧？因为它的总长为六啊，总长度，然后这段长度正好四啊，这长长度四啊，然后这段长度是二这段长度，它它也为二。啊也为二，然后这段儿长度为二，这段儿长它也为二，这个写好了写好，然后这是二，这是二，它的这个结果结果，

然后接下来咱们来看看它的这个数值。是吧，然后大家可以发现这两三角形的底是一样，底是一样，它的高高的话就是你看高，如果听不懂同学，你看做一下高p点，做它的垂线，这是h1。下面这个三角形的高啊，下面的三角形高是p点，做它底边的垂直线。是h2啊，我把一个给你弄明白，你剩下就会了啊，

就三角形aph+3角形。因为它的底就是AH。它的长度正好是为二，它的高高呢就是h一，加上它二分之一底底，它的底呢正好是CF CF长度也为二。它的高呢是h2是吧？所以说大家发现它的底是一样的底，让它的高拼在一起h1和h2，虽然咱不知道h1和h2分别多少，但h 1+h二这样等于整个矩形的高。是吧，整个矩形整个矩形高正好为四，这个能懂吧，所以正好等于整个矩形高正好为四。

好，如果这个听懂了，然后接下来左边这个三角形和右边这个三角形就一样好吧啊，就一样，你可以做一个h3。和hh 4不过话太多了，你可能就是容易这个看。看的不太清是吧？a3。呃AH 4好，接下来同样道理，就三角形aep+3角形pcg。是吧，这是aep啊aep的值，加上这个pcg的值pcg的值。

这样等于二分之一底乘以高。加二分之一，这个底乘以它的高。这能看懂吧，然后这个底长度是三这个高呢，是h3这个底呢，长度是三这个ce长度为三这个高的长度是四。高长四，然后这样算出来就等于大家知道h三加h四的值，因为它正好二分之三可以提出来h三加h四。这叫拼拼接高，知道吧？a 3+a四正好等于整个矩形的长度是六是吧？整个矩形长度是六六，带上面这个就得到是九。

知道吧a 3+a四啊，这两加在一起应该等于六，然后接下来我们可以看到，然后这是四点九，然后把这四个。三角形相加啊，四个三角形相加，其中前两个三角形相加，正好是已知已知的，这个四边形的面积是吧？后面这两个三角形相相加。正好呢，就相当于是它所求的四边形面积，所以把这个相加，我们就可以得到。

相加前面这两三个相加就是ae ph的面积ae ph。再加上后面这两三人相加，正好是pfc g。啊pfc g。这样等于四+9，这样等于13。啊四+9这样为13啊，这个能懂吗？四+9这样13，然后接下来那么这个面积正好是五嘛，面积是五就可以得到，那么这个视频面积它就是八。好吧，所以pfc g的面积就等于八好，这是它的求解方法正确，

答案就选择c选项，所以这道题它稍微难一点，难点就在于大家可能看起来眼花缭乱，感觉无从下手。其实大家以后还是这样的一个根本性的思路，遇到不规则四边形连，对角线连对角线，把它分成三角形。啊，那么这道题连对角线是一个关键的辅助线，要想到另外连完后呢？要想到上下和左右，那么这三角形要学会拼接高，所以以后在。句型也好，

在咱们。四边形平行，四边形里面要想到拼接高，它的底只要是一样啊，就掌握它的高，这个加的这个结果就行了，所以这是这道题的一个关键点啊，以后只要是四边形内有一点，要想到拼接高，这样我们就可以。找到解题的突破口就会做了。好，接下来咱们看这个题。啊，用户要建一个长方形的杨澜，

杨澜的周长为120，杨澜对角线长不超过50。则阳台的面积最小值到底是多少？好，大家知道这是一个。啊矩形啊，一个矩形那周长是120啊甲一个边是a一个边是b是吧啊，一个边是a一个边是b。好，那么a+b正好等于60。啊a+b，因为它周长为120嘛，然后说明a+b的长度要60，那对角线长不超过50对角线，我们看对角线，

这是它的对角线。对吧，对角线这条线根号下a方加b方不超60，不超50就小于等于50好，这个对角线的长度就是根号下。a方加b方知道吧，在对角线上a方加b方，它不超50好，接下来咱们看看它让求的阳台的面积，大家知道这个矩形面积就等于a×b。是吧，距离面积等于长乘以宽好a×b好a×b，大家能不能想到有个公式，大家知道2 AB正好等于a+b括号的平方减去一个。a方b方。

是不是这样的，所以用咱们前面学过的完全平方公式得到这个值，所以这地方把这二除下来就行了，得到a×b就等于二分之。a+b^2-a^2加b方得到这个结果是吧？得到得到这个结果，那接下来大家知道啊，这地方是小于等于号，然后这前面有个负号，就变成大于等于啊，各位同学大于等于。然后二分之，然后呢a+b正好等于60，所以它平方就是60的平方，减去a方加b方a方加b方两边平方两边平方就是50的平方。

50平方，然后再算出来，正好就是550。啊550所以说在这里面好，它的最小值就是550。最小值就550。好，那么在这里面呢，要掌握它的这个方法，懂了吧？所以就a方加b方这一块儿啊，要知道，然后要想到这个公式来进行分析思考啊。所以说在咱们这里面要逆用这个平方公式就可以把它的这个a+b这个边长，还有a方加b方跟对角线有关的。

然后还有面积，这三者紧密的结合在一起，知道吧，所以这是平面几何啊，它就把这个a+b就相当于半周长。还有a方加b方对角线，还有面积结合在一起啊，如果啊，要是这个这个平面几何，这个长方形。就矩形。它的2倍的面积就等于半周长的平方减掉对角线。啊，它的平方是吧？然后这块好，

如果要立体几个长方体。看它表面积，表面与2 AB+2 BC就是这个例题几个大家还没学到，提前简单说说好吧，写一下就2 AB+2 BC+2 AC。正好就是长体的表面积啊，那这个正好等于a+b+c一个平方减去a方加b方加c方。是吧，这是立体几何a加b加c正好是它棱长和的四分之一啊，因为咱们知道呃，长方体棱长和。啊，这样等于四倍的括号a+b+c，所以把棱长和除以四。然后再减掉a方加b方，

加c方是体对角线平方，因为大家知道长方体的体对角线正好是根号下a方加b方加c方。知道吧，所以这样两者呢，可以合在一起，大家可以看它两者呢，规律性的东西是相通的，一个是平面的，一个是立体的。好吧，两者东西它是相通的啊。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册