6-02三角形（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:59:38

好，那接下来咱们看一下啊，三角形这个板块儿，三角形这个板块儿是非常重要的。啊，这个知识点是非常重要，也是咱们整个几何的核心内容啊，首先咱们看三角形里面的第一个概念就是角和边。啊，也是组成三角形的最基本的啊，要求好那三角形，那它有三个内角是吧？实际上内内角之和就等于180。好吧啊，咱们可以画一下它的这个三角形的图。

啊三角三角形的图是吧？可以这样啊，这三角形的图，然后三个内角相加就等于一一百八，比如ABC。啊它啊，这是内内角和。另外还有外角啊，外角外角等于不相邻，两内角之和什么外角呢？你任意把一条边给它进行延长，随便给它进行延长。啊延长哪个边都行，延长完后就是落在三角形外部的啊，外部啊，

外部这个。这这个角这个角就叫做三角形的外角，外角等于不相邻，两内角之和啊，就等于这个这两个相加好吧，等于这两个相加就可以了。好，那就是它的外角，它的这个特征和概念啊，要弄清楚。然后第二个就是三角形三边的关系啊，三边的关系话，大家注意额，关键词画上任意两边大于。任意两面之和，

大于第三面。这是任意，任意的话，它要满足三个式子啊，就a+b要大大于c且。a+c要大于BB，加c要大于a是吧？比如说这样的啊，任意两边的和都要大于第三边。啊，所以这第一句话，第二句话任意两边之差，要小于第三边。z两边之大小于d3边，有的a-b，

因为有时候咱AB大小不知道，所以我们可以加上一个绝对值，知道吧？绝对值，因为AB减完后怕出现负的。好a-b绝对值小于这个c，还有a-c的绝对值小于b。b-c的绝对值小于a，小于a。所以说这个任意任意要有三个表达式啊，要有三个表达式就任意。好，那这是它的这个方法好吧，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，

这两句话是等价的，这两句话只要有一句话。OK啊，只要有一句话行，那么这句话就成立好吧，只要有一句话是成立的，那这整个这句话它都是成立的。懂了吧啊，就是这个就这两个，它构成三角形，不要求两句话，它都成立啊啊，都成立，只要有一句话成就可以判断出来，你用第一句话用和也可以。

第二，用差异性也就这两句话是等价的，知道吧？两句话是一个等价关系，只要有一个条件成立，它就可以构成三角形。好，那接下来咱们看一下这个三角形，它的平面几何的核心啊，也是构成其他多边形的基础，所以三角形的考点和概念型呢，特别多啊，咱们嗯，逐步来进行学习。啊，

常考的命题方向就是三角形的面积，还有相似求长度，还有形状的一个判断啊，要掌握三角形，可以跟其他图形结合在一起来进行考综合性题目，比如说跟圆啊或者圆弧啊结合在一起。来进行考察啊，这样就OK了好吧？啊，那接下来咱们看一下第一个内容就是三角形里面求一些角度，像咱们在考试出现的求角度求角度呢，注意那么还要注意一些。其他的这个问题，比如平行线啊，和一些特殊土著型啊，

还有一些还有一些特殊三角形的一些内容啊，一些关系啊啊，要知道它求角度的一些概念，一些内容啊。啊，接下来咱们看一下啊，这个题如图，然后AB啊，平行ce啊，这两个是平行的，然后ce=de。ce的长度等于de的长度，如果y是45度，问x等于多少度啊？y是45度。

啊，这个是45度。啊求x到底多少度好？那这里面大家可以发现ce=de那又用到了什么？用到这个等腰三角形的知识对吧？所以ce。要等于d啊c要等于d啊，我们可以看到，然后大家可以看到这个角c跟角d应该相等。而且这个角c又等于x知道吧，所以在这里面大家可以发现AB，如果平行cea平行ce可以得到角c就等于x。角c就等于角b啊。就x这个呢，就相当于一个同位角。

所以平行直线的同位角是相等的啊，可以把同位角给大家找到好，那咱们在图上标注一下，那这个角是x那么大家可以发现通过上面可以得到角c和角d呢，是相等的。对吧，那说明这个也是x，因为它正好是等腰三角形，这两个边是相等相等的话，然后这两个角度也一样，都是x。唉，那接下来我们来看一下，看一下，然后这样就可以得到y+x，

再加x正好等于180是吧？有时候根据再根据内角和。内角和就y+2 x，这样等于180，180，然后呢？大家知道这个y上等于45度x就可以等于180。减45，然后再除以二，这样就可以得到结果，这样答案就等于六十七点五。那这样呢，六十七点五度这样呢，选c好吧，这是它的这个方法和思路。

啊，这是它的这个考试要点好吧，通过这道题，大家呢，要明白它的等腰，还有平行，还有内角和就这三个关系来进行求解就可以了。好，那接下来咱们再看一下啊，这个题。如图直角三角形。它这个角c是直角，这道题用到的直角三角形内容，这个是直角，然后这个edf分别在直角边。

上而且要知道这些线段相等，咱把它做标记，考试时候做一下标记af等于。fe等于。这个ED=DC=BC是吧？这几个做标记的边是相等的求角a是多少？角a那在这里面，大家知道，如果要直角三角形的话，有个很关键的问题，就角a加角b应该等于9度9度，咱们可以写成二分之派啊，因为咱们角的。啊，表示有时候用角度制来表示，

有时候用多少派用这个弧度制来表示，所以角a加角b应该等于二分之派。等于二分之派，那接下来我们看怎么样去？通过这个式来求这个角a，接下来大家发现没有，我只要把这个角b。用角a去表示就可以了是吧？角b用多少角a去表示是不是就OK了啊？这样就写好了，所以接下来我们可以设角a呢？就是x。啊角a呢？正好是x角a，要是x的话，

我们看角b用多少角a来表示好吧好，我们在图上来。来写一下角a，如果要x的话，因为根据af和fe相等，那么这个角它也是x。对吧，好也是xx，然后接下来用三角形的外角，三角形外角这个角呢，就是2x要用到外角啊。啊，外角内容外角内容，因为外角就等于不相邻，两内角之和，

所以这个角也是2x这个角2x那这个角它也是2x是不是？然后因为这两个边相等，所以它两个角相等，这也是2s，这也是2x，是不是这样的啊？这样的情况。好，那这个写完后，大家可以看一下这个角ced角ced是这个大三角形aed的一个三角形外角，看这个大三角形啊。各位同学，一定要看这个大三角形。大三角形，所以说这个就角这个dec。

正好等于3x，对吧？有时候这个嗯是2 x+x就行了，因为外角等于不相邻，两内角之和。啊，等于等于3x这样就写好了，接下来那接下来咱们看这个角就3x那这个地方，它也是3x。是吧，这是3s这个地方，它也3x啊，这样的情况。好3x的话，然后这两个啊都写好写好，

然后再看一下角bdc，这个角角bdc。角bdc这个角又是这个大三角形a cd的外角是吧？a cd这个大三角形外角外角又等于不相邻，两内角之和就等于3x，再加上这个x就等于4x。对不对？4x虽然那角b跟这个角bdc是相等的，因为这两条边一样。所以它相等，所以就可以推出角b也等于4x好，那角a是x角b是s，那说明角b是四倍的角a啊。所以通过上面我们就可以推出那么角a加角b。其实等于五倍的角a。

就等于二分之派是吧？所以角a加角b就等于五倍的角a正好等于这个二分之派，然后角a它就等于十分之派。十分之二这样写好了，这个呢，应该选择的是c选项啊，它的方法啊啊CC选项，它的这个。这个内容好吧，这答案选择c好，这是它的求解方法和思路，看是否明白了啊？所以通过这道题就不断的用外角，所以把外角的这个情况什么时候用外角呢？只要是它三角形有一边给它延长了，

都要想到外角用外角来进行求解和思考啊。接下来看一下三边的关系。三边关系根据三角形，三边关系来分析三角形好，任意两边之和大于三，大于第三面，任意两边之差小于第三面，只要满足其中一个就可以构成三角形啊。啊，并不是说这两句话，同时满足，知道吧？因为这两句话它呢是等价的，知道吧？这两句话是一个等价关系。

那第一个可以推第二个，第二个也可以推第一个啊，这两个是等价的。好，那接下来咱们来看一下，像这个题这题呢，它问取三个可以组成几个三角形，那这道题就相当于结合了什么？排组合的列举法啊，咱们在讲一些排组合的时候啊，比如说给你一些图形，问你们有几个三角形或者几个直角三角形等等的，那这时候结合图形呢，用列举法来分析。啊，

用列一法，列一法在这里面，大家注意啊，那么你选择什么了啊？咱们刚才讲过。两句话，它的本质任意两边的和要大于第三边啊，任意两边之和大于第三边。哒哒哒。啊，它本来应该写成三个式子，知道吗？a+b。大于CA+c，大于BB+c，

大于a应该写三个式，大家想要验证三个式是不是比较麻烦？所以我们可以把它给它简化一下好吧，可以把这块给简化一下。减化之后，如果要知道在什么情况下可以减化，如果要已知最大边。啊，已知最大边啊，比如说c要是最大边c要是最大边那只需一个就行了，所以简化成什么，如果假设CC是最大边。当然，这个简化必须要知道，最大边，

最长边，若c要最长边，只要两个角，小边大于c就行了。只要c是最大的，这个两个较小的大于c就行。啊，两个比较小，大于c。后面就不用写了，后面为什么不用写了，知道吧，因为大家知道c要是最大边c要是最大边，那么这个a+c。它肯定大于b，

因为c本身就最大的嘛c，它就老大老大的话c就比b大c比b大的话，那a+c更比b大，同样道理，后面这个也可以省略。c要是最大的c本身就比a大，那b+c也比a大是吧？所以它可以简化，懂了吧？然后接下来咱们看任两边。之差。小于第三边。小小点，比如a-b的绝对值小于c。a-c的绝对值小于b。

b-c的绝对值小于a，咱们也可以给你进行简化呀，是吧？也可以进行简化，要不然判断起来太复杂简化，但简化条件一定要知道最小边。那要知道最小，如果c为最小边。c为最小边c，小为最小边，只要写第一个就行，只要写第一个a-b的绝对值小于c就行，后面就就不用。再再写了，后面就不用再写了，

因为c是本身就最小的嘛啊，最最小的。最小那个那么a减掉c肯定比b要小。是吧，因为c它是已经是最短边了啊，已经是是最短边，为什么a-c一定会比会比b要小呢？啊，不太懂，同学，我给你这样讲，因为大家知道c是最小边c最小边这个绝对值，它肯定是什么呢？大家想肯定是正的，对不对？

因为c是最小的a-c，肯定是非负的了，所以a-c肯定小于b的绝对值可以去掉。因为c是最短边嘛c是最短边，那么a-c肯定正的把绝对去掉，然后把c给它挪过来，挪过来正好就变成a小于b+c。是不是这样？a小于b+c啊，所以说在这里面啊，就是a小于b+c，就是上面这这个你就懂了是吧？同样道理，那因为c是最小边c最小边b-c肯定也是正的。所以b-c小于a，

现在又b小于a+c是吧？b小于a+c这样写b小于a+c这样是这个。这个是吧，正好就就这个就OK了，对不对？然后再加上第一个那就行了啊，所以说在这里面啊，两句话是等价的，只要选一个就行了，所以这道题你是固定最小边。还是最大边，因为我看大家差值这一块呢，比较薄弱，咱们用第二个来做好不好？差值比较薄弱，

我们就看c是最小边的时候。大家可以发现这个一这个木棒是用不上的，你发现没有一这个木棒用不上，因为一呃一的话跟任何都没法组成三角形，你看任何两个边的差值。差值啊，它这个都会大于等于一，所以说它这个呢是不满足好吧，不满足所以一呢，其实这个木棍是木木棍是用不上的。然后接下来我们就用二三四，我们就固定最小边啊，好，如果最小边要为二。最小边要为二的话，

二要是最小的，二要最小，另外两边只要差值的，绝对值小于它就行，大家看三跟四可以。啊34行，然后四跟五也行。然后五跟六它也行，然后六跟七它还也可以。也可以是吧，所以说三四型四五型五六型六七，它也可以，那它差值，所以它总共有四个。那有四个啊，

如果最小边要三是吧？最短边三最短边三的话，那么就是啊，另外两边的差值只要比三小就行啊，所以就咱们用第二种差值做，当然你用和也行和也行，用第一个也行，第一个也行，找最大边。比如最大边要是七的时候，另外两个角小边相加大于这个七，这样也一样啊，你自己可以尝试一下好吧，接下来咱们就用减法做减法，就看最短边，

如果是三最短边三，那么它可以什么可以四跟五？四跟六啊，五跟六啊，五跟七六跟七是不是这样的？所以说在这里面好，那么就四五。啊四六，然后五六啊五七六七是吧？然后最短边如果要为四。啊，这两边要为四好，这两边要为四的话，那在这里面我们可以看看这边四的话，它可以是五六。

可以是五期是吧，然后还可以是六期。是不是这样的？就这样的就可以写出来是吧？所以说这个最两边为四，然后这两边如果要V5。这两边要为五的话，那只能是五六七是吧？五六七好，那大家就把这个数一数啊，就可以得到它的这个数值答案就求解出来了。所以正确答案应该选择总共13个，好吧，大家把它加在一起，你看这四个加在四个，

这是八个八个加中间这五个总共13个。这样就列举出来了，好大家通过这道题，大家就深入了解咱们的。这个两句话怎么去用它的简化形式？在什么情况下可以简化？如果知道最大边可以简化，知道最小边可以简化，如果要不知道最大边也不知道最小边的时候，这个只能按照原始的方式来进行分析和纠结。而且还要注意这两句话，本身呢是等价的，可以互相推导好吧，因为把这个移过来加就变成减了。啊，

然后把减移过来就变成加，这是他们可以互相推导的啊。好，接下来咱们看这个题，若三角形的三条边长为整数，且周长为11形，一条边长为三，则所有可能组成三角形中最大的边长是多少？在所有可能组成成员，你要把所有可能都得找到好吧，大家知道周长要为。11假设咱们这个是ABC+c=3。这个大家知道周长要为11，周长为11，说明另外两边相加应该等于八。

对不对？就a+b的值，应该等于八。啊，这要写好，因为有叫边长正好为三嘛为三，然后接下来我们呢，因为它三边长度正好为整数嘛。正好为整数，正好为整数，那接下来我们呢，就可以写出来，正好为整数嘛，整数话啊，因为它一条边长为三了。

一条边长为三，那大家知道那么另外两个边长，我们应该怎么写？因为大家知道要保证a-b的绝对值一定要什么，一定要小于三。啊，一定要小小于三就a-b的差值，一定要小小于三，现在比如说这个二和六，它就不太行。是吧，二和六二和六的差差是这个不太行。是吧，这不就行，然后三个五。

可以四跟四啊，这个也可以四跟四，这些都OK的是吧？所以在这里面它最长的边，那么就是选择的是五最长边为五，因为它整数不考虑小数啊。所以正确答案就选择的是c选项。啊，答案就求解出来了好吧，这是它的这个方法，所以它组成三角形就是三跟五，还有四跟四嗯，两个两种情况是满足的啊。啊，接下来咱们看这个题要使三角线段能组成一个三角形啊，

问a的取值范围到底是多少？那这道题大家可以发现啊，那我们呢？就不知道谁是最常编了，因为你a人家又没说是正的还是负的？那人家没说是正还负。是吧，然后在这里面不过不过做到这，我们可以判断一下，因为它要它要组成三角形，它肯定是每个边上要为正的，每个边上要为正的话，那a肯定是正数。因为三a减一肯定要大于零嘛，是吧？

三a减一肯定要大于零，所以说a肯定是大于三分之一的。a是正的a正的话，在这里面看能不能判断谁是大，谁是谁小。对吧啊，这个a可能是正数a可能正数呢，4a+1肯定比3a-1要大，反正这个还有12-a，你不知道它谁大谁小，这时候呢，咱就不好判断，如果要知道最最长边或者最短边。咱们呢？就可以那个什么啊？

可以呢？简化现在呢？不能简不能简化，那么你只能用什么？只能用要么都都都用和来做，要么都用差来做，因为差的话要加绝对值，太麻烦。知道吧，差要加绝对值。啊，这块儿呢，就不太方便啊，什么用差呢，如果它要给的具体数给的具体数，

那这个可以用差值来来做。如果没给你具体数都表达式，那就用和和的话，就不用再加绝对值好吧，所以接下来我们这道题呢啊，因为也不知道最长边最短边那只能列三个方方程。然后呢，第一个就任意两边相加嘛，就前两相加前两相加这样的7a要大于12-a是吧？这个两边和要大于它。然后第一个加第三个，第一个加第三个就是呃，就是2a。加11。对吧，

就第一个跟第三个相加，然后呢，要大于中间的，大于4 a+1。然后再看后两个加啊，后两家后两家就3 a+13。啊3 a+13啊，把这个加在一起，3 a+13啊，那么应该大于3 a- 1。对吧，好这样的，这样的话，咱们简单解一解就行了，好那第一个把它移过来一个就八a大于十二是吧啊，

八a大于十二就a大于二分之三。啊，这个写好了。然后接下来第二个，第二个就相当于是这个移过来2a小于12a小于10a，应该小于五。然后这个这个的话，这个这个这个就是恒成立的了是吧？因为这有三一，这有三一，这是恒成立的，所以就不用去管它了，然后找它交集，找交集就a应该大于二分之三。小于五啊a应该大于二分之三，

小于五这呢，应该选择的是b选项啊，这是它的做题方法，看是不是懂了啊？下面我们来看这个题，在三角形ABC中AB=5 AC=3当角一在零到派中变化的时候，三角形b变成中线。长取值范围到底多少？中线长度那什么是中线的概念？中线概念要连接顶点和对边的中点，这是中线它的一个概念啊，要弄清楚。好，那接下来咱们来看一下它的这个数值，它的取值情况啊，

我们呢来给大家进行嗯，画一个图好吧，这道题有这么几个方法。啊，那么第一个方法呢？就是用三角形三边的关系做，所以以后只要求某个线段长度取值范围，所以说方法一呢，我们就根据三边关系来进行求解。好三边关系来进行分析和求解，好那接下来我们呢，就可以看出好一个边长是五，一个边长是三。这样的是吧？然后ABC这是五这是三。

好AB长为5 AC长为三，然后角a呢？它在变化。这个角在不断变变动，然后求BC边的中线，中线的话，我们就连接顶点和这个边的中点。啊，终点这个这个AD叫中线啊，不知道中线的概念，我再说一下，连接这个三角形顶点和它这个对边的中点这两一点啊，有中线它的取值范围。啊，中线长度好，

中线长度，接下来大家记住啊d，如果是中点在三角形，大家注意一个中点的话，它比较单薄，一定要考试，想到做一个辅助线，这部分要么在AB上取个中点，要么在AC上取个中点都可以啊，取任何。终点都行，好在这取个终点e，这样可以是吧？或者在哪取终点都行，好取完后在这三角形里面用三边关系，

那么这AD就写好了。好吧，所以大家知道这时候呢，我们看ae的长度正好等于二分之五。是吧，因为这个e点是终点嘛啊ae的长度是等于AB的长度一半儿是吧？一半儿，然后de长度正好是AC长度一半儿，为什么可能大家还没学到中位线啊，因为d点也是终点e点也是终点，这两个都是终点。两中点一连就是三角形的这个中位线，这样中位线所以de的长度应该等于AB长度的一半就二分之三。啊d正好是AC长的一半儿，就是二分之三这样的啊d是AC长的一半儿，

就二二分之三，然后在这个三角形里面，大家可以用三角形三边的关系就AD。它应该小于这个ae，加上de大于ae-d这样的情况好吧？然后这样的，然后AD的长度就可以写出来好吧，接着然后等于这两个把它相加二分之五和二二分之三相加加加的话，然后这个就是四。大于这二分之五和二分之三相减得到是一啊，得到是一，这样就写好了，所以AD长呢，应该在一到四啊，这利用三角形。

三边的关系就是这个边小于两边之和大于两边之差，其实这也是咱们前面学三角不等式，绝对值里面那种啊，就是两个相加。啊，两个相减是吧？正好就是绝对值三角不等式的那个特征啊。啊，这方法一方法二方法二我们看是怎么思考呢？方法二方法二大家呢？可以用这个极端法，因为零和180这是三角形的两个极端，比如角a趋于零的时候。它的这个中线应该怎么样呢？好角a它趋近180的时候，

那么这个中线到底什么样是吧？所以在这里面我们可以用这个。极限法。啊极限，所以说这也告诉我们那么求范围的时候，我们以后可以用极限法来做啊，只要求范围。求范围，大家就用极限来进行分析好，那我们看一下角a，如果趋近0度。角a趋于零，角a趋于零，什么趋于零，就是ac和bc基本上就是重合在一起啊，

重合在一起，比如说这个就是a。b然后c是在这儿啊c基本上就就在就在这个位位置是吧啊c基本就在这个位置啊，然后这样话就AB长度正好是。呃五啊AB长度总长是五。AB等长5 AC的长度正好三是吧？AC的长度正好三，然后这样add要知道在哪d点始终为BC的中点，要注意d始终为BC的中点。好，那么地点始终为BC的终点，地点在哪？在这个位置啊？这是地点在这个位置，地点是终点好，

大家知道啊，这个刚才咱们讲了这个AB的总长正好是五。呃AC长度是三，那说明BC长度就为2 BC，长度为二的话，说明CD长度是重点，正好是一，这是一。然后这段是三，所以说这个AD它又接近于四。啊，就一+3接近四，然后咱们再看，如果角a趋近于180度。角趋近180，

趋近180，大概什么情况？趋近180就相当于是这个三角形啊，这个角也近180就是。AC和AB正好在反向贡献。啊，这是这是AB。这是AC啊，这是AB AB长度还是5 AC长度还是三？知道吧，还还是三，这是反向贡献了，然后接下来我们再看一下，那么d点注意d点始终是BC的中点，大家知道这个BC总长正好是八。

是吧，五加三十八八的话，那么这个d点它正好终点，终点的话，它正好为四。中点中点也这段长长呢，正好就为四。是吧，为四为四，那这段儿长度AD这段儿长度就拿四减三得到是一是吧？所以AD长度呢？就趋近于一好，那通过这个我们就可以。写的它的数值了是吧？数数值，

然后这样大家可以看AD的长度就介于一和四之间啊，边界值一个区域一啊，区域左区间一个区域右边端点。是吧，左右这样的范围，所以选一到四这样就可以写出它的数值了，好，那通过这里当然大家还可以给大家总结一个结论啊，如果有两边常知道。第三边上的中线长度其实就是这两边相加，除以二和这两边相减，除以二你看五+3。除以二得到四五减三，然后再除以二得到是一好吧，得得到是一啊，

所以在这里面大家呢，也可以总结成一个公式。啊，就三角形第三边中线。啊，中线的长度AD就小于这个二分之AB加上AC。是吧，这样的大于二分之AB减AC，当然这地方要加个绝对值，因为咱也不知道AB。啊AC到底谁大谁小好吧啊，只要已知这个公式什么用，已知两边的长度，求第三边中线，它长度变化范围，

大家就可以用。这个知识来进行分析和思考，好看各位同学是不是明白了，是不是听懂了？

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