6-01平行直线

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:59:18

各位同学大家好，接下来我们学习第六章平面几何？那么，在学习平面几何的时候，一定要知道咱们几何几个分支，它们之间的关联是什么，要把它弄清楚。好，我们要知道几何，它的学习特征和学习方法。尤其对于图形响应能力比较弱的同学，更应该抓住它特征来进行学习。好，那么咱们几何这个模块的知识特点就图形和想象能力的培养，这个是很关键的。

尤其像有的图形，它做一些动态化的变形，比如说旋转呀，折叠呀。或者说对称呀之类的，那像这些内容，大家要能够想象它的图形的关联。那咱们考试的核心问题就是长度，面积和位置关系好，那么长度，面积和位置关系也是咱们。几何研究的重要内容啊，那么长度。大家要会求解啊，根据它所给的已知条件，

求长度，那另外就图形的面积，各类求面积的方法要掌握住。另外还有位置关系，位置关系主要看它焦点的情况啊啊，掌握它们位置关系，就看它交集它的情况。然后难点难点呢，就是做这个辅助线，可能大家有同学想不到，还有图形的一些截面及变形各类的截面的这个特征要会分析。和思考。然后技巧技巧就是特殊点，还要特殊的图形啊，要找一些特殊的图形，

比如说在咱们考试里面出现的啊，这个三角形我们可以把特殊成等边三角形来进行分析和思考。然后分值几何，总共是六个题到七个题18分的样子啊，有时候考七个题，然后在几何里面大家失分比较多的。就是几何的最值问题和图形的变换，这个对大家要求呢比较高，所以要把几何的最值和图形的变换要弄清楚。接下来我们来看一下几何三个分支，它们之间的关系是什么？这样在学的时候我们就知道怎么样去更好的学习，平面几何。它主要研究最基本的点线面儿。之间的关系啊，

最基本的点线面儿，它们之间的这个情况。啊，那么点若干点构成线，然后然后再组成这个面儿啊，所以点线面儿尤其落脚在面积这一块儿。求面积的方法。然后解析几何，它是平面几何延伸，它是把平面几何放在坐标系里面来进行学习和延伸好，产生了解析几何。好那么几几何那么它的这个特征，我们来看看几几何它是。将代数和几何结合在一起，用代数来研究几何。

因为有坐标，系了它就可以建立方程，知道吧，所以用代数来研究几何？这解析几何好？那么代数里面的方程不等式，那我们就可以把它结合在一起，知道吧？所以大家学到这就可以知道像有的代数题可以用几何法做，有的几何题可以用代数法做。知道吧，比如像有的代数的不等式，我们可以用数形结合来进行求解和分析啊，现有的几个题我们要找焦点就得用联立方程，用代数的方法来进行判断。

来求交点是吧？所以两者呢，是密不可分的。接下来咱们来看一下立体几何啊，立立体几何的话，它相当于是平面几何，把它空间化，通过折叠或者旋转。啊，把它进行空间化，所以立体几何把它展开，就是平面几何，平面几何，把它折叠，就是立体几何啊，

所以这是立体几何，它们之间的一些分支要会。分析和思考好，那这是几个几何？它们之间的关联啊，要会求解。好，那通过我们以上的分析可以发现，平面几何是整个几何的学习基础好吧，所以大家呢，在学的时候一定要重视平面几何学习。啊，平面几何？它带动了解几何和立体几何的学习。接下来咱们看第一小节。

考试解读好看一下，平面几何这一块，它的学习内容。首先咱们看一下大纲，考点平面几何，考纲写的比较简单，一个三角形，还有四边形好圆和扇形，其中三角形这是。重要的知识点啊，三角形，它的内容是考试重中之重啊，三角形的内容要会分析和思考，第二个就四边形，四边形，

那矩形平行四边形，还有梯形。啊，这些图形啊，要会掌握和分析，另外语言和扇形啊，扇形在扇形里面还有三角形，所以三角形也是研究其他图形的基础。比如四边形，它可以分割为三角形来研究扇形，里面也有三角形啊，所以在这里面啊，这三角形它的内容啊要会。求解，接下来我们在这里面，

我们还可以看到考纲上没写的其他多边形啊，那我们要掌握，比如说考试里面出现了五边形。还有正六边形。等等的，所以五边形啊，六边形啊，那这也都是咱们。啊，命题的要点好吧，五边形的内容啊，六边形的内容大家呢，要分析和思考啊，所以说大家呢啊，虽然考纲上没写五边形六边形，

但是要掌握五边形。六边形还有这个思路，当然出现这个多边形的话，大家把它分成三角形来研究就行了，所以这些多边形都由三角形组成的啊，按照三角形的方法来进行学习和掌握。好，接下来咱们看一下这块儿的考试解读，从历年考试情况来看，那么本章占的比重还是比较大的啊，难点又在于图形的一个变化啊，变化分析。由于本章与图形相关，所以解题师大家采用数形结合来进行寻找捷径是吧？就相当于是我们画图来进行分析，

而且。本章的公式比较多，像三角形的公式也比较多，知识点呢，比较零散。啊，所以说大家呢啊，要记的时候不要给记错了，而且解题技巧性比较强，像图形它的。解题的窍门也比较多，比如说阴影面积的求解技巧，所以在学习本章内容时要多归纳总结，寻找做题的突破口啊，这样就OK了。

接下来咱们看第四个就是考试地位和预测历年考试情况，咱们书上给大家写了一个表格，自己去看就行了啊，咱就不再额花时间去讲了啊。就看一下考地位及预测平面几何，它主要的考试点就在于角度，长度和面积。啊，那这几个基本的啊，图形的参数值啊，比如给我们图形，我们要想到角度啊，或者想到里面的一些长度，或者求一些图形的面积。本章的重要考点就是常见因面积的求解方法要弄清楚，

然后本章每年考两到三个题，占六到九分，主要考察三个方面。第一个求各种图形的面积啊，求各种图形的面积情况，这个要会分析，第二求线段的长度，第三个三角形，它的判定方法。啊，判定方法这样的啊，所以说各种图形的面积，还有线段的长度，还有三角形形状的一些基本判断啊，这里的。

思路啊，要弄清楚，所以围绕这几个点来进行展开啊。啊，接下来咱们看一下本章的思维导图啊，本章思维导图重点考项里面就线的啊，一些内容啊线就产生角，而且线也是研究后面图形的一个基本的要素啊。啊，最关键的就是三角形，三角形内容呢，是比较多的啊，三角形它的一个知识点内容呢，是非常非常多的。然后另外就是这个四边形，

四边形里面内容少一点，四边形，比如说梯形的内容，可以看一看，另外就三角形的四心。啊，四星和它四星相关的性质还有结论要弄清楚，另外就是三角形一些常用定理和结论，啊，三角形的定理也比较多啊，圆里面也有一些定理。所以要把这定理呢，要弄清楚。接下来对这块儿备考建议，我们看看平面几何的核心呢，

是三角形。三角形的考点呢，是最多的好吧，内容呢，很多三角形呢，也是必考图形，所以大家重视三角形的学习。啊，大家不要觉得三角形比较简单，其实三角形内容特别特别多，三角形也是构成其他多边形的基础，因此要熟练掌握三角形的考点和解题方法。啊，要把这个解题方法要弄清楚。好，

那接下来咱们看一下第二节重点考项，它的考内容，首先咱们看一下平行直线，平行直线这一块儿的话，内容比较简单。看平行直线，它的一些基本的定义和概念首先以直线和平行线，它的夹的角啊，这要弄清楚。夹角第一个，大家看一下这个图，那么角一和角四就把称为这个同位角，因为角一跟角四的位置方向是相同的啊，叫同位角。如果平行直线的话，

那么同位角是相等的。然后角二和角四是内错角，这个内怎么理解内是两条平行线内部啊，内部就像两个铁轨一样，它平行的。它这个平行线内部，然后左右错位一个在左边，一个在右边，左右错位叫内错角。左右错位，然后角三和角四是同旁内角角三和角四，它的同旁内角。啊，这是同方呃，内角好，

它就在这条斜线的同一旁边，而且又在两条平行直线的内部叫同旁内角，同旁内角，它是互补的。好，那这是互补互补，就相当于两相等于180。好，这是角的之间的关系，咱们看一下啊，它的线段情况啊，线段情况好呃，一直线。被一组平行线所截好吧，直线被一组平行线所截，

大家可以看到这个比例比例的话，它有两种方法可以上下比。上下比什么意思？上面就是a上面这个a÷b啊a÷b就等于c÷d。好a÷b就等于c÷d好吧a÷b的值等于c÷d的值啊，上面比下面等于上面比下面。好吧，这个上下比啊，这是它的这个方法啊，当然也可以写成左右比。左右比好，左右比的话就相当于左边比右边等于左边比右边都行啊，也可以写成a÷c。等以b÷d好，这是左边比右边，

左边比右边好吧，这是左右比啊，这是上下比好它的这个写的这个形式啊，要弄清楚。好吧，好，另外大家还可以看到右边右边这个其实是左边那个特殊情况，大家可以看到是吧？右边这个是左边特殊情况。啊，怎么特殊呢？你可以看看教给你怎么看它，相当于是把右边这条线啊，给它进行平行的移动移动。啊，

移动的跟它有交点的情况，移动有交点是吧？移动的交点大家知道，因为它都是平行移动平移动，那这段长度它还是这个c这段长度，它还是d。然后这样的话就可以把上面这条线给它，给它撤掉了是吧？有时候大家可以想象一下，上面其实这条线呢，就给它。抹掉了。是吧，抹掉抹掉的话，然后这样就给省略了，

省略以后那相当于什么相当于还是一样啊，你可以用上下比上面比下面。等于上面比下面也可以，左边比右边这个左边比右边都可以，好吧，所以这是它的这个情况，然后这两个比例大家也可以看到它嘛，它的这个交叉。啊，这个交叉这块儿它是等的是吧？这个交叉交换比例内项它这个比例仍然相等，所以也可以用比例性质来可以理解它两者为什么是一样的啊？好，那接下来咱们看一下考试解读平行关系，在其他图形中经常出现，

要掌握平行直线的角度关系和线段的比例。好吧，要掌握平行线的角度，还有线段的比例情况要弄清楚，那本考点呢，一般不直接命题，往往结合其他图形来进行考察。知道吧啊，结合其他图形啊，因为它这个平行线比较简单，比较单一啊，所以说放放在其他图形里面来进行考察，比如说四边形啊，或者圆呀，或者三角形里面来进行考察啊。

好，那接下来咱们看一下里面的考题，第一个求角度问题，直角问题，注意平行直线和其他特殊途径。结合所形成一些角度，不仅具备平行直线角的关系，同时也考虑到特殊图形角的关系。什么叫特殊图形角的关系？比如等腰三角形。是吧，等腰三角形它它自身。啊，自身它有两个底角是相等的，或者说直角三角形rt就代表直角好，

直角三角形它有两个小的锐角是互余的，两小锐角相加等于90度。是吧，还考察本身所具备的这个关系。好，这是它的这个特征。然后接下来咱们看一下这个题。好l1平l2角一=105度角二=140度，求阿尔法这个角到底是多少度？求阿尔法这个角度。而且假如这道题呢，大家呢，可以做个辅助线啊，做个辅助线第一第一种方法是在这儿做一个辅助线。啊，

在这做。好在这做的话，大家可以发现，如果这个小角是角三啊，这个这个小角如果是角角三。角三大家知道好，那么角三跟角二它正好是同放内角是吧？你看角三这个角角三跟角二同放内角，所以角三就等于180度。减角二。等180度减140度啊，就等于4度。然后再看这个角三加角，阿尔法正好是跟角一呢，是属于一个同位角，

所以也就说角三加角，阿尔法正好等于一个角一。这样的话就可以推出阿尔法，这个角度就等于角一减角三角一呢是105度，角三呢是4度。这样就可以得到它的值就65度，这样答案应该选择的是d选项。啊，这是它的做题方法，这是第一种做题方法，可以做这过这个焦点，这做一条平行线，那么还有同学做就可以把这个l2给它进行。延长延延长这个角呢，可以设为一个角四。

啊，是一个一个角四，所以角四或者另外一种方法，另外一种方法也可以做啊，所以说做辅助线不同，它的方法呢？是不一样的，但是结果是一样的，大家知道角四跟角一呢是属于同放内角。所以角四就等于180度减去角一。是吧，然后在角四就可以求解出来，角一正好是105度。啊，这样就得到75度，

就那接下来我们怎样求角二的话呢？大家学过三角形，外角同学应该知道角二呢是三角形的外角，外角等于不相邻的两内角之和。所以大家知道这个角阿尔法加上角四正好等于角二是吧？正好等于角二，因为它是。外角啊，三角形的外角就等于不相邻，两内角之和好，这样就可以推出角，阿尔法就等于角二减角四。啊，那么角二我们可以算出来角二它是140度。减75度就等于65度啊，

这样就写好了，好，这是它的方法，这个呢，就选择d选项好。好看，这一块儿是不是懂了啊？要知道它的考试要点和方法。好，那接下来咱们看一下第二题AB平行CD。求角阿尔法到底是多少角？阿尔法值到底是等等于几？求角阿尔法的结果好，那接下来咱们来看一下这个角阿尔法到底怎么去求解？好，

那我们可以看到这道题，我们可以呢，把过这个点做一个水平线是吧？所以呢，我们过一个做这个点过做一个平行线。并且角阿尔法，我们呢，就可以分成角一和角二好吧，角阿尔法，我们分成角一和角二。这样的一个情况啊，角一角二这样的好，那在这里我们看一下角一角一跟这个角b正好是属于通放内角。所以角一就等于180度减角b。就等于180度减120度，

正好等于6度。啊角一好那么角二跟这个角c正好是内错角是吧，所以它正好内错角左右错位内内错角，所以角二。应该等于角c，应该等于25度。好，那这个阿尔法正好是角一加角二是吧？所以这个阿尔法角阿尔法正好等于角一加角二正好等于60度，加上25度。这样就等于85度好正确，答案应该选择的是c选项，答案就写好了，所以这是它的求解方法是吧？所以把这个做一个平行线，

然后用通放内角。和内错角这两个概念来进行，求它角度就OK了。好，那接下来咱们再看这个题，这个题呢，就结合三角形要稍微难一点啊，它的AB和AC是相等的啊AB。和AC是相等的啊AB的值和AC值是相等的。那这两个角度，这两个是相等的，然后角bac是等于8度。啊角bac bac那正好就等于8度，这个bac这8度，然后呢啊AD和BD相等啊AD值咱们做一下记号AD的值。

跟b的值又相等啊，就AD跟BD它它是相等的。看一下呢，然后这个cm平行AB。然后交这个AD延长线于m点，求这个角m到底多少？就这个角到底多少好了，那我们来看它给的这些条件，大家知道这里面就用了一些三角形的内容。是吧，所以说不仅要用平行线的内容，还要用到三角形的一些内容和方法好，大家知道AB和AC。这两个要相等。这样的话，

那说明角b的值跟这个值是一样的，比如这个地方你写成角一是吧，所以角一跟角b。啊，是相等的，而且呢，结合三角形的内角和等于180度是吧？所以我们就可以得到那么角b。和角一啊是相等，或者你写的字母也行，角a cb。是吧，用字母表示有有点复杂角a acb，然后这样话就等于一个二分之一百八减八十。啊，

因为大家知道这个三个角相加啊ABC是一个三角形，三个内角相加等于180，所以有个角是8度，另外两角之和应该是100度，由于另外两角又相等。使它等于50度。这样的啊，然后等于50度，这样就写好了好，这是它的这个结果，所以说在这里面就可以写这个是50度，这个是50度。好，最后写出来了，写出来，

然后接下来呢？啊，我们看又是平行的，对吧啊？又出现这个平行平行的话，那大家知道平行直线的话，它的内错角是相等的，所以上面这个角。跟那个角m一样，就是角bam啊角bam。叫bam啊，这个角bm和这个角m它是相等的是吧？这个就相当于是什么？相当于是内错角。啊平行直线的内内错角是相等的，

它左右错位啊内错角内错角，这是相等好，那这个角就写出来了。只要大家知道那这个角啊，这个角又由于什么又由于BD=AD。啊BD又等于a db=AD，那要推出什么推出角这个bam？这样就等于角b是吧，因为它是一个等腰的这种关系啊，等腰的关系，等腰关系的话，那在这里面我们呢就可以写出它的数值了。是吧，然后答案就可以了，这样正好就等于50度。

50度，那么这个就说明角m它也等于50度是吧角m？它等于55好，这道题正确答案就选择的是c选项。好通过这道题，大家可以用到什么三角形，内角和还有等腰三角形的一些性质以及内错角的关系来进行分析啊，把这个知知识点结合在一起就可以了。好，接下来咱们再看一下求长度的一些相关问题，求长度，其它主要是根据平行线段的，平行直线的线段比例啊，比例关系来进行，求一些长度啊。

比关比例关系，刚才咱们也讲了，怎么去记忆，你可以上下比，也可以左右比好吧，记住它的这个方向的特征就OK了。好，那接下来咱们看一下啊，这个题如果AB。bcdeef四条线段成比例，且AB长等于二啊AB长，它正好等于二。然后b长长呃为三。v3然后这个d的长为四问ef的长到底是多少ef长啊？这个很简单，

这个可以用左右来进行分析，你看看到没有？右边是左边的两倍，那说明ef也是BC的两倍。好吧啊ef正好是BC的两倍，所以ef就等于二倍的BC啊，然后就等于六啊，这样答应该选择d啊，这个很简单，所以大家可以左右比也可以上下比都行。啊，都可以啊，所以左边是二比三，这边也应该是四比六啊，所以这个答案一眼就可以看出来，

很简单啊。好，下面咱们看这个题已知l1l2l3平行，它告诉我de长度是等于六啊，de长度在图上标注一下，de长度等于六。然后ef的长度正好是九啊ef长度，它正好为九。然后AB长度是五。AB长度15，然后求求AC的长度是多少？求a长咱们先求什么？先求BC长度好吧？先求BC长度我们呢？就可以用比例，

你可以用上比下，也可以用左比右。都行，这个都没关系啊，如果用上下比的话，上下比就是六比九，也就是我给写一下吧，就是de。比上ef应该等于AB比上BC。好就de比上ef就等于AB比上嗯嗯BC，然后这块儿然后de的长度正好是六。啊ef长正好是九，然后AB长正好是5 AB AB长呢，它正好是V5的，然后这样BC长度我们就可以求解出来。

啊求出BC的长度。好BC长度给它求出来以后，那接下来我们就好办了是吧？好那BC这个算出来就等于七点五。好吧，这个很容易求解，因为这个九分之六等于三分之二嘛啊，三分之二，所以说这个就等于七点五啊b等于七点五，它要求什么求AC的总长？那么AC的总长就等于AB，再加上BC就等于五，加上七点五，正好等于十二点五。好，

最后正确答案就选择c选项好，这是它做题方法很简单是吧？就按照这个比例来分析和思考就OK了，看各位同学是不是懂了？

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