数列-综合提高题-问题求解（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:56:48

我们来看一下问题，纠结题，首先看第一个题目，第一个题目，它考点啊，这种类型咱们之前见过，就给了一个等差数列，它某些项呢，又构成一个等比关系。这是咱们前面解见过的，或者说给我们一个等比数列它某些元素，又成一个等差关系，这样的交交错的一个考法啊，所以说把。等差数列等比数列呃结合在一起来进行考察，

所以等差等比。它的一些概念定义啊，还有一些通通项啊，这类的方法要知道啊。好，那下面咱们来看一下呃，它给的第三项，第四项和第七项构成等比数列就可以写成a3。乘以a7应该等于a4的平方是吧？这三项它要构成一个等比数列就a3×a七应该等于a4的平方好，那我们把把这几个元素都可以用a1和d来表示这个没问题。但是我们前面讲过，可以用同样一个。啊元素来表示，这样简单点，

比如说我们都用a4来表示是不是要简单点a3可以写成a4-1个d。是吧，然后a7我们可以写成a4+3倍的d，然后这样就等于a4的平方。好，这样话就是要简单一点，当然也可以都用a3来表示，或都用某一个a来去表示，这样用公差d这样就可以找到a4和d的情况，好把左边给它乘开就可以得到a4的平方。加上二倍的a4×d再减3d方等于a4的平方好，那这个a4的平方跟这a4的平方两边就可以减掉，然后这样我们就可以推出a4的值a4的值就可以得到是二。分之三倍的d，这样就写出来了好吧a是值就等于二分之三倍的d好a是值写出来以后，

它让我们求的是a二加上a六比上一个a三加a七。大家知道a 2+a六这个下角标是不是二+6就是八呀？二+6就八可以写成二倍的a4是吧？所以根据等差数列的性质来进行分析的。a3+7是不是可以写成二倍的a5啊？所以所以它就等于一个a4÷a五。好，那么a四呢？正好等于二分之三倍的d是吧？所以在这里面a四呢？它正好二二二分之三倍da五呢？就可以写成。呃a四加上一个d就变成二分之五倍的d，所以这个算完就等于五分之三，所以呢，

就选择a选项，看这道题是不是学会了，是不是掌握它的方法了？所以这道题啊，听完后收获就是根据某三项成等比数列，这样话我们就可以列出一个等式，把这个数列。它的公差啊，关系找到，然后最后呃再化简这个分式值就可以了。下面咱们看第二题，第二题这道题主要考点是考察数列的概念和这个抛物线，它跟x轴交点的一个判断方法啊，所以这道题考察就数列的一些基本定义。而且咱们考试经常会出现三个数成等差或者三个数成等，

比这得考法都要知道好，那么而且这道题又考了一个抛物线。它的一个与x轴交点情况，抛物线与x轴交点情况，主要看德尔塔，德尔塔如果大于零，抛物线与x轴有两个交点，德尔塔等于零，就是一个交点，德尔塔小于零，就是无交点啊，所以。这是它的判断方法，好题目给了ABC三个是成等比数列，我们就可以得到是a×c就等于b方。

啊，这是三个数成等比数列好，那我们来看一下这个抛物线，它对应的判别德尔塔，德尔塔就等于b方减CC，然后把这AC都可以换成b方。AC换b方就得到b方减4b方等于负的3倍的b方，由于这个b呢，是不为零的，这个题上你写了b呢，是不为零，所以它这个负3b方就小于零。c二零所以它这个就无焦点，就选择a选项好，这是给大家强调的它的特征，

如果要改成ABC成等差数列，它也会做好吧，总之呢，要掌握它的考试要点就是这个。判别是来决定抛物线跟x轴的交点的个数，记住这样的方法就行了。下面我们来看第三题，第三题跟第二题差不多啊，它主要改成了等差数列，然后这个表达式抛物线跟x轴的交点情况，所以这道题也考察是一个数列的定义。而且还考察抛物线，它跟x轴的交点情况好，那下面咱们来看一下AB是三角形等差说明a+c就等于二倍的b是吧，所以在这里面就a+c=2倍的b。

然后这个二次函数，它跟x轴的交点个数，看判别德尔塔，德尔塔就等于b方减4 AC。好，然后在这里面，大家就可以把啊，这个4b的平方可以把它看成2b括号的平方，可以把它看成a+c^2-cc。明白吧，所以这个四倍的b啊，把它看成二倍b，整体的平方，所以说写成a+c^2好，然后在这里a+c^2展开啊，

再减掉4 AC，然后展开完化简完再配方。可以化简成配方，变成a-c^2。a-c^2就大于等于零，因为这道题a有可能等于c啊，所以说它这个德尔塔有可能取到等于零，所以它有两种情况，当德尔塔等于零的时候，它跟x轴就有一个交点，也就是说抛物线。跟x轴是相切的，当当它大于零的时候，就有两个交点，所以这道题选d啊，

它有两种情况，不要给做错了，不要写错了，看这道题是不是学会了，是不是听懂了？好，那么第四题这道题的考点。考点主要考察数列。它的通项。变形和化简啊元素的求解好，那在这里面就把它所有的都用，关键是找公差d是吧，所以说我们这道题等差数列，关键是要求公差d啊。我们来观察一下，

它给了这两个表达式，这张表达式我们看这两个表达相减，能不能求出公差d啊？你可以看到am跟am+50是不是相差了50个d？是不是这两个相差50个dam+10和am+60，这两个数是不是相差了50个d？看这个是不是学会了啊？这个跟这个相差50个d，这个跟这个也相差50个d，所以说在这里面。那么，它们两者相相减相减，我们就可以推出正好相差一百个d就等于b减a是吧？所以这个d就等于一百分之b减a。好公差d写出来了，

然后接下来我们要求这个求am+125，加上am+100。35好，它的这个数值关系，然后在这里面大家都可以用第一个a来表示，也可以用b来表示都行啊，如果用b来表示的话，就写成am+50。这am+60，我们看后面要填多少个d，大家知道这个125比这个50多了，75个d是吧？所以这两个序号多了，75个d，然后135。

比上比这个60也多了75个d，所以说整体就多了150个d，所以这样就可以写出它的数值关系。然后加五十，加上加六十正好等于个b，然后这个一百五十倍的d把这个d呢用一百分之b减a给它带过来，因为在上面这个b呢，数值已经求出来了。所以把这个带过来就行了，然后这一百五十跟一百约掉以后正好是二分之三，然后再一通分完完以后就得到二分之五倍的db减上三a。好，二分之五b减三，这个答案选c选项，这样就求出来了，

好看这道题是不是学会了？是不是听懂了啊？通过这里大家掌握的做题方法和思路，就是我们要看出它们之间的公差d啊，看看元素之间到底相差几个d，这个只要把这个d找到，那这道题就好做了。好，那第五题这道题这道题考点主要考察这个等比数列的求和。还有通向。由于等比数列求和有两个式子啊，一个是所有项和一个呢是前项和，还有这个通项好把这个表达式带过来好，大家知道等比数列所有项和公式是不是a1÷1-q啊，这咱们前面学过了啊，

等比数列。对不对所向和然后sn sn在这里面就用咱们简方求和公式就一减q分之a一乘一减q的N次方。这前项和加上通项，通项是不是可以写成a1×q的n- 1次方呀？好，这是通项它的特征。好，然后在这里面大家知道等比数列任何一项，它都不能为零啊，任何一项它都不能为零，所以在这里面大家呢，就可以把a1呢都给它。约掉啊，所以在这里面，大家在在这个式子里面，

我们先把这个都有a1是吧？可以把a1两边约掉。约完以后，然后分母分母被它去掉，这个分数分母两边同时乘一个一减q，左边就变成一了，右边就变成一减qn次方加上二倍的。这个q的n减一次方再乘一减q，得到这个关系好，然后在在这里大家可以看这个一跟这个一这两个呢，也可以进行约掉是吧？这个一跟这个一这两个一，它也可以进行约掉是吧？这两个一可以约掉，然后qn次方给它移过来一个就qn次方。

就等于二倍的qn减一次方乘以一减q好，大家知道q呢肯定不为零，所以两边约了一个qn减一次方，两边约了qn减一次方，左边就剩一个q了，右边就剩一个二倍的一减q。是吧，得到这个表达式，然后这个q大家就可以算出来，就等于三分之二，这样就写出来正确答案，就选择b选项，看这道题学会没有这题，大家听完以后收获就是等比数列的。所有项和公式一定要记住，

前项和还有通项公式记住，然后再化简这个表达式，在化简这个表达式的时候，大家呢，一定要掌握它的化简方法啊，不要给做错了，两边变形。和约分就可以了。好，下面咱们看第六题，这个题这个题的考点主要考察啊，那么数列的性质。好数列性质的话，对于等差数列，我们主要看元素下角标的和啊，

所以在这里大家可以看这个b3，加上b13。那大家知道三+13是不是就有16啊？16是不是可以写成二倍的八呀啊？二倍a8，所以这道题。只要把a8求出来就行了，所以我们把所有的东西都转成a8，我们可以看到这个b 1+b 15是不是就等于两个a8呀？然后b4跟b12这两个是不是又是两个a8，所以说这个是负的，这是正的，所以正好呢，就a8就就抵消掉了，所以通过这个式子，

我们就可以得到什么得到负的b8。所以在这里面就负的b8正好等于一个二，那就说明b8呢，就等于个负二是吧？b8=-2，然后带到上面去就得到是。啊，这b8得到呢，就是负四这些答案选d选项答案就求解出来了，好看这道题是不是学会了方法？这道题就把所有的元素呢都用这个b8来去表示啊。根据它的呃数列的下角标的序号都用b8来表示，然后这样就可以把它的数值求出来，这道题不是很难啊，去转化就可以得到它的答案。

当然，这道题还有一个小技巧，就是我们前面讲过的一个小技巧，什么技巧呢？因为这个等差数列，它没说呃，有什么要求，你可以技巧，你可以例呢。啊d呢d为零是吧？d为零就所有的呃元素都一样啊b1b4b8b12b15都是一样的，所以b1跟b4就减就没了，然后然后。b12跟b15这都没了，所以左边就剩一个负的b8就等于二，

所以就说明b8就等于负二，那就说明每一个b它的都是等于负二，那b3也看成负2b13也把它看成负二。所以两个负二加在一起就得到负四是吧，这样也能算出来啊，所以在咱们考试过程中，如果对于数列比较害怕的同学，我们可以取一个特殊情况排除选项，因为咱们都是选择题，大家对于选择题呢，有的过程就可以省略。要掌握这样的快速解题的一些技巧。好，下面咱们看一下第七题，这个题这里主要考察SN它的一些性质和求解的方法，

而且这里是等比数列。好，所以这道题考察等比数列SN，它的性质及求解。好在这里面大家注意，对于等比数列它的这个公式，要知道对于等比数列一定要找两个s相除啊，就smn除以。SM除以SN就等于一减q的m次方除以一减q的N次方好吧，就拿这两个相除就行了啊，所以对SN的性质及求解好那对等比数列两个s相除就等于一减q的m次方。一减qn次方用这个来进行变换和思考。好吧，好好在这里面，大家还要注意，

如果这个s三十要改成s二十啊，如果这地方要改成s二十的话。它就可以用咱们那个性质就s10s20-s十。s30-s20，s40-s30，用这个性质就可以把s40给它求解出来好不好？好，但是这地方它给的是三三十给的30的话。好，那么用这个性质求的时候也能也也可以求，但是呢，要稍微麻烦一点儿好不好啊？如果给的s20的话，那么根据前两个元素就可以把后面元素求出来，这样的话求S40呢，

就要简单点儿好吧，所以这是。说了一下，它下角标的这种特征啊，特征大家呢，要掌握它的这个做题的方法啊，当然如果这个这道题用刚才老师写的这个性质也可以做啊，也可以做，只不过是要第一步，要先把s20给它算出来。是一样的关系啊，比如有同学说啊，想用刚才系统再把系统写一下是吧？就x30-x20x40-x30。这是第一步，

你要先把s20设s20为x，这是十这是x-10，然后x30就是70-x是吧？因为你先把s20求出来啊，所以设s20=x。x的话，那这10x-10这70-x，它们应该构成等比关系共等比关系就十×1个70-x就等于x-10^2，这样把x解出来x解出来。了x40也就算出来了好吧，所以在这里面大家呢，就可以解解对吧，这个左边就变成700-10x等于个x方。减20x再加100好，然后这样我们就一项给到x方减10 x- 600就等于零等你，

然后这个600大家分出一个负十来。分成一个负十就20和30这个一一，这个负的是吧？所以在这里面好，那在它就可以算出这x的值x的值呢？就等于负20或者正的30。啊，这样就写出来了，好那么当x=- 20的时候，那这个数值我们就带到里面就可以算出来x=- 20的时候，大家可以看到。这个值负20，这个值呢？就是代表负30了，然后它的公比就是负三对不对？

公比就负负负三负三，这就是。90这个负的270是吧？这样负的270，它公比是负三，然后由x30=70x30等于。70对吧s30等等于70说明S40减掉70等于负的270，然后。然后这块儿就可以把s呃40给大家求出来S40就得负的200是吧？这时候呢S40算成就负的200好，那么另外一种情况，它正好是30。啊当x=30的时候好，那这个数呢？我换一种颜色笔给大家写这个数x- 10就变成一个20了，

对吧？而且它的公比呢就是二，因为这地方是十，这地方20公比就是二，那么二就这个就是四。40这个就80就说明x40减掉x30就等于80x30不就等于70吗？70它这个就150，所以这时候呢，又算另外一个值就150。所以它有两答案，一个负的200或者说150，所以在这里面大家呢，就可以写出它的一个数值关系好，那做到这大家呢，容易掉到一个陷阱里面去啊，

很多同学做到这有同学说唉，这个。这个题为什么呢？呃，不选c呢？我要给大家进行讲一下原因是吧？大家呃，看清楚，在这里面大家要注意啊，注意这个负的呢，要舍掉。负的要给它舍掉，负的为什么舍掉？大家看看啊，因为s十是正的，

对吧？ss十是正的s二十比上s十是不是就等于一减q的二十？四方比上一减q的十次方，然后一减q的二十次方是不是可以进行进行呃平方差公式分解啊？它用平方差公式是不是可以分成一减q的十十次方乘一加q的十十次方？对吧，所以它跟分母一减q的十次方约掉就变成一加q的十次方，大家知道q的不管是正还是负q的十次方一定是正的。因为它是偶数次方一定正的，那么加上一更是正的，所以这个大于零，但是由于这个s10在这道题给的是正正的吧，比如正那说明s20是不是也为正的呀？s20也为正的。所以在这里面这个负的就舍舍掉了啊，

所以负的舍掉，所以只能取正的，所以只能选择a选项，所以这道题就有同学呢，就掉到现金里面去，这道题大家呢就会出错好，这是第一种做题方法，看是不是学会了？第一种做题方法呢，就用咱们前面讲过s那些性质来进行分析和求求解的好，那么第二种方法呢，就是用这个比值关系好吧，用这个特征来进行分析啊，所以我们还可以写另外一个方法。好，

我们来看一下另外方法，那另外方法就s10等于个10s三等于。七十那说明x三十比上x十应该等于一减q的三十次方比上一减q的十次，方分子可以用立方差公式啊，因为这个q的三十次方可以写成q的十次方在三。三次方是吧？所以在这里面，所以这的30次方可以写成的，十十次方再三次方，然后用立方公式，立方公式在分的时候，大家可以看到。这个分子可以分出一个一减q的十次方跟分母一减q的十次方，正好上下约掉了，所以剩下一加q的十次方再加q的二十次方是不是？

然后这个呢，就正好等于七这个七哪来的呢？正好是拿70÷10得到的啊，就是七，然后这样把这样让它移项就可以得到q二十次方加q的十次方减六=0好，如果做到这不会解的话。你可以利用t=q的十次，方t=q十次方就变成t方加t，减六就等于零了是吧？这个换元来求解，换元来求解呢？这个根呢？t的根有两个t跟一个呢？t=1个。负三或者一个正二，

但是t=- 3，是不是要舍掉呀？因为t是等于q的十次方那么一个数的十次方，它肯定是正的啊，所以舍掉，所以只能得到q的十十次方等于正二。这个呢，是需要的t等于负三呢，就舍掉好这个就写出来写出来，然后再咱们再看s四十比上s十s四十比上s就等于一减q的四。四次方比上一减的十次方好，这个一减的四次方我们呃一减的四次方可以写一减的十次方再四次方。所以用两次平方差公式啊，两次平方差公式，所以它就可以分成一减q的十次方。

啊的平方再乘以一加q的十次方，然后再乘以个一加q的二十次方是吧？所以用两次这个平方差公式明白吧？就一减a的四次方就可以写成一减a。乘以个一加a，再乘以个一加一方，看这个学会没有啊，所以在这里面就一减a的四次方可以写成一减a乘以一加a，然后再乘以。一加一的平方，然后除以个一减q的十次方，这个一减q的十次方，大家可以看到我们就可以给它约掉是吧？这上下给它约掉约掉，剩下就是一加q的十次方乘一加q的二十次方，

由于刚刚咱们求的q的。这个十次方等于二，所以它就变成这个一+2乘以个。啊就q的十十次方正好等于二嘛，所以一+2乘以个一+4。好，那这个算出来正好等于一个一+2是三三×1个五得到15得到15好，那也就是说我们S40比上s10正好等于个15？由于x10正好是十嘛x10这个分母正好十十，所以x40就等于150，这到时候也可以得到这个答案，就选择a选项答案就求解出来了，看这道题是不是学会了？所以这道题呢，第二个方法呢，

就是在等比数列里面遇到两s出现的时候，一定要用两s相除。这样特征呢，就直接转化成跟q有关的一个表达式，把q求出来了，这个表达式就可以算出来看这个题是不是学会了，是不是听懂了啊？好，下面咱们再看第八题第八这道题，它的考点主要考察两个等差数列，它的一个比值关系。啊，两个等差数列。好两个等差数列的话，我们前面在讲之前给大家推导过公式啊，

我这个公式就不再推了，就是呃a。元素之比和求和的，它的一个比值关关系是吧？所以在这里面就是AK比上一个bk就等于s2 k- 1比上一个t2 k- 1好吧，用这个公式做就行了啊这个。公式在讲知识点的推导过，没听的同学把前面上一小节的知识点给它听一听就行了，所以这道题要求a6比上b6a6比上b6就等于s12-1就是11比上t11。然后因为SN比上tn的这个结果知道了，把这n换成11就可以得到s11比上t11的值，所以在这里面有七×11加上一四×11+27，这样就可以写出来，这是78。然后这四十四，

四十四加上它就一七十一，所以在这里面就选择d选项啊，这样就求解出答案来了，就七十一分之七十八，看这道题是不是学会了？这道题呢，比较固定啊，你就记住，如果两个等差数列它的元素之比跟它求和之比的一个公式，一定要把它记住，这个呢，是很关键的啊。一个很重要的一个事，看是不是学会了，是不是听懂了？

好，下面咱们看一下第九题，这个题目好，第九这道题目它的考试知知识点就考察啊，那么方程的根还有数列之间的关系，这个跟咱们讲基础题这个。知识点有个题差不多好不好方程的根，还有这个数列它的一些概念和定义好，那大家可以发现讲前面这个方程两根是x1和x2，后面这个方程两根是x3和。xx四是吧？这个方程两根是x一x二，这个方程两根是x三和x四，然后它组成首项为四分之一等差数列，因为大家可以发现我们前面讲过，

你看韦达定理啊。我要定就是x 1+x二，是不是等于x 3+x四，它正好就为一是吧x1×x二，正好等于ax 3×x四，正好等等于个b。是吧，所以在这里大家可以发现，由于这两个相加等于这两个相加，还记得咱们讲过等差数列，它应该怎么排布啊？它指的是x1x2在两边x3。x4在中间这样排是吧？或者说x1x2在中间x3x4在两边它都是一样的，为什么这样排呢？

因为这样才能保证呃，第一个加最后一个等于中间两个相加嘛，因为。等差数列要满足第一个加最后一个，因为你把这个数列看成四个a1a2a3a4，大家知道对于等差数列a 1+a四是不是应该等于a 2+AA三呀？所以说这样满足这样的排序关系，所以只要把它排序掌握住了，这道题就好做了，因为这道题它给它首项是四分之一。首项四分之一，因为x一加s二不就为一吗？为一那x一加s二为一，那这个s二就等于四分之三了是吧？好，

这四分之一这四四分之三就可以把公差d求出来。公差d就等于四分之三减四分之一，正好相差几个d呢？相差三个d对吧？这个一个两个三个相差三个d。所以除以三好，这样我们就可以把它的数值关系找出来，就等于六分之一是吧？所以d大家能看出来吧d呢？是不是就等于六分之一啊？好d等于六分之一写出来以后，那么x三等于多少？x三就等于四分之一加上一个六分之一x四就等于四分之一，再加上一个三分。之之一，

然后这样我们就可以写出它的这个数值关关系好，那么这个x一x二x三x四这四个值是不是都知道了？知道这a的值是不是就可以写成a的值就等于四分之一乘以四分之三。就等于十六分之三好，那b的值是不是也可以写出来b的值四分之一加六分之一，这就可以写成十二十二分之三加十二分之二就等于十二分之五是吧？乘以个这四分之一加三分之一就十二分之七啊，就等于一百四十四分之三十五。啊，一百四十四分之三十五好，那这个a和b这个写写写错了，其实然后它让求的是a加b是吧？a加b就等于十六分之三加上一百四十四分之三四十五，然后第一个。个分式的分子分母，

大家呢都可以给它通分嘛，给它通分给它给它通分通分以后我们就可以把它。呃，这上下都乘一个九是吧？上下都乘一个九都变成144。好上下。都乘以一个九。好都乘以九这个变成27，加上十三十五好，那这就是二六六十二一百四十四，然后再约掉就是31就是72。是吧，得到七十二分之三十一这个答案选d，这样就写出来了，好通过这道题大家看一下难点啊，

给我们方程几个根，如果大家构成等比数列的话，一定要看这个根它的。特征跟特征，如果它的和要相等，那么要排成个等差数列，就第一个加最后一个等于中间两个项相加好那四个元素的排序，我们就可以写出来。排写出来以后，再根据它的首项，就可以把最后一项求出来，最后一项求出来，然后这个公差d是一个很重要的参数，公差d求出来，公差d求出来以后，

然后呢，我们就可以把。呃x3x4找到，然后这样就可以把AB写写出来AB写的a+b的值就可以算出来，看这道题是不是学会了，是不是听懂了啊？好，那第十题这道题这道题考点主要考察那么求这个n的值是吧？所以在这里面这道题主要考察求和。求我给它几个和呢一个前项和一个前四项和一个后四项和是吧？所以在这里面就掌握求和好，那么前四项和是不是a 1+a二+a三+a四的值是？就为四啊，这前四项和倒数呃四项倒数四项的话就是an- 3。an- 2。

an- 1 an。它后四项和等于80是吧？这是最后四项的和好，还有它给了前项和等于210。那前项SN是不是等于二分之a一加an，然后再乘以n呀？好，那这a加an怎么怎么办呢？我们看一下，通过前两个式子，我们配一下，大家可以看a一加an是不是就等于a二？二+an- 1。又等于a 3+an- 2=a四+an减减三，是不是这样的？

也就说四+80正好可以配成四对儿，然后a 1+n看这个是不是学会了是吧？就可以把它配成四对儿啊，就四+80，可以把它配成四对儿，所以说一对儿呢，就是二二十一。然后这样就可以写出它的数值关系，看这个是不是学会了好，那这道题大家呢？就可以把它答案啊，求解出来看这道题。是不是听懂了啊？好，所以在这里面大家呢，

要掌握它的特征，就是要看它能配成多少对儿好吧，所以在这里面。大家呢，就把它整个都加在一起啊，加在一起好，因为前四呃前四项的和知道，然后后呃四项和知道在这里面，我们呢就可以算出这个n的这个取值值。好吧好，那在这里面啊，如果按照咱们书上的话，这个四呢就变成40是吧啊？40这要改成40。改成40的话，

那这是120就变成30了是吧？30然后这样就求解出来了啊，这个四把它改成40好吧？然后前四样和等于40后四样和等等于80，这样把这两个加在一起，这两个加在一起正好是a+n啊，它的一个四倍啊，所以说在这里面。靠这个公式做就行了好，那这个把它两边约掉一个n就得到是14。这样就求出来了好吧，所以呢，就选择b选项，看这道题是不是弄明白，是不是学会了好，

这里主要考察元素的一些性质和做题的方法。看大家是不是弄明白了？下面我们来看第11题，假如数列一一加二一+2+3，它的前项和为SN。求h10到底是等于几求h10的值到底为几好？那这道题大家首先要先写通项啊，先写它的通项。把通项写出来啊，通项写出来以后，那接下来我们就可以思考了，通项通项大家可以发现它的an。正好等于一+2+3，一直加到n。是吧，

它通项。横向是这样的，然后这个一加二加三加到n正好可以用求和公式写成二分之n乘n加一n加一，大家一定要把它拆开啊，再拆成二分之n方加上一个n。拆成这样的一个式子。好，那接下来我们再求和，如果第一个没看懂的同学，咱们把它写一下好吗？第一个没看懂，就是一加上括号一+2。加上括号一+2+3。加到括号一+2加三一加到n，这样的情况是吧？

然后这个就是a1，这是a2，这是a3。这是an是吧，所以SN就等于a 1+a二+a三一加到an啊SN就是a 1+a二+a三一加到an，这个就是a1a1相当等于1a二相当等于一+2。知道吧，所以说第一个看不懂同学，大家写几项就能找到规律了，知道吧，就a1正好等于1a二正好等于一+2。a3正好等于一+2+3点点点类，以此类推，那an就等于一+2加三一加到n这样的一个结果，懂了吧？

一+2+3，又加到n，这样就写好了。挺好，然后呢啊？这个表达式就求解出来，求解出来那s呢？这个式我们重新就按照这个来进行求和就行了啊，重新按照这个式来进行求和。就SN。啊，那每一项都有二分之一，知道吧就啊，现在的a一注意现在a一就换成这个值了啊，现在a一我写写几步吧，

因为这道题比较难，有同学理解不了，写几步就n等一的时候。就二分之一的平方，加上一。然后呃a2a2相当于n取二，知道吧？就二的平方+2a3相当于是三的平方+3。an相当于二分之n的平方，加上n就这个意思。啊，所以说这个就是新的a1，新的a2，新的a3。新的an知道吧，

这是它的式，这大家可以发现每一项都可以提出二分之一，提出二分之一，前面就是一方二方三方到n方是吧，它可以提出二分之一。二分之一有一的平方加二的平方，一加到n的平方。加上后面一+2+3，一加到n啊，这样的一个结果。然后在这里面就是我们把它分开求和知道吧，就一二三到n求和，然后一的平方二的平方三的平方n的平方再求和就可以了。好一方加二方，加到n方，

这个可能有同学求和公式，不会给大家进行扩充创新的，掌握一个，因为现在考试呢，它呃，每年都有一些创新题，所以大家记住。呃，一个求个公式啊，求个公式一的平方+2^2+3^2一加到n的平方。就等于六分之这个高中课本学过的，这个是用呃用这个归纳法证的，咱就不再证了啊，就n×n+1。再乘以2 n+1好吧，

这是一个公式啊，这一个公式如果忘记同学回头呢，你再看看好吧，这公式至于怎么推导出来的，大家到时候可以看看高中课本。啊，它有一个啊平方求和，当然咱们考试还有出现一个立方求和有一的三次方二的三次方三的三次方到n的三次方有立方求和是不是？咱们呢，现在先掌握一个平方的求和就可以了啊，平方求和就一的平方，二的平方，三的平方，把这个平方数相加，它的求和。

好，所以说这个括号里面这个前面一下就变成六分之n乘n加一乘以个二n加一，就这样来的。加上后面一加二加三，一加到n，它正好就是二分之n乘n加一。好，这样就写好了，写好那这道题呢？求什么？求s几s10的值s10的值呢？我们嗯，写出s10就OK了，所以s10。就等于把这n=10带到里面去呗，

就60×11再乘以个。这个n=10带到里面去，21。再加上二分之十乘以十一好，就这样的一个数值好，咱们简单的来求解一下。这个上下约一下分吧，约一下分约一下分，然后这个就变成了呃，这个上下把这个二约掉，这变成一个五。乘以11。然后这个再约掉一个三就变成一个七了是吧？变成七，然后这个约掉后就是五×11。

那五×11啊，这个就写好了，写好了，那大家可以看一下呃，这个都可以提出一个五乘以十十一啊。是吧，提出个五×11，实际说五×11就其实就是55了。然后再乘以个八，因为这个剩下一个七+1嘛啊，就是提公因式嘛，提公因式提公因式都提出五×11这样。剩下一个七+1，等到八。啊，

得到55乘以个四就等于220。等于220答案就求解出来了，所以算出来答案应该是220正确答案应该选择的是a选项好，这是它的做题方法和思路看。看大家是不是听懂了对它的求解要点好，这道题大家可能没有想到的，或者一个难点又在于这个期货公式，大家呢？啊，不太清楚，所以给大家进行补充，这样一个求和公式，大家呢，要把这个求公式记住，它就是平方数的一个求和，

把这个公式掌握住，这道题就好分析了。所以这个大家先分析通项的规律，写通项把通项变成一个新的形式以后，接下来它的求和按照新的通项来进行写来写，然后拆分求和把这个平方一方二方三方n方。合在一起，求和一二三四到n合在一起来，求和求和完以后得到它的结果，这样就可以写它的答案。好，这是它的做题方法和思路。好，下面咱们看第12题好，这道题大家主要考察呢，

等差数列它求和的一些性质。求和它的一些性质好，它s4知道s8知道这个s是等于什么，那大家大家可以看a17a18a19a。二二十是不是等于s20？减去s16啊，是不是这样的？是不是s20减上s16好？我们讲过的数列性质就s4。s8-s4s12-s八。s16减是12s20减是16。好，那在这里面，它仍然是成等差的，是不是这样的？

所以它们这数仍然成等差好x4，正好为一对吧？x4正好为1x八减。s4正好四减，是不是就为三呀？好，这个数为三，这个数为一，是不是它公差就为二呀？公差就为二好，那就相当于一三，这个数是不是就五啊？这时候就七这个数呢？就九这个答案就写出来，所以正确答案就选择b选项。

看这道题是不是学会了好？通过这道题，大家呢，要掌握它求和的一些性质来进行分析，这样就比较简单。好吧啊，当然这道题有同学说我把s4和s8这两个方程嗯，联立解出a1和d，然后再把所有的所求的这个a都用a1和d来表示行不行？这样也行，只不过这样就比较复杂啊，你要把s4转成a和ds 8也转成a和d，那么两个未知数两个方程，然后解出a和d，然后再算后面这个值这个值呢，

也都转化成a和d，但这样做的话就。比较麻烦一点，运算量比较大啊，大家在考试的时候要用简单的方法，所以我们用这个性质做要简单一点，看这个是不是学会了？

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