（必修2）《3 向心加速度》最新教研（教案3）

skybamboo · 发表于 9 小时前

3．向心加速度

1．理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向。
2．掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。

1.匀速圆周运动的加速度方向
2．匀速圆周运动的加速度大小
判一判
(1)做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。(　　)
(3)匀速圆周运动是加速度不变的运动。(　　)
提示：(1)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的。
(2)√　做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。
(3)×　做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。
想一想
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时，请思考：

(1)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
提示：(1)秋千荡下时，速度越来越大，做的是变速圆周运动。

课堂任务

　匀速圆周运动的加速度方向
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：如图所示，小球做匀速圆周运动时，小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？
提示：小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化。运动状态发生变化的原因是受到向心力的作用。
活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么？合力有什么特点？
提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。
活动3：根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？
提示：小球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律，小球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。
2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。
3．圆周运动的性质：不论向心加速度a的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。

例1　(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

(1)向心加速度的物理意义是什么？
提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度方向为________。
提示：始终指向圆心
[规范解答]　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
[完美答案]　ABD

对向心加速度的理解
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。

A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
答案　B
解析　匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。
课堂任务

　匀速圆周运动的加速度大小
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。

活动1：如图甲所示，物块的加速度如何求？
活动2：如图乙所示，小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？
提示：竖直方向：Tcosθ＝mg，水平方向：Tsinθ＝Fn，Fn＝mgtanθ，方向时刻指向圆心O。
活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球的加速度吗？小球的加速度的大小是多少？
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．向心加速度的大小
(3)向心加速度与半径的关系
①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。

由anr图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
(4)向心加速度的注意要点
①向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
②向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。
③无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。
2．用运动学的方法求向心加速度的方向和大小
(1)Δv的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时Δv与线速度的关系。

结论：Δt趋于零，Δv垂直于此时的线速度。即Δv指向圆心。
(3)向心加速度的大小：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示。

3．常见匀速圆周运动的实例

(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小？
(2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同？
提示：由于A、B轮在一起朝前运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。
[完美答案]　0.24 m/s2　0.04 m/s2

A．1∶2∶3 B．2∶4∶3
C．8∶4∶3 D．3∶6∶2
答案　C

解析　对申雪受力分析如图所示，其中θ＝30°，mg＝G，F为所受拉力。

水平方向：Fcosθ＝ma。
竖直方向：Fsinθ＝mg。
由以上两式得：向心加速度的大小为

A组：合格性水平训练
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法中正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
答案　A
解析　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。
2．(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(　　)
B．由an＝ω2r可知，an与r成正比
C．由v＝ωr可知，ω与r成反比
D．由ω＝2πf可知，ω与f成正比
答案　D
解析　质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关，当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。
3. (向心加速度与半径的关系)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，其中A的图线为双曲线的一个分支，由图可知(　　)

A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度大小不变
C．B物体运动的角速度大小不变
D．B物体运动的角速度与半径成正比
答案　AC
4．(匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是(　　)
C．方向在水平面内 D．方向在竖直面内
答案　AC
5. (传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是(　　)

A．anC＝anD＝2anE B．anC＝2anD＝2anE
答案　C
6. (综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点，则下列说法正确的是(　　)

A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aR
B．任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同
C．线速度vP＞vQ＞vR
D．任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同
答案　C
解析　圆环各处的角速度相等，由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A错误；由v＝ωr知vP＞vQ＞vR，故C正确；由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同，B错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。
7. (综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度ω匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是(　　)

A．A、B两点具有相同的角速度
B．A、B两点具有相同的线速度
C．A、B两点的向心加速度的方向都指向球心
答案　A

8. (综合)如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆周半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)

解析　设乙下落到A点所用时间为t，
B组：等级性水平训练
9．(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮(齿未画出)，rA＝2rB，则A、B两轮边缘上两点的(　　)

A．角速度之比为2∶1 B．向心加速度之比为1∶2
C．周期之比为1∶2 D．转速之比为2∶1
答案　B
10．(综合)(多选)如图所示，偏心轮的转轴为O，以O为圆心的圆内切于偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且AP⊥OB于P，则下列说法中正确的是(　　)

A．A、B的角速度大小相等
B．A、B的线速度大小相等
C．A、B的向心加速度大小之比为2∶1
答案　AD
11．(传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比(　　)

A．线速度之比为1∶4
B．角速度之比为4∶1
C．向心加速度之比为8∶1
D．向心加速度之比为1∶8
答案　D
12. (综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　)

A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
D．小物块在π s内通过的路程为零
答案　AB

答案　50 m/s2　3000 N

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