5-01数列定义

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:53:20

各位同学大家好，接下来我们学习第五章数列数列也是代数里面比较难的一个板块儿，因为它不是涉及到呃一一些符号，几个符号，它涉及到很多很多符号。咱们前面涉及到的符号都是有限个符号，比如说x啊，一个或者xy两个或者AB两个或者ABC三个，所以符号呢啊，相对来说少一点。从数列开始，咱们涉及到符号呢就比较多。所以大家在学的时候，这些符号别弄错了。接下来我们来看书页的第一小节，

它的考试解读，首先我们来看大纲考点，大纲考点那写得比较简略。就数列等差数列，还有等比数列，这基本的概念，这也要弄清楚好吧，这是它数列的一些基本的要求。好，第二个我们来看一下大纲的解读情况，通过这几年考试，数学一般考两题左右，有的时候是考三个题是吧？就二加减一。考三个题。

然后呢，它考察两方面，一方面是数列相关的计算题，主要围绕数列的公式的性质来展开啊，就来计算里面的一些值。另一方面是考察数列的文字应用题，这是考试未来趋势。跟一些文字题相结合，整个数列的考题呢，是比较灵活的。不仅可以跟函数方程不等式相连，结合来考题，而且呢，还可以跟咱们的几何一些图形啊，密切相关。

数列呢，也可以把它看成一个特殊的函数，因为数列它也是一个变化的一个函数，那在11应用中有着很广泛的应用，比如说咱们增长率啊，或者说一些。很多问题啊啊，实际生活里面的一些变化率啊，都可以跟数列呢，是相关，所以希望考生在熟练运用概念，同时要善于观察啊，题目的特征。然后联想到数学的方法知识，然后确定解题方向来提高数列的解题速度啊，

这是整个考大纲，它的一个要求情况以及考试难度。难点和重点。然后整个考试历年真题分析，咱们这个书上都给大家已经写了，大家自己看一下，我们就不再花时间讲了。接下来咱们看第四个考地位及预测数学，在整个考核中处于一个知识点汇合的地位，很多知识都与数列有着密切的关系。啊，可以说呢，作业在。与各知识沟通方面发挥的重要作用，试题主要分为两类，

一类是纯数列的，知识的基本计算。另外一类是中等以上难度的综合应用题。好吧，就稍微难一点，从知识点来看，近几年是一种有关本章的命，命题的热点有哪些？第一个有等差等比数列的概念。性质通项公式还有前项和公式等等，这个是必考内容，第二个从an到SN以及从SN到an两者的一个关系推导，这个要弄清楚。这个呢，是比较重要的，

第三个某些简单递推式的问题。啊，前后项它的一个递追情况，第四个应用前述这些公式来解析文字应用题啊，因为这是命题的主要热点。然后从解题的思想方法上，就我们怎么去想，怎么去入手这个题，那么命题热点主要有第一个方程的思想。因为数列化，它本身就是一个特殊的一个方程，所以里面呢，我们知道一些未知数如何解方程，求其他未知数，其实本质就是解方程的一个问题。

第二个就函数思想的应用将数列与函数相结合来进行分析。第三就待定系数法和分类讨论等方法的使用。是吧，就是一些待定系数法设一些未知数或者说分情况来讨论啊，这些分类讨论不要漏掉一些情况，这些方法的使用都要弄清楚。接下来看一下知导图，我们学习的知导图，那么它的重点考项主要是数列的基本定义就是一般数列它的。基本概念要弄清楚，第二个就是等差数列啊，一些学习内容等比数列学习内容，然后难点考项就是递推公式数列，一些应用题还有一些。常见的一些错误啊，

那么大家呢，要把它弄清楚。好，这是整个数列的一个基本的学习板块儿啊，在咱们整个考试里面等差数列，还有递推公式，这里面就是技巧性更强，难度会更大一点，所以大家呢？要掌握它地理公式，常见的处理方法。啊，对这一块儿备考建议，尤其针对基础比较薄弱的同学，最害怕这个符号好。

他的建议本部分是代数的难点，也是考生的薄弱点。在复习时给大家三点建议。第一个一定要理解通项公式和求公式，不要死记硬背，最好把公式有的呢，自己推导一遍，因为它推导一遍其实就是公式的推导过程，就是命题的一个过程。也是你解题的一个过程，第二个本部分符号比较多，希望大家能够灵活应用，不要看错了。第三个本部分文字应用题一定要学会是翻译成数学语言是吧，然后再带数列的公式去计算就可以了啊，

好，这是它整个备考的一些建议。接下来我们来看第二节，它的重点考项。首先看第一个就数列的基本定义，基本定义就是公共的定义，不管是什么数列等差等比还是其他数列，它都要满满足的一些定义和概念，我们一起来看看。啊，首先第一个就数列定义，什么叫数列呢？它按照一定次序排成了一列数啊，成为数列。啊，

比如说咱们的是。一三五七九唉，这又是一个数列是吧？然后这个数列好，这是它的数列的概念，按照一定次序排成一列数。啊，一般形式就a1a2a3到an好，那在这里面这个a1a2a3到ana 1都代表第一个数。知道吧，就有点像大家上学编学号一样a1就代表第一个同学a2代表第二同学a3代表第三个同学啊，一到an代表第n个同学。是吧，然后简记为an这样的一个思路好吧，用an来简记。

好，那接下来我们来看一下这个数列这个概念，它的理解情况对吧？理解成以正整数集。啊，为定语的函数，因为它的。变量个数都是以正整数，比如说第一个数，第二个数，第三个数啊，它的这个型号或者说它的有限值，有限值就相当于有限数列了。是吧啊，正整数集，

大家知道本身就是一个无无数多个正整数，那可能是其中的一部分。所以一定要把咱们前面讲函数的这个思想和观念来分析和解决数列问题，这是一些叫基本思路。另外还有递推数列是数数列特有的表示方法，它更能反映数列特征啊，什么递推数列，比如说每个数啊，那么都等于前两个数相加。啊，每个数都与前两个数相加，比如说第一个数是一。第二，第二数是三啊，从后面开始进行递推了，

比如说下一个数是前两个数相加，就一+3得到四。然后再下一个数，又是前两个数相加就三+4得到是七，再下一个数又是前两个数相加，正好就是11。再下一个数，又是前两个数相加就18啊，以此类推是吧？这个是一个递推数列递推数列应该是。这个数就等于它前两个数。相加是吧？等于它前两数相加，这叫做一个递推数列递推数列就代表是它前项后项之间这个关系式叫做递推数列。好吧，

它的这个方法。好，讲到这，咱们就可以围绕这个定义，可以概括一下一个数列，它的表示形式数列它的表示。表示有三种表示方法，第一种表示方法就列举法。就列举法，比如把这个数学都列出来，比如一三五七九都给它列出来，就像咱们嗯，班里同学一样，把每个同学名字都给列出来，好吧，

就这个一三五七九。啊，就是列举法第二个就是通项法。同样，什么叫通项呢？就是用这个an来表示，就代表通项，这个通项代表每一个都满足的是叫通项，比如说一三五七九，我可以把写成an=2n-1。一这样一个数列。n=1的时候就第一个数，n=2的时候第二个数，n=3的时候就第三个数，好吧，

这叫通项法，它的这个情况。第三个就是递推法。第一法，第一法就前后项之间的关系。它前后项。它的关系。啊，这叫递推数列前项跟后项，它之间的关系叫递递推数列好，这数列的表示三个方法，一个列举法，第二通项法，第三个递推法。好，

那么它的这个数列基本形式要弄清楚好吧，它的这个方法啊，要把它弄明白好，这是它递推数列，还有它的整个的含义要弄弄懂。接下来咱们看一下第二个通项公式，通项公式就是an=fn，这个fn就代表是一个函数好吧，函数这个并非每个数列都可以写通项公式，像有的数列它变化来说规律性不太明显。不能用表达式来写，这时候呢，就是不能写通项公式，另外有的通项公式也并非是唯一的是吧，比如考试，

它说一个数列。呃，对应唯一的一个通项公式，这是错的啊，错的大家要注意好吧，你比如说an。等于三减一，这个是一个通项啊，你可以把它看成这个，把它看成fn是吧，然后a一的值就等于三减一等于二。a2的值就等于三×2-1是吧？就得到15等等的好吧，所以说。啊，

如果要已知通项，我们可以干什么呀？已知通项可以求出任何一个任何一项，它的数值来啊，任何一项我们都可以求解出来。啊，如果要知道通项任何一项值，咱们都可以很容易把它解出来好，这是如果知道通项，我们可以干什么？可以把任何一项的值都可以很容易。解出来啊，这通项公式，它的用途要弄清楚好吧好，你比如求第几项，

比如求求a8。a8a8那么就把n=8带到里面去。是吧，然后这样就求解出来了，所以在这里面大家呢，通过通过公式可以非常方便求其他啊数值。接下来咱们来说说一下数列的前项和注意，它有个前n项和不是说任意n个数相加啊，它前项和什么意思？前项必须是从a1开始。从a1开始你不能说我，从第三个开始或从第四开始是吧？然后这个从第一个同学开始，就像咱班的a1就第一个同学，第一个同学一直加到第n个同学。

好，这是前项和前项数，求和。好，大家想想，如果n=1的时候，这s1s1就代表前一个同学求和前一个同学求和，是不是就等于a1啊？就等于第一个人。是吧，比如说咱们班儿问第一个同学求和，那就等于第一个人吧，好n=2就是前两个同学求和前两个同学求和s2。就等于a1加一二就前两个同学来进行求和。是吧，

这样的给它相加好，那么比如说啊n等于。七那么s7s7就等于a 1+a二。也加到AA 7。是吧，又加到这个a7这样的，所以从a一直加到a7，另外大家可以发现a+a二一直加到a6，其实这正好就是s6。是吧，这正好，它就是s6，然后再加上a7是吧，所以说这a+a二一加到a6，它正好就是s6的值。

正好就是is 6的值，然后s6的值，然后在这里面啊，这个s6啊就可以写出来是吧？写出来，然后再加上一个a7，所以通过这个大家可以发现一个什么问题啊，通过这个大家慢慢总结规律。就SN是不是等于sn- 1，再加上一个an，然后这块儿大家一定要理解这个公式，这个公式就代表前一个同学的和。就等前n- 1个同学，再加上最后一个同学，第n个同学就可以了是吧？

当然也也也有的呢，也可以把它写成这样的。你看sn-sn- 1，正好等于an。是不是这样呢啊？这样的一个方法啊，大家要知道，同样大家还要会分析这个刚才是用s7为例。还是用s7为例。s7大家一起来思考，就等于s5+1个什么。大家发现啊s7可以把前面a 1+a二一直加到a5，然后作为一个s5，后面是不是多一个a6和a7？多一个a6和a7的值是吧？

然后在这里面就是a+a二，一直加到a5啊，这样就s5是吧？所以说。大家可以想象一下，比如说前七个同学就等于前五个同学的和，再加上第六个同学和第七个同学是吧，然后对于学文科的或者基础比较薄的同学。讲到这，大家一定要记住，咱们数列两个符号，一个小写的a，大家记住小写的a。它代表是个体，个体代表什么代表每一个人，

每一个同学大写的s代表全体。啊大代表全体就全体，咱们班全部求和好吧，这也代表是全体。啊，这样的啊a代表是个体s，又代表全体，它这样的一个基本方法啊，思路要弄明白好，这是给大家强调的，它的知识点。啊，所以大家呢，要会分析通过这个，我们就可以写出它的这个值，

另外还要给大家强调，如果在做题中出现n- 1这个下标的时候。因为咱们这个下标不能出现零啊，比如说n等一的时候n等一的时候就会变成s0s0，它是没有意义的。是吧，没有意义，所以这时候呢啊，那么这个n呢，一定是大于等于二的，一定要注意好吧n呢，它不能取到一取到一的话，它就没有意义，所以n呢，从二开始。

好，这是它的前项，和和an它们之间的关系，要弄清楚啊，这是它的这个基本的方法思路。好，接下来咱们看第四个，第四个就比较重要了，前面都是比较简单的概念，第四个就是a与SN两者关系，两者关系刚才按照老师记得大家会学了，没有就an。把它小写的a都把它看成一个个体，就相当于想象着每一个人一样。s就代表全体咱们班儿整个的求和知道吧，

就这样想。好，第一个就是已知an求SN，如果要知道an来进行求SN，那我们呢？就可以把它写成a 1+a二，一直加到an，把它n个相加就行了。是吧，向下求和啊，这个求和咱们数学有一个简写的符号，用来表示这个求和就说I=1就代表起点。从一开始到n到n呢，相当于终点，这样AI就可以了，

好吧，就I从一到n，然后AI这个整个呢，这个求和。是吧，然后这个这这个求和大家注意，就是要采用一些列项抵消的小小技巧来进行求和啊，这个是如果知道每一个人要求全体就把大家相加就可以了。第二个啊，如果要已知SN求ann求an，那么要分段儿，为什么分段儿刚才咱们讲了？它下标这n- 1，它这个n不能等于1 n=1，它这个就为零，

所以在这里面咱们呢，要注意它这个n的取值，它是不能为零的。好吧，所以说n=1的时候要分开啊a 1=s 1n大于等于二的时候an就等于sn-sn- 1，用这两个差值来表示这个an。懂了吧，所以两个s的差就可以得到，这个是a啊，此外在有些特殊情况下，你写的表达式，有时候呢n等一的值正好恰好满足这个结果，这时候呢，可以把它。合在一起就不用分开写了啊，

如果你求完结果a的值不满足这个值，这时候呢，你就得分开写好吧，就分开分成两部分来写就可以了。好，这是它的这个两个方面，就是已知其中一个，求另外一个啊，那么这个思路要弄清楚。接下来我们看考试的解读，首先对数列要掌握前项和SN的定义和求解方法。另外。数列元素与求和是考试重点。啊，就是元素与求和的关系，

比如说an和SN的关系是考的重点啊，这一块呢，考频率级别是属于中等的。好，接下来咱们看一下命题的方向好吧好，如果第一个已知an求s已知an求s，那这个简单是吧？利用这个。呃s的差值来求解就可以了好吧，所以在这里面咱们来看一下它的求解方法。好，首先咱们看一下例一这个题啊，如果数列a呢？前项SN=1个n方加一问a5的值到底等于几好，那我们知道n要等于五的时候就a5的值。

a五个值是不是等于s5-s四？大家想想是不是就是这样去记嘛？就是第五个同学就等于前五个同学的和去掉前四个。把前四个人去掉，就得到第五个是吧？然后s5又等于几s5就等于五的平方+1。s4可以写成四的平方+1这样的是吧？所以s5就等于五的平方+1s4=4^2+1，然后这俩一就约掉就得25。减掉16得到是九，那就这个答案应该选择的答案就求解出来，选的是a选项好，这是它的做题方法是吧？a5的值就求解出来了。所以通过这道题，

大家呢，要掌握它的考试内容和要点。啊要会唉，求出它这个a5的值，或者让求a8的值也可以求解出来一样的是吧？通过这道题，大家呢要？掌握一个非常非常重要的啊一个。结论就是大家可以发现，把这个SN中的后面常数项这个一把它改成三把，它改成四，或者把它改成其他值。其实这个a5的值是不影响的，你想想为什么？因为这个常数，

它在减的时候正好就抵消掉了，这个懂了吧，所以它就抵消掉了，所以它跟这个常数就没有关系，不管把这个一。改成其他数改成什么数？那这个是没有关系，那这个常项影响什么呢？比如说n=1的时候要求这个a1的值，这时候是影响了a的值等于s1就等于一+1就等于二。所以说在这里面，如果你把这个常数项一改成其他值，这时候呢a的值是呃会变化的，所以这时候呢，大家呢，

要注意它的方法好吧，那接下来我们呢？啊，就可以给他总结一下，就SN不管什么数列SN中的。常数项。啊指影响。a1啊，不影响其他值。啊，只影响a，不影响其他数值啊，就是a2之后的值都不影响，那不影响其他值，那怎么办呢？

比如说我们在求a2或者之后的a5，我们可以直接把这一给它去掉以后呢？咱们后面在讲课的时候，直接把这一去掉，你不要问为什么了好吧，这个做题就会快一些啊，所以大家呢，要把这个结论呢，要给大家记住啊，这是给大家强调的这个结论。好，接下来咱们看一下啊，第二题已知数列an的前项和SN满足这个值求a这个值，其实这道题跟上一个题大同小异，只不过第一步先把这个。

啊，这个什么对数呢？给大家做一下化解是吧？所以有题大家知道啊，这个对数我们就可以把它写成二的，这么多次方对吧？所以SN再加上一就等于二的n+1次方。那SN就等于二的n+1次方再减一，然后这个结果把一给它挪过来减一，然后接下来他要求a6的值到底是多少求？求a6的结果。求a的值。啊求a6的值的话，那接下来我们可以看一下，刚才咱们讲了这个a6的值跟这个啊，

跟这个后面常数是没有关系，所以接下来我们就省略了啊，你要看懂为什么？所以a6的值就等于s6-s五，所以说后面这个常数负一就扔掉了啊，扔掉那s6就变成二的七次方。s5就变成二的六次方。对吧，六六次方这个大家注意二的七次方减二的六次方还等于二的六六六次方就等于64，这个要记住常用的方幂知道吧？啊，所以说在这里大家注意二的。啊n+1次方减二的N次方还等于二的N次方，这块想想为什么？因为这个二的n+1次方，

我们可以把它看成二×2的N次方。是吧，所以这个二的n+1次方把它看成两倍的二的N次方两个二的N次方减掉一个二的N次方肯定还剩下二的N次方是吧，然后这样就求解出来正确答案，就选择c选项，所以大家呢，就可以发现。这个常项啊，不影响a6的结果，所以说我们把常项给它扔扔掉，然后再去解，另外常见的方幂一定要最好能把它记住好吧，从二的次幂。到二的十次方，大家把它背住，

这样的话啊，能提跟提升咱们的解题速度。好，接下来咱们来看上面两题呢，是求其中一个a，接下来它要求多个a是吧？你看求好多个a。啊求好多a在这里面，我们来看一下它应该怎么来求解好这道题，当然你不可能说我把a6求出来a7求出来，把每个a都求出来，然后再相加，这肯定有比较麻烦。所以大家记住，出现序号相连续的。

它求和。我们就可以写成什么了，写成这个就可以写成s10啊，就前十项和啊s10减掉前五项和。大家把手伸出来，就相当于是前十个数，它的和把前五个数扣掉，剩下就是第六个数，第七个数到第十个数，它的求和。是不是这样的好，那接下来那s10如果这道题要把n的三次方后面加上一个常数，这时候常数仍然是不影响。知道吧n的三次方后面加上一个常数，这个是不影响的，

因为两s相减，这个常数减掉了，所以说这时候呢，只考虑前面这个符号就可以了。然后唉n的三次方就是相当于十的三次方减五的三次方，然后就等于1000减去幺二五就等于八七五。好正确答案，就选择e选项好，这是他做题的方法思路，看是不是懂了，所以通过这道题，大家呢啊就是啊，把这个多个。a相加啊，比如说。

am+am加一一加到AK。啊，它应该等于sk-sm- 1知道吧？当然这个k要大于m。啊k要大于m，所以这是给大家强调的，咱们写那么多公式，千万不要死记硬背，死记硬背是没有什么用的，你把这个理解了，这道题根本不用去背是吧？考试不管从a几开始到a几结束。然后呢，就用两s相减去解就行了好吧，所以大家呢，

要掌握这样的一个解题的方法和思路啊，就别给写错了。好，接下来咱们看一下这个题，它说数列n的前项和s=10 N次方减求n的通项公式，求n通项公式，咱们先按照。基本的通项公式步骤第一步，先是n等于一的时候n等于一的时候，大家知道a一就等于s一就等于十减一，正好等于九。要等于九啊n大于等于二的时候n大于等于二的时候，这个an就等于sn-sn- 1啊，刚才咱们讲了两s相减的时候，这个后面常项是不影响的，

可以把常数去掉。就可以得到十的N次方减十的n- 1次方，这个大家不会算的同学，我给大家写写这十的N次方可以写成十×10的n- 1次方。减去10 n- 1次方是吧？所以10N次方可以写成十×10的n减减一次方，这样的一个思路是吧？然后在这边大家可以发现这两个都是十的n- 1次方。所以变成九×10的n- 1次，方得到这个结果是吧？所以这两个相减就是九×10的n- 1次方。啊，这样的一个式子好，那这样我们就写好了是吧？然后这个an我们就可以可以把它合在一起，

现在呢，我们要做一个工作，就验证一下这个n等一的值是否满足后面这个表达式？所以大家可以看后面这个表达式，当n=1的时候正好是十的零次方，十的零次方正好为一正好为一正好是九，那这个为九这个它也为九，所以两者是一样，既然两者是一样的，综上我们就可以写成。这个an就等于九×10的n- 1次方就得到这个结果。然后呢？如果啊，如果他这个这个把这个减一改成减二或者改成减三。这时候呢啊，

那么它这个a的值就得分开写了，知道吧，如果这个减一改成减二或者减三，那这个a的值你算的结果是不满足这个式，不满足这个式要分段儿写。好，这是给大家讲的，它同项公式的啊，一个基本的特征啊，所以说大家先按照正常的写，然后再验证一下a1是否满足，如果a1刚好满足就合在一起写。如果a1要不满足就分开，知道吧，而且还要记住这个SN后面的常数项只影响首项，

不影响其他项，要记住这样的一个方法。接下来咱们看一下第二个已知an求SN，已知an求SN，我们呢，就采用这个求和的方法来进行分析是吧？求和把它进行。求和求和的时候，这是我们通常要采用列项各种列项方法，要知道好吧，列项以后呢，就抵消抵消来进行求和。就是分解以后再组合，把它每个裂开裂开，然后再组合中的具体应用立案法，

实质将数据中每一项给它进行分解，然后再重新组合，使它消息一些项最终达到。求和的一个目的啊，这样就OK了好吧，求和的一个方法，求和的一个目的。好，那接下来咱们看一下这个题，在数列an中an等于二分之NB n等于这个式子求b呢，前项前九十九项和到底是等于多少？好，那这道题它an的值知道了，那BN我们该写写。b应用分析一下，

先把BN的表达式写出来，BN表达式怎么写呢？首先这个分母的这个n要给它换过来是吧？an就等于二分之n乘以一个。an加一就是二分之n加一啊，然后把这个二呢都给它翻上来好吧，这个二都给它翻上，翻上来就变成八。n乘以n加一这样的啊n乘以n加一这样情况这样情况，然后咱们学过这个分式列项，我们就可以把它列成n分之一，减去n加一分之一，把它列开。好裂开以后，那接下来b的前99项和s99我们就可以写出来了，

99就等于b1B2B3一直加到b99。把每一个都用这个裂开的式来表示，因为每一项都有八可以把八给它提出来，提出来第一项n等于一的时候就代表变成一减二分之一。加上二分之一减三分之一。啊，一加到。加到后面，后面相当于是啊，这个九九九的话就相当于九十九分之一。减一百分之一，然后做到这，我们就可以把这个呢给它进行抵消掉。是吧啊，给它进行抵消，

这样的抵消完后就剩下一个什么剩下一个。一减去一百分之一就等于八乘以一百分之九十九，然后剩下可以约掉一个四。幺幺四变成25，然后再变成幺九八，好，这个呢，应该选择是d选项是吧？这样写好了。通过这题，大家要掌握的呃就是一个列项的公式，分式的列项要知道好吧，所以公式这个要知道。啊，就是n乘以n加k分之一，

然后这时候呢，我们就可以把它分分成这个k分之一，括号n分之一，减去n加k分之一。注意啊，一般咱们特殊情况下是k=1的时候用的比较多，k=1的时候就n×n+1。最好等于n分之一减去n加一分之一好，这是k等于一的时候，咱们用的是比较多的。当然，如果k要等于二k要等于二的时候，那么这个就是n乘以n加二分之一就等于二分之一，然后这个剩是n分之一减去n加二分之一。好吧，

这样的一个情况啊，所以k点二的时候前面有二分之一不要漏掉了好吧，这是给大家讲的这个列项，它的一个公式。此外的话，咱们还要知道咱们在抵消以后它的一个首尾的特征，所以说呢，如果前面剩是正的，后面那个剩是负的。知道吧，如果这一块儿剩的是前面的一项，这块儿一定剩的是后面一项，有它的位置是相反的，它的符号是相反的好吧，所以首尾它的一个特征要明白啊，

抵消以后它的特征和规律要弄清楚。啊，接下来咱们看一下这个题数列an的通项公式是an等于根号n加根号n加一分之一，若前项和。为十则项上n等于几啊，如果它的和这道题反解这个n，首先大家注意这个根号，我们要把它列开。裂开其实大家知道根号n加上根号n加一分之一，这样等于根号n加一减根号n，通过咱们根号的一些运算，这要知道。好吧，这个要知道它的基本的方法，根号运算好an就等于根号n+1减根号n，

那接下来我们呢再来进行分析。好把每一个都给它裂开，所以SNS减一下sn sn就等于a一加a二一直加到ana一的值就等于根号二减一。a2只有等于根号三减根号二。所以一直加到啊an的值就是根号n+1减根号n。然后接下来我们把一些相同的给它抵消掉，看根号二根号二，这个抵消掉根号三根号三，抵消掉，注意前面如果剩的是负的，记住后面那剩的是正的。知道吧，如果前面剩的是这个后一项，后面一定剩是前一项好吧，它的位置。

是相反的符号也相反，然后这样化简完就等于根号n+1-1个一，这样正好等于十。实话，然后这个根号n+1就等于十一十一平方啊，然后再解出n就等于120这个呢，选择b选项，当然就求解出来了。好，这是它的做题的方法好吧，然后这个题目的收获就是列项公式，我们给大家写上啊，它的公式。公式就根号n加上根号n加k，这样就等于一个k分之一括号根号n加k减根号n。

然后咱们用的比较多的就k=1的时候k=1的时候，刚才咱们写的有根号n加上根号n+1。就等于根号n+1减根号n。然后k等于二的时候要注意，前面要有个二分之一啊，不要给写错了啊，所以k等于二的时候很多同学在考场。容易这个二分之一容易漏掉啊，这样的话就掉到陷阱里面去，或者是犯粗心错误了，好吧，这是给大家讲的根号的列项的公式和方法，大家呢，要把它。弄清楚。

啊，这是列项根号列项。接下来咱们再看一下啊。例七，这个题。s99=2的阶乘分之一一直加到后面，这个值到底等于多少？大家注意这个题，大家首先要写通项。知道吧，首先写通项，因为这道题跟上题区别不不一样点就是上题的通项知道，所以我们一定要先写通项，如果通项没告诉你先写通项，对通项进行变形完。

然后再来唉，进行分析啊，所以先写通项。同样an这个怎么写，同样呢，你观察这个分子一二三一到九九是吧？所以说这个就是n。这样一二三分母就是n+1的阶乘，然后写完以后啊，你自己试几个，比如说n=1的时候是不是这个值那a1的值？啊a的值a的值正好就是。二的阶乘分之n是吧？a2值正好三的阶乘分之二是吧？这个符号代表阶乘啊？

这个加感叹号又代表阶乘。什么是阶乘？阶乘就代表从这个数一直乘以乘到一，知道吧？比如说n的阶乘就等于n×n- 1一直乘到。一这样的知道吧，比如说五的阶乘就等于五四三二一。三的阶乘就等于三二一就这样的，当然规定零的阶乘和一的阶乘相等都等于一好吧，就规定零的阶乘也为一啊。啊，就这个简单的阶层，一些运算给大家进行说说，忘记同学呢，大家再温习一下好，

接下来那这个通项写完了。先写同样，然后再列项。在这一项，那怎么去列呢？一般就给它加上一个一减一个，一做一下变形就可以了好吧，加一减一做一下变形。好，接下来an。你把这个分子。分子分子的话，这个n我们可以把它变成n，给它加一个一再减一个，一做恒等变形，

做成变形，然后咱们以这个减号为界。以这个减号为界，把它拆开就变成n+1除，以n+1的阶乘减去一除，以n+1的阶乘。然后上下把n+1约掉n+1约掉，正好就是n的阶乘。这是后面是n+1的阶乘，这个明白吧，所以在这里面大家呢，要注意这个公式啊，叫n+1的阶乘。正好等于一个n+1×1个n的阶阶层，知道吧？

比如说大家可以看这个五的阶层，五的阶层可以把它写成五。乘以一个四的阶乘。对吧，所以五的阶乘可以把它写成这个五的值乘以后面这一块儿就正好是四的阶乘这样的，所以说它有这样的一个公式怎样呢啊，要明白。好，那么得到这个式以后，那接下来我们呢，就可以把每一个这个a给大家进行进行带到里面去，最后呢，再求和就行了，最后再求s99。那就就n等于一n等于二一直n等于九十九n等于一的时候就a一的值就一的阶乘一的阶乘分之一减去二的阶乘分之一。

加上n等于二二的阶乘分减去三的阶乘分之一啊一加到。啊九九啊九九九的话，那么n等于九九n等于九九，相当于是九九阶乘分之一减一百的乘分之一九九阶乘分之一减一百的阶乘分之一。好，这样的。好，那接下来我们两个呢，这都给它约掉好吧，约掉抵消掉以后大家可以发现前面剩的是正的，后面一定剩的是负的啊。好吧，这个化简完啊，就等于一减去一百的阶乘分之一答案就求解出来了，所以这道题正确答案应该选择的是a选项。

好，这是它的做题思路和方法，大家看是不是明白了，所以通过这道题，大家记住这个公式公式呢？就在这好吧啊，公式公式就记住。写一下吧，这道题的公式。那就n+1的阶乘。分之n等于一个n的阶乘，分之一减去n加一的阶乘，分之一是吧？然后呢？用这个公式啊，

来去写就OK了好吧？有它的基本公式啊啊，这个方法好看，这个明白没有它的这个基本的思路啊。好，接下来咱们看一下啊，这个题这个题也是出现了很多阶层，首先呢，还要先写通项。啊线性通项通项an这样的n×n的阶乘是吧？线性通项就an。等于n×n的阶乘，你看你写完后试一试知道吧？n=1的时候第一项n=2的时候第二项n=3的时候第三项。是吧，

然后试一试啊，试一试，先把这通项给大家写出来。这样写的话，然后接下来我们对它进行变形啊，再列项。这一项那怎么列呢？你要把这个n给它加上一个一减一个一知道吧an。这个n呢，我们可以把它变成n+1个一再减个一做一个恒等变形，然后再乘以n的阶乘。这样话以这个减号为界，以这个减号为界就是n+1×n的阶乘n就变成多写项n+1×n的阶乘。再减一×n的阶乘，这样的好n+1×n的阶乘n+1×n的阶乘，

最好是n+1的阶乘。然后减n的阶乘是吧？这就这样的n+1的阶乘减n的阶乘这样an的四就写好了。需要那么s99就可以求解出来s九九那么n=1的时候，那么相当于是n=1的时候是二的阶乘。减一的阶乘啊，这是第一项，第二项就三的阶乘，减二的阶乘。一加到最后一项，最后一项相当于n七九十9n七九十九，相当于是100的阶乘减99的阶乘好，那接下来我们就可以抵消是吧？抵消大家可以看到这个二阶乘抵消掉了。30天抵消掉，

记住前面如果剩的是负的，后面应该剩的是正的，知道吧？然后呢？这个正好等于100的阶乘再减一。好这个呢，应该选的是c选项，答案就求解出来了，好这道题所用的公式，咱们给大家进行总结一下公式。或者有n×n的阶乘最后化简完就等于n+1的阶乘减n的阶乘好吧，这个给大家念。总结的一个基本公式啊，公式呢啊，要记住好，

这是我们给大家进行讲的常见的列项的手段和方法。好，那么以上就是数列的一个公共的一个概念啊，一个定义以及它公式，一个辨析，大家把这个知识点要掌握清楚。

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