4-07特殊不等式（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:46:38

下面我们来学习模块七特殊的不等式，特殊不等式跟特殊方程有的呢是类似的，比如说像指数对数啊，都需要换元变形处理啊。然后分式不等式啊，也要相应的处理，接下来我们来看一下特殊不等式对应的求解方法和思路。好那么特殊，不等式首先比较重要的，我们来看一下。就是绝对值。好，那绝对值不等式呢，也是咱们考试重点啊，像绝对值方程啊，

绝对值不等式啊，绝对值咱们反复强调也是一个必考点。好，我们来看一下解绝对值不等式思想是去掉绝对值符号呃，绝对值不等式比绝对值方程它的方法呀，要更复杂更难一点，因为它有个不等号。有时候还涉及到不等号的变号问题啊，所以把含有绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的，也就是把绝对值符号想方设法给它去掉。常用的方法有第一个分段讨论法呃，这个分段讨论法跟咱们讲的绝对值方程，它的方法呢？是相通的啊，这个分段讨论法。

是没问题的啊，所以都可以用是通用的，只不过在分段讨论法啊，它就把一个题变成两个题，它运算量会比较大。呃，分层讨论法适合于什么呢？适合于比如说。呃，绝对值符号比较少，还有一个绝对值符号，而且绝对值里面次方又比较低，比如说就含有一个rs+3。而且里面呢就呃x呢，就一次方这样的话就可以适合分段讨论法来做。

第二个就是平方法啊，平方法，平方法，有时候这个绝对值遇到平方以后，那么这个平方啊，它这个就可以把绝对值呢给它去掉。呃，这个方法呢，就相当于是两边次方升高了，但带来的好处就是呢，它的绝对值去掉了，所以要。呃，权衡一下这个付出的代价和收获是否值得啊？所以根据题目要学会选是否用平方法。

第三个就是公式法，公众法，公众法，那么就相当于是fi绝对值小于a，就变成一个fi大于负a小于a。啊，这个情况，那我要给大家强调的是变成fi大于负a小于a这个不等式呢，就是一个连不等式啊，连不等式怎么去解呢？要把它拆成两个的啊，拆成两个，所以说这一块儿呢，要拆成两个，拆成fx。

然后大于负a一个fx小于a啊一个。fi小于a，这又是一个，所以拆成两个啊，这两个呃，求完后要求它的交集，为什么要求交集呢？因为要保证两个同时要成立，所以。这个求的是交集啊，这是给大家说的这个内容啊，然后第二个就是fx绝对值大于a fx绝对大于a，就说明fy小于负a或者fy大于a。就f还是要小于负a或者f要大于a啊，这个注意这个是或的关系啊，

这个或上面这个是且的关系。啊，别给做错了，它是且。好，那这是公式法好，那公式法那么也可以扩展也扩展这个a呢，它可以换成。相应的。一些表达式，比如f小于gx好，这时候呢，gs必须得为正的啊，必须是得为正的，因为如果gs要为负的话，

那这个表达式就不会再成立了。因为左边这个绝对值，它是非负的是吧？你可以把它看成正的，然后右边呢？如果要是负的话，这个本身就是矛盾的啊。好，那么第二个就相当于是fh大于gx，如果这个gx要为负的话，那这个就是它本身就是成立的好吧。所以gs要小于零左边呢，是呃非负的，所以右边要是负的，所以它这个呢，

就是肯定本身成立好，如果gs要为正的话，也可以套上面的公式来进行分析。和思考好，这是公式法，它的一个使用情况。好，第四个就是图像法，图像法这个我们前面在讲各类觉知图像的时候给大家进行分析过，我们在讲觉知方程的时候也给大家进行分析过图像，所以这个图像化。咱们一会做题，岳老师再给大家进行分析啊。好，接下来我们就呃讲讲这个绝对值不等式，

它的相应的考题情况啊，好，那么这个题它说它的解集中包含几个适应的质数？啊就就是这道题，第一种方法可以把它解集呢，求出来求出来以后，然后再看它解集里面包含几个十以内的质数。啊，第二个方法的话就相当于适应的质数呢呃，就四个啊，就四个，大家想想质数我们学过的内容就四个就二三五七。是不是就四个？二三五七四个质数好，四个质数啊，

你大不了就一个个验证一下，听懂没有？就是比如二代到里面去行不行？三代到里面行不行？五代到里面行不行？七代表。带到里面行不行？就大不了呃算四遍好吧，算四遍你看四个里面有几个这样啊，也能算出答案来。好，这是实在不行，考试上就可以这样去验证，当然如果这个质数它的范围比较多，比如说20以内的质数，

20以内的质数，我们知道就有八个。啊，就有八个话，如果把八个都带到里面算八遍，那估计运算量呢，可能就稍微大一点是吧，所以说这是给大家强调拿到这道题的分值。分析思路，接下来我们先把它解题求出来啊，我就训练一下第一个方法就是解题求出来，第二个方法就把二三五七带到里面自己去试，那么我课堂就不再讲了啊。好，那接下来大家看一下这个题，

这个题的话，那么大家观察一下它这个2 s- 1是不是这道题只含有一个绝对值，而绝对值里面？呃，这个次方。它是比较低的，所以我们可以采用分段讨论。分段讨论做。啊，分团讨论法，分团的话，我们就可以看一下，当这个x如果大于等于二分之一的时候。它大于等于二分之一的时候，这个表达式可以把绝对值给它去掉。

大于2 x- 1是不是这样的，使它大于2 x- 1好，这样就可以把绝值给它去掉。去掉以后，然后我们再呃把它一项合并变成x方减3x。减四大于零。好大于零，它的它这个十字相乘，可以因式分解，然后呢，可以分出它的啊，这个根来。啊，它的根它的根，一个是负一一个正四，

因为它大于零，咱们讲过大于零，它的解就取两边啊，取两边就是呃小于负一或者大于四。但是呢，在这里面它要求的是。s大于等于二分之一，所以说只能取。x大于四这样的一个。区域啊x大于四好再我们再看当x大于二分之一的时候。啊当x小于二分之一的时候。好x小于二分之一的时候，那么这个绝值去掉就是负的了是吧？x方减x减五大于一减二x。然后这个把它移项一项就可以变成x方加x- 6大于零，

是不是可以把它给它移过来？移过来就变成x方加x- 6大于零，但是那它的根也可以进行十字相乘，因式分解。啊，一个根是正，二一个根是负三好，那么这也是大于大于零，它解意也是在两边是吧？两边应该是解意应该是大于二或者小于负三。因为x要小于二分之一，所以只能取。x小于负三好，那这就写好了，写完后那在这里面我们就可以判断它解集包含几个适应的质数啊，

因为大于四，所以它只能是包含五七。这两个质数5g，这两个质数，所以这个呢，就选择c选项好，这是采用分段讨论啊，它的画的方法啊，这种方法可以。好，另外这道题还可以采用画图的方法，做好画图方法做，我们再给给大家进行演示一下画图方法，做这个大家笔记都记完了，我们就把这个擦掉了啊。

接下来我们就看一下画图的方法，做好的方法，做的话，那就画图分析。后来问你左边就是y等于x方减x减五好，那这个就代表开口向上的一个抛物线，它对称轴正好就是二分之一。啊，开口向上抛物线好，右边就是y=2 x- 1的绝对值，大家回想一下咱咱们之前讲到这个绝对值，它的画图的方法。和方法就相当于是它是一条直线，把x轴下方给它翻上去是不是这样的，所以我们就想给它画画图。

好，我们来画一下它图像。好，这个抛物线是对称轴，是二分之一，然后它开口向上，它在y轴的交点是负。好y轴交点，这是负好这个写好了好，然后另外这条直线大家先画，不带绝直图。图像y等于二x减一y等于二x减一，它也过这个点过二分之一，这个点是不是好刚好刚好过这个点？然后当x=0的时候，

它过负一。这个点。好，然后咱们把x轴图像呃下方图像给它翻上去，翻上去呢，我们就可以画出来。好，这是这条线。好就画出来了好，这是这条直线加绝对值，它的画图的方法好，这个画图方法找到以后，大家可以发现它要求这个抛物线。啊，要大于这个绝对值是吧？

抛物线要大于绝对值的话，就在这个焦点的两侧。啊，焦点的两两侧接下来是不我们要找这个焦点呀？好找这个焦点怎么找呢？我们来看看啊，想办法求一下焦点。接下来，大家可以发现，这条线它是不是没有进行翻转？没有，是翻转啊，没有翻转的话，就相当于是它还是它本身啊，还是它本身所以说。

让x方减x- 5=2 x- 1，因为要找两个函数的交点，让两个函数相等就可以了。好相等呢，这样就可以得到x方减3x。减四=0好，当然它求的是有两个值了，两个值，一个负一，一个四是吧？好，这个负一，这个值要舍掉负一，这个值是哪个呢？就是这个虚线。

所产生的焦点，这个坐标呢，就是负一，当然咱不要了，咱们就取这个四好，所以这个焦点呢，就是四。然后左边这个焦点是什么？左边这个焦点是不是把直线在x轴下方给它翻上去，翻上去相当于是把这个整体加一个负号，就x方减x- 5。等于一减二x，然后这个大家把它项变成x方，加上x减六等于零。就得到x=1个负三或者正二啊，

负三或者正二，然后这个正二这个不要了，因为你把左边这条线虚拟的给它进行延长。所以说你求的另外一个交点是在正二是在这，这个就不要了，所以说就取负三，所以这一块呢就是负三。好负负三负三，找到以后，那么它解集解集，我们就可以看到x小于负三或者x大于四。好，这样的情况，这样就写出来它的这个结果了，好，

这是给大家强调的这个特征啊和方法。好，那这道题有同学说老师我能不能用公式法做，用公式法的话，大家呢？一定要保证x方减x- 5大于零，但是呢，它要大于零的话，到时候你还得。去验证啊，所以用公式法做的话，你可以把这个2 s- 1。看这个整体看整体的话，那么要公式法的话，就是把它看成2 x- 1小于x方减x- 5。

好，那就变成了2 x- 1小于x方减x- 5大于负的x方减x- 5。是不是这样的情况，所以小于x方减x- 5大于负的x方减x- 5，然后而且最后还要要求x方减x- 5。要大于零好，但是用工程法，你可以发现这个显得麻烦，是不是最后尤其你还要去验证啊？这个是是否成立？所以这个过程法可以写，但是呃，你思考一两步可以发现这个功量太大，所以这个方法咱就不要求了啊，所以这道题给大家已经讲了好几个。

处理方法，大家要会思考。好，下面咱们来看这个题。啊不等式，它大于二的解中包含几个正奇数。好，那接下来我们看它有几个正奇数。好，那这个题我们可以看到，它属于绝对值，绝对值的话，我们要看绝对值个数和绝对值里面次方来决定用什么样的方法。首先，大家看绝对值是一个，

另外，绝对值里面是二次方。为什么这就分段讨论就不适合好吧，分段讨论这个就不适合。啊，这个里面讨论起来比较麻烦，如果要一次方，那好讨论好接下来这道题可以用公式法。公法，公法，公法适合什么呢？就一个数。这个fs表达式的绝对值大于a，我们就可以写成fx大于a，或者说是fx小于负a。

这样的是吧啊，这样的一个情况啊，如果fs小于a。啊，那我们可以把它写成fx大于负a小于a。好，那这个公式公式法当然a要保证是正数啊，这是公式法，只要是一个绝对值，然后这块儿都可以用公式法。啊，右边是一个常数，或者右边是一个正的，那么这块儿都可以用这公式法来做啊，接下来这道题我们用公式法来进行分析和思考。

好就相当于是它可以变成x平方减2 x- 3。大于二或者说是x平方减2 x- 3，小于负二。这样的好，那大家把二给它移过来，移过来又变成x方减2x减这个把二移过来就减五。大于零或者说x平方减2x，然后把负二给它移过来。那负二极y就相当于减一小于零。然后接下来那这个十字相乘就没法写了是吧？我们呢？就得用求公式做。你问它呢，它这个应该在两根之外啊，两根之外，

所以说x应该小于小根，小根就是2a分之负b加减根号delta就减去。然后b方减4 AC啊b方是四啊，就看下德尔塔b的平方是四。四然后呢？减4 AC。啊，然后这一块儿我们就可以看它，德尔塔德尔塔大家会算吗？德尔塔减的b的平方嘛，减4 AC。是吧，就是20。然后这样就等于24。然后或者说是x大于。

呃2a分之。负b加上根号dot。是吧，这样的好，这是前面这个就给大家解好了，前面这个不等式，大家用求公式来进行分析和思考。当然，根号24，咱们一会再化解。所以大家只能用求公式来进行分析和思考。好，那接下来我们来看一下啊，右边这个啊，右边这个是右边这个是的话，

它这个小与小零应该取两根之间仍然是或啊。或就2a分之负b。加上根号德尔塔，它德尔塔等于几德尔塔等于b的平方。啊BB的平方是二。二的平方就是四是吧？四然后减4 AC+4就是八。就是二分之二减根号八好，那咱们把它再稍微画画，再画画就可以得到这个这个根号二十四可以发来发现可以写成二倍根号六，所以说。这边x小于一减根号六。或者x大于一加根号六。然后或者说后面这个后面这个大家知道根号八可以写成二倍根号二二倍根号二就一减根号二。一加根号二好，

这样的好，再等它问呃，这个解意包含几个正奇数，这时候它有无数多个正奇数？啊，有很多个啊，无数多个。啊，这个答案就选择e选项是吧？这有很多个好，这是第一个，因为在这个区间里面有很多个正奇数。好，这是方法，一方法二我们呢，

就可以用平方法。啊平方法，这里可以用平方法做。平方法适合什么呢？适合两边都有绝对值，比如a的绝对大于b的绝对值，然后这样的话，我们可以把它写成a的平方。大于b的平方。然后大家用到平方的时候，一定要给它移项，用平方差公式啊，把b方给它移过来就变成a方减b方a方减b方可以写成a+b×a-b。它大于零是吧？就a+b×a-b，

它大于零，这样的情况。啊，就是a方减b方a+b×a-b，它大于零，这样的一个思路，这样就弄好了是吧？然后大家呢，就套这个公式啊，套这公式。所以这道题我们呢，就可以把这个x平方减2x。然后减三。绝对值大于二，我们可以把这个b呢，

当然可以看那个常数二，因为大家知道这个二可以写成二的绝对值是吧，这个是不影响的。所以我们呢，中间这个过程就可以省略啊，两边平方这个过程可以省略，直接把它看成两个相加乘以两个相减。然后两个相加，两个相加就x平方减2x相加。然后在两个箱体。然后接下来大家把这个四个根写出来，四个根，当然这个十相乘没法分，四个根，然后再用穿线法。

来做好吧，所以前面这个根前面这个根刚才咱们已经求解出来了好吧，所以说根根呢，这个前面根就一减根号二。一加根号二后面这俩根是一减根号六一加根号六。是吧，所以在这里面大家呢，就可以把它根求出来，好根求出来以后，然后画数轴用穿线法。穿线法什么时候用就高次，它相乘的大于或者小于零，右边一定要变成零，这里的不等式，我们就可以用穿线法来做。

好，大家一起来画个数轴，你可以看到这是一减根号六。这一减根号二，这一加根号二。这一加根号六。啊，那这样写，写完后，然后咱们讲过穿线法还记不记得从什么地方开始穿，一定要从右上方开始穿啊，从从右上方这边儿。这边儿开始看。好，那穿完以后呢？

我们要大一点，要找这个上边的这个区是吧？大一点要找上面的这一块儿。好，这样就行了，找上面这一块儿，上面一块儿就可以得到它的这个解集，就x小于一减根号六。或者一减根号二小于x，小于一加根号二，或者说是s大于一加根号六。啊，这是它解集解仍然它有无数多个奇数，答案仍然是一样的好吧，所以这是平方法平方法适合这种情况就是平方。

知道吧啊，那么这是它的这个思路平方法。接下来那么有同学可能还会想到图像法。图形法大家这道题我会画ax方加bx+c整体加角是图像，整体加角是图像，它的画的方法是下翻上。就x轴下方给它翻上去，知道吧？就把一个抛物线，它x轴下方去去给它翻到上方就行了。好吧，然后接下去为止好，这样的话，你把它翻一下啊，就这样的，

我随便画一个示示意图。啊，这样的话，你把这个下面。给它翻上来好吧，翻上这个加绝值它的图好，那接下来咱们来看一下这个题，这里就是左边呢，就是x方减2 x- 3。它的图像啊，我们自己来画一下就y等于局域值x方减2 x- 3。然后右边呢是二二，我们再画一个y=2 y=2很好，画y=2就是一条水平线。y=2很好画好，

那接下来我们来看一下啊，它的这个思路。好，那首先我们把它的图像画的这个图怎么画呢？这时候大家首先呢画呢？不带角色图像，不带角色图像画它的里面的开口向上，对轴为一。它这个在y轴的截距是负三是吧？这样的一个抛物线啊，它对称轴正好为一。正轴为一，然后它这块儿是负三啊，这样的一个抛物线。啊，

这样的一个抛物线，然后呢？把这个下方给它翻上来就行了啊。啊，现方给它翻上来，这个点这点负三翻到上面去，变成正三了好吧啊，正三。好，那这是它翻翻后图像，然后再画y等于二一条水平线y=2肯定比三这条线要低一点儿是吧？比三这条线要低一点儿。所以这样。y=2啊比三这个要低一点儿啊，这个y=2这个就写好了写好，

然后呢，它要它要大于二大于二要找这个线上方的区域对吧？找线上方上方，然后就接着上方。对吧啊，找这个上方区，这能看到吗？所以接下来就要找焦点，所以图像法的优点是比较直观。啊，然后呢？对做选择题来说非常快，大家发现然后这一块儿去它它这个基数就有很多了。是吧，就是正的基数嘛，

这种正的基数只要是呃，从一开始的基数是吧，那它这个就有很很多很多无数个，所以做到这儿你不用记。你可以快速看出来，它有很多很多无数多个。懂了吧啊，那么呃，如果要求解的话，怎么求求解的话，那就找焦点知道吧啊，找焦找焦点，这个焦点刚刚咱们已经解过焦点的话，这个用只能用求公式了。就像x平方减2 x- 3中间这两个交点，

这样的中间这两个交点啊，然后它图像呢，是翻了一下，翻了一下，就让它等于一个负二。知道吧，中间这两个呃焦点，这中间两个焦点，这还是刚才咱们算的，就等于一减根号二和一加根号二。啊，这样的中间两个地方交点，这个写下来。写下来就是一减根号。一加根号二，

然后左右两个焦点，左右两个焦点，因为它的图像没有翻原汁原味儿，原汁原味儿的话，那么这个就x平方减二是减三。正好等于二，等于二就相当于是把这二移过来，移过来哈，然后解出来有一减根号六和一加根号六。这样的是吧？所以这个就一减根号六。和一加根号六。啊，就一减根号六和一加根号六啊，这样的一个情况好，

这个呃能能懂吧？好，那这是然后接下来写解题写解题就是x小于一减根号六。啊，然后只要画这个阴影部分的都是它的解集，所以它解集就是x小于一减根号六。啊，或者说啊，一减根号二。到一加根号二或者说x大于一加根号六，所以这个呢，就选择e选项好这三个方法啊，大家看看就分论讨论法不适合。公式法可以用，然后平方法可以用，

还有图像法是可以用的，看各位同学是不是听明白了？下面我们来看一下这个题好，这个题跟刚才上面有个题刚做过题差不多是吧？好这个题的话，在这里面大家可以看出。它两边都有绝对值，两边都有绝对值的话，就用这个平方法。好，我给大家说一下平方法，它的模板如果左边有绝对值。右边也有绝对值。好，这时候呢，

你两边平方处理两平方就变成了什么呢？变成了f方。大于gx方是不是啊？所以两边呢就可以平方来进行处理啊，平方平方完要注意，大家不要把这个平方。啊，给它展开，因为展开的话，像素比较多，它就比较麻烦，所以在这里面我们怎么办呢？我们就可以。把它移项用平方差啊，所以把它移项移过来。

移向移过来啊，然后用平方差，然后这样就可以得到呃，它的这个值得到它的这个结果，这就是fx+gx。乘以个fx-gx。fs+gs×fi-gx，然后大于零，这样的情况是吧？就fi+gs。乘以fi-ts大于零，但是做到这呢，得要结合这个穿线法啊，穿穿线法，所以穿线法有同学不太懂的。

不要紧，我们马上就会讲到好，就是fi+gs×fi-gs，然后这一块的话，我们呢就可以给大家进行写，然后这样我们就直接套这个公式，两个相加乘以两个相减，它大于零。好，然后两个相加在一起就x方加上x是吧？两个相加，两个相加就是x方加x- 6。括号乘以个后面就是两个相减啊，要套上面的公式，然后这两个相减就变成s方减3 x- 4。

好x方减3 x- 4，然后这一块是大于零的，然后这个分别进行因式分解就行了啊，因式分解。前面这个可以把它分成减2 x+3。这个可以分成x呃，一个根是负一是吧？所以就x+1×x- 4。啊，大一点好，把它写好，以后我们现在就用穿线法做什么用穿线法当出现多个因式相乘或者相除上下相除。呃，这种不等式，而它求求解的时候，

那这时候呢，它跟邻居比较等呃，右边一定是一个零跟邻居比较，我们就可以画一个数轴。画一个数轴，然后把每个点在数轴上，给它标注出来啊，从左到右标注出来啊，最左边是负三。啊，这边呢，就是负一。这边呢，是二。这边是四好不好？

就是负三，然后负一，然后二还有四这样的情况，这个地方我们讲过穿线法，就从右上方穿线就行了。有什么权限？好右上方穿线，然后穿线，为什么从右上方穿呢啊？为什么要从右上方这边穿呢？我们讲穿线法的时候，到时候再给大家进行强调啊。好，这个时候呃，穿完以后那么遇到点就穿针引线，

就是大家用一个针一样穿过去，然后再穿下来，穿过去再穿下来穿过去。穿下来，然后呢？穿完以后呢？然后再看大于零就找这个数轴上方的区域。上方如果要小于零，就找下方好吧，这道题它大于零，就找这个上方。啊，找上方找上方就可以得到解集是多少呢？解就x小于负三或者说是负一小于x小于二。或者说是x大于四是吧，

所以在这里面好，那么就可以写出来，写出来以后我们呢？它问包括几个适应的质数？在这里面，我们就可以去找啊，大大于四的质数。啊，仍然是两个是吧？就是五跟七，所以这个答案选c。当然，这道题还我们刚才也讲了，既然包括时间的质数，大家可以用二三五七呢考试，

如果这个解嫌麻烦啊，在考试的时候可以用二三五七呢。去试试这四个里头啊，有几个是符合要求，也能选答案啊，也是可以的，但咱在平台做题的时候要把这道题考察的方法就是平方法。啊，给它掌握好这道题，其他方法分段讨论法是不太合适的，分段讨论法，因为它这里含了两个绝对值，而且绝对值次方呢，比较高，分段讨论这个方法呢，

应该pass掉啊。啊，是不符合要求的，然后另外的方法就比如说图像法，图像法也行，左边图像画出来，右边图像画出来，但左右两边图像都得把x轴图像往。下面往上翻，那么这个画出来也略显麻烦是吧？然后在这我们就采用这个两边平方法啊，用平方的方式啊来进行写啊平方法。好，这是给大家强调的做题的特征。下面我们来看一下分式不等式。

好分式不等式的话，它主要这个分母不要轻易的去掉，因为这个分母它不知道是正还是负，所以说关键呢，要把它通过移项啊，它的核心词就是移项。啊，那么移项以后就整理成一个标准型？啊，所以移项就可以了，好移项完标准型就是啊，这个分式大于零或者小于零啊，这个在等价化成。整式不等式好，那怎么等价化成整式不等式呢？

这有四种情况，我们来看看第一个两个相除大于零。等价于两个相乘大于零。第二个，两个相除小于零，它可以等价为两个相乘小于零。第三个就是两个相除，它大于等于零等价为两个相乘，大于等于零，然后去加上。而且分母它不能为零，分母要有e。如果两个相除要小于等于零，那么相乘也小于等于零呃，且这个分母不能为零，

通过这个就给大家进行说明的呃，特征是什么特征呢？就是。乘和除它的符号是保持一致的好吧，这个分式不等式，它的处理点。好，那分式不等式经常要结合这个穿线法，所以把这个穿线法呢，给大家进行讲一讲，那么刚才我们在做题时候也用到了这个穿线法，好，我们来看一下。这个穿线法，它使用的情况说，

穿线法主要是解一元高次不等式呢，非常方便，其解题步骤呢如下。第一个大家分解因式化为若干因式的乘积啊，分解因式分解完因式，然后化成若干因式乘法。因为把这个呃这个呃每个表达式都要写成括号相呃相乘的这种形式，因为这样就可以在数轴上找这个点啊。第二个做等价变形，便于判断因式符号。比如说像有些呢，这些因式呢，是横正的啊，这些有几个是横正的？横增的话，

它是不影响呃，这个表达式符号，比如x方加1x方加x+1 x方减3 x+5，那这也是不影响的。第三个就由小到大，从左到右标出与不等式对应的方程的根。啊，由左到右把每个点，然后在上面给它标注出来。啊，把每个点从左到右给它标注出来啊，标注出来标注，然后从右上角开始进行这个箭头开始进行穿针引线啊。啊，这个穿过来啊，

穿针引线，然后从根的处理依据击穿偶不穿它的原则来进行分析就行了啊。就是击穿偶不穿好，这是它的原则，然后呢啊呃，什么叫击穿偶不穿呢？我来给大家进行讲讲，一讲什么是重根啊，这个点重根实际上呢？我们在穿线的时候，如果它的次方要出现奇数次方的话，那么是可以穿的，偶数次方就不能穿，比如说x+1 x- 2。x- 1 x+3好像这样一个式子，

这样一个式子的话，比如说不管它大于零还是小小于零是吧，然后这个如果这个是平方。如果这个平方的话，这个就不用参与穿线，就把这个点给它抹掉就行了，因为这个穿线法，它的原理是什么呢？原理的话就是每个括号。在穿过它左右两侧，它会发生符号上的改变，所以在这里面。啊，所以它呢，就要穿过去，

它符号发生变化，但这些偶次方呢，它符号不发生变化，所以说呢，这个就可以不用穿，如果如果这个地方要是奇数次方。啊奇数次方啊奇数次方的话，那就需要进行穿线啊，比如三次方这个因式，三次方或者五次方，那就需要进行穿线。好，这是给大家强调的奇穿偶不穿它的特征，就看它的次方到底是奇数次方还是偶数次方？好，

那么我们来讲讲为什么要从右上方来进行穿线？好，右上方穿线的原理是什么？好，大家可以看这个xn，假如是一个最大的根。啊，只要是最大根最大根的话，大家可以发现，如果x取值要在最大根的右侧的时候，你可以看每个括号都是为正的啊，每个括号都是正的。啊，这么多括号，每个括号都是正的，

它乘完以后整体的fx，它是正的，正的话就在上方啊，正的上方。然后穿过这个点以后呢，其中这个音是x-xn，这个音是它变成负的了，变成负的，其他都为正。啊，其他都为正这个变成负的，那这样一个负的其他都为正乘完后整体它就是负的，所以说这个呢就是负负。负的负的，然后再传过去，

又有一个因式变成负的，然后这样有两个负，两个负的就是正的，然后整个的又是正的。好这样，所以遇到零点编号，所以阴影部分呢，它又为f大于零，它的解集情况好，所以这是给大家强调它的这个特征，如果要找这个f小于零小于零呢？大家找这个呃区域下方的就可以了好，这是穿线法，它的一个处理的方法和思路，看是不是明白了？

好，我们来看一下它的注意的问题，给大家强调这个方法需要注意，创业法就在现在数上标注每个因式的零点。然后从右图上穿一条线，遇到零点就穿过一次，然后图像在数轴上方就代表它大于零的解集，在数轴下方代表小于零的解集。啊，需要注意的是，对于偶数次方因式呢，该点不穿透好。另外，在使用穿线法的时候x系数一定要转化为正数啊，就刚才咱们举的这个例题一样，

就每个括号。每个括号x它的系数都要为正的，不能出现负的，因为为什么x系数都要为正呢？因为咱们就就为了保证从右上方来进行穿线。这样一个原则啊，如果有一个呃s系数要负的怎么办？要负的话，你两边同乘一个负号，然后做一下变化啊两边。同乘以负一做一下变化，都把它变成正的，然后再来写它的结果就行了。好，这是给大家强调的，

它的方法和思路。接着我们呢，就来演演示一下，这里面又有分式又有高次不等式啊，还有它的穿线法好。好分式不等式，因为它这个知识点，咱们在讲分式方程的时候给大家进行讲过，所以说在这里面啊，就不单独举分式不等式了，咱们就放在呃穿线法里面一块来学习这个分式不等式。比如说像这个题，那首先这个分母它不能直接乘过来，什么时候它直接可以乘过来啊，咱们前面做题有一个题是可以乘的，

就当这个分母我们判断它符号是。是横正的或者横负的，只要它的符号是横定的，那这时候就可以了，如果这个分母是横正的，两边同乘一个正数以后，它这个呃不等号不用发生变化。啊，小于号还是小于号，然后如果分母是横负的，两边同成一个横负的话，这个方向应该是相反的啊。啊，应该相反，这是它的这个特征，

好，那接着我们来看一下啊，这道题这道题分母它的这个东西，它不是横正的，所以我们只能通过移项。好一项就变成了这个2x方加x+14。就2x方。啊加x+14。然后除以一个x方加6x+8-1小于等于零，不管右边是常数一还是右边给了一个分式，或者给了一个含x的表达式都没事。然后我们把它移过来就行了，好吧，把右边给它移到左边来，移到左边来，

一定要让右边呢变成零，这时候咱们就可以通分。呃分母就x方加6 x+8分子呢，给它减就得到x方减5x。加上六啊，小于等于零。好，这样的情况好吧，然后相减得x方减5x，加上六小于等于零，这时候我们就可以进行啊，分解好吧，分解一下，分解一下。上面就可以分成x- 2乘，

以x- 3。啊x- 2×x- 3，这样就可以分好了啊，下面就可以分成x+2乘，以个x+4。然后这块是小于等于零的好，这时候我们就画一个数轴。画数轴把每个因式对应的点给它标注出来，就是二三还有负二负四那负四，因为分母它不能取零，所以它应该是空心的啊。还有负二。还有二。和三。好，

这样的情况啊，二和三好，这个写好了，写好，然后从右上方画一条线，因为我们观察一下，可以看到每个括号x的系数都为正的，这个满足了，而且。这个每个因式它都是奇数次方都是一次方，所以这个也是参与穿线的啊。好，那么从这个右上方画一条线画下来。画下来以后，它要找小于等于零的解集，

我们要找。啊，这个下方的部分数轴下方的区域。好数轴下方区好那数轴下方区就代表是小于等于零的，所以它的解集我们就可以写出来，写出来就是x。在负四到负二，这个是空心儿的，就不能取等号啊，注意，然后二跟三这两个是实心儿的。二跟三那因为它分子可以等于零嘛，这有个等号分子可以等于零，然后呢，就是二到三。

啊，或者这是或的关系，或者然后它问它有几个这个整数啊，我们来找找。它在这个范围里面有几个整数，它负三一个整数是吧？二一个整数，三一个整数，所以总共有三个整数，正确答案选择d选项。啊，总共有三个整数好，这也就写出来它的做题的方法，看通过这道题，我们概括一下啊，

首先遇到分式不等式，先观察分母到底是。是否是横正的符号？横负符号还是符号？有正有负不确定啊，如果要横正或者横负，可以把分母直接乘过来。啊，直接乘过来，如果分母有可能有正有负的话，大家就把它移向移过来，移过来以后我们呢再进行分析好，这是给大家强调的这个支点，然后呢，再分解，

然后再穿线。就可以了。下面咱们看考项三就是分式不等式，好分式不等式的话，我们再强调一下，也是先移项，然后呢，使右文变零，然后再结合穿线法给大家进行。呃，求它的解集，像这道题跟上一题差不多啊，这道题x方减一三x方减二，直接移项了。啊，

因为这个同样的，因为这个分母你不知道是正还是负嘛，所以在这里面我们就要给它进行移项是吧？移项以后那这就变成了x方减一。这个通分以后就变成了2x方。是吧，然后通分以后就2x方，然后减一它大一点啊，通分以后变成这样情况，然后接下来我们呢也找到。上面上面呢，就可以写成啊，这个根号2 x+1乘以个根号2x减用平方差啊。下面用x- 1乘，以x+1也用平方差，

它大于零好，然后这一块我们就可以写出它的式子，它的根就是负一。负的二分之根号二。然后呢？就是二分之根号二，还有这个一是吧？一好那在这里面，我们呢？就从右上方来穿线观察一下是否满足我们刚才的要求啊？就每一个括号x系数都是正的，而且呢，它都是奇数次方，这样的话就可以进行穿线。传完完以后，

它要找大零的地方，找大零的地方，我们呢就得找x轴上方的，这个解集是吧？这个上方。啊，这个上方这样我们就可以写出它的解集好，我们这个图画完以后我们就可以写出它的解集了是吧？图画完我们就可以把这个解集写出来，因为它这。这个是大零的，大零的话，我们就找这个数轴上方区域，数轴上方区域就x小于负一。或者是负的二分之根号二小于x小于二分之根号二。

然后或者是x大于一啊，这样的情况好，那么在这个上问有几个整数，那显然是无数个对吧，所以说这个整数呢呃，有很多个。就选择e就无数个通过这道题跟上一题做法差不多，先移项通分，然后分解因式，然后呃穿线法写上答案就可以了，看这块是不是学会了？

		自动登录	找回密码
密码			立即注册