4-02一元二次方程

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:44:53

接下来咱们看第二个板块儿一元二次方程，它的考试内容和要点一二方程的话，这个更重要一点啊，首先咱们看一下一元二方程，它的基本概念。含有一个未知数且未知数，最高次方是二的方程，把它称为一元二次方程，它的一般形式我们可以把它写成as方，加BS+c=0。知道吧，所以是这是它的这个方程形式，其他其实就是就是把它看成一个二次函数啊，咱们学没学过抛物线。就ax方加bx+c=0啊，

这是呃方程一般形式一般形式，咱们在解方程时候一定要把右边给它变成零。知道吧，把它移向右边变成零这样的一个方法，看懂了没有？那接下来咱们看一二方程，咱们拿到一个方程以后，首先要关注的是它根的情况是什么样子啊？根的情况呢？有以下。啊，这样的几种情况，尤其像这几种情况，三种情况，德尔塔啊，

这里有个判别式，德尔塔德尔塔的b方减CC，根据德尔塔值，可以把它分为三种情况。那么，第一种情况，当当它大于零的时候，方程是有两个不相等实根，然后这个根的表达式就是2a分之负b加减根号。呃，这个怎么求出来？这是用配方法。解出来的好吧，配方法，然后求解出来它的根啊，

所以它根的表达式就是2a分之负b加减根号德尔塔。啊，这是求公式啊，求公式第二个当大于等于零的时候，方程有两个相等，实根要相等，实根就就是正好这是负的二分二a分之b。其实大家发现这个德尔塔等于零是上面的一个特殊情况，因为大家知道德尔塔如果等于零的时候，那么这个根号零它正好就为零。所以呢，这个呢，就没有了是吧？根号零的值，那正好就等于零嘛，

那这个就没了，那就剩一个负的二a分之b这样写出来了好吧，第三章当然小于零的时候方程是没有实根。方程呢，它是无实根的啊，无实根它有虚根，但是咱们虚根呢就不做啊，要求好吧，虚根呢？啊，就不做掌握了，因为德尔塔在判断一二函数方程解的重要作用，则称德尔塔为一元二次方程的判别式。啊，这样的啊，

它的一个判别式啊，这是它的这个基本的方法好吧，德尔塔它的一个大于零=0小于零。它的一个判别式的，一个基本的分析思路和要点。好，那总共有三种情况，那么其中前两种情况可以把它分为什么方程有实根是吧？有实根在这里面，大家要注意，而且还要知道当然等于零的时候，两个实根是相等的，但是呢？但是啊，你不能够说是一个跟所以有同学觉得两个一模一样，

能不能说一个呢？那不可以，比如说你从网上买两个一模一样的手机，人家发货只给你发一个，你干吗肯定不干？所以说虽然两个是一样的，但个数仍然是两个好吧，所以这是给大家强调的啊，是两个相等时刻，这是规范的一个描述的呃要求啊，别给写错了。接下来我们看一元二次方程的解法，解法的话那么比较常用的就十字相乘，因式分解好吧，这个呢是比较常用的啊，

用的比较多，分解完以后求出方程的根。好吧，这是实质相乘，另外一个就是求公式，无法用实质相乘或实质相乘，分不开什么时候实质相乘，能分开什么实质相乘呢？分不开其实。那么，它这块有个判断的标准，就德尔塔。如果为完全平方数。这时候，它实质相同，

可以分开，比如说德尔塔等于16或德尔塔等于25。当然等于49。啊，这样的这样的话就相当于使它能分开。啊16，25和49啊，这样话它当然只要是完全平方数，它这个就OK就可以分开好吧，这样的一个。思路啊，然后另外那么如果德尔塔不是完全平方数，比如德尔塔等于个18，那这时候就等于求公式做了。啊求公公式，

求公式就2a分之负b加减根号好吧，所以说它又优先采用实质相乘，看能不能分开，如果能分开的话，那么咱们就分解，如果分不开，咱们就求公式来进行求解就可以了。好，那接下来咱们看一个非常重要的定理，就是韦达定理，韦达定理的话，就如果s1s2是方程的两个根则。那么s一加s二等于负的a分之BS一乘以s二就等于a分之c啊，这是方程的两根啊，一个是负的a分之b，

一个是AA分之c。这样的一个情况。是吧，然后s一加s二负的a分之BS一乘以s二就等于a分之c啊，如果s一s二是方程两根的话，它就可以这样去进行写。是吧，两个之和两个乘积额，这个怎么推导的呢？这其实用求公式推导啊，这个来定它用求公式推导，大家知道一个根。是2a分之负b加减根号多少？一个根是2a分之负b加根号多少？是不是这是在这里面为它定的呀？

它用穷估式推导出来，然后接下来咱们用x 1+x二。而且加上这两个相加，这两相加，大家可以看分母，它都是2a。是吧，分母都是2a，然后一个负b减根号，德尔塔一个负b加根号，德尔塔一个减一个加这个等根号，德尔塔正好就约掉了，约就负b-b。这样就等于负的a分之b得到这个结果是吧？然后s一乘以s二s乘以s二就两个相乘，

大家知道两个分式相乘的时候，我们知道运算规则就分母相乘分子相乘。然后分母相乘的话就是一方。啊，分母相乘啊，那么就四一方，然后分子相乘，大家可以用平方差公式，大家可以把它看成负b减根号，德尔塔和负b加根号，德尔塔大家学过两个相减乘以两个相加，正好可以用平方差公式。是不是这样的，所以可以写成它的平方，减掉根号delta平方就是delta。

对吧，然后大家知道那么这个平方正好等于b方减4 a cb方减4 AC跟前面的b方，这样都抵消掉，就变成4 AC。剩下把a再约掉。就得到了就得到a分之c了是吧？所以它是这样的一个推导的啊，所以用韦达定理是用穷公式，然后呢，做并行推导，所以大家记住两之和等于负的a分之b两乘积呢，等于a分之c。这样一个考试要点，要知道要弄清楚。接下来，

我们看韦达定理它的一个扩展应用，扩展应用的话，利用韦达定理可以求出关于两根的对称轮换式的值。什么叫对称轮换式？对称轮换式就相当于是它两个交换以后，这个表达式是不变的。比如s1和s2这两个做一下交换s1和s2做一下交换以后啊，那么这两个表达式跟原表示是一模一样啊。啊，这叫对称轮换式好，那第一个大家可以发现s一分之一加s二分之一s一分之一加s二分之一好，那么它这个就两个呢倒数和。两个逗号，两个逗号就等于把通分s一s，二分之s一加s二。

然后在这里面两根乘积两根乘积，那就等于a分之c。是吧，两根之和等于负的a分之b。是吧，所以套一下公式就可以化解得到c分之b负的c分之b就写出来了啊，所以这是两个的倒数和最好能把它这个结果把它记住好吧。这个结果把它记住，这样有利于咱们提高解题速度是吧？不用再推导了，然后第二个。这个记不住的话，到时候现推就可以了s1平方分之一+s二平方分之一。啊，就等于然后可以把这两个分母给它通分，

通分完以后，然后分子再进行配方，总之啊，都把它变形成两只和两层积的这种形式。然后呢，再来写它的结果好吧，再来写它的数值就行了啊，所以这是它的这个值啊，就s1方分之一+s二方分之一。它的这个结果啊，要会写好，那接下来啊，那么写到这以后两只和两个成绩都用咱们韦达定理带到里面去就可以求出它的值。第三个两根的直差的绝对值。你看这绝对值，

我们第一种推导方法就可以把现在嗯，大家知道一个数的绝对值，我们学过它的等价形式就等于平方开根号。啊，一个数的绝对值就等于它的平方开根号啊，这样的数值是吧？然后这样的。好，然后平方根号，然后接下来我们来看一下它就可以写成s 1+s二方减去四倍的s1s2。这样的一个情况是不是啊？这样的一个结果。好，那接下来我们呢就可以看出它的这个数值s 1+s二平方减四倍s1s2啊，那么这块儿你把两个之和两个乘积带到里面就可以了。

那么，还有一种推导方法啊，还有一种推导方法用求根公式做x1等于个2a分之负b加根号德尔塔。s2=2a分之负b减根号德尔塔，这样的是吧？s1是2a分之负b加根号德尔塔x2=2a分之负b减根号德尔塔。好，这样的一个。思路啊，这样的一个结果，这样那大家可以看到s1-s二绝对值x1-s二这个绝对值s1-s二绝对值，然后这两个那么相减相减的话，大家可以发现。这个负b跟负b就减没了是吧？所以说局域值里面变成二a分之二倍根号delta。

绝对值，然后呢？二可以约掉，约掉的话就是a的绝对值分成根号单上。那写好了就a的绝对值分成根号德尔塔啊，这个写出它的数值和结果好吧，这是这是它的第三个，它的这个方法啊a的绝对值分成根号德尔塔。所以最后把这个结果记住啊，就那a的绝对值分成根号八了就可以写出来好，这第三个它的这个方法。然后第四个就s1方加s2方就等于s 1+s二括号平方减去二倍s1s2好，这样的一个情况是吧把它进行配方，其实第四个呢，咱们在做第二个变形，

它的分子在变形的时候就用到了第四个。对吧，用第四个用一下配方公式就行了。然后第五个就平方啊，这个用平方差就可以了，平方差公式来化简。然后第六就s一三次方加s，二三次方就等于s1s2s 1+s二×s一方减s1s 2+s二方。好吧，然后呢？就可以用咱们的立方公式做一下变形啊，这咱们学过立方公式，然后这个括号里面，我们还可以再进行配方。啊，

再进配方三次方，咱们用的比较少啊，大家只要会变形和配方就可以了，比较重要的有一和三啊一和三，然后呢啊套一下这些公式来分析。好，接下来咱们看一下它知识点的考试解读一元二二次方程要掌握跟那些情况去解法会解常见一元二次方程一元二二次方程与抛物线可以结合来命题啊。一二方程式代入中非常重要的方程，很多题目呢，都要用此方程呢去计算和求解，所以这一块儿呢，是考试频率非常高的啊，它是很多知识点都要用到的。啊，接下来咱们看围绕考项已有方程的概念好吧，

理根据方程圆和次概念求解一些待定参数啊，待定参数，比如说。像这个题，当m为何值时m- 5×x的这么多次方加上这为一元二方程？好，大家知道，要是一元二方程，说明什么情况呢？说明它最高次方必须是二次方，最高次方，因为大家知道这中间这块s是一次方了，一次方那就可以得到。这个次方前面这个次方一定为二就m方减6 m+7，一定是等于二的。

啊，一定等于二，然后就可以得到m方减6 m+5，它为零。这样的啊，把这个二移过来，移过来加五它为零，然后接下来我们呢就可以写一一一跟五，然后这是负负。是吧，负负，然后就可以解出m值等于一。或者m值它为五好吧。m值等于一或者m值它为五，这个写好了啊，

这是它的这个数值。然后接下来的话，我们呢再来看一下啊m=5这个行不行？m=5不行？m=5要舍掉的，知道吧？m=5这个数要舍掉。啊，为什么要舍舍掉？因为m=5的时候，这个前面这个就为零了，为零的话，那这个只剩一次方程，那不是二次的，所以在这里面建议大家应该选择的是a选项好吧，

所以这道题比较简单，就让大家。掌握元和次的一些概念，求出m的数数值就可以了。接下来看一下方程实根的情况，方程实根主要根据判别式符号来判断有无实根及实根的个数。所以判别式为零时，仍然是两个实根，只不过是相等的两个实根，它两个根实根呢？是相等的两个实根，这样的一个情况是吧？是吧，是相等。啊，

接下来咱们看一下啊。这个题已知关于s的一二方程k方x方减去2 k+1 x+1等于有两个相异实根。则k的取值范围到底多少？既然有两个相异实根，那说明它的判别是德尔塔啊，应该是大于零的啊，所以接下来我们就可以写德尔塔。del塔公式就等于b的平方减四AC就等于二k加一的平方减四AC。他这个把它化简一下，因为前面这个括号平方展开跟这四个地方约掉了。得到四k加一，它这个是大于零的，但就可以得到k呢，是大于负四分之一，但k大于负四分之一，

如果要选择a选项。选择a选项的话，那在这里面这个答案就有问题了，因为它要明确说是一个一元二次方程，一元二次方程，所以这个k。还不能取零，因为k要为零的时候，它又不是二次方程了，是不是k=0的时候，它又不是二次方程了，所以k呢不能为零。那这个呢，应该选择c选项啊，所以这是它的方法，

这个不是特别难，但在做的时候一定要注意这个s平方前面的系数是否为零，要做一个判断。好，那接下来咱们再来看一下韦达定理，它的一个使用啊，韦达定理完定主要套用韦达定理的相关公式和形式进行分析就可以了。好吧，然后呢？注意的为它定对实根和虚根，它都适用。咱们考试呢啊，题目如果要求十个，一定要注意验证一下，判别式是否满足十根？

这块呢，别给写错了，别给做错了好吧，它的判别式。好，接下来咱们来看一下这个题，若方程x平方加PS+q的一个根是另外根的两倍，则p和q应该满足什么样的值？pq应该满足什么样值？那接下来我们看看好一个根是另外一根的两倍，则p个q应该满足什么值？那大家可以发现，假设x1。是等于二倍的s2。啊，

一个根是另外根的两倍，咱们就假设嘛，一个根，另外根两倍，那接下来我们要干什么呢？我们就可以。可以用一下韦达定理是吧？韦达定理有两根之和。两者因为s1就把它看成s2的两倍，所以这两个相加正好等于三倍的s2，两个之和正好等于负p，这也就写好了，用韦达定理做，然后接下来两根乘积s1×s二。然后两个相乘，

两个相乘s1正好等于二倍的s2，二倍的s2就是二倍s2的平方，然后正好等于q。好，这两只和两个乘积，然后接下来我们把这s2想办法给它消掉，消掉就解除pq的关系了，这很很好消掉。啊，这个x2正好等于一个。负的三分之p，把它带过来就行了，带过来就是二乘以s二平方就得到九分之p方，然后等于q。是吧，

所以就给到了2p方，这样等于9q这写好了啊，就2p方这样等于9q好这个呢，应该选择的是b选项好，这是它的做题方法和思路。好吧，所以这道题告诉我们一个方程的根是另外根的多少倍，不管是两倍还是三倍，大家呢啊，要用韦达定理把这个。等式找到，然后想办法把这个x2这剩下给它消掉，消掉以后那么就可以得到pq的一个关系式了。啊，这是他的做题的方法思路。

啊，接下来咱们看这个题，若方程它两个是跟s一s二满足s一分之一加s二分之一等于二，这m的值到底是多少？前面的值大家知道，这就属于两个的倒数和。啊，两个呢，倒数和两道的话，如果能记住答案更好，就负的c分之b。就等于负的五分之m，它正好等于二是吧，然后这m的值我们就可以求解出来了啊m值。啊m值又得到四。

负十这个呢，应该选择b选项好，这是它的这个方法思路好吧，所以大家呢啊要会分析啊，那么两个呢倒数过，直接把这个。公式记住，这样话就更好一点，就不用再为它定义再通分呀，再辨析那样就浪费时间。然后接下来我们看一下啊，这个题已知s2x方减3x-1的根是s1s2，那么s1-s二绝对值到底多少？好，这道题大家呢？

就是套韦达定理就s1-s二绝对值。就那a的绝对分子根号多少？a的绝值分成根号德尔塔啊s1-s二绝对值就等a的绝值分成根号德尔塔。然后接下来那么这个a的值就等于二啊，那这a的值它就为2a的值为二，然后根号德尔塔。根号德尔塔根号德尔塔的话，德尔塔就等于b方减四AC嘛，b方减四a cb的平方啊，九减四AC就加上八。好吧，所以说这样的话就等于二分之根号17好，这个呢，应该选择的是a选项啊，这是它的做题方法，

所以大家只要把这些公式记住这些题呢，都很好，求解。啊，那接下来咱们看这个题，这个题稍微复杂点儿是吧？里面涉及到m啊好关于这个s1元二次方程。它的两个实根。是s1，s2，且s1方减s1，s2，加s2平方等于12=12，那么问m的值等于多少？那首先呢，

就x1。平方减x1s2。加上s2平方，它就可以把它写成，然后这个呢，就可以把它配方嘛，配成x 1+x二的平方，减去三倍的x1x2。对吧，所以这样的话，大家做一下配方处理，配方处理，那大家就可以看出那么两个之和，还有两个乘积，那么它的式子是吧，

所以接下来我们可以看到两只和。正好就等于负的a分之b，正好等于中间这个值了，所以就等于四倍的，或者说我们把这个二乘到里面去，就二m减一的平方。完了，二存到里面去。是吧，乘到里面去，乘到里面去，这样的话，一会儿算要简单，这s一加s二减去三倍的s一s二三倍的s一s二正好就是m方。减二好，

那接下来我们把它合并同类项，这个括号展开有个4m方减3m方，这样就是m方。那就m方，然后减4m，再减去4m。减4m，然后再加上一，这是加上六，相当于相当于加上啊，这个就相当于是啊，这个。这个一啊一+1个六是吧？所以它这个。把这个平方啊平方带到里面去，

所以在这里面大家呢？就是啊，通过这个式子正好呢，相当于是加上一个。七这样等于个12是吧？等于12啊，这次给它化简好，把12移过来就变成m方减4m减。减五，它正好为零，然后这m的值就可以解出来m值就可以算算啊，一个是负一，一个是正五，这个十字相乘，大家分解因式可以得到m=- 1。

和五这样就写好了。m=- 1和五，m=- 1和五，如果选择a选项的话，那这道题大家想想是不是就会出问题？选择a选项，因为题目说了它两个实根。也就是说，咱们呢，韦达定理，咱们现在用韦达定理，它不能够表明方程是实根还是虚根，所以在这里面，我们呢，就是要。

方程要实根的话，接下来我们呢就要看一下判别德尔塔是吧？判别德尔塔，所以德尔塔就等于b的平方。减4 AC。啊b的平方减四AC，这样的啊b的平方减四AC。啊b平方，然后这个就是4m平方减掉它，然后这正好就是负4m。正好就是负4m，然后加上一个一，然后再加上一个八是吧？加上一个八好，大家可以发现这个m要等于五的话，

那这个不太行m=5的话，德尔塔它会小于零的。所以说这个五啊，这就要舍掉，知道吧？这个值要舍掉m=- 1，这个是OK的负一，这个是没问题，所以这个答案应该选择的是c选项啊。选c就别给写错了好吧，所以在这里面呢，要保证这个一定大于零，有实根，如果人家要没说方程组有两个实根。只说方程是两个根，

它实根也好，虚根也好，都没事儿，这时候呢，可以选择a选项好吧，因为咱们伟大定义对实根虚根呢，它都是可以用，都是满足的，都是没问题的。好，这是它的做题方法，思路要弄清楚。好，接下来咱们看这个题已知m为正实数关于x的这个方程的两根是s1s2。好那么且5s一+3s2=0则m的值到底是多少？

那接下来那么这个是怎么用？大家知道跟咱们前面有个题类似。你可以把这个s一变成负的五分之三倍的x二是吧？就x一变成负的五分之三倍的s二啊，这样的情况接下来我们就可以用韦达定理s一加s二。好两只和啊两两只和的话，那在这里面大家呢就可以写出它的数值啊两只和。然后这个就等于xix一正好等于负的五分之三x二嘛，这个x一然后在这里就是五分之二x二。这样的是吧？所以这个它的这个结果啊，结果五分之二唉s二，然后这个就可以把它写成什么呢？写成啊两之和正好等于一个什么等于二分之m。啊，

两个呢，和两个和正好等于负的a分之b嘛，这样等于二分之m，然后接下来两根乘积。两个乘积就等于负的五分之三倍的x二的平方是不是？然后这样的接下来我们呢就可以看出两根乘积这样的a分之c。这样等于负的15。啊负的15好，接下来我们可以看x2它的。平方正好就等于一个25是吧把这个？啊算s平方等于25x平方等于25x二就可以算出来，由于m是正实数，这个很关键是吧？m正实数，所以由m是大于零的，

我们可以得。得得到得到，如果m要为正数s2，也只能为正数s2，只能取这个五。只能取正数，然后m就可以得到是四正确答案就选择d好吧，答案就解出来了啊，所以在这里面大家把它带到里面去就可以把m的值解出来。所以以后遇到这个s1s2有个等式的时候，一定要把一个数用另外一个数表达出来，这个很很重要，咱们前面做题也遇到了，就把x1是另外一个。s是多少倍？

带到里面去来进行分析和思考，这样就可以写出来答案，看是否明白了。好，那接下来咱们看这个题已知ABC三个数既成等差又成等比数列。啊，那在这里面呢，又用到咱们学过的数列知识，当然数列可能大家还没学到，但是你要有个基本常识，既乘等差又乘等比数列，那就说明这个ABC。它应该相等，而且都不能为零，知道吧？

ABC是相等，而且它都不能为零啊，既能等它，又是等比数列ABC是相等的，且都不为零。好，这样的一个式子，然后是阿尔法贝塔，又是这个方程的两根，且阿尔法大于贝塔，求阿尔法三次，方贝塔减阿尔法贝塔三次方到底多少？好，那我们一起看一下阿尔法三次方贝塔减阿尔法贝塔的三次方，就等于那在这边大家是不是可以提出一下阿尔法贝塔来？

提出了一个阿尔法贝塔来好，如果提出一个阿尔法贝塔以后，那接下来里面是不是变成阿尔法方减贝塔方这样的？是不是那要提提出公因式？提出阿尔法贝塔就乘以阿尔法减贝塔方这样的情况，然后接下来就阿尔法贝塔，然后这个阿尔法方减贝塔方就阿尔法加贝塔。乘以阿尔法减贝塔。啊，这样的一个式式子，看能看到吧，加阿尔法加贝塔乘以阿尔法减贝塔得到这个结果，得到结果后，那接下来我们就可以。分别啊，

运用给它定理了，因为刚刚咱们讲了，既然ABC是相等的ABC又不为零，你可以把这个方程呢都给它化简一下，知道吧，都给它化简一下，也就说ABC相等，那这个方程变成ax方，加上ax减。点a它为零。你都把BC都用a来表示，其实我们还可以进一步的再化简，大家知道对于方程两边同时除以个非零的常数，这个是不影响的，所以还可以再化成x方加x- 1它为零。

对吧x方加x- 1，它为零，这时候呢，我们就可以写出阿尔法乘以贝塔两根乘积，正好等于负一。然后两根之和还等于负一，然后两根之差阿尔法减贝塔，因为这个有个很关键，因为阿尔法大于贝塔，这个很关键，我们可以写成阿尔法减贝塔的绝对值。是吧，阿尔法减贝塔绝对值，这样就写出来了，好阿尔法减贝塔绝对值，

我们前面学过学过就等于a的绝对值分成根号，德尔塔a在咱们这道题化简完以后s平方系数，把它看成一。所以说这个它本来是应该a的绝对值根号，德尔塔知道吧，就这个s平方系数应该是一一的话，就剩一个根号，德尔塔德尔塔正好等于b方减CC正好等于根号五。这样的根号五这就写好了是吧？就根号五好，那接下来我们把这数带到里面去，正好是负一乘以负一。再乘以根号五，所以答案正好等于根号五好，这个答案应该选择是a选项，

这样就做好了好，这是它的强调的做题方法思路，看是不是？听懂了。下面我们来看一下第11题。啊3x方加BS+c两根是阿尔法贝塔。好以阿尔法加贝塔。阿尔法乘贝塔为根的一元二次方程式，三次方减bx+c问b和c的值到底多少？这条主要考察两个方程，用韦达定理。两方程啊，求解好，那我们来看一下它给了两方程，我们先。

分别用韦达定理来写出它的结果好，那第一个方程我们看看，第一个方程就可以得到阿尔法加贝塔。交等于负的三分之b。是吧，这第一个方程用我们来定理阿尔法乘以贝塔得到是三分之c。然后接下来咱们看第二方程，用来韦达定理，第二方程用韦达定理又变成什么？变成这两根之和。就阿尔法加贝塔，加上阿尔法乘贝塔这个根加这个根，它的和和正好就等于三分之b。然后两根乘积。正好就等于三分之c。

好两个乘以正好等于三分之c好，那这总共呢？就这样的一个一个情况是吧啊，一个内容。所以在这里面，大家呢，就可以看出这个给了四个四个话，我们怎么样求b和c是吧，因为这里求b和c，如果这道题。要求阿尔法贝塔的话，我们也可以求阿尔法贝塔，所以我们求b和c求b和c的话，我们这样想。啊，

这样讲，先从第二个角度找到突破口，因为题目说了c是不为零的是吧？c是不为0c是不为零，大家可以发现。因为阿尔法乘贝塔等于三分之c。阿尔法加贝塔乘以阿尔法贝塔也等于三分之c。那就可以推出阿尔法加贝塔，它肯定就为一对不对阿尔法加贝塔，这值肯定就为一了啊，因为通过。第二个，这个是做一下对照，可以发现是吧？发现就可以推出解得阿尔法加贝塔。

这样就等于一阿尔法加贝塔，等于一代到第一个式，我们就可以求出b的值b的值，又等于负三。啊阿尔法加贝塔正好为一嘛，为一为一的话就是负的三分之b，那这个b的值就等于负三，求求解出来了。毕业值等于负三好，毕业值等于负三，求完以后，那接下来我们再来看一下，后面这个数值基本就求解出来。是吧，因为b的值知道了阿尔法加贝塔，

这个值等于一知道了，然后带到这个方程是吧？带到这个方程，因为这个正好是阿尔法加贝塔，这也是阿尔法加贝塔。是不是所以就可以得到阿尔法乘以贝塔等于三分之四c和阿尔法加贝等于负的三分之b代到第一个方程代，第一个方程就可以得到负的三分之b。加上三分之c等于三分之b。等于三分之b好，那就说明c的值正好就等于二b。就等于负六是吧？所以c的值啊，就等于二倍的b，然后呢？就求出来了，

就等于负六这样写出来。所以说在这里面b的值应该负3c的值应该负六，这样答案选择d选项好，这是它的这个做题的方法，看明白没有？所以通过这道题，大家呢，要知道它的啊，做题的思路是吧，然后用每个方程用韦达定理，然后来求解，当然这道题它比较特殊，还有可以用一个技巧。应该观察一个什么问题啊啊，这个方程这两个方程，

它的s平方系数是一样的，一个是b，一个是负b。是吧，然后就b变成一个符号c呢，它又是一样的c的值，它又是一模一样的，所以在这里面呢，我们知道如果b变成负b，它的根应该是互为。相反数这种关系互为相反数啊，所以在这里面我们就可以得到它的根，正好是互为相反数，这种这种特征。互为相反数的，

所以说如果它的根是阿尔法贝塔，它的根一定是负阿尔法和负贝塔。是吧，跟一定是负阿尔法和负的贝塔，当然谁是负阿尔法？谁是负贝塔？倒没有影响，比如说让前面这个是负贝塔，后面这个是负阿尔法，这个也没关系。好吧，反正跟它是互为相反数的，跟互为相反数的，那么我们就可以用技巧的方法来做，就我们不妨假设阿尔法加贝塔等于负阿尔法。

阿尔法乘贝塔正好等于负贝塔。是吧，这样的这样的话，我马上就可以把阿尔法贝塔给解出来，阿尔法贝塔因为这个贝塔肯定是不能为零，所以两边可以约到贝塔，为什么贝塔不可能为零呢？因为它长项不为零，长项不为零，它方程不可能有零这个根。对不对？所以c是不为零的，所以它根不可能为零，所以贝塔呢？给它约掉约好就可以得到阿尔法，

正好等于负一。阿尔法等于负一代到第一个式子，我们就可以得到贝塔值，正好等于二。贝塔值正好等于二好，阿尔法等于负一，贝塔等于二，算出来了，那么这个这个b的值就可以算出来是吧？b的值b的值，那再根据阿尔法加贝塔等于负的三分之b。因为阿尔法等于负一，贝塔正好等于二，然后这个b的值就等于负三就写出来了是吧？b的值b的值等于负三，

然后再根据阿尔法乘以贝塔正好等于个三分之c。然后一个阿尔法等于负一贝塔等于二带到里面去c的值，就算出来就等于负六。这样就写好了是吧？这是第二个方法，当然如果它没有这么巧合，比如说这个系数没有这样一个巧合，这个技巧是用不了的好吧，所以它这个技巧只适合以下。巧合的时候可以用，所以我把这个技巧给它进行总结一下啊，总结一下，总结一下规律。好，那接下来咱们看总结，

若这个ax方加bx+c=0。它的两根。为x1和x2。则以下几个结论，第一个结论就相当于是如果b这块儿加一个负号，其他都不要动啊a和c都不要动。b和CA和c不要动b+1负二，它的两根。就为负s1和负x2。然后第二个啊，如果这个b不用动a和c要交换a和c要交换CS的平方+bx+a它等于零它两根。两个呢，就是x一分之一和x二分之一是吧？这样的第三个啊，第三个第三个呢，

就像a和c。它做一下交换。然后中间b呢，加个负号就CS方减bx+a它等于零它两根两根呢就为。负的x一分之一，负的x二分之一。好吧，就这样的一个特征和内容啊。好，这是它的这个总结的结论，所以说如果出现这三种情况的时候，我们呢，可以用这些技巧做，如果不是这三种情况，大家只能按照一般的方法来去求解啊。

啊，来去思考。好，接下来咱们看一下这个题，已知二次方程s方减2 as+10 s+2 a方减4 a- 2=0有实根。它有十根，然后则两根乘积的最小值到底是多少？求它两个乘积最小值好，那么首先来看一下两根的乘积。零乘以正好等于2a方减4 a- 2。好，那么在这里面，大家可以把它看成关于a的一个函数，这正好是一个二次函数，用咱们前面学过的抛物线啊，

关于a的一个函数就是。2a方减4 a- 2，它是开口向上一抛物线，它对称轴正好就是a=1。对应轴对应轴，咱们前面学过对应轴公式啊，负的二一分之b，它对应轴a=1，所以当a=1的时候，那么它这个数值呢？是有最小值是吧？所以a=1的时候。它的最小值。就可以把a等于一带到里面去，就二减四减二，

正好等于负四，那么这些答案就选择a选项。但这样做呢，有一定的风险，知道吧啊，一定要看一下a=1的时候，它这个方程是不是有实根好吧，要验证一下啊a=1的时候，这个方程是否有实根？方程变成什么呢？变成x方啊a为一的时候，这又变成了加上8 xa=1的时候，正好是减四=0，它确实有十根，因为它正好大大于零。

啊，大大一点，它正好有十根。像有的题，你要不验证就会出错，知道吧？不验证的话，然后这时候呢就出错，因为这个a=1的时候有可能带到里面原方程上没有使。没有使用，这时候呢，你要简单的验证一下，验证一下这个是没没有问题，没有问题，咱们这个最小值是可以取到的啊a是可以等于一的，

因为题目说了，它有时根这个要求。好了，韦达定理的这个考点啊，就弄明白了好吧，把它各种应用，各种求解变形的方法要弄清楚。啊，接下来我们看韦达定理的另外一层应用，就是利用韦达定理可以判断根的符号，知道吧？可以判断根的具体符号，比如两正根呀，两负根呀。此外，

用完韦达定理还要验证一下判别式。啊啊，如果要没有去验证判决是就是命题的一些陷阱好，那么看一下两证跟它的情况。好，两个正的话就x 1+s二。啊，假如这个方程是ax方加bx+c。然后呢？s 1+s二应该大大一点是吧？两两正根它的这个要求，然后s1×s二也应该大于零，应该大于等于零。啊，就两正根它的这个判断方法。

啊，如果要改成两负根，改两负根就是这个地方改成小于零就行了。就s 1+s二小于零。s 1+s二是小于零的，然后呢？两根两负根的话，它乘积还是大一点，但是它大于等于零好吧，就是这样判断。啊，如果要是一正一负根。啊，一定付款，一定付款两只和这就没法判断了，

两只和这个就没法判断到底正的负的没法判断。然后两个乘积它一定是小小于零的。两乘积小于零，这时候大零大零可以省略，你知道吧？应当知道就等于b方减4 AC。它大于零，可以省略的，为什么可以省略呢？如果ACE号的时候，它必然为正啊，所以说ACE号是。德尔塔b大于零。当然b大于零，所以这时候呢？

当然大于零，就可以省略，所以只要写这个两两根乘积小于零就可以了，如果要一正一负根，它要告诉我们正根的绝对大或者负根绝对大。这时候呢，再看一下两个之和到底是呃正的还是负的就可以了，如果正跟的绝对大两个的之和，它就为正的，如果负根绝对大两个之和，它就为负的。好，这样的一个判断方法思路。好，那接下来咱们看这个题，

它说方程有两个不等的负实根，这是个重新判断题，对重新判断，咱们讲过，如果题干比较复杂，它能化解，大家先把它化解。化简完以后，我们呢，再来去分析和思考好吧，先化简好，它有两不等负实根那题干可以得到什么问题呢？得到两之和。啊，应该等于负的a分之b。

应该是大于零是吧啊，这个负根就小于零。负根啊，所以两个之和它这个应该小小于零。然后两个乘积。等于四分之a减五。要大于零好吧，它有两个不等的负根，不能说这时候只能是大于零，不能写大于等于零，因为它说的两个根是不能相等的情况。所以当然就等于b方。减4 AC。就等于b的平方减四AC，然后就等于a的平方减去，

然后这个减四a减十六a就减二十a。减2c，然后再加上四，再加上80，加上84。应该大一点是吧？好，那接下来我们来解一解它的这个数值，然后这个最后这个大家可以进行。啊，求解求解的话，你可以把它进因式分解一一六和14负负，所以它有两根，一个根六一个根是。啊，

这个14，所以它大于零，应该取两边，所以a小于六或者a大于14啊，但是呢，第一个啊，第一个式子呢是得到是。a是大于二的第二式得到是a是大于五的，所以找这几个交集知道吧，找几个交集交在一起，你可以画个数轴，可以看到交在一起就可以得到。啊a呢？应该是大于五，小于六，

或者是a大于14，好把题干化解完后，只要条件范围落在这个题干范围之内，它都算充分。好吧，所以条文一是满足的条件，也满足两条件，它都是OK的好，这样答案应该选择的4d选项。啊，两条都是可以的好，这是它的判断的方程根，如果这条感觉两个不相等的正实根一样的去分析，或者有一正一负根类似的去变形就可以了啊。学会变通就可以了好，

这是利用北达定理可以判断方程的根的一些。符号正负情况。啊，另外第五个就相当于是方程根的范围，根的范围的话，那这时候呢，你不能用韦达定理，所以大家一定要注意是不能用韦达定理，因为韦达定理它的能力有限，它只能。解决方程的正根负根，这种正负的情况可以用韦达定理，但是呢，它比如说更精确的一些范围，它这个韦达定理呢，

是能力达不到的，所以它只能是画出抛物线。根据抛物线与x轴的焦点位置来进行分析啊分析，比如说咱们把这个图画出来，图画出来，然后呢，根据抛物线，它的交点在什么地方就什么呢？根就在什么地方？列出式来进行求解就可以了。下面咱们看下第14题。关于s二次方程，它的两个实根是阿尔法和贝塔，它有两个实根。先满足呢阿尔法这个时根呢，

再负一到零和贝塔正好在零到一。啊求m的取值范围包含几个整数好，这个题大家在做的时候呢，我们要注意就结合画图做就行了，不能用韦达定理。有同学呢，可能想把这两个相加。然后再把这两个相乘用韦达定理这样做呢，是错误的，为什么呢？因为不等式通过相加或者相乘运算以后。它的范围会比原来扩大，所以在这里面呢，它改变了题目，所以做出来就会出错，

所以这道题的正确解法呢，应该画图分析。画图啊，由于它这个是二次方程，它这个m肯定不能为零，但是呢，它开口有可能向上，有可能向下。所以说它的m大零开口应该向上m小于零，应该开口向下。啊，开口方向呢，这时候呢，它有两种可能性，但是如果我们要呃分情况讨论的话，

就比较麻烦是吧，我们先看开口向上，开口向下，它有什么规律没有？好吧好，首先阿尔法在负一到零。然后这个是贝塔在零到一好，那说明它这个抛物线如果开口向上的话，它是应该是这样的，开口向上，开口向上。开口向上的话，那这个有个交点，这个交点就是阿尔法这个根是吧？落在负一到零区间，

贝塔这个交点正好都落在零一这个区间。是吧，所以这是它的这个特征，所以我们可以看它的这个特征就是负一的函数值和零的函数值，那么一定是。啊，一正一负的啊，负一这个函数值是正的零这个函数值是负的。然后呢？一这点行值又正的是吧？这是开口向上的啊，一种情况啊，如果开口向下，我们再讨论一遍，那就比较复杂了。

啊，开口向下，开口向下的话，那这个负一是负的，零是正的，一又是负的啊，这一块儿是吧？所以我们能不能把它合并一下，大家发现不管开口向上，开口向下有个什么样的？小窍门呀，就负一和零，它的端点值是不是一号的呀？你看一个负的一个正的或者一个正的一个负的是不是它正好一号的，所以我们就可以写出这样的就f负一。

乘以f0正好小于零，还有这种异号，这样就可以了是吧？异号两端的函数是异号，另外就f0×f一，它这个也异号。啊f0的值和f1的值，这两它也是异号的。啊也一号，所以在这里面啊，那么它这个就是一负一正啊，就可以判断它有根，所以一会儿咱们会给大家总结结论，只要在区间里面，它端点值含了一号。

那在这个区间，它一定是存在根的。啊端点值异号，它就会存在根，所以接下来我们呢，就可以把这个表达式给它算出来f负一怎么算呢？f1大家就可以把s=- 1带到里面去，就m+m- 1+m。减五，这是f负一的值乘以f0就m- 5。然后这个呢f0的值f0的值就是m- 5×f一的值f1的值就m-m+1，加上m- 5。它是小于零的，对吧？所以把f负1f零那么都给它写出来，

写出来，接下来我们就可以推出它的范围。那第一个呢？大家可以得到，那正好就是呃3m减六三m减六两边都可以提出三约掉一个三三m- 6得到m- 2。然后这个m- 5。它是小于零的，然后接下来我们看m- 5。m- 5，然后这个呢就可以把m又可以约掉，得到m- 4。小于零好，那第一个我们就可以得到m呢，是二到五。这个m是四到五，

知道吧？所以说它的这个交集，我们要找它共同交集，交集的话就可以推出m是四到五。m4到五号就说明m的解集中，它只包含了没有整数啊，零个整数是吧？它没有整数，所以说正确答案应该选择a选项。啊，没有整数，所以这是通过画图这道题，我们巧妙的啊，就是把这个开口方向，这个问题就解决掉了，

本来这开口方向应该讨论开口向上，开口向下。讨论的是吧？咱们这块儿就不用你讨论了，所以我们就通过端点含有值的符号来分析方程的根啊，所以说以后遇到根的问题。啊，就转化成端点函数值好吧，将根。的范围。转化为。端点函数值它的正负。来分析。第二个我们就可以通过这里给得到什么问题啊，只要端点行值一号，

该区间必然有根好吧，就是如果。区间的端点函数值一号，如果某区间它的端点函数值一号。一号那么它该区间b产生根。该区间b产生根，如果在同号是不一定产生根啊，同号的话，它不一定产生根，如果异号，它一定是产生根，同号的话是不一定的，同号有可能产生根，有可能没产生根。知道吧，

所以这时候大家要注意，它只要一号一号有点像咱们过马路一样，就从马路这边过到马路，另外一边肯定要穿过马路，跟马路一定有交点。好吧，这是它的一个图像的含义，要弄清楚好看，各位同学是不明白了。

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