第三章-综合提高题-条件充分性判断（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:43:08

啊，尤其对于条文通分办理表达式化，简求值代数式这一块儿，很多同学条文通分办理喜欢用特值法在特值法里面，我给大家强调一下这个特值法啊，它的注意事项和陷阱。啊，特殊法在问题纠结题里面使用起来啊，一般不会掉到什么陷阱那么？特殊法再重新判断题，大家注意，很多同学在考场上就会出现这样情况，比如说考试时间不够了，比较紧张这时候。就随便取了一个值，

其实带到题干里面发现正好等于负三，他又认为这个条件充分，这有很大的风险，听懂没有？所以特值法。它不能证明条件充分，因为取得这个值满足题干啊，但是其他值不一定满足题干啊，所以特征法啊，不能证明条件充分啊，不能证明充分。好，然后只能证明条件不充分。只能证明不充分好，也就说我们在条件充分判断题代售这一块儿取特值时候，

大家一定要找反例，找不满足题目的这个表达式。数值的一些反例。好吧，这是特征法给大家进行强调的考点啊好，所以这道题它的考点有考察表达式的化简求值。表达式，它的化简。和求职。掌握这样的做题方法好，那而且我们强调过，如果题干比较复杂，先把题干呢给它。啊，变一下形，

变一下形，以后我们再把条件带到里面去分析好吧，所以这道题我们先把这个题干变形吧。好，大家看这道题目，它给的是一个分式分式，我们想到把这个分母都为b的，可以放在一起。分母都为c的放在一起，分母都为a的把它放在一起，是不是这样就是更方便一点，所以在在这里没有想到这个题干它要等于把分母含有。a的放在一起，还有a的放在一起就是b+c是吧？还有b的放在一起b放在一起就是a+c。

还有还有c的放在一起，还有c的放在一起就是a+b啊，还有c的放在一起就是a+b。好，这样的一个情况好，只要看这个值是不是为负三就行了啊？这样的话就简单。好，那我们来看，由条件一条件1 a+b+c=0 a+b+c=0，又推出b+c又等于负a是吧？然后a+c就等于负b。a+b就等于负c，然后在这里面大家就可以带入题干里面去，就可以分析这个分子b+c换成负a。

是吧，然后a+c换成负b。啊，这个换成负BA+b换成负c，然后在这里面正好算的，就等于负一，所以调解一呢，它是充分的啊，调解一。啊，它是满足这个要求的条文一充分。好，那么条件二的话，条件2 a+b+c要等于一，要等于一，

就说明这个b+c就等于一个。啊b加c，它就等于一个一减a是吧？然后a加c就等于一减b。a加b就等于一减c，那带到这个题干，大家可以发现这个题干，它要等于一个这个a分之一减a，加上b分之一减b，加上c分之一减c。啊，得到这样一个啊，做题的方法啊，所以在这里面大家呢，就可以看出就等于一个。

a分之一加b分之一加c分之一再减三。是吧，所以这样写出来，然后a分之一加a分之一加b分之一加c分之一啊，然后这个又怎么写呢？我们就可以看出。这个呢，它可以写成ABC分之a加b加c啊，但在这里面大家可以发现ABC具体值都都不知道，所以说这个就不确定它是不是等于负三了。是吧，所以这个往下呢，就不用再推了啊，因为这个a分之一b分之c分之一，大家可以举一些反例就可以明显看出它就不一定等于负三。

啊，所以说这个条件儿呢，是确定不了的，所以这道题就选择a选项好，通过这道题给大家进行强调，就是在使用特值法的时候，一定要注意啊，很多同学喜欢在条件通行范围用特值。这个特征法千万不能取正面的特质，只能取反面特质来进行分析啊，一定要掌握它的特征。此外，在做这道题的时候啊，遇到这个多个分式，大家看看有没有相同分母的合在一起啊？

掌握这样的做题的要点，看是不是学会了？好，下面咱们看第二题，这道题这道题呢，也考察同样的问题，只不过这道题比上个题的要复杂点，这个分式的分母都是平方是吧？分式分母呢，稍微复杂点，所以它的考点也是考察这个代数式的化简。但是是化简这道题要采用一个因式分解变形。啊，用因式分解变形做就行了好，那我们先把这个题干化简一下，

这个题干呃，第一个就b+b^2加c方减a方。是吧，所以在这里面我们就可以看出它都是两平方b方加c方，然后减一个a方。这个是c方加a方又减一个b方。这个呢，是a方加b方，然后又减一个c方好，这样的特征，看它是否为零好，那在这里面，我们看根据条件一，我们把这个。数值带到里面去，

条件一条件1 a+b+c=0，我们带入上市这个题干。就等于第一个分式，我们把这个a把这个里面的a啊给它换掉，把第二个分式的分母b换掉，把第三个分式。分母c给它换掉就行了啊，所以b方加c方减去一个AA换成负的b+c负的b+c^2还是b+c^2啊？第二个分式就是c方加a方，把这个b给它换成负的a+c负的a+c^2还是a+c。好，那么第三个就是把这个c方把这个c方c方呢换成一个。啊c方换成一个a+b。这样就行了啊c方换成一个a+b，这样就可以了，

看这个是不是学会了，然后这样我们化简完后第一个分式就变成因为大家把这个b+c^2给它展开展开，跟这个b方c方。正好都能抵消掉，所以负的2 BC，加上这个负的2 AC，加上一个。负的二AB好提出一个负二分之一来，所以在这里面就负的二ABC分子正好是a加b加c是吧？通一下分。这样正好就为零啊，因为条件一，它说a+b+c正好。等于零嘛a+b+c正好等于零，所以做到这以后把这个分式给它通分，

通完以后分母就是。二倍的ABC分子就变成a+b+c，而a+b+c，它正好为零。好a+b+c，它正好为零带到里面去，它这个数值就为零了，这样就写出来了，看这个是不是学会了，是不是弄明白了啊，所以条件一。这个是充分的条件，如果a方b方c方要相等a方b方c方要相等的话，你把这个题干里面。都把它用a来表示就行了嘛，

是吧？所以说等于那第一个就是BC都换换换成a是不是就是a方啊？第二个也是a方，第三个也是a方，所以这个呢，明显呢不为零是吧，因为它分母，它要有意义，它不能为零，所以这道题。条件呢，是不充分的啊，所以条件一充分，这个答案就选择a好，这里大家看学会没有用，

到了平方公式啊，这个变形，然后再用通分。然后再把a+b+c带到里面来就可以了，看这个题是不是学会了？好，那么第三题这个题这个题主要考察分式，还有根号，它的一个化简变形。这个题有稍微难点，就考察分式。还有根号。它的化简。和变现。好，

那关于这个根号，大家想想，如果直接把这x带到里面去，你感觉一下它这个表达式是不是非常复杂？因为x这有根号，你发现没有？而且这个根号里面，它还是双重根号，你看到没有？x外面一个根号里面，它又有个根号，小根号就有双重根号。所以在这里面，我们呢，直接在这里面化简了就比较复杂，

所以在这里面我们想办法根据条件和条件儿，我们一块儿来推，因为有时候我们条件一条件儿长得差不多。长得差不多，如果分别去做的话，你得算两遍，考试的时候时间不够，如果长得差不多的话，就一块儿推就行了，好吧，一块儿推，因为这个反正。这个条件一可以得到x平方等于19-8倍根号三条件2x平方等于19+8倍根号三。所以说一块推出就可以得到x平方减19就等于正负八倍根号三。好，

那第一次那有同学说呃，怎么往这方面去想啊？就是怎么去想？我要给大家强调一下，因为这个根号呃很复杂，我们肯定要是去根号啊，所以说要采用平方法去。去根号。它那双层根号的话，平方法平方一次只能去掉外层根号，看到没有外层根号去掉了，然后里面这一层根号还要再次平方，所以再平方一下，再平方大家可以发现。啊，

这地方不管是正还是负，不管是条件一还是条件正和负也好，那这个平方它们两个都变成一样了是吧？所以再平方主要是平方减19的平方。就等于后面平方就是64乘上一个三，当然这个数稍微大一点啊，这个x平方减19平方，把它展开，咱就变成x四次方了是吧？所以这样我们就可以把它变成一个这样的一个表表达式啊，所以就变成一个就是。x平方。减19的平方。啊，减掉这个64×3就变成192啊，

就192它正好就为零是吧，所以这个。正好是192，然后把这平方19的平方，大家就可以算出来361减掉一个192就得x平方减38。啊x四四次方减38x平方减去，加上一个169，它为零。是吧，这样169它有v0啊，所以在这里面这样好，那做到这我们就用了，前面讲过的，还记得我们讲的秋后算账。啊，

最后算账的话，我们就往这方面去换就可以了，好吧，所以我们先换分子啊，分母先不动好吧？分母线不动好原式。就等于。也就等于这个分子的x次方，我们先给它凑出38x方加169啊x次方减38x方。加上169。然后在秋后算账，然后这个地方是33x方，这地方是38，所以要给大家补上一个5x方。然后这地方有个负40x就照写负40x给它照写。

然后剩下244，这地方是169对吧？169这是244，然后正好是。75那75，然后比上x方减8x，加上15。好，那大家可以做到，这可以发现一个什么问题呢？就这个括号里面，前面的括号，它都为零是吧？这些括号里面它都为零嘛，就不用管它了。

就剩下分子就剩下5s方减48s，加上75分母剩下s方减8 s+15。大家虽然可以看到x咱，不知道咱没关系，不用管它，这个分子正好是分母的5倍，看到没？你看这x平方，这是五倍x平方正好五倍的40，这是八。这是75，这是15，正好是五倍是吧？正好是五倍的话，那么说明它就成立就充分了，

就不管条件一也好，条件二好，这个正负。其实对后面来说不影响啊，一和二它都充分，这道题答案就选d，所以这道题出题比较巧妙，我再给大家讲讲这道题，它的处理方法啊。首先，它要遇到一个二次根号儿啊，就是根号儿里面又有根号儿，那么这种情况的话，大家先呃平方，而且平方两次啊，

平方两次把根号儿去掉。变成一个某个式等于零，这个是很关键的一步。变成这个等于零，变成这个等于零以后，然后用我们前面讲的拼凑加秋后算账的这种方式，从前往后逐个找，找完后看剩余的表达式，结果等于多少就可以了。好看，这道题是不是听懂了？是不是明白了啊？所以大家听完这道题以后，对于双层根号儿，还有这样的表达式化，

简要学会它的方法。下面咱们看第四题。好，第四第四题其实跟上题差不多，也是把它按照这个变形变形，然后找答案就行了啊。好，第四题这道题的考点。也是考察代数式的化简。代数式化简，然后呢，我们也采用拼凑，加上切后算账的方式。啊求后算账方式来写条件一，它说m是这个方程的根，

那么m应该满足方程就说明m方减3 m+1为零。是吧啊，就是m它这个方程的根啊m是这个方程根就说明m应该满足这个方程好，那么下面我们就要干一件什么事儿呢，把它拼凑出m方减3 m+1来就行了啊。好，所以我们来看一下题干。先等于那么这个二倍m三次方等等一大堆，甭管它，我们先秋后算账啊。先凑出一个2 MM方减3 m+1，大家可以看到这个2m×m^2是不2m三次方就有了，就那么剩下都采用秋后算账啊。这个乘开以后，大家可以发现是不是负的6m方呀？

负的6m方这地方是不是负的5m方啊？负2y方，你得给大家补一个什么呢？啊，这是负6m，这是负5m，给它补一个m方吧，是不是这样的好，然后这地方呃，这个有个2m对不对？这有个2m2m，人家没有2m啊，没有2m是不是得给它减一个2m啊？对不对？减一个这个2m。

是不是这样的？好，后面还要减一个三。然后加上三÷m^2加一，是不是这样的好？那大家知道前面这一块儿是不是就为零啊？前面这一块儿它就为零了，这一块儿就没了为零好，接下来我们再看剩的是m方减2m减减三，再采用秋后算账的方法。现在m方减3 m+1。然后接下来还剩什么m方有了吧，这是负2m，这是负3m，是不是得给它添上一个m啊？

对不对？是不是添上一个m，想一想添上m，然后这个是一人家原来是负三。啊，原来是负负三，是不是还得给它减一个四啊？减一个四，然后加上三÷m^2加一，是不是这样的？好，那在这一块儿这一块儿是不是又为为零了是吧？这一块儿又为零就不用写了，所以这样找到它的方法没有？好找到方法，

以后我们再来接着看这个分母的m方加，一是等于多少呢？看看m方加1m方，因为m方减3 m+1为零嘛。说明m方加一是不是就等于3m啊？看到没有？就这个m方加上这个一是不是等于3m啊？所以分母其实就是3m啊。所以啊，所以它就等于一个m- 4。等于个m减四加三除以三m，其实就是m分之一了，是不是这样的？所以它这就是这个东西，其实就是m分之一，

看这个是不是学会了？好m分之之一，然后这个就可以写成m分之一，给它通分啊m分之m方减四m加一。是不是这样的？好，那么大家知道m方减3 m+1 v0，那说明分子是不是就给它剩一个负m啊？这是m就等于负一。所以条件一它这个等于负一就充分的好吧，充分的。好，那么条件我就不再做了，跟它类似啊，同样的做题方法好吧，

就跟老师讲这个方法类似，也自己去训练一下啊，总之对于这种化简咱们。从呃基础讲到现在，大家学会了没有就采用啊，先找到一个关键点，让它等于零，然后接下来这个所求的表达式采用啊。啊，拼凑加秋后算账慢慢慢啊，往后找就行了啊，出现这种理念这样就行了啊，好，这是给大家强调条件二不充分，这道题正确答案选a啊，

这个。条件儿我就不再花时间给大家进行推了，跟它的方法是一样的，自己呢，下去做一做。好，下面咱们看一下第五题这个考点，这个考点不是很难，就是直接是求求值就行了啊。直接是化简求值。化简求值，本来咱们前面讲了化简求值是呃，先把表示化简，然后再代入求值是吧先化简。先把这些事实化简再带入就是，

不过这里面a给的比较简单，看a为1a为负一，这个里面比较简单啊，所以在这里面大家呢，就是直接就可以。啊，把条件带到里面去啊，那当然也可以按照解析里面给的，就是把这个表达式化简化简完后，然后再讨论a的取值，这样也可以好吧。不过我觉得这个代入更快。啊代入分分析代入分析两个条件算完都是正整数啊，都选d我这个就不再代入了好吧，就是a=1自己代到里面这个数算出来这个数也算出来。

a=- 1带到里面去。好看这个表示值是不是都正整数？当然，如果这个a的表达式比较复杂，比如说a等于改成a=1加根号三，那这个带到里面就很复杂，你看这个a的三次方怎么带呀？对不对？你这个就没法带吧是吧？还有这个a三次方这a的平方，这个带当代入比较复杂的时候，大家这时候呢，就要先化简再代入。好，如果你发现a的值比较简单，

你就直接可以代入好吧好，那这个化简的话，大家呢，就采用这个因式变形的方法，我给大家进行化简一下啊。因式变形的方法好，万1a的值比较复杂，这时候大家可以先化简，最后再把a带到里面去，好大家可以发现第一个呃分式分子，它前面a方减4 a+4就可以写成a- 2^2。是吧，然后后面就是a的三次方减二。好分母，分母的话，

大家可以看这a的三次方减6a方，这是12 a- 8，你想办法把这a的三次方跟这个八。这两个搭配因为a的三次方减八八，可以写成二的三三次方，听懂没减6a方加上12a。这两个搭配，这两个搭配啊，减去后面，后面就是a+1乘以个a方减a+1乘以个a÷a- 2。好，那在这里面，大家可以发现啊，这个a的三次方减二三次方，我们就可以进行什么呢？

进行一个立方公式的分解是吧？立方公式分解可以分成a- 2乘以个a的平方+2 a+4。好，后面这个呢，可以提出一个什么呢？提出个负6a，又得到是a- 2啊负6a。是吧，这样就写好了，减去这个a+1乘以个a方啊，减a+1 a方减a+1其实就是。这个其实就写的就是a的三次方。加一的公式了是吧？其实这个其实就是a的三次方加一的立方公式。这是a- 2是吧？

好，然后在这里大家可以发现这个上下是不是可以把这个分母这个a- 2就可以把它提出来是吧？所以说咱可以把。分母的a- 2提出来，提出来以后，然后再分子再化简啊，所以提到。提到这来写。这样话就是a- 2，所以我讲这道题的目的是把这个题的一般方法给大家强调一下，就这道题的分解变形一定要会啊。好括号里面括号里面就变成a方减。a方减4 a+4。上面就是a- 2^2a的三次方减二，大家发现这个a- 2^2跟a方减4 a+4是不是就约掉了？

对吧，约掉了约掉，然后呢，这个前面又剩的是a- 2，上面就是a的三次方减二。这个是后面的a- 2a的三次方加一，所以最后再通分，这个其实就不用通分了，都是a- 2分母都是a- 2对吧？分母都是a- 2分子，就是负三好，如果要使这个值，要是正整数正整数的话，那大家知道a- 2它可以取负一可以取负三。这样的话就可以把a的值求出来好吧，

如果这道题要改成啊，问题求解题问a有几种取值情况，这时候大家呢要会讨论。啊，所以这道题大家要会进行因式分解，便携啊，我再说一下这道题由于a比较简单，就不要采用这种方法，直接把a=1。a=- 1带到里面去，如果a的值特别复杂，一定要先变形，然后再把a的值带到里面去啊，而且这道题变形有同学不太会，我给大家进行补充一下这个过程。

因为书上没有写这个过程，可能有同学呢，不太会，大家把这个过程呢，就可以记一记啊。好，那第六题第六题这道题是一个整除问题啊，整除那在这里面我们来讲一下整除的方法好吧，整除。郑州因为它告诉我syz它是不为零的，在这里面大家注意它的方法。好，那我们这道题大家在做的时候，我们呢就可以采用因式啊，所以表达式整除。

表示整除你可以令除式为零是吧？大家当然不要想了，这个分母为零，它是不是没有意义？这块儿其实不影响咱们的代数式啊，所以令除式为零，然后来求出它所满足的整除的条件好吧，所以这道题。它被x+y整除，你可以令x+y+z它为零是吧？令x+y+z它。它v0。啊，应该是加二+z为零，就把这个条件找出来啊，

所以第一种方法呢，是把题干化简完，然后再看两个条件谁充分？第二种方法是由下往上推，我把这两个方法都给大家进行介绍一下啊，第一种方法方法一。方法一方法一的话，我们就令x+z为零，那这个z就等于负的x+y是吧？z又等于负的x+y好，那么代入这个表达式就变成了x三次方加y三次方，加上zz的话就相当于是负的x+y的三次方。加上m×xy再乘以个，这相当于减了对吧？因为z是负的。

好，只要让它等于零，那这就说明整除的是吧？能整除，然后把这个x三次方加y三次方用咱们讲的公式展开啊展开展开以后我就多写一步，展开以后就减x三次方减y三次方。减去3x方y，减去3 xy方。减去这个m倍的xyx+y。是吧，就这样的一个情况，好得到这样一个情况，以后我们在这里面就可以看出什么情况呢？就是这个x三次方y三次方这个就没了。然后这两个就可以，

是不是就可以提出一个xy提出一个3 xy两边通成一个负号吧，通成一个负号看这个负的这个负的负的都变成正的。所以提出一个3 sy，这是x+y，这个加上m倍的xy，这也是x+y。等等于零是吧？好，那做到这我们就可以得到，就是再提公因式就变成m+3乘以个xyx+y。它为零是不是这样的？好，那就可以推出，它要能整除的话，因为题目说了x×y×z不为零，

那只能推出。就是m+3为0 m=- 3或者x+y为零是吧？就这样的啊。啊，一个情况。这样的一个情况啊，好那么大家可以看m=- 3条件，二是不是就充分呀？条件件充分，那其实条件一这个y+z为零，它其实也是可可可以的。其实y+z你把这道题x给它换掉，其实这地方就变成y+z了啊，听到没？所以说在这里面，

你把我写的这个过程里面呢，你自己去写啊，把要写的过程里面呢，把这x给它换成负的y加。加z，然后带到下面去，最后这地方就是y+z就为零好吧啊，或者是y+z就为零啊，这个带到里面去带到这儿。yiv所以题量一呢，它也充分好吧，反正我们第一种方法是把题干利用整除里面的因式定理的方式，令除式为零，令除式为零以后。我们呢？

就可以呃，找到它整除所满足的条件，满足条件，然后再必要两条件谁？符合谁就充分，这是把题干化简完，再对比两条件，注意不是由上往下推，我再强调一下，咱们做重新判断题，不能从上往下推啊。我们这个解题思路是把题干化简完，把题干满足的条件写出来，写出来后，然后再对比两条件，

然后判断谁充分这样就行了。好吧，这是给大家强调的。好，然后方法二我们来介绍一下方法二。方法是由下往上推，就传统方法了，由条件1 y+z等等于零。那有推出这个z就等于。负y是吧？好z=-y，那么这个x三次方加y三次方加z的三次方能不能被它整除呢？我们来看一下。好吧，看这个能不能被它整除？

好，那相当于是就相当于加上m xyz，你就把这个z换成负yz，换成负yz的三三次方。跟负y的三次方，这个就没了是吧？就没了就变成x三次方，然后这个z换成负y就变成。imax这个y方就等于x×x平方减my方。好，大家可以发现，由条件1 y+z要为零的时候y+z要为零的时候，这个地方是不是又变成x了？是不是你看这个x+1+1，是不是就变成x？

我只要证明这个东西能被x整除就行了，听懂没看这个东西是不是能被x整除啊？你看看，因为它这个能分解出x嘛？是不是能被x整除？所以它这个是不是充分呢？好，我来再介绍第二种方案，第二种方案我们是由条件往上推啊，条案一条案一就是y+z=0的时候。y+z=0带到这个表达式带到带到前面带到后面都得带啊，这个y+z为零的时候，这个就变成x了，我只要证明前面这个表达式能被x整除就行。能被x整除的话，

好，那我把这个呃里面的y+z呃换成零带到里面去，在里面发现它确实能分出x能分出ix来。所以它就能被x整除，所以它要充分好，那么条件儿啊，这个因为条件儿比较呃重要一个公式，我要给大家推导一下，主要把这个擦掉啊。所以有条件儿，因为他用的篇幅比较多，条件m=- 3 m=- 3就是x三次方加y三次方加z三次方减3 xyz。它能被x+y+z整除有个重要的分解啊，一定要记住啊，这个考试要用，

如果你要没记住的话，考试现推的话比较比较费时间。所以现在呢，给你推导一下啊。看怎么推？好，那么它能不能分解出x+2+z来是吧？好，前面x三次方加y三次方前面的x三次方。加y的三次方，我们用这个立方公式x+y的三次方。减去3x方y，减去3 xy方是不是这样的，然后加上z的三次方再减3 xyz？看这个是不是学会了，

所以x三次方加y次方可以写成x+y括号三次方减3x方y- 3 xy方？再加z三次方好，那接下来以后我们呢？在化简的时候，大家要掌握什么呢？要掌握把这个x+y的三次方跟z的三次方两个合在一起。把这个东西这个东西这三个东西再合在一起，合在一起，大家看一下它的这个表达式x+y三次方，加上z的三三次方。我们用立方公式可以写成x+y+z乘，以个x+y^2减去。x+y×z，再加上z的平方是不是这样的？好，

这个就写好了，然后接下来这三项我画三角的这三项，这三项是不是有个公因式来告诉我是不是可以提出一个三？xy啊3 xy括号里面剩的是不x+y+z啊，想想一想是不是就画三角儿这三项，这项大家可以提个公因式提出一个3 xy来。提出3 xy呢，它这样剩了s+2+z，大家可以看好，这地方有一个s+2+z，这地方也有s+2。加z是不是在这里面有x+2+z，这就有了有，然后呢？要括号儿里面大家合并一下啊，

合并一下，我就给大家进行写一下它最终。最终的话，那这里面最后你把30y往里面扔，这个x+y^2也展开啊，这些都给它展开展开就可以变成。x方加y方加z方减xy-yz-xz。好吧，这个自己下去化简啊，就是呃提出s+y+z以后。提出来以后，那么括号儿里面剩余的部分，剩余部分就变成x方加y方加z方减xy-yz-xz，这样就写好了。看这个是不是学会了？

是不是就弄明白了就行了，所以说通过条件我们发现当m=- 3的时候，这个表达式可以分解出。x+y+z来可以分解出x+y+z来，所以它能被它整除，所以条件二也充分，所以这道题正确答案选d啊。所以这道题得一定要记住x三次方加y 3+z三三三次方减3 xyz就等于x+y+z×x^2加y方加z方减去xy-yz-xz啊，这个东西很重要。那要把它记好好，这给大家强调的做题方法，这里给大家讲两个方法，大家补充一下啊。

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