第三章-基础自测题-条件充分性判断

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:42:08

好，下面咱们来看一下，重新判断题。啊，重新重新判断题，特别容易错，大家在做的时候呢，一定要小心，因为它容易设置陷阱好，这里考点是考察多项式整除。好多项式整除我们讲了，你可以用这个因式定理，其实因式定理它的本质理解是什么呢？让这个除式等等于零，对于这道题啊。

我们采用先化简题干，然后再比较条件的做题方法，注意我们这样的题不是从上往下推啊。啊，有同学理解了，老师是不是从上往下，然后推下面的不是这样的啊，因为咱们重新判断题是一定是由下往上推的，只不过咱们这道题的做题方法是先化简题干，找出它的等价要求。等下要求找到以后，比如把m值和p的值，等下要找到后，然后再对比条件啊，还是由下来对比题干的啊，

还是由下推上，别给推错了。好，我们令它等于零可以得到x的数值就是为负一，还有一个数值为负二是吧？所以在这里面我们来看一下。s=- 1带到里面去，它应该为零是吧？所以s=- 1的时候带到里面去，它为零它为零的话s=- 1带到里面就变成一+m+p+2。等等于零是吧？就是x=- 1把它带到里面去，然后x=- 2的时候就是16+4m，加上2 p+2。等于零这样就行了，

然后这样自己解解解就得到m=- 6p呢，是等于个三。好吧m=- 6p呢，是等于三的好，这样就可以算出它的做题的方法，看这个是不是学会了？好，那算完这个以后我们再对比两个条件，谁充分那么条件一充分条件二不充分，这道题正确答案就选择a看是不是弄明白了，是不是学会了？好，下面咱们看第二个题，第二题也是考察整除啊，考点一样也考多项式整除，

只不过它这个。复复杂一点，未知数参数多一点是吧？也考的多项式整除多项式整除的话，它的做题方法非常固定啊，固定那就让这个除式为零，把s解出来带到原来这个式子就行了好吧？所以在这里面好，那么就是令x方加2 ax+a=0整除，只不过这道题跟。上面的不太一样的，大家呢，就可以发现它这个就变成x+a括号的平方是吧？这个就变成x+a括号平方x+a括号平方就可以把它看成x+a×x+a。它这两个音实际上是一样的，

这是这道题的难点啊，所以大家这道题一定要好好听听，如果要是两个音是要一样，那怎么办？如果两个音是要不一样，那就很简单，因为x+1就像上一个题x+1×x+3正好可以写成。x+1×x+2，它这两个因式，你看这两个因式，它不一样，你发现没有？x+1和x+2这两个因式不一样，不一样，我们解起来简单，

因为不一样的时候x有两个值，有两个值带到里面去，可以把pq。解出来，如果这要是变成一个x+1^2 x+1平方，那只能得到x=- 1只列出一个式子啊，这个m和p呢，还是解不出来的。是吧，所以这道题就面临这样一个问题，面临这样问题的话，方法一可以采用待定系数法做是吧？方法一所以采用待定系数法。好待定系数法就稍微麻烦点，我把书上的方法给大家介绍一下，

就x三次方减3 px，加上2q等于个x方加2 ax+a^2。然后乘以一个某个表达式，对吧？乘以某个表达式那代点系数法的关键点和精髓是什么呢？就最高次大家可以看左边，最高次是x三次方，对吧？右边这个x平方必须乘以x它的才能得到x三次方，也就最高次乘以最高次得到左边最高次，后面这个乘数可以写一个b，然后这样的话，大家就可以列出两边。门当户对，刚才我们在讲这一章的第一个问题，

求解题时候讲了两个多项的相等，就门当户对做门后的x三次方，那这一块儿就写好了，但是大家可以看左边x平方项，它没有x平方项，没有就说x平方项系数。v0对吧？所以x平方项左边系数v0，右边x平方项谁跟谁乘出来呢？大家可以看x平方乘以b。是不是就得到呃x平方呀？就得到是b，然后再加上这个2 ax×x是吧？就相当于加2a是吧？这样的话就x平方系数就写好了。

然后再看x项啊，那么等号左边x项呢是负3p对吧？负3p那么等号右边x项是多少呢？等号右边就是拿这个2 as乘以这个b。2 as乘以这个b就得到是x的，这个系数就得到2 AB，然后呢？就是这个还有得到s项是谁呢？就是这个a方乘以这个x这样也行是吧？a方乘以x又加上a方，然后再看这个x项x项，大家可以发现等号左边等号左边是不是没有x项啊？等号左边没有x项说明等号左边x项系数就为零。右边x项，我们看x项的话，

只能是这个2 ax。啊，这不是s项，刚才咱们讲了这个就是常数项。啊，就常常录像。好那么长项长项是2q对吧？长项是2q，所以等号左边呢就是2q。好，那等号右边乘项乘项指的是a跟b方相相乘的是吧？a方乘以b。啊，只能这样的，所以这个常数项好，

这三个表示含有再解释一下，两边门当户对就s平方项，左边和右边要对应s项，左边和右边对应常数项。左边右边要对应这样话就三个未知数，三个方程就可以解出来好，你把这个b=- 2a带到里面去带到。这两个式子里面去啊，我们就可以推出这个自己带啊，把b=- 2a带到第二个式子和第三个式子来是吧？把这b换换。换句得到p，就等于a方，然后呢？q=-a^2。

啊负的a的三次方啊啊，那正好是负的a的三次方好，那只有条件，二是充分的条件，一呢是不充分是吧？所以这道题正确答案就选择b选项，这样就求解出来了，好，这个给大家强调的做题方法，看是不是学会了？好，那么第二个方法我们来看是什么内容呢？第二方法好，第一个方法来记，然后我们来看第二方法，

第二方法就采用这个分解法。啊，分解法分解法就是因式呃定理和分解相结合啊，因式定理和分解相结合，两者相结合来做啊，这个大家记完没有记完了，我们看。第二方法，第二方法就是如果它这个是x+a^2，就等于x+a×x+a，那就因式定理，因式定理的话，因为它这两因式一样，那么因式定理还不行啊，自己还用不了。

还得结合分解法。还得结合分解法这两个因式一样，因为因式定理，它只能只能得到x=-a的时候，原来这个式子为零是吧？x=- 1的时候，这原来四为零就得到呃负a的三次方，加上3 AP，加上2q为零，所以它只得到这一个式子。看到没有，整得到一个式子，整得到一个式子的话，那这时候还确定不了啊，所以在这里面就是两因式一样。

那那就不行了，如果这两因式要不一样不一样，我们就可以得到两个式，就像上一个题一样是吧，就可以得到这两个得到这两个就可以解出来啊，解出来但它这两因式一样，我们先用一式定理处理一下，一式定理用完以后只能得到一个。方程那么另外一个东西怎么办呢？我们就可以把这个2q2 q=1个呃，这个是a的三次方减3 AP带回原的方程分解啊。所以原式就等于等于x三次方减3 px，把这2q给它换一下，换成。这个a的三次方减3 AP是吧？

这样的情况，这样大家把x三次方和这个。a的三次方合在一起，这两个合在一起x三次方跟a三次方是不是可以用因式分解啊？就分成x+a×x^2减ax，加上a方是吧？然后后面这两项3 px和负3 AP就可以提出一个负3p来，负3p的话就得到是x+a。然后大家看这两项是不是可以提公因式啊？提公因式是不是x+a×1个里面就x平方减ax+a^2减3p是不是这样的情况？这样情况好，做到这儿，大家认真听好了，做到这儿，做到这儿，

大家可以发现，原来它这个因式是不是有两个一模一样的，两个一模一样，我们通过分解可以发现。找到其中一个x+a了，找到一个了，找一个是不是还还少一个x+a少一个加a就说明后面这个东西又要再分解出来x+a再用一次因式定理，听懂了没有，就说明后面这一块儿它还能被x+a整除。还能被x+1整除，那么再分解后面这一块儿，再用一次小的因式定理啊，令x=-a，听到没？令x=-a的时候，

这个小括号里面应该为零。就得到是a方加上a方加a方减3 p=0，这样是不是就可以推出这个p的值？p的值是不是算出来就等于一个a方呀？是不是p的值是不是就a方好p的值等于a方算出来以后我们再把这个呢带到哪儿呢？带到这个地方带到这个地方就可以把q的值算出来。q的值就等于负的。a的三次方是吧？q就等于负的a的三次方，这样就求解出来了，看这个是不是学会了，所以这个条件二是充分的正确答案，就选择b选项。看这个是不是学会了啊？答案是不是求出来好？

我把这道题两个给大家概括一下方法，一的话，那么采用待定系数法，大家可以用啊。啊，方法二如果两个因式要一样，大家可以把这道题做一个模板，先用一次因式定理，然后找到一个方程，找一个方程，把这个表示带到里面分解分解，这样的话分解完了，它出现了一个这样的因式，对吧？后面这个因式怎么办呢？

第二个因式怎么办呢？第二个因式的话，我们呢就采用后面这个括号，再产生一个第二个因式。是吧，产生第二个因式，这样就求解出来了啊，大家看是不是学会这样的方法，大家好好记记这个答案。好，下面咱们看一下第三题，这个题这里主要考察分式的化简，求求值分式化简求值的时候，大家呢，要采用这个这道题用的立方公式好吧，

所以采用。分式它的化简求值化简求值，而且这道题呢，要用整体法，而且还要注意根号。啊，它的这个呃化简啊，这整体法还有这个根号。根号它的一个求解好，我们来看一下啊，这个先把题干化简完，再把条件带到里面去啊，先不要着急带，大家可以看x3 n-x的减去x的负三次方。除以xn-x的N次方好，

我们就可以写成x三次方，可以把它写成xn次，方括号在三次方，这是x的负n次，方括号在三次方，看这个学会没有啊，学会没有，因为咱们讲了这个a的。m×n次，方可以把它看成a的m次，方括号N次方，也可以把它看成a的n次，方括号m次方是吧？就有这样的公式啊，其实只要是这个方米，

两个是相乘的，你可以把它写成这样的公式，看是不是学会了？好写成这样，三次方以后大家可以看分子，可以用立方差公式来分解好套，咱们讲的立方差公式是吧？立方差公式咱们讲了a的三次方减b的三次方。就等于a-b×a^2加AB，加上一个b方是吧套这个立方公式，然后这个分子套这个立方公式。分出来前面的东西跟分母是不是就约掉了，因为它可以分解成xn-x。负N次方，然后正好跟分母约掉了，

剩下内容就是后面这一部分啊，后面后面部分就是x2n，加上因为这两个相乘，正好是互为倒数啊，互为倒数就唯一了啊，比如这两个相乘这一项。它正好就为一了，然后再加上x的负2N次方学会没有好，那下面咱们看条件一化简完后条件一条件一代入。我们就可以得到得到那么这个原式，就等于把这个s2N次方用三减。二倍根号二加上一这个x的负二N次方就是三减二倍根号二分之一好，然后把这个分母有理化有理化，正好三减二倍。三减二倍根号二分之一上下都乘以个三加二倍根号二，

所以说有理化以后正好变成一个三加二倍根号二。正好就为七，所以它这个条件一这个是充分的是吧？条件一这个就是充分的。好，这样就写出来了，条件能把这个二加根号三二减根号三也带到里面去啊，条件条件的话，这个带到原式就变成二减根号三加上一加上二加根号三分之一二加根号三分之一。又得到了二减根号三，所以在这二加根号呃二减根号三分之一啊二减根号三分之一就是二加根号三。二加根号三啊，这个算呢，就等于五，所以条件二它不充分啊，

条件一算的是为七的啊。所以这个情况一充分，所以这道题告诉我们就是先把题干给它化，简化简完以后我们再来把条件代入，不要直接代入啊，所以这道题考察指数运算和立方公式，大家要掌握它的做题方法。看是不是学会了掌握这样的做题内容。好，那第四题这道题这道题考察呃呃分式理理等等的分式啊考点。啊连等。分式。连等分式的话，一个采用设k法。另外一个就采用等比定理啊，

来分析啊，用等比定理注意等比定理它有个陷阱啊，一定要注意这个分母好不好，一定要注意这个分母。所以等比定理我们反复强调在前面讲例题的时候也说了啊，好，这要注意它的分母好那么调件，一有同学直接呢把这三个四相加。是吧，所以铁条一铁条一就x比上a+b=1个y比b+c=1个z比a+c好，把这分子分子相加。分母相相加，分母相加就是二倍的a+b+c，这个注意这个是当a+b+c不为零的时候得到这个值。然后是但是这个值的话，

还是求不出来x+y加加z的，这时候你就不用再讨论a+b+c。等于零，等于零，在这个时候要讨论啊，要讨论a+b+c不为零的时候可以用等比定理是吧，如果a+b+c为零的时候就不能用等比定理了啊，就不能用等比定理，当然这道题因为。在这种a+b+c不为零的时候，已经发现它无法求出x+2+z值了，只要有一种情况，它不满足题干这个条件，整个就不充分，就不用考试时候再浪费时间。

再讨论呃情况了啊好，那我们看条件儿条件儿，大家可以发现这个分母相加的话，它正好为零，我们讲了这时候就不能用，等比定理是吧，分母相加为零，不能用等比定理怎么办呢，就采用设k的方法。好令它就等于k，应该等于k就说明s就等于一个a-bk是吧？y就等于一个b-ck。啊，这个z呢，就等于一个。

c-ak啊z就等于一个c-ak。啊z就等于c-ak，所以在这里面好，那它这个就可以推出x+y+z，它必然就等等于零了好吧。所以在这里面，大家看条件，二是充分的这个答案就选择b选项，所以这道题就遇到连等的分式考试，告诉大家处理方法，一个是令这个等式等于k设k的方法啊，在比例里面。设k的方法，另外一个就注意它这个分式的分母啊，分母用等比定理做好吧，

这给大家强调的做题的要点啊。好，那么第五题这道题这道题考察轮换式考察也是考察分式的一个变形化简啊。你看xyyz啊zx是不是在在互相交换啊，所以考察分式它的化简，这是。遇到一个轮换就轮流交换。啊，把它称为一个轮换式。好sy的均是不等于一的非零实数啊，都是不等于一，而且它是非零的实数啊，都不能为一好，那么z加x分之一等于一条件一，大家可以发现肯定是不同，

因为条件一它都没有z你发现没有？条件上也不充分啊。全然都没有x，所以像考试这样，你都是属于很明显需要联合的。啊，明显联合，因为单独呢，看一眼就知道补充明显联合明显联合考试正确答案，要么选c，要么选e，在考试没时间的话，一般选c的几率比较高，到时候如果实在不会做啊，这个蒙猜大家要会。

啊，当然考试时候呃，尽量还是要自己思考，如果实在没时间了，你再去蒙猜好吧？好，那这道题肯定要联合联合我们看到底能不能推导出来？好联合怎么推？联合它要推z加s分之一，那么x呃z啊z我们要把它化成s，要把它化成，所以z加s分之一好，那么根据条件一，我们可以看条件一x是不是？等于一减y分之一啊，

是不是就等于y分之y减一啊，看是不是这样的，所以x。分之一是不就是y减一分之一，然后再看z啊，在条件条件下是呃z分之一等于一减y就说明z呢，就等于一减y分之一是吧？所以z就是一减y分之一，加上x分之一x分之一就是y减一分之y。是吧x分之一就y减一分之y，然后这两个通分就可以把它变成y减一，就上面第一个分式分子通成一个负一。是吧，会变成y-a，大家可以发现这个化简完分子分母是不是一样的一样，

它就为一，所以这样就证明出来了，所以这道题就采用代入啊把。条件一，把这个x给它解出来，条件二，把z给解出来，然后带到这个所求的式子里面去，这个算出z加x分之一，它的取值了。答案就写出来，联合充分就选c选项就可以了，看是不是学会了，是不是听懂了啊？好，

那下面咱们看第六题这道题，这里考点是考察两个表达式对应相等，左边是相乘，右边相加是吧？所以说多项式。相等对方是相相等情况，左边是乘法，右边是加法，好，那这个。如果注意，如果条件它给的是一个具体值，这个具体值直接带到里面就行了，这道题直接由下推推上，不要从上。

往下推啊，好大家可以看，由条件一条件一条件1x等等于一的时候x=1的时候，大家可以看左边的值。左边值是不是正好等于二×2×2×2=16好，再看右边的值，右边值等于一+1+1，一直加到15个一，所以算完也等于六。是吧，所以总共就是啊，十十呃16个一相加，前面还有一个一是吧，所以说这个加在一起啊，得到十所以说它这个是充分的对不对，

所以x=1代到。题干左边算的值跟右边算的值，它都是一样都充分，所以条件一是充分那条件由条件s不等于一。好x要不等于一的时候在这里面，大家怎么证明它相等？那有同学，我把两边呃，这个都展开行不行？都展开左边看这个乘法乘开太复杂了。所以在这里面啊，因为x是不等于一对不对x不不等于一，我怎么证明它是不是相等呢？我两边同乘一个非零实数，如果它要是相等的话，

说明它本身就相等了，所以左边乘一个。啊x- 1好吧，左边乘以个x- 1啊，左边乘以x- 1，我们来看一下它的数值就是这个变成x+1，我把x都写前面，在x方加一。这x的四方加一，我把x都写前面啊啊x八次方加一是吧？好，那最后大家可以发现，这这样乘s减，有同学指向说，怎么想到乘以s- 1的？

其实这个我们在讲知识点，给大家讲过一个啊，以后遇到这个a+b。a方加b方a的四方加上b的四方点儿点儿。这样的次方的变化的时候，那么你要给它同乘以。a-b，然后用平方差公式来做是吧？用平方差公式啊，所以同乘以a-b用平方差公式来做啊，所以这道题有同学想不到，以后记住啊，观察它这个若干个。相乘的特征，我次方正好符合咱们这些写的这样的次方，

大家呢，要同乘一个a-b，同乘a-b，这样的话，大家呢，就可以采用这个次方来进行做了，好吧？好，这个次方来做的话，大家就可以写出它的这个特征啊，这样我们就可以写成它的特征就是这样就得到x十六次方减一是吧，左边就化简完了。然后咱们再看右边好，右边也同乘一个ix- 1，当然右边大家也可以这样做啊，

可以这样做，右边的话，大家可以直接用等比数列求和对吧，等比数列求和，如果你要学会等比数列求和那更。简单啊，等比数列求和等比数列求和就是一减q分之，它的公比是不是ix首项乘以个一减q的N次方注意，这个n不是十五次方啊。咱们等比数列求和公式里面这个n是代表项数啊，就等比数列SN公式里面啊，等比数列SN就等于一个一减q分之a一乘以一减q的N次方。注意这个，这里面等比数列求和q的N次方这个n呢，它代表是项数代表有多少项？

听到没？在这里面，大家可以看它有16项。所以这是左边直接求和，刚才咱们说了，左右两边同乘一个x减一嘛啊，这个右边还没乘呢啊，右边给它乘以x减一以后注意这个分母是一减x，这个乘以x减一以后。以后啊，那么还是变成x十六次方减一跟看跟这个左边跟右边是不是一样的是吧，左边跟右边在左边？跟右边看这个是不是一样的，这俩又一样，所以两个两个呃左右两边同乘以x- 1以后。

它两者相等，那么乘之前是不是也是相等的了？所以条件儿它也充分正确答案，就选择d选项答案就求解出来了。好，这用等比数列给大家进行证明的，当然以后大家就可以不用等比数列证明，在咱们书上给大家写了一个记住一个公式好吧，这个公式呢，我们可以给大家进行写一写啊。就是一减x乘以个一加x加x的平方，一加到xn次方。然后在这里面啊，我们写的n减一吧n减一上就可以得到是一减xn次方好吧，这样就可以写的这个其实这个括号里面用等比数列，

你自己呢去分析一下啊，当然记住这个公式的话就更简单好吧。这给大家通过这道题总结的公式，如果不知道这公式或者没学过的同学，那么通过这道题呢，你现在就得学了啊，所以左边啊，这个次方的变化。右边这样一个公式，这个是很重要的啊，很重要，这道题很重要的，所以这道题答案就选d看是不是通过这道题把你的知识盲点是不是弥补了一下？好，下面咱们看第七题，

第七题接下来几个题呢？是考察这个表达式的化简求值跟咱们前面问的求解题一样，你把这个。呃，作为一个整体观观点啊，把它呃采用啊，逐个拼凑是吧？这个拼凑。求这个呃化简值啊，求值啊，拼凑求值好，那怎么拼呢？来看条一x不加x分之一等于三吗？你两边同乘以x一定要把分母乘过来啊。x平方减3 x+1=0，

看到没有，一定要把它变成零变成零的话就简单啊，所以在这么再讲一下，先把分母两边都乘以x。然后再移项，再给大家移过来，移过来就变成零，看这个是不是学会了变成接下来我们就刚才讲了，就从高到低逐个拼，在拼的时候后面采用秋后算账的方式来进行分析啊。好，那么这个x五次方。减34方呃，那个重新。写一下吧，

原式。就等于好，那第一个就x的五次方，我们就可以看，这是平方是吧？可以选择x三次方。乘以x平方减3 x+1看这个是不是学会了？那这个x三次方乘以x平方是不是就是x的五五次方呀？看是不是学会了？就x的五次方是吧好，然后这地方x三次方减3x正好是负的3x四次方啊，这个求后算账，它就是没了啊，就算进去了。然后在这里面，

大家可以看x三次方乘以1x三×1是不是就x三次方x三次方的话，人家给的原来是2x三次方是不是还少一个少一个秋后算账的时候，我们跟他算总账，跟他补上就行了是吧？多退少少补嘛，就像大家收班费一样，每个人先收100，最后呢呃，班级活动如果不够的话，大家再多退少补，跟这个一样啊先啊，凑出一个整体来。其他呢，再多的少补秋算账就行了啊，好剩x三次方，

后面照写减3x方加x+2，我就因为这块儿。啊，我就多写点儿啊，因为这块儿有同学不明白好，这个前面括号就为零，这整个一大堆就为零，是不是这个一大堆，它又为零就不用写了吧，所以等于后面这后面这个接着采用秋后算账啊。就行了x×x平方减3 x+1。然后这样大家可以发现，这个乘开以后x三次方就有了是吧？然后x跟3x相乘负3x平方就有了，这个就不用写了。

然后x×1正好这x也有了，这不用写了，加上二就剩一个常数二了，然后这块儿又为零，所以就等于零+2，它就等于二，所以条一呢。是充分的看这个题，是不是学会了啊？学会了好那条件一大家学会以后那么条件二一样道理条件二的话啊，由条件二我们可以看到条件二就相当于是把它变成x方。减3s，减一=0好吧，等于零原式呢，也采用这种秋后算账的方式，

我就不再一写了啊，不再一写，最后算完以后它还最后余下的这个表达式，我给大家进行写一下。以下表达式有得到是22 x+8，那这个值呢？是不确定的，所以它这个是不充分的好吧，所以这个大家我就省略，因为跟上面是一模一样，就不再重复浪费时间，你自己下去练就行了。采用前面慢慢逐个品种，逐个品种采用秋算账的方式。啊，

算到最终，看它最后表达式是等于多少，然后就可以看它是否充分，这里正确答案选a看是不是又学会了啊？好，那第八题跟上个题差不多好吧，差不多我就把条文一给大家进行说一说啊，它的这个做题方法啊，这道题考点也是一样，考点也是考的表达式拼凑。求求值是一样的。拼凑求求值好又条形一，条形一，也是把a求求出来啊啊，把a给它转化a方减3 a+1它为零是吧？

a方减3 a+1为零，然后原式我们可以看变成什么原式，我们把这个都给它乘开嘛，题干乘开就a方加9a。加上然后这个是一。减四a方是吧？就一减四a方，所以它相当于是这个是负三a方加九a加上一好，我们也是采用求算账的方式。啊，拼出这样一个整体来，然后给它弄一个负3a方减3 a+1，然后在这里面我们看负三乘以个负3a正好是9a9a，这个9a就不用写了吧？刚好是吧，

然后这个负三×1个一就是负三负三，人家原来是不是一啊？原来是一，那是不是得给它加四啊？加四由于这个括号是不是为零啊？括号为零算的就为四，所以条件一算的是条件二，我就不再做了，跟它是一模一样啊，所以是a选项，不过通过这几个题，大家学会秋后算账的方法，没有从高。到底算起来很快啊，考试算起来很快，

只要把这个数值规律找到，那么算起来很方便。好，下面咱们看第九题这个题，这里主要考察这个分式，它数值不变，分式的性质。分子性这个分子分母扩大相同的倍数，它的数值呢？是保持不变的是吧？好题目说x+y它不为零啊，不为零说明分母有意义，条件一都扩大为原来的3倍。扩大为原三倍，那这个肯定可以x扩大三倍y也扩大三倍分子分母现在都扩大三倍，

然后约掉以后它的数值是保持不变。好，这个扩大了三倍，扩大了三倍，就相当于是为原来的4倍啊，所以条件二相当于是为原来的4倍。为原来四倍，这个也也也行啊，为原来四倍，原来四倍x，为原来四倍y，为原来四倍，那这个数数值约完后，它保持不变，所以这道题比较简单，

就不再写了好吧。规律很简单啊，就扩大倍数，要知道扩大为和扩大了。它的这个区别好吧，好第17这道题这道题主要考察啊，分式它多个求和的有分式有个列项。啊求和。啊列项抵消求和。啊，采用立项抵消求额，立项抵消我们前面讲了一个公式，有印象吧，就是n乘以n加一分之一就可以写成n分之一，减去n加一分之一。

好吧，好n乘n加一分之一就等于n分之一减去n加一分之一，看这个是不是学会了，所以大家把每一项先画画完以后我们再看。x的值啊，所以这个题干我们先化简原式就等于这个x减一减去x分之一，加上第二项x减x加一分之一。好，一直加到最后一项，最后一项就x加九减去x加十分之一，是不是这样的？所以这样是每一项第一项，第二项也到最后一项。然后在这里大家呢，就可以采用这个抵消的方式，

大家可以发现在抵消的时候，大家不要抵消错了，教教育的一个规律啊。如果第一个括号，剩的是一个。正的啊，最后一块儿一定剩的是负的。它符号是相反啊，第一个括号剩的正的，后面是剩的负的符号是相反的，或者说位置相反，如果第一个括号剩的是前面的，最后一个括号一定剩的是后面的好吧，所以中间的它都。呃，

都抵消完了，看是不是学会了好，那通过这个大家可以发现它就剩下就是x-1-x+10，到时候可以验证一下符号是相反的。位置是相反的，验证这个规律就行了啊，好，那这时候它要等于一个十二分之十一，那么这个x呢就可以解出来好不好？然后解出来，然后解出来，然后这个大家也可以通分啊，通分或者说做到这，你不想解，你可以把选项带到里面去也行，

好吧，就x- 1乘，以x+10。分之十一，最后等于十二分之十一，你就看分母乘完是不是等于十二，你突然发现条件一和条件二。都行是吧，条件一和条件二都是满足的，所以两个条件都通了，正确答案就选d看这个是不是学会了，是不是明白了？所以呢，就选d啊，这是它掌握的方法。

好，那我们来看一下第十一题，这个题目啊，这个题目好，这个题目就考察log这个以a为底嗯，然后二分之一这个对数呢，要小于一。好在这里面大家要掌握这个对数，它的一些做题的方法和公式啊，然后不要做错了，那对数公式在咱们书上都给大家已经写到了，大家呢，到时候做的时候啊，一定要小心，这个对数的一些。

变形的方法和这个公式好，大家可以发现这个底数a在未知数在底底数啊，所以这块儿不好变化，所以说大家一定要采用对数。它的公式。还有对数的啊，那么单调性。这个都要用到啊，对数公式在咱们二零一九年考试就考了对数，所以对数大家呢，就是要。掌握一下好，那在这里面，我们来看一下，当然有条件往上推也行啊，

条件往上推，或者说你先把根据题干，先把a求出来求出来，然后再b要两个条件，这个也可以啊。这个也也行，好吧，所以在这里面都是可以的啊，好，那么我们来看一下，由于这个a的单调性，我们不知道，所以在这里面，我们呢，就讨论一下当a。

大于零，小于一的时候，大于大于零，小于一的时候，那这个对数我们可以把它写成log，以a为底，二分之一右边这个一可以写log，以a为底a的对数是吧？就这样的情况，看这个是不是学会了？所以把一变成同底对数，这样就可以比较两边这个关系了啊，在比较两边关系，大家可以看出这个什么情况呢？这个a是大于等于小于，

它是不是单调递减呀？但它要递减的话，就说明这个增数应该反过来，这个小于变大于是吧，所以说在这里面这二分之一大于a。这样写好了，所以根据这个a的取值范围，我们就综上。就a应该大于二分之一小于一的是吧？这样的，因为a是大于二分aaa是呃a是小于二分。之一的啊a小于二分之一的，但呢a还要大于零是吧？a还要大于零，所以在这里面就是首先要记住把右边这个一也好二也好，

把这个常数一定要变成。变成两边同底的对数，同底对数当a大于零，小于一的时候，它这就单调减，单调减的话，然后它的对数大小呢？跟帧数大小正好反过来，当然小于号又变成大于号了啊，所以a就小于二分之一，小于二分之一，但是a还要大于零好选项一呢，正好是满足那么另外一种情况，当a大于一的时候。当一大于一的时候，

那么log以a为底，二分之一的对数啊，那么小于log以a为底a的对对数是吧？所以还是把右边这个一写成这样的，因为a大于一的时候，它是不是就单调增啊？单调增的时候，那么这时候啊，它的大小就跟对数大小就一致了，也就说这个对这个对对数越大。然后这个帧数也越大啊，所以说就是a应该大于二分之一啊综上。综上，中上的话a又大于一a又大于二分之一，中上就取a大于一，

只要a大于一的值都行，不管a大于二大于三都行，条件二a大于二，这个也是满足的好吧，所以在这里面。它也是满满足的啊，所以答案就求解出来，所以在这里面两条单独均充分正确答案选d，所以这道题就当底数为参数的时候。啊，大家要讨论一下对手单调性好吧a大于零小于一和a大于一，在这里面讨论单调性这个题就解出来了，看这个是不是学会了？好，那第12题这道题也是考察这个对数的呃公式。

还有对数的运算求值。啊，运算求值好，那我们来看一下这道题，它给的fs是等于lo gx啊，则fa方加FB方等于二，我们看fa方。加上FB方。是等于什么是吧？它等于lo ga方加上lo GB方。两同体对数相加，就能真数相乘。a方乘以乘以个b方是吧？a方乘以个。b方好，

那在这里面，我们来看一下啊，这个a方b方它的情况，因为由条件1 fab fab是等于什么是等于log AB的是吧？log AB为一好，大家知道这个a方b方就相当于可以写成写成什么，写成二倍的log AB是吧？因为这个a方b方这个平方大家可以提到前面去好，如果提完一它，这个是一那带到里面，它又为二。这样就行了是吧？这样就可以了，有条件条件a×b为2a×b为二就说明。呃，

这个AA×b为二带到里面去，带到这地方啊，带到这带到这里面，它的数值就是二倍的log 2是吧？你看这个a×b不就为二嘛？a×b为二就是二倍log，二二倍log 2，它不等于二不能，所以条件二不充分，条件一充分，建议大家选择a，所以这道题用的公式就两个同理对数相加。用了一个公式，另外就这个增数的次方用了一个公式，所以在这里面大家把这个公式用好就行了好吧，

这个公式。公式用好，然后再根据条件所给的数值带到里面去化简求值就可以了。好，下面咱们看第三题，既然这道题考点呢？是考察啊，这个复合函数。你看这道题复合函数，外面一个对数，里面一个对数，这里面又有一个对数，看到没有复合函数，所以复合函数在考试里面也是经常考的，所以大家一定要掌握复合函数，

而且这道题。来考察对数值它的一个求解啊，对数的数值的计算好，我们由外到内啊，一个个说啊，首先大家可以看整个对数值为零是吧，就先看最外面这个对数啊。绝对值为零，不管这个底数a呃70几好，大家知道lo ga为底一为为零是吧？所以在这里面就说明它的真数就为一，真数就为一的话就说明整个括号里面就为一了，所以就所有的log。以三为底，先把题干化简完，

然后再看两条件啊，所以log以三为底，这个log以二为底x绝对值，它应该为一。是吧，所以用到第一个公式啊，这就是第一个公式就是当这个值为零的时候，说明说明它帧数为一啊，这个值为零，说明它帧数是唯一的，看是不是学会了？第二个就当这个对数值要为一的时候，说明底数和真数呢是相等的，这个公式要记住好，这时候大家可以发现前面这个底数呢是三是吧，

说明这个真数。我们又推出log以二为底x的绝对值就为三绝对值就为三哈，就可以推出这个把绝对值去掉log以二为底x就等于正负三。是吧，就等于正负三好，正负三的话，那么这个可以把s解出来x就等于二的正负三次方。所以就是就推出x就等于八或者八分之一是吧？八或者八分之一。所以在这道题里面好解到这，然后再看条件，谁充分条件一的话，这个不充分，因为条件一只能得到x等于九或者九分之一，这个是不满足的条件，

充分条件，因为它表示x等于八。或者八分之一是吧，所以条件儿这个是充分的，正好符合咱们题干的要求。好，我们把这道题给大家进行概括，给大家听完了收获，不管这个函数看起来有多复杂，你就从外到内啊，逐个去分析，先看最外层这个对数值为零，然后再看里面这个。对数值为一，然后逐个把x值解出来，

x值解出来以后，然后再来分析它的取值情况，所以在这里面大家记住常用的对数公式啊，一个是log以a为底一的对数值为底，还有一个log以a为底。a的对数值为一，还有一个这道题没用上啊，大家一块儿写log，以a为底a分之一的对数值为负一。好吧，总共我用红色笔给大家圈上，总共呢，在学校要记这三个啊。记得三个字。好吧，

把这三个值给大家记下来啊，三个值记下来好吧，常用的零一负负一考试要用到的时候要学会分析。和思考好，这给大家已经强调的啊，本章的啊，这个题目大家把本章做错的题或者不会做的题，还有一些难点呢，好好的加强一下，这样话就是代数这一块儿基本呢，就可以把。呃，基础的公式就掌握住了好本小题就呃，讲到此最后祝大家金榜题名。

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