3-06特殊函数（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:41:47

接下来我们再看一下这个分段函数，分段函数啊，其实我们在讲呃应用题分段计费时候也讲过，它就是根据不同的取值区间。然后呢呃，出现不同的表达式，大家只要把这个分段的表达式选好就行了，好接下来我们来看一下它的这个特征。好它若fx=2，则x到底是等于多少好，因为这道题我们不知道x到底落在什么范围，是第一段还是第二段？所以在这里面，我们呢，要进行尝试一下是吧？

所以我们假如啊，想要弱。这个x要小于等于一好，那这个fx=3 x要等于二，这时候呢，我们就可以把x给它解出来是吧？然后这个指数那么两边取以三倍的对数就变成log，以三倍的二，这值好，那么解出x以后我们要验证一下是否满足小于等于一呢？因为我们前面学对数，知道这个log以三分之一二的对数小于等于log啊，以三分之一三的对数是吧小于？啊，这个log以三为底三的时候log以三为底三的时候是不是就为一啊？

就说明x确实就小于一的啊，所以这一块儿就可以。好，那么看还有没有其他值？如果x要大于一而大于一说fs就等于负x，负s=2就推出呢？这s=- 2哎等于负二，这个呢就得舍掉。y=- 2直接舍，为什么要舍掉呢？因为x=- 2这个值不满足大一这个要求啊，所以说这个就舍掉，所以中上s=log以三比二对数应该选择d选项。就求解就可以了好吧，所以不管给什么样分段函数，

如果他这个数值不知道大家要分段讨论。啊，讨论完后验证一下这个值是否满足咱们的要求就可以了。下面咱们看一下这个题，这个题啊，一方面是考察这个分段函数，另一方面还考察这个复合函数，这个大家做真题，同学也知道在咱们考试里面也出现过复合函数，这些特殊函数。好，那复务函数的话，我们先把内层的f2给它求出来是吧？把f2求出来f2怎么求呢？f2在求f2的时候，

大家知道看一下s大于等于二第二段表达式。这个f二就套第二段表达式，这样就行了啊，套第二段表达式就变成log，以三为底，这个二的平方减一。就等于log以三为底，三的对数，它要为一，所以把s=2带到里面去啊，这样就f2，然后现在它让求ff 2。ff 2的话，那么里面这个值刚才算出来，它有个一是吧，

所以这个就是f1了好，这个f1那么f1的话，这时候带什么带第一段表达式对吧？带s小于二的这个表达式，这样就行了啊，所以带这个表达式好带这个表达式的话，我们呢就可以看出就等于二×1个e的零次方。一的零次方就为一啊，一个数的零次方为一，所以它就是是二，这个答案就选择c选项好，这个题看是不是明白了这个大家听完后收获就一个是有。复合函数大家会分析，另外就分段函数，大家要知道和求解。

好，下面咱们看一下这个题，这个题其实还是一样道理啊，他问a的取值范围，因为我们呢，还是要看一下这个a。它的数值要讨论一下啊，好那么当a大于零的时候。好，为什么要讨论呢？因为你不讨论的话，你又不确定是选第一段还是选第二段啊，所以当a大于零的时候a大于零的时候，那么这个fv左边这个fv。就取第一段就log以二为底x对数啊，

就相当于是fa就相当于log以二为底a的对数是不是这样的？然后f负af负a的话，因为这个a是大于零，大家知道a大于零的话，这个负a是不是就小于零，负a小于零就取第二段啊？负a小于零要取第二段。明白吧，所以在这里面第二段第二段就相当于是log二分之一这个呃负的负a。就相当于把这个x换成负a，明白吧？x就把这个负a做成一个整体，当做x来看啊，所谓负的负a。一定要注意，

别弄错了，其实还是正a啊，还还正a，然后这个呢，就log以二分之一为底，以二分之一为底的话，那这块我们再做一下变换吧，做一下变换这个变成log，以二为底a的。对数好，那我们知道这个二分之一相当于二的负负一次方是吧？还记得我们在讲对的时候讲的一个。对数公式，大家回想一下二的负一次，方二的负一次，

方可以提到前面去是吧？提到前面因为负一它倒数，那么还是负一啊，所以变成。啊，这个以二为底，这个a的对数了好，这样的一个情况好，那在这里面啊，我把这个对数公式来给大家写一下吧，就是如果。a的m次方b的N次方就可以写成m分之n log，以a为底b的对数好，有同学这个公式忘记了，我就给大家再写一下啊。

这些这是这个对数的公式好做到，这我们就可以得到把它移过来，移过来就相当于变成了log以二为底a的对数，本来是两倍的，它大于零是吧？啊，两倍这一万两倍它大大于零，两倍它大于零的话。就说明它本身就大于零，本身大于零，就推出a是大于一的，是不是这样的好a大于一，还要跟咱们的大前提呃，要验证一下，正好a大于一，

满足这个大前提，所以这个a大于一。这样写就写好了，好当a小于零的时候，当a小于零的时候，那么这个fa那么a就是负的a负的应该套第二段啊，套第二段把这个x换成a就行了。点log以二分之一为底，这个负a啊，就把这个x换成a，这样就行了。好，然后呢？这还是大于号，大于号就是f负afa，

这时候因为a小于零负a就是正的负a，是正的话就把负a看成一个整体，然后带到第一段表达式。啊，带到第一张表，带到x这里面去，变成log以二为底负a。好，这样的情况好，这样情况，那左边左边这块二分之一底数二分之一也可以把它看成二的负一次方，然后用上面这个公式，我们就可以推出。啊，推出就变成负的log 2负a大于log 2负a。

然后这样我们再把它移向移向这个左边，给它移到右边来就是二倍的log。二倍的log以二为底，负a的对数，然后呢，应该是小于零的，小于零的话，说明它本身就小小于零，对吧？本身就小于零，因为二倍的它小于零，它本身就小于零，本身小于零的话就说明负a。啊负a好，那这块负a应该是小于一的，

对不对？负a小于一，负a小于一，就说明a。啊，那么应该是大于负负一，所以这样就写出来了啊诶，应该大于负负一的好，这就求解出来了。好，那在这里面啊，注意a大于负一，还要跟这个a小于零呃要呃呃，满足这个前提要求，所以说在这里面就中上。

啊，综上，这个a大于负一，还要小于零。a大于负，一小于零，或者是第一段，第一段就是a大大于一。啊，把这两段讨论的要并在一起啊，这样呢，就选择c选项，这样就求解出来了，好，这是给大家强调的数值关系和方法。

当然，如果考试有同学这道题啊，考场上想不到这样的做题方法，或者觉得这个比较耽误时间，然后呢，还可以取特值法，你可以观察下列。这五个选项，五个选项的话，你a比如说取二看行不行？比如说a=2。啊a=2带带着你们看斜面，如果a=2要行啊，要满足要成立的话，要成立的话，

那我们看a选项就不能要了a选项这个范围里它没有二呀。是不是然后b选项一到正无穷里面有个二的值，然后c选项也有二的值d选项，他没有2e选项，他也没有二，所以a=2的时候只剩下b。b跟c了，这时候b跟c它的区别就在取一个a=- 2 a=- 2 a=- 2，明白吧？a=- 2把它带到里面去，带到里面去的话，然后呢验证。这个是是否成立？就是这个不等式能否成立？然后a=- 2发现呢？

这个不等式左边和右边大小关系呢？不成立不成立呢？所以b选项就不太行。这时候呢，就可以得到c选项。所以考试正面方法不会做的是。咱们都是选择题，大家可以用呃，这个特值法来进行分析和思考。好，下面咱们看一下这个题好，这个题它给的这个函数定域，求它定域到底是多少？这个就考察我们讲过的复合函数，它的一个定域情况。

啊，复合函数好，那对于复合函数的话，大家要注意它的递定域。啊，它的定义好，这个函数定义那么对应是它的值域是吧？所以在这里面大家呢，要注意它的这个两者的一个判断关系到底是多少啊？所以这个函数它定义域是呃负一到一，那说明啊x应该落在负一到到一。啊负一到到一这样话，我们就可以推出二的x次方，应该在二的一次方到二的负负一次方。是不是这样的，

所以说二的x次方这样就求解出来了。好二的x方，好二的x方求出来了，是在呃，相当于在二分之一到二这个区间里面，二分之一到二这个区间里面。好，那说明这个log这个东西这个整体呢？也应该是在。二的负一次方就二分之一到二，这个区间里头是不是这样的，所以根据这个函数x它的取值情况，那么得到二ix这个函数。它的情况好，这个函数它情况以后，

然后这个表达式我们就可以写它的结果了，好，这样话我就可以把s求出来就推出。x应该在。x应该在这个二的二分之一次方就相当于是根号二。是吧，这就是根号二二的二分之一次方到二的平方就相当于四，所以这个建议大家应该选择a选项啊。选择a选项好，这是给大家强调的做题的点好，那这道题点有同学呢，别做错了，我再给大家进行总结一下啊。啊，如果fg x它的定域。

啊啊，知道啊，为某一个区间是吧？所以为某个区间好，它定义为某个区间，定义为某个区间的话，那么就相当于是UI。x落在这个区间，我们得到。gx的范围。要得到gs范围啊，由x知道它的这个情况，那么求呃，这个gs它的范围。好那么gs它的范围的话，

那么不管这个gs是什么它的范围呢？它都是一样的，也就说这个gs不管是二的x次方还是。还是log以二为底xx方，大家可以发现它的范围都是一样，所以这讲到这你就明白了啊，因为这块儿二分之一，这也是二分之一是吧？这个是。二这个也是二，你看这这个范围，它是一样的，是不是这样的，所以这是给大家强调的，它的知识点和方法啊，

这是强调别做错了。好，下面咱们看一下这个题好，这道题大家可以采用换元法来进行分析和思考好吧，所以在这里面大家看一下换元法。还原法就是f呃，这个x- 1=2倍的x+3，你可以练t=1个x- 1。好吧，0 t=s减，一啊t=s减，一算完后就得到了x呢，就等于一个t+1，是不是这样的？s又等于t，

加AI=t，加a那这个就变成了ft。然后把x换成一个t+1。就等于2 t+5啊，这样就写好了，2 t+5，所以这道题这个呢，应该选择d选项啊，因为这个函数用什么符号表达没有什么关系，所以就得到fs。就等于2 s+5，然后这样就写出来了，好看这一块是不是明白了？是不是学会了？好，

下面咱们看一下这个题好，那这个题它告诉我fs为二次函数若f0=0 fs+1=fs。加加上x+a求f10到底是多多少好，那这道题有两个方法做，第一个方法做呢，你把这二次函数表达式给它求出来。啊，求证第二方法做呢，你就是根据这个式子呢，那么直接慢慢推，这样也行，好吧，所以第一个方法我们就设这个fx。等于一个ax方加上bx，因为它这个f0为0f零为零的话，

这时候呢呃就没有乘数项了，这时候就不用再写乘数项了啊。因为f0它v0这时候就那就不用再写常数项了。好f0，它正好为零，然后这时候根据fx+1 fx+1，它等于a倍的x+1^2。加上b倍的x+1。是不是这样的，所以等于a倍的x+1^2，加上b倍的x+1就是fx+1=fx fx就是ax方。加上bx再加s再加一是吧？好，这样的情况，然后两边展开呢，

对应项的系数相等好吧，左左边展开就变成as方。加上这有个2 ax是吧？2 a+b这个x，然后再加上乘项乘项，这有个a+b。然后右边就是ax方加上一个b+1 x再加一，然后两边多项式相等，我们讲过，如果两个都项式相等，它对应项的系数应该相等。这样话，我们就可以写出来它的取值情况，然后这个就说明这个2 a+b。就等于个b加一，

然后呢？a加b它为一好，这样就可以解出来这个a的值a的值就等于二分之一b的值呢？也等于二分之一。是吧，所以在这里面a的值等于二分之一b的值也等于二分之一，这样fs就可以写出来就等于二分之一。x方加上二分之一x好，这个写完后那么f一百我们就可以求出来f一百f一百就把x呃f十f十把x等于十带到里面去。但是正好是二分之一十的平方就一百，加上二分之一乘以十。然后这样我们就可以写出它的这个数值好吧，所以答案就可以求解出来，正好等于一个55。啊55所以这个答案就选择b选项好，

这是一个做题的方法，看这个方法是不是明白了，是不是学会了？好，另外还一个还一个方法，我们来看呃，这个另外一个方法，大家能不能想到啊？这个大家记完以后，我们把它擦掉。啊，另外一个方法，另外一个方法在这里面看这个当x取九的时候x如果等于九的时候。是不是就是f10啊，所以f10它应该等于f9+1个就把s取九啊，

等于九+1。是不是这样的，所以九+1，然后同样这个f9？就等于f8。加上八+1。是吧，所以这样的情况点点点就相当于是f1就等于让x取零啊，因为为什么要想到零呢，因为这个sf 0它已知我们写到0f零。就等于个呃f0+0+1。好，然后把这些相加。把这些相加就行了，这些相加的目的呢？

相加的目的大家可以看到，那这个正好呢，就f9跟f9就约掉了是吧，然后f8跟f8。就约掉了，所以在这里面那左边一相加，然后这个呃跟这个上面它都能够约掉左右两边啊，它这个都约掉，所以左边它只剩下一个f10了。好，右边剩的什么呢？右边这个九+1就是十对不对？九+1这个数是十，然后八+1这个数呢？就是九。

啊，一直加到加到多少？加到后面这，因为这个f0它告诉我们正好就为零嘛为零，所以最后这个值它就相当是一了，一直加到一就行了好吧。所以这个呃十加到一就是一个等差数列求和嘛，就是首项加末项，再乘以项数，这个也等于55是吧，所以这个。呃，也是可以的，好看看在这里面这个呃，原理什么呢？

原理等到大家学完数列的时候，我们呢就可以呃，想到这个方法，所以有现在有同学说老师我想不到这个方法。等咱们学到四列，学到四列，有个递推公式啊，有个递推公式，递推公式用那个累加的方法，然后呢，就可以找它的结果，所以这是它的做题点，看是不是明白了？好，下面咱们看一下呃，

这道题这道题它考的是反比例函数，反比例函数我们讲了，它就写成y等于x分之k这个k呢不为零是吧？好，这就反比例函数好，那么就相当于是x的负一次方就可以又得到a方减五，应该等于负一。而且a不能等于二是吧？a不能等于二啊，所以因为a- 2它不能为零嘛，就是系数k它不能为零好。这样话就可以得到a方，这个等于四且a不等于二啊，因为前面得到a方等于4a方等于四这一块，大家不要解出a等于正负二就选了正负二。

这样大家就会出错啊，所以说就得到这个a呢，它只能取负二选择b选项，这样就求解出来了。所以这道题呃不是很难啊，它跟你比如说呃，经常说这个函数是一次函数还是二次函数还是反比例函数呢？你就看它的系数还有。指数这个次方，他满足什么要求，把它参数给它解出来就可以了。下面咱们来看一下这个题，他说是一次函数与反比例函数图像交于第四象限一点啊，问k的知道就说好，那么两者交于第四象限。

其实这道题呢呃，大家呢，做的时候呢，蛮简单的，你可以画图，也可以不画图好吧，所以在这里面大家呢，就知道这些k呢，肯定是小于零的，因为我们知道k大于零的时候。呃，这个反比例上图像只有在一三象限k小于零的时候，它在二四象限啊，所以在这里面大家呢就可以看出来好，那这是？

它的这个图像啊啊，这个一次函数要想画它就给它画一次函数y等于二x减五呃，这个x又等于二分之五。然后呢，还有一个负。啊负所以x等于零的时候是负，然后x等于二分之五时候y为零。好，这样的一个一个情况好吧，然后呢？就是这是一个函数图像，这又是一个函数图像。啊，它在这里面啊，它交于这个第四象限里面的某某某一点，

但是它这里面可以有两个交点，也可以是一个交点，一个交点就相切了是吧？啊，这个呢，就相当于第四项有个焦点好，现在怎么做这道题大家呢？因为这个点呢，既要满足这个直线一次函数，也要满足呢这个。呃，反比的函数，所以大家可以把这个p点带到直线里面去，带到直线里面去，就把x=3 ay等于。

s呃等于ay=- 3带到里面去啊，把x=a带到里面去，然后呢y=1个。那个负3a把它带到里面去，这样就可以得到它的结果和方法，看这块是不是明白了，然后这时候把a求出来，然后接下来我们再把这个反比例函数。呃，带到另外一个式也是把这个负3a等于这个y=- 3 as=a，然后带到里面去把k求出来。通过第一个式，我们就可以解出a的值当，然这道题还可以问a的值到底是多少啊？a的值，

所以a的值的话，我们可以得到就是一啊。啊a的值为一好a的值为一带到里面去，我们可以算出k的值啊k的值，它正好就等于负三啊，这样求出来，所以正确答案。就选择d选项答案就求解出来了，好看这个题是不是学会了？是不是掌握它的方法了啊？所以大家呢，要知道它的做题点和思路和做题的内容。看要掌握它的考试方法啊好，那这是例16掌握的这个知识点啊，主要是考察它的焦点情况，

我们来看一下这个题好，这道题的话。它也是考的直线，与它交于两点，而且呢啊，要求这个s1y1s2y2这道题大家要结合我们。接下一章方程不等式，里面要讲的韦达定理来做啊，就让它y等于kx，还有y等于x分之二。好，那这两个它既然交于AB两点啊，交于AB两点，这个k是大于0k是大于零的。好，

那我在这地方可以给大家画一个示意图，让大家呢看的更加清楚一点，好，这个就是过圆点条线k大于零，就是斜率为正的一条线啊一条线。然后y等于x分之二，那这样的啊，这样的啊，这也是一三象限的，它的这个情况好一个交点是a一个交点是b。一个焦点是a，一个焦点是b。好，接下来我们来看啊，它如何让求这个值，

求这个值好，那么这个y2呃x1它都应该满足这个方程。对吧，所以在这里面就相当于y1应该等于二÷x1y二应该等于二÷x二。啊，应该满足这样的一个基本方程好，所以在这里面我们可以看出这个x1y 2+x 2y一。它的值啊x1y2x1y2好，这个就可以写成这个二倍的x1除以个。啊，这个值。好二倍的，因为这个是y2，我们用这个来代啊，代就x2加上啊，

这个是呃x2×y1x二×y一的话。其实就相当于是二倍的x2，除以x1好，这是它的这个表达式，这样就写好了。好，那么写好以后我们再来接着来看一下，这个是往下怎么来化简啊？它的化简方法啊是什么样子的？好，那么我们就可以通过呃，这两个方程可以进行联立一下是吧？所以这两个方程呢？呃，联立好，

联立完以后我们就可以得到，就是kx就等于x分之二。然后这块就可以得到x平方。x平方就等于k分之二是吧？x平方啊，就可以得到就等于k分之二好k分之二，大家可以看出好那么一个值x一。和s2我们就可以给它进行解出来好吧，所以在这里面我们就可以把这个数值呢带到里面，因为这两个方程一联立就代表它是它的这个。焦点啊，因为它要找这个焦点坐标，所以联立两个方程，联立两个方程的话就可以得到这个值得到这个，因为k是正的啊，

所以一个是正的根号。啊k呃二÷k二÷k还有一个值就是负的。负的根号下二÷k好，这样的好做到这那么x1÷x二这样就好做了是吧？x1x2大家可以发现正好是互为相反数。啊，互有相反数，所以s1÷rs二也好。s2÷s一也好，都是负的，所以都是负一。所以得到就是负四这个呢，就选择b选项好，这是给大家强调的做题点，跟上一个题，

它区别点就在于什么上一个题，它没有让你求这个焦点。它的一些表达式是吧？所以说在这里面大家呢，就是这道题要求教练表达式呃，不管我们考试出现直线跟抛物线还是直线跟反比的函数还是直线跟圆。那么，这两个交点的坐标都是要联立方程，所以把这两个联立方程，联立方程以后，那么这个x呢就可以。解出来解出来，然后答案呢，就求出来了，当然这道题考试的时候还有一个小技巧，

小技巧是什么呢？因为你观察这五个选项，这五个选项它与k呢是无关的。既然与k无关，我们就可以用特值法来来做，用特值法啊来进行分析，特值法你可以取k为一是吧，反正k=1=2=3。啊，那么取最值的啊，都不影响这个选项，所以说你练k为一，练k为一的时候，这x1x2y1y2，那么这个都可以求求解出来。

好吧，这个很快求出来，带到里面去做答案呢，也是一样的啊，有同学呃呃，可以用特值法做，这也是可以的。好，这是给大家强调的做题的方法和思路。好，那么本节内容我们就讲解完毕，大家把自己做的情况再归纳和总结，把每个题呢，一定要能够举一反三的去消化。然后呢，

再把做错的地方呢，多看看好我们本节就讲解完毕，最后祝大家金榜题名，拜拜。

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