3-05指数和对数

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:41:16

下面我们来学习第啊，那么指数对数这一块内容好，指数对数这一块要把公式要记好。呃，它的图像还有一些性质，掌握住就可以了，好，我们来看一下第一个它的考试知识点，首先我们来看指数。呃，指数呢？比对数呢？要简单一些，然后它这块呃要求呃，难度呢？

也会低一点。我们来看一下指数，它可以写成y=ax。a它的要求是a大于零，且a不为一，这个是指数的一个呃a的要求啊，只要在考试中提到指数，它就默认a点满足这个要求。所以a大于0a不为一，所以有的同学问这个题为什么要求a不为一啊？所以大家有同学可能没有记住掌握这个呃隐含条件，而它的定义域就x的取值范围是负无穷到正无穷x。可以正可以负，然后呢，我们来看一下它的图像啊，

在书上看图像当a大于零小于一的时候好，那么函数严格单调递减。啊，就像咱们这个表格的右边这个图当a大于一的时候，函数严格单调增啊，函数严格单调增。那么且图像呢啊，不管单调减还是单调增都横过啊，这个零一点都横过零一点，这样的情况。好，那我们来看一下它的性质，第一个它的定义域呢是r是全体实数r定义域是r。第二个就是值域，值域的话，

那么就是y就相当于是大于零的啊，就相当于这个ax是大于零的，它的值域也就是它的图像。都在x轴的上方，它不会出现小于零的情况。然后第三个就是呃过零一点，那么当x=0的时候y为一，因为a的零次方，它要为一。然后第四个它在r上啊，单调情况那么如果a大于一，它是单调增的，就随着x增大的时候，那么y它也在增大。好，

那么第二个右边这个图在r上是减函数，那么随着x增大啊y是在减小的，这是它的。情况好，接下来我们再看对数函数好，对数函数大家要注意指出对数，它互为反函数，互为反函数的话，有两者图像是关于y=x对称的。这种函数的图像横过一零点。好，这样的情况横过一一点点好，那我们再看一下它的这个情况，当a大于零的时候好，那么这一块它要求这个图像呢是？

递增的当a大于零，小于一的时候，那这个图像单调递减的，所以大家可以发现它的单调性跟咱们的指数啊，函数的单调性是一致的，当底数a大于一的时候，它都是增。a大于零小于一的时候，它都是单调递减。好，第一个我们再看一下它的定义域啊，定义域的话，那么s是在零到正无穷啊x。它在零到正无穷，也说对于咱们这个对数，

那么有时候要考到这个要使得对数有意义，要要求s呢，要大于零，这是求定义域的关键点，这一块呢是比较重要的。有图像，它都位于y轴的右侧啊，也就说y轴左侧它不会有图像，第二它是值域，那么值域的话就全体实数r啊所有。呃，实数那不管y取正取负，那么这块都可以y还可以取零好，它的图像是过一零点就x=1的时候y为零，因为。

log以a为底一的对数，它就为零啊。log以a为底一的对数，它就为零。这个它的情况。那么，当x=1的时候y为零，第四个就是在呃零到正无穷上，那么是正函数啊，当a大于一的时候单调增。在呃a大于零小于一的时候，在零到正无穷小单调递减的啊，这是它的图像。接下来我们再看一下它的运算公式情况。运算公式好，

那么指数运算公式主要这三个前两个比较简单啊，就是同底的指数相乘和同底的指数相除，这比较。比较简单一点好，然后下一个呢，是稍微难一点的啊，就是am次方括号在N次方可以写成a的m×N次方。这个呢，是比较重要的，画上一个重点的标记好指数的公式呢，要少一点，我们再看一下对数的公式，对数公式的话，那么主要。呃，

看前面这几个，第一个就是同底对数相加和同底对数相减，那同底对数它没有乘法公式啊，两个同底对数它可以相加，也可以相减。它没有乘法。好，那么下一个主要是这个幂运算第二行，主要是这个幂运算，幂运算，让大家把前面这个记住就行了。这个记住，因为后两个是第一个啊的特殊情况好，我们看前面这个它怎么去理解啊？怎么去呃理理解情况？

好，我们来看一下它的这个特征好，那么这个m底数m还有上面这个n，然后在这里面，我们把底数m移到前面去，然后呢？就可以写到分母上，然后后面移到这个呃，写到这前面就写到这个分子上啊，这样的情况啊。分子上所以就是m分之n，那么它的特殊情况就m等于一的时候m等于一的时候直接把这个真数的N次方写到前面去就行了。当m和n相等的时候，m和n相等的时候，那么这两个次方一样，

那有点像m和n相等m分之n，这时候就为一了，所以说就为一的时候，那这个前面就不用再写了也。有点像什么特征呢？就这两个次方，它可以。约掉，比如说都是三次方，这两个三呢，它可以约掉，然后另外那么还有换底公式，换底公式的话，呃，什么时候需要换底公式呢？

因为我们知道对数运算。必须把题目里面的对数变成相同的，才能之间做运算，如果呃在一个题里面，这几个对数，它的底数不相同，是没法做运算的。那给大家打个比方，大家好理解，就像我们在比较一样，大家都要站在同一个起跑线上才能去比较是吧？也就说大家呢，要画到同一个起点上，也就它的底数要变成相同的。啊，

以c为底的对数，那这样才可以，所以这是换底公式好，那么换底公式，那从右往左看的话，大家我再写一下。变成log以c为底b的对数，除以log以c为底a的对数，其实这个就变成log以a为底b的对数，有点像这个c，它可以约掉。所以说这个从右向左看的话，大家可以发现有点像呃，同底对数相除的这样的一个性质。所以说概括起来就两个通体对数，

它可以相加，可以相减，还可以相除啊，然后呢，它就是没有乘法啊，如果相除的话，就让它逆用这个换底公式。这样就可以了，好那么这在换算公式里一般根据题目c1般取十或者e，如果取十的话，以十为底的对数，我们就用LG来简写。呃以e为底的对数，就用ln来简写，这样就可以了好吧啊，

所以说在这里面呃LG这个符号还有ln这个符号要。能够看清楚。接下来我们就看一下里面的题目啊和方法。好，我们来看一下第一个考试方向就是指数，这一块指数这一块那么首先要掌握指数，它的单调这个题就考察这个单调性。好，如果这个函数它在实数集上是单调减函数，那么a的取值范围到底是多少？好，如果它要是单调减函数的话，我们刚才看了，它就是以一减。2a作为一个底数，

我们刚才学过，当它底数大于零小于一的时候，它就单调递减的是吧啊，大于零小于一，这样的话我们就可以。解出a的取值范围啊，这样答案就可以求解出来，然后两边同时减掉个一，然后再除除一下，然后这个a应该在零到二分之一这样一个区间。这个答案就选择a选项好，这是给大家强调的做题点，这道题不是很难，大家呢，要掌握它的处理问题的方法，

就是根据底数，它的取值范围。然后来判定判断它的单调性就行了。好，那下面我们来看一下这个题，这个题它主要是比较它大小，那如何比较它大小呢？我们要把底数给它统一，刚才咱们讲了。只有站在同一条起跑线上，大家才能比较，就像大家考试一样，每个同学卷子是一样的，这样才能比较，如果卷子不一样，

那这就是没法去比较，因为大家的起跑线。呃，是不同的啊，所以大家呢，在这里面我们可以看，这是四。四为底，这是八为底，这是二分之一为底是吧？四为底，八为底和二分之一为底，然后在这里面，大家呢，要掌握一下它的特征。

然后y1=4的零点九次方，这个四我们都把它变成以二为底的好比较好吧，四可以写成二的平方，然后再零点九次方，这样就可以了啊。然后在这里面，我们来看一下，刚才咱们讲了一个公式a的m次方，在N次方就等于a的m×N次方。零点二的一点八次方，然后y2y2就等于八的零点四八八的零点四八，这个八呢可以写成二的三次方括号在零点四八。这样的情况，然后呢？这个八可以写成二的三次方括号在呃零点四八就是二三乘以个零点四八。

然后这样就可以求出它的数值，然后这个就是等于一点四四。好，那么这是它的处理问题的方法，好，那我们再看一下啊第。三个y三y三是二分之一的负一点五次方好，那负一点二分之一可以写成二的负一次方再负一点五次方。然后这样就可以写成二的，一点五次方好，那通过。我们的化简变形可以发现，这三个对数它又变成了相同的底数的对对数了呃，相同底数的指数了啊，这三个指数都把它变成。

统一的统一的底数好，那么底数统一的接下来我们是不是就可以比较它的次方呀？你看这个一点八是不是比较大呀？然后呢？这是一点四四。是一点五是吧？所以在这里面，大家可以看一下y1大于这个y3。大于y2这样的情况是吧？然后y1大于y3大于y2啊，这样的一个特征啊，就y1这个。一点八的比较大的，然后y3在中间，然后最小的就是y2，

好在这里面大家观察一下选项，可以发现是d选项是正确答案。好，这是这道题，这道题大家比较听完后的收获，就是一定要把它统一呃底数，统一底数以后，然后这一块我们。再去比较它的指数大小就行了。好这个题呢，它主要考察最值情况，那最值的话与这个单调性是相关的，如果你要不知道单调性的话，那这个最值呢是？是不好去写的，

所以在这里面大家呢，要看它的单调性好，那么指数函数y=as在负一到一上的最大值与最小值差，它是一。然后在这里面好，那么则底数a它应该等于多少？我们看一下就要分两种情况，当a大于一的时候。因为咱不知道单调性就要讨论啊，按照刚刚咱们讲的知识点就给大家讨论就行了，所以当a大于一的时候，那它的这个数值情况。好当a大于一，那么我们就可以写成什么呢？它单调增对吧？

但是它最大值就是。x在区间右端点的时候。就取最大值就a的一次方是最大值，然后最小值就是x在区间左端点的时候，那就取最小值啊，然后x。然后在这个左端点，那这一块就取最小值，然后这一块它的这个特征，然后这一块它的差值正好为一。啊，差值正好就为一，然后呢？我们在这里面，我们呢？

就可以呃呃，把这个a的负一次方看成a分之一，明白吧，所以两边它在两边同乘以个a。两边通称a，然后变成a方减一减a，它等于零，这样的情况好吧，然后呢，就这样的特征啊。就是两边同乘以a同乘以a的话，就是大家呢，就可以把它变成这样的情况，这个地方大家又得用解方程了好吧，解方程就a。

a就因为这个方程，它只能用求温公式好吧，然后呢？大家呢？就这一块啊？用求温公式就是二分之呃负b。加减根号德尔塔一定要取加号啊，取加号好，为什么取加号那么取加号，因为它这个保证a要大于一，还有一个根二分之一减根号五一减根号五的话那么。那这一块啊，是呃负的啊，是不满的a大于一的，所以这个就舍掉好吧，

所以在这里面啊，这个就讨论完了，当a大于零小于一的时候。好当a大于零，小于一的时候，好a大于零，小于一的时候，在这里面，大家可以发现它这个图像单调递减，单调递减就说明在左边的时候，那么它是最大的，右边的时候它是最小的，所以在这里面大家呢？这个看到它的最大值就是a的负一，最小值就是a的一次方，

它为一，所以它最大值与最小值的差就是一，这样话就可以写出来。好，然后接下来我们呢就可以看一下呃，两边同乘以个a，然后把这个呃变成一个一元二次方程，两边同乘以个a就变成了这个，然后再。通常a以后变成一个一减a方等于a啊，然后这时候呢，我们把这个a给它移过来a方加a减一，它为零。啊a方加a- 1，它为零，

然后这样话我们就可以求出a，当然a它有两个值，一定要取呃这个。大于零小于一的啊，它求出来有两根用求公式就2a分之负b加减根号德尔塔，那么就取这个加上根号五的好，另外一个不满足大于零小于一这个呢，就不能要了。好，那把这两种情况注意，我们要分情况讨论的话，一定要取它的并集啊，所以说综上啊，我们就可以得到a。就等于二分之正负一加减根号，

加上根号五或者说写成根号五加减一就行了，所以这样答案就选择。d选项好，这是例三，给大家强调的知识点，看大家一开始在做的时候想到没有，不管考试出现指数对数，如果在讨论最值或者范围的时候。如果它要单调性，要不知道，然后在这里面大家呢，就要根据情况去讨论，讨论完以后，然后呢，我们就可以呃得到它的结果，

最后呢，注意它的取值范围。好第这个题这个题呢呃，是考察大小关系那么大小关系的话，这时候呢也要结合单调性。啊，去讨论也结合单调性去讨论，这样就可以了好吧，就是呃，两边大小那么因为这道题a是大一的，这时候呢，他已经给我们写了这个题就简单。如果这个地方没告诉我们a是大于一的，这时候大家要讨论明白吧，考试时候要讨论a是大于零小于一还是a大于一，

这时候呢，你要看s取值范围到底是多少啊？好，那这道题由于a是大一那左边这个根号a可以写成a的二分之一次方是吧？这个根号a写成a的二分之一次方。这个a分之一就相当于a的负一次方a的负一次方，然后这个一减二x就相当于a的二x减一，这样就写好了。好，那在这里面大家呢？就可以这个写它的这个结果好吧，这是a的这个2 x- 1这样的情况，因为这是a的负一次方，然后做一下变化就是a的。二x减一，

这样就写出来了，写出来以后，然后呢？由于由于a是大一的a大一的话，那在这里面大家可以看到这个呢，就是二分之一小于二x减一，因为它是。单调增了呀，是不是？所以单调增了，然后这个时候x我们就可以。啊，求出它的范围x呢，应该大于四分之三啊，这块就选出来，

就选择e选项，看这个题是不是明白了？所以这道题它比较简单的原因，就因为它这个a的范围，它已经知道了，然后这时候呢啊x的。范围根据单调性就好，求解，如果要不知道a的范围还是像上一个题一样，等下在考试的时候一定要讨论一下，尤其出条件重新判断题，这时候呢？更要注意啊，分析问题，不要出现遗漏的情况，

要讨论比较全面。好，下面我们再看一下这个题，这个题呢，也是解这个不等式解不等式的话，因为这道题呢，它底数这个已经告诉我们了，所以说这道题解起来呢，要相对来说简单点，因为底数是二。二的话，它肯定是单调增的，像这里面就是二的绝对值x，然后减一，它要小于等于零。

然后就可以推出二的绝对值x小于等于一啊，这样的情况，然后呢，大家呢，就可以写这样情况，然后呢，就二的绝对值x小于等于一，然后这个一呢，大家可以写成二的零零次方是吧？所以在这里面呢，大家呢，就可以写成二的零零次方，因为它以二为底，所以它这个应该是呃单调增的单调增，我们就可以推出s绝对值小于等于零。

啊s绝对值小于等于零，然后这一块大家呢就可以得到这个s绝对值小于等于零，这样的情况。好，那这样情况，那大家知道，根据绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，然后呢，我们就可以得到x呢，它正好就为零。然后这样就写出来了，所以这道题这样呢，就选择c选项只有一个值，就是零这一块，

大家呢，要掌握它的这个特征。好，这是给大家强调的呃，做题的方法要掌握它的单调性，看看是不是明白了？下面我们来看一下这个题，这个题如果这个函数图像不经过第二象限，这道题就稍微增加点难度，希望大家对图形呢掌握的比较好，而且呢，还要。需要这图形呢？要平移啊，所以在这里面大家呢，

要找一下这个平移，然后平移完以后，然后这一块儿就可以看看它是不是经过第几象限？这样的内容，大家呢？要掌握它的方分析方法啊，好，所以我们呢就可以看出来呃，这道题好，这道题是y=1个ax。加上b- 1这块是a大于零的a不为一。啊a大于零的a是不唯一的好，所以我们在这里面，我们可以看出啊，既然是a大于0a不唯一，

我们首先看一下它。先看前面这块，后面这块b- 7就相当于一个平移问题啊啊，一个平移的这个情况。好，那这个ax啊，那么到底是它这个是一个指数对吧？指数指数的话，后面加上一个数，它就做上下平移。左上角拼音，那我们来看这个指数，它到底什么情况？是单调增还是单调减？我们现在呢？

是不知道的，所以我们呢？现在就要尝试一下啊。好，那我们来看一下它的这个特征。好，如果单调增的话，那么大概是什么样的情况是吧？所以在这里面好，大家想如果单调增。好，那么它往下平移一下。是不是就变成了不经过第二象限了，往下平移就变成了不经过第二象限，这是不是这样的？

然后呢？如果单调递减的。啊，单调递减，因为它要说要不经过第二象象限是吧，所以在这里面大家要注意好，如果单调递减的话，好，你不管怎么平移？啊，不管怎么平移，然后这一块大家可以发现它这个第二象限，它都是有图的是吧？所以说在这里面，我们就可以判断，

应该是左边这个图了啊，左边这个图。所以在这里面a肯定是大于一的啊，所以在这里面大家呢，就可以看出它的这个特征a肯定是大大于一。好，然后呢？我们看一下向向向下平移多少单位呢？我们讲过这个指数图像，它横过零一点过一这个点。归类点啊，我们往下只要拼一个单位多一点，是不是就行了啊？拼一个单位多多一点就行了啊，所以往下移一个单位多一些。

啊，往下移单位。好一个单位多好，那么在这里面我们呢就可以看出它的这个数值情况是吧？也就说往下平一个单位多，这个就是零。零的话，那么往下拼一，大家知道这个就是要减是吧？所以在这里面我们就知道这个b- 1。好b点就是往下平移的单位，平行单位的话，我们呃往，如果这要是正数，它就往上平移，

如果要负的就往下平移，它一定要。小于等于负一这样的情况是吧？所以在这里面呃，如果有同学弄不懂的同学，尤其这个符号弄不懂的同学教给大家一个好方法，考试中你可以取一个特值。比如说比如b- 1要等于负2 b- 1=-2，是不是要向下平移两个单位啊？向下平移两个单位，本来这个点是一往下平移两个单位，是不是平移到负一这个点了？这时候它是不是就不经过第二象限了？是不是这样的？所以它最起码得平移负一平移负一的话，

它刚好在圆脸这一块是吧？刚好在圆点这一块儿，所以在这里面，我们呢就可以看大家前面我们讲过，因为原点它不属于任何象限，所以说如果刚好平移负一的话，这个图像刚好是过原点，刚好过原点，它也是行的。啊，所以说要注意坐标轴上的点。坐标轴上的点。啊及原点。它不属于任何象限。好做包装点，

还有及原点，它不属于任何象限的，所以说这个是可以取等号的，大家呢？不要给写错了好吧，所以尤其重重重新判断题有没有等号？会影响你的答案的，所以这道题正确答案就选择这个d选项，这样就写出来了，好看这个题是不是明白了，是不是学会了？下面我们来看一下烤箱二，烤箱二对数这一块好，那么对数这一块比指数呢难度呢，要相对来说大一些。

希望大家呢，要掌握好它对应的公式和容易错的点好，我们来看一下这个题目，这个题目当一大一的时候，这个函数与它的图像最有可能是什么？找一个最符合要求的啊，就像咱们有时候做。英语阅读理解一样，那你找啊，最符合题意的那个好，那我们来看一下呃，这道题它的出发点什么出发点要看。这是一条直线和一个对数，它的单调性还有斜率啊，主要是看它单调性。

还有它的斜率。啊，这样的情况啊，单调性和这个斜率好，那当a大于一的时候，那么这个函数。它和它的图像最有可能是什么啊？最有可能的情况好，那接下来我们来看一下a选项。a选项我们先看直线吧。这个直线它是斜率为正的啊，直线的斜率相当于是一减a，这个斜率是正的。其实正的话就说明这个斜率肯定是大于零零的大于零，那就说明a肯定是小于一的，

是不是这样的，所以在这里面a是小于一的。a小于一的，它这个人家题目说了是a大于一，所以这个直线呢，肯定是不不行的，不符合要求。啊，所以在这里面它呢，就排掉了好，然后再看一下这个c选项也不行，其实它也是正的是吧，因为a是大一的。好，那就剩下啊b跟d这两个好b跟d这两个那b选项，

咱们来看一下，当一大一的时候这个。对数，它是单调增的是吧？所以在这里面对数单调增那d呢就不行d呢？这个对数单调递减这个不行。所以建议大家应该选择这个b选项，答案就求解出来了啊，选择b好，这是给大家强调的做题的这个方法和思路就。指数对数，它的图像情况啊，当然这道题可以出的难一点，出的难点怎么出呢？把a大一这个条件给它抹掉抹掉，

问他两个图像最有可能是什么？这时候你要看a大于一的时候是什么样图？a大于零小于一的时候又什么样图？所以在这里面呢，就单调递减，然后斜率为正，这也是。符合其中啊，一种可能啊，就当这个斜率为正的时候啊，那么这个对数呢，是单调递减是有可能的啊，所以大家一定要能够举一反三，把一个题呢。弄明白，

那我们来看一下。啊，这个题好，这个题的话已知函数，这个对数函数，它说它定义域为r则a的取值范围到底什么呀？好，我们要强调这个对数，它定义对数，它定义的话，那就是a方减一×x^2，加上a+1 x+1。要横正。对吧，横正这样话就相当定义域为r嘛，

就lx属于全体实实数。啊，属于全体实实数，还有横正的好这一块，它的这个情况。好，那么我们在这里面也要看到它的方法，要横正横着用咱们前面讲过呃抛物线啊，抛物线横正横正的话，那说明这个抛物线开口呢，应该是向上。啊开口向上，然后德尔塔小于零，就是横正的，如果这个抛物线有同学忘记了，

我们后面呢会讲这个抛物线，大家可以呢在。跟着学一学啊，好那么在这里面那么第一种情况就是a方减一大于零，还有德尔塔，德尔塔就等于b方。减4 AC。然后呢，是小于零的啊，判为是小于零，这时候呢，我们就可以解出a的取值范围，但这时候解的时候，大家注意不要漏掉一种情况啊。不要漏掉这种情况，

就s平方系数为零的，这种情况下看它能不能满足啊？横为正好，那么s平方系数为零，就a方减一=0的时候等于零的时候，这时候a是等于正负一的。是吧a等于正负一，因为a方减1v0a又等于正负1a等于正负一，大家可以看当a=+1的时候，那这个式子它还有x所保留，因为a等等于一的时候呢？这个式子变成了2 x+1了，你可以看一下，当a=1的时候，这个式子变成2 x+1，

它不是横横正的。好，那么a要等于负一的时候a要等于负一的时候这个式子，它又变成一了，这变一了啊，这个呢，是成立的是吧？所以说a等于。啊，这个负一的时候，它要成立好，把这两个综合在一起啊，上面这个解的呢，就是a小于负一或者a大于三分之五解的这个值。所以我们呃分成两种情况，

最后写答案的时候一定要把它并在一起啊，两者并在一起就可以得到它的结果，所以两者求一下并集就是a选项。这一块呢，是正确的啊，正确答案就选择a好看，这一块是不是明白了，是不是学会了好，这是给大家强调的正确答案，所以大家在写的时候，这个一这个值，大家千万不要给漏掉，如果漏掉的话，那这个答案呢，就会出错。

好，下面咱们看一下这个题，这里问他的根的情况到底什么样？这道题呢？注意题干是没有图的啊，现在我把这个图画好了，就题干呢，他是不给你图，因为给你图的话，你直接就可以。选答案了，相当于答案就告诉你了啊，考试的时候他问这个根的情况是没有图的，没有图大家可以看一下这个log以三分底ix=- 3x。然后他跟的这个情况，

然后在这里面我们看一下左边这个图像和右边图像，因为这个方程它是一个比较特殊方程，我们。具体跟的值是解不出来的，跟到底是几？这也没法算，也没有公式，所以说我们只能呢看图找它的焦点，找焦点的话，这个对数。它图像是单调增的是吧？这个点呢，它就是一这个点是一这个对数单调增，然后这是左边它的图像log以三倍体x的对数。它是单调增的，

然后右边是y=- 3x负3x，它是斜率为负三的一条线啊。啊，一条线这样线，然后这一块就是它焦点就是它的根，这个就是它的根的这个情况，这个焦点就是它的根，它根大家可以发现两个图像，只有一个焦点，只有一个焦点说明。它只有一个根，只有一个根的话，那在这里面，而且这个根呢是大于零小于一的，所以不仅我们知道它的正根，

而且它根的范围大概落在零到一这样一个。取值区间上是吧？所以说在这里面，大家呢，就可以看出它的这个根的这个情况啊，所以说根呢，就是正根，而且只有一个。始根好这个呢，应该选择d啊，仅有一个实根，而且呢，这个实根呢是正根，而且这个正根在零到一，其他选项都不行a选项是两个正根错了b选项是一个正根负根错了。

c选项两个复根e选项，这个都是不行的，所以正确答案就选择d选项，看这道题是不是弄明白，是不是学会了？

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