3-04集合

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:40:58

对吧，接下来咱们再看一下集合这个模块儿啊，集合集合的话，考纲上写了啊，然后呢，就是这是考纲上写的，但是咱们要求不那么高，把一些。基本的概念说一说好吧，这个集合内容。集合内容的话，集合概念能够确切的。指定的一些对象，把它看那个整体，就把它称为集合，

比如说啊，咱们班的班集体啊，班级的同学构成的集合。元素就是集合中每一个成员。每一个人，每个成员就把它称为元素好，那么集合的表示啊，它大写字母啊，就表示这个集合小写字母就是里面的一些元素，知道吧？里面那些元素就是小写字母来表示里面的元素，这样就写好了。好，这是它的概念，接下来我们看元素跟集合关系，

元素跟集合关系只有两种，要么属于，要么不属于。啊，就像咱们这个啊，这个同学是属于咱这个班儿，还不属于咱这个班儿，所以这个属于符号就是这个不属于符号，就加上一个斜斜线就行了，好吧？这个加上一个斜线，就代表是不属于。就是在这个集合，还是不在这个集合好，这是元素，

它的这个特征。然后接下来我们再来看啊，集合中元素的特性。啊，集合的特征，结合的第一个集合一定是确定的，一定要确定的，现在按照明确的非常明确的一个判断标准，知道吧，有个明确的判断。标标准，然后判断它在这个集合或者不在这个集合。不能模棱两可，这句话可能大家。读读不懂，

我给你举个例子就明白了啊，比如说这样的。我说咱班身高较高的人身高。较高的人身高较较高，那这个能不能作为一个集合身高较高？好身高较高，这个就就就不是确定性，知道吧？这不是确定性，你比如说我说啊，身高较高，同学举个手。那每个同学就就就在在纠结了自己该该不该举手，自己是属于身高较高的，还是不是身高较高的呢？

那这个四多高呢？这个不能说，还有说什么学习成绩较好的学习较好的学习较好的举个手，那什么叫学习较好是吧？这都没有明确的标准。知道吧，这些不要集合，所以考试万一问啊问现在哪个是集合，哪个不是集合，他说身高较高的学生，那这个不是集合，知道吧？这样如果改改这样，就比如身高大于一米六的，这个是几个身高大于一米六，

还有明确标准，或者说你考试分数比较大于200分的，我就把它化成了这个学习较好的同学。是吧，要大于200万，它有明确判断标准，这个叫集合好吧，就这句话是这样理解的啊，第二个互异性跟元素不能有重复，知道吧？不能有重复啊，它不能重复，比如说啊，这个如果他要这样写1a二，如果这样写啊，

如果假如考试出现一个一。a2出现这样情况，出现这样情况就默认a的值不能为一也不能为二啊，比如说他说这个集合是1a二，然后又告诉你一些其他条件，问求a的值等于几，让你选选知道吧，考试让你选选a的值。等于几万一你算出来a的根有一或者有二或者什么的，你要把它舍掉你就取，比如说最后假设啊，最后你解一下这个a的值，假设你解的a=1或者五是吧？假设你给你他当然还会告诉你其他条件，知道吧？

其他条件a满足什么样的条件，你比如a=1或者五，到时候考试的时候，这个一是不能要的，知道吧？一是不能要，为什么一不能要一那跟他重复了？所以这是一隐含条件，所以到时候我们别说哎，这考试它没说a不为一。它是一个隐含的知道吧，隐含的啊，就这是第二句话，互异性互异性一般会容易挖坑好吧，会容易挖坑啊，

考试考试考过几次就又有坑。啊，结果呢？有同学呢，就没弄清楚最后一个道歉，最后无序性无序性，就这个几个没有顺序是吧？你比如说一二三三二一它。都行，通常用正常顺序，正常顺序什么咱们习惯顺序呢？就从小到大排，你不按从小到大排也没事啊，这个没有顺序的啊。好，

这集合接下来我们看常用的一些结论，常用的结论的话就是任何一个集合都是它本身的子集。好吧，这个在我想最近一次考及格，前面也考过几次啊，最近是考及格在呃二零年考真题里面出现的。二一年呃，没有考啊，二零年考过一个题。二零年啊，考过一个题，然后二零年它那个题是这样的，它给了一个a集合a集合是一个绝对值，知道吧？是一个绝对值，

好像是x-a的绝对值小于等于一。b集合呢，是x-b的绝知，小于等于二啊，小于等于二，他说，如果这个a。呃，是。包含于b是吧？我把这个大概写呃，这个题啊，到时候回去看就行了，好吧？a集合b集合呢？

是x-b的绝对值小于等于二。反正就这样的啊，一个集合。这样的一个集合，也叫它做a，要包含于b。啊，让你求什么？这个a和b要满足什么范围？大概就这样的一个情况是吧？大概就是这个包含关系啊包含。所以第一个就任何集合是它本身的子集是吧，然后这个呢，就是它自己可以包含自己知道吧，就很多同学呢。

这个符号搞不清楚，我教给你一个诀窍就很好记，就这个符号。这个符号，这个我们把它看成小于等于号，知道吧？这个符号是小于等于号，懂了吧？就我给大家讲讲这个符号啊，大家学过这个这个符号就代表小于等小于等于就两者可以相等，知道吧？就是比如说啊，比如说你把它看成小于等于二，因为两个相等也是一个特殊包含就两个一模一样，就我中有你，

你中有我，两个一样也特殊包含。如果要不加这个线，不加这个线就是就是真包含知道吧，真包含就不加这个线就代表真包含。知道吧，就是这个增报增报还是什么？你把它理解成小于号，你这个这个这个懂了吗？就一个小于等于一个小于号就就。比他得少那么一点点，知道吧，就是最起码得少一点点，这个懂了吧，如果不懂，

不懂我给你举个例子，比如一跟二。它就真包含于一二三，这个你就懂了是吧？一跟二你看一跟二，它比它少少一点点嘛，你看是不是一跟二，它真包含于。一二三。这样的吗？这就最起码得少一个，就叫真包含，知道吧？可能有同学忘记了啊，这考试懂了吧？

然后这是好那么第二句话就是空气任何集合的子集，反正考试呃是二零年这个考题考了，然后前面隔了几年，大概是一六还还还一七年一六年那会儿也考了一些什么集合问题好吧？然后这是第二个空集，是任何集合的子集好吧，空集空集是任何非空集合的真子集。啊，就这个真子集，要知道什么是真子集，真子集就是至少要比它少一点点。那吧，那要少少量的，比如说空集，它是这个增值，

也比如说一。二啊，这个是真子集啊，这个空集，而是非空集合的真子集，那这样的情况对吧？这个懂了没有？好，这个都懂了，那接下来我们呢？就来看一下最后这一句话，最后这句话怎么去理解我讲讲啊，最后最后这句话他怎么去理解他说n个元素的子集为什么有二的N次方个？n个原子子集为什么有二的N次方个在这，我给大家举个例子好吧，

举个例子为什么是二的N次方个这时候呢？大家一定要呃，知道原因啊，我们就把第一句话弄明白，后面就好做了，万一考试给你出个选择题，问他有几个子集，你别给我做。走错了，比如咱们就以三个元素吧，比如一二三。它有几个子集，我们选一二三。一二三它有几个子集，大家想想一想，

一二三的话，它子集首先一个空集啊，我们列列好吧，一个空集为什么八个我们看空集它，它是一个。空集啊，空集是很重要集合，有同学说这个集合是空的，你让它有什么意义呢？空集的意义。空集的意义特别好，知道吧，比如说咱们考试有一次考虑考，他说这个不等式的解集是空集，比如说我给你出一个不等式，

比如x平方加一。小于零，你说它解集是不是为空集是吧？x平方加一小于零，它解集它就是空集，听到没？它解集是空的嘛？好空集是一个，还有一这是一个，二是一个，三是一个，对吧？你看这一是一个。二是一个三，它是一个。

对吧，好那么还可以什么还可以一二是它的子集，一三是它子集，二三也它的子集是吧？咱看一二。一三。二三。好，那这这还有一个它本身也行，一二三。它本身也可以。啊，一二三是吧？这个本身它它也是可可可以的嘛，一二三所以数数总共数数是不是就就就这这几个？

是吧，总共是八个。好，那我们看这个这个这是什么特征？怎么推出来的啊？大家知道这个空集空集，我可以把它看成什么一二三三个元素，我一个都不取，就c三零。对吧，大家学过组合数c三零c三零，因为你给我三个东西，我一个都不想要，那不是空的吗？好，

那接下来一二三。叶酸就相当只取一个元元素。c三一这个能懂吧？c三一就只取一个，你三个里面只取一个，它不有三种取法吗？是不是想想是不是c三一那第二行？第二行，第二行啊，这个代表什么呀？代表代表是。三个里面，我随便取两个，随便取两个好就加上c3。最后一个是c三三。

三个我全都要。好，大家如果学过。组合的同学知道CN 0+CN一加所有的CN把所有都加在一起，应该等于什么呀？是不是等于二的N次方看有没有印象？就等于二的。三次方知道吧，所以在这里面我又可以给它写一个公式好吧，写公式就CN 0+CN一。一直加到CNN。它也等于二的N次方是不是这样的，所以这上面就CN 0+CN一，一直加到CNN。它应该等于二的N次方。

好看，这个懂了没有？它是不是可以写成二的N次方呀，然后n相当于取的是三？好，那以后考试要注意啊，它比如说考试这次考我出，它说四个元素构成的集合，它有几个子集，你就写二的四次方。就可以了，知道吧，然后这个懂了吧？好，那接下来啊，

第一句话怎么样？后面这这几句话都很简单，咱们一块看看好不好？后面这这几句话这句话它说真子子集是二的N次方减一。这个检查一呢，是检查自身。知道吧，这个一就是把它自身。本身给它减掉了，知道吧，因为它真子集。然后n个元素的非空子集，非空非空也是减掉一非空是什么意思？这个这个减一是把那空的给它减掉，知道吧？

这个减掉是一个空的啊？这减掉是一个空的，懂了吧？这减掉是一个空集。然后后面是二的N次方减二二的N次方减二是什么？又是非空，又是要真子集，所以它减了两个。一个是空的，要减掉。还有它自身也减掉，所以这个二就减掉两个就行了。懂了吧，就是说总共这么多，把空的给它去掉，

然后自身给它去掉，剩下就可以了，好了，那接下来咱们就做点题好吧，做点题练习一下。这应该概念都记完，没有记完，记完了咱们做点题练习一下。然后大家看一下这个。呃，考了几个的概念，看一下例一这个题。啊，都做了例一这个题目，它说m啊这个竖线代表什么意思呀？

竖线代表它具备的属性。知道吧，就x属于n，而且四减s也属于这个n这个n呢，就代表是自然数啊，虽然说问m中元素个数到底有几个？那么m这个集合啊，里面有几个元素啊，大家都做做，因为这个n都代表这个大写n代表自然数集啊，大家要知道好吧，代表自然数。好，大家都琢磨琢磨。好，

大家想想s属于自然数四减s，也属于自然数好，那这m集合我们。稍微列列嘛，列那m它呃，大家注意最小的自然数是零，知道吧，别给写到最小自然数是是零啊。别漏掉了，知道吧，所以它应该是从零到四，知道吧，零一二三四。啊，很多同学呢，

认为自然数呢，是从一开始的，那这样话就会错了啊，所以自然数它从零开始的啊，所以应该选c。知道吧，选c这样就写好了，好这道题不是特别难吧啊，大家要注意它的内容。接下来，我们看例二这个题好，它下面能由一二三组成的集合是什么？就下面它写的这五个。能给表达成一二三，它到底是哪个？

好吧，一二三想一想。好，那在这里面，我们来看一下这个a6的质因数，大家知道六它可以分成二和三。那注意一，既不是质数。也不是合数，知道吧，所以说a这个这个这这a里面它没有一知道吧，所以六它只质因数只有二跟三。啊a是不行，没有1b选项b选项，它的x属于自然数b选项，

它有零知道吧b选项，它它多一个零，这个也不行。然后c选项c选项y呢？就是小于4y又属于zy，还可以取负的，也可以取零，这个也不行。d选项，它连续三个自然数，它这个连续三个有可能一二三，有可能二三四是吧？这个也不行。那e选项就行了，你看最小的三个正整数只能是一二三，

没有其他的了是吧？最小的三个正整数嘛，这里就选e答案，我就不用给大家已经写了。好吧，就不用再写了。然后咱们看这个题。它关有四个元素的集合，现在说到正确的是有多少个啊？这个是考试可能要出题的。比如他问自己有多到有多少个考试时候啊，你别给呃写错了好吧，所以老师刚才为什么要给你推导一遍，即使你忘记了，到时候呢也能想起来它怎么回事儿？

是吧，什么叫子集是吧？子集它的概念好，那我们看四个原则套纲的公式就行了好吧，这四个应该都是。正确的是吧，第一个就是子集是十六十六，相当于是二的四次方就16，刚刚给大家推导了啊。然后呢？真子真子集就减一个，减它本身，所以剩15个。然后c选呃第三个选择了非空非空的话，那么就减掉空集也15个。

然后第四个就是非空的真子集，要减两个，听见没？要减两个减两个，然后呢？这时候还剩下14个。懂了吧，还剩下十十四个，所以这些都是有正确，所以考试呢，它就考这样的概念其实不难，你只要理解原理，那这些都很简单。好吧，然后这是它的这个概念性的题，

大家要会分析和思考。

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