3-02分式及其运算

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:40:30

各位同学大家好，接下来我们看一下模块二分式及运算。啊，分式呢？是在整式的基础之上，然后产生的分式就两个整式相除，就产生分式，所以分式和运算，它跟咱们前面学过的数字的分数运算是类似的，所以两者可以结合在一起来进行学习。好，首先咱们看一下它的基本的概念，分式的概念，分式的定义，用两个整式相除来。

把它写成分式，这种形式。而且关键点是要求这个分母一定要含有字母。这个叫做分式，你比如说。三分之二s加一，这个不叫分式，因为它虽然写成这种有分式分数线，但是呢，它分母呢，没有字母。这个是不可以的，但是三x加一分之二，这个是分式啊，这个是分式，

这个是不叫分式。好吧，所以一定要分母，它含有字母分子，有没有字母没关系，有也可以，没有也可以，好吧，这就是分式，它的一个定义和概念。接下来看一下分式的基本性质，大家一起思考分式的性质，好分式的性质的话，那么第一个它分式的分子与分母都乘以同一个不为零的整式。分式值呢，

它是不变的，这跟咱们分数的这个性质差不多，比如说咱们前面学的分数有五分之三。我上下都乘以个四。或者都除以个四它分数值呢，还跟原来一样，两者还相等好吧，这是它的基本性质。好，那把这性质作为一个表示，比如上下都乘以个m或都除以个MM呢，是一个不等于零的一个整式，这时候呢？它的结果呢？是不变的。

第二个，它的符号法则，符号法则改变变里面的号。改变其中任何两个分式值不变，因为咱们学过负负得正，比如a和b都都变成负号。啊，或者a变成负号AA是负的b是正的，然后把a变成正的b是负的，或者把负号提到前面去，这都是可以的。是吧，然后接下来咱们看约分，把一个分式的分子与分母所有的公共的因式约掉，这叫做约分。

啊，这叫约分化简好吧，接下来咱们再看通分，把几个不同分母的分别化成与原分式。相等的同分母的叫通分，比如咱们学过的三分之二，加上一个。五分之四是吧？就这样的，这样的话，我们在以前学的时候，我们知道要进行通分化简，这个分数运算。跟它分式运算差不多的，比如说这个呢，

我们都把它变成三×5。是吧，对吧，变三×5那第一个分式分子又变成十了，第二个分式分子又变成12，所以把它这叫通分。通分完以后，那么它才能做运算是吧，所以就得到啊它的结果，这叫通分运算，就它分母如果不一样的时候，大家呢，在化简时候要进行通分。来进行处理好，这是它的化简的结果和思路。

好，接下来咱们看加减法则，加减加减法，如果同分母分为两种情况，如果同分母的话，那么咱们这个就是相加减。啊，分子相加，减分母呢，是不变的好吧，这跟咱们分数的运算差不多啊，如果要异分母异分母的话，它这个呢就稍微难一点，异分母它的分式相加减。先通分变为同分母的分式，

然后再相加减，一定要先通分，把它转换同分母，然后再相加减就可以了。接下来看，乘法的法则，乘法分式，乘以分式啊，那么用分子的积就分子跟分子乘。分母跟分母乘就可以了好吧，就两个分子相乘，两个分母相乘就可以了，然后除法的法则除法法则就分式除以分式。两分子相除，咱们学过啊，

这个跟咱们数的除法一样，如果相除变成乘以它的倒数好吧，乘以它的倒数把它倒过来就行了。乘上倒数，所以把这个c跟d给它颠倒过来就可以得到这个结果啊，这除法它的这个法则思路啊，要弄清楚。接下来看一下乘方的法法则，乘方乘方法就相当于N次方都加上N次方那括号去掉就变成a的N次方b的N次方。是吧，就这样写的啊，比如说这个啊，三分之二的三次方，你可以把它写成二的三次方，三的三次方跟咱分数运算差不多。

好吧，差不多，这是它的这个内容。啊，另外呢，咱一些啊分式的化简反分式就比较复杂，一分式我们可以用除法法则进行化简，也可以用分式的基本性质。化简。这个反分式把这个反分式作为化简，比如说剩下该约分啊，约分是吧，然后该进行除就除。好，那这是它的这个一些基本的法则，

跟咱们数的法则差不多啊。接下来咱们看一下最简分式的概念和定义，最简分式如果分式分子与分母没有公因式时，把它称为一个最简分式，一个分式，最后形式必须是最简分式。啊，分子化最简分式就采用约分的方法，啊，约分方法就最后答案时候一定最简就分子，分母没法再约了，叫最简分式，咱把它约完后得到最简就可以得到结果。然后第二个考试，它的解读我们看考试解读第一个分式基本运算方法化简方法是分式求值的基础。

啊，分式求值基础这样的一个情况啊，分式的基本运算化简方法就分式求值基础。然后第二个分式大小比较是后面计算分式不等式的一个核心，就大家最害怕是出现一些分式大小比较，比如几。几分之几大于几分之几，这样的大家是最容易错的，分式的难点，分难点就相当于是分式方程和不等式，求解它跟。后面方程不等式结合在一起，它单独考的频率呢，不是很高好吧，所以在这里面大家可以结合咱们分数的一些性质啊，

然后呢，来学习这比较抽象的问题啊。好，那接下来咱们来看一下它的命题，方向方向，第一个就是分式的化简求值好，这个分式化简就可以先转为整式，求参数之间的关系，然后再代入到所求的分式来进行化简。就可以了好吧啊，这样的一个思路来化解。好，那接下来咱们来看一下这个题，若AB均为实数，且它这个值等于一则这个分式到底等于几？

好，那求它的值接下来那第一步，大家注意遇到分式的话，这个分母可能不能为零，所以说把分母先乘过来好吧，乘过来，所以有题我们可以得到a方。b方等于a的四方减2b的四方，所以大家以后遇到分式，大家首先要把分母给大家进行做一下调整。把分母给它乘过来，乘过来后，然后把它再移项移项就可以把它变成a的四方减a方b方，我把a方b方放在中间。2b四次方等于零这一块我们就可以用十字相乘，

因式分解咱们前面学的十字相乘，因式分解我们就可以把它用好。是吧，画一个十字叉，那怎么用呢？就相当于把这a的四方把它看成平方的平方，这b的四方也可以把它看成平方的平方，也就说a方b方把它看成一个整体套咱们的。实质相乘，因式分解。得画个十字差因式分解，因为a的四次方它系数是一一的话，可以分成一乘以一，然后这个b的四次方它是一个负二负二的话，我们可以分成一乘以负二。

这样就保证中间的系数正好是负一负一，然后呢，我们接下来就横着来写它的分解，结果就a的平方+b^2。乘以a的平方减二b的平方，它括号正好等于零，把它分解是吧？就a的平方加b的平方乘以a的平方减二倍b的平方，它应该为零得到这个结果，大家知道两个相乘为零。两项的问题就前面这个括号为零，或者后面这个括号为零，知道吧？就前面括号为零，或者后面这个括号为零。

然后呢？前面这个括号为零的话，就是a方加b方。等于零或者说。a方等于二倍的b方，又或者后面再括号v0，但a方加b方等于零，这个要舍掉的。这为什么要舍掉呢？因为a方加b方等于零，咱们学过非负性的同学知道，如果a方加b方等于零，那说明a和b都为0a和b，它都为零的话。那这个分母它就没有意义了，

对吧？要保证分式分母，它不为零，要保证有意义，对不对？所以这个就舍掉，只能是a方等于二倍b方a方等于二倍b方考试时候可以用特值法来做。好吧，用特值法做比较简单，或者说不用特值法也行，把这a方都换成二倍的b方a方都换成二倍b方以后啊，然后上下把它约掉，约掉以后我们就可以得到这个结果。好吧，所以在这里面大家呢，

也可以用特特特值法特值法做，要快啊，尤其针对于基础不好的同学啊，你可以取特值法，那么你可以b=1 a=2。是吧，然后带到里面去，它所求的原式对不对？正好是二减一除以十九乘以二加上。96×1对吧，然后这样这样的话，我们呢就可以得到这个分子，就为一这个变成三三十八啊。啊，38。

啊三十八然后呢？这个是一百三十四分之一答案就求解出来了是吧？所以这个一百三十四。好，这个正确答案就选择e选项好，通过这道题，大家要掌握的方法思路呢，就是先把分母乘过来，然后呢，把它作为一个整体，用咱们的实质相乘因子分解。实际上，应该分解，然后把它分出来，分出来以后得到答案就可以了，

好，这是它的做题的要点和思路，看看各位同学是不是懂了？接下来看一下分式的大小比较。对于分子大小比较，分子分母都不相同时，这个是比较麻烦的是吧？往往要固定分子或分母其中一个，然后再比较大小。因为分子也不行，分分母也不行，那这时候呢，我们就没法去比较，我们要固定啊，大小固定一个啊，

你比如说分母要一样，分母要一样的话，大家知道五分之四肯定大于五分之三。你就只要看分子就行了啊，如果分母一样，就看分子它的大小对不对？好同样道道理，如果分子一样。比如说一个七分之三啊，一个五五分之三在这里面，这样也可以比较你看分子，它都是三。分子它都是三那这个分母越大，分母越大，它这个就就越小是吧啊它它这个七分之三就越小。

然后五分之三要大一点好，这是如果分子要相同或者分母要相同，那这些比较起来都要简单一点，是不是这个都好比较？然后接下来看，如果它都不相同怎么办？要处理一下。好，那接下来咱们看一下例三是这个题好，这个题大家可以呢啊，把它进行取特值法做，所以方法一呢，可以用特值法做。但特殊法，它的优点是简便直观，

缺点就是什么？有时候这个特质啊，它用完后只能排除一部分选项。这比如说五个，咱用特指排除两个或者三个，还剩下一半儿，剩下一半儿我们需要再去特指，然后再来进行排除，所以说还得二次去特指啊。所以这道题呢，比如说你可以取a=2。b为一是吧啊，然后呢？这个k的k的值呢啊？你可以可以取个啊三或多少都都OK的。

啊，可以可以可以可以取一个三。是吧，然后这样哈，或者k大于大于零嘛，大于零取个零点五也行啊，都是OK的，然后这个大家呢，自己带到里面用特值来进行分析好吧，这个交给大家完完成啊，你带到里面去以后。然后每一个呢，就可以化化解，化解完后看它大小情况，排除一部分选项，

排一部分选项，然后呢，剩下的我们再取特值就行了，这是一种方法，用特值法来做。好，另外一种方法呢？我们来看看看它的这个这个情况a选项啊，一般方法就啊AA选项。a选项的话，我们首先把它两边都乘一个负号是吧？在这两边如果乘一个负的，它大小。方向应该反过来，这小于号小要变成大是吧？

所以a选项呢，是a分之b大于a加k分之b加k。啊，这样的对不对？这样的因为大家知道AB k它都是都是大于零的，都大于零的话，我们把可以把分母呢给它乘过来。啊，分母给它进行乘过来，所以必要大小有两种方法，第一个是做减法啊，第二个就直接乘过来好吧，好，如果要做减法就比较麻烦一点，你看a分之b。

减去a加k分之b加k，然后这时候是不是要通分？啊，通分通分的话就比较麻烦，通分就是a×a+k是作为它的公分母是吧？然后第一个分式分子分母都乘以个a+k。就b乘以个a+k。减去。减去第二个分式分子分母都乘以个a就a乘以个b+k啊，这样的一个结果。然后接下来呢，我们再往下写。那样写分母就是a×a+k啊分子，分子这个a×b跟这a×b，它就抵消掉，

抵消掉就剩一个bk-ak bk-ak是不是可以提出一个b啊？嗯，提出个k啊。是不是所以大家看看化简完后a×b跟a×b，它就抵消掉抵消掉，那剩下就是啊，这个提出一个k提出个k就是b-a×k。b-a×k，那接下来我们呢，就可以看到它的这个值了啊，看看值，因为大家知道题目说了什么a是大于b的a大于b，那这一块儿呢，是小于零的。是吧，

这块是负的，其他都为正的，所以它最后得到这个结果是小于零的小于零呢，那说明什么问题啊，说明这个a分之b应该是。小于a加k分之b加k的是吧？这样这是一种方法。那好，还有一种方法，因为它这个分母它都为正的，这些数都为正的，或者你把这个分母给它乘过来也行。比如两边同乘以a+k，然后再同乘以a把两个分母都去掉都去掉，然后再比较大小也可以一样的好吧，

一样都是没问题的啊，都是得到它的这个数值，所以要。乘过来话，那这样也可以。乘过来就相当于是这个变成了b乘以个a+k大于a乘以个b+k。啊，这个结果，然后这时候呢，我们可以看左边变成AB，加上bk右边是AB+AK。啊，那因为这个AB它都一样，对不对？AB都一样，

左边剩了bk，右边剩了AK，所以在这里面大家可以看到这个bk应该小于AK的。是吧，因为什么？因为a是大于b的a，大于b的AK也大于bk，因为k是大于零的是吧，所以在这里面啊，所以从这个角度也可以看到a呢，它这个方向正好反了。是吧，它这个应该反应应该这样写就对了是吧？这样写啊，所以a选项错了a选错呢c选就对了，

因为a和c正好是。呃，相反的一个选项是吧？相反选项，所以c就做完了就可以了，然后这是。给大家讲它的比较大小，然后bde为什么错呢？为什么错呢？因为它这个减啊减法呀减法这个减法你不知道它这个正负唉，所以说这个这b选项还有d选项。e选项这个分母b-k这个就不不能直接乘了啊，不能不能直接像a选项把分母乘过来，因为这个b-k你不知道是正还是负。让它正负未知，

因为b和k的大小，它这个题没告诉我们对不对啊？没告诉k有可能比b大，有可能比b小有b-k呢？有可能正的，有可能负的，所以它这个确定不了。好吧，这个确确定不了，所以这个这个就不太行啊，所以说bde就错了，另外还可以教给大家一个。啊，极限的方法啊，就另外一个技巧就极限法。

计算法什么意思呢？比如说b选项，比如说让k跟a。接近或者k跟b接近，所以b选项可以让k呢跟b非常接近，比如说刚才咱们讲的a=2 b=1，我k可以取什么k可以取零点九九九。kh零点九九k取零点九九看b-k就非常非常小。b-k非常非常小。分母越小，它这个比值又变得非常非常大，它显然要大于左边，这叫极限法。极限法就适合于基础比较好的，就找这个极端知道吧，

用极端方法来进行去求解。好，这是它的这个思路，懂了吧？所以就用用这个。极端法来进行做。好，所以这个b然后d选项呢？集成法上k跟a相等k跟a相等，比如说a=2 b=1 k也取二。kh二这个分子就为零，分子就为零，整个就为零，整个就为零的话，那右边是零啊，

右边零b分之一不可能小于零，所以这个也错了。然后e选项也是一样e选项，让a和2k相等a和2k相等AA和2k相等这个分子，它也为零一定，所以它这个呢啊也是错的。是吧，它它它也错了，所以它这个呢，也是不可以的，所以这样的话就把这几个呢，用极限法极限法的话就就要么要么让分子。接近零或者分母接近零。知道吧，你找它的反例啊，

找它的不存在的反例，这样话就可以写出来，结果好，这是给大家进行强调的，用特值法做特值法的话呃，有的它不能够彻底排除，还要再。取特值再额外去排除，另外有极限法，极限法可以让分子为零，分母为零，或者说直接比较大小，可以用减法来进行分析。唉，减法一个，

这种减法还可以用除法做，都是正数的时候也可以用除法来去比较大小，比如说这两个。相除相除完以后啊，比较大小，所以减法除法是常规的，比较大小的方法好吧，你除也行a分之。b除以个这个a加k分之b加k，然后除以个就相当于乘以它的倒数。看到了就a+k除，以一个b+k。对吧啊，除以一个数就是它倒数，然后这个呃写完后就是AB+AK。

下面就是AB+1个bk是吧？bk因为这个AB跟AB是一样的，而a又大于b。a又大于b，说明它这个分母大，而且它都正数啊，它这个小于一小于一，那就可以推出什么推出这个分子应该小于这个分母的。啊小于分母好吧，这样的一个。方法懂了吧，用除法做也行，所以比较大小，那么咱们的方法。方法啊，

那么就是一般方法。一般化就是这个差差值。或者比值。差值的话，主要是与零去比较。这个比值是与一去比较。比值它等于一去比较啊，这比较大小的方法，然后接下来啊，那么啊，技巧方法。机械方法你可以用特值法做。特殊法做也可以呢啊，用咱们的极限法做。啊，

极限法做，另外通过这道题还可以给大家总结一个规律啊，总结一个规律，总结规律是什么规律呢？就是分数它分子分母加上相同一个数，它大小怎么变化？啊，如果真分数啊，真分数，比如说或者假分数，那么它的大小怎么变化啊？假设咱们假设这个AB k。都为正数啊，都为正数啊，都为正数，

如果a要大于b，大家知道a分之b就是一个真分数，什么是真分数呢？就分母大分子小就是真分数，比如说七分之三。还有真分数，现在咱解决问题，如果分子分母都加上相同的一个数。都加上相同的数，比如都加上一个四也好，都加上一个五也好，都加上相同的一个数，它的数值比原来到底增大还减小，大家要注意它的性质。好，

那这个真分数，它加上以后它这个比原来要增大，为什么比原来要增大？大家想想你想象一下这个极端情况，如果上下这个k越大，比如说。七+1000。三+1000，大家发现这个k越大k越大，这个分式是不是越接近一？是吧，它越接近一那这个这个除用计算器除的时候，它是非常接近一。知道吧，非常接近，

原来呢，是比一小的一个数，所以也说这些k越越大，加的越多，它的分数值越接近一，这样话大家就掌握这个规律就行了，好吧，对于真分数啊。啊，如果对于假分数。给假分数。它正好反过来对假分数，它又反过来，比如说呃，七分之十一是吧？

和七+41+4对于假分数对于假分数呢？唉，这块儿你看这样的，为什么这样呢？大家想想。你看如果它这个加的这个数很大，比如加上1000啊，这个七也加上1000，如果这个数加的很大，加的很大的话，它后面有接近一原来这个数是大一的数。啊，大比一大很多，现在呢？唉，

慢慢慢减小减小，它就接近一了是吧？你这样去思考就可以了，好吧，这是分数，它的一个。变形情况，但是减就不行了啊，减这个规律没有减的话，因为它有可能减出来是一个负的，知道比如三减四七减四，那这个就不太行了，减的话。啊，它有可能出现负的，

咱们就是掌握加好吧，加加，然后数学规律的话，大家可以用一些实例帮助你理解和记忆这些规律，这样话大家呢，就不用死记硬背了好吧，这是分数的一个性质真分数。和假分数，它分的分母。它的一个呃规律，加上相乘数，它的一个规律，要把它掌握好好，这是它的学习方法和思路，看是不是弄懂了？

啊，接下来咱们看下题型三就分式为定值的情况。分为定值，如果它分式要恒为定值，咱们呢，可以先用特值法求出它定值，然后再根据比例定理，或者恒等变形求参数值。另外一个分式从另外一个角度来看，分式为定值说明变量能被约掉，变量约掉了，只剩下一个常数了，它这时候它才叫恒为定值。是不是这个恒为定值，它的一个含义要弄清楚啊？

好，接下来咱们看一下这个题。好已知AB为非零实数，对于使得这个BS加十一分之as加七有意义的一切，是指什么叫有意义？有意义就分母，它不能为零的。一切还是指它分式都为一个定值，则有a和b应该满足什么条件是吧？a和b满足什么条件？那这道题方法一。方法一，我们就特值。特值，因为它对一切值，

它都可以为定值，对吧？只要有意义就可以了，好那比如说s为零，它的数值是一样的is为零的时候s为零的时候。就变成十一分之七了。跟s为一的时候，它值肯定是一样，你想想是不是这样的？或者跟s=2的时候，它值也一样，反正s这这个是s=0的值，这是s=1的值。或者你取s=2 s=3都行，咱们就取简单一点是吧？

s=0，这s=1好，那接下来咱们学过比例定理，学过比例定理是什么情况呢？让分子相减，分母相减得到数值，跟原来是一样，对不对？所以说这个分子相减，分母相减得到的数值一样，所以说分子跟分子减得到就是a。啊分母跟分母减得到值就是b。是吧，是不是得到值就b，所以咱们学过等比定理就是分子跟分子相加型相减也可以。

知道吧，然后都相加啊，都相减。是吧，要么你看咱们这里为什么想到减法，因为减完后呢，这个只剩a和b要减的得到这个值跟原数值仍然是相等的。是吧，这是等比定理啊，这地方就用等比定理。好那么，然后接下来我们用交叉相乘就行了，因十一分之七和b分之a这两个相等，我们可以用交叉相乘，那就七b正好等于十一a。

啊7 b=11，啊7 b=11 a，这样话我们呢就可以得到11 a- 7b应该为零，这个答案应该选择b选项，答案就写好了是吧？这个答案就选择b。好，这是方法一它的这个方法，我们再看方法二。啊方括二号，我们应该怎么思考它既然是定值，就说它变量一定约掉，谁是变量呢？x是变量。是吧s变化s变化，

它一定能约掉，对不对？所以说也说as+7，所以说bx+11。它这个变量s1定要能约掉分子，我们先提出个a剩下的s+7÷a是不是，然后第二个分母分母，它提出个b就x+11÷b。啊，那也就说这两括号，它能够约掉，而是假设啊，假设如果不懂的同学，假设他这个s约不掉s，如果约不掉，

就说明它这个就不是定值。那s约不掉，它就不是定值好吧，这块儿它就不是定值这样情况，所以说s它一定要要能约掉。啊，约掉约掉以后，那得到就是嗯定值了是吧？也就说要约掉了，它的条件是什么条件？就是x加上a分之七应该等于x加上b分之十一。好，那就可以得到a分之七等于一个b分之十一，一个可以得到十一a就等于七倍的b。对吧，

11=7倍b跟刚才这个做法是一样的好吧，所以以后不管遇到分式恒被定值，或者说咱们几何图形里面横过定点的。其他都表示一个意思，指说法不一样，对于恒成立这样的情况，原来s取任何值的都要成立，知道吧？或者说从变量角度而言呢？它的变量。变量呢，它不影响不影响这个结果，它就恒成立的是吧？就雷打不动别人影响不了你，这就恒成立的，

所以说这个变量让它能约掉。这样就可以得到答案，两种方法得到都是OK的，把这思路一定要记住。

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