3-01整式及其运算（4）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:40:19

啊，接下来咱们看一下啊，第三个板块就是它的除法问题。啊，除法好除法的话，要稍微难一点啊，除法除法，咱们先呃用咱们前面。数的除法是吧？因为数的除法要简单，所以说大家会比如说20除以个。三上一个六余一个二是吧啊，这是好这个20呢，可以把它看成一个被除数。被除数这个三呢，

把它看成一个除数。这六可以把它看成一个商。这二呢，可以把它看成一个余数。好，这样的一个情况是吧？好，这被除数除数商和余数啊，这样的一个。思路是吧？好，那么就可以把它看成什么？看成就a÷b。等于c，然后余个r啊，

这是它的这个表达式，它的一个写法。好，那接下来我们呢？就知道这个数的除法，我们可以把它写成乘法，这20我们看怎么写呢？这20我们可以写成三×6再加二。是不是所以这个a就被除数可以写成除数乘以商再加余数？啊好，这是咱们数的除法简单，给大家进行分析一下，接下来咱们看一下这个四的除法。所以咱们代数的产生就是把数字变成了符号啊。好，

那么如果一个整式fx，它除以个。整式小fs商是一个gx，然后余是一个rx。好，那这个就把它称为个被除式。这个fs把它称为一个除式gs，把它称为一个商式rs，把它称为一个余式是吧？然后咱们可以把它写成乘法，仿照这个数额，除法可以把它变成乘法，变成方就fs。等于小fs×gs，再加上一个rx是不是这样的？

把它写成这样的。然后咱们知道数的除法要求什么？要求余数一定要小于除数。啊，余数要小于除数。好余数呢，小于除数在这里面，大家看看啊，余数要小于除数，这个数的除法是吧，然后这个余数要比这个三要小。那咱们在。四的除法里面要求什么？要求这个次方要低啊，这是很关键的。

就于是次方要比fx次方要低，比如说fs要是二次方，这于是就是一个一次方或者常数。知道吧，就反正比二低的有可能是一次方常数，可以把它看成啊，这个这个多项式零次方。知道吧啊，如果fs要的一次方，那么rrs只能是常数好吧，就这个意思好，那接下来咱们先学习一个简单一点的整除问题，然后不能整除问题，咱们后面再接着学，先学简单的啊。

就像咱们数的除法先学整除，然后再学非整除啊，那当这个余式为零的时候，那这就把它称为整除。这有整除整除的话。这个竖线就代表整除的含义，在咱们数字里面也可以写成，比如六这18是吧？然后相当于18能被六整除啊18。能被六整除或者18是六的倍数。也可以把写成60，18的约数好，咱们先有整除的问题，整除就变成了这个因式，变成因式分解。

好吧，这是给大家强调这个方法啊，所以大家把这块儿要加上，重点就是于是次方啊，要小于fx的次方数。好吧好，那咱们先学这个整除最基本的整除就是一次方的一个整除。如果fs含有一个一次因式。f2含有一次因式说明f2就能被s- 1整，除说明fa就等于零是吧？那这个怎么去理解？如果f2含有s-a因式，所以fx可以写成s-a。再乘以。其他因式就代表是f含有这个因式，

它的一个表示方法，那就说明f就刚好能被它整除，它没有余式。那这时候呢，也可以把它看成fa，应该为零，就当s=a的时候，它的数值正好变成零了，fa值正好就为零。这样写好fa的值，它刚好就为零就写出来了好吧，其他方法就写好了啊。然后接下来咱们再看一下啊，这个非整，除非整除有一个啊，

这个余式定理啊，余定余定理主要解决非整除的问题。被整除啊，由于余次的次数要小于除式，所以当这个除式是依次表达式的时候，于是就为常数。知道吧，一次的时候它是常数啊，如果要除式，要是二次的时候，二次的时候，那于是有可能是一次。或者说啊，常数。对吧，

反正比二要低的，同样道理，如果这个除式是三次三次的话，那于是就二次一次或者常数。知道吧好，那咱们就先研究这个一次的时候，一次比一次还要低，就是零次零次就把它看成一个常数。从而可以得到余式定理。余定有f÷as-b的余式就是该点的函数值，那这个怎么去理解呢？我们呢？这样去思考给大家推导一下啊。就相当于是这个fx除以它的余式怎么写呢？就fs就相当于被除式了，

被除就等于除式。乘以商商，咱们不知道，然后再加上余式。对吧，再加上余式，首先大家知道这时候余式，它肯定是一个常数。啊，于是要是一个常数啊，就是一个常数啊，这时候呢，我们就可以令x都等于a分之b是吧x它正好就等于a分之b。然后呢？为什么要令s等于a分之b呢？

因为这个商咱不知道是多少，那这个商咱未知怎么办呢？咱们就是让这些括号为零，括号为零。讲到这，可能有同学呢啊，就有点纠结，他说这个除法的时候不是这个分母不能为零吗？这个除法它不能为零。但咱们把它变成乘法，就可以为零了，知道吧？就可以为零，所以这时候呢，咱们就是也是没办法是吧，

因为你不定它为零的话，这个商。咱又不知道这个，于是就没法求好吧，所以说在这种特殊的紧急情况下，我们就列x又等于a分之b，就让这个它为零。或给大家打一个比方，大家知道正常情况下，咱们是不能够闯红灯的，但是在救护救护车呀或者消防车呀，还有警车呀，他们呢？是有特权是吧啊？紧急情况下，

它是可以闯红灯的，是不是就像咱们这个除法一般来说，它这个除法不能为零，但咱们紧急情况下，唉，咱们就令它为零来求这个余实际是。没办法的，一个紧急情况，懂了吧？这样就不纠结了啊，所以特殊情况下它是可以闯红灯，对吧？所以s等于a分之b就得到了这个fa分之b，正好就等于于是。是吧，

稍等。于是因为这块儿正好为零嘛，所以它这块儿就是余式，这就写好了。好，所以说这个频注这块儿可以理解成什么f2除以它的余式正好是该点的函数值，另外因式定理可以把它看余式定理的特殊情况啊。让这个于是等于零的时候就变成含有as-b这个因式了是吧？好，这是余式定理它的一个特征，所以余式定理咱们经常要用一个什么手段呢？就强制啊令这个除式为零，然后来求这个余式是吧？强制令它为零来求这个余式。是吧，

这样来进行求解啊，这是它的这个求解方法。好，那接下来咱们看一下，有个因式分解里面双十字相乘法，咱们前面学过单十字相乘法，这些大家都知道是吧？我们来看一下双十字相乘法。啊，单式相乘法啊，把它延伸扩展一下，变成双十相乘法，双十相乘法，它应用在什么情况？当遇到这个二次六项式的时候，

就用双十相乘法就as方加BS y+cy^2加ds+ey+f十。可以用双十字相乘法进行因式分解啊，双十相乘法啊，进行因式分解，其步骤是什么？第一个用十字相乘法分解。前三项先用十字相乘，把前三项分好是吧？得到一个十字相乘图给大家画个图。比如说这个as方，我可以把它分成a1 xa 2x是吧？这个上下相乘得到是。s平方项。然后后面这个cy方可以分成c1y和c2y相乘。就c1y和c2y这两个相乘。

啊，这两个上下相得到y方它的项，然后bix y就是这个交叉相乘再相加。这两个相乘，再加上这两个相乘，就得到BS×y啊，得到这个数值，然后呢啊，这样就把前三项就分好了，分好以后，然后接下来咱们再。分后面。分后面后面这个怎么分呢？后面的话就相当于是呃f来进行分f1f2。啊f分这个常数f。

啊，那么这个ey这个e是什么y的系y系数就是这两个交叉相乘再相加是吧？这两个相乘再相加得到是e×y。然后ds ds其实就是大交叉知道吧，大家看一下图这个大的交叉啊，这个是s系数就a1 xf 2a2 xf 1得到这个。dx啊，如果这系数都满足的话，那接下来我们呢，就可以把原式在写的时候跟咱们单式相乘一样，就横着写就可以了啊。水平的写就可以写成a1 x+c 1y，再加上f1乘以个a2 x+c 2y再。加上f好吧，就横着写，

就是它分解结果，好在这里面我们把要满足的情况给大家写出来好吧，写出来第一个这个十字交叉就b=a 1c二+a 2c一。啊，这b的值啊，这样的。然后这个d的值就等于a1f2，我就只写交叉了。好d的值。就等于a1f 2+a 2f一，然后e的值e的值就是c1f 2+c 2f一。好，这是e的，值好就写好了好，那这是它双十相乘它的一个啊，

这个过程好看，各位同学是不是会分解了？好，接下来咱们看一下这个考试解读，因式分解是整个代数的基本功啊，它是整个代数学习的。最核心的内容好吧，因为它后面学习都需要用因式分解，很多题变形都要用因式分解，所以因式分解常用方法有十日相乘法。另外，咱们遇到一些整除问题，整除问题就相当于是因式分解的一个。利用可以转换因式定理来进行分分析，难点就于是于是这块儿考试还没怎么考过，

它也是个命题的空白啊，命题空白，所以说不做重点掌握，但要了解一下啊。了解就余式定理它的考试。这个命题的内容要稍微知道一点。好考频率呢是高啊，因为因式分解是整个，要么就直接考，要么就是间接的考，要么在做题中要用，所以说这个基本上啊。啊，题目呢，都要使用的。

好，那接下来咱们来看一下它的命题方向啊，整式及因式，我们看它命题方向。首先看整除，整除的话，咱们呢，就用因式定理，因为可以巧妙理解成一个口诀，让因式等于零时，此时它的函数值表达式，它也为零。这样话，我们就可以列出等式，然后让求解里面的一些参数。

好，接下来咱们看22题，这个题啊fi=s三次方加a方x方加上s- 3能被s- 1整，除则15a，到底是等于多少？好在这里面我们来看一下它，能被它整除，我们刚才讲的口诀什么口诀呢啊，就说明它含有s- 1的因式，含有s- 1因式的话，我们让s=1，也说让s- 1=0。这样话就令s=1，那就可以得到f1的值应该等于零，然后把s=1带到里面去I=1带到里面就一。

加上a方加一减三a。得到a方减3 a+2，它应该为零，所以呢，这样就可以解出来，然后a的值等于一或者是。二这样就求解出来了好吧，这样答案就确这个答案就选择的是e选项啊，这就是它的做题方法。看这个是否明白答案就写好了，这是22题，它的方法，它这个题不管怎么改，能被几整除都可以。啊，

用这个因式定理来进行分析和求解。好，那接下来23题23题跟上一个题，它内容是类类似的，只不过它这个呢，就把这个次方变得高一些。啊次方变高一些，我们还是一样，首先呢，就令这s方减3 s+2=0，我们就可以得到s的数值s值。就等于一或二。是吧，所以s就可以解出来啊，一或者二解出来以后，

那接下来我们呢就可以列出一个f1的值。把s=1带到里面f1的值f1的值有一加，一+a+b它为零，然后f2的值f2值又等于八+4+2 a+b它等于零。是吧，这f2的值，然后通过这个我们就可以解得这个a的值，然后考试不想解也可以验证这个选项好吧，然后a的值就等于负10b的值，正好等于八。然后这样去写出来a的值等于负10b的值等于八，这个答案就选择d选项好，这是它的做题方法思路，看是不懂了，所以通过这道题大家呢啊，

要知道我们用立差等于零，把这s解出来，解完后我们就可以得到它的。数值和方法了啊，答案就写有解出来，所以这个因式定理它的使用，看是否明白了。然后接下来咱们看24题，这个题这个题呢，就相当于是。啊，一个逆用情况啊，这它给了两个因式，然后呢，求第三个因式到底多少给它两个因式，

求第三个因式。那这个题我们呢？在做的时候呢？这道题它没让求AB啊，如果让我们求AB的话，大家可以列f1=0，知道吧？所以有同学一开始列的是f1。等等于零一+a，加b- 6。是吧f1还有f2=0就八+4a，加上2 b- 6，它等于零，然后把AB解出来。然后再呢求第三个因式，

这样就比较麻烦，知道吧，这道题它没问AB，因为它问第三个因式，问第三个因式的话，那这时候呢，我们呢，就用待定系数法做就行了，所以另外一个方法就待定系数法。但系数其实就抓最高的和最低的。也就说x三次方加上ax平方加上bx- 6，它应该等于x- 1 x- 2，然后再乘以第三个因式。其实，代理系数法，

它的核心是什么？核心一定要抓最高的和常数项。最高大家可以看到这个呢，是三次方啊，这是三次方三次方的话，它系数正好为一，那三次方怎么得到呢？就每个括号里面最高的相乘得到最高的。就像什么意思？就比如说咱们考试每一项都是最高的，数学也是最高的，逻辑最高的，写作也最高的，那么你的总分就最高的，就这个意思，

作为每个括号都取最高的。啊合在一起，它就整个就最高的啊，所以这样哈就是x三次方系数为一系数为一，那在这里面好，那这个它这个x系数也为一。然后再看常数，常数就是最低的，最低的，最低的跟最低的相等就是常数就是负六。等于一个。负一乘以负二，再乘以个负三。所以在这里面，大家呢，

就可以看它的常数项，常数项呢，就是负三。所以通过这道题，大家呢，要抓最高的和最低的，如果最高的次方，如果要是一个四。那这地方也要乘一个四，所以大家一定要会配，然后呢，最高的最低的抓住，这样答案就可以找到，所以这是给大家强调做题方法。正确答案应该选择的是b选项。

好，那这道题大家做完后，核心问题我们可以看一下，核心问题就看最高次方向。最高次方及常数项。好找到这两个，我们做题就没有问题了，好，这是这道题，给大家强调的解题方法和思路。下面咱们看一下考前二考二就十日相乘分解。十字相乘的话，它主要用于什么样类型呢？就二次三项式。好心如ABS方。

bq+BP+aq x+pq型这类式子。然后这种分解的话，我们一般呢，就画一个时差。就s平方系数，就把它分成这两个相乘就可以了啊，前面两个相乘就s平方的系数就a1a2。a和b。比如说s平方系数是a×b把它分成。a和b，然后后面呢？就pq我们可以把它分成p×q就后面的这个常数项。分成p×q啊，中间s系数一定要是交叉相乘再相加，就是aq+BP就可以了啊。

所以中间这个就AP加上呃BP+aq。就是斜线相乘再相加，这样等于中间的系数啊，如果都。满足的话就可以写它的分解，结果就横着写就可以了，横着写就是as+p乘以个BS+q就横着写就可以得到它的结果。好，那这是它的这个分解的一个基本方法，大家要知道接下来咱们呢，通过题目来进行训练。好，大家看这个题。下列因式分解正确的有几个给了四个啊，我们一个个来看第一个。

好，我们画个十字叉。那它前面是7s平方，这个七七的话，我们可以分成一×7。然后这个负六，但是要中间要产生一个负的19，我们就可以把它负六，可以分成负三×2。大家简单验证一下，中间这一块啊，中间这一块就是啊，那么一×2。就是二，然后三乘以负三乘以七，

又负二十一负二十一，加上这个二，这样等于负的十九。说明这样是满足的，满足那接下来原式，所以第一个原式就可以把它写成x- 3×7x加。啊，所以第一个呢？它这个不对，它这个符号这地方写错了。好，所以不满足这样的一个式子。好，那第二个第二个话就是6s平方减7 s- 5，我们来看一下它的分解结果。

好，那这个六我们可以把它分成啊，这个二×3。当然，也可以分成一×6，但是有时候要尝试一下，因为要出现中间的负七，然后这个五五的话，我们可以。分成一和负，接下来我们验证中间这个负七就二乘以负五得到负十，然后三乘以一得到三。负十+3，得到就负七。好，

那这样原式我们就可以写成就2 x+1×3 x- 5。啊，就2 s+1乘，以3 s- 5啊，那第二个这是正确的啊，大家可以看到它这个是OK的。那接下来咱们来看第三个。第三个就是再画一个十字叉是吧？十字叉x平方系数是一换成一×1。啊，然后呢？这个30我们可以看要出现13是吧？就15负15。和正二是吧？又要出现中间的负13。

啊，出现中间的负13啊，然后接下来那么就相当于是负15和和这个二。然后得到这个结果啊，得到这这个值，因为这两个相乘正好负30，然后交叉相乘叫做负13。所以说第三个原式我们就可以把它写成横横着写，横着写，注意这里面还有y也没关系，还有y呢，你就把后面这块儿看成。y的这个系数前面呢，就看成x相关的，所以就x- 15y。

啊，这个x+2 y。好，那么第三个它也是正确的啊，这样就写好了，所以就二次三项式，它都可以不管含有y还是AB，都把它作为一个啊整体，然后用这个来进行写。好，接下来咱们看第四个。第四个大家画一个时差，注意把a方b方把它看成a乘，以b括号的平方把a×b看成一个整体，知道吧？

好，那这样的话，它的系数是一一的话，我们就可以分成一×1，然后负的39，我们就可以把它写成。啊负13和三是不是？然后这个交叉相乘再相加，这样就等于负十，然后这样话原式。我们就等于x- 13。那这个就把x看成a×b了，所以可以写成ab- 13×AB+3。好，那这样的话就可以得到，

正好等于AB+3×ab- 10第四个呢，它也是正确的，所以二三四是可以的，大家呢，就可以求出它的这个结果，这个呢，应该选择d。所以这样就考察那么十字相乘，因式分解它的一个处理方法和思路，看各位同学是不是懂了？好，那接下来咱们再看双十日相乘，咱们前面学的是二次三项啊，是用。十相乘。

但是如果把它变成六项，把它变二元二次六项啊，六项的话，咱们要用两个十字差来进行表示。这两十三怎么表示呢啊？它完整的形式是ax方加bx y+cy^2。加上dx+ey+f，这完整的是六项啊，如果中间少某一项，可以把系数看成零，比如说x系数。啊，这个如果少一项，那么它这个就变成零，这样就写好了好吧，

所以说你把这系数变零，如果少某一项啊，把它变成零照样用。咱们先看完整的一个分解情况，完分解情况，大家画两个十字叉。画两个时时差好，那么在这里咱们把复杂问题简单化，那第一个时差呢，主要解决前三项的问题啊。啊，我们画在这第一个十字叉解决前三项就是相当于ax方加bx+cy^2解决前三项，把它分好，也就说s平方系数是AA，我可以把它分成a1。

乘以a2啊，就是这是a的值这两个相乘就等于a的值，然后后面这c相乘c呢，就c1c2。啊，就这两个c相乘c1×c二它的值，那就得到c。然后中间这个b的值怎么写呢？b的值就是a1c 2+a 2c一，然后a1c 2+a 2c一啊就得到b的值。啊，这b的一个结果好，如果这都满足前三项分好了，接下来咱们再画第二个时差，第二个时差，

那它应该怎么表示呢？第二时差，它就是看这个常数ff呢，把它分成f1和f2。啊f1和f2，它本来这地方应该有个x。这地方有个y，咱们只要把它给省了啊，就相当于是前面这个代表x系数，它的分解情况啊，中间这块儿呢，是代表y这个系数的分解情况。然后后面代表常数的分解情况啊，然后这个呢，咱们熟练的话就可以省略可以写的简单一点。

然后这个e是系数，怎么产生e呢？就是相当于是c1f 2+c 2f一就后面这个十日相乘再相加得到这个值。是吧，所以说这个e的值e的值就等于c1f2，加上c2f1这样的一个结果。啊e的值有c1f 2+c二啊f1啊，这样的一个数值啊，这样的啊，一个情况好吧，这个e。它的数值，然后咱们再看额，这个d它的值d它值有大交叉d它值有大交叉嘛d。d就等于一个a1f2，

加上a2f1好，这个大交叉a1和f2，还有a2和f1。它的大交叉结果好吧，这个交叉吧就d的值好，如果这个都满足啊b的，直接顺便给它写，我只写这个交叉啊交叉b的值是代表前面这个交叉相乘再相加。就a1c 2+a 2c一。好吧，这是b的值啊a1c 2+a 2c一，然后呢？这个每个如果都满足的话，那么这块儿我们就写的时候还是要横着写，所以原式我们就可以把它写成水平的写。

怎么样写就横横着写，横着写法就是aexcey啊，就是aexcey+fe。这是a2 x+c 2y，加上一个f2好，这样的一个值好吧，就得到它这个结果。好就写好了，好，那这是它的相乘的结果就写出来了，好，这是双十相乘它的一个表示的方法和思路啊，大家要明白啊。啊，要知道它的考试要点。

好，那接下来咱们练习一下啊，虽然听起来理论可能会比较复杂，但是练起来这个还是比较简单的在一起呢，来看看啊。啊，练习一下好那么下列因式分解正确的有几个啊？一二三四啊，还有几个好，第一个咱们来看一下s- 5 y+2×s+y- 1。好，那么第一个我们看它分解情况啊，第一个大家画一下，十日相乘。画两个时差，

第一个时差要解决前三项啊，前三项就x平方系数是一啊一。然后这个y方的系数是负十负十，为了产生这个负三，可以写成二和负。是吧，这样话就二和负这样话交叉相乘再相加，这样等于这个负三这样就写出来了，然后接下来咱们再画后面的时差，时差在分解负二的时候注意。在分解负二时候，眼睛要盯着谁呢？盯着这个九好吧，这一步是关键点好吧，就是盯着这个九怎么盯着这个九呢？

因为这个负二。呃，分完后这个九怎么产生的？九是后面这个十日相乘再相加，所以说要写成什么呢？要写成。负一和正二知道吧，就后面这个负二要写成负一和正二，这样相乘就可以了，因为呢，它这个二×2得到是四。二乘以得到四，然后呢？负五乘以负一，正好得到正五，

所以这个加在一起就是九啊，这样就写出来了，得到九的值。好吧，然后最后再验证x系数啊x系数有大的交叉啊，大交叉咱就不再划线了，因为划线的话就比较乱，好吧，大家自己去观察，就一×2。加上一乘以负一啊，这个就OK了OK，那说明原式我们就可以把它写成现在就x加二y减一乘以个x减五y加二。好，那么因为咱们这个乘法的话，

它这个顺序可以交换啊，所以它把s- 5 y+2。写在后面啊，这是写在前面，这个顺序都没关系，这也是加2 y- 1，这都是正确的，所以第一个呢是正确的啊。一个正确，然后咱们再看第二个，这个大家可以发现它缺少项，刚才咱们讲了，如果缺少项的话，大家呢？可以用什么呢？

可以呢呃，这个把系数看成零啊，可以把系数看零，因为它缺项。它它总共看缺了什么项呢啊？缺了一个x×y的项是吧？是那是不是x×y系数为零为零的话？那么这x平方系数呢？是一一的话可以分成一×1。然后y方就负一×1，然后这样相乘再相加，正好为零是吧？这两个相乘再加上这两个相乘，那正好就为零。是吧，

它相乘加上它相乘，这正好就v0，然后接下来咱们再分。那分，然后这个四要分出这个三来啊，四要分出这个正三那正三的话，我们四只能分成四和一。这样话就保证y的系数这一块呢，一定是三啊y的系数，我们再说一下就最后这个交叉相乘再相加，结果啊就负一。乘以一这个一×4对吧？一×4，然后呢？加在一起正好等于三就写完了，

最后大家一起再验证一下5x5x就一×1+1×4。是吧，一×1+1×4就得到15好，这个如果都满足的话，那么咱们就可以写出原式分解结果。原式就等于x-y，加上四乘以个x+y+1这样的好顺序没有关系。x+2+1×x-y+4。这样就写出来了啊，第二个呢，也是OK的。然后呢？第三个啊，第三个我们来看一下它缺少谁呀？缺少x平方发现没？

就缺少x的平方值。它没有s平方，没有s平方，你就把它看成零呗啊，看成零是吧，然后在这里面好这个零。比如说x平方，它少了少了就x系数为零零的话，你可以零大家可以把它写成零乘以任何数。是吧，零乘任何数还为零，然后这个y方前面系数是一一呢，我们可以写一×1，为了保证xy的系数是一啊，xy的系数是一，

那么x平方系数为0 OK？这个零我可以写成零乘一零×1，为什么写成零×1不能写成零×2，或者说零×0，为什么不能写其他的，因为你要保证这个斜线相乘再相加，这样等于xy的系数一。所以零×1。是零一×1是一加在一起，正好等于一好吧，然后接下来咱们再画一个时差画时差，然后咱们看后面的负二。分后面负二的时候一定要看y的系数，负一好负二的话，我们就可以分成一和负二。

是吧，一个负二，一个负二的话，你看这个。这个一乘以负二加上一乘以一正好呢，就是负一y的系数行了，然后再看x。注意这地方啊，这地方只能写成一乘以负二啊，有同学说我写成负二乘以一行不行，负二乘以一，如果上下调换过来，这个y的系数虽然也是负一，但是呢，这x系数就不行，

因为x系数要有个大交叉。大家呢？大家可以看一下就零乘以负二得的是零，然后一乘以一啊一乘以一一乘以一的话，它呢正好就一。是吧，一所以说正好x系数就为一，所以说要验证一下最后x系数，所以这些如果都行，那么就分出它的结果。那结果这个前面零就零倍的x就没有了，就剩y+1乘以个x+y- 2得到这个结果啊，这样也是OK的。啊，这样也能写出它的数值和结果好，

这是他的做题的这个思路，看大家明白没有，所以大家要会分解。然后第四个，最后一个，最后一个，它虽然是六项，但它里面出现了syz，出现了三个量，三个符号是吧？三个符号没事儿，那么你就把这个z呢当做一个常数就行了，好吧，就照样正常分就行了啊。所以大家就通过啊，

咱们这几个第一个呢，就是相当于完整的啊，一个形式，第二个就缺少x×y项，第三个就缺少某个平方项，第四个呢，如果出现三个未知数，那也要会分析好吧，所以这几个题从不同的侧面让大家。全方位的掌握它的分解情况啊，所以说大家可以看这个6s平方，我们就可以把它分成六，我们可以把它分成什么呢？分成二×3。然后这个y方前面系数是负三负三，

要出现这个负七，我们就可以分成负三和一啊，负三和一就三乘以负三。得到负九啊啊，然后这个负九负九，然后二×1得二，所以说就就得到是负七了啊，这都满足了。然后最后再分这个z的系数z的系数负二在分这个负二的时候，我们一定要眼睛盯着谁，盯着这个负七，所以要产生这个负七。所以负二它我们在分的时候呢啊，要把它要称为称产生一个正七正七的话就负二一和负二。因为一和负二相乘，

正好等于负二，然后呢，就交叉相乘，再相加负三乘以负二，得到是正六正六一乘以一。啊，得到一六加一得到是七对不对？然后再验证一下x的系数x系数就大的交叉就二乘以负二，得到是负四。负四，然后这是三，这是三，负四和三，然后这个就是得到是。啊负一得到这个结果是OK的，

然后那么原式，我们就可以写出来原式就2 x- 3y。加上一×3 x+y- 2好吧，就2 x- 3 y+1，然后3 x+y- 2。啊，这样的情况好吧，这样这样就写好了，所以在这里面我们呢就可以看出它这几个呢，它都是正确的啊，这些四个它都正确。好，这个答案应该选择的是啊e选项那四个呢？都是正确好，这是这个题给大家讲的，

它十字相乘，不管缺项还是出现z的这种情况，大家都。对应的去分解就可以了，看各位同学是不明白了。接下来咱们看一下公因式和公倍式啊，公因式将每个多项式进行因式分解，求出公因式及公倍式。有点像咱们几个数的公约数和公倍数一样，它采用分解法来进行求对高次多项式分解，一般要进行猜项。猜样大家可以猜常数项啊，一般把常数项拆开，然后再分组分解分组分解之后呢，要提公因式。

这样就写好了好吧，当然咱们考试这个分解呢，不会掌握太复杂了，一般二次三次啊，这样的平方立方公式用好就可以了啊，所以这一块儿呢，大家也不用做太复杂的题。啊，大家看一下这个题x三次方减9 x+8与x九次方加x六次方加x三次方减三都含有的因式到底多少？啊，都含有的因式到底是多少？都要含有因式好，都含有因式，我们来看它这个怎么去表示？是吧，

那首先我们看唉，三次方减九，要是加八，那么这个怎么分解？能分解那一般呢，我们就可以把这个常数给大家进行拆分一下啊，常数拆分这里当然也可以拆9x都行，把九拆成拆出来八。或者把八那么拆拆出来啊，这个一和九啊把八给。分为啊九减一啊，这样也是OK的是吧？这个都行，所以说这是第一种方法，就l三次方减九x，

加上八才能九减一。九减一以后，然后物以类聚，把含九的放在一起，不含九的放在一起，就得到x三次方减一。然后这样的哎三上减，然后这个减掉一个九。就x+1。是吧，减了个9 x+1，然后x三次方减1x三次方减一啊和x+1，我们来看它的这个数值好x三次方减一的话，我们呢可以提出一个。呃，

把它进行因式分解这两项啊，就可以提出它的这个数数值是吧啊？这地方是减号对吧？所以因为这地方加号，提出一个负九以后，这地方减号，然后然后这地方再提公因式就OK了，对不对？所以x三次方减一，它用咱们前面学过立方公式x平方加x。x+1是不是这样的，所以把它分析好，然后提出个九九倍的x- 1，然后接下来的话呃，然后呢，

我们这里要再提出一个x- 1来提出x- 1，最后变成x方。加x- 8。啊，因为这是一个加一再减一个九就让它减八啊，减八这样就可以了，然后这个呢十字相乘呢，整数呢就分不出来了啊，怎么分不出来，虽然它可以用求根公式。咱往下就不用再分了好吧，咱们都在整数范围内给它分出来就行了好，那这是其实做到这都含有因式，大家可以发现它就是这两个。啊，

它就这两这两个呢，肯定s减，一是选项里面有的对不对？所以这样题做这个题呢，你可以做一个就可以看出来，因为。因为你可以用排除法嘛，看a选项不行a选项，它这个嗯没有是吧？它这个没有x+1这个这个b选项这个也没有。d选项也没有e选项，它也没有是吧？所以这里面就可以排除法好，当然第一个大家还可以这样分，还可以这样分，

把9x把它分成。x和8x这样分，也可以把这九这样拆，这样拆，大家知道x三次方减x就可以提出个x变成x平方减一。然后这个写一个八八的话，就x- 1，这样就写好了是吧？然后这样就写出来了，然后接下来的话，这个x平方减一，大家可以用。呃，平方差公式知道吧？这样拆完后两两分组以后，

这地方x平方减用平方差公式，平方差公式，它就可以把它写成。现在s乘以。x+1 x- 1再减去八倍的x- 1，然后做到这，大家可以再提公因式都有x- 1，把它提出来就可以了。提出s- 1好，这个剩s×s+1再减八就变成s平方。加x再减八。好，这样的一个式子啊，这时候写出来了是吧？这样就求解好了啊，

好，那么这是它的这个方法。啊，那接下来我们再看一下s九次方加s六次方加上x三次方减减三。啊，这样的啊，这样呢，然后呢，就相当于是啊，我们呢就是。把这个三呢可以拆成三个一是吧？三个一来进行分解是吧？这样呃，拆开一下，拆成三个一啊，

拆成三个一，为什么要拆成三个一呢？因为它正好。每一个。它需要一个一这样可以搭配出来是吧？所以这个s九次方给它减一个1s六次方减一个1x三次方。减一个一。是不是然后这样啊？这这个这个啊内容是吧？然后呢？x九次方减x六次方减x三次方。减一，然后在这里面大家呢啊，就可以把它这个写出来，写出来写出来哈，

这s九次方减一我们呢，这个九次方大家还记不记得可以把它写成x三次方？再三次方这个减一是吧？l六次方l六次方可以把它写成三次方，它的平方再减一。是吧啊，这样的当然也可以。啊，也可以呢，后面这个三次方减也可以，先不用动啊，先先不用动啊，不用动，这样的话，大家可以发现把前面用立方公式，

这地方用平方差公式。因为这个一我们可以写成一的三次方，这个一也可以写成一的平方，对不对？所以我们可以用立方公式用平方公式啊，这样分解就OK了，对不对？所以这个地方用立方公式就x三次方减一括号就x三次方的平方，就是不是六次方加上x三次方？再加一。然后加上中间这个用平方差公式x三次方减一×x三次方加一，然后这个就是x三次方减一得到这个结果。就OK了，对不对？然后接下来我们呢？

就是。就是求出它的这个值，然后x三次方减一，然后就可以把它提出来是吧？提出来x三次方减一，然后剩下的那么我们就可以把括号里面进行合并一下。合并一下，这个变成x六次方加上，然后这个x三次方，这个x三次方是不是有两个x三次方？对吧，两三哎，两个x3的话，这有个一这个一后面提完以后，它还是有个一啊，

还有一个加上三好吧。就加上三+3，然后接下来后面这个就没法再分了，就不用再分了，知道吧？这个就分分不开了，前面x三次方减一，你可以把它分成x减一三的平方+x+1。然后再乘上是六次方加2x，三次方加三。啊，就得到这个结果好吧，所以它跟前面的共同有的因式都是x- 1好，做到这就行了，其实呢，

做完第一个啊，分解完第一个答案就可以找到考试呢，就不用再浪费时间往下做了。走，咱们讲课都把每一个呢都给大家讲到，所以大家想到把常数给它拆开拆开了，然后分组分别用立方差公式和平方差公式。然后再来进行分解啊，分解完以后你就可以得到咱们想要结果啊，这就是因式分解，找到公共的因式啊，它的一个。求解方法和思路，看各位同学是不是听懂了？好，

那接下来咱们再看一下余式啊，余式定理它的内容，余定理呢，就是大家注意咱们余定理咱们写过啊，就被除式。就等于除式乘以商，再加上余式好吧，就这样一个方法啊，就被除数等于除数乘以商。再加上于是啊，它的这个方法。啊，倍数等于除数乘以商再加余式，在这里面大家呢，要注意它的这个思路好吧，

然后呢，我们一定要把除法变成乘法。另外一台还要记住，咱们前面给咱讲的这个余式次方要低于除四÷4啊，余式它的次方。要小于除式。它的次方，所以要比它次方要低。比如说那除四的次方要是一，那它就是零零次方，零次方就代表常数项啊啊常数项，如果它要二次方，二次方，它有零或者一。是吧，

如果要三次方就零或者一或者二啊，反正就这样的好吧，当然考试也不会考太复杂。呃，这个知识点考试呢，真题一直没考啊，真题一直没有出，所以这也是一个命题的空白啊，它这块儿只要了解一下就行了，不用重点掌握好吧，如果考的话也不会太复杂。大家掌握一下，就是一次方得到余式定理，如果f÷1个一次方，那于是就等于该点的函数值，

这个咱们在讲余式定理的时候给大家推导过。好吧，所以说推论fi÷1个ax-b，它于是正好是该点的函数值，这是它的余的定理表达的本质情况好吧，除一个依次。表达式它，于是呢，就等于它这一点的呃函数值，记住这样一个。特征啊，余知定理就好理解，另外在余知定理的时候，我们呢，要学会把这个被除式这个式给它表示出来。

另外一点就是我们在求呃，这个余式时候我们可以强制令除式为零，然后来求这个余式。好吧，强制令除式为零来求解就可以了，好这一块我们就OK了啊。好，那接下来咱们来看一下设f2为整数系数多样式。啊fi÷s- 1余数为9 fi÷s- 2余数为16 fi除以它的余式到底是多少啊除以它的余式。好这道题呢，大家先把已知条件呢，给它进行转化啊，由f÷s减余数为九，刚才咱们讲过的。于式定理，

它表达含义是什么？如果出一个依次表达式，它的余式呢？就等于该点的函数值。所以说它这个呢，相当于是f1正好等于九。好f1的值正好为九，这个写好了好吧f1它值正好为九，然后它除以s- 2余数为16就可得到f2的值，它正好等于16。啊f2的值，它正好为16。啊写f2f2值正好就等于16，这个写出来了，对不对？

所以这是它的这个方法。好，这是根据已知定理，把已知条件转化一下，接下来求一下它的余式啊，我们呢就可以把。除法变成乘法啊，刚咱们讲过的，一定要记住第一步就被除式，就等于除式。啊，乘以个商。商展也不知道多少，对吧？加上一个，

于是于是大家注意怎么设这个于式啊啊，如果它这个除式是一个二次的啊，看它这是一个二次二次，它除式就是一个一次的，知道吧？一次的，所以说咱把这几种情况分别说一下，如果除式要一次方，于是就是零次方零次方就该点的函数值就是一个常数好吧。所以这块呃零次方就相当于是一个常数。啊，如果要是额第二个第二个可以设ax+b啊，设它，于是就ax+b第三个呢，可以设ax方加bx+c。

啊，如果a要为零就变成一次的a和b都为零就变成一个常数了，知道吧？就变成一个常数，所以你可以用这个待定系数来进行表示，懂了吧？所以说咱们考试也不会考太复杂，一般呢呃，如果做题用的话就二次。二次除式，要是二次的，于是又依次的可以设为as+b就可以了啊。就as+b，所以这地方可以设as+b好，这就是它的呃余式。

好，那接下来我们如何来求这个余是啊，大家知道这个商是未知的，我们一定要强制令除式为零。然后来求它，于是那么怎么强制呢？就让s=1啊，所以令s=1 I=1的时候啊I=1的时候，那么这个就变成零了零乘，任何数都为零，这样的话商不管是什么东西。零乘任何数都为零，所以f1就等于一个a+b，然后等于九是吧把x=1带到里面去，而等于一带到里面去就是a+b，

它正好为九。然后s=2 I=2就f2f二把s=2带到里面去I=2带到里面去就是2 a+b。啊，正好等于16好通过这个，大家可以解出a=7 b=2是吧，这样就很容易解解出它的值，然后于是就是答案就写出来就是7 x+2，这样就可以得到答案。好看，这块儿是不明白了是吧？切着尖儿啊，这是它的这个基本方法啊，所以我们呢就可以写出来。它数值好，这是它求余式的一个基本方法啊，

所以说总共分为三个环节，第一个环节的话就先把题目用余数定理给它写出来。然后接下来环节第二个环节呢，就是我们呢，把这个写成被除式，等于除数乘以商再加余式最后一个环节呢，就让这个除式为零，然后列出方程，把a和b解出来就行了。当然，这道题也有技巧。既想直接验证选项。直接验证选项就可以了，它的绩效绩效就直接验证选项啊，怎么去验证呢？

你可以让s=1的时候看一下选项值是不是等于九？为什么？为什么只要验证s=1，它等于九和s=2，它等于16就可以呢？因为什么？因为这个商不管是多少，它这个不影响。是吧，它这个是不影响的。应该是等于一的时候，它这个变成零了，所以以后你就直接验证选项，懂了吧？考试时候就是让s=1的时候看选项的值是不是刚好函数值等于九？

知道吧，因为这个选项，它为什么含有职能？因为这个零乘以商，它有v0，所以说只剩下后面这一块儿，前面都v0嘛，不影响结果，所以只能后面这块儿，所以把s=1带到里面去。它这个正好啊，它这个就剩九了，然后这样的话，你就可以把bcd给它排除掉。然后呢？

就f2 s=2的时候I=2带带到里面看是不是等于16那只有a选项七×2再加二正好等于16，所以满足f2=16，所以这个答案就选择a选项。答案就写出来了，好，这它的做题的方法和技巧，看各位同学是不是掌握了？

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