3-01整式及其运算（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:39:52

好，那接下来咱们看三个数的完形平方公式。删除完形平方公式，这时候呢，大家要注意它的移项变形是吧？可以把这个二倍的括号AB+b+AC，把它移到右边来。啊，做一下变形，或者说把这个二倍的AB+BC+AC啊用这个整体用这两个平方来表示两块来表示。就可以了好吧，所以这个因为这个三个数它的呃，原来的啊公式这样的a+b+c^2。让等于a方加b方加c方加上二倍的AB+BC+AC。是不是这样的，

这个a+b+c括号平方就在a方加b方加c方加上二倍的AB+BC+AC？是吧，得到这个值，那这其中呢？比较关键的比较重要的就是这一块。啊，比较关键比较重要的就二倍的AB+b+AC就这一块。另外还注意，那出现倒数的啊，一些特殊应用好吧，出现倒数。特特殊应用。当然，特殊应用是这个东西怎么推出来给大家讲讲a分之一加b分之一加c分之一。它这要等于零，

如果三个数的倒数和要为零三个数的倒数和要为零，那我们可以两边同乘以ABC。知道吧，两边都乘ABC，把分母去掉，这个是分式变成整式，它的方法同时乘以这个分母就可以了。同乘以ABC以后就变成了BC+AC+AB，它正好为零。好，如果把一个整式变成分式，由两边通除一个东西就行了，好吧，然后这是给大家讲的这个内容。然后当然咱们分母要保证有意义啊，

就ABC都不能为零，知道吧，咱们学过分母是不能为零的，然后得到这个值以后，大家可以看一下，在咱们公式里面，后面这些括号，它就为零了。是吧，这个括号它v0。括号，它有v0，所以说在这里面，我们呢，就可以不用再写了，

所以说就有。这个a方加b方加c方就等于a+b+c括号的平方是吧？因为它这个括号。后面这括号它都为零，它就没有了啊，就得到这个结果啊，看是不懂了。好，那接下来咱们套一下这个公式啊，来进行使用一下，当然这道题也可以用特值法排除选项是吧？比如说但特值法它不能够证明谁是真的啊，比如说我们取一个特值可能有两个选项。都满足这个结果，但是呢，

你不知道谁对谁错，所以呢，我们呢，就不知道谁对谁错，我们呢，就是。把它呢，就带到里面去，还得再去特指是吧？好，那这道题呢？我们主要让大家掌握一个什么方法呢？大家知道这个a+b+c它的平方公式，我们再记一下啊。就等于a方加b方加c方，

然后加上二倍的AB+BC+AC是不是这样的？另外，我给大家进行讲过，如果大家考试遇到这种负的，怎么去处理负的话，就遇到减b，把它看成一个负b就行了啊，把它看成负b，所以说a-b+c^2。啊a-b+c^2，然后在这里面，我们呢，就可以把它。套上面公式把这个b呢换成负b就可以了是吧？把b换成负b就OK了。

好b要换成负b，其他都不变，都把b换成负的，所以说第一个是展开就变成a方加b方加c方。因为这个负的b的平方还是正的，知道吧？还正的啊，所以再再减去2 AB，因为这个b变成负的就变成减号了啊，我把这个都给它打开。2 BC+AC好，这是前面这个括号平方那展开以后得到这个结果。然后再加上后面这个括号平方展开，后面这个平方展开就把这个b和c都变成负的就可以了，b和c都变成负的，

这个平方是不改变的a方加b方加c方。这个平方是不改变的，然后后面b和c都变成负的a不不动2 BC。然后呢啊，二二减去二AB是吧？然后这个b乘以c它又变成正的了，因为b是负的c是负的，我们知道负负得正。是吧，又变成加上二倍的BC，然后减去2 AC是吧？所以说能懂吧，就把这个b和c。都把它变成负的，都把它变成负的，

以后得到这个结果，然后接下来我们就抵消一下，大家可以看一下这个2 BC跟这个2 BC。那这块正好能够把它抵消掉是吧？然后这块有个2 AC，这地方有个2 AC。跟这个AC啊啊，这个也抵消掉，是不是所以这个2 AC跟这2 AC它也抵消掉，抵消掉后那么剩下一个什么呢？剩下一个就是a方b方有两a方b方是吧？两a方b方我们把它写上就两个a方，两个b方，然后减去个4 AB，然后再加上一个2c方。

啊，然后接下来我们呢就可以把前面这一块儿给大家进行什么呢？进行提出一个二就二呢，就可以把它配方是吧啊？配方提出一个二。第二括号里面就剩a方加b方减2 AB，是不是可以配成a-b^2啊？再加2c方。这样就可以得到它的结果，这样答案就选择是d选项，答案就写出来了，好吧好看，这个是不听懂了。所以通过这道题，大家呢，

要能够灵活用这个公式，也就是说我们呢，要把这个减号把它看成一个负b，然后来套公式就可以了，好这一种方法，这种方法运算呢，稍微复杂一点儿，还一个方法呢。要简单一点儿，还有方法就是咱们数学里面可以用一个整体的思想，比如说a-b+c^2，加上a-b-c^2。好，我们一个简便的方法，在这里面，

大家知道应该把这a-b呢看成一个整体。是不这样话就更简单一点a-b看那个整体刚刚咱们讲过一个什么东西啊，还记不记？啊，讲过一个这样的公式，可能大家忘记啊，是吧？就a+b^2，加上a-b的平平方。还记不记这样的公式，是不是它直接就等于二倍的a方，二倍的b方是不是就是套这个公式，所以你把这a-b看成这个公式里面a？知道吧，然后c呢，

就把它看成是公式论的b，然后套这个公式套这个公式上看，那这样就简单了是吧，所以它直接就可以把它写成二倍的括号a-b^2，加上二倍的c方。看看是吧，所以非常奇妙，所以一步就可以得到位，看到没有，这得要学会这样的妙招考试呢，是不是就更快了，所以要用整体式样把a-b这个整体看成公式里面的a。然后后面这个c把它看成公式上的b，然后这个一步套公式就可以解出我们想要结果好看，各位同学。

是不是明白了，是不是听懂了，大家把这些小技巧啊，用整体的思想来处理。这里的技巧呢，要学会啊，整体思想可以帮助咱们解决很多这个简单的问题，大家呢，要把这类题。要弄清楚，看各位同学是不是听明白了？下面咱们看一下例九这个题。好，如果实数ABC满足a+b+c=1，这是一个式子和a+2。

b+3，c+4，它的倒数和等于零。则代数式，它的值到底等于多少？好，我们拿到这道题，我们先分析一下，因为咱们讲过遇到符号先取特值，但这道题大家可以看，它给了两个。啊，已知条件，那这个特质不好取。是吧，

曲解就比较复杂，然后呢，接下来我们来观察一下它所给式子和所求式子之间的关系，然后直接给的是a+2，这是b+3 c+4。后面这也是a+2 b+3和c+4，那又可以套咱们讲这个公式啊，如果它的倒数和等于零。啊，它的公式咱们再给大家写一写。啊，如果遇到三个数的倒数和它要为零。马上就可以推出。它应该是两两相乘再相加它为零，然后马上就可以推出啊，

那就是a方加b方加c方。应该等于a+b+c括号平方，所以说先把这个公式大家温习一下，好温，习完以后我们就可以。把这个a+2看成啊，这个公式里面a，然后b+3。看成公式里面BC+4把，它看成公式里面c好，那这样话我们呢就可以套这公式就可以得到啊，得到就这道题就是a+2^2。加上一个b+3^2。加上c+4^2好，这样话我们就可以写出它的结果，

它就等于等于。啊，应该等于那么这几个相加括号的平方啊，这几个加在一起，加起来a+2。b+3 c+4把它扩在一起，然后再平方，这样就可以了啊，就是a+b+c。就把这a+2 b+3 c+4看成这个公式，里面a+b+c，然后这样写这样写，然后呢？这个a+a+b+c=1就可以带到里面去了啊，这就是a+b+c=1好，

这个整体我们就可以写出来。然后带到里面去就可以写成好，这是一+2+3+4^2，正好等于100。好答案就选择是d选项好，这是它的做题的方法思路，所以大家以后遇到三个数的倒数和为零，马上要得到两两相乘，再相加为零。马上就可以得到这三个数的单独的平方和，就等于它和的平方啊，用这样的式子来进行分析和思考，这样就可以。得到它的解题的思路好看，各位同学是不是听懂了？

啊，下面咱们来看这个题，如果实数ABC满足a方加b方加c方等于九则代入式a-b^2加b-c^2加c减方，它的最大值到底是多少？取到最大值。然后我们要想想求最值方法，其实方法首先这道题不能用抛物线，怎么判断不能用抛物线，因为它变量比较多。抛物线就是一元函数啊，一个变量x他才能用。另外，这道题。啊，它也不能用今日定理是吧？

因为它没有出现定值，那这道题的话，我们呢就可以看到它都有平方，我们结合非负性来进行求最值。好吧，用非微信求最值，那第一步大家都能想开，唉，想到把这个呃式进行展开是吧？大家都能想到，所以原式。第一步，我们就可以思考出来，把它进行展开就等于。诶，

那这个a-b^2展开就得到a方减2 AB，加上b方。然后b-c^2展开，得到b方减2 BC，加上c方。然后加c-a^2就得到c方减2 AC，加上a方。好，做到这我们就可以看到啊，这有a方两a方是吧，然后有两个b方。还有两个c方啊，这样的话，我们就可以把它啊整理一下，正好就变成两倍的。

a方加b方加c方是不是这样的，所以进行合并，然后这一块儿就是2 AB 2 BC 2 AC，然后接下来我们就可以把它合在一起，括号就2 AB。2 BC 2 AC好得到它这个式子了。得到这个式子以后，那前面这个数是知道的，因为a方加b方加c方等于九，这个是知道的，那关键是后面这个式子。啊，应该怎么处理？后面这个是关键点，它是不具备非物性的，

那我们就想到这个公式利用是吧？咱们知道这个a方。a+b+c^2。可以写成a方加b方加c方。加上二倍的AB+BC，加AC是不是这样的好？那接下来我们这道题核心点就把这个式子。用其他的进行表示，用另外两部分，这两部分进行表示就可以了，好吧，所以说所以说把这二倍的a bbc。AC那这一块儿啊，用其他两部分去表示，因为a方加b方加c方正好又是九，

所以把它带到里面去。在这里面就变成了。三倍的a方加b方加c方减去a+b+c^2。好吧，然后把上面这个给它带到里面去，这样就得到是等于27。减去一个a+b+c^2。然后大家知道a+b+c平方，它具备非负性。对吧，非物性好，那么27要检查非物性的数肯定小于等于27，小于等于27，所以说最大值就是27。好，

那什么时候去等号是吧？什么时候去等号？那这个去等号的条件是什么啊？怎么样？什么时候去等号？那这个题呢？就是当a+b+c=0的时候啊，那这个就是可以得到最大值是吧？我们就可以写出来当。a+b+c=0时。它的最大值。就为27这样就写好了。好，那通过这道题，要知道它命题的原则是什么，

命题原则就是我们呢，利用非复性来求最值，好吧，所以什么时候想到非复性呢？如果它里面都是一些具备非复性的特征，比如平方呀，这类的特征，所以我们利用非复性。来求最值。就是如果他这个表达式，如果那个表达式。把它变成啊，一个常数。减去一个非负性的。啊，

它肯定是小于等于这个常数。所以这块儿就可以求它的最大值。啊，就可以求到这样值，那它变成一个常数。加上这个非负性的。好它大于等于这个常数。它也可以求它的最小值。啊，它就可以求求解它的最小值。好，那这是利用非复性来求最值它的一个主要的思路给大家进行总结的，大家记住这样的思路就可以了好吧？所以把它。做一下转化啊，

所以以后在求最值的时候，那么非复性求最值呢，也是一个重要的啊方法，大家呢，要把它掌握好。好，接下来咱们来看一下配方公式。配方公式的话，我们呢就可以对它进行配方啊，就是a方加b方加c方加减AB加减AC加减BC。给它乘以二，然后所以说前面再除以个二啊，除以二这样的话，我就可以把它配成三组平方啊，用这个公式来进行分析和做一些题目。

好，那接下来咱们看一下这个题，以ABC为三角形的三条边，且满足a方加b方加c方等于AB+AC+BC。则三角形到底是什么？三角形我们来看看啊，三角形那首先咱们来看一下，把这个式子呢，先给它进行移项。其实这道题大家呢，也可以试出来，大家可以看到，当ABC相等时，这个等式它正好成立，所以也能想到，

或者是能蒙猜到。那么，等边三角形是吧？所以考的时候呢，你可以取一些特殊的情况，比如三个都相等，你先试一下，看是不是可以对吧啊？好，那接下来大家就可以把这个式呢做一下移项。这样一项，然后两边再同乘以二同乘以二刚咱们讲过可以配成a-b^2，加上一个。b-c^2+a-c^2=0是吧？都要同乘以二同乘以二倍以后，

然后配成三组平方。那根据咱们的非复性是吧？根据咱们的非复性。你看废物性，然后它这个应该都应该为0 ABC应该相等是吧？应该相等，所以说就得到是等边三角形。所以这是它三角形一个判断的方法，大家呢，要知道好吧，所以这道题呢，也可以试一些数，看出答案来。啊，如果你得到只有两个边相等，

就等腰三角形，如果要满足a方加b方等于c方这类的勾股定理，就可以判断是。直角三角形。啊d呢等腰直角三角形又是满足勾股定理，又有两边相等，那这个等腰直角三角形那么钝角三角形。和锐角三角形简单的给大家进行说说，大家知道这个直角三角形。有直角三角形a方加b方正好等于c方是吧？好，那么如果要钝角三角形。第二个象就是a方加b方，小于c方就是最长边的平方，大于另外两个较短边的平方和。

这时候，它一定是钝角啊，说明这个角c对应的一定是大于90度好吧，大于90度啊，反过来，如果它要比它小，就锐角三角形。就是a方加b方。好那么大于c方，当然这要求c1定是最长边。c为最大边。设以为。最大边啊c最大边，然后这时候呢，就是a方加b方大于c方就可以得到它的锐角三角形好吧，

这样的情况。好，那这是它的这个方法，所以说它的角c对应的一定是小9度啊，上面第一个勾股定理呢，对应的是9度，第二个它角c对应的是大9度。大家觉得第二个就不用指c是最大边了c，肯定要比它们都要大啊，然后呢？另外啊，这个第三个要指明c1定是最大边。这样才OK好了，这是三角形，它的一个判断的方法好吧，

直角锐角钝角啊，判断方法给大家进行总结的，大家把这个呢？给大家记下来就OK了。好，那接下来咱们来看一下这个题，若xy等于实数，则a等于这个b等于这个c，那这个在ABC中，那么应该选什么样的值？那这道题大家注意判断它的符号啊，要么就相乘，要么就相加，大家记住它的这个方法好吧，判断。

它几个量的符号啊，符号那么就看相加。或相乘。它以后的符号相加或者相乘，以后的符号好，那么a+b+c啊或者a×b×c，那到底选相加还是相乘呢？我们根据这个所给的表达式来观察一下。那这道题相乘的话是比较复杂的，而且符号也不好判断，这时候呢，我们就采用相加a+b+c。把它加一下就行了好吧a+b+c给它加好，那么在加的时候咱们呢？想到什么把含x的放在一起x平方和。

负2x放在一起x平方减2x，然后这时候呢y方减2y这时候还有z方减2z。然后再加上这是二分之派加三分之派加六分之派，相当于加上一个派。好，这是把三个相加三相加以后，大家接下来我们可以看到这个x方减2 xy方减2 yz方减2z。是不是就差一个一就可以把它配成平方了，所以要给它添上一啊，这个添上一变成x- 1^2，再添上一变成y- 1^2，再添上一变成z- 1^2。那都添上一那这个是不是要给大家再减一个三是吧？因为多写了一个，一多写了一，

那么就得到减一个三，这样就行了。是吧，减一个三，然后在这边大家可以发现这个派减三，它肯定是正数，肯定是正的，然后前面这几个呢，它都是大于等于零，都是非负的。恢复的啊，这都去恢复性好，那这个加上一个派减上一个正数，那最后结果一定是正数。这个结果一定正的好，

这个结果一定正的，如果它的和要为正，我们就可以推出它，至少有一个为正。就推出ABC至少一个为正。啊，至少有一个为正好吧，应该至少有一个大于零好正确答案应该选择的是a选项啊，至少有一个是大于零的。这样就写好了，好，那这是它的做题的方法，接下来我们就给大家进行推导一下，判断符号的一些。常用的结论归纳一下，

一个结论啊，咱们就以三个为例好吧，以三个为例啊啊，就以三个为例，比如说。啊，这个a+b+c，当然咱们就呃，这个要求是非零实数好吧？要求是非零的啊ABC都是非零的。然后如果它合大，你就可以推出，那么至少一个为正。那一个为证，而且咱们把这个。

反着关系也说说这个是反着推不出来的啊。就ABC至少一个为正推不出来a+b+c一定大于零，但a+b+c大于零，那这里面至少要有一个是正数。啊，不可能全都为负的好吧，这是给大家进行讲的啊，所以刚才通过这个题已经给大家进行证明了啊，至少有一个是大于零的。好，接下来咱们看一下啊，如果a+b+c。要等于零。啊，等你等你就可以退出。

啊，推出什么呢？推出那么肯定正负都有是吧？正负都有既有正的也有负的，因为它ABC三个不能出现零啊。这个非零这种情况，那么就说明正负都有，这都有，要么就两正一负。或者说两负一正。也就是说啊，政府都要有不可能说全都为正，也不能说全都为负，但它这个反推这个是推不过来的。好a+b+c啊，

如果要小于零小于零就可以推出至少一个为负。这一个为负啊，这个反推这个是不可以的。好，接下来咱们再看乘法乘法啊，如果a×b×c。要大一点。好a×b×c要大大于零好，那说明这三个数要么都是正的三正。或者说两负一正是吧，三个都为正或两负一正好，那这个这个可以互相退。也就是AB三个正的时候，那一定a×b×c为正的，如果两负一正的话，

a×b×c它也为正的，对吧？所以这样就写好了。好，那接下来咱们再来看。好，如果a×b×c要小于零。小于零，那么就可以推出什么推出三个是负的。或者说两证。一副是不是啊？这样的，所以这个都是可以推导的啊，这个是没问题，好，

那这是给大家归纳它乘。法和。啊，这个加法啊，它的符号的一个判断思路好吧啊，大家呢，要掌握它的方法啊。啊，要会判断它的几个正几个负要会讨论。好，这是通过这道题，大家掌握的结论和思路。接下来咱们来看一下立方公式啊，看一下立方立方，首先看一下立方和立方差，

立方和立方差，注意它后面这个符号。跟前面符号，它正好反过来啊，这两符号正好相反，就别给弄错了，前面的加减，后面就减加好吧，它正好是相反，正好反过来。这种这种情况。好这立方和立方差这样的一个思路。然后接下来咱们看一下。看一下啊，这个题。

啊，这个题。s- 2 s+2 s次，方加4x方加16等于多少？这个题大家可以发现要用什么式来求呢啊？要用什么式好？那首先我们可以看到前面这两个。s+2和s- 2要用到平方差公式是吧？所以我们看原式。就等于就s- 2×s+2，它正好就是s的平方。减四是吧啊，所以说大家前两项大家用一下平方差公式来进行处理。然后乘以后面这个后面这就s4方加4x方加16在s4方呢，我们可以把它写成什么呢？

写成x平方的平方。是吧，然后这正好是四乘以个x平方，加上16可以写成四的平方。对不对？所以大家可以发现你把这s平方看成a4呢？把它看成b，所以这个出现了什么情况呢？看看。出现了一个a-b×a^2加AB，加上b方。好，这样就等于a的三次方减b的三次方是不是用的立方公式，所以接下来我们就可以把它写成。这个立方啊，

就等于它的三次方减它三次方就x平方，它的三次方减四的三次方。好x平方的三次方，大家还记不记得等于多少次方了？是不是正好等于x的六次方是吧？然后四的三次方正好六四。所以这个呢，应该选择的是c选项，这样就求解出来了好，那这是它的做题的要点方法。然后通过这道题，大家呢，还要知道一个公式啊，这个咱们前面学过的就a的m次方括号的N次方等于a的N次方括号的m次方。都等于a的m×N次方好，

那也要掌握这样的公式啊，用这个公式来进行分析和思考，懂了吧？啊，这是它的这个解题的思路和方法，当然那么大家还会反过来做啊，还会反什么叫反过来，比如说。给你s六次方减64。啊，那么大家呢，也会进行分解，知道吧？会会分解s六次方减64唉，也会分成s- 2 s+2。

x四次方加4x方加16啊，逐个分解知道吧，所以六次方减64，你要会反过来分。啊，然后这个正的反的都要会思考啊，别到时候遇到s六次方减64了啊，这呢次方或者s八次方减32那么大家呢，先把它看那个整体用平方差。啊，然后呢？再用啊立方公式，接下来分解就可以了，好，这是它的求解的思路和要点。

好，下面咱们看一下这个题s+1 s- 1×s^2加s+1×s^2减s+1。那这道题我们应该怎么去处理呢？这道题这道题大家首先我们看搭配一下啊，就这x+1。跟s方减s+1，这两个可以进行搭配和组合。是吧，就x+1和x方减x+1这两个去搭配组合，然后x- 1跟x方。加s+1这两句搭配组合啊，这个所以说我们原式就可以得到，应该可以看到这s+1跟s方减s。在这两个搭配组合，这就得到是x三次方加一。

是不是然后这两个蓝色的部分组合在一起x- 1×x平方加x+1，它正好可以把它写成x三次方。减一所以做到这，大家再用平方差公式就可以了，平方差公式就x三次方的平方减一。这要得到x六次方减一，这样就写好了，所以这样答案应该选择的是e选项。好，这是它的分解的结果和思路啊，所以大家呢啊，要会处理啊，通过这道题，大家呢，就是不断的啊，

用咱们这个公式立方公式，然后结合平方差。然后再化简和思考就可以了，同样这道题大家也要会反着来，知道吧，比如s六次方减一，我们也会分s六次方减一，那么你分分成什么样的分就可以分成这个题目的？这种形式啊，所以正着反着，大家都要会变形和思考，这样才能达到考试要求。好，接下来咱们看一下这个题。若AB满足a-b，

绝对等于2a三次方减b3=28则a方加b方等于多少，其实这里面大家拿到题的难点什么难点，就这个绝对值，可能大家处理不好。啊，绝对值，其实咱们考试时候你发现这样的，如果它后面是平方。或者说它选项只有一种结果，那就意味着这个绝对值呢，是不影响这道题的答案的，既然不影响这道题答案，在考场上咱们就以。这有利于我们解题的情况，或者说你找到绝对值的一种情况，

比如说我们就假设a大于b。知道吧，假设a大b就把绝对值呢，给它进行去掉来进行分析，知道吧？好，这是一个方法啊，就考实在不行，这个绝对值呢，又不太会的同学，你就按照是正的来进行分析，可以和思考就可以了，好吧？所以你可以列啊，这个a大于b，

这是一种思路。a大于b的时候，那就变成a-b就等于二了是吧？然后a的三次方减b三次方。我们就用学过立方公式，就可以写成a-b乘以个a方加AB，加上b方。然后正好等于28啊，得到这样一个结果，好得到这个结果以后，那大家就可以看到。然后呢？这个。啊a-b，我们就已知等于二嘛，

等于二把它带到里面去，带到里面就可以推出了。推出a方加AB，加上b方正好等于14。是吧，就是把这个a-b换成二换二带到里面去就可以得到a方加AB+b^2，这样等于14。得到实施以后，那接下来我们再来看一下。它的值要等于14啊，就OK了，那接下来我们怎么办呢？大家先不要这样想啊，尤其在代数化简的时候，不要想着正好有两个已知条件。

啊，两个方程去解AB，两个未知数把AB解出来AB解出来以后再算a方加b方，这样算就比较复杂，知道吧？好，所以做到这，这是一试。接下来二式是什么呢？二式呢？就这样的，我们把这个a-b等于二两边可以平方知道吧？把这a-b等于二两边给它平方，平方就推出什么？所以说a方减2 AB，

加上b方正好等于四啊，这是二式是吧？好，这一式这二式。然后接下来要求a方加b方，让这两个式呢，我们就做一下化简就可以了，然后做个化简可以让一式乘以二。加上二四就可以得到什么呢？得到三倍的a方，加上b方这样等于个32。是不是得到这个值啊，所以把一式乘以二+2式，这样目的是为了把这个2 AB跟这个2 AB消掉，消掉以后就可以得到a方加b方的值a方加b方。

这样等于三分之三十二。好，这些答案就选择e选项好，这是它的做题方法是吧？这样用整体的思想来进行分析和求求解。好，如果这个题要求a×b的值，要求a×b的值的话，这时候怎么办？求a×b的值，大家呢？就是想办法让一式和二式直接相减。直接相减的话，这样的话就可以把a方减掉，b方减掉，

知道吧，如果这条改成求a乘以b的值啊，变成b值就一式减二式，一减二式就可以得到三AB，这样等于个十。那a乘以b就可以算出等于三分之十。对吧，如果要求a×b就这样去求就可以了，好，那么这道题如果取值咱不列a大于b，那么应该怎么做呢？接下来啊，要给大家讲另外一个重要的要点，重要要点就是带着绝对值做一些，所以另外一个解法。

待绝对数，待绝对数就是a的三次方减b的三次方。就等于个这个a-b乘以个a方。加AB+b^2是不是这样呢？这带着着着做，大家注意这两个相乘，这两个括号，它的相乘的关系。相乘再取绝对值，就等于分别取绝对值就可以了，就是a-b乘以个a方加AB，加上b方。是吧，所以说这就可以得到a-b乘以个a方加AB+b^2啊，这样的举止两个相乘就OK了。

对吧，两个乘好，两个一相乘得到，这个是那是因为a-b绝对正好等于二=2这个呢，数值就等于二。是吧，等于二=2的话，我们就可以得到后面这个数就等于14在这里面，老师为什么要讲这个方法呢？很重要的一个点就注意。a方加AB+b^2，它是具备非负性的。是具备非物性啊a方加AB+b^2是具备非物性，也就说这个句子对它没有影响。一会我给你解释为什么具备非物性。

所以说前面这个a-b绝对值就等于二，这是已知条件，然后后面这个绝对值呢，里面又是非负的，所以说直接可以把绝对值去掉，就变成a方加AB，加上b方正好等于14。14以后跟上面就一样了，这个a-b绝对值等于二两边平方，可以把绝对去掉，绝对去掉，跟这个都是一模一样，往下求就不用再写了好吧，往上下的过程都是一样的。咱就没必要再写了。

所以通过这个题，我们呢就可以啊，把这个给它写好写好，然后呢，就可以得到，所以说大家记住。这个立方公式分解完以后就a方加AB+b^2，它是具备非负的啊。接下来给大家证明一下好吧，这个剩下的过程就省略了，就同上啊。同上啊，就不用再写了，好，那接下来给大家证明一下，

就a方加AB，加上b方。啊，那么它跟啊这个啊，为什么是非负性的，在这我们可以配方是吧？把这个b方给它拆成这样的。a加二分之b括号的平方，但是a加二分之b括号平方展开，然后正好是a方加上a乘以b，然后再加上。啊，这个四分之一b方四分之一方后面要添上四分之三b方就大于等于零，这样就OK了。知道吧，

就大于等于零，因为这是平方，这平方就大于。等于零的，所以这个要具备非务性，同样道理，如果a方减AB，加上b方。这样可以把它写成a减去二分之b的平方，加上四分之三b方，它也大于等于零的。所以这样就证明了它这是非负的，所以以后大家就不要再去证了啊，所以记住咱们立方公式后面分解的这一块儿，它本身具备非物性。

非限，所以这个绝对值呢？对它呢是没有影响的好吧，这是给大家进行推导的一个重要的结论啊，以后注意它隐含了一个非复性的一个特征。所以大家考试时候一定要想到。下面咱们来看一下这个题，它是考察和差立方公式和差立方公式啊，稍微难一点。你看点就是把它记住啊a加减b的三次方就等于a的三次方加减3a方b，加上3 AB方加减b的三次方。这个咱们在前面讲的时候也给大家讲怎么去记，大家先记加的是吧，然后这个减b把它看成负b，负b只要b的次方是奇数次方，

它前面都变成负号。就可以了好吧，按照这样的一个式来记就没问题了，好，那接下来我们来再看一下。啊，这个考题。已知s×1-ks的三次，方等于a1x+a2x平方加a3x三次方加a4x次方，对所有实数它都成立。好，那这道题就求系数了，对吧？若a2=-9，则a 1+a二+a三+a四和a3的值分别多少？

好，那这道题大家首先呢？对于所有思路成立，大家看s=0的时候是成立的，对不对？s=0带到里面去，左边为零，右边它也为零，这是成立的。那s不等零，它也应该成立啊，所以说s等于它已经成立了，咱们就在s不等于零的情况下。而不等于零的时候，那么两边就可以把s约掉，

所以为什么要讨论s=0和s不等于零呢？因为两边要同除一个非零的数，这个才有意义。所以两边约去。约掉s约掉s又变成了个一减kx的三次方。啊一减ki三次方，然后这样就得到是a一加a二x，加上a三x平方，加上a四x三次方。是吧，就得到这个值，但是接下来这个一减k的三次方，我们呢就可以套上面这个公式来进行写好吧，你把这个ks把它看成b就可以了啊。把ks把它看成b啊，

看成b，这样就可以了，好，我们把它看成b以后，所以说一减kx。它的三次方应该等于就一的三次方还还是一了是吧，然后加上三乘以负的ks就相当于减3 ks。加上一个。三倍的它的平方k方x平方减去k的三次方x三次方是吧？直接把这个ks看成b，然后。然后套公式就可以得到它这个值啊，得到值以后那上下对应相等啊，我们用系数对等法系数对等法，那么对应关系就可以得到对应，

以后就可以得到什么？然后这个a2的值a2值正好是等于谁啊？等于负3k啊，这a2值在这这a2值。啊，这正好就负3k。好a2值正好负3k，所以说这个a2。这样等于负3k，这样等于负九啊k的值，正好等于三。啊k的值正好就为三这样就求解出来了是吧？好k的等于三这道题呢，没让咱们求k的值啊，如果问k的值等于几这个就求好，

接下来让求a+a二+a三+a四。a+2+3+4，这叫做什么系数和系数？大家记住就s取一的时候就代表系数和，因为s取一的时候，那这个只剩下这个前面系数了。对不对？因为一的任何次方，它都等于一，所以大家呢？就可以看出这令s为一。应该等于一的时候，那就变成了a 1+a二。加a三，加a四是吧？

那就a一加a，二加a，三加a，四就s正好为一嘛a加a，二加a，三加a，四还等于一带到里面去，那正好就变成什么了，变成一减k的三次方。然后k的值正好等于三带到里面去，带到里面等于负八，这样就写好了，对吧？这就写它的值了，然后接下来咱们再看一下这个a3的值。

a30等于几a，30张等于3k方，所以a三十张等于3k方。然后把它带到里面，三×9得到27，所以答案应该是负八和27就可以写出来，结果是吧？有负八。和27好，这算出它的值了好，这是它的这个知识点是吧？所以这应答案应该选择的是b选项，所以通过这道题，大家掌握这个立方公式。另外，

还要掌握什么呢？掌握这个系数和的关系，如果这条改成a一减a二啊a一减a二加一三减a四，这时候呢啊要令s等于负一，所以咱们再往下扩展一下好吧？啊，如果让你求。a一减a二加a三减a四，如果它要是正好是正负正负正负这样的一个变化情况，就令x等于负一，大家可以看到令x等于负一的时候，它正好就变成了。a一减a二加a三减a四。所以令s=- 1得到的得到这样一个情况是吧？得到这个情况，

然后把s=- 1带到里面去，负一带到里面正好是一+k的三三次方。然后这样就等于64。好，这样就写好好吧，就s=- 1，大家要知道它的这个方法。好，那么其他的话都很简单的，其他话比如说要求某一个a那么直接就可以求求解出来啊，那一定要记住s=1和s=- 1它的意义啊，这些考试。经常考好吧f1f1它的这个值当然，如果出的难一点，比如说有时候s=2，

这时候要观察是吧，比如说让求a1+2倍的a2。加上413。加上八倍的a4，这时候你就定s=2就可以了，以此类推，所以大家呢，万一考试出现的比较灵活，你就观察一下这s等于几，正好是考试所求的这个式子。是吧，这样话大家呢就可以找到咱们想要的结论了啊，这是他做题的啊，一个处理方法要弄清楚。好，

接下来咱们看一下啊，这个题已知非零实数ABC满足a+b+c。等于零则a三次方加b次，方加c次方减3 ABC的值到底多少？那这里大家最先想到也是最简便的，就用特值法。好吧，所以这个技巧咱们先写下。技巧就是特值法。技巧就是特征法好，那么技巧就是特征法是什么意思？比如说它a+b+c=0，当然是非零实数了，非零实数话，你可以列a。

和b都等于1c，就等于负二是吧？c=- 2好，那么原来这个式子就可以很容易求出来那原式。a和b都等于一嘛c=- 2嘛。是吧c=- 2c的三次方就代表负八嘛，然后减去3 ABC嘛，减3 ABC相当于加上六嘛，这正好就为零。是吧，答案直接就写在正确答案，就选择c这样就写出它的结果来了，是不是所以大家呢？就是用特征法做比较快，但这道题我们还想给大家推导一下，

得到一个重要的结论。好，这道题怎么去推导呢？有这么几个方法推好吧？有这么几个方法推另另外方法，另外因为a+b+c=0 a+b+c。等于零的话，那c是不是就等于负的a+b？是不是这样的c的值正好等于负的a+b，所以把这个c换成负的a+b就可以了，所以原式。我们就可以把它这里面c换成负的，加b就变成a的三次方，加b的三次方加上。啊，

因为这个负的a+b的三次方还是负的啊，就a+b的立方，然后把这c换成负的a+b，这个前面有个负的就变成加了，加上3 AB。乘a+b得到这个结果，那就然后接下来这个a+b括号的三次方，我们就可以把它展开。其实不展开也可以看出来，不展开不展开可以，你把这这几个放在一起，这就是大家逆向观察能力的啊，你可以不展开，不展开就得到这样一个结果了。等于a的三次方加b的三次方，

然后加上3 AB×a+b，其实就是什么？就是3a方b+3 AB方。是吧，好这几个合在一起，剩下的一个a+b的三次方。你可以发现这四个凑在一起，正好就是a+b的三次方能看到吧，这四个凑在一起正好是a+b的三次方，这能看到吧？所以在这里面，大家呢，就是从左边到右边，大家都能记住了，那这里从右边到左边，

别又想不到了啊。啊，右边到到左边就a3长b3长3a方b3 AB方四个凑在一起，正好就是一个a+b的立方是吧？所以大家呢，要非常熟悉的。啊，培养咱们的逆向思维能力，知道吧？就逆向思维啊，逆向思维我们怎么去思考啊，然后这个给它弄弄在一起，其实就是a+b的三次方。然后再减a+b的三次方，唉，

正好就为零啊，这是第二个啊，推导方法是把c给它替换下来来进行推导的。那么还有一个就是方法。啊，再有一个方法，另外一个方法是什么呢？另外方法这样的，咱们直接对它进行分解，看能分解出什么啊，这个是比较难一点，但是呢，大家一定要知道它的过程。好吧，看它怎么去分解啊，

就a的三次方加b的三次方加c的三次方减3 ABC，假设没告诉我们a+b+c=0。没告诉咱们a+b+c=0，这个一定要会分解，这个分解对大家要求比较高啊啊，然后呢，你不太会变形，同学有可能分不出来。啊，那这个怎么分解呢？你可能想不到啊，千万不要把a3的方。加b3当中，立方和应该这样写就对了啊，这样写你看一下这个公式用的怎么样？

a三次方加b三次方是不可以把写成a+b的三次方减去3a方b。减3 AB方啊，用这个式啊，来去表示。好吧，所以a的三次方加b三次方，你可以把写的a+b括号的三次方减去3a方b- 3 AB方是不是这样的？好，这样写我们呢，就可以把它接着往下变形了，所以前面这个啊a三次方加b三次方，我们就用这个公式做变形，就可以写成。a+b的三次方。我把C调到前面去了啊啊c的三次方调到前面去，

然后减去3a方b。再减3 AB方，再减去3 ABC，得到这个结果是吧？得到这个结果，得到结果，那接下来我们来看一下前面这个就可以化简，后面这个再化简你就发现一个窍门儿了。前面呢，这a+b的三次方加上c的三次方，你把a+b看成一个整体。啊，用立方和公式啊a+b看成一个整体，就可以变成a+b+c。乘以个a+b^2减啊a+b×c，

再加上c方是不是这样的？好，这是它的这个事，然后后面后面然后这个可以提出一个3 AB来。提出个3 AB，提出3 AB就是a+b+c，这样写好了是吧？所以在这里面我们可以提出一个3 AB，因为它每一项都有个3 AB。每项它都有都有个3 AB，那下面也可以提出一个a+b+c这样的，这样大家可以发现啊，这一块儿有a+b+c这块儿，它也有a+b加加c。看到没有，

所以在这里面好，这有a+b+c，这也有a+b+c啊，这样的，所以说咱们再把a+b+c给它提出来。提出来啊，所以我们接下来再看这个，提出a+b+c。a+b+c以后，里面剩的是什么东西啊？剩的就是a+b^2减去这个a+b×c就减去ac-bc+c^2。然后再减3 AB。是不是这样呢？所以这还剩一个3 AB，然后大家知道a+b^2展开是不是有个2 AB啊？

跟这3 AB可以化简掉，所以最终它的化简结果就等于个。a方加b方加c方减ab-bc-ac这样的好吧。所以在这里面。a+b^2，然后在这里面把它再给它进行合并一下，得到a方加b方加c方减ab-bc-ac。啊，得到这样的一个值好，得到这样值，以后那接下来我们可以看到它就可以分解成这样，所以这个因式分解最好要把它当做结论。来把它记住好吧，记住这个结论啊，就这样话，

我们在做题时候啊就啊，可以直接使用这个结论啊，记住a三次方加b次方加c次方减3 ABC。它给分成a+b+c括号儿，里面a方加b方加c方减ab-bc-ac，其实后面这些括号儿，它是具备非复性的，你知道吧？这个呢，大家咱们前面学过就a方加b方加c方减ab-bc-ac。你可以写成二分之一。a-b^2，这个就是大家学过的啊，就不再多讲了。是吧，

所以它这个呢是大于等等于零的，所以它这个是具备非物性，所以后面呢，它这一块儿。是大于等于零好，这是它的这个思路和方法，看是否懂了啊，所以这个也是作为一个推导的结论，把这个记下来，以后做题就很快。然后把它分解成这个，以后大家可以发现什么问题呢？当a+b+c=0的时候，这个题答案就写出来，如果a+b+c正好等于0 a+b+c正好为零，

那说明这一块儿就为零零乘以任何数都为零，所以这道题答案呢？也可以得到实例是吧？因为a+b+c，它正好为零啊啊零乘任何数都为零啊，这样就求解出来，所以这道题大家可以发现就优先代数里面用特值法做。然后呢？或者说用咱们的代换法把c呢给它换下来来进行求解c代换了，这样也可以是吧？然后或者说我们呢，做一个这种化简变形是吧？这个变形都是可以的好，这是它的思路和方法，看各位同学是不是明白了？

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