2-11至少至多

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:34:38

接下来咱们看一下，至少至多问题。咳好，至少这个问题难点在哪？有句话你看无固定化的公式和结论啊，它没有固定化的东西。是吧，这时候呢，你需要自己去灵活处理，所以这就是难难难在这儿啊，它不像有的公式，我可以套啊，可以套的话，那就好办。是不是所以在这里面就是大家呢？

要灵活处理。那接下来咱们看一下基本的原理好吧，基本原理第一个是分蛋糕原理，什么叫分蛋糕原理呢？咱讲讲啊，分蛋糕原理。大家比如说过生日的时候都买过生日蛋糕是吧？假如这是一个圆形的生日蛋糕啊，比如过生日啊，咱们要吃生日蛋糕啊，如果有一个人他在分蛋糕的时候，他说我要想吃的少一点。是吧，想吃的少一点，吃少一点，

那就把其他人分的多一点就行了啊，就什么时候啊，用分值按高，原来只要总量固定。那总量固定。啊，就这么大是吧？就这么多，然后如果有一个人要分的少，让其他人分的多，如果有人想分的多一点儿。想分的多一点儿，但是其他人分的少一点儿好吧，就叫分蛋糕原理分蛋糕原理也相当于是从反面角度来思考是吧啊，本本来是求这个人的，

最少我让其他人的最多。从他的另外一个角度，让其他人最多就可以了，好吧，这他的这个情况啊，那接下来大家一起思考一下例20这个题。考试遇到这类至少至多问题，先画关键词很重要，考试的时候可以在卷上画啊，这个没关系的，也可以在卷上打草稿是可以的啊。可以在卷上画五名选手，这里有个共。就说明它的总量是固定的，那么马上要想到分蛋糕原理来思考。

好给大家一分钟时间，大家做做这个题想一想。它每人得分呢，互不相等。每位选手的得分都是整数。然后并且其中得分最高的选手是90分。好那么得分最少的选手是多少分？好，那接下来咱们这样想啊，把五个人因为他得分互不相同嘛，从第一名到第五名排个序。好吧，就第一一名到第五名排个序。对不对a是代表第一名。啊abcde这五个人排个序，

它的成绩排个序。那最高分是90分，这个分蛋糕是固定的，它分成90就行了。这道题要问什么问，最少的这个人。得分最少的选手就e这个人，他至多得多少分？他要分最多。它要分蛋糕，分最多的话。让其他人分的越越少越好好，这个咱们这块儿讲的慢一点好吧，看能不能跟上啊，就相当这个蛋糕买回来了，

就这么大。然后第一名呢，分90。然后这个e这个人，他说想分的多一点儿，希望分的多一点儿。真的越多越好。那分的多一点的话，咱们就让bcd少分点儿呗，少分点儿都多留给e是吧？这个e就多一些嘛。是不是这样的？好，那接下来咱们看我们假设e最多最多是x分。那e最多最多是s分，

咱也不知道是多少分嘛，就设为s分。e如果要是x分，你看d最少最少不能再少了，最少最少要分多少？是不x+1啊，它不能再少了，再少的话，因为因为e是最后一名嘛，得分最低的嘛。这个d不能比e再低了嘛？是吧，所以d最少最少就x+1分，看是不懂了。c最少少不能再少，

最最少少s+2。b最少最少就是x+3。好了，那么让五个人加在一起等于404啊，看看会不会列式子好吧，这个是它分蛋糕原理的使用。啊，给你几秒钟琢磨琢磨。我检测一下，大家是不是听懂了啊？是不是听懂？如果问得分最少的选手e这个人，他最少分多少蛋糕？谁可以做一做好吧，大家呢都可以做做啊，

问最少多少分多少？他不能再少，最少最少吃多少蛋糕？你也可以思考一下啊。好，那我们把这道题思考一下啊，刚才咱们问e最多是吧？最多就是90加上。s+3 s，加2s，加1x总共等于404，这个s自己解解就等于77。哦哦哦。咳。好，

现在请各位同学思考，如果他要最低最少得多少想想啊？看有没有同学计算出来，看谁算的快啊？好问e要最少最少不能再少了，最少最少。好一要最少，大家互相看一看，看看做对没有啊，让bcd分的越多越好啊，分的越多越好。啊，这时候不用设未知数了，这时候不用设x不用设未知数了，看一下a最高是90分。

那个b最高最高就是89吧，89它不能超过90啊，因为它第二名嘛，第二名它这个就是89。c最多的是88d呢87，然后所有的蛋糕分完以后，剩下就给ee就不能再少了。是吧，一又不能再少了，所以说最少就是说404。减九十八十九八十八八十七算有没有同学算答案等于60？十是吧？答案写写60。啊，是50还是六十五十啊？

50对吧？是50。好UE至少都要50啊，至少都要50。我在某班上课，有同学说能不能让艺考零分，艺考零分啊，艺考零分，你让人家学习那么差干嘛，人家考零分，所以数学考要想考零分也很难，每个题都故意做错，很难的。谁考零分儿？我看看不可能的，

考考零分儿很难五个，别看25个题啊，25个题，你全每个题全都做错的话也很难的啊，也很难，你这个人家再差也不可能全做错，对不对？所以说这就这50绝对不可能低于50啊。绝对不可能低于50的啊，所以这个东西不可能零分儿啊，让人家考零分儿，那不可能啊。好，这个题大家懂了没有？懂了咱们概括一下，

看好了啊，那e要最多最终看到没有？从低到高来进行讨论，看到没有？从低到高。看xx+1看看到没，从低到高讨论。然而e要最少这样的话，它就从高到低是吧？你看九十八九八八八七这样来讨讨论。我看大家是不是真的掌握了，我问第三名，第三名再出呀，第三位选手就排名在中间，第三位选手，

第三名选手至多得多少分？至少得多少分？再写一下这道题就给你讲明白了好吧，在一起算第三。就排名排在第三名的同学。他至少多少分？至少多少，然后第三名，他至多是多少分啊？你自己把这个答案填填。好第三名至少得多少分？至多得多少分？第三名啊，第三名。好，

我们把图标注，如果你图画对了，就说明你听懂了。好第三名最少最少啊，最少不能再少，最少最少得多少分？好那么切完，然后第三名最多最多多少多少分不能再多了，最多最多。好，第一名还是90啊，第一名还是90？你觉得这两问哪个简单，大家告诉我哪个简单至多要简单吧，至多至多就第三名，

至多至多，那你不用设备书嘛？这是89，88是吧？他说最多就88，你不管不用管d和e，反正d和e分，剩下蛋糕就行了d和e，你们俩咋分我不管，反正第三名。c最多就是考88分最高了是吧？好，这个这个问做的非常好，然后接下来看第三名要最少啊最少。最少的话，

它要分少的蛋糕，让其他人得分的多一点儿，这个能能懂吧？其他人得分，反正蛋糕就就这么这么大嘛。对对b最多b最多b还是89，然后这个d我们看dd咋弄啊，如果甲是c是s分。c如果要是s分f分，那么d就是x- 1，这就是x- 2，反正把加在一起就等于总蛋糕自己去解吧，课堂就甭解了好吧，就xx- 1。s- 2=404好自己去解解解多少就多少好吧。

好了，那这个基本上大家看掌握的都还是不错的。好，把这个看一看啊，看看是不是懂了啊，看看还有没有不明白的同学啊，给你几秒钟琢磨琢磨。好，如果听懂了，咱们就看书上的第21题。好，21题是考试真题啊，21和22都是考试真题啊，21和22大家看一下，21和二二十二。

啊，这两个都重新判断题。某年级共有八个班，在一次考试中共有21名学生不及格。好看到没有？总蛋糕是21个学生，不及格。这种蛋糕是固定的，每班不及格，学生最多三名，就在分蛋糕的时候。分这个不及格啊，就不及格，把它看成一个蛋糕，每个班最多分三个，

知道吧？则一般至少要有一个学生不够呃，不及格。至少要分一个。好，那这时候题干，如果发现没法往下变形了，那就看条件呗，条件一。二班不及格学生多于三班啊好，大家都思考一下。就一班二班三班四五六七八八个班。好，这道题让求一般至少。啊，

一般要至少至少是不能再少了。那总蛋糕就是21这么多。一班要分的少，大家告诉我，其他班要分的多好，接下来你要做的工作，让其他班越多越好。好给你半分钟时间，你来分一分。你打算咋分？在满足条件一的情况下，能否推出一般至少一名学生不及格，这个结论成立啊，你自己推导一下。你想你打算怎么分蛋糕？

让你来分蛋糕。条件一是二班不及格，学生要多于三班啊，多于三班。好，咱们一个来回答吧，就是二班最多的都分蛋糕，二班最多最多不能再多，最多可以分三个不不及格的分三个不及格的。三班呢，因为他说这个要多于你看条件一嘛，要多于他对吧，三班最多的时候是不是得分两个？其他四五六七最多最多都三个再往上，然后再看这些班级，

它最多占多少蛋糕是三六十八？18，18+2就最多，最多是不是20个？你想想是不是你自己想想就是这个，咱们这个蛋糕这些班呀，最多就分20个，20个，现在有21个学生不及格，而且那一般最少最少最再少了也得分一个。是吧啊，这个题目一是充分的，能推出这个结论好，大家再琢磨琢磨，给你几秒钟琢磨琢磨，

看听懂没有啊？看看还有没有不明白的，你看看。看是不是懂了，如果懂了，你再做一下条件二好吧，给你半分钟时间做一下条件二，其实条件二你可以发现是不是一样呀，一样就把四班换成二，我就不用再话多了，就四班换换成二四班不绝形，有两个人嘛，四班换成二，其他三。其他这个二班三班什么的都分为三个，

分为三个也是一样的图，差不多的图好吧，我就省略了啊，你自己琢磨琢磨，跟他差不多啊，其他班最多最多也是20个，就同上差不多。它也充分，两个都充分，考的时候答案涂卡就涂d选项啊，两个都充分的时候考试涂卡是4d选项，知道吧都充分？好五个选项含义在最前面当中，看看重新判断题好吧，五个选项的含义啊。

好，这个看还有没有不明白的同学啊？就是分蛋糕原理。自己再想想看是不懂了。好，接下来咱们看22题。22我想讲什么意思呢？它它这个总数要通过平均值来转化啊，来讲三种水果的平均值为十。三个水果的平均值为十。那说明三个水果的总和是几啊？是不30啊？你想想总和总和就30。所以它也相当于一个蛋糕是固定的。总和是30。

好给大家半分钟时间琢磨琢磨这个题。它总和是30。啊，接下来我问一个问题啊，这因为这也是考真题，他要说每种水果价格均不超过18元。这个怎么去理解每一种任何一种都不超过18？每一种水果都不超过18，都不超过18是什么意思呢？就是a这个水果不超过18。b这个水果也不能超过18。c这个水果也不超过18是吧？这是每种水果不超过18的一个字面含义。啊，给你几秒钟琢磨琢磨字面含义，

就每种水果都不超过18，那我要问如果要100个水果，咱们难道把100个都分一遍吗？这100个分一遍，这也不现实啊。大家想想用一个。什么函数啊？最大值函数可能有同学忘记了是吧？最大值函数就这个三样，水果最高的价格只要不超过18。转化，比如说咱班，咱班年龄最大的同同学，然后不超过18，说明每一个人都没超过18，

这个能能能转化过来吗？这有点像逻辑思维的转化一样。是不是你想想是不是这样的？比如说或者说咱们班儿每一个同学的年龄都不超过18，每个同学年龄都超过18意意味着什么？意味着咱们班儿最大的那个同学。啊，年龄最大同学，他只要不超过18，那说明咱班儿肯定每个人都没超过18，你想想是不是这回事儿，你自己琢磨琢磨。好，所以就咱们只要考虑最大的那个水果啊，没有超过18就行了是吧？

这个懂懂了吧？嗯，比如说他要100个水果，100个水果，咱不要把100个水果都分析一遍，100个水果都分析一遍，那多复杂。我们只要找最大的那个没超过18就可以了，那说明每一个肯定都没超过18。好吧，接下来大家给大家一分钟时间想一想吧，好吧，做做这个题，你看选哪个答案？我们只要发现最贵的水果，

它的价格没超过18。那就OK了，那肯定是每一个水果都没超过18，这咱们做重新判定，大家一定要用那个等价等价传递线，比如说它这个p等价成q等价成r。我只要看条文，一能推出这个成立，那么根据咱们推导的传递性，它也具备充分性，知道吧？所以咱把题干呢唉，给它做一个等价，大家在学逻辑的时候不有个推理的一个传递嘛。是吧，

这个条件一能推出它成立它成立那它它跟题干都是等价的，那等价就可以推出，它成立就具备充分性了，懂了吧，所以它是这样的一个情况啊，所以咱把这个。题干的这句话，等价层找它，最大值小于等于18，我只要能推出这个是充分的，那么原来这个就充分懂了吧？就这个意思。好看，这个推导的关系弄明白没有？好，

那接下来大家看条件一。调音你认为是否充分？他说最低的。最低的是六啊，最低是六，就因为大家知道a+b+c=30好，这个总量是固定的，接下来咱们用分蛋糕。好，咱们要找最贵的，假设c要是最贵。c要是最多最贵。那分蛋糕的时候让其他两个要越少越好是吧？越小越好。越低越好看，

这个分段高院你懂了没有？跟刚才咱们讲那个成绩那个一样，如果让他考的成绩要越多越好，让其他人就越少。大家想想a和b最少最少都取几，最少不能再少了，最少是少都取六吧啊，可以可以两个相等啊，可以两个相等，最低的是六嘛，所以说这时候你知道a和b它都取六。都取六就可以得到这个max，就是ABC的最大值，这个认为等于几啊？你看这俩都取六，

大家一块算，这俩都取六。没有这个最大值是不是18呀？最大值18，它也没超过嘛，没超过的话，这个也也符合要求，没超过嘛。啊，最大的就是18，最大的18，确实比如咱们班儿年龄最大，年龄就是18，那可以说明咱们班儿每一个同学的年龄都没有超过18。没有人超过18的，

是不是你自己琢磨琢磨啊？给你几秒钟想想。看这道题，更多的侧重在逻辑分析和推理上。你自己想想是不是这回事？好，那么条件二条件，一是充分的啊，条件二购买1000个，1000个，2000个共用了42元。这个ABC就代表它的价格啊，ABC就代表三种水果价格单价知道吧？单价好这个42原来的一个等式。一千克的a，

你得花多少钱就花a嘛，就是就因为它正好是一千克，然后加上b，然后他这买了两千克嘛，买了2000就2c。等于42，等于42，那么由于a+b+c又等于个30，然后这两式相减一下好吧？现在算等于几c等于几啊c=12 c=12 a+b也就等于18 a+b=10。ay=18，你再怎么样？那个最贵的也不会超过18呀，你假设a是零，这个水果白送啊a的价是零，

大家买买东西，这个水果白送对吧？就价格就零，咱们一个最低的零零b，它才是18呀。不是说这价格是负的是吧？不可能是吧？负的这价格没有负的，你不是说你去买了，他不给你送你水果，还再给你点儿钱是吧？不可能说这负的啊负的，所以说它的价格。价格价格你看你想想，它肯定不会超过18，

最大的绝对不会超过18，你想它它能超过18吗？它不可能价格是19吧，它这也不能为负的嘛，所以说也就说这个最贵的价格肯定不超过18是吧，最大最大不超18不超18，说明每一个都没超过18，你想想是不是这回事儿？自己再琢磨琢磨。想想好吧，所以第二个这个也充分啊，这道题正确答案选d两个条件都可以推出，它价格呢不会。大于18啊，要么就小于18，

要么就等于18。那想想啊，这道题主要是逻辑思维上要求高一点是吧？好，那接下来咱们再看一下这分段高原理，这三个题应该够了啊，三个题就只要是总量固定的时候，那么要用啊，后面做题还要用用用这个分段高原理。啊，接下来咱们来看一下平行原理，平行原理也把它称为一个抽屉原理，好吧，咱们先做题吧，这个原理可能现在看不懂，

先做题再讲这个原理是怎么回事儿？好看一下，23题给大家一分钟时间都思考一下，23题。啊，100个人参加测试，要求回答五到四题规定，只要答对三个或三个以上，为测试合格。三个或三个以上就合格了，及格了。啊测的这个结果咱们统计啊，就大家交完卷儿统计一下，那第一题答对的有81人，第二题答对有91人，

第三题答对有85人。DC达的有79人。第五题答的有74人好，通过以上数据问，至少有几个人。合格了就及格了，过关了。咳咳。好，那咱们来看这个题啊，以后问至少几个人合格，我们看用这个抽屉原理怎么去理解它？大家先把答对的都给它加在一起啊，第一题81，第二题91，

然后85。七十九七十四把它加在一起。好，那加在一起正好等于410是吧？加在一起。接下来大家想想这410个物品，我手里面有410个物品，开始给100个同学来分。啊，你分得几个物品就代表你答对几个题，知道吧？比如说这个分得了两个物品就代表这个人答对了两个题。懂了吧，就是咱们这块儿就是五个题，咱们可以编上号知道吧，

编上答对a题b题cde知道吧，就第一个题，咱们叫称为a题b题c题de。比如说第一个人，他分得的是AC两个物品，就代表他答对的是AC两个题啊，如果你要分得的三个物品，比如说你分得的是a cd啊，就说明你分到三个物品，代表你答对三个题。就我410个这一大堆东西给大家分是吧？给大家分。那手里面分几个就答对几个题。而且每一个人最多最多分几个，最多的不能说，

我一下子分十个，那不那不可以啊，最多最多就分五个啊abcde最多分分五个，就每个抽屉，它是有容量的，像家里抽屉一样，不能无限制往里装它。装满了就不能装了，当然也可以是空的了，比如说这个人分了零个，分了零个就代表他全答错了是吧？abcd他他他都做错了。懂了吧，就分得几个，你就答对几个题。

当然也不能说这个人分两个a，不能分重样的，比如说给你分两分两a，那那那这个你答对俩题，那答对两个a题那那。那不行是吧，你不能说这个第一个题，你答两遍，那不行是吧，不行，所以它不能重样。好，这是它抽屉的特征，不能重样，最多也装五个。

好，接下来他问，他说答对三个及三个以上为测试合格，咱们有一个最不利原则。最不利原则是什么情况呢？就相当于是逻辑里面削弱，就跟你对着干，你不是想及格吗？不是想合格吗？答对三个或三个以上算合格，我不让你合格，就让这个人全都不合格，全都不合格，那这物品每个人相当于。分几个都都不合格，

都不让你合格，知道吧？就对着干，知道吧？就是像削弱一样对着干。好，每个人都都都分两个，你就不用管分哪两章，比如说分是AC俩还是分的AB俩还是分的ae俩，不用管它。都分两都分两呢，这个物品还剩下多少个物品，物品还剩多少个，这个这个你看有410个东西，每个人咱班儿每个人都分两都分两。

同学们，这时候还剩余多少个？看剩余多少个？剩余是不是210是吧？好210。好，这210个。一旦再往里一分，它就会出现及格。这个原因能懂吗？你看只要再分那么一点点儿，他就会及格，现在让及格的人少，及格的人少。怎么样？

让几个人少就是210，怎么样分出来的人要少？每人每人分的多吗？每人最多再分几张，人家抽屉就满了嘛，最多再分几张。三张最最最多再分三个就210，最多就再分三个，最多就分三个，分三个话，那说明210可以分几个人呀？70就最少得有70个啊，最少得有70个。好，我把这块儿再再说一遍，

给你几秒钟，先琢磨琢磨吧，基础薄的同学先琢磨琢磨，看这个这个原理弄清楚没有啊？好，这其实也刚才咱们讲平均平均先按照一个标准分配，知道吧？先按照一个标准。标准分配，标准分配，分完以后多余的数量再来分析，至少至多啊，只不过这个呢，不好理解，咱们弄成一个抽屉原理，

知道吧？这个最不利原则很重要，最不利原则这个很重要，就是跟你对着干，你想及格不让你及格，不让你及格的话就给你分两。非常一开始别让他及格，知道吧？不要让他及格啊，让他分两。这样把物品先消耗一部分，知道吧？就这个410个东西，每个人先分俩，分俩的话，

这时候手里还剩下两百一两百一，只要再给你分那么一章，分那么一点点儿。那么就变成及格了，变及格及格，它要人要少，人要少的话，那这时候呢，大家呢就？就是每人多分点儿呗，多分点儿，就像咱发奖金一样，总共就210，这个奖金每人发的越多，发的人就少嘛，

是吧？就是每人每人最多就发三个。啊三个那这个就是70是吧？70好正确答案就选择e好，我不知道大家懂没懂，我改一下，咱们测试一下好吧，改一下啊，如果这道题改成各位同学听好了。答对四个或四个以上为测试合格。答，对四个或者四个以上哎，算这个考试过关了，考试你就过线了，答对四个或者四个以上为测试合格，

问咱班儿最少最少最低。会有几个人合格啊，想想啊，如果改成好，各位同学都思考思考完后，你要懂了，那说明就懂了啊，如果改成。答对四个啊，同桌之间可以看看好吧，看看是不是做对了，答对四个或四个以上。为合格。这个能懂吗？答对四个或者四个以上为合格，

问咱班儿至少有几个人是合格的。好呃，基础薄的同学再琢磨琢磨，想想看看这个是不是懂了，想想啊，琢磨琢磨。啊，看看哪还不懂，跟同桌问问吧，看看。好，大家一起回答，先让每一个人分三个啊，分三个。每个人分三个，

我们翻看三个，这时候还剩余总共410嘛，剩余每人分三个嘛，分三个。呃，剩下110。好这一步，给你几秒钟，想想是不是懂了啊，每人先分三个。这是110，110，然后分出来的合格，因为只要再分一点儿点儿，它就变成合格了啊，

分一点儿点儿就变成合格。那110至少至少可以分出几个合格的人，至少多少那每人再分几个就行了，每人再分两个，每人再分两个呢，110÷2。55是吧？55。啊，不能再少了啊，每人就55。你分母越大，分母越大，这个数越小嘛，这分母最大最大就再分两个，

因为它每个人最多最多抽屉分五个。好，这个懂了没有？懂了我再问，比如说全对的人最少是有几个人全对就答对五个题，答对五个。算满分嘛，答对五个好吧，答对五个及五个以上不可能五个以上吧，因为没有五个以上是吧，答对五个啊。答对五个再改改，我看大家是不是做对啊？就是全对的人，至少几个全对的人。

好全对的人啊，就全对，看谁能算出来全对的人。全对着的啊，大家在琢磨琢磨，全对着的。好全对，所以大家在做资料的时候，有的书呢，是改成全对的人，知道有几个，那也会了，好吧，全对的人。大家告诉我，

每一个先分四个啊，先分四个。咱们这个这里边剩余，我看剩余。剩余是410-4×100=10个啊，剩余十个。剩下十个，每一个这一分一分，每一个只能再分一张是吧？只能再分一张，只能再分一张，那说明至少有十个人全对。好吧，就十个人啊，选对至少十个人。

好自己琢磨琢磨，看看这块儿是不是通听懂了啊？这道题一定要把它弄透彻好吧，考试这类题，而且很多资料上都有这个题啊，你用这个分难高原原理，或者说这个抽离用这个抽离原理的话，那就很好做。看还有哪不不明白的同学想想。自己想想看看还有哪不太懂的。那我问一个脑筋急转弯好吧？全队的人啊，全队人最多是多少人，全队人最多最多，全队的人最多最多多少人啊，

全队的就咱班儿，全队人最多最多。最多。选对的人最多的时候，你回答是几个人？就五个题，全对五个题，全对的人应该最多是多少人？拿什么有同学说拿410÷5拿410不不不，410除以五四百一除以五四百一÷5是80多对，应该脑筋急转弯嘛，应该知道是急转弯肯定不走寻常路嘛。所以应该是什么？应该选这个74有同学，我看弯没绕过来，

没转过来是吧？现在转的为什么是74不能拿410除以不能拿410÷5为什么不能拿410÷5？410÷5得到是82你你要选82就错了啊，选82就错，为什么不能这样？为什么不能这样想想？为什么不能这样想想？因为你要选82的话，你想想可能吗？答对第五题的人只有74个人。答，对第五题的人只有74人，也就是说，其他26个人第五题都错了，其他26个人第五题都错了，

他怎么能拿满分呀？想想他怎么能他？他有26个人，他第五题他都答错了，他这个不可能拿满分呀。所以应该应该怎么写告诉我啊，应该是选这两个最小值知道吧，选这两个最小的这个啊，如果这个比如说这要是72，这要是72，那么就选这个最小的好吧，反正就在这里面，这个选这个小的就行。啊，一般来说的话，

咱们呢？咱们呢？就是找这里面最小的数好吧，最小就74啊，74不要拿410除以除以五啊。74啊，不要选这个91也不能选这91也不能选85，这个能懂吗？就是就有有点像什么这个第五题有点像五个圈，它的交集知道吧？咱们这五个圈咱们就画不出来了啊，五个圈。大概五五个圈儿，我需要交集，就是五个圈儿，

将来是这74就是这74人呢，就是第一题也答对，第二题也答对，第三题也答对，第四题也答对，第五题也答对，知道吧，就让这些人。这是最多最多，这是最理想情况下，知道吧，就这74个人正好考满分的那个人知道吧，就最多最多就74人啊。这个大家结合咱们生活常识，看能不能理解，

就五个题，就是这74个人，他为什么不能选81知道吧，因为他第五题答对的74个人有26个人是做错的，他这26个人绝对不可能拿满分，他都做错了。错了一个题，他怎么能拿满分呀？比如说你数学都错了一个题，你怎么能拿满分呢？对不对？能懂吧？能错了一个嘛？所以说在这里面。好，

所以说这个全对的字多。就是74啊，这个脑筋急转弯，看能不能绕过来？好了，那接下来咱们再看一下下一个。表达式变形62页。哈哈哈。60页，咱们先做这个题啊，例24先做这个题，然后再说一下表达式并行，它怎么使用啊？先做一下题。看一下六十六十二页的第24题。

好，那接下来咱们看这个题，这个题也是考试的真题啊，然后某单位发了100万元奖金。它分为一等奖，二等奖和三等奖。则该单位至少要有100人。好，那接下来再想想这道题，咱们讲的一等奖是x人吧？大家都列完没有？一等奖是x人。二等奖。y3等奖是z。好，

那根据题干总共是100万。那就是一点五x。加上。y+0点5z。等于100。那这道题有点像咱们上午最后讲的那个放缩法有点像，如果改成不定方程就放缩法，还记不记得把系数都变成最小的，还有系数都变成最大的是吧？就是有一个。最后讲了一个题，就是系数变最小变最大，跟那有点像，只不过这道题它让求至少有多少人是吧？至少多少人？

就是式子有点像，知道吧？好，那这里怎么办呢？这道题咱们看把这个式子变形成两部分，一部分是所求的，另外一部分是多余的，知道吧？把它分成两部分，一部分是。所求的一部分是剩余的，那这句话是什么意思呢？我们看看。写下来所求的是什什么呀？所求的是不是要判断x+y+z总人数是不是大于等于100？

是不是这样的？所求的是这个。就它单位的总人数是不是至少100人大于等于100？那接下来咱们怎么办？咱把这个四变成所求的是x+y+z看一下，剩余的是多少啊？这个表示在剩多少多退少补嘛？x还还多一个多少啊？零点五。y刚好就够了是吧z呢z有点少少了，那这给它减一个点儿是吧啊这样？好看，这个懂了吧？把它拆分成所求的和多余的多余的，知道这个减零点五z是怎么弄的吧？

我说一下啊，看z。写零点五z不是原来零点五z吗？看看是吧，跟原来是一样的是吧？好，接下来我问一个简单的常识问题。好，这都写完没写完，咱们先说一个常识的问题。呃，如果a+b。要等于十。啊，如果必要。

小于等于二，通过这两个可以得到a应该什么情况？就这样，一个思想弄清楚。a+b如果等于10b呢？不超过二，那说明a要大于一定是大于等于八，好像自己最起码能琢磨琢磨看这个思想弄弄清楚没有？好，那么如果b要改成零呢？那这个就变成什么十变十？啊，这都懂了是吧？好都懂了好，那接下来大家看当这一块儿是小于等于零的时候。

那说明s+2+z就有大于等于几啊100？是吧？好看看看这个这个能不能绕过来啊？就这个东西。你先把这个得弄明白，这弄明白，然后再说这个。好吧，一会我会给你总总结的啊，会给你总结的。好，那接下来我先把这里写完啊，写完因为当只要是零点五x- 0点5z。小于等于零时。则又有。

s+y+z大于等于100。比如说这是它的一个充分关关系是吧？充分关系这个明白我画箭头吧，画画箭头就好弄，大家想想零点五x- 0点5z小于等于零。相当于什么情况？相当于是把x-z小于等于零啊，是把x-z小于等于零，也就说这个x小于等于z时就可以推出x+y+z大于等于100，大家就学逻辑关系的时候就可以看出来。好，那接下来咱们看条件一和条件二，谁能推出它知道吧？由这个逻辑关系的推导传递性啊，它如果能推出它，

它呢，又能推出它就具备。具备这个充分性了，好接下来看条件和条件，谁能推出s小于等于z。我再强调这道题，大家疑问比较多的是什么？知道吧？比较多这道题是不必要啊，不必要，所以说有同学说。嗯嗯，这个干单位至少100人，为什么一等奖人数最少？一等奖人数不是最少，

行不行？他有同学就理解，说他上推下次推不出来啊，我再强调上推，下次推不出来啊。对不对？就根据这个s+2+1大于等于100，得不到一等奖人数是最少的，得不到啊，就是所以大家可能大家逻辑上正好弄反了，知道吧，咱们这个是充分性啊，就是只要能推出它成立都是可以的，然后看能不能推出它成立，注意我再强调一下。

它是不必要，它是不必要，知道吧？不必要咱也不知道一等奖多还是一等奖少还是二等奖多还是二等奖少？知道吧，它是不必要，只要只要能推出什么它的一等奖的人数比三等奖人数少就行，那一等奖是不是最少的？咱不一定是吧，一等奖不一定最少。只要能推出这个就可以了，这个明白这个什么叫充分必要吧，就一等奖最少最少可以推出s，肯定是比z要小。比比这些小，

我再强调一下，而是小于等于z得不到一等奖最少，知道吧？比如说我给你举个例子，比如说一等奖，一等奖就十个人。啊，二等奖呢？15个人，三等奖呢？是七呃，这个二等奖是75个人是吧？有可能是呃，他是最少有可能他不是最少，知道吧？

或者说有可能是这样的，有可能是比如说是。嗯，它不是最少不是最少的话，你可以给找一个其他让让这个二等奖，最少比如二等奖是十个人，然后剩下呢，这是45个人。啊，40个人，这是50个人，这样的话可以发现二等奖是最少的，知道吧，我再强调一下，就是它不一定推上面推不出这个，

知道吧，推不出一等奖的时候最少。但是呢，一等奖人最好可以推出，它明白没有就推出它，就是它是只充分不必要啊，只充分不必要懂了这个意思，没有就有可能是二等奖人数少。有可能是一等奖，这种少知道吧，但是只要能推出它的s小于等于z都具备充分性，只充分不必要啊，所以条件一是只充分不必要。再往ctn 1这个大家告诉我条件儿是不是充分的？条件儿是不是充分的？

充分的只要是它这个最多就行。最多，但是它是只充分不必要啊。所以条件一呢是相当于是x是最少。唉x最少可以推出x小于等于z，但x小于等于z推不出x最少啊，同样道理条件是z是最多。z最多可以推出s小于等于z，但s小于等于z推不出z最多啊，推不出z最多懂了吧？这个给你讲明白没有？是因为有好多同学，几乎每个题。这个题每个同学的疑问都是都是这样的，都是认为题干呃，

能不能推出它啊？别给推错了好吧，就这一块儿啊。好，大家再琢磨琢磨，想想。好，那在这里面大家呢？就是把这个思想给大家写上，写上一个思想，它的思想是什么啊？这两条线都充分啊，两条线都充分，看能不能绕过来，就这一块儿，

这块儿可能需要逻辑的东西要多一点，知道吧？好有一个有个是比如说。a+b=1个m，如果b。要小于等于n可以推出。a应该怎么样？给我填一下。如果a+b=m，如果b要小于等于n，那么a应该是。大于等于什么m-n对，就这个意思。好，把这个看看是不是弄清楚了？

啊，这块稍微难一点，是不是看能不能弄清楚？啊，不知道懂了没有，如果把这道题该单位至少100人，该单该单位至少90人，该单位至少是90人。说改改成该单位至少90人。那这个数该单位至少90人，这个数应该小于等于几啊，比如说改成90再一起思考，改成90。那这个数就要小于等于十啊，改成小于等于十，

然后看条件是否具备充分性，它是不具备必要性啊，具备充分性，然后看条件一的情况下能不能推出它减完是小于等于。十然后就可以退出来，懂了没有啊？就这样啊，就这样，如果回答对的同学，那就说明这个理解的这个原理好吧啊，这是它的。这个思想看是不是懂了？

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