2-10线性规划

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:34:05

好，那接下来咱们再看一下线性线性规划这个题线性规划这个特征。现规呢，制造制度和最值这一块儿呢，就难度就比较大了好吧，咱们呢，把现行规划给大家进行说一说。那其他的话，你可以先自己去看一看，好那么看线性规划这个。线性规划，线性规划是什么呢？它是运筹学中，然后。科学管理的一种数学方法，

因为大家知道，因为这个线性规划，它主要是咱们资源有限，就像咱们备考一样。时间有限。是吧，你怎么来合理的分配时间达到一个最大化的利用是吧？所以在这里面大家呢啊，要知道它的特征。所以线性规划它的研究的内容是什么啊？研究内容在这里面呢？它主要是在一定的条件下。就合理的安排人力，物力等资源，使经营效果达到最好是吧？

经营效果达到最好，那么求现行目标函数在现行约束下最小值和最最大值问题。就成为了现役优化好，那这这个通过这一段我们特征不太明显，我们这样去把它简单化。这个线性规划它的它这个词是分为两部分。分为两部分，前面一部分线性，后面规划线性是什么特征呢？线性一定是一次方依次表达式。一次函数，因为一次函数，它画出一条直线，把它称为线性，然后规划什么规划的话，

为什么要规划呢？规划目的就是优化，优化要找它最值是吧？所以它求最值。求这个也说，从问法上这个特征。可以很容易看出来。所以，线性规划从这个角度，从问法角度，它也是求最值的一种。知道吧，求解最值一种，它也是问最大或最小值。好，

那接下来我们来看一下呃，总结企业三步法好吧，它现有规划的一个三步法。好那么那么第一步，第一步根据题目写出限定条件下的不等式组，就相当于一个翻译是吧，比如说读完这个题。啊，翻一翻翻一下，它可以写成什么样的不等式组？第二个将它转换成方程，解出边界焦点。求出边界点就可以了好吧，解出边界焦点。好，

这第二个把这个边界焦点给大家解出来。看这个明白没有？然后第三个，第三个呢，就稍微难点，如果焦点是整数，直接就可以求解出来了，焦点要整数，直接就解好了。如果交点，要不是整数，要讨论取整，知道吧？如果要不是整数，然后要讨论取整，

因为咱们现有规划，它问的都是整数。然后最后呢，讨论区证，这个讨论区证不是四舍五入啊，注意这个讨论区证。那不是四舍五入。四舍五入，像这个就错，有的题可能运气比较好才对是吧，所以这个不是四舍五入啊，大家一定要知道。所以接下来就按照它交点，是不是整数咱分为？这样呢，

考试方向先看考项一就焦点呢，是整数点的情况。加上指动点的话，那这个比较简单，直接带入目标函数分析就可以了啊，提到这呃，讲到这我就给大家强调一下咱们的线性规划，它原本的做题应该用解一解和画图，知道吧？大家在中学可能有同学学过这个知识点，应该画图画图，把区域找找，然后再算什么时候取最值点，那只不过那样画图它太麻烦，考试没有时间，

知道吧？考哪有那么多时间画图啊，是吧？所以在这里面大家呢，就要找捷径，也就是说通过我们解几何的证明，得到它一定是第二步，这第二步是通过解几何证明出来的啊？所以同学说它的优化点会不会不在这个边边界点有可能会不会不在这个边界点它，咱们通过画图它都在边界点找到的。所以在这里面咱们呢啊，就不用再画图了，所以就考试时候直接找答案好吧，这个给大家进行解释一下好，所以接下接下来我们看，

接下来我们看指落点。那么这时候怎么办好？那接下来我们做一下题目。好看一下这个题。好，这个题咱们教材和解析上都给大家画图，在咱们考试的时候就没时间画图，所以我现在我就讲不画图的方法。好吧，91题这个题大家思考一下。好，那么工程计划在甲乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告。那它的资源有限，你不能说无限制做广告，它它的钱也有限广告总费用不能超过九万块块钱。

好，这是在资源有限条件下，然后呢，知道它广告费的收费标准500和200。然后做广告能带来收益，对吧？零点三和零点二万元的收益。收益好，那么现在让你来调整它的广告时间，问最大收益到底是多少？求最大收益到底是几？好，那就求最大值，所以从这个特征可以看它，最后也是问最值问题。

是吧，而且现役规划还特征是什么？它只有两个因素，听到没？两两个因素，比如说一个甲，一个乙，两个因素，它不会出现什么甲乙丙丁呀？好多个因素，那个就那当那个当然。多个变量也可以作为一个信息化，只不过咱们考试不考那么复杂的好吧，咱们的考试两个变量就双变量。啊，

两个因素好吧，所以接下来我们就可以设这个甲电台是s分钟，因为咱也不知道是。广告时间到底是多少？是吧？甲就是x分钟的广告。乙呢，是y分之后好吧，给大家写写。甲我们设做广告，时间是s分钟乙呢？是y分钟。好，那接下来我们看。怎么样把它翻译过来，

第一步要翻译啊，翻译翻译过来就第一个总时间不超过300分钟，所以说就x+y。应该小于等于300。第二个广告费用不超过九万元，广告总费用，广告总费用怎么算呢？就是500x。加上200万小于等于九万。好吧，这两不等式，我给大家写写好吧，第一个不等式就x+y要小于等于300。看大家这个听懂没有，就是总时间不超过300分钟，

第二个就是总费用500x，加上200y。小于等于九万。这样的情况。九点九万。好，那么在这里面，我们来看一下。好来看一下它的这个情况。它让求什么呢？看看让我们求求什么？求最大收益是吧？所以它让求的是就在这个约束条件下。那么，求最大收益就求收益，

怎么算呢？就零点儿三x+0点儿2y，它的最大值。听到没？求这个收益的最大。求到最大值好，本来咱们做这类线性规划题应该是画图做知道吧，但画图做呢特别麻烦，所以咱不画图，直接找这个焦点。好吧，所以接下来就直接找，直接把这个不等式变成一个一个等式来分析好吧，所以这样的话就要方便点。就可以得到x+y直接变成等于300第二个方程的话，

我们可以把它两边都约掉一个100变成5 x+2 y就等于900。对吧，就5 x+2 y=900。好，这个方组就可以解出x和y的值。对吧，所以在这里面大家呢，就可以得到x和y的值。就把第一个方程通乘以二嘛，通通乘以二，那么s得到100。y得到是。200是吧？就得x=100 y得是200好，这样就写好了。

好需要了，需要以后那么它这个最大收益，我们就可以求出来了，直接把这个数，因为这个数直接带到里面去就可以就。可以求出它的最大结果好吧，最大结果就是零点三。乘以个100+0点二乘以个200。好吧，就零点三×100。加零点二×200。好，这算出来就等于70万好吧，这样值就等于70。看大家会做了没有这呢，

就选择的是b选项，咱们考试和做题呢就呃，采用这样的方法来分析，这样要简单一点。好了，那这是这个题，看懂了没有？好，下面咱们看这个题。跟它差不多，你看它也是两因素是吧？双变量两因素，它生产甲乙两种产产品。然后他说甲产品，它需要a原料三吨b原料两吨。

然后生产乙产品，它是需要a原料一吨b原料三吨啊，这叫消耗量。好告诉我们，每吨甲产品利润是五万，乙乙产品利润三万。好，接下来他提要要求了，资源有限，它在一个周期内就在生产，这个时候a原料不能超过13吨b原料不能超过18吨。啊，那么可获得最大利润到底是多少？最大利润。好，

那这道题我们一样生产甲产品，或者叫甲是x吨。好吧，乙是y吨，然后没做完的同学抓紧思考啊，甲甲生产x吨。乙呢是y准。好，这样的情况。好，那我们来看列第一个要求什么要求呢？看最后啊，最后写的这些就是a原料不超过13吨。a原料不超过13吨，那么a原料怎么算呢？

就把甲销的a原料和乙销a原料加在一起就行了好吧，所以甲是3x。乙呢是y。小于等于13。有30+y小于等于13，这是消耗的a原料，那b原料怎么算呢？b原料是甲消的b原料和乙消的b原料。就是二倍的x+3 y。小于等于18吨。有2 s+3 y小于等于18好，这个写好了，写好接下来我们让求什么呢？求最大利润。对吧，

这条利润怎么算呢？就是一吨甲可获利五万。就5 x+3 y，这是它的利润。求它最大值就行了好吧，求它的最大值。好，那接下来我们来看一下这个题，这个题的话还是直接把它变成一个方程去解xy就行了，好吧，这样的话我们要简单一点。这样可以变3 x+y=13。2 x+3 y=18，这样大家看谁解的，快把这sy给它解出来。

写成可以把第一个方程同乘一个三，然后往下减就行了。是吧，然后这样大家呢就可以得到s值就为三。对有同学解出来I=3 y=4是吧？I=3 y=4这个写好了。好，卸掉以后，那接下来就把这个数直接带到里面去就可以算它最大值是吧？那这个是不是比较简单？直接带到里面去，在里面算呢，15+12得到27是吧？所以最大值就就是27，这个你自己算算。

好吧，15+12嘛，到27这样大家就选择d选项。好，那这两个题都考的是交点式整数点。比较简单。好，大家看一下，接下来我们看交点不是整数点的情况，交点要不是整数点，这时候要讨论它附近的两个整数。就不能四舍五入啊，不能四入会得到四个点，为什么四个点s有两种y有两种搭配起来，然后这四个点里面？

一般来说。它有两点是明显不符合的，还有两点是符合题目要求，在符合要求里面来比较，这两点到底谁是？最大值谁是最小值好吧，然后带带到里面分析就行了啊，为什么会产生四个点呢？我们给大家举个例子来说，说完这些，我把这些点给大家进行强调一下。我们看这个题。某公司啊，这个运送180台电视机和110台洗衣机。好，

这是它的需要的完成的任务。有这么多东西需要搬运，现在呢，我们提供两种车知道吧，有两种货车。甲种呢车呢，每辆最多就装满啊，装满最多可以装四台电视机和十台洗衣机。有塞满。那么，乙辆车每辆最多。可装二台电视机和十台呃，二台洗衣机。好，现在他给了两辆车的租金，

分别是每月每辆400和360，那最少运费到底多少钱？求运费好，那么这道题我们来看一下，这里还是发现还是两个变量。两个因素就是甲乙是吧，所以我们要设甲车呢，是x辆。乙车是y辆。对吧，所以甲车就是x辆。乙车是y辆。看懂了没有？接下来他要满足条件，什么条件要把这个。

电视机和洗衣机得搬完，对吧？不能有剩余好，大家想想总共可以搬多少台电电视机呢？甲车一辆可以搬40台，那么s辆可以搬40x乙车呢？每辆车可以搬20台电视机。所以40 x+20 y，它表达的什么含义表达总共？可以装多少台电视机，这个装载量一定要大于等于任务量。知道吧，大于等于180。装载量要大于等于任务量啊，它要大于等于180，

为什么呢？我讲讲。就像咱们录取一样，就你考的成绩要大于等于这个分数线，知道吧？就就相当于你要能胜任这个左边的，就相当于是你的运输能力。要能胜任右边的任务好吧，将能力。要大于等于它的任务。对吧，我给大家写一下就是能力。大于等于它的任务。因为像咱们找工作一样，找工作，

你看面试就面试完，觉得你的能力能大于等于这个任务，就说明能完成这个任务。对吧，就这样的啊，所以说运输能力要大于等于你安排的运输任务，或者说大家想想我们平时搬家的时候。搬家的时候这个车不一定非要装满，可以空一点儿，知道吧？就比如车还可以空一点儿。不能出现装不下，比如说这个车装完装不下，那那不太行好吧？然后接下来我们再来看。

洗衣机洗衣机的话就相当于是10x。加上20y大于等于110就要装。110台洗衣机。好让求什么的最值呢？让求。求运费，运费的话就400 x+360 y最小值。对吧，就是它租金的总租金嘛。求它最小值啊，400 s+360 y，它最小值。好，大家想想，这里还跟前面一样，

找这个焦点是吧？然后找到这个焦点值，找焦点的话，我们把第一个放成。把两边都除以20吧，同样是变成2x，加上y=9是吧？呃，把第一个方程都给它除以20。所以我们就可以把它变成。2 x+y=9第二方程，两边都除以十就x+2 y，它等于个11。好，这样大家可以解出x值和y的值，

反正解一个就行好吧，解一个就行，你把第一个方程同乘以二。然后呢？减减减下来。啊s等于三分之七。是吧，解的s就等于三分之七。再看y的值。好，如果等于s要等于三分之七的话，那这样大家可以算出YY的值。对吧y值等于三分之十三。对吧啊，看这个是不是写出来了？

好，那么这时候呃x呃是二点多y呢是？四点多，那到底是取哪个值呢？这时候呢，大家呢，要会分析，你看x是二点三。这是四点。三是吧，所以它这个是二点三，这个四点三。是不是这样难看x是不是二点三？完了，四点三。

好，这时候注意不要四舍五入啊，不要四有同学说xx又取2y又取四，那这个就错了，不要四舍五入。要取它附近的两个两个整数，只要我们看x，这时候它取什么呢？x它取二跟3y呢就可以取四跟五。就不会比它小再多，也不会比它大再多，就一定要在它附近两个整数，知道吧？附近两个整数。好，

那接着大家可以搭配出来，有四种情况。但是有四种情况，当然有的时候可以结合生活常识，可以帮助咱们筛选一下，就像有同学说的。然后由于x比较贵。是吧s车贵，那我们呢？就可以少点。啊y车呢，就要多多一点儿是吧？反正呢，它这总共搭配车有四种情况，四种情况，

其中有两种呢，是满足有两种呢，是不满足在满足里面取一个最小的就OK了。知道吧，取一个最小的，这样就行了，那呃是哪四种情况，我就详细的给你说说好吧，详细说，你看这四种情况就x取二。y等等于4s取，2y等等于五是吧？给大家写写s=2 y为四。而x=2。y为五是吧？

好，那么另外两种情况s=3。y为4 s=3 y为五。好，那这个这就情况，然后验证哪个呢？验证是不是大于等等于180知道吧？是不是大于等于100？或者说验证这个是不是大于等于九，是不是大于等于11验证这个这个2 x+y大于是不是大于等于九？2 x+2 y是不是大于等于11验证？这个验证可以发现发现有你像有的就就不太行了，所以在这里面大家可以看。那有的就不太行，你看二跟四，

那这个就就就不满足是吧？二二跟四肯定就错了。对吧，然后三跟四三跟四。然后呢，你可以看看还有三三跟五。啊三×5所以在这里面，大家呢，就可以讨论好在这里面，大家找一个最小的满足要求，最小的。听到没？马上要这套就就列出这四个，以后列出这四个以后啊，大家呢就来。

判断一下，谁满足这个不等式，听到没？谁满足这个不等式好，满足不等式，咱们就要。好吧，然后不满足的就给它排除掉。懂了吧，好那么在满足里头的，然后呢，你就取能符合它要求的，所以这个就是二跟五，这是可以的。是吧，

就取二跟五这就行了，那其他的话，要么是不满足原来的条件啊，要么呢，就是太贵了。太贵了，这时候呢，我们就不考虑了好了，那这是给大家强调的，所以这道题当x=2跟五的时候，那这是满足的，其他呢？只要要么就是不满足，要么就太贵好吧，价格太高好了，

这样我们就可以得到把x=2 y=5带到里面去就可以得到它的答案。好吧，就得到是2600啊，所以最后你就把这个二跟五带到一开始这个这个里头去就行了啊。按理由去得到2600，这样答案就选择b选项。好，这是它的这个特征和方法。好，接下来我们来看这个题。好，这个题跟它差不多的好吧，然后AB两种型号的客车装载量分别是36。和60。租金分别是1600和2400，

好用AB两种车安排这个900名旅客出行。要用b车的数量不得少于a车数量，那最少花租金是多少？好，那大家发现这道题也是两个变量是吧？然后呢？两个因素。啊，大家看看，我们来看一下a车。甲是x辆好吧a车是x辆。b车是y辆，看行不行啊？我们写写a车。就s量好，

接下来大家思考一下。好b车写成y辆，接着来思考这个题。第一个就是他要必须安排900人。900名旅客好，900名旅客又说明他两辆车。加在一起它的。装载量要大于这个任务，刚才咱们讲能力要大于任务是吧？所以我们就可以写写出来，写出来那么第一种情况就相当于是。要装900人，900人就相当于三六x，加上60y。然后大于等于900是吧？

就是36 x+60 y大于等于900。好，这样的一个内容。是吧，第二个它要要求b车的数量不少于a呃，不多于a车数量。啊，不多，又小于等于嘛y小于等于ix嘛，就是b车的数量。啊不得多于不，不多于就小于等于嘛，好这样的情况好那求什么呢？看一下。那求。

租金租金的话就是1600 x+2400 y最小值。是吧，实际上求的是。1600 x+2400 y，它最小值到底是多少？好，所以大家发现这些现性化问题，它这个大同小异，只不过就在焦点那块儿产生分歧，一类是整数点，一类是非整整数点。非重点要稍微难一点。好，那接下来咱们来看一下。好，

那第一接下来。要求什么？求它的交点对吧？好，我们要解它的交交点。把焦点解出来，那么第一个方程我们两边看都除一个六看行不行，都除个六得到6 x+10 y。好就6x，加上10y。好，那么除以六这边应该变，我把它变成等号好吧，变变成等号这边应该是150。是吧，

两边都除以六，其实两边还可以再除以个二啊，其实可以把这个东西再除以二÷2，你直接写3 x+5 y=75吧。就3 x+5 y就等于75。然后第二个方程是y=x是吧？好，那接下来我们就可以把这个焦点给它求解出来啊，焦点就求解出来，通过这个通过后面这个。把这焦点给它解出来好，那焦点解出来的话，因为xyy等相等的xy都等于八分之七十五。八分之七十五，大家想想是九点多是吧？

就xy。就等于八分之七十五。写一下八分之七十五就是九点多。就八九七十二嘛，就九又八分之三。对吧，对有同学已经写了九加上八分之三。九+8呢，这个不要用四舍五入知道吧？不用四舍五入，那这九九点多它就取九或者十。就x取九或者10y也取九或者十，那就s有两个值y有两个值搭配出来就有四个值，知道吧s两个y有两个搭配出来就有四个值。设值分别是刚才大家听完这样的题，

这个题应该会做第一个值x=9 y为九。第2 s=9 y为十。第三个x=10 y为九。最后一个x=10 y为十是吧？我把这个给大家写一下啊，就第一个第一个相当于都取九，看懂了没有？第二个一个九，一个十下，一个就一个11个九。最后一个就x和y，它都等于十这样就写好了是吧？sy它都为十。好，那接下来我们来看一下，

就哪些不满的这个要求呢？哪些不满不满的要求？不满要求的话，就是看能不能满足原来大于等于九九百这个。就是或者说把这个75改成大于等等于号在这行看，如果它都等于都等于九的话，那加加在一起。这个是不满足的，对吧？所以这个呢？是不满足啊？这个大于900，这个方方程，或者说不满足这个3 x+5 y，大于等于七七十五这个。

所以它这个呢，是不满足的，对吧？然后等于九等于等于十又不满足小于等于。是吧，它要满足y呢，要小于等于x，这也不行。好，那么剩下的剩下的s等等于十啊y=9，这个是满足的I=10 y=10，这个也是满足，但这两个。都满足的话，看谁的钱少，

那肯定是x=10 y=9的时候要少，因为x=10 y=10，它的钱肯定要大。是吧，然后最后你又把x=9呃ii=10 y=9带到里面去，好这个课堂就不再算了好吧，你又把这个数。写完了，带到里面去就行了。好，这个数解完带。带到里面去就s=10 YY=9。而等于十八点九就37600，这个答案就选择的是e选项好吧，这个答案就求解出来了。

啊，选的是e。好了，那这是给大家进行强调的焦点是非整数点，它的这个特征好焦点非整数点，我们看把它总结一下，因为整数点就不用再总结了嘛。然后焦点，比如说x=a点几。y等于个b点儿几啊，给大家写写好吧，就x=a点儿几y=b点儿几。好，那x它一定在它附附附近啊，附近x可以取a和a+1。

y呢，可以取b和b+1。然后这样搭配组组合出来就为四个点，知道吧？四个点四个点就分别是x和y。都取a。或者说一个取a，一个取a+1都给它进行写写好吧，就xy。啊，都取a或s=ay=a+1或者说啊x=a+1。哎，这个YY是b。啊BB+1是吧啊y是b，然后这是b。

就x=a+1 y=b或者说x=a+1。y也等于a+1，当然考试不用像老师写那麻烦，直接呃观察。这是b+1。好了，那如果x要等于a点几y=b点几，那么就在s在a和a+1附附近讨论y呢？在b和b+1附近讨论。然后这个a有两个值呃x，有两个值y，有两个值搭配起来，互相搭配有四种情况，四种情况你先验证它是否满足那个约束条件，知道吧，

再看它是否满足约束条件，把这里面不符合条件的给划掉划掉，比如。还剩下两个或剩下三个哎，那如果都满足条件都满足条件，然后再带到那个所求的那个最值里头去，看谁是最大谁谁最小当中选答案。就可以了好了，这是给大家讲的做题方法和思路，大家把这一块儿呢好好的消化和整理。

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