2-09不定方程

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:33:51

好，接下来咱们看一下不定方程，这个模块看一下不定方程。好，那么不定方程什么是不定方程，不定方程这几年每年都在考啊，所以大家呢，要注意这块儿呢，也是考重点这几年。每年都有，尤其像上次刚刚考过的重新判断题的一个不定方程，而且那个数又稍微大一点儿，很多同学就做错了。知道吧，就是他买这几种物品，

每种物品多少钱？他他问这个买了多少个物品是吧？这样的好，我们看不立方的特征。不定方针特征，不定方针这个呃应用题类型呢？跟其他类型不一样，其他类型呢？你读完题马上就可以知道它是属于什么类型，比如溶液浓度，你刚读几个字就知道这道题是考溶液浓度的。是吧，比如说路程问题，刚读几个字就知道考路路程问题，但不定方程不一样，

不方程你读完题你都不知道是不是考不定方程？那不定方程在什么时候才能发现呢？也就说它一开始隐藏的比较深，知道吧？就一开始你发现不了。那在什么时候能发现呢？就在你做的过程中列完未知数，做的过程中才发现，那这就是一个不定方方程。什么特特征啊？这个特征这样当应用题出现了，位置量比较多。方程比较少，这个数量关系就代表方程列出来，方程比较少，

那这时候我们才发现它的不定方程。就在列完式才能发现，一开始发现不了了。所以说在这里面好那么一般，最后这些一般未知数个数多于方程的个数，这些就叫不定方程未知数比较多，方程比较少，有从未知数的角度来说它的。定不了的叫做不定方程。那我们看不定方程的，求解。不立方学理，不立方一般呢，有无数多个解啊，无无数个解，

但结合题意。我们实际只要求出50多个解中的特殊解就行了。好特殊解方案就求自然数解或者整数解是吧？求这些自然数解或者说整数解。这样的一个情况。有时候呢，或者加上一些其他限制，比如加上一个范围限制啊，它取值范围，那这也是它解就可以定下来，本来大家知道在中学我们学过，比如说两个未知数，需要两个方程，三个未知数。需要三个方程才能解解出来，

但有时候呢，比如三个未知数，只给你两个方程，那这时候未知数呢，它都解不出来它有无数多种，但是我们加上一些其他的隐含的限制条件。那这时候被除数就可以解出来，那这个是呃不定方程，它的内容好，那考试咱们主要出现什么呢？出现这个整系数。不定方程的整数解。都要找整数解。所以我们要记住什么呢？记住这个整除。

奇数，偶数，范围等特征来分析就行了，好吧，就整除奇数，偶数这些范围来分析和思考。好看，这个懂了没有？好，接下来我们看一下考试的原则，因为这块比较重要，给大家先说一下几个原则，这样大家考试做的时候比较快啊。首先第一个要知道布定方程，它本身是有很多解。

好，那么这个解的话，那么我们要注意一些其他的线条，有些有些线条仍然是隐蔽的。什么隐蔽？比如说人数，它隐蔽是整数。对吧，还有一些，比如说分物品，它肯定是整除或者倍数这种特征，这都隐含的，然后。呃，解决的原则是什么？

原则就是采用缩小范围是吧？我们逐个排查缩小范围怎么缩小范围？原则一从稀有大的开始讨论。就看哪个未知数系数大，为什么系数大的可以讨论，因为系数大，它变化比较敏感，知道吧？比如说啊，这个一。呃呃，这个是19 x+5 y，比如这是19 x+5 y，我们我们。所以说你看s稍微从一变成二，

你可以看19x，它变化的比较敏感。但是y要从一到二到三讨论起来，这个变化的不是很敏感，这样的话对咱们讨论来来来说的话不方便。所以说所以19 xns变一二三的时候，那么这个整个数它变化的比较显著。第二个奇偶性来讨论，比如说这里面奇数加偶数啊，咱们前面讲过的还有偶数加偶数啊，或者奇数乘以奇数啊等等的好吧，记住奇偶性就咱们在第一章学过奇偶性的一些特征。第三个倍数原理，比如说看它是几的倍数，能被几整除是吧？

掌握倍数原理，这样也可以，然后第四个是尾数。尾尾数呢？就个位啊个位，比如说一般出现五的倍数啊，它的个位是什么特征能被二整除的数个位是什么特征等等的好吧。然后不定方针的难点就在于，对于未知数的取值讨论，有时候要用穷举法知道吧，然后能不能快速。因为考试时间比较有限，很多同学这个题没做完，然后关键是快速把这个答案找到，像二一年那个不定方程题，

其实不是很难。为什么有同学呢啊？做错了，原因是什么呢？原就有同学呢？在讨论的时候不能快速准确的找到它的结果。比如少讨论一种情况。就出错了是吧？好，这是给大家讲的这个考试内容。好，接下来咱们一个来分。考试方向来说，首先咱们看一下整式的不定方程，整整整式整式的话，

就里面没有出现。分数整式不定方程，它先跟题目转成as+by=c这种形式。这里然后结合整除倍数和基础性特征来分析就行了是吧？你看这里面有几个奇数，有几个偶数啊？看xy它到底能被几整除啊？这样呢，讨论就可以了。好，那接下来咱们做一下题目，大家看一下这个题都思考一下。大家现在发现没有你读完这道题。还不能够马上。确定它是不定方方程，

还看不出来什么时候才看出来，必须在设完未知数。列完方程开始解的时候，你才能发现它就是一个不定方程，知道吧？好，我们来看一下这个题。它一次考试有20道题，来读一下题啊，一次考试有20道题，做对一道给八分，做错一道扣五分。不做它不计分，某同学共得13分。某同学共得13分，

好则该同学没做的题到底有有有几道？好它没做的题，有几道题没做，但这里还可以问有几道题做对了，有几道题做错了。好，大家都思考这个题，看大家会不会做？都想想这个题目。好，那接下来我们来看一下啊，我们假设这个做对的是s道。做错的是歪道。然后不做的，你可以设为z道也行，

或者说你少设一个未知数，用20-x-y，因为总共就20道道题嘛。设为z也可以啊，设为没做的题，设为z也行，因为总共是二道题嘛，为了减少未知数也可以。呃，少设一个位置，数设三位数也行啊xyz也没事儿。好，最后根据它得分是13分，那得分13分怎么来的呢？得分13分，

得分13分是这样来的啊，因为它这个是做对掉给八分那做对的。s道，它得分就是8s分，但是要扣掉做错的歪道，歪道的话要扣掉五分。减去5y。没做的是不给分，所以后面没做的话都乘以零都乘以零的话就得到是零，就不用去管它。就不要去管它好吧，就8 x- 5 y=13啊，这样就写好了。只要大家发现做到这儿，才发现它是一个不定方程，

是不是这样的？做到这儿，它又是一个不定方程。你看到没？你到现在才发现，因为这个里面它未知数，是有两个方程，只有一个是吧？这叫不定方程，不定方程这个怎么讨论呢？大家在讨论的时候呢，就根据它的奇偶性来分析。好吧，大家知道这个13它是一个奇数。对吧，

看想想这块是不是听懂了，它是一个奇数好那么8x。不管x是什么数，那八是偶数，一个偶数乘以任何整数，它都得到是偶数啊，就这个整体知道吧？8x的整体，它又是个偶数。懂了吧，八个字的整体，它又是一个偶数。好看，这个懂了没有？这个是个偶数，

然后呢？大家想想就剩这个y了。就用这个y好，我们看咱们前面学基础性。学过吧，就是偶数减去奇数。它才得到是奇数是吧？所以这这个5y是奇数，如果五倍的y是奇数，如果两个数相乘为奇数，必须每个数都得是奇数，所以y肯定是奇数，所以这道题可以得到y肯定是奇数。y的基础上y又可以用一三五七九y不能取偶数是吧？所以y可以取一三五七九。

那y到底取几呢y的默认有个范围是吧？就隐含条件，你总共才二道题对吧？二道题y它肯定不能超过20。对吧，然后呢，而且呢，还要满足这个整除这个特征啊，所以说还要满足这个y讨论完后呃，这个还要满足五倍的y啊，八倍x啊，这个整除的特征。好看，这个懂了没有？那接下来我们来看一下呃，

接下来就要用到穷举法啊，就是这个穷举。好吧，这个穷举法。好，那这个穷举法我们看应该怎怎么写呢？这个穷举法。就表叫y为一的时候，那么看x行不行？y为一的时候不太行，因为y为一的时候x它不是整数。好y为二的时候，我们看行不行啊？y不能为2 YY只能为奇数YY就为三看行不行？一可能是。

不行了，那么三五十五。15+13，得到28，28，它也不能是八的倍数是吧？三也不行，那五看行不行？是吧啊，五看看行不行？五的话，你发现五五二十五二二二十五加十三三十八这个也不是八的倍数，然后七。啊七就可可以了是吧？y=7 y=7的时候那么五七三十五三十五+13。

得到48，48，除以八，那么x就得到是六。是吧，所以说y=7的时候，那么x它就为六啊，最后得到y是等于七的x是为六的。然后z就可以算出来z呢，当然这道题没有zz的话就不做题，不做题就可以得到呃，求解出来知道吧，就答案就可以写出来啊。那这道题要问没做题，没做题也是七个题。

好吧，所以这样就写出来了，所以大家问没没做题到有到底有几个题就七个题好，这个呢应该选择。c选项看各位同学是不是懂了？好，每做有七个啊选c。好，那这道题呢？听完的收获看懂了没有啊？就这道题呢？就是还是那句话，不定方程，它不能够一眼识别出来。它跟其他的类型呢不太一样，

然后这时候你只能在做题的过程中，然后发现出来它是一个未知数比较多的，这时候呢，就结合它的系数，奇偶性的讨论，然后列列举。然后分析就可以了。好，大家再看一下这个题。好，这个题也是一个考真题，跟上题差不多啊，我们来看看。好在年底限薪活动中，某单位共100人参加捐款。

这这捐款人数是100人。然后经过统计，捐款总额是19000。个人捐款有100，500和2000元三种。好问捐500元人数到底有多少人？跟上题什么呃分为做对的题，做错题和没做题分为三类一样，这里按照捐款金额分成100，500和2000好，各位同学都思考一下。那这道题。怎么做？有没有同学做完了？做完了可以选一下答案好吧？

好，那接下来咱们来看一下这里我假设什么呢？这个100元呢，就是x人500元是y人2000元是z吧？好吧，这是xyz当然也可以把这个z换成100-s-y也行。好吧，那用两个未知数也可可以。啊，这个都没关系好吧，你就你怎么做都行啊，这些设三个位数也行，跟上一个题一样，设俩位数也可以。好，

那接下来如果设三个未知数的话，我们就得多列一下方程了啊，大家可以演示一下第一个条件，第一句话总人数是100人，总人数100人就x+y+z。它等于100。是吧，就s+2+z它是100。这这是它的这个特征。好，然后咱们再看捐款总额，捐款总额就加在一起呗，那就100 x+500 y。加上2000z。等于19000。

就100 x+500 y+2000 z。啊，就等于19000。对吧，所以这样的特征看懂了没有？好，这个明白了吧？好，明白，以后那接下来我们再看。啊，第二方程可以同时除100，对吧？把这个化简一下啊，第二方程因为它这个每一个它都都有两个零嘛。

这两列都把都把除100是吧？除以100z不又减减了一点嘛，所以第二方程可以变成什么变成x+5倍的y+20 z正好等于190。是吧，我把它写一写啊，就是x+5倍的y+20倍的z就等于190。好做这大家让两式相减就可以了好吧，第二式减第一个式式子两式相减。2000元目的是为了把x约掉，就先消掉一个未知数，知道吧？所以说在这个方程先消掉一个未知数，所以相减我们就可以推出。所以说啊，就是这个变成4y，

加上19就等于90是吧？想想是不是这样的4 y+19就等于90？就是那接下来跟上面一题差不多了，我们就要用什么就用奇偶性来分析，大家想想那这90。它是一个什么偶数，对吧？就是它是一个偶数。对不对偶数，然后这个4 y+19 z，你再看这个4y。它肯定是也是一个偶数，对吧？所以大家知道4y。虽然咱们y不知道是什么数啊y不知道什么数，

但是y它乘以一个偶数四，那它就是。偶数了，那这样我们就可以判断出这个什么，这个19z这一块儿。应该是个奇数。啊，应该是个偶数对吧？比如说这一块儿，因为4y是偶数90，它也是偶偶数，所以在这里面我们可以得到它这个19z，它就是一个偶数。好，既然它是偶数的话，

那说明z肯定是偶数了，因为19它的奇数，所以指z为偶数z要为偶数的话。那我们就可以看出来穷举。好，那接下来我们就看z。z等于二四，但又z又不能太大，太大的话，19z就超过90了，超90那这个呃y就为负的，那这也不行是吧？所以隐含条件。好z取二或者四这样的情况。好z=2的时候y求的这个结果等于一个。

等于一个13是吧，然后y就为十十三。好z=4不太行啊zz=4，这个不太行z=4的时候y，它不是整数。好吧，所以最后得到y=13，有同学已经算完了是吧？所以选择a选项。好这里啊，听完的收获就是跟上一题一样是吧？那么你就根据它每种的人数设为is yz。然后呢，列方程来讨论。好了，

最后呢啊，然后按照不定方程来分析。好了，那么整式的，咱们就讲完了，下面咱们看分式的，分式的这个不定方程式在二零一八年考试里面。二零一八年。考试真题里面出现的好吧，在重新判有一个考题，二零一八年它对于分式不定方程，那么首先要把分母给它去掉，因为它带分母不好讨论。然后转化为整式，分式，

整式方程，整式方程呢，然后还要进行因式分解。最后呢，再讨论它的取取值，这个过程呢？啊，比较复杂，它先把分母给它去掉，需要变成一个整式，然后才能去分析和思考。然后这个题这题跟咱们二零一八年考题。差不多啊。所以说跟这个考题啊，这差不多的，

所以大家想想这个题，它说mn是正整数。m加正整数啊。且m分之一，加m分之三为一，就m分之一，加m分之三的数正好为一，那m加呢？值到底等等于几？那这道题大家可以看，它又是一个不定方程，因为它给的已知条件里面这个未知数有两个有m和n两个，但方程它只给了一个。是吧，所以在这里面，

我们要把它进行转化。那转化怎么办？先把分母给它去掉，那去掉分母怎么去掉？两边同乘以mn对不对？把乘乘乘以mn这样就OK了。好，那接下来我们来看第一步，大家看想到没有？第一步，我们两边同乘以mn就得n+3 m=mn。是吧，这也是n+3 m就等于mn。好，这样的特征。

好，这第一步。第一步，很多同学能想到，知道吧？考试时候大家能想到这这一步。但是往下很多同学就不会做了。呃，往下往下呢？那这道题怎么办？这个人必须得把移项因式分解，所以把移项可以变成什么变成mn。减3m，减n它为零是吧？你把它变成。

m×n移项嘛，减3m，减n它v0。那很多同学这个不会分解，不分解教给你怎么分解？先前两项，前两项大家可以提出一个m来，提出公因式。好吧，前两项大家可以提出一个m。对吧，你看都有共同因式m嘛，然后我们把m提出来m提出来以后，这里面剩的就是n- 3。啊，

所以提出m就正好剩n- 3。对吧啊，这样的情况，这个地方大家可以看，这个我再给它添上一个n- 3。所以把n后面要给它添个三。知道吧，添上三的目的，这样它就又可以再提公因式，所以这样的话，我们就把它写成m倍的n- 3，我后面再减一个n- 3。对吧，当然那个多位少补啊。多多得少多得少补的话，

那相当于给它减一个三，我把它移到右边来。好吧，移到右边把三给它移到右边来看这个懂了没有？好，那做到这，大家可以看到，那么这有两项都一样，都有n- 3，这样就可以分解出来是吧？所以可以把它分成。m- 1×n- 3，那正好为三，这个能看懂吧？我们再提个公因式嘛，

或者m- 1×n- 3。它就为三好，那做到这就可以了，达到咱目目标了，因为m和n是正整数正整数的话，这个三它只能分成一×3。或者说三×1。是把它给分成一×3或13×1，所以这道题就有两种情况，第一种情况就是m- 1和n- 3，一个是一一个三。或者说一个三一个一，它两个可以交换。对吧，所以在这里面它可以进行交换。

好，那这是它的特征，那如果第一种情况，一个前面前者为一，后者为三的话，就可以得到m的值就等于二。n的值就为六知道吧，所以这种情况下m的值等于2n的值呢为六。或者说这种情况，第二种情况，第二种情况，前者是三，后者是一，给的m=4。n也为四。

m=4 n也为四好，这样的特征，所以一个是二一个六，或者说两个都为四，这个m+n不管第一种情况，第二种情况m+n的值都等于几啊？有没有同学算出来？都等于八。啊，这个呢，就选4d选项。好吧好，这是一个把这个方程进行分解来求解好吧，然后进行因式分解，先去分母进行分纠结。

当然，这里还有另外一个接法。好给它写另外计划，另外计划大家看一下，原来这个给的这个题目给的题目，它给的什么给的是m分之一加m分之三。那我不这样变换，我可以把其中一个分子给它移到右边去，知道吧？移到右边，移到右边去，你看这个能不能想到？这个m呢分之一可以写成一减去n分之三是吧？咱就把其中一个给它移过来m分之一等于一减m分之三。这样的情况，

这样情况，然后呢，在这里面那么第一个这这就是这个分式可以通分嘛，可以写成。n分之n减三是不是可以写成n分之n减三？这个通分能看懂吧？那然后两边取倒数，为什么两边取倒数把m给它解出来知道吧，所以通过这个我们就可以得到m就等于n÷n- 3。看这个懂了吧，所以把这个这个可以写成m就等于n÷n- 3好，我分子给它减一个三，再加一个三。知道吧，分子呢，

你给它减一个三，再加一个三做恒等变形。好变完以后，将把这个裂开，知道吧？这n- 3再加三÷n- 3把变裂开，裂开就一+3÷n- 3。啊一，除以。一+3÷n- 3好，由于它说了这个m，它必须要是整数，而且m是正整数。那说明后面这个分式一定能够整除分，能整也说后面这个三÷n减三一定。

能够整除是一个整数才可以，对不对？是整数它怎么样？是一个整数呢？那说明这n- 3要么取一，要么就取。取三接下来讨论跟上面一样好吧，就n- 3=1或者三。然后m的值呢，就给写出来好吧，做到这就n- 1，要么等于一或者三。剩下点儿点儿就可以省省略了好吧，剩下剩下就推出了这个n就为四或者六这个m就可以写出。等于四或者二这样就写好了好吧，

所以对应的就就求解出来了，跟上面答案是一样的啊，答案是一样就得到第一种情况就m=4 n也为四，第二种情况是。啊，第二种情况是ln为6m为二好吧，所以在这里面答案是一样的。好，这道题看大家懂了没有，所以这个分式化有这两种处理方法啊。啊，第一种处理方法就把分母去掉，移项因式分解，第二种去呃，处理方法给大家进行移过来移过来，

然后讨论分子分母整除这种特征。用这种特征来做也可以，反正你你自己觉得哪个方法简单就是用哪个好，那么听完这个我们就可以把刚才这个考试方向二在下面。呃，这个地方给大家进行呃，总结一下好吧呃，总结它有两种方法好吧，所以在这里面我们就可以总总结第一种方法。第一种方法呢，就是呃去分母，然后再进行。一项是吧？所以第一步呢？先把这个变成ay+bx=cx y就相当于第一步先把。

两边乘以分母，乘以sy，乘以sy，就得到ay。加上bx=cx y好这第一步。deep然后呢？再移项给它变变形，然后分解。好，我把它写写啊，一项变成CS y-ay-bs=0，然后分解的话，你就跟按照刚咱们讲过的先前面两个提供一式，后面给它配常数看啊，配成什么？

最后也是把它分解成两个相乘，等于某个常数。知道吧，就把它变形成，然后两个相乘。等于某一个常数。知道吧，把它变成这样变成这样以后，然后呢，再讨论这是第一种方法。然后第二种方法，第二种方法你可以把什么呢？把这个x分之a。写成c减去b除以y是吧啊，然后就是x分之一把它写成c减去b除以y，

然后做到这儿，然后两边再取倒数，这个先通分也行，就y分之cy。减b。有y分之cy减b是吧？减b，然后这块儿你就可以把x给它解出来好吧，然后两边取倒数取倒数呢，就把它变成x等于某某某。这样一个东西。x等于某某某，然后呢，再根据整除好吧，那这往下就省略了，

大家知道原理就行了，把x给它解出来，解出来后面是不是一个分式讨论这个分式整除？然后呢，就可以讨论它的取值，看这块儿是不是懂了好，这是考察这个分式不定方程给大家进行总结的方法。好，大家记完同学，我们再看第三个就是平方不定方程，平方平方要结结合平方的一些非负性啊，提到平方，大家知道平方非负性，还有平方数的一些特征。比赛式完完形描述它一些特征是什么样的，

然后来进行分析和求解。好，大家看一下这个题，这个题是考察。啊，小明的年龄这个题目。这道题也是考真题，是一九年考试一个题目，这道题呢，就里面出现了完全平方数。对吧，看这里面就有完形描述，这样概念，大家想一想这个题。这是他说能确定小明的年龄。

条件，一是小明年龄是完全平方数条件。20年后，小明年龄是完全平方数就二二十年以后。好，那接下来咱们来看一下。单独提案一可能是不充分，因为小明年龄要是完全平方数，小明有可能是四岁。四等于什么是完全平方数？比如说啊，可以写成一个数的平方，你像四的平方呀，五的平方呀，六的平方，

所以条件一这很明显，我就不再写了好吧。因为就像以小明年龄，有很多种情况，这能确定代表什么意思，能确定必须是唯一确定才叫能确定，因为小明年他的完形描述小明年龄，他有可能是。二的平方有可能三的平方有可能四的平方是吧，然后第二个20年后小明年龄是完完完全平方数，这个也不行。这个20年以后，比如说小明是36岁，是六的平方或者七的平方，这个咱也不知道是不是啊，

所以在这里面也没法确认，所以这个我们要联合起来。好吧，所以两条都不充分的时候，我们要知道要联合。再一个要把重新判断题。这个选项的含义要弄清楚啊，两条联合什么意思？两条一起去推题干，知道吧？两条一块去推。那一块儿推怎么推呢？我们看有条件一有条件一它的小明年龄是完完全平方数，那条件一会设小明年龄。啊，

有条件一啊，条件一小明年龄就等于m的平方，对吧？它的质量是m的平方。条件条件，他说小明二年以后是完全平方数，就是说小明的年龄。加上20岁等于n的平方。对吧，这个条件因为小明他过了20年嘛，过20年他的年龄应该加上20岁就等于n的平方。好，这两条联合联合以后，大家可以发现，我让这两个方程相减。

对吧，因为这两方相减的好处，就可以把小命年龄给它减掉。我可以让第二方程减第一个方程，知道吧？第二方减第一方程，小明跟小明就减没了，减没这边就剩n方。减m方等于20。好，做到这，大家要用平方差公式啊，就n的平方减MM的平方，我们可以用平方差公式来进行分析。对吧，

然后这时候它就可以写成什么写成n+m。乘以n-m是吧？所以大家懂了吗？n+m×n-m它等于20。好注意这个20，由于由于这个n它是肯定要比m要大的，我们假设这个m和n都是都是正数好吧，都是正正数，不考虑m和n是负的啊。好那么mn，它是正数正数的话，那在这里面那么这个20它可以分成什么？好做到这啊，做到这就20，它本来分的情况有很多，

知道吧？20你看20它可以分成20×1。十×2。然后五×4等等的是吧？它分的情况还是蛮多的，但在这边告了一个小窍门。这个n+m和n-m这两个数，它只它必须是奇偶性相同。为什么呢？因为n+m如果是偶数n-m，它也是偶数，知道吧？如果n+m是奇数n-m，它也是奇数，它两者奇偶性是相同的。

好，为什么两者基础性相同？大家想一想，为什么两个两者基础性相同呢？你琢磨琢磨，因为大家知道n+m。这样等于n-m，再加上一个2m对吧？所以2m是不是一个偶数？对吧，2m是个偶数，不管m是什么数，因为m它乘以二肯定是偶数，如果两个数正好相差一个偶数啊。正好相差这个偶数，

我给大家再写写写好吧，大家想想啊，这n+m。看这个跟n-m正好是不是相差于2m，琢磨琢磨，没听懂的同学想一想。是吧，然后因为2m它肯定是偶数嘛，走不走是不是这样的好，如果要两个数要相差一个偶数。好，那这时候其中一个要是奇数，另外一个肯定也是奇数是吧？除以其中一个是偶数，另外一个它肯定也是偶数，

所以两者基本相同，两者基本相同，那这两个数相乘等于20只能分成两个偶数相乘。不可能分成两个奇数相乘，所以说这里面只有一种情况，这样m就可以求解出来，一个是六，一个是四。n=6 m，就等于四好，那这个mn是唯一。取值啊，未取值的话，所以小明年龄就是能确定对吧，因为它的尾取，

所以小明年龄它是能确，这个答案就选c选项。好答案就写好了，好看这个题是不是懂了？啊，这个有两条线联合式成分的，知道吧？所以这是告诉大家平方数的概念，尤其大家要记住一个结论，在这里面给大家写上啊，写上就是n+m。与n-m，它的奇偶性是相同的。知道吧，给它写上n+m与n-m，

它的奇偶性。是相同的。好奇偶性呢，是是一样的好吧，这个东西大家要记住。好，下面咱们看一下考项四，好像是整体取值的不定方程。以上咱们讨论的都是单个，比如说讨论x一个或者y一个z一个都是单个变量，它的一个取值情况，这里是讨论整体。整体上，它取取值，大家想想，

真正要取值的话，它比如说这类型的固定方式，它不是。分析某一个量的取值，而是分析某一个表达式整体，它的取值情况。一般呢，要把这个等式通过系数变量转换成不等式啊，要转换成不不等式，然后再讨论也要用整体的思想。知道吧，你不要单个讨论，单个讨论每一个呢，这不好做啊，不好做，

接下来我们看一下这个题。看一下你这个题。这里也是考试真题，有一定的难度。而且这道题运算量对大家来说也是一个挑战，大家读一下这个题，想想这个题，这应该怎么做？那在某次考试中，甲乙丙三个班的评成绩是80，81和八十一点五就三个班的评分告诉我们了。是80，81和八十一点五。三个班的总分是6952，问三个班共有学生多少名？

它这道题不是求某一班儿有多少人知道吧？他问他共有多少人，大家想想。咳咳。但求总共是多少人？好，那接下来咱们来看这个题。这地方我们首先是不是要设甲乙丙三个班的人数啊？甲班人数x人乙班人y丙班人数是z。甲班是x，乙班是y，丙班z。好，那三班的总分怎怎么加总分？总分的话，

是不是就80x？加上81y。这样八十一点五z。是不是我给写一下啊？有80 x+81 y八十一点儿五z，这等于总分你知道吧？总分那大家想是不是等于6952啊？都思考一下。都听懂没等于6952那做到这，大家可以发现这是一个方程，里面含xy的三个未未知数。如果要讨论每一个量的取值，不好讨论s到底取多少y取多少z取多少，这是不好讨论的。知道吧，

这这道题呢，不好讨论啊。好，那接下来我们看这道题，它应该怎么思考？这是它的思考方法，它让求什么？看它也没让你求is yz，它让求什么？共有多少名学生？它求的是x+y+z。的值到于12是吧？那求的这个是x+y+z的值。只要把x+2+6的值，这个整体求出来，

那这个就可以了，好吧，只要把这个整体求出来就OK了。好，那接下来我们看这个整体怎么求？好，那么第一个方法就把变形成这样一个s+y加加z来是吧？第一种情况变形一下。好，那怎么变形？我们来看看。怎么变形呢？我们把这个呢都把它变成80，变成比较小的好吧，有的把变成80x80y。

加上八是z是吧？懂了吧？变八是s8是y+8是z好，大家想想，如果都把系数变小了。听懂没看这个y的系数，把它变成80z的系数，也把它变成80都变小了，都变小，它应该是比原来这个数要小的。小于六九五二。是吧，是不是小于六九五二想想？这样两边同除以80就可以得到x+y+z小于八十分之六九五二是吧？这样就推出来了啊，

给大家写一下x+2+z小于六九五二，除以80好写好了。这样呢，我们再看，如果把这系数都给它变大一点。把系数都变最大了，变八十一点儿五不要变中间啊，如果要变中间的话，你就不知道它比六九五二大还是小了好吧，所以都把它变大了，变大就八十一点儿五x+81点儿5y。加上八十一点五z，想想是不是这回事啊？这八十一点五x。加八十一点五y。

然后八十一点五z，它应该是比原来的六九五二要大。好，这样就可以推出。x+y+z应该大于六九五二，除以个八十一点五。对吧，就s+y+z大于六九五二，除以八十一点五好这样的特征。然后这样就可以把x+2+z的范围写出来，所以做到这大家要知道它原来是一个等式，现在呢，变成一个不等式。对吧，变成一个不等式，

变成不等式，然后这样就好做一点。好，这个看大家懂了没有？然后这样就可以把s+2+z写x+2+z就取整啊，这个取整算了就选择b好吧？这呢，就是选的b选项。好，这是一个方法。大家看懂了没有是吧？这个你自己去解一解，把s+2+z在x+2+z这个值的范围里面，它要找整数啊，因为它这个人数都是整数，

知道吧，要找这个整数方法来分析。好，那接下来这道题还有另外一个方法，另外一个方法。列方法要用余数的关系来做好吧，大家前面学过就被除数。就等于除数乘以商加余数是吧？所以在这里面我都把它变成80。都变80z81y和八十一点儿五z都把变80啊，变成80倍的x+y+z。80倍的x+y+z。加上。y+1点五倍的z。是吧，

就加上一个y+1点五倍的z。好，这样的一个特征，这特征以后大家可以看到，那这个就可以把它变成被除，等于除数乘以商，再加上余数。这样的听懂了吧，所以有同学是用第二方法做，就有同学在考场，可能想不到是吧，想不到啊，所以这样我们就把它看成倍数，就等于除数。乘以商再加上余余数好吧，

这个就相当于是商。这个是一个余余余数。知道吧，这就是一个商。跟余数。好，那有同学说怎么求这个商跟余数呢？大家想想咱们小学就学过就六九五二一个竖式除法除以。80你上一个商是吧？就六九五二÷80，所以大家看商上多少商上完正好是86。你自己上啊，这个这个我就省略上一个。86。这个点儿点儿省略省略，

然后最后余留余留下来是多少不用管它好吧，就余余余多少这个不用管它，反正余余的数就y+1点5z。反正他又没让我们求这个y跟z的值，你不用管它，所以这个得到八六点几那答案就写好了。好，这方法二也可以是吧？好了，这是考察这个不定方程，它的这几个常考内容。

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