2-07集合问题

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:33:23

啊，今天咱们学习应用题呃，几个比较难的也是比较重要的模块儿啊，所以后面几个模块儿呢，相对来说大家呢呃，做题容易出错。所以希望大家把后面几个模块儿呢，一定要好好多看一看，然后多巩固和掌握它的考试要点方法好，那接下来大家翻开书，我们来看一下。呃二杠零七集合问题。好，这个集合它的一个考法。好，

那么集合这个知识点，它考题呢，一方面要理解它公式，另一方面大家要知道它每个区域的含义。而且在咱们呃刚考过的这真题里面，第一个题又考了集合问题，而且集合呢，也可以跟至少至多相结合来进行考察。那么之合呃集合呃，它可以把它转换成面积来分析每一块图形的面积代表的含义来求解。好，接下来咱们来看一下啊，这个两个集合，两个集合呢，要容易点啊，

大家看一下两个集合，两个集合，那首先它可以按照它的区域。按照属性来划分，按照属性属性的话，就是它落在什么样的区域啊？那么就来。呃，看它这个表示什么样的数据好，我们来看一下a交b，看一下这个图啊a交b。好，那么这个a和b那么这个画了一个图，我们接下来来看一下它表达的含义好，那这一块儿左边这一块儿只表示。

只参加a的啊，左边这一块儿，然后中间这一块儿代表AB都参加的。然后右边代表只参加b的。然后还有两个圈儿，外面的部分就代表AB，它都没参加的，两个它都没参加好，这是它的这个整个区域的含义。那接下来我们来看一下公式，公式的话就a并b好a，并BA并b就可以写成a+b，减掉a交b。那也可以等于欧米伽减aac交BC。好，

那在这里我们看一下这个a并b它的这个含义啊a并b好a并b的话，那在这里面我们看一下它的特征。a并b代表什么含义呢？代表参加的人数啊，所以大家知道要a并b的含义啊，要代表是参加的人数，不管参加a。还参加b啊，还有两个都参加啊，所以这个a并不代表是参加的人数。好，这是a并b它的这个特征，然后等于a+b就代表参加a的人数，加参加b的人数，减掉a交b就代表它多算的啊a交b就代表两个都参加的。

也可以等于整整体的，然后减去，然后两个都不参加的啊AC交BC两个都不参加的。好，这两个集合它的这个特征好，那接下来我们还可以按照区域来进行划分，按照区域。好，按照区域来划分，我们来看一下它的特征，它可以按照参加数量好吧，参加这个数量好，那参加数量的话，比如说它有参加一项的。啊，

有参加两项的是吧？所以在这里面它有参加一项，还有参加两项，还有这样的特征。好，那接下来我们看测下一项，测下一项，它有两个区域啊，它不是一个区域，所以它跨区了，知道吧，所以按照区域分它的最大的点就是跨区，给大家先写一下好吧，它叫跨区了。什么是跨区域？

它跨了不同的区域啊，跨区域，比如说参加一项的，它是包含了这个两部分。好吧，参加一项的包含了两部分，然后左边一部分只参加a的和右边只参加b的啊，这是参加一项的，那还有参加两项的。就中间这块儿代表参加两项，还有都没参加的啊，两都不参加。好它公式就等于全级，就是全体的人数就等于参加一项的加参加两项加参都没参加的啊，参加一项加参加两项，

这样都没参加的。好，那这是按照区域划分它的这个特征。然后接下来我们就来看一下那么两个集合，它的这个考试的这个题目啊，做一下题好那么没做的同学现在赶紧。做一做思考一下啊，然后做完同学想想这道题，那么应该选什么答案，大家听过的同学都可以思考一下啊。想想一想。好，那么考项一按照它的属性。所以，落在区域的属性来进行划分的好，

那它呢，是先画图，然后再结合公式，然后套着公式来分析和求解。好，那接下来大家做一下这个题。好看看大家做完没有，没做完同学抓紧思考一下。然后大家要在言论纸上把这个图画出来画出来，然后在图上标注出来，标出来以后我们呢，就可以根据它的公式特征，然后求答案。好，我们来看一下这个题，

某单位有90人，72人参加计算机，然后65人参加外语。好，那这是每个圈儿，它的人数好，参加外语而未参加计算机的有八个人，那这八个人也可以把它理解成什么？理解成只参加外语的。就说只参加外语，没参加计算机的人数好吧，有八个人好，那这道题问参加了外计算机，而没参加外语培训人数。参加计算机没参加外语就代表是什么？

代表是只参加计算机的人数到底多少人好，那么做完这道题，我们可以把这道题呢举一反三，都给大家进行改一改。让大家全方位的来掌握它的考试的命题的问法。好，大家思考一下啊，没做完的同学抓紧思考，我们来看画一个图。好，首先给大家画一个图。好，那总共呢是90人。啊，有同学已经已经做完了是吧？

所以总共是是90人。好，那么90就代表全体的人数，其中72人参加计算机好，我们画一个圈。代表是计算机的。他这72人。好，然后呢？外语是65人好，再画一个外语，讲这六六六十五人。好，这是外语的。好，

那接下来我们来看他参加计算机啊，参加外语而未参加计算机的这八个人怎么写好？那八个人应该写在这边。是吧，所以写的就参加了外语啊，而未参加计算机的是吧啊，所以在这里面啊，这个参加外语而没参加计计算机的。我们可以把它写在这边。参加了外语而没参加计计算机的好，这写好了像那如果这道题多设置几问，看大家会不会分析那第一问，比如说问他两个都参加的有多少人？大家会求都参加的，所以学习集合这块儿，

大家不要死记公式，要会看各区域的，它的数量，面积，关系知道吧，所以集合你把它看成每个区域的面积。好，所以第一问，如果要求都参加的。好，那么都参加的话，大家可以拿这个65减掉八。好看，这个懂了吧啊，所以都参加了，

就拿65减了八=57好，这样就写好了好，这都参加的人数。然后接下来我们看给大家设置第二问，第二问的话就代表是什么呢？代表是只参加计算机的，就这道题问的啊，只参加计算机的。好，第二问。只参加计算机的有多少人是吧？就只参加计计算机的这个人数好，那只参加计算机的。那在这里面，我们来看它的这个情况。

好，只剩下计算机的就用72。减掉57，看是不是这样的72减掉57，因为大家知道中间这块儿就是57嘛，中间这块儿是。57是吧？然后要求参加计算机的有多少人？只参加计算机的，那就用72这个圈儿减到57。这样就得到他正好是15人。那这道题这个答案就选择的是e选项，答案就写出来了，如果第三问再增加一份，大家都思考一下，

增加一份。有专家们都没参加的。好问都没参加人数到底是多少？看都思考一下啊，听课同学大家都可以回答一下啊，问都没参加人数。啊，都没参参加都没参加，那怎么办呢？大家可以用90这时候如果问都没参加的时候，那么90这个条件用上了呃，刚才这个题90这个条件它没用上，知道吧？所以它是没用上，这时候我们可以用90减去。

参加人数参加人数，我们可以用72和八来表示。这样算起来就等于十个人。噢，看各位同学算的是不是对的啊？好好几个同学已经算出来了是吧？只有十个人好，这道题大家要会算都参加的，只参加某一项的。或者都没参加人数，大家一定要会分析和思考好了，这是这个题目看懂了没有？好，那接下来我们来看这个题。这个题是按照区域划分，

按照区域划分，它主要是按照参加的数量。来划分的按照参加数量，而且它分为只参加一项，还有只参加两项的，按按照这个。参加项数来划分，而且这时候注意它是跨区了。尤其三个集合，那么更难一点，知道吧，咱们看两个集合的这个题，这题它还是某单位有90人。其中72人参加计算机，65人参加外语，

有五个人未参加任何一项考试，问恰参加一项的人数到底是多少人？好，大家思考这个题。大家想一想，这个题应该怎么做呢啊？画画图。好看，有没有同学做出答案来啊？没做完的同学抓紧思考。好，这个总共是90人对吧？然后有72人参加计算机好，我们来给大家写写画一个图。好，

总共是90人，90人，然后72人参加计算机。好，72人参加计算机好，那么这个计算机呢？就72个人。好，然后外语呢是65个人跟上个题差不多。好外语是65人，他有五个人没参加任何一项培训，那说明外面应该是五个人。就没有参加任何一项培训，他问恰参加一项培训人有多少人？当然，

这里也可以问两项都参加人有多少人？好吧，所以这个都可以啊，都可以，那接下来我们来看这怎么做这个等量关系怎么找？好是等量关系，它让求那么恰。参加一项的培训人数，恰参加一项培训人数呢？在图上，咱们可以画出来。好，大家第一步，我可以先求出两项都参加人数好吧，所以第一步，

大家先求出两都参加人数，看看会不会分析啊？那么都参加的。有没有同学说上答案来，想想两都都参加的。好两周参加，有同学已经写出来了是吧啊？做的非常好啊，两参参加是52个人都参加的好，那52个人都参加，那我们怎么去进行？求解呢，我们这样做好用。90还有72，65，

那么这些数据来进行分析知知道吧，所以用它已知条件。那中间都参都没参参加到，你可以这样去思考，就是中间如果设为x的话。你可以这样列式也行，就72+65-x=90-5这样列也可以。对吧，然后这s就等于52。好x就求解出来，它正好就是52，这样就写好了。好s值求出来52，好52个人，他都是呃，

这个两个都参加了，好那要求。只参加一项的，我们看只只参加一项，那怎么求解呢？只参加一项的。啊，他要参加一项。好，那参加一项，那应该怎么写呢？想想参加参加一项怎么列？参加一项，你可以用90啊，减减去五，

然后再再减掉这个这个这个52中间这一块儿。是吧，然后住中间那块，那这样就OK了是吧？所以你可以用90。减掉五再减掉52。好看看大家。是不是听懂了？好吧，所以这样大家呢，就可以写出就等于33是不是？大家做完没有这个呢？就选择的是d选项，答案就写出来了。好，

那大家发现我们做这个题根本没有呃，死搬硬套公式是不是？所以大家呢，都是观察这个图，看这几块儿区域，它的特征是吧，然后每块儿区域的特征，然后呢，和面积的关系。然后来分析好看这个懂了没有？那么然后咱们再看一下，然后这个题某单位有职工40个人啊，总共它有40个人啊，这是它总总人数。其中，

参加计算机的有31，参加外语的有20有八，个人没参加任何一啊一种考核，求同参加。两项考核的到底有多少人？好，那这道题大家想想一想好，如果这道题要比较熟练的话，因为刚才你做过一个题了是吧？如果这道题要比较熟练的话，大家也可以直接。然后写答案，这样也行是吧？直接写答案就不用再画图了，那有同学已经比较熟了，

直接就可以把答案写出来。是吧，然后就可以设都参加的人数有s个人。啊，那这时候我们怎么列呢？想想想就给写成31，加上20-x=40-8。好吧，这样就写出来了。啊，那么大家看懂了没有？就31+20-x代表是参加人数就等于40减掉八。好那x得到19人是吧？这道题我就不再画图了吧啊，应该比较简单好吧，

所以两个集合，那么就这些问法看懂了没有？好两个集合的不是很难。好，如果没有问题，咱们下面来学习三个集合的好吧，三个集合的要难一些啊，三个集合的。三集合，它就相当于是呃圈儿要多一点啊，我们首先来看第一个按照属性来划分，就按照区域。它落在什么区域来进行划分？划分那么a并并c，它可以写成a+b+c，

然后减掉这个a交BB交CA交c。写上这些，然后再加上a交b交c。好，那这个公式我想大家背的都非常熟，但是呢，你必须得真正知道它的含义，知道吧，真正知道这个公式的含义。好，大家要注意，是这个a交b就中间这一块儿，我给大家画上这大家容易错的点好吧，就中间这一块儿，大家特别容易错的。

你看图可以发现这个a交b。你看一下啊，这个a交b。它这样包括什么呢？包括两块儿区看一下a交b，它这样包括的是两块儿区啊AA交b。它包括的是两块儿，知道吧？我们看一下图a交b就就是这。这些就代表是a交b。所以a交b呢，它包含两块儿区域，不要当做不要认为啊，认为a交b它只参加a和b有同学以为a交b又代表只参加a和b。不是，

它还包括三个都参加的，知道吧，所以a+b它包含了区域，包含了两部分，一个是只参加AB的。只参加AB的情况，只参加AB的还有一个就都参加的。都参加情况是吧？就只参加AB的和他都参加的情况啊，这样的内容。好吧，只有三个都都参加，你可以。看看是不是这样的啊，就是a交b还包括那么这两块儿区域，

同样道理，那b交c也包含两块儿啊，所以我就不在一起了a交c也包含两块儿。所以很多同学在套公的时候，那这一块就套错了。然后接下来我们来看，最后为什么要加上一个a交不交c知道吧？为什么要最后要加一个a交不交c？因为大家知道前面这个a。前面这个a的话，它是包含四块儿区域的啊，就a它也包含中间的a交b交c知道吧，所以a它也包含中间的a交b交cb呢，它也包含a交b交CC也包含a交b。交税所以中间这个心儿是a+b+c算了三遍，

知道吧？就a交不交税就中心点。中心这一块区域，那么a+bic算了三遍，懂了吧？正好算了三遍算三遍，然后呢？再减了a交BB交CA交c又减了三遍。所以算了三遍，又减了三遍，所以相当于中间这块儿区域，它正好就减完了，知道吧？中间这块儿区域，它正好就减没了。

前面，然后最后再加上a交b交c。再加上一个a交b交c这样的情况。好吧，然后再看，再加上a交尾去交税，就是中间这一块儿，再加上一次好了，那这是它的公式的含义。然后再看最后AB变c还可以等于什么呢？等于这个欧米伽就是全几啊，全体减掉。a非交b和交c位a非交b和交c代表都没参加的部分。好吧，代表都没参加的区域。

好在图上大家还可以看出呃，这个a它分为只包含a的，还有是包含AB的。包含AC的和三个都包含了是吧？所以a这块儿进行看看它只包含a的，还有AB包含AB的，还有包含AC的，还有AA交不交c？中间这个芯儿，所以每一个圈儿，它其实有四部分，四部分构成的，懂了吧？另外，在咱们二一年考试的第一个考题，

它就考了三个圈儿。三个圈本身不难，那道题为什么有同学没做好？它考察了一个至少至多问题。那制造出的问题，我们怎么分析呢？就根据它的面积来分析知道吧？比如说根据它某一块儿的面积情况，它变大还是变小？变化，然后呢，来分析它最大或者最少多少，如果要问某一块儿至少多少人让这块儿面积越小越好。如果问某一块儿至多多少多少人让这块儿面积越大越好，好吧，

所以就根据它的面积的大小来分析。至少至多问题啊，所以这是给大家强调的这个知识点。接下来我们再看按照区域划分，按照区域划分也叫做按照参加数量来划分，如果按照参加数量来划分的话，那么它在这里面会出现跨区。会出现跨区。啊，什么叫出现跨区呢？比如说参加一项的，它包含了这几个区域是吧？参加一项的。它包含了三个区域，你看看图是吧？

参加一项的，它包含了三个，它不是一个，它跨越了三个区域，这三个区域合在一起，它才叫参加一项的。对吧，那么参加两项，大家可以看它是也是包含了三个区是吧，所以参加两项看图，它也包含三个区，然后中间是三个。三项都参加的。然后这个圈儿外面就代表他都没参加的，看各位同学是否听懂了，

那接下来我们看对应的公式。对应公式好，那么全集就全集就代表全体人数，现在就可以等于什么参加一项的加参加两项，再加参加三项的，然后再加上外面都没参加的。就是有没参加的，有只参加一项的，有只参加两项，有三个都参加的，把这些人数加在一起，就是全体人数。是吧，全几就写好了。然后咱们再看a bbc a bbc呃和a+b+c，

最后这两个公式区别一定要弄清楚啊，别弄混淆了好吧。这两个区别就AB变c，它等于参加一项加参加两项加参加三项的。这个a bbc代表什么呀？代表参加人数，参加人数这里面。它的特能是名字，不能有重复。听懂了，比如张同学，不管你参加几项，那a bbc它这个里面张同学名字只出现一次，它不能出现重复，明白吧，

然后a+b+CA+b+c的话，那这也不一样。a+2+c的话，它这个。为什么这块儿要乘以二，这块儿要乘以三呢？我给大家强调一下这块儿，它又包含了这个重复的人。包含了重复的知道吧，比如说呃，如果张同学参加两项参加两项，我说比如说张同学参加AB两项啊，我说参加a的同学举举个手，那张同学举个手。参加b的举手，

张同学又举了手，所以张同学举了两次手，所以这就是a+b，加c它的含义。好吧好，然后这个一定要能够区分啊，在咱们评注里面写了能够区分a bbc和a+b+c两者的。区别不要混淆了。好吧，所以在这里面大家注意参加三项呢，它要乘以三重复了三次，另外这里面还有一个注意的问题，大家不要出错，注意的问题a交易表示两块儿区啊。比如两块记在记只参加a和b的，

还有三个都参加的。它包含这两块区域，看各位同学是否懂了。接下来咱们看一下集合这块儿考试解读，考试解读属于常常考的常规题目啊，然后呢，对三个集合就难度大一点，知道吧，所以需要知道这两种模型。还有它的图之间的关系好吧啊，难点就在于什么在区分a并变c和a+b+c。好易错点又在于a交b不要理解成只参加AB的人，它还包括三项都参加人好吧，所以在这里面大家呢，要知道啊。

好，那接下来咱们就做一下三个集合的题目好吧，三个集合，到时候画图，然后呢来分析。好，大家做一下你这个题。好没做的同学，现在抓紧思考画画图，想想好这个题选什么答案，它课外学科小组分为数学，语文，外语三个小组。它分为这三个小组的。数学，

语文，外语，它分为三个小组。然后参加数学的有23个人，参加语文的有27个人，参加外语的有18个人。啊，同时参加数学语文的两个小组，它有四个人。这是同时参加，然后同时参加数学外语的有七个人，同时参加语文。外语的有五个人，三个小组都参加，有两个人，

这三个小组他都参加了，就也是有两个人。好问这个，这个年参加的人数到底有多少人？参加的人数。好吧，那接下来，然后大家思考这道题应该怎么做，都想一想。没做的同学抓紧思考。好，有没有同学做完了同学？啊，想想这道题，这才考了三个圈。

当这道题还可以问什么问，只参加两个小组多少人？听到没？还可以问，只参加两个小组的有多少人？好看，大家会不会分析好那这道题大家可以都思考一下画图？好，大家想想。画图做是不是？然后这个呢？是数学的。好，这个是语文的。好，

大家没做完的同学抓紧思考。好，下一个是外语的。好外语有同学已经做完了是吧？好外语他参加数学有23个人。然后语文呢，有27个人。外语的有18个人好了，那这是它的人数标的出来，同时参加数学语文的同时参加数学语文的这第二行这句话，它代表是a交b。知道吧a教b啊，同时参加数学语文的，不要理解，不是这道题，

不是只参加数学语文，所以有同学以为这个同时参加数学语文的。它有理解成，只参加数学和语文的了啊，所以在这里面这代表a交b知道吧？a交b啊，所以说这道题就相当于是同时参加数学语文的代表a交b。a交b它是等于四同时参加数学外语的，又代表了b交c=7知道吧？就这个a交b。和b交c。好同时参加数学语文的就是a教c。啊，就a交c它为四这个写好了。好啊，

这个哎五是吧？哎AA幺c是五就同时参加语文和外语的是五个人。对吧，好是五个人好，这个写好了，好写好，接下来我们就可以套这个这个公式了。是吧，套公式三个都参加的，就a交b交c。它就等于二。好，那有同学已经做完了是吧？那接下来我们套哪个公式啊？这道题做完我还要给大家增加一问啊，

问只参加两项的，看各位同学会不会思考，做完同学可以回答一下，那么只参加两项。只参加两个小组人数到底有多少人，大家都可以思考一下啊。好，那这道题我们套公式套公式可以套ABB BC。啊，就可以套公式啊。a并并c，然后就等于a就参加这个语文的数学的都给它加了几23，加上27。加上18。听听懂没？

就23+27+18。然后减。啊减两两三减四减七减五又减四减七减五，好这样的情况。是吧，然后再加上一个二。再加二好，这算完后，那么就等于54是吧？所以原来这刚才这个题答案就选的是54选b选项。啊，那这是它的这个方法。好，那接下来我们给大家再增加一份，只参加两项的人数啊，

就只参加两项。啊，只参加两项，大家没做完的同学抓紧思考啊，只参加两项。只剩下两项的话，那这时候怎么办呢？就是四减二。加上七减二，加上五减二，这就可以了啊，就四减二加七减二，加上五减二。啊，这样的特征。

好吧，所以说在这里面应该是二+3。加五=10。好吧，它这个正好就为十这个写好了，好看这个懂懂了没啊？它正好它就为十啊，这是它的做题的方法。好，那这道题大家呢？要知道它的这个内容就是我们在做这些题的时候，一定要知道同时参加它的这个做法。当然，这里还可以改，知道吧改，

比如说把同时改成止，那么做法又不一样啊。比如这道题，感叹只参加数学语文的有四个人，只参加数学外语有七个人，那这时候呢？做的时候这公司呢？要做一下变化的啊。这个变化别给写错了好吧？好，这个懂了没有？如果懂了问我再增加一份好不好？我看大家大多数同学做的还行，我再增加一份，这样我问。

那么，只参加一项的有多少人？大家做做这个题好不好？只参加一项的啊，大家都加油思考好吧，各位同学，加油啊。只参加一项的。大家抓紧想想啊，只参加一项。才有几个人。有没有同学做出来只参加一项的，看看怎么做对？只参加一项的，有同学用20+14+8。

是吧，那20+14+8就代表它每每个圈，然后呢，你就是减减一减。对吧，减减得到42，这样就可以写出来啊，所以就可以写成就20加上十十四+8就把啊，外面这些都代表只参加一项的。懂了吧，就外面这些给它换了，这些都代表只参加一项的。好，这单一项，你看它的这个图，

刚才咱们已经说出来，只剩下两项，有十个人嘛，然后呢，中间这一块儿呢？是也是两个人是吧？只剩下两项十个人，中间那块儿是两个人，所以说那个四除了用20+14+8那个列之外。还可以，怎么做呢？还可以用咱们就是23。加上27+18，反正这个列的方法有多了啊，23+27+18。

然后减去减减去中间的减去参加两项的人乘以二。然后再减参加三项人乘以三。好，这样也可以知道吧，所以这样啊，也是可可以的，算的都等于42。有这做法有很多种了是吧？完了，这个你根据它的数值都可以写好，那么这样的这一个题大家掌握的非常全面。好吧，对，当然也可以用54-12也可以是吧？所以有同学说或者说用54-12，

这也行啊，同学们注意用54，因为咱们刚才已经求出来了54。然后减掉这个12，这样也可以一样的啊，大家都非常聪明，做的都都对好了，那这是呃，强调这个方法。啊，54-12也等于42好吧，所以错的答案是对的啊，好了，那这是给大家讲的79下面咱们看以这个题。他说，

学校对100名同学进行调查好，大家看看，然后有58人喜欢看球赛。有38人喜欢看这个戏剧。然后有52人喜欢看电影。好，另外还知道。既喜欢看球赛，又喜欢看戏剧括号，但不喜欢看电影，其实这句话可以把它等价描述成。只喜欢看球赛和戏剧。就只喜欢这两项。的有六个人。然后既喜欢看电影，

又喜欢看戏剧的，但不喜欢看球赛，四个人剩下都喜欢的有12个人。问，只喜欢看电影有多少人括号假定那个人至少得喜欢一项就相当不存在三项都不喜欢的人？有不存在这样的好，那各位同学思考一下，应该怎么去求解？好，大家想想应该怎么求解呢？好，我们来画个图好吧？画一个图来看，这道题可以设置好几问是吧？比如说喜欢两项的，

有多少人是吧？等等的啊，所以这道题它也可以呃。举一反三，大家可以发散思维，把多改几分，这样的话，大家掌握的更加全面一点，知道吧？好，那接下来我们来看这个题，大家都思考一下，总共是100个同学。因为它因为它括号说了，最后说了假定每人至至少喜欢一项，

每人至少喜欢一项，就说明这100个人他不存在。都没喜欢的人。对吧，好，那接下来我们画一个图。好没做的同学抓紧思考。啊，随便画一下图。好那么假如这个是球赛的。这个是球赛的，这是58个人。好，那这个是戏剧的。只要38个人。

好，那这边呢？是电影的假设是52个人。好，有没有同学做完做快的同学看做完没有？那他既喜欢看球赛，又喜欢看戏剧的，但不喜欢看电影，六个人，这六个人是。写在这是吧？六个人画在这就行了。然后另外还知道既喜欢。看电影又喜欢看戏剧，电跟戏剧的，

然后只有四个人电跟戏剧。电影跟戏剧它只有这四个人，三种都喜欢的是12个人。这种都喜欢是12个人问，只喜欢看电影儿，有多少人只喜欢看电影儿的，就这一块儿。是多少人好，这里还可以问，只喜欢啊，戏剧的有多少人是吧，然后等等，反正这个不管怎么问，大家都要会分析和思考，反正总共呢是100个人。

这里还可以让大家求什么求，比如说只喜欢两项的人数到底有多少人好，那有同学已经做完了是吧？做的答案就22啊，有同学已经做完了。那其他同学没做完的同学抓紧做啊，没做完的同学抓紧思考。快来想想，想一想好吧，然后大家思考一下啊，所以这道题这里还可以问还还可以求什么？就比如说就是只喜欢球赛跟电影。不喜欢其他人数，反正这道题你自己可以把可以把这些图上的每个区域都给它写出来，知道吧，

就是每个区域都给它写出来，所以大家呢，可以练习一下，都把它写一写好吧。这样的话，大家锻炼的更更充分一点好吧，更详细点，比如问只喜欢看戏剧的这块儿这块儿这块儿的话，你就可以用这个38。然后减去。12-6再减去四，就可以把这块求解出来是吧？然后这样得到16哎，有同学已经说的非常好，这块儿就就16个人是吧，

然后这样就写出来了，那接下来比如说问那么。喜欢只喜欢球赛和电影儿的，只喜欢球赛和电影儿就就这一小块儿都要知道大家会不会求呢？是吧？然后看这怎么去求解呢？想想它的方法是吧，所以在这里面大家呢，就可以看图来进行做。好吧，然后看图来进行解好，那大家能不能告诉我，我说假如这块儿是x，大家能不能告诉我谁求的快x等于多少呢？x这一块儿是吧？

这块儿有同学已经求求解出来了是吧？14是吧？好做的非常非常好好，那这十怎么求呢？用100嘛？用100用100去求，知道吧，所以这100就等于。啊，等于这个58+38，58+38+42，然后再减知道吧？你想想要减什么？是吧，要减一个内容，

那减掉什么呢？减掉这个六算了。这个两遍要要减掉个六是吧？这要减掉一个六。再减了一个四，再减了一个x。然后再减去一个12×2就中间算了三遍，再减12×2是吧？就看这个是大家听懂没有啊？就是58这个圈儿。加38这个圈儿，加52这个圈儿，然后呢，减掉重复算的六四。还有x，

然后再减中间12，中间12这些算了三遍啊，中间这12算了三遍，所以要减掉两遍。这样就行了。好，那这是它这个情况，然后这个x就得到14是吧？这有同学已经解出来了。好s得到是14，这样就写好了，好s=14，这里还可以算出什么？只喜欢看球赛人数。啊，

这道题也可以求出，只喜欢看电影人数，只喜欢看电影这个问号，这问号就拿52减掉14，再减掉12，再减掉四。是吧，得到就22人好吧，所以这个问号怎么写的就52减掉14减掉12，再减掉个四。那这样就得到22人。是吧，52就这个问号去说怎么写啊？52-14-12-4得到22，看这个懂了没有？

所以问号这个的话就22个人。还要等于22个人好，那么如果要问什么呢？这个s就等于14啊。x得到就是14个人。啊s14然后呢？如果问只喜欢看球赛多少人，那么用58减掉六减掉14再减掉12。就可以了好吧，然后在这里面大家呢，要注意它的这个特征好，那这样我们就可以写出它的值那36有同学已经算出来了是吧？啊算算算的非常快啊，这36人。30个人好，

你为什么要加上三个都喜欢人数啊？你加上三个都喜欢人数，那不就重复了吗？你加上三个都喜欢人数，所以有同学问呃，最后这个不是为什么不加上加上呢？完了反而算的更多，这里面已经重复了三遍。你再加上不就算了四遍吗？是吧？人家已经已经算了三遍了，你还要往往上加。那你你你嫌重复的还不够多吗？是吧，所以在这里面大家呢，

注意为什么呢？因为这里面有同学老师，你这个跟刚才公式不一样，刚才咱们前面写的这个公式不是加上一个。你看有同学说不是这个公式，是加上一个a交b。教教什么老师用的不是这个公式，老师用的不是这个。公式知道吧？用的不是这个公式。那有同学说老师你用的是哪个公式啊？你用哪个公式都不是，如果你非要记公式的话，那那那这个就不能学的太死板，知道吧？

因为在这里面这a并b并c。它等于a+b+c。然后那么减去。我可以把这公式给写一下好吧，如果非要写公式的话。就减去只参加AB的。再减去只参加AC的。再减只参加BC的。再减去都参加的乘以二。后面要乘以二啊，都参加的。乘以二好吧，如果啊，你非要写公式吧，老师呢？

可以这样写，那有同学说为什么这个工程跟上个工程不一样，因为什么，因为上面这个a交b。a交BA交b，它包括什么？包括只参加AB的和都。都参加的，知道吧，所以这个就懂了啊a交给它，包括只参加AB的和都参加的。知道吧，然后b交c它也是包括只剩下AB和都参加的a交c也包括只剩下AB和都参加的，你自己在银行纸上，你把括号给它打开。

括号打开以后，你可以发现这个这中间这个减号减掉减掉了三个都参加的是吧？减掉三因为它这个a交BB交CA交c它里面都包含了，都参加的是不是这个减号？中间这个减号减去了三个，都参加三个都参加，最后再加上一个都参加的，你看减三个再加一个。是不是相当于减两个？是不是老师刚才写的就减都参加乘以二是不是这样的，所以这样乘以二这样懂了吧？就减都参加乘以二。这样可以了啊，好看，刚刚这个同学是不是明明白了？

好吧，明白了，那刚才咱们这个这个所有的区域都给它填好了，看懂没有？所以说你看例八是这个每块儿区域都给它填好了，懂了吧？填好当然还可以求什么？求只喜欢一项的人数啊，我就不再改了好吧，只喜欢一项的时候你就拿这个36+16再加二二十二就行了。好吧，还可以问，只喜欢两项人数，只喜欢两项人数，就拿六+14，

再加上四六+14，再加四就行了。好吧，所以你像老师应该把几何给你讲的非常非常的详细了，就怕啊，像类似于咱们二一年考试里面出现的那个题目一样是吧，大家别再丢分儿了啊。好，那接下来咱们看按照区域划分，按照区域划分，大家注意它是它是跨区的，知道吧？其实刚才咱们在做题的时候，其实已经训练过了，知道吧，

已经训练过了，比如说只参加一项的，那么它是跨了好几个区。好吧，那接下来咱们就直接做一下题目好吧，做下题目看这个题，然后没做的同学抓紧思考。好，这道题它给的是本科毕业证，计算机证，汽车驾驶证，分别是130，110和90。好吧，然后有130，

110和90好，大家知道只有一种证人数是140，三种期间人数是30。问，check双证人数到底是多少人？好，那问算的时候到底有几个好，大家想想这道题应该怎么做？好，那这个题大家呢？如果熟练的话，可以不用再画图了，这道题其实就可以不画图，比如说你很熟了，这个图在大脑里就可以想象出来。

这就不用再画图了，大家琢磨琢磨是吧？那接下来我们来看一下。那这道题这里我们用哪个公式知道吧？我们把这公式写下，有同学非要想写公式，那我给你写写。我给大家提示一下a+b+c。它等于参加一项的。加参加两项的。乘以二。加参加三项，乘以三。好，那这一块儿好吧，

好看这道题有没有同学做出答案来？好吧，都思考一下，看有没有同学做出答案来？对比较熟悉的话，那这道题就直接可以求出它这道题求的是只参加两项人数就求问号这一块儿，求问号这一块儿你直接可以用什么用a+b+c？减掉参加一项的，减掉参加三项乘以三，然后再除以二，这样做也可以是吧？有同学呢，就呃思考的非常好，好吧，这个参加两项的。

我们就直接可以写成写成就是啊，130。加110+90-30×3，然后再除以二好吧，你看有几个同学都给写好了。是不是然后在这里面大家注意还要减一个？140是吧？还有三个都参加的。给130+110+90。减掉140，减了140，就代表参加一项的，对吧？然后再减去30×3，然后再除以二，

这样得到答案就等于50。好这个呢，应该选择的是b选项，好看这个题懂了没有？这个大家听完收获就是要知道，如果要分别每一个的数都知道，那么就用a+b+c来做。好吧a+b+c这个做就行了啊，一定要它能够区分清楚啊，区分清楚a并b并c。再写ABB BC。啊，等于参加一项加参加两项加参加三项，这时候就不用再乘以倍数了啊，就a并b并c。

现在参加一项加参加两项加参加三项好吧，这样的特征看懂了没有？好，这道题就选择b选项好，下面呢，大家再做这个题都思考一下。好，那这个题也是考的真题啊，有一定难度，大家思考一下这个题。那某班同学参加智力竞赛，共ABC三个题。每题获得零分或者满分，就没有人说得一半儿分儿，知道吧？

没有人说他，只得一半儿分儿。好竞赛结果呢，是没有人得零分。也说没有出现什么三题都答错的人。就相当于三个都不参加的人，三个都答错的人是没有的好，它就告诉我们三题全答对的人，有一个人。然后答对两题的有15个人。答对两题的有15人，那么答对a题的人数和答对b题的人数之和是29人。然后后面这25人和二二十人。好没做的同学抓紧思考。好，

那做完同学，大家想想这道题是选什么答案好吧，最后结果是多少？那这里还可以，他又问该班人数。这里还可以问什么？问啊，那么答对？一个题有多少人是吧？孩子们答对一个题有多少人好？那有同学已经做完了是吧？做的非常好。好，那这道题我们看是什么情况？这道题大家注意啊，

就这道题的难点又在于什么？难点在于第二句话应该怎么翻译啊？第二句话就答对a题的人数和答对b题的人数之和。为29人。这个不是a交b啊，很多同学以为这道这个变成a交BA交b是什么情况？a交b是答对a题和答对b题的人数。知道吧，大家注意认认真听，有两个人数啊啊，所以在这边a交b和a+b它的区别啊，同学们看这是答对a题的人数。这样再出现一个人数这个词，答对b级人数。又出现了一个人数，

主要是a+b。a+b啊它。要什么是a交b？我讲讲a交b是答对a题和答对b题的人数，它就一个人数这个词。知道吧，这个懂了吧，有一个人数啊。看是不是明白啊？好，那要区分这样的概念。好，那接下来我们来看一下啊，这道题这道题根据题干就说明什么情况，说明a+b。

就等于29是吧？就a+b。就等于29啊，然后a+c等于二二十五。b+c=20是吧？所以大家看第一步是不是动了啊？然后b+c。等于20啊，这样的特征好，那么通过这个大家可以把这三个方程相加。当然，你也可以把ABC每个解出来，这也可以啊，所以当然咱们这道题不用去解ABC，如果要换一个问法，

你就得去解ABC了，比如说问只答对a题的有多少人？或者只答对b的，或者只答对c的，这时候呢，你就得把ABC每个圈儿都得解出来，然后再画图分析，知道吧，这道题呢，咱不用去解ABC直接。相加相加，除以二就行了，相加除以二就可以得到a+b+c的值。知道吧，因为这三个方程相加，

正好是两个a，两个b，两个c，知道吧，就a+b+c的值。好a+BS的值，它正好就等于29+25+20。除以二好吧，就29+25+20，除以二得到37。好看，这个懂了没有？好，得到了37，然后接下来我们再套哪个公式啊？

再套上一题，刚刚咱们讲过的这个公式。上一个题上一题的就a+b+c这个公式知道吧？就a+b+c，然后等于参加一项加参加两项乘以二加参加三项乘乘以三好用这个公式。懂了吧，所以这道题就用这个公式，可以把只答对一个题的人数给它求解出来啊，所以把公式写上就a+b+c。就得参加一项，加参加两项，加参加三三项的。好，我把公式都给它写好。好，

这样的一个特征，这样特征，然后接下来我们呢，就可以看出它的数值。是吧，然后这样的。好那呃，对有同学也可以用另外一个公式做也行啊，另外一个公式做也可以啊，也可可以我给大家呃，讲完这个给大家说一下，这样用这个公式好处，就刚才我写这个公式可以把参加一项的。就答对一个题的时候给大家求解出来。是吧，

答对一个题的人数给大家求解出来，当然这里面要要要乘以二是吧，所以在这里面啊，要给大家已经着重强调这地方要乘以二，这地方要乘以个三。对吧好，这是它公式好，那接下来我们就可以把答对一个题的人数给它求出来啊，有没有同学把答对一个题的人数给它解解出来？是吧，然后把它求解出来。啊，有没有求求解出来就是有四个人？是吧，四个人好，

这是这是它的一个特征，然后接下来四个人求出来了，它让求的是ABB BC。它这道题要求该班总人数其实求的是欧米伽，知道吧？求该班总人数其实就欧米伽，因为那个呃3d全答错的人没有。设立全差错的人，没有那么这时候总人数只有等于a并b并c了。知道吧，直接等于a并b并c。好，那直接用AB ab bc就答对一个题，加答对两个题，加答对三个题，

然后就等于。这个数。答对一个题是四个人答对两个题呢，正好是15个人答对三个题是一个人。这个得到是20。好，这个答案选a选项，答案就写出来了，好，这是一个做法，好，那么大家还可以用另外一个做法，什么另外一个做法就通过对比这两个公式，你可以发现。通过对比这两个公式啊，

你可以发现一个什么问题呀，就是ABB BC。可以写成a+b+c减去答对两个题的和三个题，乘以二我把这公式写了啊，就a并b并c。也可以写成a+b+c减掉答对两个题的，再减答对三个题，乘以二这样也行，所以就拿这37。减掉答对两个题的是15人，答对三个题的是一个人，这样做也可以。这样算出来，它也等于20。是吧，

这样的话也是可以。是不是所以这道题我就没画图啊，大家想想是不是这样的？所以这个是考试题的一个难度好，通过这几个题应该是全方位的掌握了这个集合的一些基本的考法。那么刚才说了，集合在咱们上次考试真题里面出现的就是至少至多问题，那么至少。制造问题的话，大家呢，就根据它面积的变化情况好吧，所以咱们讲制造制作问题，后面还会再学它的这个特征。好了，那这次集合看是不都懂了，

还有没有什么疑问？

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