2-03路程问题（2）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:31:03

下面咱们看一下。直线最低问题。好两个运动目的在不同地点同时出发，或在同一地点。而不是同时出发，所以它有几个，一个是同时发，但地点是不一样的。地点不一样，或者说它呢，是在同一地点，但是不同的出发，或者在不同地点，又不是同时出发，其实呢其实。

这一问题关键本质是什么？不管是这三种情况啊，总共是我给大家画上圈儿，这是第一种情况。这第二种情况，这是第三种情况。好，第三种情况好，这三种情况，然后在这里面它的关键的本质情况什么本质情况都是在后面这个人出发时，他跟前面的人的具体说好，这是很关键，知道吧？就是后面这个人一动一动的时候，马上开始出发。

啊，预备开始他出发的时候就这个时候它的路程差，这是关键知道吧，关键啊，最基本就在不同地点，比如一个在这儿，一个在这儿，它是同时出发。啊，相当于这样的，还有可能是在同一地点。比如说他们是在同一地点。都在这个地方，都在这个地方，然后但是它不同的出发，

不同的比如说一个先出发，一个先出发，没事儿。先出发几个小时先出发，没事儿，一定是一定要记住啊，后面这个物体一旦出发的时候，一旦开始走的时候，那么一定要看它的路程差，这个是关键。知道吧，或者说在不同地点又不同时出发，比如又是不同地点，又是不同时出发，不同发也没事，

比如说这个人是先出发的。啊，先出二的。啊，或者这个人先说，那这时候呢，又看两个人，第后面这个人开始动的时候跟前面人的距离是多少？好吧，具体多少所以说掌握这样的本质就可以了，好，那也就后面的动作要快，前面速度要慢，在一定时间内，后面追上前面的物体，

这就叫做追击问题。啊，关于时间与路程的关系列方程啊，所列的方程就是速度差，路程差就等于速差乘以时间，其实还是咱们那那句话，最后转化成。路程差除以速速度差，跟前面一样。就不管这个t这个t是不是它们同出啊？这个t代表什么t呢？就后面这个人一旦开始动。那么，它要追上前面的人，所用的时间知道吧？

这是它的这个关系式，一定要理解这样的式子啊。然后这个德尔塔s就代表着后面的人，一动的时候，那么它们两人的路程相差多少，所以它两者的速度差好吧，一定要理解这个，理解这个就不管它怎么绕，这个都不会出错。好，比如说咱们看一下这个题好马，每天走120千米。立马每天走75千米。然后列马先走12天，好马几天能追到它，

这时候呢，它相当于是啊，都是从同同一点。是吧，都从都同同一点同一点，但是呢，它呢，一个先出发，这个烈马先走12天，先先走12天，走12天的时候，这个烈马相当于是走到这儿。找着也就说好马啊，这个一旦。一旦出发的时候，

他们的距离要知道好吧，距离要知道这时候它距离多少，距离相当于列马走12天这个差值，所以就75。乘以12差值，然后再除它数差数差就120-75。好，那这个就很容易去算了，好，那这个就可以算出这是45。15上下约约约，就可以得到它值约约掉一个15嘛，这个很好约掉15，这是五，然后再约掉一个四，

所以就得到20。是吧，这样就可以写出它的数值好看，这个是不是明白了？好吧，这个很容易就可以求它的结果，这个答案应该选择c选项。好，这个大家一定要理解它追击问题，它的本质情况，本质情况就是呃，虽然它出发时间不一样，但是等这个后面这个人一旦。开始走的时候，它们的路程差值是多少？

把这差值找到，然后再除以它们两者的数差，这是考试它的命题的规律和本质要弄清楚。好，接下来咱们看这个题，30题士兵追击一股逃窜的敌人。敌人在早上六点钟开始从甲地以每小时十千米速度向东逃跑，士兵在晚上。22点才接到命令是吧？以每小时30千米速度，那么从乙向东来追击。好那么已知乙在甲的西面啊，乙在甲的西面，甲乙两地相距呢60那市民几个小时可以追上这大家可以发现他们的。出发点不一样，

时间也不一样，这时候大家不要怕，一定要看什么看后面。这个士兵。开始走的时候，它们的差值是多少？一定要抓住这个要害，知道吧？所以大家呢，可以画出图来。然后这个呢，甲乙两地啊，那么咱们假假设这个这个甲地。在这乙地呢啊，乙地在甲的西面甲这边是西吧，

这边是西，然后呢，它正好相距60千米。啊，这相距距离是60千米啊，这两地的距离正好是60这样写好啊，60千米。好，再加一点距距离，然后呢？这个四边呢？向东啊向东，然后这边就是东。啊，这个这个这个敌人在早上六点开始向东啊来进行走是吧？

走那也就说当那个四边。当这个士兵，然后从乙地开始向东来追击的时候，士兵出发的时候，那么这个敌人他。离着士兵距离多少距离，一个是60，另外一个加上一个，他走了啊，从早上六点到晚上22点走了16小时。16小时乘以十就等于160千米。也就说，当这个士兵出发的时候，那么这个士兵跟这个敌人，他已经距离了60，

加上160。知道吧，所以它的t我们就可以算出来这个t注意咱们求的t都是后面这个人的时间啊，以它为为为基准来算。啊，如果问敌人走了多少小时，敌人走了多少小时，还要再加上这16个小时，知道吧？好，那接下来咱们往下写，就是60+160。然后再除以一个它的速度差，速度差，那么士兵的数是30，

敌人数是十，然后这220。是吧，然后除以个20就等于11小时，这个答案应该选的是b选项，当然就求解出来了好。好，这就写出来好，这士兵11小时可以追上。如果问敌人走了几个小时，这是士兵的时间啊，敌人比这个士兵还多，用了16小时，你就是敌人，就是11小时加16小时，

敌人已经走了27小时。知道吧好，这是追击问题，追击问题，各位同学本质掌握住没有？就后面这个人出发的时候一定要看他们两者的距离是多少，然后具体，然后具体除以。它两者速度差就可以求出这个实验t，这个t是谁的t呢？t是后面这个人追上。它需要的时间t好吧，把这个原理本质弄清楚以后，追击问题就不用再害怕了。好，

接下来咱们看一下直线变速问题。变变速运动呢，难度比较大，主要根据它变化前后的时间关系来列等量。啊，咱们这个变数问题呢啊，它又分为一个对象的变数和两个对象变数，那么先说下一个物体的变数，一个物体的变数可以总结公式。比如一辆车，它的变速情况，变速情况啊，它肯定是一辆车在某一段发生变速，它有有可能不是整个发生变速，当然如果。

要整个发生变数的话，那这个比较简单，知道吧，一般咱们就立足一段。比如说前面一段是正常的，到这块发生了变数。知道吧，就前面这段这车正常正常走走啊，正常走到后面这块儿，比如开快了或者开慢了，然后它会产生一个时间。变化你开快了，肯定提前到达，如果开慢的话，那肯定就迟到了，

是不是这样的？所以在这里面我们呢，就是根据这样的一个时间差啊，假设这一段儿的路程是s注意这个s不是全程啊。这个s是发生变化的，这个s就这点儿发生了呃s，然后原来速度是v1t1，现在速度是变成v2t2。好，那么有这几个等量关系好，那么第一个方法一这个等量关系是什么方法？一方法一的话就相当于是路程等量。找呃路程等量，你可以这样路程等量，比如s就等于v1t1也等于v2t2。

是吧，这样的，反正它的路程都一样的，我再强调一下，这个s不是全程的s啊，就发生变化的这段路程。好，这是第一个找这个等量第二个。第二，大家可以找一个时间差是吧？然后找一个这个时间差。啊，时间差什么呢？我们看啊，就有时间差，

时间差的话就相当于是啊，那么这个原来时间和现在时间它肯定有个差值啊。差值那原实验的话，原实验就s÷v一啊，就是比如说用v1的速度走这段儿用的时间和用v2的速度走。省时间，那肯定产生一个时间差，就等于t一减t二是吧啊，就等于时间t一减t一减t二，我们写成t二t吧。t好，这有一个时间差好就套这个公式，但这个公式是一个半成品，如果每次呃列这个公式，我们在一起的话，

那就比较浪费时间。所以在这里面，我们呢，就相当于是啊，把它这个分母给它乘过来好吧，分母乘过来，分母乘过来，然后这个变成s乘以个v2-v一就等于v1v2t。是吧，是不是就这样的，所以说把这个分母乘完，因为这个分式嘛，怎么去分母，所以两边同乘一个v1v2乘乘以v2，前面又变成v2了，

后面又变成v1了，所以又变成v2-v一，然后这个v1v2乘过来。等过来，然后呢？这个v2-v一可以写成德尔塔v就等于v1v2德尔塔t是吧？就这样，当然你记不住这个公式的话。啊，那么给大家啊编一个呃，这个有趣的，就像联想法是吧，大家知道这个s相当于一个电话一样，比如说啊你手机。啊，

来电话了啊，手机响了是吧啊，先拿拿起手机，然后接通电话，别人给你打电话，接通电话，那第一个是什么？第一个是不是为？喂喂，怎么喂半天没声音啊？踢掉了给他踢了就是挂掉了是吧？这个t就相当于把这个电话给挂掉踢掉了，是不是啊？没没声音嘛，没信号嘛。

是吧，就是给它挂掉了，所以说记住这样记好电话来了，然后喂喂喂啊，给它挂掉了啊，给它挂挂掉了，然后这样v1v2啊，这样就很好记是不是？就这样记住了，懂了吧？当然你记不住的话，你就是按照原始去列方程去解也行啊，解也行，然后每次都这样运算，太麻烦，

咱们考的不是时间。呃，比较紧嘛，所以我们呢，就直接给他推导好一个成品公式，就这样记就行了，那第二个第三个就是比例法。总共大概就这三种方法啊，这个比例法啊，比例法怎么用呢？比例法就相当于是因为因为它这个s相同，对吧？s同啊啊ss同s同的话就是v1时间和速度成反比，这个咱们讲过。啊，

找到这个反比什么时候用比例法呢？当它速度比是知道的时候，我们用比例法做要简单，知道吧啊，这个呢，用比例法做要容易点。好，这是它的这个方法啊，比例法。好，那接下来咱们看呃像有的题，它三种方法适合哪个方法啊？读题怎么判断它选择什么方法呢？其实你可以发现它给的条件。更符合什么样方法，

我们就用什么方法做，然后当然有的其他可以适用多个方法，我们尽量用多个方法让大家对比一下啊，哪个方法更好一些？好，我们首先画图看一下这个题，画一下图。好，那么长期的从A站出发，匀速行驶一小时后发生故障，车速降低了40%，好，我们来看看。叫他从A站出发，云路行驶。

也就现在一小时后发生故障，就前面的是正常的，对吧？然后走了一小时，比如说啊，它这是b。假设在c是发生故障是吧？它在c发生了故障嘛？从A站出发，它匀速行驶，匀速行驶，然后走到一个小时，这走了一个小时。一个小时，它发生了故障，

然后车速降低到40%，只降低40%。也就是说，如果它这块儿要发生故障的话。啊，原来是v。变成了零点儿，降低了40%，还剩下零点儿六啊，零点儿六倍好吧，然后这时候延误三小时啊。这是这是注意这延误三小时，前面AC它没有延误，因为它正常行驶嘛，正常行驶，

它时间跟原来一分都不差。是吧，正常走就这块儿，它速度慢了，所以导致了延误，所以这虽然它是整个延误三小时，大家要知道整个延误三小时，这个三小时其实BC阶段产生的。知道吧BC这段产生的三小时啊，这块产生的，所以说它这个延误三小时。好。延三小时好，如果汽车多跑50米再发生故障啊，多跑50米，

比如说汽车跑到哪个点跑到d点？好汽车跑到d点就多跑50米啊，50千米，然后这时候就前面都正常了AD都正常了。啊，这时候发生故障。反正滚动方向就v变成零点六v，然后这个坚持性的B站呢，它能少延误一小二分钟。它总之还是延误了呗，还还延误了，只不过少延误点儿是吧？少延误好那么大家注意一小20分钟，我们要把它变成小时啊，这一小20分钟相当于。

三分之四小时对吧？所以一小时二十分钟就三分之四小时这样的。好这样呢，就是这个是少延误，因为原来延误三小时，原来延误三小时，在三小时基础之上又少了少延误点儿，所以但是它还是延误了啊。这还是延误了，延误了三减三分之四就是三分之五小时。好三减三分之四就得三分之五小时，这样的是吧？那么问AB两地相距多少千米？AB两地相距多少？好，

那接下来咱们来看一下它的这个相距，这个距离到底是多少？好，那接下来我们呢？看怎么列式子？怎么列式子？其实这道题大家可以把这道题拆成两个题，你知道吧？拆成两个题啊，以这儿为单位可以分成两个题，前面一句话，后面一句话。好，那么前面一句话，您看用哪个方法做比较简单呢？

我觉得呢，大家呢，可以用比法做比较简单，因为数比是知道的。啊，速度比它知道，因为如果用第一个方法和第二个方法，那这个呢，就是速度，它具体值不知道这个时间，它也。具体值也不知道，所以说它这个位置量太多，所以我们呢，就用那个比例法做，

要简单是吧，比例法做好，那么就就是这也就是说BC段儿。啊，必须这儿必须这儿，我们呢，就用比例法来分析了啊，比例法来分析比例法来分析就相当于是什么情况呢？就是啊，那么v现在比v原来。就等于零点儿六嘛，因为现在是零点儿六v，原来是v嘛，就等于零点儿六啊，零点儿六比一零点儿六比一可以写成三比五对吧？

可以写成3b好那b这段那时间之比就t现在比较t，原来应该变成五比三。对吧，是不是变成了五比三了？对吧，因为路程是都是BC路程嘛，BC段路程是固定的，它的时间比就等于速度的反比就变成五比三。五比三以后，大家可以发现，这个原来如果用三份儿的时间，现在要用五份儿，所以多两份儿，多两份儿，多两份儿，

将来正好是。延误三小时就等于三小时，那说明一份儿就是一点儿五小时，一份儿一点儿五小时，大家可以发现原来那么走这一段儿。它需要七点五小时，因为一份儿一份儿是一点儿五嘛，一份儿一点儿五份儿，五份儿就五×1点儿五。对吧，五×1点五，它这个七点五小时这个呢，三×1点五就等于四点五小时。四点五小这样就写好这一个七点五小时，一个四点五小时，

这就写出来了好吧，这它懂了没有啊，一个七点五，一个四点五。这样就写好了，它的这个方法好看，这个懂了没有？好吧，所以通过这个大家呢，就可以找到啊，那么这个份数。好，那就说原来BC这段走走的话啊，和现在走的话，那么就可以写成就是原来走那么用四点儿五小时啊，

就可以走完，那现在走的话啊，它延了三小时用了七点儿五小时。所以它正好相差三小时，就这样的一个思路，这个能懂吧？好，这是它的这个方法啊，如果这道题要是这样问，如果它走全程的时间。走如果按照原来走全的时间，原来走全的时间应该是五点五小时，因为原来走BC的时间应该是四点五。然后AC呢，又用了一个小时就正常速度啊，

正常速度走它用了一个小时，这用了四点五小时，所以说正常那么走AB全程应该用五点五小时这个写好。是吧，五点五小时只有求解出来了。好看，这个懂了没有？就是五点五小时啊，这个方法。好了，那这是它的这个思路啊，要会分析好吧，这是五点五小时，如果他要问全程正常走的话，用五点五小时啊，

好，那接下来咱们看第二句话，第二句话就是多跑50公里。它才发生故障，就BD这段儿发生故障的话，好那么它呢？接着寻找B站能少延误一小20分钟，那我们可以从两个角度来分析一个呢？从这个BD点儿来研究一个从CD段儿来研究都行。好吧，都可以，这个没关系，如果用b列段儿来研研究话，还用比例法。b点儿b点儿就是v，

现在比上v原来还是三比五对吧？还是发生了故障嘛？啊，然后呢啊t现在比上t原来正好呢，就是五比三，它这还相差两份儿。则这两份儿相当于是多少，相当于三分之五小时了，因为延误了三分之五小时。好，所以这两份儿就变成三分之五小时，两份变三分之五小时，那么说明一份儿一份儿多少小时啊？一份儿就六分之五小时，对吧？

一份儿六分之五小时，那么原来这块儿要用三份儿。三份儿，所以说它这个呢，就相当于是二点五小时，对吧？因为呃，一份儿就相当于六分之五嘛，一份儿六分之五，你给我来三份儿，就像咱们有时候买东西一样。它一份儿包装呢是六分之五啊，你说给我来三份儿啊，来来三份儿来三份儿，人家就给给你了二点五。

是吧，就这样的。好也就说啊，那BD段儿正常走，应该是二点五小时是吧？然后BC段儿正常走，应该四点儿五小时，所以说它正好差了两小时，你看四点儿五。和二点儿五这样差两小差两小时，其实就是CD用了两小时CD正常走啊，用了两小时CD正常走，用两小时的话，那么它的速率就可以求解出来，对不对？

它的速度就v原来就是50千米，正正常走用，连号时就是25。好那么t总共的原来t共原来共原来话应该是四点儿五+1就是五点儿五小时。所以这样s就可以秀了，说s就25×5点五就等于一百三十七点五，答案就选择e，这就求解出来了，这答案就选择e选项。好，这套做题方法思路看始不动了，就通过这道题，大家呢，要明白它的考试内容是吧？这样算的，

一百三十七点五。好，这样写出来当然那么用c段儿也行c段儿的话就更绕一点c段儿就相当于是啊，那么这个它是按照零点六v和v它正好相差一个三分之四小时。也就说，如果按照啊故障来走CD和不按照故障来走CD，它正好呢啊，相差三分之四小时。是吧，因为这个少延误的，其实就CD这段所产生的，所以在CD这段那么也可以也可以这样去写。好吧，就CD段c段这时候你可以套公式，也可以套公式套公式，

刚才咱们写的打电话那个公式当然用比例法也行。啊，打电话那个公式啊，都可以的。打电话还还记不记得？s，然后拿起电话喂喂喂，然后喂了三声，没声音就给它挂掉是吧？所以这样就可以写出来。好，那么这s就代表CD的路路程啊啊s CD啊，这样scd scd相当于是50。乘以个德尔塔v德尔塔v就是嗯，一个是v，

一个是零点儿六v啊，反正就大的减小了，你不不管谁是v1谁v2大的减小的就零点儿四v。然后v一一个是v一个是零点儿六v，然后乘以德尔塔t德尔塔t这样三分之呃三分之四小时。是吧，产生因为少延误就是CD所产生的嘛，本来它CD它这块儿故障了，现在我正常跑那跑的跑的快嘛，因为故障的跑的慢，现在正常跑跑的快，所以导致呢少延误了。对吧呃，三分之四。好，

那这样就可以把v给它解出，这个v很好解这个两边儿这个一约啊，一约约的话，然后把这个一约，然后v呢算出来就等于25。好v=25跟上面一样啊vv呢等于25，然后时间呢是五点五小时，然后呢就算出它的这个啊路程了。好，这是它的做题方法，看是不是明白了？好，所以通过通过这个大家呢，要知道它的这个几个公式，它的表达所用的内容。

好，这道题。比较难，那遇到难题呢，把拆成呃两个简单题去解，这样话我们做起来就更方便一点，知道吧，前面一句话，后面一句话，只要拆开。去求解，这样话我们就可以把它的答案和式给它列出来，然后再写出来的结果就OK了。下面咱们看32题。好，

我们来看一下这个题，某人驾车从a地前往b地前一半路程比计划呢，多用45分钟。好，那四四十五分钟呢，要把它换成小时就四分之三小时，把单位做一个转化平均速度，只有计划的百分之八十。就它速度呢，比较慢，所以说它时间用的多好，那这是前面一句话。若后一半路程的平均速度为120。啊，此人还能按照原理实验到达b。

则AB两地的距离到底多少？好，那接下来我们来看一下，画一下图，做路程问题，大家先把图画出来，就是从a。到b然后c呢？是终点，就相当于前一半儿路程，前一半儿路程呢？它多四分之三小时。然后平均速度只由原来的80%就v变成零点八v，所以它时间就多了。好那么后一半儿速度是120，

还能准时到达，还能按照原定时间到达，原定时间到达，那说明什么？说明后面一定是得少，甚至三小时。这样才能准能到达，因为前面耽误时间了，后面就得做的快一点是吧啊，然后呢，快一点才能把时间给省出来，所以说它。这个v变成120啊，速度变成120，这样的话，

它的时间才能省出来，好问AB两地距离到底是多少？那接下来咱们来看一下。啊，前一半儿路程啊，前一半儿路程，我们呢可以用比例法，也可以用公式法，因为这个比例法的话，它知道这个百分数了。啊，所以说在这里面，我们看一下AC段。好a段，大家知道好，

那么它现在的速度和原来速度，我们来看一下它的这个情况，好就是v。现在比上v原来应该速度是原来80%，所以就是四比五啊，四比五就可以写出来，然后接下来t现在。比上t原来它就等于五比四，因为它路程是一样的，所以它时间有它的反比好，这样写好了。啊，就是五比四。五比四以后，大家可以发现，

原来用四份儿，现在用五份儿，就它多一份儿的时间，多一份儿的时间，然后这个一份儿。这样相当于是四分之三小时好，那么一份就四分之三小时就写好了。好一份四分之三小时，那么原来呢？是四份原来四份四份呢？就三小时。啊，然后这一块儿呢，现在就用五份儿是吧？所以说原来正常的走AC应该用三小时走完啊就AC。

正常走，应该用三小时，如果正常走的话，那BC也应该用三小时是吧？所以是针对BC段儿，我们就可以写出来。然后b这段。b的那么t现在应该用三减去四分之三，因为它正常走，应该用三小时，但是呢，它为了把这个时间。耽误的时间给省出来，所以说要少用四分之三小时，所以这样算下来我们就可以得到，

就等于四分之九小时。好，那b段的长度就可以算出来b段长度b段长的话，就拿这个速度乘以时间。是吧，然后再b这段时间如果要求全程全程要求，这是b这段时间。然后这样就可以算出来它的数数值270好，那么全程AB的时间就等于540。正确答案就选择d选项好它的做题方法啊和思路，看是不是懂了啊，这是它的考试要点，看明白没有？然后通过这个题，大家呢，

要知道我们如何用比例法，然后把时间找到什么时候用比例法呢，通过这些题，大家可以发现，只要知道速度的比例关系都可以。呃，求解出来好，那么AC段还可以用另外一个方法，就是套公式法，套公法，咱们再写一下svvv挂掉。是吧，然后呢？这样。就写出来了，

好，那接下来咱们在AC段套一下AC段它的这个路程是全程的一半。是吧，全全程一半啊，如果全程是s的话，这是AB。啊AC好，如果全程是s的话，那么这个AC就得到是二分之s是吧？然后德尔塔v一个是v一个零点八v，它的速度的差值有零点二v。然后就等于v×0点8v，然后再乘以德尔塔t德尔塔t的话，就相当于是43小时。是三小时，

然后两边呢，就可以把v给它进行约掉啊，约掉约掉以后，然后就可以得到s等于多少倍的v，这样就写好了是吧，所以这个很好约，那这个零点二。跟那零点八约掉约掉就是四四跟那个约掉就是三啊三，所以说s因为这还有一个二，所以说s就等于六位。啊，就可以推出解出来s=6位好，那么第二段大家也可以再用一下公式，然后BC段。b的话也是二分之s乘以个德尔塔v，

德尔塔v就一百二减v，所以一定要用大的，减小的要保证这个数是正的啊，因为一百二可能比原来数字要大。然后呢，就等于一个一百二乘以原来速度v再乘以个四分之三小时，因为它这个时间也是改变了四分之三小时一样的。一样，然后这块就把s=6 v带到里面去，然后就可以求出这个v的值啊，这个很简单s=6 v带到这。就得到是三v啊，两边再把v约掉，三乘以一百二减v就等于然后呢？这个一百二乘以四分之三就得到是九十。

啊90，90，然后呢？两边约掉约掉，把这个约掉一个三，然后v找到是90。好v=90，然后呢s就可以求解出来s就等于个540啊，答案呢啊是一样的好吧，这种解法是可都可以。如果这个要问呃，原来他开车的正常速度是多少？开车正常速度，那么就是啊90。啊，

如果要求原来速度v就算是90好，这是这道题给大家进行强调了它的方法使用，所以说对于变速呃运动的话，大家呢，就是掌握这样两个常用的方法做就。可以了好，这是它的解决的思路，套这个模板来进行分析和求解。

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