1-06绝对值三角不等式（3）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:27:00

然后接下来咱们来看一下。s绝对值与x的关系，总共给大家列了一个表格好吧，然后列了一个表格，列表格那么。这个前面都是跟s的关系，后面跟负s的关系。是不是跟负s的关系就这几个？大家不要死记硬背，一定要理解理解，这样才能活学活用。好，那么第一个s绝对等于x那只有非负数，它s绝对值才等于x是吧？然后第二个x就是大于xx，

一定是小于零的，一定是负的啊，这些大家可以结合特值来记忆好吧，考试还可以结合特值来进行记忆，它的满足的范围和要求。好，如果s绝对小于s是空的，那不那也就是说不可能。是吧，不可能。s确实大于等于xs属于任意实数，任意实数也可以把它写成恒成立。对吧，也可以选择恒成立的。另外，

这个s其实小于等于x，其实它只能成立等号啊，因为这小于号它不可能知道吧，就这个小于等于它代表是小于或者等于。小于号是不可能，它只能成立等号，所以最后一个跟第一个它其实是一样的效果。好看，这懂了没有？懂了右边都是变成负x负x，就把这个大于变成小于就行了，小于这个变成大于就行了。是不是然后这个呢？也是恒成立的。对吧？

然后最后一个，最后也跟第一个是一样的好吧，最后一个，它跟第一个它是一样的。好考试的时候，你要把这s看成一个整体，然后呢，来做题，来分析，懂了没有？把它看成一个整体。接着我们就看它考试方向。就s绝与s等的关系，我们看考试方向就分为s绝等于x或者s绝等于负s来分析它的取值范围。是吧，

然后来来进行分析，好像这个题大家思考一下这个题目。好它已知这个表示等于这个表示问s取的范围包含几个整数，然后大家思考一下来做做这个题。首先观察它是符合刚才表格里面哪一个表格，是不是大家思考一下好解解这个不等式？即它的取值范围。好，那在这里面，我们来看一下它的这个特征。首先我们来看一下，把这个分式看成一个整体是吧？把这分式看成一个整体，那大家可以发现它正好相差一个负号，是不是相当于负号？

所以这道题它所用的公式。对应公式就是s取值等于负s这样的一个特征是不是？你看是不是这样的，你对照一下，那就说明。x应该是小于等于零的，是不是s小于等于零？啊，这个懂了没有调整零那说明这个5 x- 3÷2 x+5应该小于等于零。是不是这样的？就小于等于零，这样行了。看是不是这样，只要5 s- 3÷2 s+5小于等于零，这就OK了。

小于等于大家知道小于就取。中间对吧？取中间它一个根是五分之三，一个根是负二分之五，是不是一个根是五分之三，一个根是负二分之五，所以说它的解集就是x。小于等于五分之三。大于负的二分之五，注意这个负二分之五，这个分母它不能为零，所以它这块取不到等号。知道吧，分子它可以为零，知道吧，

不要漏掉了啊，分子它可以为零，分母呢，它取取不到零，看这个懂了没有？就套刚才我们讲过的这个表格里面内容。然后这个x它取值范围就可以，包括有负二负负一零。是吧，然后这样的。三个吧，三个正确答案应该选择c。是吧，选择c大家做完这道题的收获就是你观察觉知里头和觉知外面两个表示关系，观察完关系以后我们就可以列出它的满足的范围，

满足范围，然后解这个不等式。就可以得到答案了，看是不是听懂了？啊，刚才咱们讲的是一个等式古关系是吧？这是等等等式的情况。等号等号关系，这个要简单，然后不等式不等式又通过它大小，对吧？来分析它的取值范围，比如它大或它它小。这个我们在做重新判断的时候，也给大家讲过是吧？

然后你看这个题。大家想想到底哪个条件充分？那想想它用了什么公式是吧？注意重新判是由下推上。不是从上推下啊，由下推上。其实呢，你又把条一个条件，它给的这个表达式。化简求出s的范围，求出s的范围后，然后再比较它是否充分。是吧，这样做就行，再比较它是不是充分就可以了？

好，大家思考一下它的这个特征。那接下来好，我们来看一下它这个题条件，一其实条件一用的公式是哪个公式啊？你看条件一用的公共公式什么公式啊？条件一。条件运用公式是把这个这个分式看成一个整体，知道吧？看整体它用的是x绝对值。大于负x是不是它用这个公式是用这个公式吧？对吧，然后只要只要这个x是大于零距就行了是吧？只要它乘以条件，就x大于零就行了啊，

也就说你把这个整个分式看成公式里面x。然后只要它大大于零就行了，所以这道题题目一只要3 x- 1除，以x方加一，它大于零就行。呃，大于零的话，那这个分母它肯定是正数对不对？分母它肯定是正数，正数就不用管它了，只要得到三x减一大于零就行了，大于零那就推出s大于三分之一。而大于三分之一，咱们讲过是小推大，只要这个范围落在题干范围之内。

是它的子集合都是具备充分性的，所以s大于三分之一可以推出s大于负一成立，所以条件一是成成成立的，对吧？条件一是成立的。下面咱们看条件二。看条件儿条件儿用的什么公式啊？条件儿条件儿是不是用的是x取值小于等于x啊？是不是用这个公式啊？对不对？所以你做这样题呃，先把公式给它写出来，写出来，然后呢，再把它的范围找到就可以得到答案了。

而且我们讲过，这s绝对小于等于s，它其实成立就是s绝对等于x，它不会比它小，对不对？它只能是等号。那指示等号的话就说明s是大于等于零的。对不对？还是大于等于零？是不是这样的大于等于大于等于零的话，然后这个就说明这道题就说明三分之s加一大于。等于就推出x大于等于负一注意啊s大于等于负一推不出s大于负一知道吧？这个咱们在讲，从新判断，反复强调这个带等号的多一个值，

知道吧？就条件上比题干多一个值，考试时候千万别做错了，就差那么一点点也不行。所以条件二是不充分。条件一，充分条件二，不充分这个就选择a选项就行了，好吧，就选择a答案就写好了啊，答案就是a选项。好，这是不等式关系，看弄懂了没有？然后接下来咱们最后一个知识点看绝对值三角不等式。

好，那绝对值呃，三角不等式的话，其实呢，你仿照三角形三边的关系来学，这样话好理解一点。知道吧，其实是三角不等式，为什么把它称为三角不等式？大家知道三角形三边的关系就两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。是不是这样的情况，两边的和大于第三边两边之差，小于d3边有这样的一个特征。就两边和大于第三边，

两边差小于d3边嘛，就用这样的方法就可以了。是不是所以这这个三角不等式，所以这边呢，你可以看把它看成两边和，所以它是比较大的，这边两边差是比较小小的。所以它的特征。你怎么去理解呢？就单独绝对值之和是最大的单独绝对值之和，最大是绝对值之差是最小的。知道吧，这个绝对值和最大这个绝对值差是是最小的。接下来我们来看，就等号成立条件就什么时候相等，

注意这个小于等于是永远成立。听到没，永远成立就是它三角不同，本身就是恒成立的，它AB不管是正的负的，它都是成立的。知道吧，它都成立，然后现在问题是什么时候取等号对吧？什么时候取等号什么时候取这个大于号或者小于号？是吧，所以在这里面，其实你把等号成立条件啊，弄清楚了，另外一个就反过来就行了。

反什么呀，反过来不是等号就是它是吧？不是等号就取大于号，所以这是它的做题的方法，接着我们看取等号，取等号就相当于是这两个相加，什么时候等于它？跟它什么时候相等是吧？这时候什么时候相等？这个在咱们呃刚刚结束的考真题里面就出现了这个知识点，所以有同学当时没做好。很好呃，希望大家可以取特值来记住这些事例，好吧，你就是自己取点特值，

能帮助你理解。那a的绝加b的绝对等于a+b的绝对值啊a的绝加b的绝对等于a+b的绝对值什么时候相等啊，就AB同号数。它相等的。AB同号时候是相等，那这个怎么证明AB的同号呢？大家我我就以第一个为例，简单给大家进行证一下，其他我就不再证了啊，第一个证你可以用两边平方对不对？两边平方。咱们不是学过平方吗？两面平方啊，所以第一个我给你正正。第一个就是a的绝值加b的绝值，

括号的平方。正好等于a+b举止括号的平方是吧？这可以做平方运算吧？平方运算，然后这个平方把它给展开展开去套平方公式，第一个数的平方，这绝对值就可以去掉是吧？a平方加上二倍的a。b取一值，再加上b的平方。右边这个平方，右边平方我们讲过平方遇到绝对值，这个绝对值就没有了，它平方它平方就剩a+b^2 a+b平方就可以写成a方加2 AB，加上b的平方。

是不是这样的，就a方加2 AB+b^2，然后两边就可以把a方a方给它抵消掉b方，跟b方就抵消掉，然后左边剩一个2 AB的绝对值。然后右边剩一个2 AB就可以得到AB的绝对值，应该等于AB，然后这时候AB应该是大于等于零的是不是？所以第一个给它进行证明和推导了。好吧，推导，所以说这用平方法给它证明其他呃，这几个你都可以仿照老师讲的类似的去分析。是吧，它是这样证明出来的啊。

好，接下来就是其他几个都一都一样，那在这里面等号乘调给大家讲一个口诀好吧，这样大家不用背那么多东西，容易记错。你一个什么口径可以发现这样一个小窍门儿？然后这个是加这个也是加。这个是减这个也为减有两边左右，两边都是一样的符号，你比如说。都是加号或都是减号，这AB有同号就两边一样，它也相同。就两边相同，它有同号，

如果两边异号，它就异号，你看一一+1减。看到没有？一加一减或者一减一加。是吧啊，一减一加，这时候它就异号，所以在这里面它的口诀可以这样记，所以你要观察，如果两边。啊，要同号AB就同号是吧？然后两边异号AB就异号，所以就看两边。

如果同号AB，它就同号。如果两边要异号。AB就是异号。是吧，然后这样这样记是不是要要简单，你看左右两边如果都是。一样的符号都一样的符号，然后这就同号，如果两边如果符号要不一样不一样，它就是AB就异号。你看这样记是不是要简简单一点？好，如果等号成立的条件弄平了，然后大小乘以条件，

比如大于号或者小于号乘以条件就把它反过来就行了。反过把这两句话反过来就行了，反过来反过来什么意思呢？左右两边如果同号AB反而是异号。AB是异号对不对？然后你看这都是负的两面符号一样一样AB反而是异号，就是跟上面相反，就把这两两句话口诀反过来就行了好吧？反过来两边如果左右两边都是加号，都是同号，都一样的符号，那这AB反而就异号啊，就这样就是就这个表格，不要使劲背，就是就是相反反过来就行了。

好看懂了没有？懂了咱们就是。看一下这块儿的知识点，然后三项不能是考试难点。也是句子里面比较难的一块儿，要理解三角不等式基本形式和成立条件，就基本形式是什么样的，基本形式怎么理解呢？你记住三角形三边的关系。就两面之和，大于第三边。两面之差，小于第三边。它的基本关系，然后乘积条件。

你刚才用口诀来来记就行了，好吧？它的乘积条件。然后第二个要根据所给的题目，要学会套三角不等式套，比如说把谁看成a，谁看成b来套，这个三角不等式要学会套，然后再结合成绩条件来求答案。对吧，你得会套啊，不会套的话，那这个题也没法做，所以考的频率是中等啊，是中等好，

我们先看一下等式的考察好吧？等式考等考先将题目变形成公式的这种形式，然后再根据相等的关系来套公式就先把。所给的这个题目呢，你要变变形，变完后，然后再结合公式去分析就可以了，好，那接下来咱们来看一下。这个题好来思考，看选什么答案？好第一步，大家要把这个公式写出来，这是考察这个等等式的考察是吧？你看它用公式什么公式？

做题时候套公式有个小陷阱，所以有同学这样做，问错在哪儿了，他自己没检查出来，我把他有同学做错的方法写写啊写，他就把这个什么呢？把这个2 x- 3看成一个a。s+2把它看成一个b，这个呢，就把它看成一个a减。a+b是吧？把它看成a+b。把它看a+b，所以它的想法变成公式，变成什么，

变成a的绝对值，减b的绝对值等于a+b的绝对值。他是想这样做是吧？有同学呢啊，就这样做，这样做，最后出现错误了啊，我再说一下，他把2 x- 3看成a。s+2把它看成BS+2把它看成b。然后这个是3 s- 1，把它看成a+b。是吧，3 x- 1把它看成一个a+b。然后他又用刚咱们讲的口诀口诀，

你看这边是减这边是加两边符号不一样，两边符号不一样，然后他又说这个AB它有异号。a be号，然后用这个去去解这个解出来之后发现答案不太对，原因错在哪你知道吧，看好了。原因在咱们呃，这个减号的时候，你看左边那减号时候整体还要再加一个绝对值啊，也就说a的绝对值减b的绝对值，整体还要外面再加上一个绝对值。好，为什么要加绝对值呢？就防止它出现负的，

知道吧？防止它出现负的啊，所以你看在这里面都要再加一个绝对值。防止它出现负的。你看，这也都加绝对值。但是咱们这个题目呢？这个外面没加，绝对值没加，绝对值，万一这个a的绝对值比这b的绝对值要小要小，这两个相减是负的。左边是负的，对不对？左边负的，

右边正的，那这两边肯定是矛盾的呀，左边负，右边正，那肯定是矛盾关系。是吧，那就不满足，所以说这时候呢就不行啊，不行或者说你这个AB小于等于零再添上一个也行，它跟咱们题目呢，差一个句子，再加上一个这个东西用红红笔写上，再加上且。a的值大于等于b绝对值，然后这个式子，

然后才能够保证它是成立的，知道吧？这个式子才成的，所以说如果要掉了这一个条件，所以有同学呃，算完后就会出错，知道吧，算完就会出问题。所以有同学最后做完以后就漏掉一个情况，知道吧？漏掉情况只用第一个做，只用第一个做的话可能就得到题目，一是充分的。是不是然后在这里面就漏掉一个，所以希望大家如果。

出现这个减号，要么就再加上一个这两个大小关系，知道吧？这样大小关系。要么或者还一个做做法，怎么做啊？就这道题，这道题的话呃方法一就这样的方法一，我刚才有同学写的，知道吧，把这个看成a这个看成b，它的成立条件就是。三条条件就a×b小于零，知道吧？a×b小于0a呢？

就相当于是2 x- 3b呢？就x+2它小于等于零。然后呢？另外就是a的绝对值大于等于b的绝对值。这样做才对啊，就如果漏掉了这个情况算的答案是错的啊，算答案错的，所以说在这里面，如果按照这种方法写，如果你按照这种方法写的话，那必须要加上这个条件，这两个结合在一起。然后找出它答案。不过我觉得这样解就比较麻烦，第二个怎么解？

第二个可以用平方法解平方法平方法，大家呢，不要给它平方展开。用移项，用平方差公式知道吧？两边平方。简单，这个比较麻烦，方法是这样的。方法二大家把它移项。把题干给大家移项移项呢，把它给它移过来，知道吧？把它给它移过来一个就变成了什么东西呢？变成是。

嗯，3 x- 1+x+2=2 x- 3。这样的情况是吧？把它给它移过来一个就3 x- 1，加上x+2，接着等于个2 x- 3。这样的情况。是不是这样的，这样话你就可以把它看成一个a这个把它看成a这个把它看成b这个把把它看成是a-b。知道吧，这时候这个人把这个呢看成一个a。再把它看b这个，把它看成a-b就行了，是不是？然后这样就可以写成a的绝对值，

加b的绝对值等于a-b的绝对值。这样的特征是吧，就a的绝对加b的绝对值等于a-b的绝对值。然后它乘以条件是什么？想想它乘以条，它乘以条，刚才我们讲的口诀啊。口诀是吧？一正一负。两边符号不一样，符符号不一样，是不是就异号呀？是吧？就异号，所以AB小于等于零就行了，

就异号关系。是不是这样呢？AB小于等于零就OK了。所以那用第二方法就相当于是aa，相当于是30-1啊，跟上一个题的a不是一样的，知道吧？跟上一个方法是有区别的，所以a呢，就是3s减减一，然后b呢就s+2，它应该小于。等于零小于等于零，那么x应该在两根之间对不对？它一个根是负二一个根，

三分之一。所以x在负二。和三分之一，它之间就在负二和三分之一，它之间这样一个取值就行了，负二三分之一，那么必须是条件落在这个范围之内，它才充分，所以条件一。比这个范围超出一点儿点儿，知道吧，所以条件一呢是不充分的啊，条件一是不充分的。条件可以看负三，这也超出了这个也不充分，

所以单独条件一条件二，它都超出了这个题干的范围。都知道题干范围，所以它都是不充分的。都不同的，这时候我们要联合看一下联合情况。对吧，看一下联合联合两条件，就联合找它交集就行了是吧，联合就找它交集，交集的话交在一起就相当于是负二到四分之一，对不对？所以由负二到四分之一，所以连上就负二到四分之一，负二到四分之一落在这个范围内，

部落在这个范围内部，它具备充分性。是吧，都在这个范围内部啊，正好在这个范围内，它就具备充分性，所以这道题正确答案应该选择。c选项才是正确的。好看，这个懂了没有？这个呢？应该选择c选项。好，这是求解的方法思路，看是不是听明白了？

好，这道题大家掌握的知识点内容就是我们在做题的时候啊，要把这个给它移过来变成正的啊，以后出现这个减法减法，要么外面再套个绝对值。好要么呢，就是给它啊，这个一贯变正了，变正了，这样话啊，讨论起来要方便，所以这道题强调内容。接下来咱们看考项二就是不等式的考察。不等式考的主要跟它的大小关系，然后来套公式就行了是吧？

套这公式来求解。好，我们来看一下，好2 s+lo gx绝对值小于2 s+logs，它的绝对值。同样道理啊，如果这里面万一有个减号知道吧？有个减号，有个减号，你要像上题一样做一个等价变换，等价变换，然后再套三角不等式。这个内容，然后这样就不会出错，知道吧？

接下来，大家思考一下好，那在这里面，我们就可以把它这个一个看成a一个。看看成b是吧，所以它所用公式有a+b的绝对值小于a的绝对值，加上b的绝对值。它的成立条件是什么呢？现在大家先记，如果要等号，要等号的话，左左右两边都是同号，你看这都是加，这也加。两边同号AB就是同号的，

但现在它是小于号，小于号就AB是异号。对吧a be好。a必要大家解解这个不等式，所以这道题题干它的成立条件，先把题干等价化简完后用咱们讲过的重新判断题推导的传递性来做这个题就可以了。好吧，所以说这个题干它的成立条件。题干，它成立条条件就这两个是异号，异号就相当于是2x和lo gx应该两个是异号关系，两个相差小于零。既然大家学过对数，那么对数要有e logs，要有e要有e的话，

它这个s帧数必须是大于零，必须是正的，对不对？那这个对数啊，一定为正数，一定是大于零的。看懂了没有？一定是大大于零，这个值。好，那么一定大于零的在这里面，我们呢就可以看出它的这个取值情况。就s1定是正的，对吧？一定正就x它肯定是大于零的大于零，

这时候呢，两边可以把这个都给它约掉，2s给它约掉，约掉就变成lo gx小于零。lo gx需要零，这个零的话，大家可以把它写成log 1是吧？零的话就变成log 1。大家学过对数，知道就增数为一的时候，它对数值应该为零是吧？增数为一，它的对数值为零，所以说它这个log。x要小于log 1就推出x是大于零小，

小于一的。所以这个题干它要成立的话，它要求啊，这个x是大于零小小于一的。这样的一个情况。它题干要成立s大于零，是小于1s大于小于一，接下来我们再看条条件，条件不能超它的范围啊，条件如果超它范围就不具备充分性，你看条件一它这个超出超过了。对吧，条件是不是也超过了超过范围联合以后联合也超过了联合以后也超出了零到一这个范围。是吧，也超出它这个范围了。

联合它也超过这个范围，所以联合它也不成立。那这时候只能选e，只只能选e，好在这里面大家就是记住三角不等式，这里几个考法就行了，另外这道题用到对数，我们给大家讲讲常用的对数值。好吧。常用的对数值。长对数值log，以a为底一的对数值就为零啊log。以Ada的对数值就为一，如果它的底数。和帧数这两个相同的，

它对数值就为一，对数值就为一啊log，以a为底a分之一的对数值，它为负一。是吧log以a为底a分之一的对数值这块就等于负一啊，这样就写好了。好看，这个懂了没有？好，那这是给大家强调的，这个绝对值的做题方法和内容好，大家把这个绝对值呢好给整理和消化一下。

		自动登录	找回密码
密码			立即注册