1-05比例定理

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:26:20

下面咱们来看一下，就是比例定理问题啊，比例定理比例定理的话，我们来看一下常用的一些定理，第一个和比定理。b分之一等于d分之c，然后在这里面就可以写成b分之a加b等于d分之c加d，得到这样一个特征。对吧，就b分之a加b等于d分之c加d好，这就是它的一个合比定理，它的一个基本的概念，合比定理怎么去推的呢？然后再。这个左边这个等式，

两边加一给大家进行通分就行了，有b分之a加上一等于d分之c加上一加上一以后，然后呢？这个通分得到b分之a加b等于d分之c加d好吧，所以和b点。它的原理，大家注意就两边。加一，然后再通分就得到和比定理，我们再看分比定理分比定理，其实就把这个两边同时减一就可以了b分之a减一等于d分之c。减一啊，做一下简易运算，然后再一通分就可以得到结果好吧，所以这边就是两边。

都给它减一得到这个结果就可以了，所以这是两边减一得它的答案好看，这个是不是懂了？好，这是和比定理和分比定理它的一个基本的概念，然后我们下面看第三个和分比定理和分比定理什么情况呢？和分比就是拿和比除以分比就行了。啊和比和分比相除，你看，然后把这个推导好的和比定理和推导好的分比定理做除法，做出来之后大家可以看左边相除就变成了a+b。除以b，然后再除以个a减b除以b等于然后右边相除就是d分之c加d。除以一个分之减是吧？就拿和比和分比相除相除的时候，

大家可以发现这个分母就约掉了，分母约掉，约掉后只有剩加除以减这个剩加d除以减d，这是和分比定理它的一个概念。所以和分比定义怎么推出来呢？就拿和比除以。分比啊，这样推导出来的，看是不是懂了和比属于分比就可以了，接下来我们看第四个有等比定理，那等比定理是什么情况？等比定理它对两个。三个或者多个都可以用啊啊，咱们又第一个是以两个为例啊，两位如果b分之a等于d分之c，

那这两项呢？你把这两分子相加。除以分母相加，就a+c。然后这个是b+d，这个比值跟原来这个分式是一样的，或者说相减也行啊，相减就让a和c相减b和d相减，那这个相减也可以。好吧，然后得到的比值跟原来是一样的，那如果三个话，这个也可以三个三个，比如说b分之一等于d分之c等于f分之e，那这时候你把。

分子相加除以分母相加得到比值跟它一样，那么四个也是可以的啊，同样的道理啊，在这边大家注意的内容就是分母一定要有意义，分母不能为零啊，分母一定要有意义，得到这个结果就可以了。好，这是等比定理它的一个概念和方法。然后接下来我们来看一下考项一就是和分比定理，它的一个内容和和分比定理和分比定理好，那什么时候用呢？我们做一个这个看一下这个文字题，他家中父亲体重与儿子体重比恰等于。母亲体重与女儿体重比好，

两个比相等啊，我们在做应用题的时候，我们可以用呃符号啊用，比如说xyz或者说ABC来表示这些呃未知数来设未知量。当然，我们在做应用题，还有一个。方法用汉字也可以设未知量，有时候你看，比如你写一个甲，写一个乙，这个汉字也可以当做未知数，这样的好处就不至于符号看错了是吧？你比如说有时候符号比较多syz啊，要设很多符号，

那这时候写写容易解错。我们呢？就可以呢，就用汉字来表示，所以大家可以发现呃，父亲体重，因为儿子体重比有父亲比上儿子体重。就等于母亲比上女儿的体重是吧？就父亲与儿子的体重比，等于母亲与女儿体重比啊，所以这是第一句话。啊，已知父亲体重与儿子体重之和是125千克啊，他告诉你，就父亲加上儿子等125，

然后母亲与女儿相加是等于100。而且告诉我儿子比女儿重十公斤，儿子比女儿重十公斤好，那这是他的已知条件，求儿子体重当然也可以问其他人的体重到底是多少？那这道题我们到底选哪个定理呢？我们可以发现出现了什么？出现了分子加分母，看到没？它的分子加分母，这也分子加分母，我们这道题就可以采用。合比定理来进行分析和思考啊，用这个合比定理做，因为出现了分子加分母啊，

如果这道题要出现了分子减分母，比如父亲比儿子重多少啊，母亲比女儿重多少。如果出现分子减分母，那就用什么就用这个分比定理做就行了好吧，所以咱们先把这题做完再改改，如果它给什么条件，我们用什么方法来做啊，那这道题我们由由和比定理。合比定理，我们就可以得到这个父亲，加上儿子比上儿子等于一个母亲加女儿比上一个女儿是吧？这样用合比定理。就可以写它的式子来写它的结果，写它结果，

然后父亲加儿子正好是125，所以就可以推出什么就是125，比上儿子等于一个100，比上女儿。然后这样话，两边可以把125和一百两边都约掉一个25约25就可以得到什么呢？得到这个五除以儿子等于四除以女儿，那说明儿子和女儿比正好是五比四。对吧，正好是五比四五比四呢，说明儿子比女儿重了十公斤，一个是五份儿，一个四份儿，对吧，所以儿子是五份儿，

女儿是四份儿，然后这个。儿子又比女儿重了十公斤，这时候我们呢，就可以看出它的这个特征，然后正好呢，就是多一份儿多一份儿，那说明儿子就是50公斤。女儿就40公公斤是吧？就可以推出儿子呢？是50公斤，然后女儿40公斤，这样就写出来了，这个呢？应该选择的是b选项好，

那如果这里要改成。相减知道吧，如果改成父亲比儿子重多少，父亲减儿子，母亲减女儿，这时候呢，我们呢，就可以用分比定理。用分别定义，分别定义什么叫父亲减，儿子比上儿子等于母亲减女儿。比上。女儿是吧？这是分米定理，如果他已已知父亲比儿子重的情况，

母亲比女儿重的情况，各位同学，大家用分米定理，这样就可以了，但如果他知道是父亲。加儿子，还有父亲，减儿子也可以用和分比定理是吧？让这两个相除，就父亲加儿子的体重，父亲减儿子的体重，母亲加女儿体重，母亲减女儿体重，也可以用和分比定理来做和分命理。刚才咱们讲过，

就是和比除以分比。就可以了。啊，当然，如果这道题要这样改，要改成父亲加母亲的体重，儿子加女儿的体重，知道啊，不是父亲加儿子了，是父亲加母亲，比如父亲和母亲，他体重之和是多少公斤？然后母亲呃，这个改成儿子，儿子加女儿，

那么这个体重之和等于多少公斤？这时候我们就可以用等比定理来进行分析。用等比定理来分析，等比就父亲比上儿子，等于母亲比女儿，就等于父亲，加上母亲比上儿子，加上女儿是吧？如果这道题要已知父亲加母亲的体重，而是加女儿体重，用用这个等比定做啊，反过来或者说如果要知道父亲比母亲重多少，如果要知道父亲减母亲的体重。或者儿子减女儿体重，比如说这个儿子减女儿体重知道了呃，

父亲减母亲体重知道了，他还可以把它写成什么呢？写成。父亲减母亲的体重，儿子减女儿体重，如果这里要知道父亲减母亲的体重，儿子减女儿体重，那这时候也可以用这个等比定理，所以等比定理你可以写成加号，也可以写成减号，那都是可以用的。好吧，这是给大家进行分析的，所以这道题就看它给的什么条件，那这几个定理到底选哪个来进行求解和思考？

好，这是强调做题方法，看是不听懂了。接下来我们看考项二，考项二，那么在这里面我们来看一下它的这个做题方法，如果出现一些连等式，可将分子与分母相加或者相减。是吧，你可以相加或相减，然后呢，分子与分母相加或相减得到的比值与原分的相等啊，等比例可以用两个，也可以用多个。好吧，

然后在这里面需要注意是当分母之和为零时是不能用，等比定理的大家要掌握它的这个方法好吧，所以我们来看一下用于两个的情况。是用于三个的这个情况啊，用于三个的情况，然后还有呢，就相当于是啊，然后当分母之和不一定是不能用，等比定理你得采用其他方法做啊，好我们一个个来思考。那么，先看这个题目，各位同学都提前思考一下，好那么一个最简正分数，如果分子加36分，

母加54分，数值呢？是不变的，那则原分数的。分母与分子乘积到底是多少？那这道题我们可以设原分数。设原来分数。为a分之b。啊，设原分数为a分之b，如果分子加三十六啊，那么就得到这个结果，分子加三十六b加三十六。分母加五十四得到这个值，那正好跟原来分数值呢是一样的，

是不变的是吧？就得到是a分之b。它是不发生变化的好，那就是得到这个结果就b加三十六，除以a加五十四得到那么a分之b好，那这个分式跟这个分式相等，那接下来我们就可以用比例定理来进行分析了。呃，让分子跟分子做减法是吧？做差值。用这个啊，相减的做为什么用相减，因为差值呢？这个。好，

求解是吧？所以大家可以看这个差值两个相减，正好得到36，这个相减得到54，然后把它要化成最简分数，因为它题目说了要保证是最简分数，所以大家。什么是最简分数？分子分母约掉不能再约，所以上下可以约掉一个十八，约掉十八就是一个二一个三，那说明原来分数就是三分之二就写出来了是吧？原来分数啊，原来分数就是三分之二，再按照它分母和分子的乘积就是三跟二。

二相乘三二相乘，应该等于六，这个答案应该选的是d选项，看这个题是不是听懂了好吧，所以这个就写上了啊，当然这道题还可以告诉大家一个小规律啊，如果分子加一个数分母加一个数。分数值不变，那么这个原来的分数，其就等于这个五十四分之三十六啊，给大家总结一个结论，小结一下。啊，如果分子加上m分母，加上n得到的分数值跟原来相等，

那么用登比定理可以得到它这个分数，其实就等于n分之m好吧，就等于n分之m可以当做一个结论来记。另外，这个比一定理还可以用到什么？我们后面在讲应用题，遇到一些复杂的分式的一些应用题的时候，比如说未知数比较多，你可以用比一定理处理一下，处理一下这个解这个x就好做一点好吧？所以这也是在解应用题化简的时候，也可以用这个方法啊，简化我们的运算。下面咱们看下这个题，它已知ABC呢是非零实数，

且满足这个值等于k则k的值到底是多少？那这道题很多同学在考场上漏选了一个值，知道吧？所以大家呢，要掌握它的这个方法。那么，大家可以看到这个k的值k的值，我们应该怎么去求解和分析呢？那有的同学呢？直接啊用了等比定理直接把分母相加分子也相加，然后来求k这样k只求了一个值。所以这样就忘记a+b+c，它的取值是否为零了啊？所以要讨论情况，当a+b+c不为零时。

当a+b+c，它不为零的时候，不为零的时候啊，那么就可以把这个分母相加分，母相加就得到a+b+c，把分母给它加在一起。然后分子给它加分子加在一起，正好是二倍的a+b+c得到这个结果好吧，就分母加在一起，分子呢也加加在一起，加在一起，然后得到正好等还是等于k这个就得到是二。是吧，所以它的数值。得到k就等于二，

那么当a+b+c为零的时候。a+b+c为零时啊，虽然ABC为非零实数，因为这个三个分母都要有意义，但它的和。不一定啊，那么啊，就有意义是吧？比如说啊h2。b和c都取负一，虽然ABC都是非零的，但它的和就为零了，它就没有意义了，是不是所以和为零，所以当a+b+c为零的时候，

那这时候就不能用。等比定理了，那因为分母相加，它又没有意义，那这时候应该怎么做呢？这时候呢，我们可以把第一个分式的分子b+c给它换成a。b+c换成负a。对吧，可以把这个b+c给它做个替换，当然你换第二个也可以换a+c也行，或者换a+b也行，都是可以的好吧，所以你可以把b+c换成负a。brc换成复位以后，

我们就可以代入。就得到。得到这个分子是负a分母，也是a就得到k这个k的值，就得到负一就写出来了好吧，然后这个b+c把它换成负a这个分母，它就得到是a，然后得到k的值等于负一，所以综上k有两个值。一个是负一，一个是二，这个答案应该选择的是4d选项，看这道题是不是听懂了，这道题大家做题的方法思路就是我们在求解的时候，大家呢，

一定要掌握它的特征。就是我们等比定理一定要讨论分母是否为零，要注意这个陷阱。好，这是它的要点，那么这道题这道题它的考点大家发现，虽然它是一个连等式，但是这个连等式如果直接用等比定理，让分母相加它的为零，这时就不能用，等比定理不能用，等比定理大家记住。比例问题的一个最保底的方法啊，最保底其他简便的方法，你想不到的时候最保底方法就设比例系数k法。

好吧，就设k法。可以设比系数k啊，我们就可以令这个式子就等于k好吧，就令x÷a-b。等于y÷1个b-c，等于z÷c-a它等于个k啊，令它它的值就为k，为k的话，这时候就可以把x解出来。x就等于a-b乘以个k。然后y呢，就等于一个b-c乘以个k。z呢，就等于c-a，

它再乘以个k得到这个值然，然后这样就s+2+z的值就可以写出来了，就推出。s+y+z好，你把这个数都带到里面，带到里面自己化简一下，正好得到是零。这个呢，就选的是a选项，看各位同学是不是听懂了，所以这道题就不能用，等比定义要注意采用设k法，好把这三个题再给大家进行概括一下，大家回到书往前翻一页儿，我们可以看一下。

概括一下，概括就是等比例，它可以用于两个分式，那么也可以呃，这个加号也可以是减号都是可以的是吧？也可以用于三个分式或者多个分式，比如说这个。当分母之和时，不能用等比定理。像刚才我们讲了分母之和为零的时候，那大家要采用其他方法来进行分析和思考，好吧？所以要知道它的一个陷阱啊，所以这就是一个非常重要的一个陷阱。大家在考试时候。

不要掉到陷阱，不要丢分了啊，好，这是大家做题的方法，看是不是听懂了？

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