1-04实数与整除（4）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:25:54

公倍数，咱们翻到17页啊，最后再把这公倍数的求法说一说啊，好公倍数的它的求法。最大公因数求法比较简单啊，最大公因数求法在18页，这个这个上方就最大公因数求法，一般呢，大家都是分解就可以写出来，最大的共同的约束，好吧，咱们就说一下。最小公倍数，因为刚咱们在除法的时候用到最小公倍数，有同学最小公倍数不会求，

是不是我们看最小公倍数怎么求好？那接下来咱们就把这个模块儿说说就OK了啊。好最后公布之后，求法有以下三种方法啊，三种方法这个书上写了两种，咱们再写一种，第一种叫分解法，第一种叫分解法。非法就把每个数都给分解质因数啊，咱们今天咱们讲的质数是吧？把每个数给它分成质因数，这个质数。把它们一切公有的质因数和几个特有的质因数，然后把它全部乘在一起，乘一起就得到最小公倍数，

这句话如果看不懂的话，咱们这有个例子，比如。比如求12，18和20，它的最小公倍数。好，12可以分成二的平方×38可以分成二×3^2，20可以分成二的平方×5好，那么把这个数都给它乘在一起，乘在一起，大家可以发现什么，发现二的话一定要取最多的取二的平方。平方知道吧啊二我就单独写一下吧，就十二十八还有20。

然后这时候呢，我们这二一定要取最最多的啊，一定要取最多的。然后三也要取最多，为什么要取最多的，知道吧？为什么要取？你看这个12有两个二二的平方，然后其他呢？这个18是一个二。20是二的平方，所以它这个一定要写写二的平方，然后再看32是三的一次方，18是三的平方，20里面没有三，

我们要写三的平方。然后再看五五的话，然后这个前面两个没有五二十呢，有一个五再写个五就行了，这样得到180。好，我讲讲为什么要取最多的啊？为什么要取最多的？因为大家知道咱们这个公倍数就像下雨打一个雨伞一样。像打个雨伞一样，你这雨伞得足够大把，每个数都得照到里面去，知道吧？含到里面去啊，如果假设二假设二取的不是最多的，

取的是二的一次方，如果取二的一次方的话，你像有的数就会露在雨伞外头，它就。这个数就不是它的倍数了，懂了吧？所以这时候一定要取最多的，其实把每个数呢都给含到里面去，知道吧？都给包含到到到里面去，就这个意思啊，所以这是第一个叫分解法。好，第二个是短除法，这个书上写了一下，

但是呢，没有具体展开演示是吧？短除法我来讲讲啊，短除法短除法是这样的。哈哈哈。啊，短途法短途法的话，就是还以12，18和20为例。12，18和20为例。好，那么先写作共同的约束，有没有共同约束都有个二是吧？大家可以看都有个二好把二写到前面来。

啊，都有二写到前面写到前面以后，那接下来每个数都除以二每个都除以二以后，这就变成六再变成九再变成十，是不是这样的每个数都除以二嘛，你看12÷2得到68÷2得到九。20，除以二得到十这样就写好了，对不对？这样那接下来我们再看六跟九有或者六跟十有，但是咱们只能是兼顾到一部分啊，如如果写六跟九先写六跟九的时候，十要照抄下来十。十不要动，如果要先写六跟十，

那九就不要动，反正这个没有啥区别，我就先写六跟九，六跟九，有的话六跟九的话就有个三。三那这个就就是二，这就是三是吧？所以六÷3写到这儿写到二九÷3得到三，然后接下来咱看二跟十有一直写到什么时候为止，知道吧？一直写到任意两个都是。录制了就停下来啊，所以这时候再写个二，只要这个是一，这个三就不动啊，

三没有动，没有动就不写了，十就变成五。懂了吧，然后写完以后把这个外面这些画圈的数乘在一起，就它的最小公倍数。啊，把这个所有的数都乘在一起这一圈儿啊，一圈儿数都乘在一起，你自己乘一下也能得到180是吧？乘在一起，所以一直写到什么？一直写到两两互质就两两之间，除了一之外，没有其他公约数了，

这时候就停下来就停。好吧，这个能懂吗？先找几个数，不管是三个数，四个数都可以用短除法做啊，就是先把它共同的约束找到，找到以后，然后再看部分约束有没有？然后一直逐个往下找，找到任何两个数之间没有其他公约数了，这时候呢，我们就可以停下来，然后把这一圈儿的数乘在一起，这个短除法的好处什么好处啊，

第一个数就是它的最大公约数。所以这个顺便可以把最大公约数也给求出来，第一个数啊，就最大公约数了，知道吧，这是短除法，把它乘在一起，给它答案好吧，这个书上写了一个短除法，提了一下，但是没有演示。接下来看公式法，公式法只适合于两个数啊，公式法它只适合于两两个数，知道吧？

它只适合于两个数。三个数就不能用了啊，大家看一下公式，就两个数的乘积。等于这两个数最大公约数和最小公倍数的乘积，懂了吧？就这样的只有两个数，好那么大家知道这个两个数，它的乘积就等于最大公约数乘以最小公倍数。那我们是不是可以求出两个数的情况呀？比如说两个数写下两个数乘积。等于最大公约数用小括号表，最大公约数中括号表示最小公倍数。好，大家知道这个这个最小公倍数最大公因数很好求嘛，

最小公倍数很好，求让两个数乘积除以最大公约数就得到最小公倍数了，知道吧，就得到最小公倍数了，那三个数怎么办？三个数只能两两用，知道吧，所以三个数这样的。三数先两两用一下公式，求这两个数的最小公倍数，这个公数怎么求呢？让这两个数相乘再除，以它最大公约数，明白吧？让这两个数相乘。

相乘，然后除以最大公约数得到这两个数的最小公倍数，懂了没得到这这两个数最小公倍数，这算就等于36咱有这两个数算完后，然后这个数跟这个数再用一次公式，以此类推啊。如果数多的话，就两两用两两用，一直用到最后。这两个数就行了好吧，所以数多的时候呢，用的过程就很复杂了，数少的话，用的公式还可以，知道吧，

首先这个公式只能用于两个数，三个数怎么办？三个数两两用，如果要四个数一样，四个数这两个用，这两个用，最后这两个再用一下就行了啊，所以。这个再用一下，就是36×20除以它最大公约数对四，这就等于180是吧？你看跟刚才算的答案180是一样的，发现没？所以如果要三个数的话，它只能是。

这样去用，所以就总共三种方法，三种方法，你看自己用哪个方法做都行，接下来咱们再写求最小公倍数的技巧，总结一下就OK了啊，最后就写下来。求一些技巧，最小公因数不用说，最小公因数很简单，一般都能口算找到啊，最小公因数这个大家没有什么问题啊，就求最小公倍数的一些技巧。啊，第一个如果要是两两互质的话，

直接有它们的乘。两两互质化，直接又乘，比如说四九还有五是吧？直接它们个数的乘积就是它的最小公倍数，就个数之积。咳。就等于它的最小控倍数。比如说让求四九五，它最小公倍数，您看四跟九是互质的，九跟五它也是互互质，四跟五也是互质，两两都是互质的，直接拿三个数相乘，

就它最小公倍数，四×9×5。啊，直接就得到它的公倍数好吧，就是这个两两互质。第二个是一个吞并法。啊成命法，刚刚咱们做了一个例。呃例16的时候有个是找二三四六就例十六二三四六的最小公倍数，大家可以发现这个二被四吞并了，知道吧？因为什么？因为看四里面有二二就被吞并了，然后这三三。被六给吞到里面去了，

这个可以化掉，只要化掉，你只要求四跟六的最小公倍数就行了，懂了吧？比如说给你，咱们后面做题的时候会给你一长串儿，比如说啊，四五六七八九，然后找它的公倍数，公倍数看里面有没有吞并的？知道吧，比如四五六七八九。啊，就四五六八九，你看这个四就被八吞灭了，

四你就就不要了，知道吧？就就不要了，然后这是第二个。第二个就是吞并法。对吧，这这个四你就给它划掉，因为四被八吞到里面去，吞到里面就求剩下的这个公倍数就行了，好吧，以后叫吞并法啊，就这个它正好是其他数的约数，就把它吞并吞并，就求剩下这个大的这个约数，懂了吧，

就知道什么叫吞并法吧，把小的。就小的被大的吞并了嘛，是吧？小的小的被其他的含到里面叫吞并法，然后第三个就是如果有部分互质。部分互质，部分互质是什么？刚才咱们做了一个六七八的，一个一个一个一个公倍数是吧？就六七八六七八，大家可以发现七跟它们都是互质的，其中互质它怎么做呢？刚才咱们是求这样求的。求的是七跟八呃，

就六跟八六跟八的公倍数，求出来求出来，然后再乘一个七就行了，你看七你看七跟六七跟六是互质，七跟八也是互质，这个求公倍数的七。先扔那一边儿，他就别捣乱了，先扔那一边儿，要不然把六跟八的最小公倍数求出来，六跟八的最小公倍数求出来以后呢？然后再乘个七就行了是吧？就如果某一个跟其他都是互质的，你就求其他的，其他的把六跟八的。

公倍数求出来，求出来。公倍数求出来，用公式法呀，用刚才分解法都都行。好吧，求求完，然后然后再乘以七就OK了好吧，就部分互质有一个数跟其他数都是互质，能把这些数呢就写在一边，写一边就可以了。好，总共呢三个小技巧，到时候做题的时候可以用一用啊，一个是任何数都两两互质，

还有看有没有吞并的，还有没有部分互质好，这样的一个情况好，这个顺便把最小公倍数的求法都给大家已经讲完了。好例四，大家看它约束到底有几个？然后看630。好，那它约束咱们就给它讲完这里给给给它写一个公式啊，你就看它每个数有几种可能性，用那个做好吧，每个数有几种可能性？你看它的约束里面要么有二，要么没有二，所以二的可能性就两种情况是吧，

因为它约束里面要么有二，要么没有二，就两种情况。好，三三的话有几种情况看啊三啊，三三的话，它有三种情况，为什么有三种情况有零个三？就它不含三或它约束里面是一个三约束里面要我们两个三，所以三呢是有三种状态，看到没有，所以相当于是把相当于把这个次方给它加上一个一就它的可能性。懂了吧，然后这个五五的话，要么就是一个五，

要么就是没有五五的话，就两种情况，然后这个七七的话，要么有七，要么没有七是吧，就这样算，就24个好吧，就24个啊，所以在这呢，咱们就可以记一个公。公式啊，刚才为什么没说那个公式呢？因为做完这个题你也就理解这个公式怎么来的了，懂了吧？比如说以后一个大一点的数，

比如二的三次方三的平方啊五。五的二次方，然后然后然后七的一次方问它约数有几个，大家可以看二二的话就有四种状态，有可能没有二有可能一个二有可能两二有可能三二就二呢就四种状态，四种可可能性是吧？然后三三有可能零个三有可能一个三有可能两个三，在它约束里头啊，所以说三它有三种情况，然后这个五五的话有可能是零个五有可能是一个五有可能两个五也是三种情况。这七的话，有可能是零个七，有可能一个七是吧？它这这又变成二，懂了吧？

所以它的给它总结公式什么，就把它次方都加一，就代表相乘，就代表它约数的个数啊，大家把公式画画吧。就怕大家看不懂，大家先把它分成质因数，比如说这个思路里面写了啊，这个m就等于m1的k次方m2的k次方，这样有kk次方要求它都是质数啊，都是质数分解好以后。它的约束的个数就是k1+1，直接把那数加上一就行了好吧，直接把它加上一就可以了啊，加上一就得到它的约数有多少个？

啊，如果不等的话，你自己列几个就明白了好吧，没有列它的约束，列它那么多约束里面要么有的约束是有二有的约束呢，没有二是吧，所以要么有三，要么就没有三，要么有两个三，反正就是它的状态，这个看。看看懂了没有？好吧，就是210也可以套这个公式，懂了吧？

210也可以套，刚才又给大家举了一个公式，比如说某个数稍微大一点儿，那分解好了是这样的。分析好以后是这样的，这样的话，大家呢，就可以这样去分析好吧，就可以写。它的约束啊，懂了没？就把这个指数都加上一这样一代表什么加一代表它有多少种可能性你知道吧，有几种情况啊好吧。啊，这个这个题就先讲到这，

我们回头再琢磨琢磨啊，接下来咱们就看考向二好考向二就是它公倍数和公约数，它的计算方法。计算方法的话，难点就在于讨论它的取值情况啊，讨论它的取值，咱们看一下例20。看一下例20这个题目好，两个正整数甲和乙，它最大公约数为六，最小公倍数为90，如果甲是18。那么，乙是多少？然后大家看一下这个题。

如果两正整数减了乙，它最大公约数是60，最小公倍数是90。哈哈哈。好，那以后大家遇到两个数。啊，我们首选就是公式法，对吧？所以咱们讲过它的方法有三个，那么用公式法。就甲和乙的乘积就等于它的最大公约数乘以最小公倍数。啊，对于两个数啊，三个数不要用这个公式啊，

两个数它可以用这个公式就两个数的乘积就等于它的最大公约数乘以它最小公倍数。啊，这里给我们甲了，那么把甲带到里面去就可以算出乙的值是吧？然后甲正好等于30带到里面去，可以算出乙的值。那甲等于18，乙就等于30。好，那这是它的这个知识点好，那如果这道题咱们呃正确答案就选完了啊，正确答案就选择b好吧，那么乙就等于30乙的各个数据之和就是三。好，那咱把这道题那么换成啊，

另外两个小题，一个是它最大公因数还是六，然后最小公倍数呢是120，那么求甲乙的情况好吧，一个就是甲乙。它的最大公约数。为六若最小公倍数。为120好，那么求甲乙它的情况。啊求甲乙好，如果最大公因数为六，最小公倍数为120，那么如何来求甲乙也会讨论？好，那么另外一个讨论的题一块儿写吧，

甲乙的最大公约数为六。哈哈哈。啊，甲乙之和。啊，为70。啊为84啊，甲乙之和为84那么求甲乙好了，那么这两个题就非常有代表性。这样大家回去做后面题，或者做其他难一点题，那么就可以掌握了啊，甲乙的最大公因数为六啊，最小公倍数为120，那么求甲乙。

第二个就甲乙的最大公因数为六，那么甲乙之和正好为84啊，求甲乙。好，大家思考这两个小题。咳。好，大家记住，以后要知道最大公约数了啊，那么两个数要会表示它的形式啊，最大公约数为六，表示每个数它都含有六这样的一个约数。所以可以设甲就是6m，乙就是6n。这里面要求mn要互质mn要求互质。

为什么要求mn互质呢？因为六是最大的公约数，六是最大的有除了六之外，甲和乙不能够再含有共同的约束，如果甲和乙再含有共同约束，那么最大公约数就会比六还要大。有了六就是两人共同里面的最大的一个约束，知道吧，就是相当于除了六之外，那么这个它们两者不能再有共同的约束了。那就mn互质这样的一个情况好，接下来咱们可以用一下公式，公式就相当于两个数的乘积。决定最大公约数乘以最小公倍数好做着先除掉一个六除掉一个六得到120再除一个六得到20，所以就得到mn=20。

如果考试要问有几种情况，注意这道题就容易设置一个陷阱啊，一个取一，一个取20，还有就是二跟十能不能要大家想想啊，二和十这个比如说mn一个是二一个十行不行？这是不行的啊，如果一个二一个十的话mn，它就不是互质的，不是互质的，它错在那么它最大公约数就会超过六啊，最大公约数就不是六了啊，它会超过六，所以这个东西是要舍掉的。是是不能用的啊，

对，还有四跟五啊四跟五。啊四跟五，所以一×22×10不能要四跟五是可以的，四跟五的话，它这个是互质的好吧，所以这个mn它的情况有两种，两种那么甲乙就有两种。如果一个取一，一个取20的话，那么甲和乙的值就是都给它乘以六倍就可以了啊，所以甲乙这时候甲。等于个六乙等于120，或者说甲等于24，就把这个乘以六好乙呢，

就等于30。啊一=30好，大家回头做一些作业题的时候可能要会讨论，当然有的题要更难一点，它没有告诉你最大公约数啊，那这时候要设一个最大公约数为a知道吧，设最大公约数为a，那么甲就是MA。乙就是na，然后再带到里面去讨论那么两个未知数，它会给你一些其他条件啊，去解这个两个未知数啊，一定要先把最大公因数，如果已知的话，那么把它写出来，

如果要未知最大公约数，你就设最大公约数为a。那么，甲写成am，乙写成an，然后再根据其他条件列式子，然后去讨论它的取值情况就可以了啊。哈哈哈。好，那这是这个题，然后接下来咱们来看一下，看下一个甲乙最大公因数为六，甲乙之和为84，其实跟它道理是一样的。啊，

跟它道理是一样啊，接下来我们就可以写成就是甲乙最小公因数为六，那还设一个6m，一个6n好吧，那就甲加乙就等于6 m+6 n就等于84。80那这样两边化简一下，把这六可以除一下就可以得到m+n，正好等于14。啊m+n=14 m+n=14，当然它的数可以分成很多了，但是要不能够不能找到啊，这个不互质的啊，一定要互质一和13啊一和13，然后二和12就不行了，知道吧三和11。

啊四跟十就不行啊，四跟十，然后五跟九。呃五跟九，然后六跟八不行，六跟八它有共同的约束嘛？七跟七行不行？问七跟七，七跟七也不行，七跟七的话，那么它的公约数就是七嘛，比如m=7 n也等于七七跟七，不是互质的啊，七跟七它七就是它们的一个公约数嘛啊mn，它也不是互质，

所以说只有。一跟13，三跟11，然后五跟九好吧，然后六跟八呀，七跟七啊都不行，然后也没必要交换，知道吧啊，比如说13跟一一跟13，它也不用去交换，然后这样的话，它就可以写出它的数值了。好吧，剩剩剩下写结果就不再写了好吧，只要mn的值知道了，

把mn分别乘以六就可以得到甲乙的值好，通过这两个小题告诉大家什么问题考试，如果出一些通信判断题或者一些。做题中那么需要进行讨论参数的取值，大家呢，就可以根据它最大公约数，然后设两个数，然后再根据两个数满足的乘积呀，或者满足它的和呀，等于多少呀，然后讨论mn的值mn的值，讨论出来了，那么这个。两个数就可以求解出来好吧，如果要没有呃，

不知道最大公约数的话，你就设最大公约数啊，咱们做有些题难一点，设最大公约数为a，然后再去列式子一样的好吧好，这是两个数，如果要知道最大公约数怎么去写？好，那么计算层面又讲完了，计算层面有具体的数，咱们怎么去算它的公倍数，公约数，另外呢，就是呃，如果要给一些条件去讨论两个数的取值情况，

这个大家要知道好吧，这个。计算层面讲完了，接下来咱们看应用层面，应用层面咱们先说一下公约数，它的应用好吧，公约数应用。啊，公约数在什么情况下应用呢？公约数就是对于长度数量不同的物品进行等长度相同的长度数量分的时候，那么就按照公约数来分就行了。就按照这个相同的长度来分，或者相同的数量来分好，这是公约数，它应用。

好，那比如说咱们看一下例二一这个题。啊，除了咱们这书上的题之外，我还要给大家再补充一些题啊，让大家自己去判断，只要因为现在书上都给大家分好类了是吧？嗯啊，哪些题是属于公约数，哪些题属于公倍数都分好类了，那接下来一会儿咱再补充一些题。你自己判断用公倍数来公约数好吧，咱们先看一下书上题，书上题不是很难，就三根铁丝长度分别为120，

180和300。先把它截成相等的小段儿好，这个相等这个关键词就是每一段儿长度都相等，考试后把这关键字给它画出来。然后每个都不能有剩余。然后接下来一个关键词是什么？最长最长就体现最大公约数是吧最大。公约数。所以这两个关键词，一个是最长，一个是相等啊，这是最大公约数，然后它呢，为a那一共可以截成b段儿，问a+b段儿等于多少？

好求a+b的值到底是等于几？大家想一想啊。好，首先我们求出120，180和300的最大公约数，因为最大公约数都很简单啊，所以直接口算可以得到60是吧？就这样就直接看成六六十，所以每一段儿都按照60解就行了。好吧，就这个最大公约数就60。嗯。好，那最大公约数是60，然后呢？

接下来我们呢就可以看到它可以截成多少段儿啊？这个a就等于60了啊a=60，然后b可以截成几段儿啊？那120可以截成两段儿是吧？可以截成两段儿180就截成。三段儿啊，300可以截成五段儿，所以这个可以截成十段儿，12总共加在一起，就是70 a+b=70。那这个答案就选择d好，这是相同长度来进行分就可以了。好看，这个明白没有好，然后接下来咱们看啊，

给大家补充一下题来判断一下。啊，有一个三角形的公圆啊，大家一起来思考这个题，我来念一下啊，有一个三角形的公圆。各边的长分别是150，180和300。这三边长度150，180，300啊，今在这个边上种树。啊，在公园儿边上种树相邻，两棵树之间的距离都得相等。

其他三角形顶点啊，都要种树，问至少要植多少棵树。啊，这属于植树的应用题，而且结合的这个公约束它的使用。好，那接下来有个关键词，看到没？距离相等啊，距离相等。另外，有最少要种多少棵树？好，大家都简单的写一写好吧，

然后再把题念一遍，后面看不到的同学再念一下啊，有一个三角形的公圆。各边的长分别是150米，180米和300米啊，今在它的周边种树，周围种树相邻，两棵树之间的距离要相等。啊数与数之间的距离要相等，且三角形的顶点都要种树啊，三角形三个顶点都要种树，问最少最少种多少棵树啊，大家知道一个生活常识啊，间隔的越远。啊，

就间隔的越大，那么种的树它越少，对不对？好，大家想一想。而且对于封闭型的指数问题啊，咱们指数那么有两种公式，对吧？一个是开放型的啊，在咱们二零一九年考了指数问题啊，就是。不管是什么样职务问题，它都是两类啊，一类是封闭型的，这道题就是一个封闭型，

什么叫封闭型呢？它是一个。三角形就是封闭图形，或者是一个圆，或者是一个正方形，都是封闭图形啊啊，咱们先说一下指数的公式吧。好，如果要是开放型。开放型这样的这样开放型，我这样的我这样的，反正就是首尾分开的啊。就是手跟尾分开的，这都是开放型的。那开放开放型，

它植树的数量就是由用总长除以它间距就可以了好吧，所以它的植树。就总长除以间距。好，这样一除就可以了，后面再加上一个一好，那这开放型后面再加一+1，应该首尾分开嘛，这首尾分开了是吧？好，如果要封闭型的。后面就三角形，还有圆，还有正方形等等的，然后二零一九年考试呢，

就考了一个正方形。和正方形的三条边啊，到时候大家做真题的时候可以发现啊，它考了这样，然后封闭型的封闭型的话就直数就等于它的周长。一边去。然后再除以间距好，这个地方就不用再加一了啊，不管是三角形还是圆还是这样的。好，那接下来这道题考的是一个三角形啊，考一个三角形，三角形三条边分别150，180和300。啊，

画一个图吧。啊，150，180和300啊，大概就这样的一个图好吧？然后它要各个顶点都得种树。好，要保证数的间距大，间距大的话就找它的最大公约数呗，是吧？然后最大公约数。啊，有150，180和300，它的最大公约数。

30是吧？这个公因数30。好，按照30来指数就行，这时候你不用每条边单独算啊，如果三条边每条边单独算，那这就麻烦，而且这个点到时候还得去考虑重复，没重复是吧？直接拿周长算最快。叫指数的数量。啊指数数量指数数量就是150嗯，除以30+180，或者说直接把这个周长加在一起除也行。都可以除以30的也行，

好150+180+300÷30。就得到五+6+10=21好吧，对等于21好，这个写好了。所以这道题那么在值数里面可以结合咱们的公约数，它的使用。好，那答案就是21正确答案，选择a好了，这这个题大家看做的答案是不是这样的啊？好，就把这个指数的公式给大家进行讲了一下。好，那接下来咱们再看公倍数的使用啊，再看公倍数啊，

植树问题里面也可以用公倍数啊，也可以用公公倍数。呃，公倍数什么用呢？就是变间距的挖坑问题，比如说原来每隔30米挖好坑了，现在植树呢，要改改成比如说每隔45米来挖坑是不是？然后这时候问哪些坑可以？在用那么什么坑，可以再用呢，正好在公倍数那个坑可以再用好，这是公倍数使用，另外呢，那指数问题还有用公倍数什么用公倍数就是马路两侧。

比如一边儿每隔多少米，然后植植树，这边儿每隔多少米植树，问两边儿相对的点有几处，它也是公倍数，知道吧？在公倍数的点，然后这两个正好相对。明白吧，就植入问题，一个变间距的挖坑问题，这时候要用公倍数，还有呢，就是一个问马路两边相对的这个点到底有几个有几个有公倍数，它就可以对上。

另外还有工序的分配问题，就是生产加工的问题，工序分分配，还有物品的分配，还有不同时间去同一个地点，不同时间去同一个地点，比如说去图书馆儿是吧，比如甲没几天去图书馆儿啊，乙没几天去图书馆儿。问题那不管如何考察，它们共同点要抓住共同点就是公倍数含义，就相当于在不同时间或者空间的人或者物在同一时间点。或者同一地点出现好，那么咱们假设刚才咱们讲的挖坑问题，挖坑问题变间距问题是考察不同的，

这个长度不同空间的。啊，那么它要在同一地点出现，是不是然后在这里面就是如果要是去图书馆儿问题就是不同时间啊去，比如说甲是每五天去一次，乙是每八天去一次图书馆儿，他要在同一时间相遇那。这块儿那就是用公倍数来求解就行了好吧，公倍数就让他们在同一时间点或同一地点来出现啊，这是公倍数使用。当然，公倍数咱们在做一些后面应用题的时候还要用啊呃，用用一些应用题，比如说咱们在做一些工程问题的时候用公倍数呢可以。可以出现这个节省少的倒数，

知道吧？比如说甲单独是五天，乙单独是六天，咱们再用公倍数，可以表示总工作量的时候用，知道吧？公倍数比如甲单独。啊六天乙单独十天，咱们就如果要设总工量为一的话，大家记得这个工作效率就是倒数有印象吗？如果假设它总工量为一。那么，甲的效率有六分之一，乙的效率十分之一，是不是这样解写比较麻烦？

对不对？所以在做工程问题的时候，你可以设总工量为它的最小公倍数，为最小公倍数的话，那这时候呢，它呢，就是不会出现这种。倒数比如说我们设它的总工量是三十三十的话，那么甲的效率就是五，每天干五份儿，乙的效率就每天三份儿，懂了吧？就这样的话，就是可以呃，减少咱们的分数的出现，

可以节省。咱们的运算量啊，这是在工程问题的时候，咱们可以用公倍数来表示它的总工量啊，那么还有一些通分的问题，或者说化简一些比例的时候找一些公倍数统一比例法呀，要找到公倍数懂了吧，比如说咱们在做一些。比例的时候呃，比如说甲比乙原来是五比四是吧？比如说甲不变，乙变了，然后变成六比七了是吧？比如说这个乙增加多少以后，那么甲乙数量是不是变成六比七如果甲？

没有变化甲，没有变化，可以把甲的分数给他统一，知道吧？甲前后比例没有变化，把甲给他统一就找五和六的最小公倍数，然后给他一统一就行了，所以在咱们做一些比例的化简的时候，还有一些通分的时候啊，通分比如说两个数。相加的时候啊，两个数相加的时候那么做一些通分的时候也要用到公倍数，所以公倍数呢？用的呢还是比较多的好吧，这是给大家进行强调的，

在其他场合应用啊。好，那接下来咱们做一些题目好吧，做一些题目这个例22这个题就是考察相对的点相对的点就相当于是啊，要找这个公倍数在公倍数点，它正好能够对上。好，这个题大家思考一下，想一想，这是一条长为3600米的马路。然后一边呢，每隔60米，然后种那个杨树对吧，然后另外一边呢，每隔50米呃，

每隔90米种一棵柳树。问它正好，两者相对点啊，相对大家找它的公倍数就可以了是吧？找它公倍数。那么，60和90的公倍数，我们可以用公式法做，或者说这个也比较简单，也能口算。啊，最小公倍数。就等于180是吧？60和90它公倍数180，180就是每180米，

它就有一个这个能相对上。是吧，相对长，比如说你看这三颗就三个60，这是180。然后这是两个90。也180那这个点它就能对上，知道吧，正好在180的时候，它要能能能对上。呃，后面咱们作业题还有一个可能有同学提前做过啊，就是下雪了以后两人在雪地上走那个脚印儿是吧？有时候它是一个圆形的公园儿，知道吧？

圆形公园有时候呢，可以是一条长度多少米的马路？比如说小明和他父亲，然后呢，和他爸爸，然后在这个路上走是吧，然后比如说他爸爸每一步的长啊是45厘米是吧，每一步脚印儿之间的这个距离45那小明，比如说他是。30啊，30这个脚印儿之间距离，然后问这个走完一圈儿，那么雪地上留了多少个脚印儿是吧？多少个脚印儿？那这种情况也要用公倍数，

因为它要有重合的脚印儿，求这个重合脚印儿都要用公倍数来进行求解啊。好，那这是给大家强调，咱们把这题先做完，做完以后呢，大家可以看到，就是呃，180米，那么就作为重合，再180米又重合，再180米又重合，所以呢，3600。除以它的公倍数180，

这里还要加上一啊，因为它两头儿也重合了，因为两端它也重嘛啊，两端它它也重。因为它这是开放型的，知道吧？两端它也会重合这个数啊，所以每180米它重合一次，这样就得到是21。啊，这样就写好了好吧，这个看这个是不是懂了，然后另外这个植树问题的还可以演变成脚印儿，刚才咱们脚印儿问题还有变间距的。挖坑啊，

变间距。啊来挖坑，然后这脚印的话就可以求什么求重合的脚印。比如两个人在下雪完以后在地上走，雪地上留的脚印儿是吧？它有重合的脚印儿，重合的脚印儿的话，那用公倍数还要变间距的挖坑，那么就可用的坑，比如原来挖好坑了，那么现在改变间距。哪些坑可以再用？求可用的坑的时候，大家呢？要用这个公倍数来分析好吧，

还有刚才咱讲的这两边儿相对的点都用公倍数来进行求解。好了，这这几个都是指数相关的啊，相关的公倍数内容。好，这个记完后再接下来，咱们看下一个下一个就是生产工序上当下例二三，你不用公倍数也能做，用公倍数要简单一点。好，他说要经过三道工序，第一道工序，每个工人每小时可完成三个零件啊，就是它的加工的速度，每人每小时可加工三个。

第二道工序，每个工人每小时可完成十个零件。好第三道工序，每个工人每小时可完成五个零件，要使加工生产均衡。好，要知道这个均衡是什么意思，三大工序总共至少要分配多少人啊？总人数至少知道多少人不能再少。啊对，19人，我们看这道题好这那么第一道工序。好，这第一道工序，然后下来到第二道工序。

到第三道工序。好，那么什么叫做加工生产均衡啊？什么叫加工生产均衡？这家公司呢，均衡的意思代表什么？代表人员不能有闲置的是吧？不能说有人很忙，有人呢？又闲着没事儿干，出现了劳动力资源的浪费，这样就不行，对不对？所以接下来我们可以设第一道工序是a个人。这是b，

这是c。好，那有说明什么？第一道工序加工的零件数正好供应上，第二道工序的加工的量是吧？然后供求相等知道吧？然后第二道工序加工的零件数正好能供应上，第三道工序的人员使用啊。啊，所以正好它这个数量呢，正好能够均衡好，那么第一道工序每个人可以完成三个是吧？就3a第二道工序呢，每个人呢？他完成十个。

第三道工序每人完成五个。完五个，然后这个就等于它的生产的零件数知道吧？就是第一道工序下来的这么多个零件啊，正好第二道工序啊，能供应上是吧？然后呢？这个零件数，然后又能供应上，这是它的数量零件数。好，那接下来咱们来看一下这个零件数啊，这零件数它肯定是整数对不对？整数整数的话，那么相当于大家可以发现正好是三的倍数，

看零件数肯定因为这有个三。对吧，所以零间数能被三整除零间数呢，也能被十整除零间数，也能被五整除是吧，你看这个零间数嘛，零间数是三的倍数十的倍数和五的倍数。所以零件数呢，就取30，还有五的最小公倍数就可以了，好吧，所以在这里面就找最小公倍数。这个部分咱们讲过一个吞并法，你看看五五就被十吞并了，可以不要是吧？

你看这个五就十就大鱼吃小鱼嘛，然后把这个五给吞到里头去，吞到里面就剩三跟十。但是这两个又是互质的，对吧？互质咱们讲过技巧，如果两个数要互质或者三个数要互质，只要互质的话，它的公倍数就直接拿两个相乘就可以了好吧，直接拿两个相乘。啊三跟十相乘就30好，所以说这个零件数30个，这个当然是每每小时了，这个单位就没没写好吧，就按照这样的。

啊，加工的速度和效率那么这样的话，生产就均衡的，就不会出现人员的浪浪费啊，好，那接下来我们可以把a求出来b求出来c求出来，每道工序的人数好吧，这也是最少啊，因为它是最少。当然，你分配60个人也行，只要是30的倍数都可以保证生产均衡啊，所以生产均衡的方案还有很多啊，只要满足是30的倍数，比如说60或者90啊等等的都可以。

只要30的倍数都行好，这时候a我们就可以解出来等于个10b等于个三，然后c等于个六，所以这个a+b+c最少就19人。啊，这个最小最少啊。啊，最小的啊好这30知道怎么来的吧，就是三的倍数十的倍数和五的倍数好吧，最小公倍数啊，求解出来求解出来30。啊30完后，然后这个a的值就可以解出来b的值c的值，然后得到答案确定答案就选择c选项。好，

那这个是转成多个整除的问题，要用公倍数啊，公倍数公倍数使用还是在咱们上午讲的那几个余数余数是吧？那整除的时候也要用公倍数来思考是不是，所以公倍数的使用呢，还是比较多的。然后接下来咱们看24题啊，一次会餐提供三种饮料。啊，用餐后统计三种饮料，共用了65瓶儿，当然这个题大家设备的数列方程做也可以啊，三种饮料共用了65瓶儿。平均每两人饮用一瓶a饮料。也就说一半的人饮用了a饮料，

还有一半人没有用，知道吧？就像咱们算这个汽车的保有量，比如说平均每三个人有一辆汽车一样是吧？它就是平均下来啊，就是相当于是按照这个数来折算。好比如说每三个人饮用一瓶b饮料就三分之一的人用了b饮料，还有三分之二的人没有喝b饮料，然后呢，每四个人饮用一瓶c饮料。然后则参加会谈人数到底是多少？那这道题呢？可能大家呢？用未知数可能会好列一点，所以我先用嗯，

未知数来解啊就是。不给大家用公倍数来解，用未知数好，假如参加会谈人数x人x人，那么a饮料就用了二分之x。然后b饮料的数量啊，这道题就根据它的呃，这个饮料的总数量来列一个等式就行了，就三分之xb饮料加上四分之xc饮料等于六十五。等于65啊，就三种饮料加在一起，等于65，然后这x我们就可以解出来好，这是一种方法，另外一种方法呢是这样的。

这s算是等于60啊，另外一种方法，这样大家知道这个人数一定是二的倍数，人数一定是三的倍数，人数一定是四的倍数。是吧，就是人数啊啊是二的倍数，三的倍数和四的倍数，所以另外一种方法就是用公倍数，所以人数一定是二三四的啊，它的这个公倍数啊，找它的公倍数来进行分析和思考。好吧，所以在这里面我们就找最小公倍数二三四啊，最小公倍数。

求它最小公倍数，我们再用吞并法，大家可以看二就被四吞并了是吧？什么叫吞并？要再说一下，没听懂的同学，再说一下，就这个这个四里面正好是二，正好是能分解出二这个约数，知道吧？就是大鱼吃小鱼，把它吞并了。就这个意思啊，好，所以这个二就不用管它，

不用管它，剩三跟四三跟四就互质互质的话。它的公倍数就等于两数相乘，就等于12是吧？12好，那接下来我们怎么去用这个最小公倍数就是每12个人？咳。啊，用多少饮料是吧？那每12人那用a饮料应该用了六瓶儿a饮料用了呃，四瓶儿b饮料用了三瓶儿c饮料，所以说每12人会用13瓶儿饮料。这个只要是12个人，他就用13瓶儿，12人用13瓶儿，

接下来我们给它扩大倍数，那实际呢？是65瓶儿饮料是吧？实际65，65给它扩大五倍乘以五倍就可以了，是不是？所以65嘛，65给它乘以五倍。乘以我们的人也给他乘以五倍，只要60人。好，就这道题，它用最小公倍数不是必须使用的方法，知道吧？那实在不行就列方程可能就好理解一点，

等下列方程解出x也等于61样的。啊，也是60啊，如果要用公倍数的话，首先要看的人数是二的，倍数是三的，倍数是四的倍数，在这里面大家呢，就可以得到人数呢，要是。它的最小公倍数12啊12，所以说大家可以看到每12人，只要每12人呢，都要用13瓶饮料，所以我们看有几个12是吧啊，

给它乘以五倍就可以了。啊，得到就60，这样就写好了。然后接下来就是去什么地方好吧，去什么地方就是，比如说甲乙丙。它。啊，去什么地方？哈哈哈。然而，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少需要多少天？至少三人需要相遇多少天？

那就找五九和12，它的最小公倍数。五，92最小公倍，最小公倍数，它这个怎么求啊？三个数，三个大家可以发现五跟另外两个数都互质用，咱们今天讲的技巧，你看五五跟九是互质的，五跟12也是互质的。所以你可以把五扔在一边，算九和12，它的公倍数对吧？九和12公倍数是是不是360啊？

呃，36，36。三六，然后再乘以五就行了，这能懂吧，所以就直接算九跟12公倍数，然后再乘以个五就行啊，记住咱们今天讲的小窍门儿，那几个技巧做题的时候可以快一些好吧？求它的最小公倍数九和12，你套公式做，或者说分解做都行，九和12公倍数就是36。三六×5。

180所以到180天的时候，他们呢？33又同时相见了是吧？这样的。

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