1-04实数与整除（1）

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 13:20:56

好，下一个咱们看一下，有理数无理数。啊，有理数，无理数，有理数，无理数，在13页。13页。翻到13页最下面啊，13页最下面这个实数啊，有理数13页。好，13页的话，

那么实数包含有理数和无理数。好那么实数，咱们用r来表示有理数，用q来表示有理数，包含整数和分数好吧，那整数又分为什么正整数啊？负整数啊之类的啊，那么这个有理数还包括什么有限小数和无限循环小数？啊，有限小数和无限循环小数。好那么无理数，无理数包含正无理数，还有负的无理数，无理数主要是无限不循环小数，小数点儿，

后面呢，它是没有规律的，它是无限不循环小数。这无理数。好那么有理数和无理数，它本质区别是这样的，本质区别本质区别的话，那这个有理数。它可以把它换成m分支啊，就搜索有理数。都可以化为。m分之n当然m和n需要是整数啊啊mn属于整数当然m还不能为为零了m，它不能为零。好就是所有有理数都可以化成m分之无理数，它不能化成m分之啊，

有理数它都可以化成m分之。啊，这个也告诉我们，如果可以写成m分之n的，这样的数都是啊，那么有理数啊，都有理数，只要能写成一个分数。当然，整数也可以化成分数啊，比如说按三可以写成一分之三嘛，是吧？这样也也可以的是吧？然后还有咱们的呃呃零点三零点三可以写成十分之三嘛？是吧，

零点三的循环可以写成三分之一嘛，所以就所有的有理数，它都可以化成一个分数，这它本质区别无理数，它不能化成分数的。接下来咱们再看一下14页，这里面的就是啊，这个写了有理数无理数的区别是吧，然后呢，这个14页上面写了本质区别。好，这里写写过了就给大家举了一个事例，对吧？然后接下来咱看无理数，常见的无理数啊，

常见的无理数。常见无理数的话，有这三类啊，第一类就是派啊派圆周率，第二个就是e咱们在指数对数里面用的比较多的就是e。一呢，就是二点七幺八二是吧？它后面也是小点儿嗯，这个是不循环的，另外有开不尽的根号，比如根号二呀，根号三呀，还有取不尽的对数啊，这也都是无理数。当然，

还有一些三角函数了，咱们只不过三角函数不学，比如三音45度，大家知道三音45度等于二分之根号二，它就是一个无理数，对吧？还有三音60度啊，三音45度。啊三一四十五度就等于二分之根号二是吧？三一六十度等于二分之根号三，那这些它也是一个无理数，咱们三角函数不做过多的要求啊。好，那这些都是无理数的特征好吧，就是派呀e呀，

开不见的根号呀，取不定对数啊，那这要会辨认它有理数无理数。然后有理数，无理数，它结合一些呃事实讨论的时候，这个主格性质要知道主格性质，主要是为了讨论。它的这个情况啊，有理数我给你说主格系数这个呢，画一个勾在书上写的好，那第一行是什么？第一行就代表有理数和有理数运算啊，就有理数和有理数放在一起加减乘除运算，它还是有理数，

只要。好吧，就有理和有理加减乘除它算完后还是有理数，懂了吧啊，有理数。然后有理数加减，无理数得到是无理数啊，有理数加减，无理数得到是无理数。然后非零的有理数乘以无理数啊，这这块儿一定要加上一个非零的啊，非零的这个有理数乘以个无理数得到无理数，如果考试说有理数乘以无理数等于无理数，这个错了啊，一定要加上一个线。

万要是零呢，因为零乘以根号二，它还是等于零的是吧，所以它这个地方要把这个零给它去掉。然后非零的有理数，除以个无理数，它还是无理数。对吧，还是无理数，然后最后一个就无理数跟无理数加减乘除都是不确定的好吧啊，加减乘除它都是不确定的。好，这是它的这个组合的这个性质，这个组合性质怎么去理解？给大家讲一个比较好玩儿的去理解这个，

比如第一行，第一行这个有理数就讲道理，知道吧？讲道理，比如说很文明的讲道理的人在一起，他还是讲道理的。是不是是不是还讲道理的嘛啊？很文明的人在在一起都大家都讲道理，都遵从遵纪守法，大家呢？都都是讲道理的人，所以说讲道理的人放在一起，它还是有有理数。啊，如果一个讲道理的遇到一个胡搅蛮缠的，

你是不是很无语啊？有时候你遇到一个胡搅蛮缠的人，你给他讲道理，他不讲道理，你跟他不讲道理的时候，他又给你讲道理，是不是他就会胡搅蛮缠是吧？他这种很无语是吧？很很无语，所以就就变得很。很无语，所以说讲道理的人遇到不讲道理的人，你就离他远点儿就行了，好吧，有时候你就遇到一个这个胡搅蛮缠的人，

跟他说不清，说说不清，那你离他远点儿，反正就很无语很无语的话，那就变成无理数了是吧，变成无理数。然后两个不讲道理的人，两个很野蛮人，两个很野蛮人，动不动打一架打一架有两种结果，打完以后呢，大家呢都都很文明的是吧，有可能都是有理数，都很文明是吧，因为打完以后呢，

谁还不服谁是吧，下次见面儿还会打架是吧？所以在这里面，它还是呃，这个无理数，比如说两个无理数相加，比如根号三加根号二啊，根号三加根号，它还是无理数，但是如果根号三+1个二减根号三，那这个是无理数，这个也是无理数，看这个。无理数，这也是无理数两无理数相加就变成有理数了，

懂了吧？所以两个呃胡搅蛮缠的人放在一起，他有可能变得很文明是吧？有可能他还是不讲道道理的好吧，就这样去理解是不是好理解点儿？好，那接下来我们来看一下本部分的考试方向。考项一就有理数和无理数的判别啊，有辨别情况啊，有辨别情况，那这里比如说给你几个数，你辨别一下它是数的辨别到底是有理数和无理数，我们根据它的定义和它特征来进行分析。那么刚才咱们定义讲了那么有理数，包括整数啊，

分数啊，有限小数啊，无限循环小数啊，这都属于有理数，无理数就无限不循环小数是吧？就掌握这些特征来。辨别就可以了，接下来大家看一下例意，希望大家在听课之前都能够预习一下，然后没预习的同学也没关系，大家呢，现在可以按暂停键自己思考完以后，然后呢，再接着。在听老师的视频讲解。

好，那么现在大家都思考完了，接下来我们来看一下它的这个。数值其中问有理数到底有多少个啊？有理数内容好，那我们来看一下，找一下每个数到到底是有理数还是无理数？第一个根号根号，它是属于无理数是吧根号？它这个属于是无理数，因为原因它是开不尽的根号，那第二个根号四根号四它等于二，它这个是属于有理数。对吧，就属于是有理数，

然后e的零次方，虽然e它是一个无理数，但知道大家知道一个非零实数的零次方，它都等于一都等于一，它运算方法等于一，它是有理数。所以大家一定要注意一个公式啊，就a的零次方，它唯一的啊a的零次方，它唯一。然后接下来就是派的平方啊，派的平方，大家知道派是无理数派的平方，它也是无理数。但是如果考试这样说啊，

大家小心别上当了啊，它说一个无理数的平方。它一定还是无理数，这个错了，这个错了，啊啊啊，无理数，比如说我给你举个例，根号二是无理数，但根号二的平方呢？它变成个有理数，是不是这样呢？所以说啊，无理数的平方，它到底是有理数还是无理数这个要？

视情况而定，你比如说根号二，它是一个无理数，这个无理数的平方，哎，它真的又变成一个有理数，是不是这样的？然后派是一个无理数，但派的平方，它还是无理数，因为它小数点儿，后面还是没有规律啊，没没法没办法产生循环。所以说它是一个无理数啊，所以这个无理数的平方到底是什么样的数？

这个要根据它所给的这个数值来进行分析。下面我们来看一下七分之二这个情况啊，七分之二好，那么七分之二它是一个分数，分数是所以它就是一个有理数。它属于一个有理数，然后log以二为底，四的对数在这里面，大家要知道它的运算结果是。等于什么？如果对于对数比较害怕，同学教给大家一个规律，其实呢，你就转圈圈就行了啊，搞到有一个口诀，

这个转圈圈。你看就相当于是二的多少次方等于四这样转一圈就相当于它的它的这个问题相当于问。二的几次方等于四，那二的多少次方等于四呢？大家想一想，二的几次方是等于四呢？是不是就二的平方？等于四是不是所以它的答案是不是就等于二啊？各位同学，掌握这个窍门没有？是不是所以就二的平方正好等于四？那这样以后再遇到对数就不害怕了，是不是？那就相当于二的多少次方等于这个数？那你想想二的多少次方等于这个数呢？

那就二的二次方啊，所以它这个就算出来就等于二就等于二，然后在这里面它又是一个什么数啊？就是一个有理数好，那我们来看看这道题，里面有理数，到底有几个呢？大家一起来思考一下，输入有理数有几个好，这个是一个有理数，这是一个有理数，这是一个有理数，这是一个有理数。总共有四个有理数，正确答案应该选择的是d选项，

各位同学做对没有啊，恭喜做对的同学，我们离成功又近了一步。好了，各位同学，一定要提前思考一下好，那考情二无理数，它的组合特性，那跟有理数无理数，它的组合性质来进行分析，那组合性质是什么呢？我们一起来分析。和思考一下好，那么大家知道我们的有理数。它是非常的可爱的啊，

有理数那么加减乘除有理数啊，那它还是非常和谐的，它还是有理数，是不是它们就是？和谐的一家人啊，有理数呢，跟有理数相加，它还是有理数，有理数跟有理数相减，还是有理数，有理数跟有理数相乘，仍然是有理数。有理数跟有理数，相除在除的时候，咱们要求分母不为零，

是不是这样的？所以大家可以发现，你记住，有理数就是它非常的讲道理是吧啊，然后有理有有据，你这样去理解对吗？你看有道理啊。人家是讲道理的，不是胡搅蛮缠的呀，是不是人家有道理？那么讲道理的人是不是很容易相处啊？是不是很和和谐啊？这就是和谐的一家人，所以有理数跟有理数呢？它很容易相处，

它相处的非常融洽，它们还是。有理数是不是这样，大家可以形象的记忆是不是又感觉数学又非常的生动有趣了，然后接下来我们再看那么有理数跟无理数，那这个到底是什么情况呢？看有理数。啊，有理数那么加减啊，无理数大家想想，一个是讲道理的人，有理数人家是讲道理，守文明的人，人家很文明的人，讲规律的人是吧，

人家有道理。啊，讲道理的人跟一个不讲道理的人胡搅蛮缠的人，然后放在一起，他就会变成什么变成胡搅蛮缠的人是吧？大家想想什么？然后呢？那么在近墨者黑。是吧，近墨墨者黑是吧？就相当于是呃，把这个有理数讲到的人放在这个无理数里面，唉，他慢慢慢也就被呃这个污染了是吧？所以在这里面。

就这样的情况就变成呃无理数是不是，所以就相当于是一个有健康的人，跟一个有有疫情的人放在一起，那这个很容易呃这个污染，所以在咱们为什么咱们产生隔离呢？大家想想原因，是不是就这样呢？啊，这样呢，就所以把它隔离开就好了，是不是所以有理数加减，无理数就得到无理数，那此外，大家除了这种非常形象生动的呃学习之外，我们呢，

还可以怎么去学呢？还可以。用实例法来学，所以大家记住数学，你遇到比较抽象的问题的时候，你可以用实例是吧，然后结合一个实例来进行学，比如说啊，那么有理数，有理数我们呃取一个可爱的三。是吧，然后再加上一个根号二那这个这就是一个无理数，那三加根号三减根号，它变成什么数呢？它变成一个无理数，

你看三它是有规律的，对吧？根号二它后面小点儿，后面是没规律的，那加在一起。它的整个加完后是不是变成无规律了，所以大家可以把抽象的东西具体化，有利你数学的学习是不是这样的好，那就是有理数加减，那我请各位同学思考一下，那么有理数乘以。啊有理数乘以或者除以无理数应该什么情况呢？啊有理数乘以或者除以这个无理数，它是什么样情况？大家想想啊，

一个有理数乘以。或者有一个有理数，除以无理数，到底什么情况呢？那有的人说啊，那就是无理数，你们思考一下，有同学回答无理数，你认可它这个答案吗？都互相讨论一下。好，那到底什么数呢？你思考一下好，那在这里面好，那有同学说老师我举了一个例子，

举了例子就举了一个三乘以根号二，你看这个三是有理数。是吧，它有理有据，它三是一个有理数，然后根号二呢，它说是一个无理数三乘以根号二就变成一个无理数，它说这个答案就是无理数，你认可这个吗？然后这个时候大家在做判断的时候就容易出错是吧？大家告诉我它错在哪？有没有同学发现？唉，有同学说的非常好，就是零是不是就零，

它是这个特殊的情况，你看零乘以个根号二啊零零乘以个根号二，它就变成零，它就变成一个有有理数了。是不是所以零乘以根号，它就不行了，所以这块我们要加上一个关键词就可以了好吧，加上非零的。啊，上面上面这两个不用再加各位同学知道吧？上面这两个不用再加，所以非零的啊，有理数乘以或者除以无理数，那么在这里面大家呢啊看。看一下它的这个特征是吧？

非零的有理数乘以或者除以无理数，那就得到了那个是无理数，一定要把这个加上一个限制。非零好吧，那这样就得到是一个无理数，所以在做重新判断题，咱们前面是不是给大家介绍过重新判断题啊？那重新判断题特别特别容易出错，大家呢？在这里面就是不要忽略掉零的取值很多。情况下，像零就导致产生的原因，像咱们考试刚考过的二零二一年的考试题，里面有一个题，如果你忘记考虑零，

那这道题可能就会丢分，包括之前的考试题里面也会出现。零很多同学在考场上忽略掉零，那么就掉到陷阱里面去了，各位同学零大家发现零是不是一个圈圈一个圈圈是不是一个陷陷阱啊？像挖了一个坑一样是吧？所以好多呃。人呢？就掉到这个坑里面去了，所以大家要注意啊，那多多想想这个零这是这个坑不要掉到这里面去啊，然后接下来咱们来看一下。啊，那么无理数跟无理数加减乘除是什么情况呢？无理数跟无理数加减乘除我们来想想啊，

无理数跟无理数各位同学思考一下无理数。加减乘除无理数好，你们先思考思考完，然后再写答案。好无理数加减乘除无理数，那到底是什么样数啊？各位同学都思考一下，你说说那么应该等于什么数啊？啊，那有同学说说是有理数，有同学说是无理数，其实呢，都有可能对吧，都有可能，比如说啊，

一个根号儿跟一个负根号儿，两个相加，这就变成啊有理数了。是吧，当然有一个根号二+1个根号三，它就变成无理数了，所以这个呢叫做不确定。是吧，叫做不确定，不确定都有，可可能就是两个无理数放在一起，那有可能变成有理数了啊，有可能变成啊，这个无理数是吧，所以这个呢是确定不了的。

啊，所以在这里面大家呢，要掌握它的方法啊，所以两个相加相减相乘相乘不确定，那既然这个不确定，那就告诉我们做题的一个。最忌讳的问题，什么问题啊？最忌讳的在咱们做题中，千万不要出现无理数和无理数，放在一起来判断，因为无理数和无理数，放在一起来判断，那这个结果我们到时候做题的时候，到时候选什么呢？

就很纠结了，到时候这个答案你选有理数。还选无理数，还选不确定的就很纠结，所以尽量避免。无理数跟无理数啊，放在一起就相当于什么意思？相当于两个无理取闹的人放在一起，它它的后果到底什么样？咱们无法预估对不对？你想想这样两个爱打架的两个不讲道理，两个胡搅蛮缠的人放在一起放放在一起，那到底？那会出现什么样的可怕后果，你想想这个是不可预知的，

对吧？有可能啊，最后两个打打的，唉，最后又坐下来，唉，很有理有据的去进行。谈判去了，有可能两物的时候打起来了，打的头破血流的，是不是？所以在这里面两个不讲道理的人放在一起呢，那到底变成什么样？能变成什么样的咱不知道啊，你这样去理解是不是就感觉非常形象和生动了？

好，那接下来咱们来看一下啊，例二这个题各位同学都思考一下，然后没思考的同学，你可以现在按暂停键。好，那接下来咱们来看一下这个题目好，那各位同学都思考完了，接下来我们来看一下，已知a为有理数b为无理数，问这个情况到底是什么情况啊？大家看刚才咱们讲的是否听懂了？好，那么已知。a是有理数b呢？

是有理数啊，那这是它的情况，则a加减b有可能为无理数，那不可能呀，我们刚才讲了两个讲道理的人放在一起，两个很文明的人放在一起，他肯定还是很文明的。还是有道道理的是吧，所以a选项错了，因为a选项它不可能，所以改成是不可能。为无理数是吧？这样的啊，所以要知道错在哪，怎么改b选项？

各位同学，思考一下，已知a为有理数b为无理数a加减b，有可能为有理数，那这也不可能是吧？有理数加减无理数，它还是无理数。是吧，然后大家知道近墨者黑是吧，然后在这里面大家呢，就知道它啊，应该是不可能为有理数啊，这也是改成不可能。然后c选项好，那么已知a为无理数b为有理数则a加减BB为无理数，

那我们刚才讲了两个无理数相加减放在一起，它到底是？什么样数呢？那不确定对吧？这个是不确定的啊，所以这个错了啊，它是不确定，然后d选项a为有理数b为无理数a×b，必然为无理数。这个d选项颇具杀伤力，知道吧？d选项很多同学呢，就忘记忽略掉零这个陷阱，零这个圈圈好吧，所以大家不要忽略掉零啊，

那么a万要为零，那这个就错了，零乘以任何数。它还是零是吧？所以在这里面d选项怎么改就行了？d选项除非把前面改成一个非零的a不为零，如果不为零的话，它乘以一个呃无理数，那这个是没问题的是吧？所以d选项错了。然后e选项。好a为无理，数b为无理。数则a×b，有可能为有理数。

这个是正确的，对吧？两有理数呃，两无理数相乘，它有可能是。是无理数是吧？这有可能是无理数，所以这道题正确答案就选e看看各位同学是否判断准确了，那么你各位同学是否理解了？不要死记硬背，理解是学习的关键。各位同学要好好理解培养我们的数学思维，各位同学做对没有好恭喜做对的同学，我们离成功又进一步了。好，

那下面咱们来看一下呃，围绕这些概念，咱们看一些表达式，它有理数无理数的一个判断方法好吧，表达式啊，那么跟咱们例一呢，相对应例一呢是具体的数来判断。那么可以根据它数的特征来分析，但如果给一个未知的一个表达式，那如何来判断呢？我们来看例三这个题没有预习的同学，请按暂停键。好，各位同学都思考完了，接下来我们来看一下这道题好，

已知x它是无理数，且x+1×x+3是有理数，那则下列。叙述正确的啊，是什么？我们来看看第一问x平方，它的有理数，第二问x- 1×x- 3是无理数。然后第三个s+2^2是有理数，第四个s- 1^2，它是无理数，那这四个到底是哪个系数正确呢啊？在这里面我们来看，像第一个。呃问法x平方是有理数，

那么很多同学呢？这样做大家来挑别人的问题，找别人的错误，其实就是自己也在进步。x是无理数，很多同学就取了一个反例，他说x就等于根号二吧。啊，它取特值法，那s是无理数hs等于根号，2s等于根号，二它也它说s平方。就变成二了，而是平方就变成二，而是平方就是有理数，

它认为第一个系数正确，它这样来判断的，那你认可这种做法吗？各位同学思考一下。好，那这种做法是有问题的，原因是什么呢？原因找到一个反例s是无理数根号，二是没问题，但是那个根号二不满足第二个条件。所以我们以后再取特值的时候，你这个特质要满足人家的已知的每一个条件，这样特质才是属于有效特质，否则这个特质是。不满足要求的是无效特质，

所以在这里面大家可以看那个根号，二根号显然无法满足，那么这个x+1×x+3。对不对？它满足不了这个式子，满足不了这个式子，所以说在这里面我们应该如何来分析呢？大家想一想，那这道题是这样的，你把一二三四这每一个问法都转换成已知条件。啊，已知条件是谁，这个和这个都用这两个形式去表示，那就用到了我们数学里面非常重要的一个思想，整体的思想。

清透变形的思想，所以这个思想是最重要的好吧，思想决定你复习的效果，所以各位小伙伴从一开始要养成数学思维。断裂好那么大家想想我们用这两个如何来表示它呢啊？如何来变形呢？由于在我们做代数整体化简变形的时候，这个整体思想那么更为重要，把某个模块看那个整体。然后带到里面来分析好，那下面咱们来看一下。好，第一个第一个那么x平方，我们可以写成什么呢啊？对于基础薄弱的同学，

哎，不要紧，那咱们先把x+1×x+3做一下化解好吧，就x+1。乘以x+3好，我们做一下化简，把它给它展开是吧？展开大家这个呃学过基础课的同学，那么可以把它展开啊，那这个展开就可以得到x平方加上几倍的s各位小伙伴儿一起回答一下，互动一下。都思考一下啊，你想想应该等于多少讲几个x你回答一下。是不是加上四个x对吧？然后常数告诉我再再加几呀，

回答一下是不是再加？三啊，这也就对了是吧？好恭喜答对的同学，那得到x平方加4 x+3好，那我们这x平方就可以写成x+1×x+3。那么，多退少补，所以又用了多退少补的思想看各位同学是否听懂了多退少补的思想？那x+1×ix+3，那在这里面我们就可以写成什么呀，各位同学？想一想啊x+1×x+3要减掉比它多的多了，一个什么东西啊，多了一个4x告诉我还要减一个什么，

我们采用启发式的教学啊，以你为主导来进行学习。啊，大家告诉我减什么，你回答一下是不是减去一个？三啊对了是吧，就减去一个多的三，这样就可以了，看是不是懂了好，那么做到这我们就是每一个部分用这个性质来进行化简。好关键的时刻就到来了，那我们来看一下这个东西是不是题目告诉我们的有理数啊？好，它就是有理数对不对？然后4s你告诉我是什么数？

啊，抓紧一块儿来想想，不要走神儿好那么大家想想x是一个无理数x是一个无理数，那么无理数乘以一个非零的有理数告诉我是什么数？啊，是什么数呢？想想一想是不是又变成了还是无理数对不对？刚才咱们讲过的一个非零的。有理数四乘以个无理数x，它变成无理数，然后三告诉我是什么数？三是不是整数啊？整数是属于什么数？各位同学想一想。整数是属于。

有理数啊，回答对了是吧？有理数好，那接下来我们来根据刚才咱们组合性的，刚才咱们组合性的，虽然咱们讲的是两个数的，这个情况是吧，然后在这里面啊，虽然我们讲的。是两个数这样的一个特征，两两项的情况，那大家是不是能够举一反三呀？是不是那给了三项也会判断呀？三项一块儿分析，你看这个是有理数。

约数减去个无理数，这两个部分运算完后什么数告诉我，你思考一下。运算完后是无理数好，那么前两部分运算完后是无理数，那么减掉后面这块儿减掉这个三。减完后，这个三有理数，前面运算完了，咱们不是无理数吗？无理数再减去个有理数，它是什么数呢？各位同学。想一想，等等于什么？

是不是等于回答？是不是等于一个？无理数对吧？所以说就得到x平方必然是无理数，所以第一个叙述是错误的好，那么第一个各位同学听懂的同学，那第二个你会不会思考了？第二个咱们就可以加快速度了，是不是？所以说大家就可以慢慢慢提速了，好那么第二个我们一起来思考一下。啊，第二个就是x-1×x-3好，那么大家思考一下，我们看大家能不能口算了啊，

慢慢提高速度，可以写x+1×x+3-1个几？各位同学都回答一下，大家在大脑里快速想跟好思路，不要走神啊，那么跟着这个大部队，你们一定能成功的。好，那想想想那这个乘法后是等于多少呢？各位同学，思考一下啊，乘法以后。这个乘完后是不是加4x？刚才咱们讲过了，是不是加4x这边乘完后是什么？

是几倍的啊，各位同学思考一下是不是负四倍，这边是正四倍，那应该减去个几倍啊，你想想。思考一下，是不是减去一个？八倍的x啊，回答对了是吧？减去个八倍的好，想想是不是这回事？好减去八倍的x就得到它的结果了。对吧，然后其他部分这个三是不是两边一样？那这边乘开也有个正三，

这边乘开也有个三就写好了，是不是这样的好？你看运算结果是不是这样的？然后大家知道x+1×x+3是不是有理数啊？有理数8x是什么数啊？因为八是一个非零的数，然后呢？乘以一个无理数。啊，那就得到是无理数，所以它这个结果就是什么数啊？大家告告诉我是不是就是一个无理数是吧？啊无理数，因为前面这是一个有理数，前面它是一个有理数，

后面这块是一个无理数，所以得到就是无理数，看各位同学做会没有好，那接下来我们再看一下第三个，第三个那也就会了，老师教了两个了，第三个。第三个你就会做了吧，这样我们就可以快速写s+2^2，在前面学过平方公式，有印象吧s+2^2。可以展开，就可以变成什么变成x乘加4x，再加四就可以得到，这个结果是不是这样呢？

大家呢？就可以得到它的值。好，那么它展开有s平方加4 s+4，那这边呢？就是s平方加4 s+3，那么应该两边应该怎么做变化呢？好，各位同学都思考一下。好，各位优秀的同学们，都思考一下，抓紧回答啊，应该什么样情况，各位同学想一想他的做题的方法和思路，

看应该什么是不是应该再加上一个几啊，再加上一个一。得到这样的一个结果，是不是就行了？好看看是不是听懂了？好，然后我们再思考一下好，那接下来应该怎么判断呢？各位同学，想一想它的判断方法是什么呢？好，这个x+1×x+3是不是属于有理数啊？对不对？所以它这个是有理数，然后一是什么数呢？

想想好那么一，是不是也是有理数啊？所以两有理数相加，应该得到什么数啊？各位同学，思考一下它是不是得到？有理数对不对？好，那接下来我们再做第四个，最后一个。大家就会做了吧？好，最后一个，最后一个就得到的是四。好，

第四个，第四个就是x- 1^2，大家一起思考x- 1^2是不是就可以写成x+1×x+3啊？得到后面应该怎么写呢？大家思考一下。啊，那么这个大家知道x- 1^2，这个边展开是不是就变成了x方减2x对吧？所以x平方减2 x+1是不是这样的？所以左边展开，右边展开s+1×s+3展开不是s方加三。加三嘛好，大家告诉我应该减去一个什么呢？各位同学一块思考一下。好，

都回答一下，那么是不是减去一个6x是不得到这个结果？所以就得到减6s，然后再看常数，这个乘开以后是不是有一个三呀？这边是一个一是不是，然后再减一个二是不是就可以了？再减等于二，这样就行了，是不是这样的一个特征啊？所以减二就两边就相等了，那接下来我们再来思考一下好，这个x+1×x+3是什么样数啊？我们可以看看。它是有理数，

这是已知条件，那6s是什么数啊？这个是不是无理数对不对？然后二是不是一个？有理数啊，那通过这样的运算，那么有理数减去一个无理数，它还是无理数，再减掉一个有理数，它还是。无理数是吧？好，那我们判断完了，我们看选一下答案好，那第二个这是正确的对吧？

第二个这是叙述正确的，它是无理数，这个是没问题的。第三个，这是有理数，这也叙述正确。第四个x- 1平方x- 1括号平方是无理数，也是叙述正确。这个呢，应该是选择。b选项看看是否做对了，通过这道题，你收获了什么，学到什么东西啊，以后再给我们一个表达式来判断的时候，

我们就把它变形成。啊，已知条件的这些市值，然后再利用有理数无理数，它的组合特性来分析和思考，各位同学听懂了吗？好，那接下来我们把组合性质再给大家进行概括一下，看各位同学学的怎么样？那么刚才咱们在呃讲这个结论的时候，是由左边。推右边那现在我们要进阶的学习喽，大家要做好我们提升的准备啦，我们一起要往上提升难度啦。好，

各位同学，请回答咱们逆向思考。应该怎么分析啊？逆向思考，比如说。啊，又以两个数为例，三个数大家自己也可以仿照这个来写啊，如果两个数相加减以后。它得到的是一个有理数，那么从右边往左推会是什么样的结果呢？从右边往左推好，那这样的情况啊，那么刚才咱们讲的是从左到右，为什么要培养大家逆向思维能力？

前面听过我们重新判断题课程的同学，就应该知道现在数学考。是考察逆向思维能力是非常非常重要的。由于在重新判断题考察的要点，对大家要求更高一些，所以大家想想两个相加减以后，它是属于有理数。那么这两个数到底是什么样数呢？各位同学，快速思考一下，都回答下。啊，把各种可能性都想到。好，那有同学已经回答，

有同学说这两个数。都是有理数，这只是一种可能是吧？有理数，这也是有理数，那么得到这个就还有没有其他可能？好告诉我还有没有其他可可能这两个数？这两数哎，有没有其他可能有是吧，所以它都为。有理数。或者第二种可能都为。无理数。对吧，都为无理数知道吧，

所以这两个数要么都是有理数，要么都是无理数，只有这两种情况。是不是这样呢？看看各位同学是否思考正确了，好，那这个它怎么用呢？我来给大家讲讲，如果再结合已知条件，如果告诉你这个是无理数就可以推这个是吧？如果告诉你这样的一个情况。比如说这是一个东西，这个是一个无理数。这是一个无理数，这是一个有理数，

好，那么如果已知这个东西，这个是有理数。啊，这个是有理数，这个是无理数，让你推这个是什么数，那大家就可以用咱们刚才讲的逆向思维能力啊，那么两个相加减等于有理数，要么都是有理数，要么都是无理数。但是它告诉我们这个是无理数了，不可能都是有理数。啊，那只能都为无理数，

所以这样就可以得到这个问号，它就是无理数，各位同学。懂了没有？你的思维能力得到了锻炼和提升没有？好，那这是加减关系，看是不是懂了，那接下来我们再来写啊，各位同学跟好，思路好，那么这个加减以后等于个无理数，它到底？是什么样的情况呢？告诉我啊，

两个加起来以后是等于个无理数，那这两个数会是什么情况呢？各位同学，抓紧思考。啊，这个这两个应该是什么样的情况？有可能。什么啊，有可能。一个有理数，一个无理数啊，有同学这样说的。还有可能是什么？还有没有其他可能回答一下，还有可能是两个都是无理数是吧？

那我可以把它描成什么样情况更简洁一点。就是如果要详细展开的话，就一个有可能是无理数，一个有理数。还有可能是两个都是无理数，那我们可以描述成什么，就至少有一个。是无理数。对吧，至少有一个这样写，至少有一个就最起码这两个里面至少有一个得有无理数，当然也有可能是两个都是无理数了。是不是这样的情况？懂了没有？好，

那这是强调的知识点和内容，看是不是懂了？好，这个加减弄好了，那么乘法。除法跟它是一样的，大家呢，相应的去分析和思考就可以了，比如说这要赶乘法，两个数相乘等于有理数，那有可能两个都是有理数。有可能两个都是无理数是吧？然后呢啊？这个乘法和除法，如果两个相乘或两项数得到是无理数，

那么哎，也是至少有一个是。是无理数，当然除法啊，要求不能为零啊啊，要求不能为零好，那这是它的组合特性和分析方法，各位同学懂了没有？好恭喜。答对的同学。好，那接下来我们来看考项三，我们继续寻找成功的解题钥匙，好考项三有理数与无理数的门当户对，那什么是门当户对呀，

就相当于是要对应相等。这个对应相等门当户对，也是一个非常重要的解题思想。比如说我们在讲后面的多项式，两边多项式对等的时候，那么对应次方的系数要相等。比如说这边是ax方，加上bx+c，这是px方加qx+r是吧？如果它对任意的x都相等，这个要产生门当户对。就x平方跟x平方系数要相等啊x跟x系数要相等是吧？所以在这里面就x平方跟x平方要相等x跟x系数要相等，然后这个常数。跟这个常数要相等，

这叫做门当户对，那么用到咱们呃，有理数无理数，那么应该是什么情况呢？所以门当户对它是一个重要的解题的。思想要把这个思想理解了好，那接下来我们来看一下，有理数无理数，它的概念，比如说这边是有理数。加上一个无理数，这边儿也是一个有理数，加上一个无理数好，那就说明什么情况呢？说明有理数跟有理数要对应相等，

然后无理数跟无理数要对应相等好，这是叫做门当。互兑的概念当然，如果右边只是有理数，右边如果没有无理数，右边它要没有无理数，那就说明什么意思啊，无理数它只能。消失了，不存在，不存在，就说明它就为零就行了，好吧，所以还有一种情况就是它一边呢，只是。

有理数或者右边又干脆就为零，右边干脆要为零的话就说明无理数为零，有理数也为零。好，各位同学，听懂这个思想没有好听懂同学，我们一起再。做题训练。好，我们来看例四。没有思考的同学，请按暂停键思考。好，各位同学都思考完了，那接下来我们一起来做这个题目，

它告诉我sy是有理数。且满足这个式子，则x×y的值到底是等于多少？那接下来这道题我们有什么样的方法来分析呢？我们来看，那么是不要把它物以类聚。先分类处理。什么叫分类呢？把含有根号的啊，把它放在一起，不含根号的放在一起，所以说先分类处理。好分类处理，把含根号的放在一起，含根号的各位同学，

想想都有哪些项呢？各位同学都思考一下，你看这个有一个这个有一个这个也有一个，这是不是都含有根号的好，我们把根号三是不是可以提出来呀？各位同学思考一下。好像是不是啊，根号三给大家提出来好，那么根号三提出来以后，这还剩什么呢？大家想想根号三提出来以后，这是不是还剩2x啊？是不这样的情况，这个提出根号三以后是不是剩了一个y呀？好，

这个根号三提出来以后剩的就是一个五了，是不是这样的？所以这样就把根号的部分写好了，然后剩下的就不含根号的部分。不含杠号就是x+y- 2，它这样的情况啊x+y- 2，这样的情况，然后这样的话，我们呢就可以得到它的数值，就右边仍然是零。仍然是零那根据题目里这样xy是有理数，如果xy要是有理数，那x+y也是有理数，对不对？这是我们前面讲的结论。

x+y它也是有理数，那它减去二它也是有理数，是不是这样的，所以这个就是一个有理数。好，那么前面含根号，它就是是一个无理数，那么它说要等于零，那知道零它是一个有理数，对吧？零它是一个有理数，那根据刚才咱们讲过的这个性质，让大家。逆向分析的这个性质，大家思考一下是吧？

如果右边是有理数，如果有一项是有理数，那这一块儿呢？它只能也为有理数，是不是？所以你看右边啊，有理数啊，这一项它是有理数。那这个也只能为有理数，而且。这个根号三的系数只能为零，因为零我们讲过零乘以个无理数，它才能变成有理数，是不？刚才咱们讲了画圈圈。

零是不是零这个圈圈很厉害是吧？零×1个根号三那么就是得到是有理数好，所以就可以得到啊，那么就可以得到什么问题啊，得到2 x-y+5它等于零看各位同学。懂了没有，然后x+y- 2，它是不是也为零呀？x+y- 2，它也为零，是不是各位同学？听懂了没有？好那么通过这两个式子就可以解出xy的值，各位同学有没有提前解出来？同学，

你看看这个方程组也很好去解嘛，然后让两个方程相加就可以得到这个负y。y相加，它就没有了，没有了，然后呢，就知道3 x+3=0，说明x就等于负一。然后I=- 1，那么这个y的值我们也可以算出来了y的值就等于个三。好，这个写好了，好那么x的值等于负1y的值等于三就可以推出它让求的x×y的值就等于个负三，这样就得到它的结果，正确答案应该选择的是。

c选项好，恭喜做对的同学，看是否听懂了好，那这是强调的知识点方法好，那这道题就考察两边。它的门当户对的方法。

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