82（教案1）14.3.1 提公因式法1031

skybamboo · 发表于 10 小时前

1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．会用提取公因式的方法分解因式．(重点)
2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．(难点)

一、情境导入
1．多媒体展示，让学生完成．
计算：(1)m(a＋b＋c)；(2)(a＋b)(a－b)；(3)(a＋b)2.
学生通过回忆前面所学的解题方法，完成解题，并积极作答：
(1)m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
(3)(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
2．学生通过对比上题发现：
(1)ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)；
(2)a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(3)a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
3．教师肯定学生的表现，说明其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式，该过程叫做因式分解，这节课我们就来探讨它．
二、合作探究
探究点一：因式分解的概念

下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解；故选B.
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．
探究点二：提公因式法分解因式
【类型一】确定公因式

多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(　　)
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.
方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【类型二】用提公因式法因式分解

因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．
解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
【类型三】利用因式分解简化运算

计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.16，进而求出即可．
解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
【类型四】利用因式分解整体代换求值

已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．
解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．
【类型五】因式分解与三角形知识的综合

△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
解析：对已知条件进行化简后得到a＝c，根据等腰三角形的概念即可判定．
方法总结：通过提公因式分解因式，找出三边的关系来判定三角形的形状．
【类型六】运用因式分解探究规律

阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是____________，共应用了______次；
(2)若分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，则需应用上述方法______次，结果是____________；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
解析：(1)根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可；(2)根据已知分解因式的方法可以得出答案；(3)由(1)中计算发现规律进而得出答案．
解：(1)因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次；
(2)分解因式1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2015，需应用上述方法2015次，结果是(1＋x)2015；
(3)1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n＝(1＋x)n＋1.
方法总结：解决此类问题需要认真阅读理解题意，根据已知得出分解因式的规律是解题关键．
三、板书设计
提公因式法
1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式．
2．因式分解与整式乘法是方向相反的变形．
3．提取公因式的方法：把多项式各项的公因式提取出来，写成公因式与另一个因式乘积的形式．

本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果．

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