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第2课时 加减法
【教学目标】
1.用代入法、加减法解二元一次方程组.毛
2.了解解二元一次方程组时的“消元思想”,“化未知为已知”的化归思想.
3.会用二元一次方程组解决实际问题.
4.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决实际问题的意识和能力.
5.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
【教学重点与难点】
用代入消元法解二元一次方程的步骤。
【教学过程】
一、创设情境，导入新课
甲、乙、丙三位同学是好朋友，平时互相帮助。甲借给乙10元钱，乙借给丙8元钱，丙又给甲12元钱，如果允许转帐，最后甲、乙、丙三同学最终谁欠谁的钱，欠多少？
二、师生互动，课堂探究
（一）提高问题，引发讨论
我们知道，对于方程组<Object: word/embeddings/oleObject1.bin> , 可以用代入消元法求解。
这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
（二）导入知识，解释疑难
1.问题的解决
上面的两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得(2x+y)-(x+y)=40-22 即x=18,把x=18代入①得y=4。另外，由①－②也能消去未知数y，得(x+y)-(2x+y)=22-40 即-x=-18,x=18,把x=18代入①得y=4.
2.想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>
分析：这两个方程中未知数y的系数互为相反数，因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。
解：由①＋②得 19x=11.6 x=<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>
把x=<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>代入①得y=-<Object: word/embeddings/oleObject5.bin> ∴这个方程组的解为<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>
3.加减消元法的概念
从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
4.例题讲解
用加减法解方程组<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
解：①×3,得 9x+12y=48 ③
②×2,得 10x-12y=66 ④
③＋④,得 19x=114
x=6
把x=6代入①，得3×6+4y=16
4y=-2, y=-<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>
所以，这个方程组的解是<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>
议一议：本题如果用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？
解：①×5，得 15x+20y=80 ③
②×3,得 15x-18=99 ④
③-④,得 38y=-19
y=-<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>
把y=-<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>代入①，得3x+4×(-<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>)=16
3x=18
x=6
所以，这个方程组的解为<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>
如果求出y=-<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>后，把y=<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>代入②也可以求出未知数x的值。
5.做一做
解方程组<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>
分析：本题不能直接运用加减法求解，要进行化简整理后再求解。
解：化简方程组，得<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>
③－④，得4x=36
x=9
把x=9代入④（也可代入③，但不佳），得
10×9-3y=48
-3y=-42
y=14
∴这个方程组的解为<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>
点评:当方程组比较复杂时,应先化简,并整理成标准形式.本题还可以把2x+3y和2x-3y当成两个整体,用换元法,设2x+3y=A,2x-3y=B,转化为以A、B为未知数的二元一次方程组.
6.想一想
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思想是什么?
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些?
师生共析:
(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数;如果未知数的系数相等,可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.
第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.
第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.
(三)归纳总结,知识回顾
本节课,我们主要是学习了二元一次方程组的另一解法──加减法.通过把方程组中的两个方程进行相加或相减,消去一个未知数,化“二元”为“一元”.
作业：
1.用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
(1) <Object: word/embeddings/oleObject19.bin> ,消元方法_________.
(2) <Object: word/embeddings/oleObject20.bin> ,消元方法_________.
2.用加减法解下列方程组:
(1) <Object: word/embeddings/oleObject21.bin> (2) <Object: word/embeddings/oleObject22.bin>
(3) <Object: word/embeddings/oleObject23.bin> (4) <Object: word/embeddings/oleObject24.bin>
参考答案
1.(1)①×②-②消去y (2)①×2+②×3消去n
2.(1) <Object: word/embeddings/oleObject25.bin> (2) <Object: word/embeddings/oleObject26.bin> (3) <Object: word/embeddings/oleObject27.bin> (4) <Object: word/embeddings/oleObject28.bin>
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