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1.联系生活实际,引导学生通过观察实物、模型,操作学具和画圆等实践活动,经历从实物抽象到图形,再到认识圆的各部分名称的过程,使学生认识圆的特征。
2.通过组织学生观察和操作等活动,经历“猜想—验证—归纳”的过程,认识圆周率;启发学生利用已有的知识和经验,在掌握圆的周长和面积计算公式的过程中,发展初步的空间观念并能正确、灵活地应用计算公式解决简单的实际问题。
3.在教学活动中,使学生感受探究问题的乐趣,增强应用意识;通过介绍圆周率等数学史料,受到爱国主义的教育。
1.使学生在操作中加深对圆的认识。
圆是最常见的图形之一,它是最简单的曲线图形之一。学生已经对圆有了初步的感性认识,教学时,可以出示一组图(5个正多边形和1个圆),引导学生观察、思考圆和我们以前学过的平面图形——长方形、正方形、三角形等有什么不同。使学生在分类的过程中,体会到圆是由封闭的曲线围成的平面图形。当正多边形的边数越来越多时,这个正多边形就会越来越接近圆,这部分内容的教学过程要做到不拖沓,点到为止。关于画圆,可以分三个层次,第一个层次,让学生借助一些圆形实物画圆,这样画圆有两个目的:其一,从用眼看,用嘴说,到动手画,让学生逐步感知圆的特点;其二,为进一步认识圆心创造研究材料。第二个层次,为学生认识圆的半径、直径创造研究材料。第三个层次是用圆规画圆,体会圆心与圆的位置之间的关系,半径与圆的大小之间的关系等。在学生操作时,老师要给学生指出操作的目的是什么,把动手与动脑结合起来。
2.该推理时要推理,不要一味地从操作学具做起。
教学“认识圆”,离不开学生的实践活动,让学生在“画一画”“折一折”“练一练”等活动中认识圆的特征及各部分的名称。但这并不是说,学生的所有认识都要从动手开始,该推理时就要推理,让学生充分利用所学知识,建立起知识之间的联系,如对“同一个圆中,直径的长度是半径的2倍”的认识。
3.注意数学思想与方法的综合应用。
本单元蕴含的数学思想和方法主要有:化曲为直的思想方法、极限的思想方法、转化的思想方法、对应的思想方法、等积变形的思想方法;归纳的思想方法及猜想与实验验证等。教学过程中要灵活运用这些数学思想和方法,得出最佳方案。
1 认识圆………………………………………………………………………………….2课时
2 圆的周长……………………………………………………………………………….2课时
3 圆的面积……………………………………………………………………………….3课时
4 认识扇形……………………………………………………………………………….1课时
整理和复习…………………………………………………………………………………1课时
确定起跑线…………………………………………………………………………………1课时
认识圆
教材第57、第58页的内容及练习十四的第1~5题。
1.通过动手操作、观察、思考等教学活动,认识圆并掌握圆的特征。
2.让学生理解在同一圆内直径与半径的关系,学会用圆规画圆。
3.初步渗透化曲为直的数学方法和极限的数学思想。
重点:直观地认识圆的特征,学会用圆规画圆。
难点:明确圆心与圆的位置之间的关系,半径与圆的大小的关系。
课件,实物投影,一些较硬的纸片,圆规。
1.出示一组平面图形(5个正多边形和一个圆)。
提问:观察下面的图形,你能把它们分类吗?
2.圆与正多边形的关系。
提问:你是以什么为标准进行分类的?
(学生可能以边的数量为分类标准)
提问:让我们想象一下,当正多边形的边数越来越多时,它就会越来越接近什么图形?
(学生回答后,用电脑验证)
1.介绍“神奇的圆”。
老师可以查阅一些资料。例如:圆是一种看来简单实际上却很神奇的图形。古代人最早是从太阳,阴历十五的月亮得到圆的概念。约一万八千年前的山顶洞人在兽牙上打的孔是圆的,他们还发现圆圆的木头可以滚动,搬动重物时可以省力;大约六千年前,美索不达米亚人制成了第一个轮子;大约四千年前,人们发明了车子。古埃及人认为圆是神赐予的。我国古代伟大的思想家墨子在描述圆时说到“一中同长也”,也就是说圆有一个圆心,圆心到圆周的长都相等。
2.初步感知圆。
老师:圆是如此的神奇,你能想办法在纸上画一个圆吗?
学生借助圆形的实物,画圆并剪下来。
组织交流:画圆与画用线段围成的图形有什么不同?
学生自由发言,初步体会圆的特征——由曲线围成的图形。
3.认识圆各部分的名称、特征。
(1)认识圆心。让学生拿出剪下的圆形纸片,对折、打开,换个方向再对折、打开,反复几次,你发现了什么?
引出圆心,让学生在圆形纸片上画出圆心,并用字母O表示出来。
板书:圆心O
(2)认识直径。
请同学们用直尺量一量刚才折的每一条折痕的长度,你又发现了什么?
提问:谁能说一说直径是一条什么样的线段?在纸片上画出一条直径,并用字母d标出。
板书:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做直径,一般用字母d表示。
(3)认识半径。
再请同学用直尺量一量从圆心到圆上任意一点的距离,你还能发现什么?
老师板书半径的定义。
老师:通过以上学习,我们已经初步认识了圆心、半径和直径。请同学们看教材,加深对这三个概念的理解。
4.半径与直径的关系。
出示问题:
(1)在同一个圆里,能画出多少条半径和直径?(无数条)
(2)在同一个圆里,所有半径的长度都相等吗?直径呢?(相等)
(3)在同一个圆里,半径和直径有什么关系?
5.用圆规画圆。
老师:人们从实践中知道了同一个圆内所有的半径都相等这个特点后,才发明了圆规,并用来画圆。我国大约在两千年前,就能画出地地道道的圆来了。
学生自学用圆规画圆的方法,并尝试画圆。
概括用圆规画圆的方法:
(1)先点个点儿,确定圆心。
(2)张开圆规两脚,针尖对准圆心。
(3)旋转一周,标出圆心、半径及直径。
老师说明并示范用圆规画圆的方法,总结画圆时的两个不动。
(1)有针尖的一端不动(圆心不动)。
(2)圆规的两脚不动(半径不变)。
提问:用圆规画圆时,圆的位置是由什么决定的?(圆心)
圆的大小是由什么决定的?(半径)
6.反馈练习。
(1)完成教材第58页“做一做”的第1题。
学生完成后,说明理由,巩固半径和直径的概念。
(2)完成教材第58页“做一做”的第2题。
在完成第2题时,要引导学生想到两端都在圆上的线段中,直径是最长的一条。学生试着在没有标出圆心的圆中量出直径的长,以便掌握测量方法。
(3)完成教材第60页练习十三的第1~5题。
学生独立完成,老师巡视指导。
2.按照要求画图。(1)画出半径是3厘米的圆。(2)画出直径是3厘米的圆。(3)在右图中画出两个大小不同的圆,使画出的两个圆的直径之和等于已知圆的直径。
看图填空。(单位:厘米)
上图中圆的直径是( )厘米,半径是( )厘米,长方形的周长是( )厘米,长方形的面积是( )平方厘米。
课堂作业新设计
2.略
思维训练
4 2 32 48
教材习题
教材第58页“做一做”
1.略
2.略
练习十三
1.略
2.6 cm 3 cm 10 cm 3.5 cm
3.略
4.略
5. 0.48 0.43 2.84 0.52 5.2
认 识 圆
圆:一条线段绕着它固定的一端在平面上旋转一周时,它的另一端就会画出一条封闭的曲线,这条封闭的曲线叫做圆。
圆的中心点做圆心,用字母“O”表示;连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径,用字母“r”表示;通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,用字母“d”表示。
1. “圆的认识”是学生系统认识曲线图形特征的开始,是进一步学习圆的周长和面积及以后学习圆柱、圆锥等知识的基础。
2.学生虽已初步认识了圆,但对于建立圆的正确的概念以及掌握圆的特征还是比较困难的,这节课是认识发展的一次飞跃。
教材首先说明什么是圆,并结合周围物体说一说,这样调动了学生已有的生活经验,再通过画圆、折圆、测量等活动,展现圆的特征,其目的在于让学生通过观察、操作理解圆中的各部分关系,从而掌握圆的特征并解释生活中相关问题。圆是在学生学过了直线图形以及圆的初步认识的基础上进行教学的。圆这一平面上的曲线图形,学生在生活中经常看到,它到底有什么特征呢?是本节课学生学习的重点,在学习圆的认识时,学生通过观察、操作,自己获取一些有关圆的特征的知识,这样会大大提高学生的学习兴趣,发挥学生的主体性。本节课的重点在于理解同一个圆的半径都相等,同一个圆里半径和直径的关系。
1.让学生举例日常生活中常见的一些圆形物体的圆面,唤起了学生对生活中圆的感知,使学生体会到圆就在我们身边,从而培养学生观察和认识周围事物的兴趣和意识。让学生亲自动手摸圆,说一说是如何摸出来的,学生很容易说出圆与其他平面图形的区别。它不是由线段围成的,而是由一条光滑的曲线围成的封闭图形。把一个抽象的概念变成了一个亲身的感受,学生兴趣很高,印象深刻。
2.通过画、折、量等操作,获得充足的、丰富的感性材料。在充分感知的基础上,通过叙述操作过程,把感知经过思维内化为表象,再通过多媒体演示及在教师的指导下,抽象概括出圆心、半径、直径等概念,使学生掌握圆的知识,并学会思维的方法。
圆的对称性,用圆设计漂亮的图案
教材第59页的内容及练习十三的第6~10题。
1.通过观察、操作等活动,进一步认识轴对称图形和对称轴的概念。知道圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴。
2.让学生能画出轴对称图形的对称轴,能根据对称轴画出与给定图形对称的图形。
3.培养学生的空间观念和探索精神。
重点:能准确找出学过的平面图形的对称轴,能根据对称轴画出与给定图形对称的图形。
难点:画出由多个圆组成的组合图形的对称轴。
画好的圆若干个,实物投影。
课前布置学生收集轴对称图形。
老师将学生收集到的轴对称图形连同自己准备的蜻蜓、天平等轴对称图形贴到黑板上。
老师:同学们,黑板上这些美丽的图案都是轴对称图形,今天这节课,我们就来学习轴对称图形。
板书课题:轴对称图形。
1.圆的对称性。
老师:我们学过的长方形、正方形都是轴对称图形,我们刚刚认识的圆是轴对称图形吗?为什么?
学生动手把圆对折,确定圆是轴对称图形。
结论:圆是轴对称图形,折痕所在的直线就是圆的对称轴。
追问:一个圆有多少条对称轴?
(学生展开讨论)
出示两个圆,学生在图中分别画出两个圆的对称轴。
老师强调:对称轴要用虚线表示。
追问:你能画出几条呢?
板书:圆有无数条对称轴。
2.用圆设计图案。
小组合作,用圆规和尺子,设计美丽的图案,然后集体欣赏。
3.练习。
(1)完成教材第61页练习十三的第6题。
引导学生回忆学过的轴对称图形有正方形、长方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形和圆等。
只有一条对称轴的:等腰三角形、等腰梯形
有两条对称轴的:长方形
有三条对称轴的:等边三角形
有四条对称轴的:正方形
有无数条对称轴的:圆
(2)完成第61页教材练习十三的第7题。
可以让学生先描点再画线,画出与给定图形对称的图形。
(3)完成教材第61页练习十三的第8~10题。
1.填空。
(1)如果一个图形沿着( )对折,两侧的部分能够( ),这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线就叫做( )。
(2)圆是( )图形,它有( )条对称轴。
2.选择。(把正确答案的序号填在括号里)
(1)下列各图形中,( )不是轴对称图形。
A.长方形 B.正方形 C.平行四边形 D.圆
(2)圆有( )条对称轴。
A. 1 B. 2 C.无数 D. 3
1.下面各图形分别有几条对称轴?请你画出来。
2.请你用直尺和圆规设计一个轴对称图形。
课堂作业新设计
1. (1)一条直线 完全重合 对称轴 (2)轴对称 无数
2. (1)C (2)C
思维训练
1.一条 一条 三条 画图略
2.略
教材习题
练习十三
6.略
7.略
8.无数条 无数条 2条 1条 3条 2条
9.直径:18÷3=6(cm) 周长:(18+6)×2=48(cm)
10.略
轴对称图形
圆是轴对称图形,直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条直径,所以圆有无数
条对称轴。一条直线是不是圆的对称轴,可以通过观察这条直线是否通过圆心来判断。
用圆规和直尺设计漂亮的图案。
1.轴对称图形的教学重点是使学生初步认识轴对称图形的一些基本特征,难点是掌握判别轴对称图形的方法。
2.在此之前学生已经学过一些平面图形的特征,形成了一定的空间观念。
3.自然界和生活中具有轴对称性质的事物有很多,也为学生奠定了感性基础。
轴对称是一种最基本的图形变换。在自然界和日常生活中具有轴对称性质的事物很多,学生对于轴对称现象并不很陌生。本节课按照“知识引入—概念教学—知识应用”的顺序逐步展开的,体现了知识的形成过程。
1.通过情境活动,引导学生感知轴对称。
采用有趣的剪纸比赛等方法导入,让学生经历由特殊到一般,再到特殊的过程,可以非常巧妙地抓住学生的心理,让学生在游戏的活动中体验、感知轴对称。
2.教学中突出学生的主体地位。
学生剪一剪、议一议,探究出了轴对称的秘密。恰当的评价,调动学生的积极性,拓展学生的思维空间,关注学生的情感体验,更突出了学生的主体地位。从参与面上看,全班学生都调动起来了,参与热情也比较高。
3.拓展运用、强化表象。
让学生感悟到数学知识就在我们身边,数学应用就在我们的生活之中。教师可以巧妙地把数学知识运用到“科学”“艺术”“建筑”等学科中,注重不同学科知识的整合,这样不仅降低了学生理解上的难度,还使得单调的内容变得丰富多彩,进一步使学生感受到数学学习的乐趣和应用价值。
圆的周长
教材第62~64页的内容。
1.使学生直观认识圆的周长,掌握圆的周长的计算公式。
2.通过对圆周率π的值的探索,培养学生的联想能力和初步的逻辑思维能力。
3.介绍我国数学家对圆周率研究的贡献,对学生进行爱国主义教育和辩证唯物主义的启蒙教育。
重点:掌握圆的周长的计算公式。
难点:圆的周长公式的推导。
投影片,直尺,细线,绳子和圆片。
1.老师用投影片出示下面两个图形,让学生找出直径和半径。
提问:什么是圆的直径?什么是半径?在一个圆中直径和半径的长度有什么关系?
2.老师用投影片出示下面的图形。
提问:什么是长方形的周长?什么是正方形的周长?它们的计算结果用的是什么计量单位?
学生指出这两个图形的周长,并进行计算。
1.圆的周长的含义。
(1)让学生拿出发的圆形纸片,平放在桌面上,试着指一指圆形纸片的周长,注意起点和终点。
(2)指名学生指一指圆的周长。
(3)说明围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
2.讨论绳测法和滚动法,渗透化曲为直的思想。
学生用手中的直尺和细线等学具试着测量手中圆形纸片的周长。
(1)绳测法。
用线绕圆的一周,从这一点开始,再到这一点,多余部分剪掉,拉直,这条线段的长度是谁的长度?
(2)滚动法。
让圆滚动一周,从直尺的0刻度到滚动一周的终点,这段距离是谁的长度?
(3)用绳测法和滚动法,可以测量出手中圆形纸片的周长,这个圆的周长是多少呢?
3.探究圆的周长与什么有关系。
(1)讨论圆的周长与什么有关系。
屏幕演示:直径是1分米的圆,滚动了一周,这段距离就是这个圆的周长;直径是0.8分米的圆滚动一周的距离就是这个圆的周长。
(2)小结:直径长,周长长;直径短,周长短。由此看出圆的周长和直径有关系。
板书:圆的周长 直径
4.探究圆的周长与它的直径有什么关系。
学生分组实验,测量圆的周长,计算周长是直径的多少倍。每组把量得的数据填在表格里。
指名说一说得出的结果,老师把这些数据写在黑板上。引导学生进行讨论,使学生了解到圆的周长总是直径的3倍多一些。
老师归纳:任何圆的周长和直径的比值都是3.14多一些,它们的比值是一个固定不变的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。
5.介绍圆周率。
(1)阅读教材第63页的“你知道吗?”。
(2)老师说明:圆周率用字母π(pài)表示,它是一个无限不循环小数,π=3.1415926535……在实际应用中一般只取它的近似值,即π≈3.14。
6.归纳公式。
如果用C表示圆的周长,那么:C=πd或C=2πr。
7.计算圆的周长。
老师出示例1,指名读题,然后板书解题过程。
板书:2×3.14×33=207.24(cm) 207.24cm≈2m
1km=1000m
1000÷2=500(圈)
答:这辆自行车轮子转1圈,大约可以走2 m。小明从家到学校,轮子大约转了500圈。
1.直接写出下面各题的得数。
3.14×1= 3.14×2= 3.14×3=
3.14×4= 3.14×5= 3.14×6=
3.14×7= 3.14×8= 3.14×9=
2.求下面各圆的周长。
3.填表。
半径r(m)
| 直径d(m)
| 周长C(m)
| 4
| | | | 1.2
| | | | 12.56
|
4.一辆汽车的车轮直径是1.02米,车轮转动10周前进多少米?(得数保留一位小数)
从一张边长为6厘米的正方形纸上剪下一个最大的圆,这个圆的周长是多少厘米?
课堂作业新设计
1. 3.14 6.28 9.42 12.56 15.7 18.84 21.98 25.12 28.26
2. 12.56 cm 18.84 cm 50.24 cm
3. 8 25.12 0.6 3.768 2 4
4. 32.0米
思维训练
18.84厘米
教材习题
教材第64页“做一做”
1. 18.84 cm 18.84 cm 31.4 cm
2. 1.5 m
圆 的 周 长
任意一个圆的周长与它的直径的比都是一个固定的数,我们把它叫做圆周率。用字
母π表示。圆周率是一个无限不循环小数,如无特殊要求,圆周率π一般取3.14 。
根据圆周率的定义可以得知:圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率。
2×3.14×33=207.24(cm) 207.24cm≈2m
1km=1000m
1000÷2=500(圈)
答:这辆自行车轮子转1圈,大约可以走2 m。骑车从家到学校,轮子大约转了500圈。
1.教师的语言不够精练,对学生的点拨过多,问题的指向太窄,都可能束缚学生的思维。
2.在推导圆的周长的计算公式的过程时,速度不能太快,应与之前的圆周率是怎样得来的进行较深入的联系教学,这样才能使学生更好地理解、掌握圆的周长的计算公式。
3.小组合作时,要求必须提得明确。
教材向我们呈现了什么是圆的周长,以及通过操作发现圆的周长与直径的关系,展示了如何计算圆的周长,可见圆的周长的计算方法是通过学生自主探索总结发现的,教学时,我们应充分认识到这一点。学生已经有了对周长的认识,只是研究圆的周长需要探索圆的周长与直径的关系。对于圆的周长与直径的这个倍数关系,学生通过测量、计算是能发现的。教学时,关键是引导学生发现圆的周长与直径之间的倍数关系。
1.让学生在生活中学习数学。
本节课选取实际生活中的场景,融小组合作、动手操作以及观察、归纳和概括为一体,引导学生的多种感官参与学习过程;同时通过介绍“圆周率”的发展历史,来开拓学生的视野,丰富学生的知识面,使学生了解知识的来龙去脉,对学生进行了生动的爱国主义教育,激发学习兴趣。而且,利用圆周率的意义准确解答开始的问题,前后呼应,使计算公式的总结水到渠成。
2.提高应用意识,努力体现课堂教学的开放性。
把所学的知识应用于生活实际,不但可以使学生感到我们所学的知识是有用的,而且有利于提高学生灵活应用知识的本领,在本节课的最后部分可以安排几个生活问题,提高学生的应用意识,不但培养了学生开放型的思维方式,还激发了学生动手的愿望。
圆的周长练习课
教材第65、第66页的练习十四。
1.通过练习,巩固对圆的周长公式的理解和掌握,能熟练应用圆的周长公式解决问题。
2.进一步培养学生应用公式解题的能力。
3.培养学生仔细观察、积极思考的学习习惯。
灵活应用圆的周长公式解题。
实物投影。
1.老师:什么是圆的周长?什么是圆周率?圆的周长的计算公式是什么?
板书:C=πd C=2πr
2.完成下列口算练习。
3.14×1= 3.14×2= 3.14×3= 3.14×4=
3.14×5= 3.14×6= 3.14×7= 3.14×8=
3.14×9= 3.14×10= 3.14×20= 3.14×100=
要求学生先口算出结果,再熟记。
1.完成教材第65页练习十四的第1、第2题。
(1)学生独立完成,写在练习本上。
(2)集体订正。
(3)提醒学生正确应用公式。
已知半径,求周长:C=2πr
已知直径,求周长:C=πd
2.完成教材第65页练习十四的第3题。
(1)指名读题。
(2)独立完成。
(3)学生板演,说说自己使用的方法。
已知周长,求直径:d=C÷π
提问:如果已知周长,求半径,用什么方法呢?
板书:r=C÷π÷2
3.完成教材第65页练习十四的第4题。
(1)指名读题。
(2)说说怎样求出规定时间内,分针的尖端所走的路程。
点拨:求规定时间内,分针的尖端所走的路程就是求以分针(20 cm)为半径的圆的周长。
(3)学生接着完成后面的问题。
4.完成教材第65、第66页练习十四的第5~11题。
学生独立完成,集体订正。
1.填空。
(1)圆的周长总是它直径的( )倍。
(2)用C表示圆的周长,d表示圆的直径,r表示圆的半径,圆的周长的计算公式可以写成( )或( )。
长的( )。
(4)用周长是2分米的正方形纸片剪成一个最大的圆,这个圆的周长是( )厘米。
2.求下面各图形的周长。
3.一个圆形蓄水池,从里边量周长是50.24米。它的半径是多少米?
4.一个半圆形花坛,外围周长是51.4米。这个花坛的直径是多少米?
看图填空。
左图中两个圆的面积相等,圆心分别是O1、O2,半径是( )厘米,直径是( )厘米,每个圆的周长是( )厘米,长方形的周长是( )厘米。
课堂作业新设计
5. 15×2×3.14×3=282.6(m) 15×2×3.14÷2=47.1≈47(根)
6. 50.24 m=5024 cm 5024÷(40×3.14)=40(周)
7. (1)16 12.56 (2)9.42 21
8. 100÷4÷2=12.5(厘米)
9. 50×4+50×3.14÷2=278.5(厘米)=2.785(米)
10. 2×5×3.14=31.4(厘米)
11.* 第一组:3.14×7+7×2=35.98(cm)
第二组:3.14×7+7×4=49.98(cm)
第三组:3.14×7+7×8=77.98(cm) 发现略
圆的面积
教材第67、第68页的内容。
1.使学生理解圆的面积公式的推导过程,掌握求圆的面积的方法并能正确计算。
2.培养学生运用转化的思想解决问题的能力。
重点:掌握圆的面积的计算公式,能够正确地计算圆的面积。
难点:理解圆的面积公式的推导过程。
实物投影,各种图形的纸片。
1.我们学过哪些平面图形的面积公式?
2.长方形、平行四边形和三角形的面积公式分别是什么?
3.平行四边形的面积公式是如何推导的?
小结:平行四边形面积公式的推导,提供给我们一种研究平面图形的面积的方法,即把所学的图形进行分割、拼摆,转化成学过的图形,用旧知识解决新问题。今天,我们还要用转化的思想研究圆的面积。
1.明确圆的面积的概念。
(1)老师出示一个圆,提问:谁能联系我们学过的图形的面积说一说圆的面积是什么?
学生回答,老师归纳:圆所围成的平面的大小叫做圆的面积。
(2)圆的大小是由什么决定的?
(3)展示由“曲”变“直”的渐变图。
引导学生逐层观察圆周曲线的变化情况,把圆等分的份数越多,圆周曲线就越来越直,当我们继续分下去……圆周曲线就变成一条近似的直线段了,用这样的小块拼摆的图形就更近似于我们学过的图形。
2.学生动手操作,推导圆的面积公式。
为了研究方便,我们把圆等分成16份,圆周部分近似看作线段,其中的一份是个近似的三角形,
(1)指导学生动手摆学具,并思考几个问题:
你摆的是什么图形?
你摆的图形的面积与圆的面积有什么关系?
所摆图形的各部分相当于圆的什么?
你如何推导出圆的面积?
(2)学生动手摆学具,然后发言。
拼成长方形:
老师说明:如果分的份数越多,每一份就会越小,拼成的图形就会越接近长方形。
出示教材第67页上面的图加以说明。
拼成的近似长方形的长和宽与圆的各部分有什么关系?
从图中可以看出圆的半径是r,长方形的长是πr,宽是r。
长方形的面积=长×宽
↓ ↓ ↓
圆的面积=πr× r=πr2
如果用S表示圆的面积,那么圆的面积计算公式就是S=πr2。
3.利用公式计算圆的面积。
出示例1:圆形草坪的直径是20m,每平方米草皮8元。铺满草坪需要多少钱?
指名读题,让学生试做,提醒学生不用写公式,直接列算式就可以。
板书: 20÷2=10(m)
3.14×102
=3.14×100
=314(m2)
314×8=2512(元)
答:铺满草坪需要2512元。
老师强调指出:列出算式后,要先算平方,再与π相乘。
1.直接写出得数。
22= 32= 42= 52= 62= 72=
82= 92= 102= 0.22= 0.72= 0.92=
2.求下面各圆的面积。
3.一块圆形铁板的半径是3分米。它的面积是多少平方分米?
4.一个圆桌桌面的直径是1.2米。它的面积是多少平方米?
计算阴影部分的面积。(单位:分米)
课堂作业新设计
1.4 9 16 25 36 49 64 81 100 0.04 0.49 0.81
2. 12.56平方分米 28.26平方分米 1256平方厘米 28.26平方米
3. 28.26平方分米
4. 1.1304平方米
思维训练
3.44平方分米
圆 的 面 积
长方形的面积=长×宽
↓ ↓ ↓
圆的面积=πr×r=πr2
20÷2=10(m)
3.14×102
=3.14×100
=314(m2)
314×8=2512(元)
答:铺满草坪需要2512元。
1.在教学实践中贯穿“转化”的思想方法。这是一种基本的数学思想和方法。
2.学生已有根据平行四边形、长方形面积公式推导圆面积公式的经验。
3.注意圆面积求法和周长求法区分,有时学生易混淆。
本部分内容是在初步认识了圆,学习了圆的周长,以及学过几种常见直线几何图形的面积的基础上进行教学的。学生从学习直线图形的面积,到学习曲线图形的面积,不论是内容本身还是研究方法,都是一次质的飞跃。学生掌握了圆面积的计算,不仅能解决简单的实际问题,也为以后学习圆柱、圆锥的知识打下基础。学生已经有了平面几何图形的经验,知道运用转化的思想研究新的图形的面积,在学习中要鼓励学生大胆想象、勇于实践。在操作中将圆转化成已学过的平面图形,从中找到圆的面积与半径、直径的关系。
1.通过实际情境,一方面使学生了解圆的面积的含义,另一方面使学生体会到在实际生活中计算圆面积的必要性。
2.教学时,强调知识迁移的过程。
平行四边形、三角形和梯形的面积公式推导过程是学生知识迁移的基础,这一环节的设计既能勾起学生对已有知识的回忆,又能启发学生运用转化的思想解决数学问题。
3.组织学生观察猜想。
先观察再猜想的方法既培养了学生的空间想象力,又发展了学生的逻辑推理能力。
圆环的面积
教材第68页的内容。
1.使学生进一步掌握求圆的面积的方法,学会求圆环的面积的计算方法。
2.培养学生主动研究、探索解决问题的方法的能力。
求圆环的面积的计算方法。
实物投影,圆环纸片。
1.什么是圆的面积?圆的面积计算公式是什么?
2.求下面各圆的面积。
1.出示例2。
光盘的银色部分是一个圆环,内圆半径是2 cm,外圆半径是6 cm。圆环的面积是多少?
(1)指名读题。
(2)出示光盘图。
提问:光盘的面积是什么图形的面积?求光盘的面积是求哪部分的面积?怎样求光盘的面积?
学生回答:光盘的面积是圆环的面积,求光盘的面积就是求圆环的面积。
老师拿出事先做好的教具,演示圆环形成的过程,左手拿着教具,右手把内圆向后推掉,成为一个圆环,让学生认真观察演示过程,明确从外圆的面积中减去内圆的面积就得到圆环的面积。
板书:圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
让学生说一说外圆的半径是多少,外圆的面积怎样求,内圆的半径是多少,内圆的面积怎样求。
2.学生列综合算式解答。
老师巡视,了解学生列算式的情况。
板书:
3.14×62-3.14×22 或 3.14×(62-22)
=113.04-12.56 =3.14×32
=100.48(cm2) =100.48(cm2)
答:圆环的面积是100.48cm2。
3.比较两种方法。
大部分学生用的是第一种方法,即大圆的面积减去小圆的面积。如果有学生用的是第二种方法,老师要予以表扬。这些学生联系以前学习的乘法分配律,使计算简便。这种计算圆环面积的方法,不必要求全体学生掌握。
老师归纳出第二种方法的计算公式:
S环=π(R2-r2)
其中,R是外圆半径,r是内圆半径。
1.直接写出得数。
102= 202= 302= 402= 3.14×3= 3.14×2=
112= 122= 132= 142= 3.14×5= 3.14×4=
152= 162= 172= 182= 3.14×6= 3.14×8=
2.求下面各图中阴影部分的面积。(单位:分米)
(1)
(2)
3.铸造厂要生产一种圆环形的钢板。这种环形钢板的内圆半径是6厘米,外圆半径是15厘米,钢板的面积是多少平方厘米?
4.一个直径为16米的圆形鱼池,鱼池的中心是一个直径为6米的圆形小岛。求鱼池水面的面积。
计算下图中阴影部分的面积。(单位:分米)
(1)
(2)
课堂作业新设计
1. 100 400 900 1600 9.42 6.28 121 144 169 196 15.7 12.56 225 256 289 324 18.84 25.12
2.(1)3.14×(62-32)=84.78(平方分米)
(2)12÷2=6(分米) 16÷2=8(分米) 3.14×(82-62)=87.92(平方分米)
3. 3.14×(152-62)=593.46(平方厘米)
4. 6÷2=3(米) 16÷2=8(米) 3.14×(82-32)=172.7(平方米)
思维训练
(1)3.14×(6÷2)2-3.14×(3÷2)2=21.195(平方分米)
环形的面积
圆环是指半径不相等的圆,当圆心重合时的两圆之间的部分。注意,在一个大圆内随意剪去一个小圆是不能形成圆环的。任何一个圆环,已知内圆直径和环宽,求外圆直径应加两个环宽;已知外圆直径和环宽,求内圆直径,应减去两个环宽。
圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积
3.14×62-3.14×22或 3.14×(62-22)
=113.04-12.56 =3.14×32
=100.48(cm2) =100.48(cm2)
答:光盘的面积是100.48 cm2。
S环=π(R2-r2)
R是外圆半径,r是内圆半径。
1.部分学生对圆环的认识已有生活经验,但对于它的形成过程缺少理性思考。
2.学生已经学习了圆的面积及应用。
3.部分学生通过学习圆的周长和面积形成了初步的转化思想。
本课是在学生学习了圆的面积及应用之后进行教学的,主要是学习有关圆的组合图形的面积及应用。教材通过对直观的组合图形面积的计算,使学生建立模型,进而利用刚建立的模型解决生活中的实际问题。对于圆环的认识,学生已有生活经验,但对于它的形成过程缺少理性思考;学生对直观的圆环面积计算问题应该不大,但以此作为数学模型并用此模型解决实际问题缺少经验,部分学生在思维上的跳跃较大,因此对本节课的学习两极分化会比较严重。
1.在教学中,以学生原有的知识为基础,搭桥铺路,以旧带新。
“温故而知新”的导入方法是我们经常用到的,要找准新旧知识的连接点,并因情况而异采用不同的方式。
2.让学生充分参与探究圆环的形成过程。
在这个过程中教师应该充分相信学生的能力,热情鼓励学生的探索活动,给予学生充足的时间和思维空间。最大限度地发展学生的观察能力、思考能力和探究能力,增强学生学习数学的兴趣,培养学生实践能力和应用能力。
圆与正方形的关系及圆的面积练习课
教材第69~74页的内容。
1.通过练习,理解和掌握圆的周长和圆的面积的计算公式,能够正确地计算圆的周长和圆的面积。
2.进一步培养学生的空间观念。
正确计算圆的周长和圆的面积。
实物投影。
1.口答:分别说出1~9的平方值。
2.指名回答有关圆的定义。
3.默写圆的周长和圆的面积的计算公式。
4.完成下面的练习。
(1)一个圆的周长是18.84厘米。这个圆的面积是多少平方厘米?
板演:18.84÷3.14÷2=3(厘米)
3.14×32=3.14×9=28.26(平方厘米)
(2)一个圆环形花坛的外圆半径是5米,内圆半径是2米。它的面积是多少平方米?
板演:3.14×(52-22)=3.14×21=65.94(平方米)
1.出示例3。
(1)老师读题,帮助学生理解题意。
题中两个图都是由一个正方形和一个圆组成的,通过探索它们之间的关系,研究正方形和圆的面积关系。
(2)分析问题。
老师:图中的两个圆的半径都是多少?(1 m)
左边求的是正方形比圆多的面积,右边求的是圆比正方形多的面积。
左边正方形的边长就是圆的直径。右边正方形的边长小于圆的直径。
(3)解决问题。
小组讨论解决方法并汇报。
由题知左图中正方形的边长就是圆的直径,由图可知:
2×2=4(m2) 3.14×12=3.14(m2)
4-3.14=0.86(m2)
右图中的正方形可以分成两个相同的三角形,它们的底和高分别是正方形的边长,形成的第三边就是圆的直径。由图可知:
从图(2)可以看出:
当r=1时,和上面的结果完全一致。
(5)老师引导学生总结圆与正方形的关系。
总结:正方形里面有一个最大的圆,则正方形的边长就是圆的直径。圆里有一个最大的正方形,则圆的直径是把正方形分成两个相同的三角形后形成的第三边。
2.完成教材第71页练习十五的第1题。
学生先独立完成,再集体订正。订正时让学生说出计算的过程。如第一行,要能说出已知半径求直径,用d=2r计算出直径是4×2=8(cm),已知半径求面积,用S=πr2求出面积是3.14×42=3.14×16=50.24(cm2)
3.完成教材第71页练习十五的第3题。
(1)学生读题,说出题意。
(2)说说求喷灌的面积就是求什么。(求圆的面积)
自动旋转喷灌装置的射程是10m,指的是什么?(圆的半径)
(3)独立完成计算过程。
板书:3.14×102=3.14×100=314(m2)
4.完成教材第71页练习十五的第2题。
(1)学生独立完成。
(2)集体纠正答案。
(3)老师在巡视过程中检查学生有没有把圆的面积公式和圆的周长公式混淆,检查学生的书写格式对不对,写没写单位名称。
5.完成教材第73页练习十五的第10题。
(1)学生读题。
(2)分小组讨论怎样计算这个运动场的周长和面积。
(3)点拨学生可以把两个半圆合并成一个整圆计算它的周长和面积。
周长:2×3.14×32+100×2 面积:3.14×322+32×2×100
6.指导学生完成教材第74页的第16*题。
(1)学生读题,说出题意。
(2)给学生提供充分的探索时间和空间,让学生分小组亲自探索,做好记录。
(3)学生发言,教师点拨。
围成正方形:31.4÷4=7.85(m) 7.85×7.85=61.6225(m2)
围成圆形:31.4÷3.14÷2=5(m) 3.14×52=78.5(m2)
78.5>61.6225
所以围成圆形时的面积最大。
1.直接写出得数。
32= 52= 72= 0.22= 0.42=
82= 22= 92= 0.82= 0.92=
2.填表。
圆的半径
| 圆的直径
| 圆的周长
| 圆的面积
| 2 cm
| | | | | | 18.84 m
| |
3.火车主动轮的直径是1.5米,如果平均每分钟转200圈。每分钟前进多少米?
4.用一条10米长的铁丝围着一棵大树绕3圈还余0.58米。这棵大树的直径是多少米?
1.在一个长4米、宽2米的长方形纸板上剪一个最大的圆。这个圆的面积是多少平方米?
2.求涂色部分的面积。(单位:米)
课堂作业新设计
1. 9 25 49 0.04 0.16 64 4 81 0.64 0.81
2. 4 cm 12.56 cm 12.56 cm2 3 m 6 m 28.26 m2
3. 3.14×1.5×200=942(米)
4. 10-0.58=9.42(米) 9.42÷3÷3.14=1(米)
思维训练
1. 2÷2=1(米) 3.14×12=3.14(平方米)
2. 3.14×32÷4×2-3×3=5.13(平方米)
教材习题
教材第70页做一做
701.005-384.336=316.669(m2) 相差316.669m2。
13. 62.8÷3.14÷2=10(m) 3.14×(10+2)2-3.14×102=138.16(m2)
15.* 略
16.* 正方形:(31.4÷4)2=61.6225(m2) 圆:(31.4÷3.14÷2)2×3.14=78.5(m2)
所以围成圆形面积最大
17.* 因为周长相同时,围成的图形中圆的面积最大,所以蒙古包的房间面积大,根和茎长得牢,并吸收养分足。
认识扇形
教材第75、第76页的内容。
1.使学生掌握扇形的组成部分、扇形的特征。
2.进一步培养学生的空间观念。
认识扇形。
实物投影。
扇贝、扇形藻、折扇,这些物体的名称都含有“扇”字,那什么是扇形呢?
小组讨论,然后集体汇报
认识扇形。
老师拿出圆规和直尺,先画一个虚线圆,在圆上取A、B两点,再用实线画A、B两点间的部分。
接着老师指出:圆上A、B两点之间的部分叫做弧,读作“弧AB”。一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。用彩笔把扇形部分涂上色,强调涂色部分就是扇形。让学生在练习本上画出扇形,并指名说一说什么是扇形。
老师:我们看到扇形是由两条半径和一条弧围成的,谁能说一说扇形和三角形有什么不同?使学生认识到:三角形是由三条线段围成的,而扇形中有一条不是线段而是弧,这条弧是圆的一部分。
老师在上面图形的基础上标出圆心角,指出:顶点在圆心上的角叫做圆心角。
提问:圆心角是由什么组成的?顶点在什么上?
学生要认识到:圆心角是由两条半径和圆心组成的,所以圆心角的顶点在圆心上。
使学生明确:在同一个圆中,扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形就越大。
1.教材第76页练习十六第1题。
2.教材第76页练习十六第2题。
3.教材第76页练习十六第3题。
教材第76页练习十六第4题。
课堂作业新设计
1.略
2.(√) ( ) ( ) (√)
3.略
思维训练
整理和复习
教材第77页的内容及第78页的练习十七。
1.巩固对本单元学习的圆的周长和面积计算公式的理解和记忆,能熟练应用公式解题。
2.培养学生归纳整理知识的能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
重点:正确运用公式计算所学图形的面积。
难点:灵活运用所学面积公式解决实际问题。
实物投影。
1.本单元,我们学习了哪些知识?这些公式是怎样推导出来的?试着自己整理归纳出来。
2.小组进行交流。
1.师生共同归纳本单元的概念。
(1)圆心 (2)半径 (3)直径 (4)轴对称图形 (5)圆周率 (6)扇形 (7)圆心角
2.师生共同归纳本单元的公式。
(1)圆的周长:C=πd或C=2πr
(2)圆的面积:S=πr2
(3)圆环的面积:S环=S外-S内或S环=π(R2-r2)
3.指导完成教材第77页的第2题。
(1)学生读题。
(2)说一说这道题一共有几个问题。
(3)学生独立完成,集体订正,订正时注意提醒学生所使用的单位名称要准确。
(4)指名板演。
4.完成教材第78页练习十七。
学生独立完成,集体订正。
1.直接写出得数。
3.14×2= 3.14×5= 3.14×7= 3.14×3= 3.14×4=
3.14×6= 3.14×10= 3.14×20= 3.14×0.5=
22= 52= 72= 82= 92= 102=
2.填空。
(1)在同一个圆里,能画出( )条半径和直径。
(2)在同一个圆里,所有的半径都( ),所有的直径都( )。
(3)在同一个圆里,直径等于半径的( ),半径等于直径的( )。
(4)圆心决定圆的( ),半径决定圆的( )。
(5)一个圆的半径是3分米,直径是( )分米,周长是( )分米。
(6)一个圆的周长是12.56米,它的半径是( )米,直径是( )米,面积是( )平方米。
(7)在一个边长是6分米的正方形里画一个最大的圆,这个圆的面积是( )平方分米。
(8)圆心角是90°的扇形的面积是它所在圆的面积的( )。
3.画一个半径是2厘米和一个直径是6厘米的圆,并分别标出它们的圆心、半径和直径。
4.求下面各圆的面积。(单位:cm)
(1)r=0.8(2)d=1.8(3)C=28.26
下图中圆的面积与长方形的面积相等,圆的周长是25.12厘米。求涂色部分的面积。
课堂作业新设计
1. 6.28 15.7 21.98 9.42 12.56 18.84 31.4 62.8 1.57 4 25 49 64 81 100
‘
3.略
4. (1)2.0096 cm2 (2)2.5434 cm2 (3)63.585 cm2
思维训练
37.68 cm2
教材习题
整理和复习
1. 略
6. (1)✕ (2)✕ (3)√ (4)√ (5)✕
7. 3.14×1.7×6×10=320.28(m)
8. 两个分开的半圆的周长都是128.5 m,一个半圆的周长等于“圆周长的一半+两条半径”,即πr+2r=5.14r。
所以r=128.5÷5.14=25(m),因此半径r=25m。 3.14×252=1962.5(m2)
9. 分析:割补法。四个圆心角为90°的扇形恰好组成一个圆,中间是一个正方形。
3.14×12+1×1=4.14(cm2)
10. 3.14×50+50×2=257(米) 257×5=1285(米)
确定起跑线
教材第80、第81页的内容。
1.通过教学,进一步巩固学生所学的圆的周长的知识。
2.提高学生运用所学知识解决实际问题的能力,增强学生思维的灵活性。
3.培养学生积极思考的学习习惯。
运用所学知识解决实际问题。
实物投影。
我们学习了圆的周长,你能说出圆的周长的计算公式吗?
1.出示跑道图,提出问题。
老师:当你走进田径运动场时,你一定会被塑胶跑道所吸引。你知道比赛时,为什么运动员站在不同的起跑线上吗?
学生:因为终点相同,如果在同一条起跑线上,外圈的运动员跑的距离长,所以外圈跑道的起跑线位置应该前移。
提问:各跑道的起跑线应该相差多少米呢?
学生分组讨论。
2.学生动手进行计算。
(1)探究方法。
通过观察,学生能够发现跑道由两条直段跑道和两个半圆形跑道组成。直道长85.96 m,第一条半圆形跑道的直径是72.6 m,每条跑道宽1.25 m,如教材第80页上面的图所示。如果两个半圆形跑道合在一起,就是一个圆,可以先求出一个圆的周长,再加上两段直道的长度,这样就能求出每条跑道的长度。
(2)学生计算每条跑道的长度,π取3.14159。最后填在下面的表格中。
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
| 6
| 7
| 8
| 直径/m
| 72.6
| 75.1
| | | | | | | 圆周长/m
| 228.08
| 235.93
| | | | | | | 跑道全长/m
| 400
| 407.85
| | | | | | |
d1=72.6 d2=75.1 d3=77.6 d4=80.1 d5=82.6 d6=85.1 d7=87.6 d8=90.1
第1道:3.14159×72.6+2×85.96≈400(m)
第2道:3.14159×75.1+2×85.96≈407.85(m)
第3道:3.14159×77.6+2×85.96≈415.71(m)
第4道:3.14159×80.1+2×85.96≈423.56(m)
第5道:3.14159×82.6+2×85.96≈431.42(m)
……
(3)计算相邻两道之差。
例如:第2道周长减去第1道周长:407.85-400=7.85(m)
第4道周长减去第3道周长:423.56-415.71=7.85(m)
……
通过计算可以知道,400m的跑道要跑一圈,每一道的起跑线要比前一道提前大约7.85m。
请同学们上网查找资料,探寻这道题还有没有其他的计算方法,并在小组内进行交流。
课堂作业新设计
略
1.六年级的学生已具备一定的小组自我探究的能力,可以利用小组合作的形式进行学习。
2.大多数的学生都喜欢小组合作的这种学习方式。
3.学生对体育活动很喜欢,大多数学生去过体育场,对体育场的跑道和起跑线并不陌生。
本课是一节数学综合应用的实践活动课。培养学生用数学解决问题的能力是义务教育阶段数学课程的重要目标之一,因此解决问题的教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发展学生数学思维的过程,又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。本册教材设计了“确定起跑线”这个数学综合运用活动,让学生通过小组合作的探究性活动,综合运用所学的数学知识和方法(如圆的知识),动手实践解决问题,体会数学在日常生活中的应用价值,增强学生应用数学的意识,不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。学生可能很少从数学的角度去认真思考起跑线问题,也很难通过经验和观察得到,需要学生收集相关的数据,具体分析起跑线的位置与什么有关。所以在教学中,学生可能会在“相邻跑道相差多远”这一点上有些困难。
1.通过师生对话,谈谈同学们身边发生的大事。
合理利用课前的几分钟,就犹如奏响了课堂教学主题曲的前奏。既吸引学生学习的注意力,也可拉近师生之间的心理距离,激发学生的学习热情,创设宽松的课堂氛围,让学生在心理安全的状态下进入学习活动。
2.结合学生的生活经验,激发了学生探究问题的欲望。
运动会是学生生活中很熟悉的活动,它贴近学生的生活实际,真实、自然。课的开始在这样一个学生熟悉的活动中设计了一场不公平的比赛,让学生在观看的同时去发现比赛中存在的问题,并且提出问题。
3.排除理解障碍,重点研究弯道。
在讲学时,教师可以用课件将生活中的跑道缩小放在屏幕上。这样既直观又形象,也便于学生观察,并且直道和弯道用不同的颜色,更好地引导学生发现跑道中的秘密:左右两个弯道合起来其实是个圆。学生在观察中发现相邻跑道的差距不在直道部分,而是在弯道部分。在这里教师做了一个大胆的创新:既然与直道无关,就把直道拿走,屏幕上只留下左右两个弯道,给学生留下了无限的思考空间。
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