067.专项十四-题型15～22

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:51:10

下面咱们看题型失误一的妙用，求最值。好一的妙用将一看成一个式子，进行整体代换啊，比如说给它加一个一减一个，一乘一个，一再除个一。第二个将一可以生命啊，一可以生命，所以说第一个就是加一减一。乘一÷1是吧？加减乘除一，然后第二个就一可以写成一的若干次方一的k次方。比如一可以写成一的平方，一的三次方是吧？

然后第三个将一个大数拆成n个相同的小数相加。比如三我可以拆成一+1+1，这样把一个大数拆成啊n个一相加。啊，这就是一的一些妙用好吧，所以把一用好了，我们做题呢啊，就会非常简便。好，下面咱们看一下这个题。好已知两个正实数xy满足x加y，正好等于四好使x分之一加y分之四大于等于m恒成立的实数m取值范围到底多少？要使它恒成立m取值范围好，问m最大，它可以取多少求最大，

它可以取多少？那这道题大家注意，这里大家千万不要用两次平行对称，因为大家知道这东西恒成立，其实就实质上就求什么，求左边的最小值。啊，找它最小值，找最小值就行了，只要它最小值，然后大于等于m也或者说m横小于它最小值，这就是恒成立。是吧，咱们讲恒成立的表达式啊，恒成立咱们学过是吧？

就是如果fx大于等于m要恒成立。将只要是fs最小值大于等于m就可以了，找最小值。呃，如果fx小于等于m要恒成立。小于等于只要它最大值max fx，小于它就可以了，是不是找这一个最小值一个最大值就OK了啊？这是咱们学过的恒成立。所以这道题要求它最小，求它最小，这道题错误解法给大家强调一下错误解法。错误介绍，大家千万不要用两次平行定理好吧，然后呢，

用两次平行定理，它又会出错，比如说啊，给大家讲第一次x+y。等于四用一次平行定理，然后加二=4大于等于二倍根号下xy是不是？然后这样用一次平。定理，然后呢？这个x分之一加上y分之四，再用下平行定理，大于等于二倍根号下xy分之四，再用的是平行定理。那通过第一个，我们可以。

得到x×y，它的这个数值这个哈可以把它写成四除，以个根号xy。是不是因为这个四开根号是二二乘以二又得到四嘛，又得到四这个根号xy，然后这个把它除过来，除过的话就相当于根号xy分之一。根号xy分之一啊，大于等于这个二分之一，是不是等于大于等于二二分之一大于二分之一，然后这个就大于等于二？因为因为四乘以二分之一嘛。啊，就大于等于二，所以说这个呢，

就大于等于二，大于等于二，有同学说最小值为二好，它最小最小值为二，就得到m，只要小于它最小值就行了m，小于它最小值，然后m最大就取二。有同学误选成a选项，那这个错了错因什么错因跟刚刚道理讲过的就是咱们用了两次评定，两次评定那余额熊掌，看能不能兼得？一个熊掌能不能兼得？大家发现，第一个如果要等号，

要成立的话，第一个等号要成立的话，说明xy要要相等。是吧，这个等号成立xy要相等，这个等号成立的话要x分之一和y分之四要相等，这x分x分之一和y分之四，这个要相等。这两个平行定理，与和相等，不可兼得。就x和y相等的时候，x分之一和y分之四不可能相等是吧？这两个相等的时候，那这个不可能再相等了。

所以鱼和熊掌不可兼得，这个就错了，这个等号呢？它它不能同时取到上面取等号，说下面又取不到，好吧，就是这个。啊错，因那么正确的方法是什么？你看正确的方法。这个方法是这样的，就把它作为横等变形s分之一加y分之四。可以把它乘一个乘一个四啊，乘乘一个四乘，当然乘一个四，

然后再除一个四就行了。乘以s加y前面，再乘以个四分之一，加上这一块，给它乘以个四，知道吧？就这个括号括号，给它乘以个四。然后再乘一个四分之一，再除一个四就行啊，乘一个四，再除一个四就可以得到它这个结果，然然后呢，把这个括号乘到里面去。括号乘到里面去，

乘到里面去，括号里面变成把这这两个乘开，乘开的话就变成一加四，加上x分之y。加y分之四x好吧，这两个给它进行乘开乘开乘开一加四，这个x分之y加y分之四x。然后这时候大家用一次平行定理，就这个跟这个用一次平行定理就行了是吧？用一次平行定理，所以大于等于四分之一。括号五+2倍根号四。就等于四分之九。是吧，四分之九就这个用于自平定理，

用于自平定理就没啥问题了，然后这个也是它最小值是四分之九，最小值是四分之九的话，只要m小于等于四分之九就OK了。m比它最小值小，它就是恒成立的，所以正确答案应该选择b选项，答案就求解出来了，好，这是它的做题方法是吧？而且它这时候它这个题什么时候取等号呢？什么取等号就当这个x。分之y等于y分之四x的时候，这时候它取等号啊，这个是。

取等号的当然也可以求xy具体值，然后再结合x+y等等于四，再结合x+y值x+y正好。等于四，然后这时候大家呢，就可以求它的是什么时候取等号是吧，然后这个就可以算成它取等号的一个条件，当然咱这个就不用再往下去解了。好吧，然后戴亚纳。啊，就可以当然解也可以也可以很容易解出来，因为这个y方正好等于4x平方，相当于y=2 x。y等于二x，

现在x等于三分之四。y=38的时候，它它取等号是吧？然后这样这块我们就可以写写出来。好，那这是它的这个方法好吧，大家呢，就可以找到啊，如果要问什么时候取取取这个等号，什么时候取这个等号呢？等号什么时候成立呢？对吧，就等于三分之四你就联系这两个联系这两个去解就行了啊，可以把sy给解出来好了，这是给大家进行讲的，

它的这个方法好吧，要知道这个这道题属于一的妙用，给它乘一个常数，再除一个常数。啊，做做一个横等变形，这样就不会出问题了，好，这是考试，它平衡定理使用的一个注意事项，看是不是懂了？好，那接下来咱们看这个题。啊，已已知ABC为正实数。

啊ABC，它正数且a×b×c。啊，正好是等于八的，那么a的五次方加b的次方加c的五次方加64的最小值到底是多少？好，大家想一想。好a的五次方。加b的五次方加c的五次方加64。其实这后面这64就不用管了。就先看前面这一块。前面这个大家知道a×b×c，它乘积为定值。和就有最小值，咱们学过每个同学都想一想。

看会不会做。好，也就是说它成绩为定值。和就最小值。和就最小值，所以它大于等于。好，这64先不用管它，大于等于三倍的。三次根号下。这三个数相乘。是吧，这三个数相乘有a的五次方b的五次方c的五次方可以把这个五次方给它。提到外面来。然后再加上一个64。

好看，这块是不懂了。然后接下来我们呢，再来分析。啊，再想想。然后这一块儿我们呢就可以把这个ABC=8带到里面去，知道吧，所以把这ABC=8呢带到里面去。看到没？这个就变成了。三倍的三次根号下。啊，然后a abc正好等于八嘛，等于八。

八的五次方再加64。当然八可以写成二的三次方是吧？八可以写成二的三次方二的三次方把它开出来。知道吧，开出来就是二的五次方了。知道吧，就这个三的根号跟二的三次方开掉开掉，剩下一个二的五次方加64。大家知道二的五次，方二的五次，方正好32，32×3，96，96+64。等等于160。

这样答案就选d。啊，这里大家也很容易蒙猜答案，因为什么时候取等号呢？其实这道题这个根号不会算的，同学也可以这样做。有个技巧。因为大家知道ABC相等的时候，它取等号。是吧，是不是让ABC向上的时候它取等号？这样的话，我们就可以得到。ABC相等都等于20。他这个去掉它。

所以让ABC都等于二都等于二，直接就可以算出来二的五次方加二的五次方再加二的五次方。是吧，再加64啊，就可以算出它的答案，算出来也等于160好吧，看这个方法是不是听懂了？要掌握它的思路和要点。下面咱们看题型16就其次。化来求最值，其实化求最值。当分子分母次方互为统一时，可以采用其次化，其次化就把它化成。次方相同的就比较整齐的次方。

比较整齐的时候，那在这里面大家呢？要会这个其次化，比如说a+b。所以AB它可以写成a分之一加b分之一，这个叫做起次化是吧？你看分母它是一个二次的。呃，这个次方多项式的次方怎么算多项式的次方就相当于把每个字母的次方相加啊，叫做多项式的次方啊，所以分母的次方它是一个二次的，因为它是a是一次。b是一次一+1得到是二，然后分子呢，它就是一次的，

所以说这样就要把它进行起次化。然后把它都变成同样的啊，这样的次方啊，就是七次方，它的一个概念。啊，把它啊次方都统一以后这样话就好处理一点啊，然后呢，它就相当于都占在同一个起跑线。往下呢，就好比较好化解。好，那下面咱们看这个题。啊a大于0b大于0 a+b=a+2 b=1。a+2 b=1则这个分式，

它最小值到底是多少？大家想想。啊，这个分式它的最小值。好，一起思考一下，而且它最小值。好，这道题就要考察这个分式的恒等变形，因为现在大家还没法用这个基础定理。是吧，所以这时候呢，我们要考虑这个恒等变形，大家想想应该如何来进行变形？都思考一下，

想一想。首先咱观察一下这个分子，这个一。是吧，这个一这个一其实可以换成2 a+b就a+2 b好吧，这块儿它的这个方法。好吧，看看这个明白没有？好，大家都思考一下啊，想一想。好，咱们呢？给大家进行找的一些题目好吧，然后呢？

主要让大家练习一下。看看这些题，大家会不会做？好，大家想想啊，想想这个题怎么做？主要让大家好好去练习一下啊。大家都可以思考一下，好吧？因为在现在考试呢，考最值题目考的比较多。知道吧，尤其这个分式考最值，所以给大家进行出一些这样的题，让大家进行练习一下，

每个同学都在纸上写几步。都想一想。好，大家知道，首先这个一一可以换成a+2 b。是不是好都想想。啊，依法做一个替换。这个呢啊，能想到吧，都把分子要变成这个字母。啊，字母所以给的b方加上。这个一换成a+2 b以后，这样正好等于2 a+2倍的b。

好，大家都思考一下，想一想。然后接下来我们就把它裂开是吧？把它进行裂开。好列完后，那这个b方跟这2 AB可以约掉这个b÷2a。这块剩下约一约啊b÷2a。啊，然后接下来我们再看这个二a除以二AB就让它b分之一。这个是a分之一。好，那这是给它进行拆分好看，明白没有？好，

大家想想。啊，这个拆分。好拆分，然后b这一块我们再给大家做一下拆分是吧？b这一块再做拆分。主要是要出现这个定值，知道吧，所以考试比较难的点就要产生定值，这是大家呢，可能就想不到的。懂了吧，可以把它再继续拆分。一直拆分到什么？拆分到它出现定值就好办了。

知道这个道理没有啊，一直给大家进行拆分。好，要么就把前面拆分，要么把后面这个拆分。啊，后面的拆分这样也可以？这个一再换成a+2 b，这个一再换成a+2 b对吧？再换上。好，那接下来。可能有同学想不到咱们就说的慢一点，大家边做边思考啊，这个一再换成a+2 b。

对吧，好这个一再做一个替换。啊，用a+2 b那这个属于一的妙用。是吧啊，一的妙用，然后这样话我们呢，把它给写写，这正好是二a分之b。好，大家知道这个就是b分之a。加二是吧？那这个b分之再加上一个二。好，这个就是a分之二b，

再加上一个一就一加a分之二b。好，这样基本上快找到答案了，好吧，大家知道这个二+1。那正好就是一个三。是吧，二加上正好三，然后这个a分之二b跟二b分之一，这两个可以通分通分啊，这个分母可以乘以二。乘以二就写成二a分之四b对吧？所以二a分之四b也就可以写成二a分之，这是二a分之四b，加上二a分之b等于二a分之五b。

加上b分之a。然后再加上一个三。哦，那这样的话，大家发现它两个乘积正好为定值。这个成绩为定值。你想想是不是这样的？所以这两个乘积。为定值。乘以倍定，它大于等于。二倍的根号下。然后这两个做乘法啊，这两个相乘相乘的话，正好就二分之五。

啊，这个明白，这个公式没有就a+b大于等于二倍根号AB。啊，用这个公式是吧？然后后面再加上一个三。后面呢，加一个三。就行了，然后再把这个二乘到根号里面去。大家知道二放到根号里面去，然后这个就变成四倍的啊，四倍是吧？等于四。所以四乘以它就根号十。

所以答案就等于三加根号十。好用，这个基础定理，所以大家注意考试经常就是出现这个一的妙用是吧？一不断往里带，不断往里。变形变成什么情况呢？变成它这个。正好凑出定值为目的，咱的目标就要产生定值。目标一定要产生定值。啊，目标只要有定值就可以了，让他手段怎么达到这个目标就手段方法？就一的妙用。

就医的妙用，它的方法有医的妙用，医不断往里带。啊一的么样？有时候把一给换下来，或乘一个一加一个一减一个一对吧？就加减乘除一或者一的代换。啊，就这个题，看各位同学是不是懂了，要掌握它的方法啊，要明白它的思路。啊，下面咱们看一下题型，17换元法来求最值换元法就相当于是引入一个新的变量。

将原来分散条件联系在一起，其化学法也是相当于整体的思想。把某个式子看成一个整体来进行分析，或者把隐含的条件给它显示出来啊，隐含的信息给它显示出来。就行了，然后其理论根据是等量代换，比如说把某个表达式看成一个t。看t，但在这里面注意换元的时候，我们要注意它，它的取值范围好吧，所以注意，比如说啊t=1个表达式t的范围是什么啊？注意啊，

它的取值范围。那把它取值范围给它弄清楚好吧，这是化学法，它求最值的概念当中弄明白啊，它的核心点就把取值范围找到，然后再来求解。下面咱们看这个题已知a大于b，大于c，且a-c值又等于一看到没，大家又出现这个一了。则a减b分之一，加b减c分之一，它最小值到底是多少？有它最小值，大家都思考一下，

想一想。因为咱们知道用平行定理，首先要求是正数啊，所以它题目说了a大于b大于c，比如说这个a-b。是大于零的。b-c，它也大于零，是不是这样子？大家想一想。有a-b是正的。b-c，它也为正。这个能听懂没？好想一想。

好a-b是正的b-c，它也是正的。好，这个题怎么才能定值？大家想一想，但这道题如果你把一换成a-c的话。好像还不太好弄。是吧，你把这个分子一换成a-c的话也不太好弄。然后这个a-c=1，我们怎么样去去用啊？有句话叫无中生有。啊，无中生有好，无中生有是什么意思呢？

就这样的。就a-b+b-c。大家学过一个公式，有印象吗？学过一个公式啊。就x加x分之一大于等于二。而且公式有影响，没有s加s分之一，大于等于二。看这个公式。好，这个有没有印象？好在这里面我们呢，看这a减b分之一，我给它配一个a减b，

看行不行？是吧，所以我就把它。a-b我配个a-b。那括号。这个可能大家不好想。其数学关键是要想法。如果能想到了，很快就能算出来，想不到的话，估计不好做，其实想到了它运算的也比较简单。是吧，就b减c分之一，加上b减c。

好，这个看明白没有？这叫无中生有。那没有这个，我给它添一个这个是吧？就可以用咱们讲过的这个公式了。好，这个时候大家想一想。这个还还多退少补。我们看这个有a-b，有b-c是相当于多了一个a-c，我再给它减掉这个a-c。是不是跟原来是一样的，你自己再观察观察，因为我给它添了一个a-b，

又添了一个b-c。是不是所以在这里面哎？我要再给它减掉一个a-c就多退少补。看能不能想到，都得少补。好，那接下来我们呢？就可以用这个均值定理是吧？你看这两个是大于等于二，这两个大于等于二。是吧，然后这样就写出来。好看明白没有它的这个基本方法。是不是所以用一下矩形定理，它就可以得到它的这个结果？

答案就求解出来了。就这个题，大家可能就是想不到把这个把这个数啊，给它变一下是吧，变一变相当于给它添一个。先一个a-c，再减去一个a-c。那这是大家在做的时候呢，可能想不到它这个方法。好看，这个是不是懂了它的方法？好，这个。在这里面，大家要看等号层级条件，

因为有时候这个等号呀，要取不到的话，这个方法要调整。知道吧，好，接下来大家知道s加s分之一要大于等于二，那什么时候取等号？这等号条件就是x等等于一，这个咱们学过。那去等号条件就s要为一，这是去等号。是吧，所以这样变完以后我们看一下它取等号条件是否满足？啊，是不是满足好吧，

比如说这个a-b要等于一，这它才能去去等号。啊a-b要为一。然后这时候它又去等号是b-c。要唯一b-c，要唯一而题目又告诉了a-c的值，它是唯一的。题目值是a-c的值。它为一是吧？这个a-c的值它为一，这样的话，大家可以看一下，如果a-b。为1 a-c也为一，那说明b和c要相等。

b和c要相等的话。配个c小箱的话。所以b-c它应该为零，也就说在这里面，它这个等号又取不到。对吧啊，就取取不到，所以说所以说有同学说这样做怎么找到答案，因为这个方法就是验证一下，就是你这样猜是有问题。啊，才有问题好吧，所以说在这里面大家呢，就可以看出来啊，它的这个数值是吧，

所以有同学说算出来这个数怎么找不到答案？幸好这道题没有给你个三。如果给你个三的话啊，有同学就上当了，知道吧，所以这道题给大家在出题的时候要给它设置一个三选项，有同学就找就有同学这样做了，接下来。大于等于二倍的根号，大于等于二，它大于等于二，后面这个a-c正好为一。有同学算三算三，怎么找半天找不到答案？找到答案，

找到答案，原因是什么？你看看它要取等号，取等号，这两个要相等就a-b得等于一。这两项呢b-c要为一，还有a-c要为一，这个话你可以发现这个ABC呢，它是不存在的，你找找。你找找我们看a-b=1 a-c也为一，那么b和c它是相等的b和c要相等的话，那b-c就不可能呃。a1或者说b-c为一。a-c也为一。

a和b相等。a和b相等的话。a-b它应该为零。是吧，所以说这个就告诉我们一个陷阱，一个等号取不到。等号取得。啊，所以说他这个最值等号取不到，说明最小值就取不到三。最后取不到三好吧好，那接下来我们看这道题应该怎么做？大家想想一想啊，到底应该怎么做？好，

这道题你就得变换一下，我得把等号得得取到，对吧？要不然的话，那这个取不到就麻烦。好，那接下来看这个原来是a减b分之一，加上b减c分之一。啊，你这样做，你先把这个一呢换成a-c。好这个一呢，也换成a-c。对吧，好也换成a-c好，

先把这个一呢分子的一呢作为替换。好，这个替换的话，那接下来我们再来看。这a-c。我可以把它拆成什么？拆成a-b分之。a-b。加上一个b-c。就是这样的。对不对？然后后面这个。这个a-c，然后拆成a-b，加上一个b-c好看，

这样可以不？就是把它这样拆开。拆开以后，大家知道这个a-b跟a-b这个分子分母，它可以进行抵消，想想是不是这样子，是不是可以进行抵消？抵消完以后，它变成一加上a减b分之b减c。懂了吧，然后加上。这个就是a-b除，以个b-c。a-b除，以b-c。

然后再加上一个一。再加上一个一。是吧，因为这个一知道哪来的吧，一的话就b-c÷b-c得到就是一好看，这个是不是？明白了，好做到这以后，那接下来我们再来看。大家知道这个两个分式正好互为倒数，互为倒数，你可以用x加x分之一。大于等于二。这个x它肯定是正数啊。是吧，

因为这道题a-b，因为题目说了嘛a大于b大于c嘛，是吧？这样这个把这两个。用一下精神定理，然后这地方有一跟一，正好是二是吧？正二所以有同学说很奇妙，好巧妙是吧？所以大于等于二+2。就等于四这个等号就能取到了，什么时候相等，让这个数为一，它就相相等了，给它取等号条件。

然后就b-c÷a-b，它正好为一知道吧，因为咱们知道当x=1的时候，它趋等号。这时候它就累积就OK了。唯一这样往下，你想解就解，不想解也没关系啊，所以这个它具成了条件，等条你可以把这个乘过来。有b-c，这样等于a-b。对吧，然后这样啊，它的这个取等号的条件，

只要满足这个式都可以b-c和a-b的值是一样的。好，那这是它的这个方法。啊，比较巧妙。所以围绕这个无中生有，再给大家进行补充一个题好吧，所以大家注意考试这种题呢，都非常巧妙，答案呢，最小值就为四把答案给它勾一下。啊，如果这道题有个答案，选项要是三，估计考场上很多人就掉到陷阱里面去了，

所以给大家讲一个陷阱的方法。和咱们的正确方法，大家要知道。好，那接下来咱们看这道题，再给大家进行补充一个题目。比如说x大于16，小于25。然后求y等于。25，除以x- 16。加上16÷25-x，它最小值。所以有同学就可以发现非常巧妙。啊，

非常巧妙。好，如果求这个，它的最值，大家想想应该如何来做？啊，它的方法应该如何来进行？求解大家思考一下。好，那这个题就采用无中生有好吧，无中生有。好无中生有是什么意思呢？我把它。这个添上一个x- 16。再加上一个16÷25-x，

再加上一个25-x。这样多退少补，大家一起来看看，比原来多多少少多少给它进行减掉就行。减掉就可以了，好吧，所以在这里面大家就可以看到给它进行减减一减，这样就减掉一个九，大家能看懂吧？你得s跟这s正好抵消掉。这25-16正好等于九，所以再减了一个九。歼九做到这以后，大家注意这四个数，大家不能用矩阵定理啊，

四个数不能用矩阵定理，有同学说我能不能？用这个a+b+c+d大于等于四倍的四次根号下。abccd.因为这四个用的话，它的成立条件，这四个要相等，这四个要相等x是不存在的，知道吧？让这四个数啊。它都相等。这个x它是你自己解一解啊s是不存在的。所以这里巧妙地方什么巧妙地方就两两用均衡定理。两两用矩阵定理，知道吧？

就两两这两个用一下。大于等于二倍的根号下两个相乘。好，这两个再用一下，大于等于二倍的根号下，这两个相乘。懂了吧好，又得到这个值，然后这个值大家算出来答案就等于九。但答案有点九，所以它最好是有九。这道题跟刚才无中生有，它的区别在于看它等号能不能取到，就这个用平行定理，这个用平行定理。

大家在一个题里面用两次平行定理，就刚才在这出现问题的点在这。刚才咱们做到这儿，前面用平行定理，后面也用平行定理，你要看它们等号能不能取到好吧，所以接下来大家一起看看。如果前面用平行定理，这两个数要相等。这两个数要相等，说明就是x减十六分之二十五等于x减十六。所以就可以得到x-6-15，正好等于五。知道吧，因为这两个要相等嘛，

相等它正好都等于五嘛，它等于五，它这个数也等于五嘛，对吧？然后这个后面这个取等号，后面它取等号条件就这两个要相等，这样相等就是25-s。正好就等于四。对吧，25-s它都等于四四=4正好s=21，这个s也等于21，那说明咱们的最小值是没问题的。如果还出现刚才的问题，比如说前面这个趋等号跟后面的趋等号不能够鱼和熊掌，不能够兼得。

一个形状不能兼得，那就坏了，对吧？所以这道题无中生有呢，它正好就它取等号条件是s=21。它就等号条件也是s=21。那正好，咱们两个。可以同时取到最小值，懂了吧？假设如果一个取最小值的时候，它是x=21，另外取最小值的时候x=24。那这个就不行了，就相当于一个兄长不可兼得，

我取最小值的时候，你取不到，你取最小值，我取不到，那这时候这种方法就不能用了。所以说给大家讲分式的无中生有，最后还要告诉大家什么时候四个一块儿用平定理，什么时候两两分开用。对吧，分开用，而且用完后一定要验证这个等号能不能同时取到，所以在以后在一个题里面啊，用两次平行定理的时候一定要验证一下它等号能不能同时取到？各种号不能同时取到，这时候呢，

要做一下变形好吧，然后这块儿啊，所以说有同学就会发现无中生有，为啥有的时候有bug啊，有的时候。就可以，没问题，这时候呢，有没有问题的话，你要验证一下这个等号，刚咱们讲过了，所以说无中生有，它有两类考法，一类考法，你用完以后呢，

发现这等号取不到。就是它两个相等趋等号，它两个相等趋等号，鱼和熊掌无法兼得，这时候一定要验证，这也是咱们出题的核心的问题。等号，这是一个陷阱，知道吧啊，叫无中生有，我给你添上一块。然后呢？如果用完无中生有，要看这个等号能够同时取到，那说明没问题就s=21的时候，

它有最小值答案就是九，我们就选九就可以了。好吧，所以说无中生有又有的题，用完以后一定要验证一下，好吧，所以说要给大家进行呃，强调一下啊，要验证等号能不能取到？先等号能否取到？然后一人等号能不能取到就可以了？好，这是它的概念方法，看明白没有啊？掌握它的思路。

好，那么除了咱们的精神定理之外，大家还要掌握全方和不等式啊，全方和不等式呢，也是咱们。呃，精神定理的一个特殊情况啊，接下来咱们再讲讲全方和。好比如说m分之a方。加上n分之y方。n分之b方。大于等于这个分子相加啊，分母相加好吧，可以变成这样的啊。就m分之a方，

加n分之b方，大于等于m加n分之括号。a加b的平方。好吧，就是这样的一个公式。啊，这样公式的话啊，就更简单一些，知道吧，所以在这里面大家呢，就可以把直接把分母相加。所以给大家进行强调一下，这个方法接下来我们再用这个方法来做一下，咱们呃一些。无中生有的一些题目好吧，

用这个方法来进行做。啊，比如说刚才咱们做的这个题。啊，做这个题，然后a-b分之可以把它看成一的平方。啊一的平方，然后这个。b减c分之一的平方，它大于等于。然后全方和不等式让分子跟分子相加，有一+1分母跟分母相加a-b。b-c啊，让分母跟分母相加，这个减完以后大家发现分子呢，

就变成四了。分母a-b+b-c正好就是a-c。啊，大家知道a-c的值正好等于1 a-c的值等于一，这个算出来直接就等于四，这样算出来非常简单。对吧，所以说就可以得到答案就c选项啊，这样就求解出来了，所以在这里面大家呢，就用全和不等式，全和不等式把分子呢，要写成某个数的平方。啊，这样做就OK了好吧，

这是它的一个答题方法，给大家补充一个方法。好，接下来咱们再看这个。这个这个话是s减十六分之二十五加二十五。减四分之十六啊，我们看一下。看一下那这个。这个方法这个方法在这里面，大家可以把这个25可以把它写成五的平方。啊五的平方对吧？啊，这样的，然后加上16可以把它写成四的平方。啊16可以喜欢写四的平方，

它大于等于然后这个套件公式就是五+4括号的平方。五+4括号平方，然后分母呢，有x-16+25-x可以写成x-16+25-x。大家可以发现，分母它正好就等于九。跟我们这样的九分子呢，正好是九的平方。所以算完后得到结果，它还是九好，这样就写好了好，这是它的这个式子是吧？所以。除了这道题讲的平值定理之外，那么还可以用求和这个公式来做，

所以给大家进行。再扩充全网和它的一个求解方法，全网和它的等号。成立条件就是a÷m=b÷n，它取等号的条件。啊，只要这两个相等就可以了好吧，这是全用和不等式，它的特征就是分子相加的平方，除以分母相加。啊，就是用全温和。它的一个考试方法好看，这个懂了没有？好，

接下来咱们看一下题型18双化盐，求最值当出现两个未知数，且可以因式分解时可以采用双化盐的。方法来进行分析，比如说把它分成两个相乘等于六啊，两相等于六，那这个呢，可以把它看成一个m，这个把它看成n。是吧嗯，就这样，它可以因式分解式，那你把它换成双还原双还原，其实跟单还原。他的思路是什么？

一般的单换元就引入一个新变量，引入一个新变量t是吧？然后在双变量双换元就相当于引入两个变量，一个m一个n。啊，这样的一个意思是吧？当然还有三三个还原三个还原，比如引用mn k那那就更复杂一点，咱们考试也用不到。或者顶多是掌握到双划线，比如又x又y，把这个括号整体看成m，这个括号整体看成n，这样话就可以带到里面去来进行求解分析，换完以后。

然后再思考，这样式子会变得更加简洁一些。啊，下面咱们看这个题已知a大于0b大于0 a+3 b+AB=9则a+3 b的最小值到底是多少？啊求一+3倍，最小值好，大家注意遇到左边左边有AB，还有a还有多少b，然后一定要进行分解。好吧，可以进行分解。所以以后遇到就是xy+ax，加上by+AB。所以可以把它分解变成x+a。y+b。

这样是吧，可以进行分解好，如果这要减号。减号减号，那它也可以进行分解。啊，减号。对吧，所以套这样一个分解公式啊，分解公式，所以说在这里面就AB。加上a+3 b。啊，它等于九。N9然后这边呢，

要给它添上一个三。知道吧，所以说这边添一个三，然后这个九就变成12了，12知道吧，所以等第一步AB+a+3 b。加上三正好等于12好，这样的话就可以套上面公式知道吧？套上面的公式把a看成x。b把它看成y知道吧，所以它就可以写成a+3。乘以个b+1，这样等于12好得到这样一个式子。懂了吧，所以这样的话就可以把它进行分解。

好，所以以后遇到这样的式先分解分解它两个相乘等于十二九a+3 b的最小值，这时候呢，我们可以用整体的思想来进行分析。知道吧，你可以把a+3呢看成一个MB+1看成一个n，这样的话，它的乘积写写就更简单一点。知道吧啊，这样就好写一点。好，当然，如果你不这样写，我们把这个a给它给它加一个3b，再加一个一。

啊，这样也行，好吧，有同学可能想不到啊，第一种方法呢，就是让a+3=m。b+1=n，然后把这个a和3b都用mn去表示，然后把这个写完。啊，写完写完以后，然后还有一种方法不用mn表示也可以好吧，这样话就是a+3 b他所求的a+3 b就可以写成。好，这个a可以写成m- 3。

好，这个b可以写成n- 1。啊，这个b可以写成n- 1。好，这样话就可以得到啊，它的这个数值就可以得到m+3。减六，然后这块儿用平行定理，所以大于等于二倍的根号下3 mn- 6。啊二倍根号下3 m- 6。好，那这个题目这样换完后就变成m×n=12了是吧？m×n这样等于12。把这个变一下形式啊，

把a+3看成m，然后b+1把它看成n。就m×n正好等于12，这样就写好了。是不是这样的啊？得到这个值，然后把m乘以等于12带到里面去，带到里面这个变成二×1个。根号下。三×12再减六。好，这样算出来正好就等于六答案就选择d。是吧，答案选，选择g好什么时候取等号呢？

接下来m=3的时候它取等号啊m和三。相等啊，这时候大家就取等号就可以了好吧，所以大家呢，就可以写出来，就相当于m=3的时候就n=2 m=6的时候才取等号。啊，确定好条件给大家说一下啊。就相当于是。m=3的时候，它才取等号。由于m×n=12，你就可以解出这n的值等于二。m值等于六。啊，

这时候才会取等号。好，那接下来咱们看这道题，如果呃不采用mn咱，咱们怎么做？不产mn的话，就这样做，它不让求的是a+3 b吗？a+3 b。a+3 b在这里面，大家把这个里面a1定要把它变成一个a+3 b，把它写成一个b+1。知道吧，所以这样做一个变换就OK了啊，做变换所以这样的话就相当于。

a给它加上一个三。啊a+1个三。然后b给它加上一个一。这样再减掉一个六，知道吧，因为这添了一个三，这添了个三，然后减减掉六就行了，好吧，比如说a这块儿给它添上一个三。b两个添上个一得到这个结果得到结果，然后大家知道啊，我们学过两数相加。大于等于二倍的根号下，两个数相乘，

所以大于等于二倍根号下。好，这两个相乘好，那两个相乘就是三倍的。a+3乘以个b+1。啊，然后再减一个六。再减一个六。然后这块儿a+3×b+1，这样等于12啊，带到里面去，跟上面就一样了是吧？二倍的三×12。再减六，这样就OK了，

所以算出答案仍然是等于六的。啊，仍然是一样的。好，也就说咱们用整体换元，或者说不换元，然后呢，进行拼凑一个a+3，因为你不拼凑的话，它的乘积。就不是定值成绩，不定值就没法用基础定理。知道吗？所以军事定理的难点就是一定要给它拼凑出定值来，这样就可以找到它的结果，

答案就写出来了，好，这是它的基本方法。思路看是不是听懂了？下面咱们看一下题型19。地位等价法来求最值，再求最值时，如果x互相交换后，它的题目表达式不变，就称为xy的地位等价。好，如果地位等价的时候一般呢，可以让两者相相等。来分析。如果实在不会做，

可以采用这种方法来进行蒙猜。是吧，让两者相等，地位是一样的。人人平等讲这样的是吧？让两者相等来进行分析好这个互换位置，比如说xy+x^2。加上y方好，你把x换成YY换成x，这个表达式跟原来是一模一样，这时候地位呢，就等价了。懂了吧，但是如果x分之三加上y分之二，这个地位就不等价了，

因为你把x换成YY，换成x以后这个变成y分之三，变成x分之二。这个跟原来表达式就不一样了，不一样，这就不能等价好吧，要知道什么是等价，什么不等价，我们怎么去？呃，判断就换完以后跟表达式跟原来是一模一样的，这要等一下好掌握这样的思路和方法来进行解题。好，那接下来咱们再看这个题。好吧，

看看这个题。若xy满足x方加y，方加xy=1则x+y，它最大值到底多少？就x+y它最大值到底是等于几？好，如果实在不会做的同学啊，实在不会做的同学，这段我们可以把它怎么办呢？可以看出sy它是地位等价的sy，什么叫地位等价呢？就s换成yy换成x。它是等价的，等价直接令x不y相等好吧，所以说不会做的同学呢啊，

考试要蒙猜的话，那怎么蒙猜？就xy它地位等价。sy它地位是等价的，那什么叫地位等价啊？没有听懂的同学再给介大家介绍一下，就s换成YY换成x得到表达式跟原来一样。你看所有的x换成y，所有y换成x，它地位呢？这是一样的。第第一个等项，第一个等项直接令x=y就可以了。啊令s=yi=y，那这就相当于x方加x方再加x方到等于一。

是吧，你看这个x都换成y嘛sys都换成y。有x方x方x方等于一那x正好，平方正好等于三分之一。对吧x平方就等于三分之一。x平方等于三分之一，那它要求最大嘛，求最大x肯定要取正的嘛，如果要求最小x肯定取负的嘛，因为它这一块儿。应该是正负三次根号三。啊正负根号三正负根号三，它让你求x+y的最大值。这样是x和y都取正的，那这时候最大的是吧？

sy都取正的，这时候是最大的，这就。三分之二倍根号四。因为x和y相等sy都取三次根号三，所以说它就等于三分之二倍根号三，答案就写好了，所以呢，就选择a选项。好，这是它的做题的思路方法，看这个懂了没有？好，那有同学说我要不会蒙猜怎么办？是不是大家想想，

如果看不出来，或者想不到这个，或者不敢这样蒙猜，那就是怎么办？所以考试啊，如果要不敢蒙猜，我不会蒙猜的话，那这时候呢，就这样做。可以令s+y。等于个c。是吧，内x+y那值正好等于c。我只要把c的这个取值范围求出来就可以了。好，

那c怎么求呢？是的话，那就y就等于c-x把它带入到这个式子里面去。是吧，把y=c-s带到里面去就行了，是不是？然后带到这个前面是带到前面是变成x方。加上c-x^2。再加x×1个c-x是不是这样的啊？把它这样做一下处理。看装完没有，这样做一下处理。然后它正好就等于一。咱就把这个。呃y呢？

都用c-s来代来代，然后接下来我们把它整理一下啊，整理整理完这个就是。这s方这个展开又有s方这个减一个s方。对吧，所以s平方就剩一个s平方了。然后再减去2 cx，再加上cx。所以相当于减cx。加c方减一，它等于零好看，这个懂了没有？是吧，所以在这里面把它进行合并一下，合并完，

然后大家知道这个把它看成s的方程，这方程肯定得有十根呀。是吧，可能要有十根要十根，那么德尔塔是不是要？要大于等于零，当然就等于b方。减四一c。啊b方减4 AC啊，要大于等于零是不是？大大于等于零，大于等于零，就可以得到c方。小于等于三分之四。好，

那c就小于等于三分之二倍根号三。大于等于负的三分之二倍根号三。这样写好了好吧，所以c的值小于等于三分之二倍，根号三大于等于负的三分之二倍，根号三好，所以说c的最大值就是三分之二倍，根号三。就求解出来了啊，这种方法也可以。所以以后再求x+y，它的最值的时候，咱们前面也给大家介绍过那么一些表达式的最值。比如说求as+by的最值的时候，那我们一般呢？

这个求ax+by它最值。我们呢，考试时候可以练as+by=c对吧啊？as+by它等于c。然后在这里面，你把这个y带到里面去，用德尔塔来做是吧啊代入。数原式。啊，用大厦大一等米。求这个c的范围。把c的范围求出来了，那这个结果就写好了好吧，它的数字就写出来了，好，

这是它的这个方法。啊，看懂了没有？看这个是不是呃，他做题的思路啊，看明白没有啊？好，那接下来咱们再看下一个题。啊log以二为底a的对数加log以二为底b的对数大于等于一。好，大家知道这个对数要保留意义的话，这AB都得大于零，是不是？所以在这里面就这个题a是大于零的。b是大于零的好看，

这个懂了没有？啊a大于0b也大于零，是不是这样的？好而AB它都大于零，接下来我们再来看。呃，大家知道学过我们同理对数。大家还记不记得啊？同理对数相加，我们应该怎么处理？看有没有印象好吧，通讯技术相加。啊，公式还有没有印象学的就是增数相乘。是吧，

所以通用之后相加就等于a和b相乘啊AB，看有没有印象？然后这块儿要大于等于一，大家知道这个一可以写成什么log以二为底二的对数是吧？就这个一。啊，这个一咱们学过，然后这样的话就可以推出a×b大于等于二。好a×b它大于等于二，这个写好了。啊，写好以后，那接下来咱们再看三的a次方。加三的b9的b次方。注意九的b次方，

我们可以把写成三的2b次方，懂了吧？所以九的b次方可以写成三的2b次方。这样就学好了。啊，然后这个大于等于二倍的根号下。这两个相乘大家套公式就a+b大于等于二倍根号下两个相乘。是吧a+b大于等于二倍根号下两个相乘就三的。a+2 b。啊，这样的是吧？最大的2倍根号下三的a+2 b。然后在这里面，大家知道这个a+2 b。我们怎么样去分析是不是？

所以在这里面大家呢，就相当于是啊，就这个指数运算，大家会不会指数运算啊就？它两个相加大于等于二倍根号下两个相乘，两个相乘就a和2b呢就相加就可以了，知道吧？然后接下来这个a+2 b，再用一下矩阵定理，知道吧？就a+2 b。a+2 b，它大于等于二倍的根号下a×2b。也就是2 AB这个能听懂吗？比如说a+2 b大于等于二倍的根号下，

两个相乘就2 AB。大家知道a×b大于等于二。如果a×b大于等于二，那么2 AB就大于等于四，是不是这样的想一想？是不是所以2 AB就大于等于四两边都乘以二，所以这个2 AB就大于等于四？好，这样就求出来了是吧？可以把这2 AB带到里面去，好带到里面，咱接下来往下再来分析好，它正好是大于等于。啊，正好就大于等于把这a+2 b换成四就可以了。

反释放在二倍根号下三的四次方。那正好等于18。是吧，就二×9得到18这样写出来，这样答案就选择d选项好，它的方法就这道题呢，就就是用了两次聚中定律，但两次聚中定律呢，一定要看它等号能不能取到？啊，第一次呢？第一个呢？就相当于是先把AB的范围求出来。然后接下来那这个指数咱用一下，集中定理。

是吧，用一下均衡定律。然后在这地方再用一下矩阵定理，就说这两个矩阵定理，它的成立条件正好是a=2 b。是吧，它乘以条件，这样是a和2b相等，这这个地方也是a和2b相等。对吧，有a=2 b，这也是a=2 b啊，这样的正好它相等相等就可以得到结果。好吧，按照这个方法啊，

看是不是明白了啊？下面咱们看一下题型，20万能设k法来求最值。好慢射k法也就说，如果要题目给定一个关于sy的一个二次式子，求另外一个表达式式的值，肯定此式等于k。然后用y表示x代入原式得到关于x1元二次方程呃，用咱们前面讲的判别式法就德尔塔大于等于零，因为它有十根。然后解出k的范围就可以了好吧啊，一般呢，比如说让求ax+by。啊，它的这个范围。

你可以令这个as+by=k。或者等于c知道吧，等于c然后这时候呢，你把这y用x表示代到原来给的这个条件里面去，然后整理成关于x的一元二次方程。然后利用判别式来分析，当然有时候也可以把x换成y都一样啊，都一样把x用y来表示，最后换完以后得到一个关于y的一元二次方程。YY的一元二次方程，然后这时候呢，我们再根据它判别式来进行分析啊，得到一个不等式，记住它的范围就OK了。好，

这是它的这个范万能设k法，当然有时候出现分式，比如说求分式，它这个范围和最值可以利用y比s=k。啊，这样来进行求解都可以好吧，表达方法啊，都是OK的，看这个是不懂了啊。好，接下来咱们看这个题。啊设xy为实数，若4x方加y，方加xy=5，则2 x+y的最大值到底多少？

就这道题，不能令x=y蒙猜了。知道吧，跟咱们前面讲的一个题不一样。啊，因为这个题它xy它不是地位等价的，你比如把x换成YY换成x，那这个式子跟原来就不一样了。知道吧，它地位不对等不对等怎么办？就刚才我们也讲了啊，求这个2 x+y的最值大家呢，可以令它等于c。对吧啊，令它等等于c。

啊，那它为c。啊，当然也可以令它等于一个k啊，或等于一个什么都行，我只要把c的取值范围求出来就OK了。把c的取值范围求出来。好令2 s+y=c。好，那接下来我们来看看。然后看看看，然后这时候我们的y呢，这样就等于c- 2x，直接把这个y都换一换好吧，换换。

这边4s方。这样y方y方就是c- 2x括号的平方。啊，这样2x括括号平方，加上x×YY呢，叫c- 2x。然后这个就等于五。是吧，他就等于五。啊，这个写好。好看，这个明白没有啊？这个正好还有V5。所以我然后把它这个稍微整理一下好吧，

整理一下，这是4s方这个括号展开，咱们学过完形平方公式展开。就是c方减4 cx，加上4x方。加上cx- 2s方。减五=0。咱们合并一下啊，这含有s平方的，把它给合并一下，这是4x方，4x方减2x方。所以这个变成了这个6x方。看这个懂了没有啊？这正好6x方，

然后这正好是三倍的cx- 3倍的cx。啊，因为合并同类项。然后接下来这块后面还剩一个c方减五。好，这关于x二次方程，它的德尔塔应该大于等于零是吧？我们学过德尔塔大于等于零好，接下来我们看它德尔塔。delta=b^2。减4 AC。啊，多少好大于等，等于零大于等于零，这个大家很好解得到c方啊，

小于等于八。啊c方小于等于八大家呢？简单的化简一下好吧，化化简约一约啊约约。约完以后就可以得到啊c方小于等于八啊c方小于等于八，那么c就小于等于二倍根号二大于等于负的2倍根号二。是吧，这样就写好了。所以在这里面，它要求它最大值，最大值就是二倍根号二选择b选项啊，这是它的处理方法，看懂了没有，大家掌握它的考要点。那这是它的最值，

我们就可以求解出来。好，那接下来咱们再看这个题，以实数ABC满足a+b+c=0，且a方加b方加c方等于一则a的最大值到底是多少？要求a的最大值。啊，关于a。质量值第三把a看成一个未知量。是吧，所以在这里面大家呢，就可以看出来啊，把a都用a来表示知道吧，都用a来进行表示就可以了。好a进行都用a来表示，

那这个可以把c给它换掉啊c给它换掉c，大家发现由于a+b+c正好。为0c可以写成负的a+b。对吧，先把c给它换掉再说。啊，给它换一下。这个能看懂吧，所以把这个c都用负的a+b带到里面去。当然是这个a方加b方加上。c方因为c等于负的a+b，它的平方仍然是正的。是不是它的平方原来是正的，大家想一想。好，

这样得到这个值。然后把这个再进行展开，展开以后大家可以发现正好是两个a方。两个b方。2 AB，然后减一正好为零啊，正好为零，好在这里面注意把它看成关于b的一个方程啊，我们再把它整理一下，注意这个b把它当做一个x知道吧？b当成一个ix。这2 AB+2 a方减一等于啊，看成关于b的一个二次方程。因为它说了题目，说了实数ABC，

那说明它一定有实数根，这个b1定有实数根，就德尔塔就等于一个。然后这儿等于一个，然后b方减CC啊b方减CC。啊b方减CC应该大于等于零是吧？就用这个b方啊b方就像4a方。减4 AC。八倍的2a方减一啊，大于等于零，这样写好是吧？就写出来。然后这个很好解。这个很好解，这个两边先约到一个四再说，

约到四就变成a方减去。四，a方加二大于等于等于零。是吧，这就可以得到它的这个取值情况。好，所以在这里面大家呢，就把它给它啊，进行啊，这个约约约就得到a方。这样小于等于多少呢？这边这样小于等于三分之二。啊小于等于32，那么a的取值范围就可以写出来。a小于等于。

三分之。啊根号六啊，把它开个根号。打开根号，大于等于多少负的三次根号六。是不是所以说a的最大值就是三次根号六，这样就写出来了，这个呢，就选择a。好，其实大家发现这几个题都是巧妙的利用判批的单儿上，所以单儿上看用的非常巧妙。这个告诉大家在做题中啊，遇到一些未知数的时候，我们把它转化成看阴谋。

看成关于某个未知量的一个二次方程，这二次方程要有实根，它的判别当然它大于等于零，就可以把所求参数给它求解出来。所以这样非常的巧妙，所以大家呢，要会分析思考。好，接下来咱们看一下题型，21科一不等式法，求最值，如果看到二次的一次的转化，求最值或者一次和根号。它的一个转化求最值可以利用，可以不等式来求，

最值可以不等式就是a方加b方。c方加d方好大于等于AC+BD括号的平方。是吧，这样的当然还可以写成三个a方加b方。加c方。e方加呃d方加e方加f方。它大于等于AD。be+CF括号的平方，对吧啊？这样的啊，科一不等式，大家要。分析和思考好，在这里面大家要注意，当然还可以是根号a方加b方，

加上根号c方加d方。大于等于根号下。a+c^2。b+d^2。啊，这样对吧啊，就这些可以不等式要用好，当然根号三个也可以根号a方加b方。根号c方加d方。根号e方加f方大于等于根号下a+c+e平方。b+d+f，它的平方。啊，这样就写好了好吧，对不对？

科一不等式，它就最值的基本方法要弄清楚。好，接下来咱们看啊，这个题abcs yz均为实数。好a方b方c方等于25x方y方z方等于36 ax+by+c=30则这个。是等于几，然后在这里面，大家首先用可以不等式来写写，大家知道a方加b方加c方。乘以个s方加y，方加z方。好大于等于ax+by+cz^2，这块正好是25×36，它正好等于一个30的平方。

是吧，等下算完是吧？等于30平方好，正好等于30平方，那相相这两边是相等的是吧？相等既然就就两边是相等。好两边相等的话，那在这里面他就等号条件什么等号条件就相当于a÷x=b÷y=c÷z。是吧，就a÷x=b除，以y=c除，以z它是相等相等的话，你可以利用它等于个k算了。等于k的话，这个a就等于k xb又等于ky。

c又等于kz是不是？所以这道题就就相当于是考的非常巧妙，就相当于考了一个等号，你要知道等号什么时候成立？是吧a=k SB=ky c=kz，然后写完以后，那这时候呢？我们呢？就该怎么去处理呢？你可以把。呃，把前两个换，或者说这个换都行，反正这三个里面用任何两个都行啊，如果要嫌平方麻烦的话，

你就用第三个做，第三个做就as+by。加cz好a呢，换成kx。b呢，换成ky c呢，换成kz。然后这个正好等于30，大家知道x方加y方加z方不是正好等于36嘛？x方加z方加zz方等于36，所以k呢就可以求出来30比上36。然后上下都除以个六。所以k就等于六分之五，k等于六分之五，咱们学过等比定理等比定理的话就相当于是分子相加，

分母相加得到值还是等于k。a加b加c除以x加y加z，它还等于k还等于一个六分之五是吧？所以这道题用用了一个等比定理等比就是几个分式要连等。它要等号，要连在一起，要连等的话，那这在这里面分子相加分母相加得到比值，跟原来是一样，那正确答案原来是选择b选项。好，这样就写好了答案就求出来，这个答案选b啊，这道题考察k不等式，它等号成立条件，

然后又结合比例问题设k法，这个要把k解出来，然后再用等比定理去求解和分析就可以得到答案。看是不是明白了？好，接下来我们要求他最大，求他最大值，就反过来求就行了，反过来求就是什么就是a。AC+BD，它的平方小于等于a方加b方乘，以个c方加d方。是吧，就用这个这个来进行求解就行了。好吧，

所以在这么大家呢，要会分析和思考，那接下来我们来看一下，把这个三看成这个a好吧，三看成a，所以三倍的根号x- 1。加上四倍根号五减x，当然这这地方有个平方了，小于等于然后a呢，就相当于是三啊，这个a这个这个把它看成a，这把它看成b。就等于三的平方+4^2。然后再乘以这个c呢，把它看成根号s减一就s减一，

然后d呢，把它看成五减x，这样的一个情况。是吧，然后这样话大家知道三方加四方等于五哦五五的平方就25，25×4正好等于100。它等于100好，等于100，所以这个数的平方小于等于100，而且这个数又是非负的，因为根号都是非负的。还要小于等于十，这样就写好了，这个呢，应该选择e选项答案就求出来了好吧，

这个呢，就选择e。好，这是他的做题的方法。当然，这道题什么时候取等号呢？是什么时候取等号取等号？按照刚才咱那个比例关系，自己去比就行了好吧，那比就三除以个。根号x- 1。等于四除以根号五减x，再往下就不再去解了好吧，这个时候那它取等号。好，

这是它的取等号的一个基本方法啊，大家要知道好了，这是给大家讲的二维形式可析不等式，它求最值的一些变形手段和内容，看各位同学是不是掌握住了？好，接下来咱们再看全文和。不等式求对值像，当出现这个分式求对时，可以采用全文和不等式求对值，对全文和不等式，它使用条件和取整条件要弄清楚。啊，比如说。啊m分之a方。

加上n分之b方。加上k分之c方，它大于等于括号a加b加c平方m加n加k。啊，这样的啊，这是全方和这个全方和它一定要分子次方比分母次方高一个次方才OK啊，要高一个次方。比如说分子，如果三次方。啊，分母就要平方好吧，这是a+b+c它的三次方，这是m+n+k。这样叫平方好吧好，这是它的这个。

全和不等式就掌握二次和三次就够了啊，这是全和不等式，它的一个特征就分子加分母加。啊，这样。啊，再进行求解就可以了。好，那接下来咱们看一下这个题ABC属于正实数a加b加c等于一a分之一加b分之四加四分之九的最小值到底是多少？取它最小值。好在这里面大家呢，要求它的最小。最小我们就把刚才科技不等式再写下a方加b方加c方。乘以个。d方加e方加f方要大于等于AD+be+CF括号的平方。

是吧啊，大于它它这个平方啊，就套这个公式就行了，把这三维形式可以不等式再给大家写一遍。好，那接下来我们来看一下这道题怎么去套这道题呢？这个这个a它有同学说这没有a的平方b的平方c的平方没有没没事没有话，你可以把它看成什么？看成根号a的平方。因为它是正实数嘛。a是正数，a正数可以开根号嘛？是吧，开根号，然后这个呢a分之一也可以把它看成根号a平方。

加上根号b分之二平方，加上三除以根号c，它的平方是吧？就这样的。然后这样来写，反正这样就把它看成a方b方c方这个看成d方e方l方，让它大于等于大于等于就第一个跟第一个相乘。啊，就第一个跟第一个相乘，第二跟第二相乘，第三跟第三个相乘，第一个跟第一个相乘就是一。然后第二跟第二相乘就是二。好，第三个跟第三个相乘就是三，

然后括号再平方就行了好吧，然后这样就得到36。好，这样大家应该选的是d选项，这样就求解出来了。可以拿来选d好，那么什么时候取等号什么取呢？就第一个除以第一个等于第二个除以第二个就取等号好吧？好就相当于根号a，顺便写下根号a除，以个根号a分之一。等于根号b除，以根号b分之二等于根号c除，以一个根号c分之三，这是取等号，

然后把分母给它翻上去，翻上去就得到是a。这个得到是二分之b，得到三分之c好，这个时候它是取等号了啊，这就是取等号，那这ABC怎么求呢？ABC然后再结合a加b加c。等等于一。啊，这两个结合起来就可以把ABC呢？给它求求求解出来好吧，这个咱们课堂就不用再做这个很好解，你可以把a换成二分之b。c换成二分之三b都用b来表示也行，

或都用a表示也可以a表示b就等于二AC就等于三AB等于二a。c=3 a。然后这样a的值就等于六分之一，好a的值等于六分之一，那b的值就等于十二分之一。啊b的值就等于b的值b的值应该等于二a是吧？二a二a就三分之一了啊，二a三分之一c的值就等于二分之一好，这样就可以写出来。就a等于六分之一的时候啊a等于六分之一的时候，然后b等于个三分之一的时候啊三三分之一的时候。然后c的值等于二分之一的时候啊，带到里面去，它有最值好，这也顺便什么时候取最值也给大家进行解了一下。

好，那大家可能在考的时候，如果没有平方，大家一定要掌握一个小技巧，就是产生平方，把写成根号再平方。这样进行转化转化，然后再用科一不等式就可以找出答案了，看各位同学是不是听懂了？好，下面咱们来看这个题设ABC都是正实数啊ABC都是正实数啊。且2 a+3 b+c=14。则3a的三次方加上。2b的三次方加6c的三次方啊，它的值到底是等于多少？

好，大家想一想。是吧，所以在这里面大家要观察它所给的这个数值一些特征，知道吧，所以说在这里面我们根据它所给的这个特征来进行分析。那接下来我们肯定要对这个系数做一下变化，把它已知条件和。所求的大家发现这个地方是a的三三次方啊a的三次方a的三次方，我们想办法用这个全方和。是吧，全方和全方和正好出现2 a+3 b+c就得到咱们这个想要的条件了是吧，就全方和不等式。啊，利用全文和来进行分析呃，

这个全文和这道这个是咱们用的是三次的全文，和咱们前面用的是二次的。那二次二次的话，不管是几个数都没关系是吧？比如说m分之啊，这个x方。加上n分之y方。加上k分之z方，它大于等于x加y加z括号的平方。分母是m+n+k。所以这是二次的，所以大家可以发现它全网合的特征是分子的次方比分母次方要高一个次方。插一个次方就行了，你看分子它这样是二次的二次，然后分母它这样就依次这样写好了。

对吧，同样道理，如果它要是三次的。那我们把它写成二次的。把它写成这个二次的是吧？这样就OK了，所以在这里面。大家可以发现，大于等于括号9 x+y+z括号的三次方，这就是m+n+k括号的平方。好吧啊，这是它的这个方法，咱们一般呢就掌握二次的和三次就够了啊，因为二次的咱们前面做题呢，都遇到过，

所以接下来咱们看三次，所以以后大家遇到三次方。就这样写。呃，不管全方和还是呃，还是咱们讲过的基准定理都要拆分变形是吧？变形。变成变成2 a+3 b+c，比如说这边儿咱们想要的结果是要出现2 a+3 b+c。对吧，所以在这里面，我们把所求的做一下，变换3a的三次方加2b的三次方加6c的三次方。我们给它做一下变换才行是吧？变化咱们先把分子给它写出来，

因为分子咱们想出现2a3b和c。是吧，然后再看它的分母。所以分子我们先把它写成就2a的三次方。然后这个是3b。啊，这个就是因为题目给的已知条件是3b，不要出现3b的三次方。和c的三次方是不是好？这样的好，大家知道2a的三次方这个二的三次方就是八。八然后这地方有个三啊，有个三，所以说只给它写成三分之八就可以了。知道吧，

这38正好变成有三倍的a的三次方，知道吧，然后这个呢三的三次方正好是27。啊啊，这个二十七也就二分之二十七，这样就写好了。是吧，然后前面这个六六的话，这个系数是一，所以说这个就是六分之一。这样就写出来好吧，六分之一这个结果就写好了。就像那这第一步写好了，还要把分母变成一个平方就行是吧？分母三分之八，

我们就把它。写成某个数的平方是吧啊？那接下来我们再写一下。就是2a括号的。三次方，然后三分之八我们可以把它写成。现在根号几的平方呀？根号三分之八的平方是吧？就根号三分之八的平方。好，这个3b的三次方。减根号下，二分之二七，一会咱们再再给它做化简平方。然后c的三次方这个写成根号六分之一，

它的平方好，这个写好了。好，那跟这个式子就比较接近了，然后大于等等于大于等于然后这个分子相加括号的三次方。分子就是2 a+3 b+c或者三次方对吧，然后分母把这几个加在一起。这几个加在一起，咱们一个个给大家做一下啊，然后化解。啊，三分之根号八。我们就可以把它写成三分之。根号二十四二十四可以写成三分之二倍，根号六。

把它分母有理化，对不对？然后这个就是加上二分之。三倍根号六对吧？把它进行有理化。好，这个六分之一可以把它写成六分之根号六。好得到这个结果。然后做到这儿就可以把已知条件带到里面去，就2 a+3 b+c，然后带到里面去等于14是吧？就得到14的。三三次方的分子。分母化，那这个很好做，

这个把它通一下分啊，通一下分通一下分以后，那接下来我们可以看一下。这都是六。那六这是四倍根号六，这是六倍根号六，再加上一个根号六。是吧，所以在这里面都给它通一下，分通完分以后，这个这个第一个分式相当上下都乘以二对吧？乘以二。好，第二分支上下相当于。向向下都乘以个三都乘以个三，

这正好是九。九倍根号六对吧？所以剩下都乘以个三就是九倍根号六，这六倍根号六。啊，那这个正好是啊，正好六分之十五倍的根号六。是吧，六分之十五倍根号六，所以这个这个就是可以写出来啊，六分之十十四倍根号六。括号平方是吧啊，64倍根号六括号平方，然后这个分母加上正好14倍十倍，然后上下呢。

把这个化简，然后14跟14最好能约一约约，然后呢就得到八四。最后，因为分子还剩下一个十四嘛，分母还剩下六分之一嘛，然后正好有十四乘以六这个八十四怎么来的呢？就十四乘以六得到的。好吧，那这样答案就选择d选项。好，这是它的方法，所以这个方法用在什么场场合呢？比如说乙是一个表达式的和求，另外一个和它的最值。

用这个全方和。好吧，求和的最值和被定值，求某个和的最小值，这时候呢，要想到全方和啊，给它应用于。啊，核定。包括和和为定值，然后求和的最小值。好，这个用全方和全方和的话，有二次的有三次的啊，这两个呢啊，

常用把它掌握住。

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