066.专项十四-题型11～14

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:50:58

下面咱们看题型11放松法求对值啊，利用恒成立的不等式进行增项或者减项来达到结论显示。从而证明不等式成立，这种要看它结论形式是什么样的是吧？给它增加或者减这种方法叫做放缩。需要考生有较强的分析能力和恒等变形的能力啊，比如分子给它加一个或者分母加一个，或者分分子分母。加上同样一个是吧，利用这样的特征来进行分析来达到放松的目的啊，这是就是放松法求最值它的一个基本思路和要点。看是否明白了。好，那不等式，我们要转化成咱们，

当然咱们学过均值不等式，还有一些非负的不等式是吧？还有均值不等式，咱们学过还有非负的不等式。均值不等式的话，那咱们讲均值不等式的话，大家注意它的条件是吧？均值不等式。好，这是一个均值不等式，第二个就非负的不等式。分式不等式可以写成a+b平方，大于等，等于零，这样就可以推出a方加b方。

大于等于负的2 AB。或者说a-b^2大于等于零可以推出。a方加b方大于等于2 AB是吧？然后第三个就是三角绝对值，三角不等式。好，总共反正就这些东西啊，均值不等式，非负的不等式啊，三三角不等式，这个不再一一给大家写了好吧，那就这些不等式。好，接下来咱们观察这个题，因为这道题它xy是实数，

没告诉你是正实数还是负负实数，有可能正有可能负，所以说均值不能是不能用的啊，均值不能只能在正实数里面可以用。好吧，所以这个均值不等式排除掉，那我看用这两个行不行？好，这里也不用绝对值三角不等式，因为这里面没有绝对值。绝对值三角不等式，它有一般出现的a。加b绝对值或者a-b绝对值时候用这道题绝对值，这个三角不等式也不能用，那可能就用这个了是吧？

所以大家呢，不会不知道用什么方法，我们可以排除方法，就像我们选答案的时候，不知道是哪个答案正确，但是我们可以排除一下，排除一下剩下的。就这个咱们做题的方法了，是不是所以考试找不到解题思路的话，大家可以排除化？好，那接下来看看，求这个。x方减4 y+y^2最大值和最小值的和到底是多少？那要把最大值和最小值都给求出来是吧？

都要给求解出来好，那看怎么去求那第一步，我们这个两个方程先相加。是吧，也就是它一个方程是x方加xy+y^2等于三，还有一个是x方减xy+y^2等于个u。是吧，等于u=u，然后这两个方程相加相加，我们可以得到一个什么情况呢？相加可以相加可以得到x方加y方。你s乘以y就约掉了，抵消掉了是吧？就给到x方加y方，这样等于二分之u加三。

是吧，就这样的一个情况。然后接下来这两个是相减，这两个是相相减，相减也可以求出再相减。现在也可以求做呃x×y。然后第一个式子减第二式啊，把sy给它求解出来是吧？所以这样因为咱们要用这个公式的话啊，要除以x方加y方和x×y嘛。所以在这里面，大家呢，就可以让两式。相加和两式相减啊，两式相减相减，

这是x×y就写出来了，好x×y就写好了。好x乘以y这个写好以后，那接下来x乘以y正好就等于二分之三减u是不是？然后让这两个是相减，相减就二分之三三减u就写好了。行，那接下来我们在做题的时候，你可以按照咱们答案的方法，答案方法就相当于是把这个第一个方程两边啊，方法一啊。方法一，跟方方法二差不多，把第一个方针两边。把第一个方程两边同时加上xy知道吧，

第一个方程两边同时加上sy同时加上sy以后就变成了x+y^2。等于三加上xy xy可以写成二分之三减u，然后肯定是大于等于零是吧，所以把第一个方程两边同时加上x乘以y。加sy它大于等于零，那这样就可以写出这个u的这个取值结果是吧啊u的结果？然后把第二个方程两边同时减掉一个sy。变成x减y方就等于u减去个二分之三，减u应该是大于等于零的是不是？然后这样的，所以这是咱们的第一个方法，反正用哪个都一样，用ia加b的平方大于等于零和a加b。a方加b方大于等于负的2 AB，那这样也都OK的。

好吧，这样。好，那在这里面大家呢啊，就可以写出那第一个方程，两边同乘以二嘛，同乘以二就六，加上三减u就像u小于等于九。啊，这个可以解出来，第二方都乘以二都乘以二就2u。减三。加上u啊，得到这个值是吧？所以在这里面大家就可以把它乘以二啊，

乘以二×2×2就变成2u。减三+u，它大于。等于零是吧，然后这样就可以写出来，然后这个就推出u是大于等于一的，你要等于一，然后这点要同时满足，同时满足就说明。啊，就中上。冲上就是u呢，是大于等于一，小于等于九。是吧，

综上u大于等于一，小于等于九，那最大值就是九，最小值呢？就是这个是最大的。这是最小的，所以最大值加最小值就等于十是吧？就等于十好这个呢，应该选择c选项，这样就写好了。好，这个答案就选c好，他做了一方法，看是不是懂了？好，

那接下来我们看方法二。方法二，其实方法一，其实咱们用原理是什么方法？一，用的原理是a+b^2大于等于0 a-b^2大于等于零用，这个方法做的。方法二，其实用a方加b方大于等于负二一b，其实它这个是一样的原理，你自己都可以做，没没没太多的，其实就x方加a方大于等于二倍的xy。是吧，所以说就x方加y方大于等于二倍的xy。

然后把这s方加一方，换成二分之u加三。大于等于二倍的xy嘛。那二倍的sy就相当于二分之三减u再乘以个二是吧？这是sy的。值嘛，然后大家还知道x方加y方。还可以知道x方加y方x方加y方大于等于负的2 xy是吧？x方加y方大于等于负的二。sy加二分之u加三大于等于负的。好，然后得到答案一样，得到答案u呢，也是在一到九。u呃也也在一到九好吧，

这样的就写出来了啊，它其实等号条件都是xy相等，知道吧，这个其实等号条件都是a和b相相等。啊，这个a和b。当然，第一个就是AA=-b相等，第二个是a和b相等，好吧，所以这地方大家呢，要知道等号成立条件。好，那这样就写出它的结果了。好，

这是给大家强调用非无性来进行求解和思考了，看各位同学是不是懂了？但这道题有一个有一个呃，有问题的错误解法啊，错误解法，顺便也给大家进行提一下好吧，以后大家记住错误解法，错误解法，那这时候呢？啊，大家怎么去分析这个错误解法？啊，有同学呢，第一个是这样做，第一个是他把它变成什么了，

第一个是第一个是他把它变成。就第一个式啊，第一个式我们看它变成什么样了，第一个式子接着变成了x方加y方等于个三减xy。他说这个大于等于零。啊，大于等于零。好，那我表面上看起来这个也有也也是有道理的，是不是x方加y方其实大于等于零，但它取等号条件是什么？发现没有？它这等号条件是xy都为零的时候，它才能取等号，对吧？

就x方加y方。是吧啊，这个x方加y方。它都为零，都为0 s=0，所以这时候你做的时候就有问题了啊，就有问题，所以说就是x方。加y方就等于三减去二分之三，减u大于等于零，然后这时候呢就呃容易出现一些问题。好吧，大家呢，在做题的时候。要注意一下，

你看这样解这样都乘以二六减三加u，然后大于。等等于零，你这个算出来u是大于等于三的，你发现没u大于等于一个负三。那它这个这块就是会产生一些问题，你发现没有？为什么产生问题呢？它问题出现在哪呢？因为有同学这样做，这是一个错误解法啊，大家记下来。错误解法，因为它这个等号成立条件是sy要为零，sy要等于零，

等等于零的话，那显然又又不能满足这个，因为sy都为零的时候，那左边是零，右边是三，那就又不可能。是吧，因为它xy都为零的时候，这个等式等于三，它不可能成立是吧？同样道理，同样道理，有同学第二个式也是这样的，第二式，第二式也是x方。

加y方又等于u加xy，它大于等于零，把它变成什么？变成u加上二分之三减u。它大于等于零，然后这样求出来，它也有问题啊，这样求出来也有问题，因为它这也是在xy都为零的时候，它才成立xy都为零的时候，它这个不可能又为三。好吧，所以在这里面它又出错了啊，那所以大家要知道错题啊，错在哪给大家进行强调一下，

大家呢，要会分析和思考。好，只能用上面这个方法做啊，别给写错了。好，那接下来咱们再看这个题，假设syz为正实数则a大于b好吧，这个b啊，它大小。大家想想怎么样去比较它大小，看会不会分析和思考？它大小到底怎么样？去进行分析。好，

这是一个重新判断题，大家首先要看一下这根号里面的这个情况。我们可以看到它根号里面都出现了这种次方，我们肯定要进行配方来进行分析和求解是不是？所以大家呢，要想到这个配方的一些基本方法。好，我们看如何来进行配方来进行求助，它的这个数值好，然后再进行比较。好，大家都思考一下。他给的syz是正实数。好，这样能不能看出这个根号里面，

我们想想如何来进行配方？是吧，根号里面它配方的方法，大家要知道啊，要会分析。好，每个同学都想一想。嗯。好那么思考完没有啊？我们一起来看看这个题。好a选项啊，条件一我们看看啊，条件一。然后1a是等于根号下x方加xy+y^2。其实大家可以发现。

在这里面。我们可以看到x方加xy+y^2。怎么去做一下变换？啊，怎么去做一下变换？是吧，大家想一想。然后b呢是x+y+z。b正好是x+y+z，那比较它们两者的大小情况。好，那接下来我们这个根号怎么去解决？是吧，根号。啊，

大家想想根号怎么去解解决？啊，如果里面要配成s+y^2，这就好办了。是不是所以在这里面我们呢？先从条件来进行入手。条件条件的话，我们这样配。条件大家知道s方加三是y+y^2这个3 sy，我们可以把它配出一个s+y^2。再加xy。是不是这样的，就这样给它进行搭配一下就可以了。明白没有？搭配，

然后再加上。根号下这个是。y+z^2再加yz。是不是这样的啊？大家想办法给它进行搭配。好，那么搭配以后那接下来。大家知道我们因为这个sy都是正实数。对吧啊，都都正实数都正实数，它就可以。大于。大于零把这sy呢，给它进行化简掉是吧？因为sy它是正数yz，

它也是正数是不是，所以在这里面它大于根号下。x+y^2。根号下y+z^2。是不是它得到这样一个表达式？看懂了没有？得到这样一个式子。那这样是大家知道这个平方开根号，我们就可以把它给它进行去掉是吧？这个平方开开根号。啊，这个平方开根号，因为它都是正的，就给到x+y+y+z。是不是然后这块儿呢？

它正好可以写成x+y+z括号。再加一个y。因为大家知道它这个y正好是正实数。y是正数y正数的话，它肯定大于x+y+z。这个就是b啊，看能懂吗？这个正好就是b。好，大家想想是不是明白了？所以条件二可以证明a是大于b的。好，如果条件值啊，条件一条件一，因为它这个配成x+y。

平方以后啊kx+y平方以后。但这里面你看a你，你再配调完音，再配配完后，它会出现减的，你知道吧，所以它这个就证证明不了了。减的xy是吧？所以这个呢？它是y+z。平方减yz。减减y-y的话，因为这个它就没变成，没法变成大于这样的一个式子。是吧，

所以这样就没法变成它这个表达式，所以它这个呢就不太行。是吧，你比如说。啊，你可以找一个反例，也可以找一个反例，比如说y取一呀啊x取二呀z取三呀一二三呀，你在这里面可以比较一下。那这个条件一呢是不行的，所以可以找反例。知道吧，找反了，因为它这个减的话，你没法去，

这样变条件儿是OK的好吧，所以这个调一不成分条件儿成分。好，这是一个重新判断题，重新判断题，大家最害怕两个大小比较以后遇到根号儿，它的一个处理技巧就是我们要把这个根号儿呢，要学会内部配方。啊，做一下变形就可以了好，这是它的处理思路。这个答案就选择b选项好看，这个名单表就这道题呢，大家不好想。知道吧，

所以大家呢，在做题的时候啊，要掌握它的这个思路方法。有方法，或者说你取一二三。啊，带着你去试一下，取一二三的话呃b呢，它就正好就等于六啊b就等于六你取s呃等于。等于一。对吧啊，或者说y为1 is为二三，然后这个比较一下它的数值也能看出来好吧，这是它的这个方法。下面咱们看一下题型，

12精神定理求最值。啊，均值不等式是求最值的重要内容是吧？利用均值不等式，它求的关键要处出定值来，要变形就如何拆分。啊，咱们给大家总结口诀了是吧？如果和为定值是吧？成就有最大值积为定值和就有最小值是吧？所以大家一定要会拆分。产生定值是吧？然后还要学会一些无中生有的一些处理方法，把这定值找到，这样答案就可以写出来。

好看，这块儿是不是明白了？好，那接下来咱们来看这个题f二等于s加x分之四再加三，在负无穷到负二上的最值到底是多少？那在在这里面，大家可以发现s是负的，负的话，这不能直接用平行定理，那在在这我们怎么变呢？把它变成一个。负的负x加上负的x分之四，后面这个三不要动了，后面三不要动这个负s这个正呢，看这里面有正数。

啊，这里面就正数好，这个是正的，这个它也为正数是吧？正的这大家知道这个负x。加上负的x分之四。啊，大于等于二倍根号四就等于四是吧？大于等于四大于等于四那么加一个负号加一个负号就小于等于。负四再加三，这是负一，所以有最大值是负一，无最小值，它小于等于负一，可以无限小是吧？

这个呢，应该选择d选项。原理有最大值，没有最小值好，那么最大值就负一，那什么时候取最大值呢？就当这两个相等时候取最大值。是吧，当两相等取最大值当x=- 2时候，它取最大值是吧？就x=- 2。啊，这时候它取最值好，这是给大家强调它做题方法思路，看这块是不是听懂了？

它没有最小值啊。好，那接下来咱们看一下这个题，这个题我们看一下fi等于x加上x减二分之一x大于二在x等于a处取最小值，那么a等于几？好看下这个题。好，那这个题我们在做的时候应该怎么去思考是吧？做的时候应该怎么去求解？好，这时候大家呢，可以看到这时候需要一个s- 2是吧？所以我把它。变成一个s- 2加上。x- 2再加上一个二是吧？

所以添上一个二就行了，添二然后在这里面大家可以发现x，因为x大于2x大于二，说明x- 2是大于零的大于零，又满足咱们使用要求是吧？就一证二定三等，所以在这里面它这个这两个相乘就大于等于因为这两个相乘大于等于二。后面还是二大于等于四，什么时候取等号呢？什么时候取等号就这两个相等数取取等号就那x-2，这等于一时。当x- 2=1的时候，就s=3时候，它取等号，所以说a的值就是三，

这样就写出来了，正确答案应该选择c选项。啊，就a的值就等于三这样写好好，这个就给大家强调那么怎么去拆分定值，看是不是听懂了？好，给它加一个，再减一个就行了啊，什么叫无中生有，各位学霸们，给大家补充一个题。比如说已知x大于16，小于25，然后求y等于。

然后12，15÷x-16+16÷25-x，它最小值。好，各位学员，我们加油啊，想一想。听课同学都可以按暂停键自己先做做完，然后对对答案。好，那大家做完了，那接下来咱们看一下这道题，什么叫无中生有？我们前面得需要一个s- 16，对不对？

所以说我们要给它添一个s- 16。然后后面是不是得需要一个25-x啊，再添一个25-x？然后做到这，大家可以看到他这个正好要保证什么呢？你要保证x跟原来看是不是跟原来一样是吧，然后这有个x这个减xx相当于就没有了。然后这一个减16，这一个25就相当于是多了一个九多了一个九，还有后面要减一个九。知道为什么减一个九吧，因为这个多一个25，这个减16，只要多一个九。写到这，

大家注意，写到这，这两个用一下平子定理。这两个用一下平行定理，注意有同学说这四个，它正好是一个定值四个相乘，乘积为定值，能不能四个一块儿用？它不能四个一块儿用啊？四个数的和用平衡定理不能用，为什么？因为它要取等号条件，四个数要相等这四个数啊，要相等四个数，要相等的话，

那我们可以发现x是不不存在的啊，所以它不能够四个数。来用啊，它只能两两用两两用，而且两两用啊，那么还要看一下它这个等号能不能同时取到好吧，所以说这个y就大于。等于大于等于这两块用，大家有没有二倍的根号下两个相乘，这二倍根号下两个相乘减九，这样就可以得到它的四。市值好吧，然后就得到是九，所以最后它的答案就是九，看各位同学是不是听懂了，

那什么时候取等号，我们看它两个要取等号条件是这两个要相等。这样相等，说明s- 16应该。等于五，然后这两个要相等啊，这两个要相等，这两个相等，它取等号取等号就是25-s正好等于16。啊，这就等于46要开根号嘛，这两个数要相等嘛。相等相等是四，所以说x都等于二十一，你发现没有？

所以这道题比较巧妙点什么？x等于二分之一的时候这个。x=21的时候，这个等号成立x=21的时候，这个等号它也成立是吧？它的等号都是成立的，等号都成立的话，那接下来我们就可以看到。它这个正好同时取最小值，它取最小值，同时它也取最小值是吧？这个是处理比较巧妙的地方，比如如果数呃，如果出现这种情况，出现这种情况，

有同学可能会担心，比如它取最小值的时候是s=21。它以最小值是x=22啊，这两个值不一样不一样，那这种方法就不行了，因为就相当于鱼和熊掌不可兼得，咱们这道题鱼鱼和熊掌可以兼得给兼得。既可以保证它取最小值，又可以保证它取最小值，它可以兼得可以兼得话，就是没有问题是吧？这个呢？就是没有问题的啊，不影响。好，

所以说在这里面这I=21的时候啊，那它这个y有最小值。y最小值就等于九。好，那这个就写出来了好吧，看这个是不是明白了？好，这个给大家，你讲这个也叫无中生有，绩效性比较强是吧？给它补一个s- 10补一个分母，这也给它补一个分母。啊，补分母以后，然后就可以找到突破口，

另外在取等号的时候一定要看鱼和熊掌能否兼得啊，如果能兼得话，咱们这个做题呢，是没问题的。好，那接下来咱们看这个题。好已知x大于1y大于一，且x+y=15，则d=s- 1^2×y- 2的最大值到底是多少？啊，求它最大值，大家想想应该如何来分析和思考？好，怎么求它最大值？求最值方法，

我们学过。结果如果要求乘积最大值，我们要找到什么？找到何为定值是吧？所以我们学过基准定理。鉴定鉴定呢，就相当于是啊，如果。何要为定值。成绩有最大值好看这个名没？好，那这样的方法。然后接下来大家知道这是一个x- 1^2。或者说你把这个y呢，都用这个x去表示也行。

是吧，这样的话，你进行拼凑也可以。好吧，这样的，所以接下来就是s+y=15。我们如何进行分析和思考？好吧，接下来我们这样写。d=x- 1的平，方等于个y- 2。好，如果你把它拆成x- 1平方啊x- 1×x- 1。在y- 2。如果把它拆成三个，

拆成三个，大家发现这三个数的和。它不是定值，你不信看看它三个数的和就x- 1+x- 1。加上y- 2。是不是它这个和啊不是定的，因为在这有个二倍的x看到没？这有个二倍的x，所以说人家给的是x+y=15，这目前用不上。目前用不上，大家想想应该怎么怎么变一下，好在这里面可以这样变就行了。可以写成写成二分之x减一乘以个二分之x减一。对吧，

然后再乘以个y- 2，前面再乘以个四倍就可以了。对吧，前面再乘以个四倍就可以了。大家懂了没？写个四倍的。这样写它的和是不是为定值了？如果还不懂的同学，大家知道这个a×b×c小于等于。三分之a加b加c括号的三次方。是吧，你把这二分之x减一，把它看成a这个二分之x减一，把它看成b这个y减二，把它看成c。

就行了，是不是好？那接下来咱们小于等于。四乘以。然后它们三个相加。那这两个相加正好就是x- 1+1个y- 2。括号外面还有个三次方。这时候就可以把s+y=15往里带了。是吧，大家知道s+y等于十五十五减掉。三得到12，12÷3得到四是吧四。所以这样话，这个括号里面就四×4的。三次方算出来就等于256。

等于256好，这个答案就选择的是b选项，好它的求解方法看懂了没有？好，如果这道题一问什么时候它取到这个最大值，就让ABC相等，就这样让让这三个数相等就可以了，好吧，如果这道题要问。怎么取最大值？比如它不问它最小值是多少？那什么时候取最大值就是让它相等就行了，就二分之x减一。然后一个y- 2，让它相等。

这样的，然后这个又根据s+y=15是吧？s+y正好等等于15。然后这样sy就可以解出来，这个很好解的。第一个就可以得到x- 1=2 y- 4。对吧s- 1正好等于2y。减四。是吧，然后这两个方程。就可以写出来。好，这是它的这个方法，看明白没有？那也就说x正好等于2 y- 3嘛，

2 y- 3把x=2 y- 3带到里面去。这里面这正好3y减减三=15。3y就等于18y又等于六。y=6。是吧，然后这个s正好就就等于九。啊九=9，所以如果这里要问什么时候取这个就是s=9。y=6的时候啊，它取最值，所以把s=9带带带到里面去y=6带到里面也能算出是256。好吧，就这个题告诉我们平行定理考试在拆分的时候啊，一定要怎么办呢啊？一定要。

在拆分的时候，平均拆分，而且也会凑这个系数，也都分格变成一个二这样做好吧，看大家听懂没有？所以考试平时定理也是咱们考试一个难点，那要把这个难点要弄清楚，要会分析和思考。好看，这个题好y等于s加一分之s方加七加十s大于负一，它最小值到底多少？叫最小值好，那这道题我们如果要不知道余式的话，就这样去拆啊，这样拆，

反正一个个拆呗，就是x+1。然后x平方加7 sx平方加7s，可以把它拆成s+1乘以个这个十先别管它。十不要管它知道吧？十不要管它拆成x+6。啊，这样的是吧？所以x平方加7s可以把它称作x+1×x+6 x+1怎么写x+1？分母照抄嘛，这个会不这个不能不会嘛，照抄嘛x+1怎么来的x+1就照抄就行了。然后x+6怎么来？x+6是通过中间的七，这个7s来的是吧？

7s来的，所以说这个那后面十十的话，别管它十的话，你看这个括号展开括号展开以后就变成s方加7 s+6。是吧，前面展开，你看是不是x方加7 x+6+6再加十+10的话，然后给它添上一个四就行了，那是然后这样的话x+1跟这x+1就约掉。要变s+6+4，除以s+1变成这样了，变成这样，然后把这个六再用咱们前面讲过的恒等变形凑定值。再加上这个五就行了，然后再加这个五就可以了是吧？

这个六六乘上一+5就可以了啊，六乘上一一+5。啊加五这样就ook了，是不是然后这样就行行，然后接下来？嗯，接下来接下来的话s加一加上s加一分之四，然后大于等于。大于等于这两个用一下平行定理，大于等于二倍的根号下两个相乘。得到是九，然后这些答案选择e，这样就写出来了，好吧，这样就写出来啊，

那么不会猜的同学，还有一个方法，还有一个方法就是用。啊数组除法另外一个技巧，刚才咱讲余的定理就是定x平方加7 x+10，除以x+1，然后上一个xx平方加。x然后这时候呢，我们可以看这6 x+10，然后再上一个六就6x加。六然后这余一个四。可是这个大家可以发现，这xx+6就相当于一个商四，看到没？相当于一个商，

所以这x+6商商，然后这个余的四在这儿。是吧，在这儿，所以这个是。刚才咱们讲的绩效绩效里面结合，于是怎么弄？所以如果有同学不会猜，或者怕自己猜错啊，自己不会弄啊，你这个除一下也行，除一下，然后这个就可以写出来，写出来的话，那么y就可以写成，

这就是商事。加s+1分之余是。啊，这样就写出来了是吧？商是就s+6，于是就四写完以后呢，然后往下过程跟上面这个一样，就不用再写了好吧，就是相当于如何拆分的时候告诉大家它的拆分方法好吧？用这个竖式除法也可以快速啊，找到拆分好吧，所以就技技巧技巧就结合除法。竖式除法。啊，这样猜也可以好吧，

也是没问题的好，这是给大家强调的，它的这个内容看是不是懂了？你看像这个题，这个题一样，这个题也可以用数字除法来拆。好fs=1个这个二倍的x- 4，它的最小值到底是多少是吧？分母是二倍x- 3分母，可以提出个二啊。分母体积是二。就二分之一放到前面吧，二分之一放到前面就x减二x平方减四x加五。啊叫叫，如果要会配的话，

那这直接配个也行，反正刚才讲这两个方法，一个呢，就是配一个呢，就是用数字除法，你自己想用哪个都行，好吧，这个简单，那我们就用。除外，因为分子可以拆成x- 2^2。是吧啊x减二平方，然后呢，再加上一个一是吧，再加一，

然后这样二分之一。那么，括号括起来括起来，然后这个x- 2÷x- 2就变成x- 2是吧？加上一÷x- 2这样的。然后在这里面啊，那这块儿这块儿就直接可以用了是吧？直接可以用就后面乘数就不用再不用再管了，这点会倒会倒数大于等于。二所以这个算就等于一这个答案应该选择a选项好吧，选选择a那什么时候取最值呢？就是s- 2=1的时候。就s=3的时候。它取这个最小值是吧？上面这个题取最小值也可以取，

最小值就s+1，正好就等于2s，正好就为一的时候啊s为一的时候取最最小值都给你写上吧s=1的时候。取最小值让这两个数相等，这样数相等的时候让它取最小值好吧，都是可以的。好，这个给大家讲讲，这个拆分拆分完以后遇到分子跟分母它次方啊，这种情况大家可以结合，于是于是拆完拆完前面就相当于是一个商事，后面是一个。分子是一个余式，就这样去写就行了好吧，看这块儿是不是懂了，

所以以后给大家写一个模板就心如。y=ax平方加bx+c÷imax+n啊这样的一个情况，这样情况，那这就可以拆成一个商式。加上imax+n这一个余式。啊，这样去写好吧，大家呢，可以用数字出法来进行分析和思考，好看这块儿是不是听懂了，是不是明白了？好，那下面咱们来看一下这个题，这个题它主要考察这个矩阵定理，矩阵定理，

大家一定要会拆分出现定值。好，而且这道题考的恒成立的不等式，大家会分析好吧，所以在这里面看它的考考点。考大家一个恒成立的不等式。另外，就均值定理求最值。行算内不等式，还有均值定理，求最值，这样的方法啊，均值定理，求最值好，那接下来咱们来看一下。

看一下这个这个题，它的式子。好在这么来想想它，现在它乘积不是定值，所以它和怎么样求最小值呢？所以咱们前面讲过，如果。积定和就有最小值。若和要定乘积，就有最大值。好既要为定值和，就有最小值。和要被定的乘积有最大值是吧？现在它不是定值，那我们怎么处理？

我们看就差一个什么，你现在把这个分母乘开就知道差什么了，所以这道题不会做同学，你看把这个分母乘开就变成a方。a×AA，乘以a-b，这样等于a方减AB。是不是你看这个a×a-b这样的a方减1b，不会猜的同学找不到思路同学呢？你看这有个a方。那这个a方有了，然后减了AB。是吧，减AB那那这地方是不是要给它减AB是不是？所以在这里面我们就可以这样去写a方加AB分之一。

加上a×a-b，我们就可以把它写成a方减AB。a方减AB是吧？就可以写成这样的。就a方减1b。然后这时候减了一个AB，是不是要给它加一个AB？然后再加上AB分之一，再加上a乘以a减b。所以这道题其实第一步可能大家想不到，第一步就相当于给它减一个AB，再加一个AB啊，这个知识点大家看能不能想到，现在想不到的话，你先看分母。

分母给它乘开，看得到什么情况，乘开乘开就得到a方减AB。好在这里面大家可以发现啊，这个呢，就可以作为一个整体。是吧，作为一个一个整体，所以整体就可以写成a乘以个a-b。加上AB。加上AB分之一，加上a乘以a减b。好，这样的。然后接下来接下来，

然后在这里面，大家呢？就这四个用一下矩阵定理就行了，四个用一下矩阵定理。四个用一下。好吧，四个用一下均衡定理，因为因为它四个乘积正好为定值，然后用一下均衡定理就可可以了。或者两两用也行，两两用就AB加AB分之一，用一下这两个互为倒数，用一下也行啊，都可以好吧，反正这这两个用也可以。

这两用大于等于二是吧？大于等于二后面这两用这两用它也是。也一样的是吧？也一样，它也是大于等于二啊都行，因为两个数它正好是互为倒数。大于等于二+2就得到四。所以说它的左边最小值又为四啊，左边最小值为四，左边最小值为四。首先，最小值要为四。在这里面，大家呢，就可以看出，

只要它最小值大于等于m，它就是恒成立的。这时候大于等于m，它就是恒成立这样的方法是吧？这就是恒成立的。这样就求解出来了是吧？它这就恒恒成立，这最小值为四嘛，最小值为四，所以说m只要小于等于四。它都行，那接下来我们看条件一和条件条件一，它要最小质数，我们知道最小质数正好为二。啊，

最小质数，所以t1呢，相当于m取二。所以这样乘条件儿最小，合数最小，合数刚好就是刚好就是这两条条件，它都都可以都满足。所以题号一和条件儿，它都成立正确答案，就选择d选项好，这样就可以了啊，这样就可以得到答案。好看，这个懂了没？就这一块，

大家平行定理可能。啊，就是呃，没有想到啊，用这个平行定理来进行求解。好，那接下来咱们再说一下恒成立的表表达式。横成立表示，有一个fix，如果大于m，要横成立。f2大于m要恒成立f2大于m要恒恒成立，只要f2最小值大于m就行。是吧，所以在这里面只要是它的最小值。

大于m就可以。如果fx小于m，要恒成立。角差最大值。小于m就可以最大值，小于m就OK了。好吧，在这里面大家呢啊，要会分析和思考。好，这是它的这个求解方法和思路。好看，这个懂了没有啊？它的这个。式子所以以后遇到恒成立在这里面，

大家把它转成最值来进行分析啊，所以说运用最值，而且这里面平数定理，一定要会拆分。拆分呢，主要产生定值来进行求解。下面咱们看题型十三四大平均值来求最值，这四大平均值来求最值来进行分析，其中调和平方值是最小的啊。有n÷n个数的倒数和。要调频值。然后这个是几何平均值？好，这个就是算术平均值。啊，

这个就是平方平均值。啊，就是平方品质好吧，这是这个就叫调和品质。啊，这是几何平均值？这是算术平均值。好，这是平方啊，平均值啊，这样的好，那注意调平值，它主要就是倒数和。并然后几个平均值是它乘积。这样的平均值是它的和。

平方平均值就是它的平方和。好，就这些特征出现，倒数出现，乘积出现，它的和还有平方和好，那这些呢啊要用？啊，这个平定理来进行分析思考，所以要拆分变形，出现定值就可以求它们最值，看这块儿是不是明白了？好，那接下来咱们看一下这个题正数xy则xy是大于一的，那这道题我们可以看到这道题呢题问一咱们可以用这几个方法来做都OK的啊。

条件一可以用咱们的都用sy用那个整体的方法，因为它这个已经是正实数正实数就好办了，对不对？那条件一呢？它的方法一这样的。可以把分母x+y给它乘过来，因为是因为什么？因为它这个是正式正数。是吧，是是正数，而且这个是等价关系。是吧，所以说等价的，因为这个正数，我们正数把x+y给它乘过来，

所以叫2 xy大于x+y。这样的是吧？就是2 xy大于x+y。啊，这样的一个情况，所以把分母给它乘过来。乘块乘块哈，然后大家知道这个x+y又大于等于二倍的根号下xy是吧？就x+y。哎x+y大于等于二倍根号下xy，然后接下来我们可以利用一个整体，然后令t。等于xy。t=sy，那这个sy把它看成一个整体，

看成一个t啊，看成t，看成t就是2t啊，大于。因为这个大于号，这大于等于它在等不等式传递过程中等号就就就丢掉了好吧，大于号和大于等于号就丢掉了啊，所以说那么就是以最差的啊，就是相当于在传递的时候以最差的来决定。短板来决定就木桶效应，以短板来决定啊，所以这个大于号和大于等于号在传的时候。就只剩大于号了。得到这样一个关系，是不是啊？

得到这样一值好，得到这个值以后，然后这个二可以约掉，然后这个t和大于根号t。然后在这里面，大家就可以得到它这个二约掉一个。而约了一遍t大于根号TT，大于根号零，大家知道t可以写成根号t的平方，所以可以得到根号t是大一的。是吧，两边再约了根号t嘛，根号t大大于一就可以得到t是大于一的是吧？t大于1t大于一就是说x×y大于一，所以这个。

挑一那是对的。填上一是可以的啊，这是一种方法，这种方法咱们啊就是把分母乘过来乘过来，咱们用的平次定理，我给大家写，这是用了一下平次定理。用了一下，算出平均值大于等于几的平均值，用这个来进行做的是吧？当然填空一还可以用什么用把它？把它这个填上一呢。另外一种方法。好，另外一种方法，

我们看是什么情况？另外一种方法是这样的。可以把左边二xy除以x加y，可以分子分母，同时除以个xy，同时除以xy，同时除以xy后就变成x分之一加y分之一了。是吧，所以上下都除以xy都除以xy变成这样的一个情况。是不是啊？它这个都除以个xy嘛啊，上下做一下恒等变形，恒等变形就二。除以个x分之一加y分之之一，得到这个值是吧啊？

得到这样一个一个结果。所以说那就是第二种方法，就是上下都除以个xy。啊分子除以xy分母呢？也除以xy就变成y分之一，加x分之一，好这个情况好，大家可以看这个呢？就变成一个什么平均值啊？变成一个调和平均值。是吧，调平均值好，这个写好了。大家知道那调平平均值，它的小于。

啊，小于。等于这个根号xy是吧？也就根号xy是比它要大的。是吧啊啊，比它要大。好是这是这个数字，大家能看懂吧啊，这个这是。几个平均值大于等于调和平均值好，那么因为因为大家知道因为这个东西呢，是大一的对不对？这个东西就大一的。还有大于一的根据咱不等式，传递性不等传递性，

这是大于等于这是大于号，那接下来传递的时候这个。等号就丧失了，丢失了，等号就丢失了，就变成根号xy大于一根号xx大于一，就推出x×y是大于一的好，这样也是可以的。是吧，这样也行好，所以题目一呢，这种推导也可以，所以这种推导的过程呢啊，我给大家进行。圈出来这个是用了一下平行定理好吧，

用平行定理的地方，咱们用蓝色的框给大家进行圈出来好，这是它平行定理的情况，好，这填个一它是OK的。好，那接下来咱们看一下第二个。第2 s+y。大于二。大家知道x+y还大于等于二倍的根号sy，大家可以发现这两个都是大于号，所以这个就没法传递。知道吧，这个没法穿，是不是所以在这里面这个这个东西它它方向是一致方向是一致，

这就没法穿。对不对x+2又比它大x+2比它大，到底右边到底这两个谁大咱也不确定是吧？这个就。啊嗯，无法确定，或者你找返利也可以找到啊，找返利。找反例找反例的话，大家可以发现找反例是什么样的一个反例呢？比如说x可以取一个3y，取一个一。是吧啊x取一个3y取一个一。你可以看x+y，确实是大于2 x+y去啊，

对找反例是吧？找反例的话，那么要找啊，相加大于二，但是呢？相乘它比一要小的是吧？比一要小的比一要小的话，那咱们就找一个分数吧，分数比如说这个十分之一。这样就OK了是吧？你看x等于三y等于十分之一y等于三y等于十分之一的时候，那么x加y确实是大于二了。是吧，你看这两个向量其实大于二，但这两个相乘，

它就比一小了，你看这两个相乘，两个相乘，乘完后它只是零点三零点三的话，它肯定比一小，所以条件上这就不行了。啊，那条件怎么怎么弄？它就是可以的，它这个不等式啊，传递性必须是这个x+y要小于二，那这个可以传递，所以敢这样就可以x+y，如果小于二。啊，

接下来是小于二了是吧？比二小。是吧，比较小，然后x+y又大于等于二倍根号xy。这样就可以传传递了是吧？它的方向一样，这样传递就是相当于二大于s+ys+y，又大于等于二倍根号sy。这就可以传递过来，传递过来就可以得到什么得到，二是大于等于二倍根号xy，当然传的时候这个大于等于号就没有了，那就变传递完后变成二大于。二倍根号xy那就可以推出xy是小于一的，

当然如果如果条件二改成这个小于号，小于号只能推出x×y是小于一的。是吧，只推出x×y呢，它是小小于一的是吧？如果题干必须得改成x×y小于一小于一，那么这个。唉x+y大于二，改成小于二，那这样才是可以的是吧？这样开始，总之呢，大家在不论是传递的时候，一定要注意它的方向。它同向才不能是传递好吧，

所以不能是传递。要注意同向它，才能传递就方向相同啊，都朝同一个方向才能传过去。另外，在传递的时候有大于号，有大于等于那么这时候呢，它这个等号就丢掉了好吧，只有都有等号，比如这个大于等于号，这个大于等于号，它传的时候等号才有。只要有一个没等号，那么这个等号呢？它传的时候就丢掉了，

好这大家要注意它的这个方法啊，别给选错了，所以这道题那么条件一成立条件二不成立，建议大家就选择a选项。好，这是他的做题的方法和思路，看是不是懂了？好，接下来看，带有绝对值。当然，这个可以用代入法做，也可以用几个法做啊，都是OK的好吧，所以我把题目一代入法和几个法都给大家进行说说啊。

条件一，它代数法。啊，待着吧，待着吧哈，那大家可以用咱们的平行定理，平行定理就是什么？就是用两个数。它的算术平均值。小于等于它的这个平方平均值啊诶，用这个来分析好吧，这个来分析。好，当然在这里面那么xy它这个加绝对值也可以用啊，也可以用，

其实呢xy它没告诉我正实物就在咱们呃算的平均值和呃这个。啊平方平均值的时候，那这时候呢加绝对值都是OK的好吧，加绝对值这样也是可以的。加绝对值啊，这样是行的，所以在这里面大家可以发现条件一条1x平方加y方。小小于等于二这个分子小于等于二小于等于二就小于等于一，所以这块儿呢，应该是小于等于一的相当于，然后把这个分母二给它乘过来，分母二乘过来就可以得到。x+y的绝对值小于等于二。好，所以调一呢充分，

这是用咱们的啊，这个算术平均值小于等于平方平均值来写的，因为它这个平方平方的话，那这地方大家可以加绝对值没有问题啊。可以加绝对值啊，没有问题，那有同学说啊，为什么可以加绝对值啊，原来不是公司里没有绝对值吗？没有绝对值，这个没事，没有绝对值，咱们xy不是正数吗？呃，是正数，

咱们原来公式这样的公式就二分之a加b。小于等于根号下二分之a方加b方。是不是AB是正数对不对？AB是正数a ab，既然正数的话，我可以把a看成绝对值xb看成y的绝对值。啊啊，绝之xz绝之y总总行吧是吧？总可以对吧？这样的话AB它是正数了嘛？AB它是它是正数对不对？好一倍正数就变成二分之x绝对值，加y的绝对值，然后这个是根号下二分之，因为大家知道a要是s绝对值的话，

那么呃绝对值x的平方仍然是。s平方是不是因为s绝对值的平方还是s平方y的绝对值平方还是y的平方？对吧，然后坐这再咱们再用三角不等式嘛，三角不等式知道x绝对加y的绝对值又大于x+y的矩绝对值，其实在这里面再用三角不等式，那用减号也行。能减号也行，所以说其实大家注意这个分子啊，就是这个这块分子s改成减号s-y取得小于。二也可以用啊，也可以用，所以在这里面它用了什么这个东西怎么推导呢？用了一个这个平值定理就是。上等平均值小于等于它的调平均值，

还用了一个三角不等式啊，这一块是三角不等式是吧？所以这一块三角不等式。然后后面这一块儿呢，就是一个平行定理是吧，然后这样，而且这道题如果改成x-y啊，这个其实小于等于二，它仍然也是OK的，也是没问题的。是吧，所以这个条件一呢都都成立好，这个条件一呢是第一个啊，这个代入法另外一个那么还可以用咱们平方非负性来进行推，因为大家知道这个题干x+y绝对值小于等于二跟x+y^2小于等于二。

等于四这两个是等价的，我只要证明x+y^2小于等于四，那说明这s+y绝对值也小于等于二，这两个它是等价的是吧？只要证明其中一个成立，那么这两个是等价。是充分必要关系，所以它这个也就成立了，是不是你就可以写出来好，那接下来我们怎么证x+2^2小于？等于四呢，我们来看啊，大家知道。这个s-y^2肯定大于等于零是吧？x减平方大于等于零，

那就说明s平方。加y方大于等于二倍sy，注意这个东西，它不是平均定理，很多同学以为这个也是平均定理，这个不是平均定理啊，因为这个sy它正的负的，或者一正一负它都可以用。好吧，因为它这个这个东西就代表用平方的非公性推导出来的是吧？us- 2^2大于等于零，把这平方展开，然后移项移过来，得到这个值。然后两边再加一个x方加y方。

是不是大于等于x+y括号的平方了是吧？就是在这个等号两边同时加上x方和y方。啊，左边加x方和y方就变成二倍的x方加y方，右边加一个x方和y方就变成x+y括号的平方。是不是这样的啊？加x+y括号平方啊，这样就写好了，对不对？好，那这样我们就可以得到这个结果，因为那么条件一它说什么？说这个x。方加以方小于等于二小，小小于等于二小，

于小于等于二，那就说明什么问题了，说明这个x方。加y方乘以二就应该小于等于四。是吧，然后大于等于x+y平方。就四大于等于二倍的x方x方加y方，又大于等于x+y括号的平方，这里面大家可以看到什么情况呢？可以看到，然后这个不等式传递的时候，它都有等号，刚才讲如果都有等号，它传过去有等号。这样就可以推出四大于等于x+y^2，

那就跟刚刚咱们这个想要证的东西就一致了，这一致了，那这两个是等价的，因为咱们。学过如果ia的绝对值小于等于b的绝对值跟。跟这个a方。小于等于b方，这两者是等价关系，是不是这两个是等价的嘛？等价关系，等价关系，然后这两个只要有一个成立，另外一个也成立，所以这样证也可以。好，

这样证好，那这样就得到了这个表达式好，那么同样如果这道题要改成s-y绝对值，这个绝对值要改成加号改成减号。只要改减号那一样去去写好吧，一样写其实在这边大家可以发现，如果这地方要改成减号。这样也行，该减号那那那怎么去正当减的收入？该减号就变成x+y^2是大于等于零，它等于然后把它平方展开，根据平方的非无性就可以得到大于等于负的2 xy。所以大家知道x+y括号平方大于等于零，把这平方展开xy给它移到右边来，就得到x方加y方大于等于负的2倍xy。

然后再在等号两边，同时加上x方和y方等号两边，同时加上x方y方，同时加上x方y方就得到二倍的括号x方加y方大于等于括号x-y^2。是吧，两边都加上，加上以后得到这个值得的值就OK了，是不是然后这样就写出来了？好，这是用代入法，代入法可以用均衡定理。和咱们绝对值三角不等式去进行去进行证，然后呢，也可以用咱们的。好，

这个平方的非负性来进行证啊，这个都是结论，大家可以把这个结论呢，记住好吧，这个也是一个结结论，把这个结论给它记住。啊，结论给大家记住啊，记住这个做题呢，就比较快，当然这个结论在记住的前提一定要知道它怎么推导过来的啊。然后这是条案呃，条案一的代入法啊，给大家写好了，咱们看条案一的几个法。

好，我们看一下几个法条件一它的几个法。好企业法什么情况呢？企业法把它建立坐标，建立坐标x方加y方小于等于20，看看那个圆是吧x方？加方小于等于二，它是一个圆。是一个半径为根号二的一个圆。好半径为根号的一个圆。啊，那个半径为根号的一个圆，然后接下来我们再来看一下啊，就是x+y的绝对值小于等于2 x+y的绝对值小于等于就相当于是啊，这个点都在圆。

啊，这个里头那么求x+y的取值范围，只要在取值范围，你可以列x+y=1个c是吧？这个咱们在讲解几何时候讲过它最值？而加y=c，而加y=c呢？把它看成直线。大家知道这条直线跟它相切的时候，这个c可以把它看截距，知道吧？它可以把它看斜率为负一的线。跟它相切的时候，它取到最值，跟它相切的时候，

它取最值，所以在这里面，大家可以看，然后找这个相切的点。找相切的这个点是吧？然后这个相切的。对它取取对值好，那斜率为负一，斜率为负一，大家知道半径是根号，半径，根号这些半径根号，因为这是一个等腰直角三角形嘛，等腰直角三角形，然后它半径是根号二。

然后这个点就是二啊，这个点那就是二是吧，然后这个点呢就是负二。这点负二，所以大家可以发现c应该在二和负二之间啊，这样的话呢，它这个线都是根圆有交点，就这这很多条线。啊，就是这样的。然后接下来那就相当于是x+y，以为应该在二和负二之间了，因为c的范围知道了c的范围就代表是x+y的范围。好x+y就在负二到2 x+y在负二到二，那在这里面我们呢就可以看出x+y的绝对值就小于等于二，

小于等于二就行了。如果这道题要改成x-yx-y，你就令x-y呃等于c就行了x-y的话就相当于斜率为一的线。是吧，斜率为一的线，斜率为一的线就是这样的线。啊，就这样线当然也要跟它相切的时候了。跟它相相切的时候是吧？大家到时候找找跟它相切的时候那么这样。好相切的相切的时候，它焦点正好，这地方也是二那这地方它它也是二。是吧，也是二啊一样，

那这个c也是在负二到二之间，所以敢这样的话也能得到x-y。绝对值小于等于二一样的是吧？也一样都是OK的好，这几个法给大家进行强调它的做题方法都在相接的时候，它取到这个最值啊，大家呢？要知道它的方法和内容。好，那接下来咱们看条件二啊，条件一都讲完了，两个方法都讲完了，代入法几个法条件x×y小等于1x×y小等于一，它没说xy是正的还是负的？是吧，

没错xy是正的还是负的，所以在这里面大家呢啊就啊就呢就就可以找一个反例吧。条件条件找反例反例，比如说x=1个负三。啊y等于个一啊我呃，这个那可以找一个负四吧？找一个负4 I=- 4y等于个1 I=- 4 y=1，大家可以发现这个x+y。是吧，然后这块儿绝对值肯定就大于二了，所以条件上它是不可以，它这个就不行啊，这样的话就得不到这个结果。所以这个给大家强调，因为xy它没说正还负的，

所以xy它可以取。啊，一正一负啊，一正一负的情况是吧？这样就可以写出来，那其实这道题即使xy是正的，这个也也这个。这个也不行是吧？即使有同学说这道题，如果改成xy正实数，那么是不是就行了？x正实数也不行？x正实数比如说啊x取一个三。y取一个十分之一，大家可以发现x乘以y，

它确实小于一x乘以y，确实小于一，是吧？一个三，一个十分之一，两相乘小于一。小于一的话，但是x+y它就超过二了是吧？它也不行，所以这道题xy改成正实数正实数呢条件它也不行，所以不管是正实数还是负的，这些都不行。所以这道题最最后正确答案就选择a选项就条件，一是充分条件，二是不充分条件，

一大家注意这个代数法，代数法还可以用到。呃，平均值啊，算的平均值和这个平方平均值还有三角不等式，它的一些知识内容好吧，咱们平行定理是要求正数正数的话，你可以把a和b看成s和y的绝对值。这样话就可以去推了，然后当然也可以用平方的非负性来进行推和证明，把这个结论记住好吧？另外几何法也可以几何法啊，如果这道题这道题要把这道题改成x+2 y的绝对值啊，如果x+2 yx+2 y绝对值这个代收法，这就失效了，

知道吧？啊，如果题干改成s+2 y的绝对值s加二二y绝对值，这种人只能用几个法，你就令s+2 y=CS+2 y=c，这时候它不是一个等腰直角三角形，只能用什么只能用圆心到直线距离等于半径。把c的值给它求解出来了啊c的值求出来是吧？只要只能用具体公式做了啊，就如果改成x+2 y啊，要要改成这样的。改成x+2 y局域值，这时候你就令x+2 y就等于c=c，这时候呢，就用原因到直线距离就根号下一+4。

应当圆心，正好在坐标原点就c的绝对值，然后小于等于半径就行了，圆的半径正好是根号二是吧，圆的半径是根号二，所以得到c的绝对小于等于根号十。小于等于根号十就说明x+2 y的绝对值，小于等于根号十这样的一个情况啊，如果对它改成x+2 y的绝对值，求它的范围的话，这时候你只能用几个法。就令s+2 y=c，你看加2 y=c，这时候呢，用圆心到直线距离等于半径，

然后呢，这个算出这个d为什么小于等于根号，一要保证这个直线跟这个圆要有交点。那焦点就相切或者相交的情况，这样话我们c的值就可以求解出来啊，求解出来，然后c的值范围知道了x+y的范围就写出来了。好吧，这是给大家强调它做的一个方法啊，就代入法就不能用了，只能用几个法来做，看各位同学是不是听懂了？好，接下来咱们看题型14均衡定理它的精髓，求最值，

我们知道当和与乘积为定值时，多个位数不仅能求最大值，也能求最小值。主要依赖君子不等式精髓来进行体现的。这个我们讲过，如果核要被定制的时候，咱们知道乘积呢它是？有最大值是吧？核定它乘积有最大值，但是乘积它有最小值，就当这几个数的差距。啊，那么越大，它的成绩就越小，知道吧？

当这几个数越接近相等，它成绩就越大，不要掌握两个极端。知道吧，同样道理，它的乘积为定值的时候啊，那么要看它们这几个数，它的是否差距大？好吧，所以在这里面我们知道和要为定值。和要预定的时候要看这几个数级差。啊，极差越大。它的积就越小。它的级差越小。

它的成绩。啊，就越大。啊越大啊，如果这个不太懂的话，比如说啊三+7=14+6=10。五+5，它也等于十，你看它的和都是十和都为十。格度相同的，但大家发现三跟七它极差比较大，它乘积又比较小，三×7小于四×6。小于五×5知道吧，所以它极差越小极差越小，

就像这几个数越相等越相等，它的成绩就越大。好，这是它的这个方法，懂了吧？好，如果乘积要为定值的时候。好，这是要看它的极差。啊，级差越大。它的和就越大。啊，极差越小。它的和。

就越小。院校啊，比如说。比如说这个一×16，二×8，四×4都等于16，你看它们乘积都为定值。成绩都是相等的，然后这两个极差。越大，你看16和一差距越大，它的和就越大，你看一+16大于二+8大于四+4。比如说这两个数的极差越小，它的和就越小啊，

这是平均定理它的精髓啊。老师给大家举的是两个数的例子，三个数，四个数，原理都一样，以此类推，所以把这原理弄清楚，大家就会做题了。好，那接下来咱们就来看一下这里面题目。好a+b+c+d+e，它最大值为133啊，最大值是133。啊，这道题就求和的最大值，

求和的最大值呢？极差越大越好，因为它条件一它成绩为定值条件二，它成绩也为定值是吧？是吧，乘积都为定值，乘积都为定值的话，我们让它当然这个也可以改成求最小值啊，求最小值的话，让它极差，越小越好是吧，所以这道题考察的。点就是积乘积为定值积定。啊，什么时候和大什么时候和要小？

要求和最大值，那就极差大。要和小就极差小。是吧，就这样的一个情况啊，好，那接下来看条文，一条文一，它说abcd都大于一的，自然数大于一，那就不能包括一了，那abcde等于。五个数相乘。等于2700，现在把2700给它换好吧，

2700大家可以发现可以写三的三次方再乘100是吧？是不是三的三次方再乘以100啊？一百一百可以写成二的平方×5^2是不是好？这样写好了，需要咱们要让它极差大。级差大，级差大是不是它应该怎么取啊？解压大的时候，我们可以把它分成什么分成，就是其他人都省吃俭用，把剩下的都给一个人，就像大家为了供大家上学一样。是吧，家里面其他人都省吃俭用的，把钱都留给孩子上学是不是？

所以说让a省吃俭用取二，因为他a他不能够。不能取一嘛啊a取2b呢？也取2c呢？就取3d呢？也也也取3e呢？就取25。是吧，就都省吃俭用，然后这样话就是它的级级差比较大，级差比较大，那它的和最大值就可以写出来，就就这个求解出来了。是吧，然后这样就写出来了，

写出来就可以得到这a+b+c+d+e最最大值。这就二+2+3+3，再加一个25。那这个还有一个75对不对？还多一个是吧？就75。其实因为它是三个三就75，然后这样就写出来了是吧？然后再算算等于85，85，所以它这个最大值不是133。是吧，不是130的啊，这个写上写错了，就让其他都省吃俭用多的这个啊，

如果要求这个求这个最它的和的最小值，大家会不会写和的最小值的话？和最小值呢？这个怎么写和最小值呢？大家都都是比较接近平均是吧？比较接近。平均平均的话，我们看怎么就要接近平均？是吧，让让大家呢，都差不多级差要小一点。其他校长我们看这个五只能拆成五×5了。是吧，五拆成五×5。有两个数取五。

然后接下来我们看接下来。接下来，接下来，就是再有两个数取六。是吧，还有一个数取取三是不是这样？这样就行了，这五个数是不是这样就可以了？大家找找还有没有比这个积差更小的？好像没有了吧啊，什么叫极差？极差就代代表最大值减最小值，知道吧，就最大的减最最小的。就首先看这最大值是六，

最小值三嘛三，然后这样这样应该极差，最小极差，最小这个就可以算作a+b。加c+d+e最小值。这就是五+5+6+6+3。这样就等于25是吧？如果要求最小值求最小值的话，就得到是25，这就写好了，然后条件一样的条件abcde。等于个2000。等于2000话，大家可以发现我们应该怎么写呢？应该是。

二的四次方再乘以五的三次方是不是这样的？啊，这样的这样的话，那我们来看一下，如果要使它要和最大和最大的话，我们看它极差要大一点。捷安特那应该怎么分？捷安特捷安特让其他人都省吃俭用。然后剩下的都给一个人是吧？这样的，所以说就是a+b+c+d+e最大。最大值是二+2+2+2，再加上120，25就等于133是吧？所以它是充分的，

最大值是133，这个是充分的，对吧？然后看级差比较小。它小小化就a+b+c+d+e啊，那吉他小吉他小，大家思考一下应该怎么分啊？是不是可以分成四×4×5×5×5这样分，这个其实它比较小是吧？它最小值应该四+4。加五+5+5就等于23啊，最小值等于23好，如果要问abcd，它的和最小值最小值就是23。是吧，

这样就写出来最大值最大值133，所以大家要明白它的精髓，所所在这道题条件，二是充分的条件，一不充分正确答案，应该选择b选项。答案又写好了，好，这是他做题方法思路，看是不懂了。所以通过这道题，大家呢，要掌握的基本方法。基本方法和内容就是我们在做的时候啊，要会分析是吧？

要掌握它的这个考试特征，然后什么时候它最大，什么时候最小？啊，要知道它这是它的精髓所在，要通过它的极差来分析它的最值，就相当于两个极端情况啊，一个最大值小值都要会涨。

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