063.专项十四-练习-4

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:50:13

好，那接下来咱们再看这个题好吧，大家思考一下，加上加上这个题。嗯，好，已知ABC为正数。AB是正的，且满足a+b+c=8。a+b+c它等于八。然后求根号a方加一根号b方加四。根号c方加九，它的最小值到底是多少？好，大家想一想。

好在这里面大家要注意，这个柯西不等式，它的使用啊，柯西不等式。啊，可以不等式。好，可以不等式就相当于是有二维形形式的啊，有三维形式的，二维的话就两个好吧，咱们先说一下这个两个。啊，比如说。a方加b方。加上根号下c方加d方。

啊，它要大于等于根号下。这个a和c相加括号的平方。b+d括号平方好吧，这是克西不等式。好，这是科西不等式二维形式的。啊，它这个方法。好吧，就是a+cb+d三维形式的，这是二维的。好，那这个怎么理解知道吧？怎么理解这个可以把它看成啊？

三角形的两边之和大于第三边。知道吧，两分之和大于第三边，这个明白吧，所以它是这样的。这样写两边之和。大家听见没有，同学可能理解不了。好，假设这是一个点。好，这是一个点。然后这个AB可以把它看成。AB它到原点的距离是不是就根号a方加b方？对不对？

是不是到原点距离根号a方加b方？好，这个CD。这里它可以把它看成它到原点的，这个距离就根号下c方加d方。好，然后接下来大家注意这个就三角形的第三边。啊，第三遍。第三篇本来是根号下a-c^2，加上b-d^2写减也行。咳咳。啊，这这点为什么也可以写加？写减也可以，

也写加一些，因为大家知道这样可以把它看成负c负d。因为负c负d，它到原点。到原点，它的距离平方还是根号下c方加d方。对不对？它到原点。这距离还是一样，根号c方加d嘛，这时候它两点距离公式就变成a+c了啊，这个b+d了，所以说其实它这个。写加写减都行，因为这个c方这块儿也可以看成负c括号的平方，

这个d方可以看成。复地块儿频道。知道吧，所以说可以不等式，其实就可以把它理解成三角形的两边之和，大于等于第三边。什么时候它取等号就是它正好贡献的时候它取等号。好了，这是二维的。好，接下来咱们看三维的。啊，三维的三维坐标系。啊，比如根号下。

就相当于三个根号啊，三位就有三个根号。嗯嗯。a方加b方。c方加d方。b方加f方。是吧，然后大于等于根号下。a+c+e^2。b+d+f^2。好，这样的好吧，这是三维的。啊，把这个理论东西都给大家进行讲清楚。

好，那么讲完以后，那接下来咱们就这道题这道题，大家发现它有三个根儿号，三个根儿就套这个三维形式就可以了。好吧，接下来咱们就可以做题。再往下根号下a方加一一可以写成一的平方，知道吧？b方加四四给写成二的平方。这个四它可以写成二的平方，然后九可以写成三的平方，对吧？九可以写成三的平方。啊，

它大于等于根号下。刚下，然后前三个数相加括号的平方就a+b+c括号平方。将括号这一+2+3括号平方。好，这样写好了。好，接下来把已知条件带到里面去，因为它说了a+b+c正好等于八。是吧a+b+c的值正好等于八好a+b+c的值等于八，这个数就等于八。那等于根号下八的平方，加上六的平方，大家知道就等于十是吧？六八十嘛，

答案就等于十。要写好。所以答案就选择a选项好看这个题，大家是不是听懂了？那么，这个题大家在求解的时候要掌握它的做题方法思路，好吧，把它会分析啊，所以以后遇到多个根号儿相加时候。电压呢，就可以采用这个科技不等式来进行分析，就二维三维形式，它的这个方法啊，要知道。然后咱们来看切开问题，

大家知道每切一次要增加两个面啊，每切一次。要增加两个面。啊，要注意好那一个长方体长宽高分别是六五四啊，这个长方体长宽高。啊，分别是六五四这样的啊，六五四啊，这样的把这三个。体相等的小长方体。然后小汤的表面和最大到底多少？那肯定要沿着最大面儿来切是吧？最大面儿呃来切就行了，所以这道题就最大面儿，

所以大家知道原来的面积啊，原来面原来面积先求出来，原来面积就二倍的四×5。加二倍的五×6+2倍的四×6。是吧，所以这个二咱们都提到外面去吧啊，就这样的，所以二倍的四乘以五五×6+4×6。好，这是它原来这个表示代表原来这个长方体，它的表面积长方体表面积就可以求解出来，求解出来以后，那接下来我们再看增加。大家知道，每切一次要增加两个面儿，

切这道题要切成三个的话，要切两次啊，切两切两次要增加四个面儿。增加四个面儿，就增加最大的那个面儿，最大的面儿就是六×5的那个面儿是最大面儿。啊六×5的面最大面，这样就可以写出来这个答案应该等于268啊，这样算的等于268。二六八这个答案应该选择b选项好，这是它的做题方法，选择b好吧，这是它的求解内容啊，就是你要知道每切是增加几个面儿，在原基础之上怎么样？

保证增加面积是最大的是吧？沿着最大面儿来切就行，沿着五×6这个面儿去切，切的话，它增加的面儿是最多的。好看，是不是听懂了？所以大家要有一定的想象能力，知道吧？好，我们来看一下这个题，圆柱的侧面积为四派啊，圆柱咱们画一个图。它侧面积正好是四派。啊，

半径为r，高度为h，它侧面应该怎么写？侧面就是这个矩形的面积二派r再乘以h就等于四派。好，那这样两边约掉一个就可以得到r×h正好等于二，然后他问当这个轴截面的对角线。取最小值时，轴界面对角线是什么情况？这是轴界面对角线。啊这这这轴截面，它对角线轴截面是一个矩形，它对角线。好轴截面。对角线。

等于根号下大家用固定做一些h方。加上2r括号方，这轴截面是吧？然后这个就是直径2r，然后等于根号下。h方加4r方，然后在这里我们可以把h呢呃用二÷r来代是吧？就h呢？用这个来来代就是h正好等于二÷r，所以代到你就四÷r^2，加上4r方。然后在这里面用基数定理就行了，大于等于。大于等于这个二倍的这个根号里面啊，根根根号里面有二倍的，

这两个括号相相乘根号下。四×4是吧？就这根号里面，咱们用一下这个。矩阵定理就行了，然后大家知道这是这是八八的话就是二倍根号二，这样就写出来，他问什么时候取这个最小值是吧？只要取最小值，这个大于等于这个就这个就相当于等于根号八了。根号八可以写成二倍根二，它问什么时候取最值什么取最值的话就相当于是什么时候取取取最值啊，让这两个相等呗。你这样两两项，这两项的r肯定就为一了是吧？

这这样这两个相等这样相等r正好为1r为一的时候h正好等于二。a1=2，这样就写好了是吧？然后这什么是母线长是吧？这个母母线就代表圆柱的高啊。就圆柱这个这这这条线叫做母母线，知道吗？母线这个ll其实就等于它的高啊，所以有同学不知道这个母线长什么意思啊？就这呢，应该选的是b选项是吧？答案就写好了啊，就是这个母线就代表这条线就代表它高。好，这样就求它的结果，

所以这道题呢，又用咱们讲过的均衡定理来进行分析，要知道轴截面的概念啊，然后呢，把这个h呢做一个转化，你看求解就可以得到答案了，看各位同学是不是听懂了？好，下面咱们看这个题。某团队承包了五个项目。每个项目经费都是不相等的整数。你的经费最多的两个项目，平均经费与金被至少两个项目。经费之和是相同的。则经费排名第三的项目，

最低经费是74万元。好，那么条件一总监费是509条件，二总监费是500万。好，大家想想啊，这个方法。这道题又考至少至多问题。好，大家想想怎么去求解？大家注意一个关键词啊，如果每个经费它是不相等的整数。每级别要不相等的，整数的话，大家一定要给它进行排排个序啊，

知道吧？大小排个序，比如说。几个人的考成绩，如果他要不相等，大家要给他进行排个序，这样就好讨论，知道吧？所以在这里面，大家呢，要会分析要会讨论啊。所以我们就不妨另五个项目的经费。啊，就abcde。好，

大家知道这经费肯定都是正整数，因为它就说的是整数。懂了吧，所以以后遇到它这个经费要不相等的话，大家给它进行排个序好吧？a是最多的。啊e是最少的。好，接下来咱们先把题干化简一下，然后再看条件，那经费最多两个项目的平均值啊。啊，机会最多，项目机会最多，两个项目就是AB两个项目了，

大家看是不是这样的就AB两个项目。就AB两个项目，它的平均值。就二分之AB。正好与最少的两个经费之和相等，最少两个经费就是d和e。就等于d+e就是它的之和是相同的。好，这道题要问什么问排名第三的排名第第三就是求c。最低最低到底多少？这这这是多少？咱们讲过分蛋糕原理。啊，所以分摊原理分摊原理就调一它总计费要是509。啊，

509的话，我们要如果有一个人要分的少，蛋糕分的少。让其他人蛋糕分的多一点，是不这个咱们学过分蛋糕原理啊？懂了吧，就像几个人分蛋糕，五个人分蛋糕，有个人想分蛋糕少一点，让其他人分蛋糕多一点。啊，这个分的多一些。知道吧，好，那接下来咱们看条件一。

啊，提问一就是。它的总经费金额。是等于509。对吧，它总共加起正好是509。然后把题干的这个数带到里面去啊，带到里面带到里面去，大家知道这a+b这样等于二倍的de。是吧，所以把这a+b做一下替换。懂了吧，就这a+BA+b把把它换成二倍括号的d+e。对吧，所以说这个就变成三倍的DC，

加上三倍的d+e。等于509。好，刚才讲了，要使得c要最少那d和e1定要是最多。我们假设。假设c是x。那d最多最多就是x- 1块钱减一万元，对吧？它都是都是整数嘛？对吧啊，都是整数，然后e呢就是s- 2是最多的，因为它不能取小数。那就像咱们考试成绩一样是吧c，

如果考s分d要比c要小d最多的时候就考s- 1分。好那么e最多的就考s- 2分，这样就写好了，是不是这就写出来了？然后这样话，我们呢就可以把这个c=x。然后d呢，就是x- 1e呢，就是x- 2对吧？加在一起就2 x- 3。等于509是吧？这就是x- 1，这就是x- 2。这个加在一起就2 x- 3，得到这个值。

呃，然后这就是6 x- 9。是吧，这个变成7x。等于518。是吧，7 s=518。好，那接下来咱们看一下x它的值是吧？所以这样的话，我们呢就可以看x值x值就等于74。啊74而x就等于74，所以最低值就是74。是吧，这样调一。

符合要求，它正好就是74。接下来咱们看条件二。条件二是500万。很多同学在考场上容易出现这样一个思维错误。有同学说，想到条件一成立，条件二就不充分考试呢。啊，一着急就条件就偷懒，偷懒就不算了，就选了一个条件，一充分，这时候呢，就会出问题。

好吧，这条件还要看看。啊条件他说相当于经费总和正好是500。五百五百你就把这个509改成个500呗，改改500改500就就最后一步，咱们改改就行了，前面咱们就省略好吧？能省略最后一步会变成7 x- 9，把它换成500。500那么7s就等于509。好，509它要它要除以一个。除以这个七啊，除以这个七五百零九。所以这个ttc 49。

二，74。啊余五是吧？就x就等于72点多。是吧x就等于72，72点多x=72点多就是这个取整这个很重要，比如说。最低最低有72点多。最低最低72点多吧，有有最低72点多，最低72点多肯定不能取72，比如说你考试最少最少要考72点多。72秒中，那肯定不能取72。啊，

要取73或74，咱们来讨论一下好吧，直接x。就约等于。72点多。好，那72点多有同学不知道到底是取比它大还是比它少，你带到题目里面去，因为它最低是72点。最低是72点多，那肯定比72点多得大是吧？所以x我们讨论一下。所以大家知道，在至少至多的时候，难点就在于出现小数的时候啊，

所以说有同学可以取73。也可以举74有同学呢，认为条件上就不充分，说到这，他说他有可能73。好，那么如果要73的话，大家可以发现一个什么问题？73比如说x要等于73。这个d+e，它一定。这地方要有倍数关系啊，所以x要等于73。就d+e，你看这有三倍的d+e嘛是吧？

所以说在这里面这个能懂吗？就d+e。或者说三倍的d+e应该等于509减掉一个x就减掉一个c了。是吧啊，就就就相当于减掉一个c。这个明白没有？啊，减掉一个c。好c，大家想想，如果c要等于73，那么这个三倍的d+e就等于509。减掉73。有六就等于436，大家知道436它不是三的倍数。

啊，不是三的倍数。是吧，436它不是三的倍数，那这个肯定就不太行是吧？好，那s=74。三倍的d+e就等于509-74。45，435。好，435那这个435正好就是三的倍数。那这样才能对准，所以它这个s取74。是OK的是吧？

所以说在这里面它最少最少就是74，不能比74少啊，你看73是不行的，72也不行。因为它要比72点多要大。所以这道题条件上，它也充分，所以条件上给大家设置了一个坑啊，很多同学条件上没讨论好，所以两条都充分。更难于选择d选项，知道吧？就是至少是说大家最害怕啊，这个小数小数的话，要讨论它整数，

而且整数还要照顾到。这个d+e×3这地方有个三的倍数，所以有同学呢，没有注意到这个细节导致啊。考试时候选错了，所以这道题呢，它就相当于是给大家挖了一些坑，要会分析思考，懂了吧？好，接下来这个题这个题主要考察那么方案比较方案最优方案问题。最优方案好他95名学生到公园租船，租一条大船需要60元，可坐六人租一条小船。啊，

那么45元可乘坐四人则租金要最省租金最省好，那租金最省的话，那我们看有几条大船，有几条小小船，我们可以比较一下，那调一它的费用。15条大船就乘以60加两条小船，45×2。是吧，两条小船就等于九百九百六。然后这个你看45元乘以二是吧？乘以二×2的话，那在这里面，我们算算这应该等于990。啊，

条件一条件二我们费用比较一下。这个16条大船，16条大船，那么16条那么乘以60，这样等于960，如果大家可以发现它这个要省一点租16条大船应该是比较省的是吧？是吧，所以说在这里面有条件可以使租金呢，更省一点啊，更便宜点，所以大家比较一下费用在能满足95名同学坐船的情况下，我们呢？就是啊，看一下哪种费用是最省的比较这几个方案好吧，大家呢要会分析对比一下这几个方案，

那么谁的钱数更少就可以了？好，接下来这个题这个题主要考察这个绝对值它的结论啊，绝对值几个亿，就是在这x-a+x-b。它的最小值。这是就AB之间的距离是吧？它无最大值。那无最大值好，大家说条件一条件一，那他可以看到条件一，他的最小值。最小值就是负二减四啊，对吧？或者说二减负四也行，

就等于六。啊二减负四也可以。好，所以在这里面你就可以选择二二减负四或者二加四都可以，然后条件条件和最小值。这道17就三+3，它也等于六是吧？所以两个条件它都充分啊，两个条件它都充分好，这个答案就选择d，所以这个都咱们前面讲过绝知几个e。然后记住这个结论就可以得到他的数值和答案，好看各位同学是不是听懂了，当然如果这道题呃要。要改成减号，

改成减号两，其实相减和相减的话，它有最大值也有最小值好吧，所以在这里面大家呢，要会分析咱们前面其实相减也讲过啊，最大值和最小值它是互为相反数的。啊要会分析和思考。然后接下来咱们看一下这个题好，这个题的话，你呃不用三角不等式就不好错了，不好做，因为它是出现的比较复杂是吧，不像上一个题上一个题，我们可以。用三项不等式也可以用一般的，

这个绝对值的这个相加啊来进行处理，是不是好这道题咱们看看啊？啊s1，s2，s3都是实数，它这个呢？是平均值。啊，平均值sk-s平均值小于等于1k等于一二三，其实这道题让我们推导什么？推导是三个问题啊，推导三个问题。这也是企业的问题，只要推到三个k=1 k=2和k=3。k=1，

k=2，k=3，它是且的问题，对吧？就相当于是这里要推x1-x均值小于等于一。s2-s均值小于。等于一x三减x均值小于等于一，其实是要让我们推三个啊，推三个，比如说像有时候啊，这三个里面比如说有一个能推出来，另外两个推不出来，那仍然是不充分啊，就像咱们逻辑一样。一样让推导的结论有三个东西相当，

必须三个东西都能推出来，是成立的，那才叫充分，如果三个东西里面有一部分推出的，成立有一部分推出的是不成立，这叫做不成不充分。懂了吧，所以大家要从逻辑的角度来进行分析好，这道题也不要过早联合咱们先看呢，单独是不是？不行再联合好吧好，大家看x1-x均值，我们一个来看，把一个弄明白，另外两个跟它差不多好吧，

所以说在这里面看x1。减s均值x一减均值就相当于三分之x一加x二加x三。是不是这s平值它的概念？然后接下来我们给它进行通分，通分就可以变成了三分之二x一减s二减x三。是不是这样的好，就是通分算成二x一减x二减x三得到这个值好，得到这个值以后，大家可以看到我们找反例找反例什么就满足条件，但不能够推出题干的条一，我们看反例。反正可以找x1=1x2和x3都等于负一。是吧，就x1。等于一。

x二和x三都等于负一都等于负一的话，这时候大家可以发现，这时候x均x一减x均值就等于一个三分之四。它大于一，所以它就不成立了。是吧，这就推不出来。就不成立，因为这时候把这s1=1s2和x3都等于负一带到里面，带到里面它这个等于34，它是不成立的是吧？超过一了，所以条一呢？就不行，条文一如果其他只要有一个啊。

只要有一个。否定了，错了，那么另外两个就不用再看了是吧？这个都不行了啊，另外两个就不用再看，比如说咱们考试综合和英语一看。综合都没过过线，那英语就不用再看了是吧？综合如果都不符合要求啊，成绩没过线，那英语那后面那过不过也没有意义了，对不对？所以说就第一个。只要啊，

不成立，那么剩下两个就不用再看了啊，好，那单独条件肯定这个不用说，单独条件呃，很明显x1为0x二和x3要取很大的呢。很大，比如说一个二一个三呐，一个二一个三，那这个也不行哈，条件上很明显的反例，咱就不用再写了好吧，因为它条件上未知x2和x3的值x2和x3到底等于几，它都不知道。不知道的话，

那这个有可能超过一，所以它这个也不成立啊，接下来我们再联合。啊，联合联合的话，那么联合找两条交集啊，联合以后大家知道x1是等于0x一等等于零，我们看x1-x均值就等于多少？因为x一为零x一为零又变成三分之x二和x三了，这个负号在绝子里面可以变过来啊，变又变成三分之x二加x三。是吧，就x1它正好为零为零的话x2和x3，它正好变成正的啊，负号变成正的就行了。

然后大家知道可以变成三分之x二加x三。然后小于等于三分之x二的绝对值，加x三的绝对值，用一下三角不等式这个分母三先写出来知道吧，写出来分子呢，咱们用一下三角不等式来处理就可以了。好吧，分子，然后大家知道x二的绝对值小于等于一x三的绝对值也小于等于一，所以小于等于三分之一加一三分之二三分之二，当然小于一是成成立的了。是吧，它是成立的对吧？第一个成立好，第一个成立，

咱们要看第二个和第三个，比如说咱们考试综合。过线了，过线，然后再看英语是吧？再看英语过没过线，英语行不行？然后再看s2-s均值。好x2减去大家知道呃，均值不是x 1+x二+x三嘛，因为大大家知道这个x1它为零，你知道吧？x1它为零就变成x 2+x三了。然后这个变成三分之二倍的x二减x三。是不是这样的，

然后分母三给大家写出来，写出来的话就变成三分之二倍x二减x三。然后小于等于三分之这二倍的x2，加上x3。是吧，就三这二倍x2加上。I xx三好，但是s二绝对小于等于一x三绝对也小于等于等于一，所以小于等于三分之二加一，它正好为一。是吧，然后这样这样就成立了好，那第二个可以，第二个可以，比如说综合也满足要求，

英语也满足要求，咱们再看总分是不是行？是吧，总分这个行不行？所以第三个再看看。x3-x均值x3-x均值跟它差不多好吧，你自己变一下就是二倍x3-x二自己画一下。画完后，它也是小于等于三分之二倍的x三。这是s二小于等于三分之二加一。它也小于等于一，也也成立，所以联合以后这三个都可以发现它不超过一不超过一，它这个都是充分的正确答案呢，就选择这个c选项。

那联合成立好吧，联联合的成分，这个答案选c好在这里面给大家进行强调，一个大家不能这样做啊，这样做就有问题，知道吧，有同学这个x。k-s均值，它说小于等于sk绝对值，加上x均值啊，这样做它就有问题，你看有同学这样写的就x2-x均值。还小等于x2的绝对值，加上x均值，它的绝对值。

然后x2加上它均值的话，正好就三分之，因为xs 1为零嘛x1是v0的对不对？x1为零均值变成s 2+x三。这个绝对值啊，这绝对值，然后呢，它又小于等于前面s二绝对值不动这三分之x二，加上x三的绝对值。是吧，然后这样的。这s2绝对值是小于等于一的s3绝对值小于。等于一，所以它小于等于。一加上三分之一加一，

这算点三分之五算三分之三分之五，那这个就超过一了，那这样的话就。不太行是吧？这样话就不太行好，这样话为什么不太行？大家知道吧？为什么不太行啊？这样做错在哪知道吧？有同学呢，就把这个前面把它看成a，这个把它看成个b，然后a-b觉得小于等于a加上。a的绝对值加上b的绝对值，然后这个s均值，

然后再给它写出来。选择因为s1为零，所以这s1就没有了，然后呢？那再把这个呢？再用一次三角不等式。再用一次，三三角不等式，大家知道每用一次三角不等式，它都会范围会放大，知道吧？你看用一次范围放大，再用一次范围又放大。放大以后，那这个你就受不了了是吧？

这个放的太大，放太大，你就证明不了，证明不了它这个。这个是不是小于一的，你放的太过火了，知道吧，就相当于是呃，有点呃，这个得寸进尺的，这个意思是吧，所以在这里面大家尽量啊，不要多次用好吧，不要多，你看这个地方用了一次，

你看这地方。你用了又用了一次啊，这样话就多次用三角不等式会出现呃放大啊，过分放大情况啊多次。用三角不等式。会出现。就过火了，就过分放放大。啊，这样的情况放太大放太大，你就没法证了是吧？没法证，所以你看上面咱们只用了一次你，你发现没有，上面只用你看，

先把变形变形这只用了一次三角不等式。啊就就就这用了一一次。用一次，然后再根据s2和x3的范围，然后写它的答案就行了是吧？然后这块儿你看这地方用了一次，这地方用了一次啊，这地方又用了一次，看到没？这地方又用用一次，那你就放的太大就过分。放大，所以这是给大家强调的内容，看各位同学是不是听懂了，是不是明白了？

好，那接下来咱们再看这个题。a小于二分之三。好，大家再想想怎么能出现二分之三？好提问一，大家可以发现这个分母。啊，都有个减一。首先肯定要把简易给他去掉。对吧，简约的去掉这个，我们前面给大家讲过一个分式的变换，大家有没有印象就比较难一点啊，看大家能不能想到啊？

如果a大于b大于零。m如果大于零的话，咱们讲过，如果一个真分数。啊，一个真分数。它分子加上相同一个数。是不是这样的，想一想。是吧，如果分子加上相同的一个数。那是不是这样的？对不对？我们讲过，如果要真分数。

然后在咱们这里m可以取一。知道吧m可以取一。所以大家发现它这个就是一个真分数。你看分母比分子大，当然第一个分子和分母相相等。分子分母相等它，它也可以用啊，也可以用，因为它加上以后它OK的。好，所以说这个a呢，我们就这样写。把每个分式分子分母都加上一。是吧，都加上一再次用这个分式的变化。

因为刚才大家思考一下，如果光变分母。这个还不行，还出现不了二分之三。是不是所以这种光变分母还还不可以？懂了吧，所以这个都把它加上，一+1就变成三。的变成三。是吧，好这个变成三就变成三的平方。再变三，再变三的N次方好看，这个懂了没有？然后把上下再给它化简一下，

这个就变成一加。三分之一加三的平方分之一。一加到三的n- 1次方分之一。这样的看能懂吧，这是一这是三分之一，然后三的平方之一，一直到三的n减一分之一。然后这个我们就是一个等比数列求和。大家谁记得等比数列求和公式等比数列求和等比数列求和就等于一个一减q分之。那公比是三分之一嘛，一减q分之首项。乘以一减q的N次方。对吧，所以它最后一项是n- 1次方，这地方为什么要写N次方，

因为咱们在求和的时候，这个n是代表。它有多少项啊？它的项数知道吧？它总共有多少项？它不是最后这个n- 1次方啊？懂了吧好，这样话大家就可以看出这个一减三分之一，正好三分之二三分之二倒数就。有个二分之三了。是吧，就有二分之三哎，这个二分之三就有了。好，大家知道三的N次方分之一肯定是正的，

把这正的。给大家再。去掉，所以它就小于二分之三。对吧，调用的，所以调用一它是充分的。所以遇到这个分子。分母都给它添上了m，它的一个变化情况要弄清楚好吧，这要会分析，要知道它的一个变化啊，要弄好。好，接下来咱们看一下第二个。

等比数列an的首项值啊，公比值啊，它的前项和为a好，那我们来看一下它的前项和。啊，前项和应该怎么写？没关系，就一减q分之。首项。乘以个一减。q的N次方分之一是不是大家填一下和？好，这个分母正好是六分之五。分母六分之五，上面是四分之五，

然后化简完，这样就是二分之三。乘以括号一减六的N次方分之一。这样话，大家知道这个六的nn次方分之一可能是正数一减呢？它一个正数可能小于这个二分之三。小于二分之三，这样就写好了。好吧，你把这个正的给它去掉，就小于二分之三，所以条件二，它也是充分的，所以条件二也成立。好，

这样答案应该选择的是d选项。所以这道题。总之，不管是一还是二，都要用等比数列求和。等比的求和以后括号里面出现了一减一个指数函数。啊，遇见一个指函数，然后呢？把这个。做一下啊，大小的。变化是吧？所以这样的话就可以写出它的取值范围了哦，这个题呢啊，

相当于更灵活一点。大家在做的时候也给写错了。嗯。好，那接下来咱们看这个题。sy.为实数。ax+by×ay+bx大于等于x×y。好，那这是。题干条件一条件一，它是a+b正好为一。是吧AB它大于零。条件是a方加b方，它为一，

那么a方加b方，它为一。好，那接下来咱们来看一下啊，它这个式子。大家注意左边呢，你可以给它重开啊，因为目前咱们还没有什么有效的信息是吧，所以先把这个题干呢。左边给它乘开乘开目的呢，就想用到a+b=1这个条件知道吧，所以在这里面咱先把题干给它化简一下好吧，化简完，然后再看条件一和条件二。ax+by×ay+bx。

这个想办法给它乘开乘开，咱们就用咱们乘法的分配律。啊，有印象吗？给大家进行敞开。看这个会不会分析，所以先把它打开。打开以后，大家可以发现，这个ax×ay正好等于a的平方。sy是不是所以这样就可以写成？a的平方xy。好，这个as×BS就可以得到a×BS平方。然后这个by×ay正好得到AB×y^2。

然后by×bx正好等于b的平方xy。是吧啊b的平方xy这样。好看，这个懂了没有？好，那接下来咱们看看一下，把这含有sy的放在一起，另外两项放在一起好吧？所以做一下啊，这个变形。应该变形，所以说就可以变成什么啦？变成这个提出sy。正好是a方加b方是吧？取出xy正好是a方加b方。

这个可以提出一个AB。x方加y方是不是得到这样的一个式子？好，咱们再观察右边，右边有个s×y。h NY，大家知道。s方加y方肯定要大于等于2 xy是不是这样的？对这s方加y方大于等于2 xy。它是恒成立的啊，不管xy是正的负的，它都成立这个不是均值定理啊。这个就是根据什么呢？根据x-y^2大于等于零用，非负性推出来的。

知道吧，它就相当于是一个非复性。啊，就像s-y^2大于等于零用，非负性来进行证明和推导。懂了吧，所以x方加y方大于等于2 xy。好，那这个大家知道，那接下来我们呢？就可以把上面做一下变换。看变化好，所以说大于等于这个xy乘以个a方加b方。这个是相当于是。AB乘以个2 xy。

是不是这样的啊？因为x方加y方大于等于2 xy。然后这两项我们都可以提出一个x×y。你你看看到没有啊，正好提出x×y。所以它这个等于sy提出来。xy提出来以后，大家看括号里面还剩什么啊？括号里面是不是剩一个a方加b方？还有一个2 AB。是不是a方加b方和2 aba方加b方和2 AB正好就是a+b^2？对吧，正好是a+b的平平方。所以说如果题完一。a+b=1的时候哎，

它正好就OK对吧，所以调调一。a+b如果等于一，那正好就充分。是吧a大于等于一的时候，那么右边正好是x×y，左边正好大于等于x×y，所以它就充分。对吧，就这样的。啊，如果条件儿那也不行，条件儿光知道a方加b方等于一，这地方有个sy，但后面。

它到底是什么情况？这个就不好说了。对不对？那这个就不好说，所以说在这里面好，那你就是啊，判断不了。因为因为做到这这个做到这，咱们刚才得到什么？你看条件。条件咱们就是从上面就看第二步吧。就是ax+by。等于ay+bx刚才咱第二步。看下第二步。好，

那第二步这一块儿正好就因为a方加b方等于一嘛，等于等于一正好就是x×y。是吧，这样就是x×y。是吧x×y，然后再加上一个AB×x^2。加y方是吧？找到这个，那它是不是大于等于sy咱不知道？是不是大于等于xy不知道因为什么呢？因为它这个是正还是负你，也不知道是吧，正还是负你也不知道。啊，只有当这块大于等于零的时候，

他才OK。是吧，所以说也就当。这个AB大于等于零的时候。当AB大于等于零的时候，那么sy+AB括号s方加y方，它才大于等于sy。因为后面这块儿它是非负的才行。就这块儿，因为x方加y方可能是非负的。这百s方加一方，它是非负的。然后a×b它如果也是非负的，这时候它才大于等于xy才成立。啊，

如果AB。要是异号AB要是负的负的话，它就比sy就小了，因为sy+1个负数，它肯定比sy小。那这个条件儿就是确定不了啊，条件儿是不可以的，然后一是行的。懂了吧，这样的。或者条件儿，它加上一个AB大于零，这也也OK是吧？条件儿，它写一个AB大大于零。

AB大一点，这个也OK，主要是主要是在这儿知道吧，就是AB。a×b正负他，不知道正负他，不知道的话，那这个往下就不好。分析了，懂了吧？在这个条件上，它又没告诉AB是正的还是负的？万1 AB它是负的，那这个就不行了。对吧，

它就出现异号就不行了啊，所以正确答案应该选择是a选项，这样一是充分的。好，这个给大家讲的，它的做题的方法思路，看是不是明白了啊？所以大家遇到这些题的时候。啊，不要了。啊，着急对吧？遇到这个不等式，因为不等式是咱们考试的难点，所以系统的给大家进行归纳和总结了一下。

大家看这块儿是不是明白了？好，那接下来咱们看这个题x方加y方最小值为二填上1x×y等于根号2x×y等于根号二，我们看一下条件一。它的这个内容啊，条件一填x方加y方，大家注意知道大于等于二倍xy，所以这个东西它不是一个平行定理啊，有同学说条件一不充分的原因是因为xy它没告诉我，正还是负这个。这个不等不等式，它是恒成立的，知道吧？它的它是恒成立，因为它是用非负性得到的啊，

它这个不是均等不等式，它这个正负没有要求。调一错的原因在哪？知道吧？错的原因在哪？错的原因在这。它这是二倍根号二，而二倍根号二，那这里面肯定就不行了，它最小值应该是二倍根号二，最小值不是二，知道吧，所以在这面如果题号一改了，乘以y=1=1的话，它就充分了，

知道吧，所以它不充分的原因是在这个根号二这。这块儿这块儿它是它是不充分的，其实这前面这个不等式，它不管是正负它都是可以的。条件跟前面的两题又是一样的是吧？用一下韦达定理，然后还要再用一下判别式是吧？所以就是x方加y方就等于x+y^2-2倍的xy。然后做到这大家呢，应该怎么去思考呢？做到这大家用韦达定理，大家知道x+y就代表两个之和，因为它是两个实根嘛，两个实根，

两个实根就两个之和。s+ys+y，它正好就等于2a。的平方是不是然后这样的，然后接下来二倍的x×yx×y有两个乘积就是a+2。两个乘积就a+2好，这样写好了啊，所以就是两根之和等于2a两个乘积等于a+2，然后在这里面，这是4a方。四一方减2 a- 4是吧？然后这就是开口向上的一个抛物线，开口向上的一个抛物线。它对称轴对称轴是a等于四分之一。它对称轴呢，

就a等于四分之一，关键是这个对称轴它能不能取到是吧，所以在这里呢，我们呢，还要再判断一下，判别式德尔塔，德尔塔等于b的b的平方减四一c。他要大于等于零，然后两边约掉一个四约掉四以后，这个不等式就变成了这a方减a- 2大于。等于零，然后这个不等式，它的根一个根呢是正二一个根是负一。所以在这里面，大家呢，

就可以写出来，所以说a应该小于等于负一，或者说a大于等于二，这样写好了。好，那接下来咱们看一下，果然这个对称轴不在这里头，不在这里头的话，那就相当于a小于等于负一跟前面一个题一样就负一。啊，这一部分和a大于等于二这一部分好，大家知道负一的话，离它呢更近一点，是不是？所以在这里面大家可以看到当。

a=- 1时好，这个是x方加y方，它有最小值。啊x方加y方，它有这个最最小值是吧？这样就可以写它的最小值。好x方加y方，它最小值就可以写出来。x方加最小值把这个负一带到负一带到里面就是四+2。减四这个正好就等于二是吧，它最好是正好为二，所以这个是成立条件，二是可以得到的，所以条件二又是用了韦达定理。然后用判别式德尔塔求a的范围，

然后再看这个抛物线，它的最值情况，这个得到答案，这个答案是条件成分，这个答案应该选择b，所以这几个题呢，都类似的方法，所以考试。注意这样一个陷阱就可以了，考试的时候细心点，不要出错了，好，这是它的做题的内容，大家看这几个题规律是不是掌握住了？好，

接下来咱们看这个题。好，那么a为等差数列，其中a10=210a31等于负的280好，这个前项。前项之和SN要取得最大值。前项之和SN要取得最大值好，那接下来我们来看一下这个题，这个题首先要把公差d给求解出来。是吧啊，公差d求就是我们看n等于几的时候，它要取最大值啊，先求公差大家知道31-10。值就等于负的280-210就等于负的490，这样等于一个21倍的d。

是吧，所以在这里面好a31-a十正好等于21倍的d好，这个d我们就可以求解出来d两边呢，同除一个七。啊通透个七通透个七，然后就得到这个三。三然后这个70所以d呢，就等于负的。三分之七十。好，这是它的这个取值啊，把d给它求解出来，这个接下来我们要看它从什么地方开始进行变号。是吧，编号那大家可以发现这个a10。

正好等于210啊，两百两百一，然后加上九倍的d，加上九倍的d，正好就为零。好是不正好，等于正好加九倍的d，它正好就为零了。啊，因为这个呃九倍的d正好等于210嘛，所以它正好就v0是吧？正好正好v0好，所以说a 10+a。加上九倍d这样为零，那这样这样就推出什么推出a19这样就为零啊a19为零。

好a4腰围的话就可以推出什么推出s。s18和s19是一样的，它均为最大值，因为它这个公差d是负的嘛，公差d公差d是负的，所以说它s有最大值嘛。所以，它为最大值。所以条件一和条件二那都可以啊，这个呢，应该选择d选项是吧？两个条件都可以，因为s18和s19是一样的值啊。所以大家在做题的时候，先把观察d求出来，

这是关键点啊，观察d求出来以后，然后再求其他值，这样就可以算出它的结果。和答案好，接下来咱们看这个题。这个题它重新判断题要推a=2，如果题干不能化解了，咱们再由条件来进行分析，好题干一。好已知点p到圆上各点的最大距离为五，最小距离为一则圆的半径为a好，那么画个图q。挑完一它有个陷阱，挑完一为什么？

会有线，它有两种情况，可能大家呢，没有注意到那第一种情况呢，点在圆外。啊，然后第一种情况，如果点在圆外。点完圆外那么这个这个点到圆上的各点最大距离最大距离在这这是最大的。然后在这到这个点是最小的。是吧，所以在这里面好，我们这个点最大。最大化就是。圆心到这个点的距离，

咱们用d来表示就d+r，这样等于五，然后最小。这叫递减r。等于一通过这个两个相加除以二得到d=3 r。等于二这个圆的半径半径AA的值就等于二有同学呢啊，那么只考第一种情况，认为它是充分的，这个错了，还有一种情况。还有一种情况，还有一种情况，如果如果这个点要在圆外。诶，算完了，

然后还有如果这个点要在圆内。点要在圆内，点要在圆内的话，那这时候应该怎么清？这是圆心圆心，然后这个点夹在这个位置。啊，这个点啊，要在这个位置好，那这时候我们看好那么连接圆心跟它。好，这个当然是最大这个点是是最小了是吧？当然最大还是d+r了。这个d就代表是这个点到圆心的距离啊，然后最小。

这样就变成r-d=1啊r-d就这段是是最小的，最小的是最小的。好最小到最小啊，然后这时候我们可以算出这两相加除以2r为3d为二是吧，然后这样就可以算出来。所以就推出r是等于3d是。啊，等于二的。啊，这样，所以说在这里面它的半径有可能是三，有可能是二，所以确定不了的值，所以条件一呢，这个是错的啊，

所以这有个陷阱，要讨论点的原内在圆外。第二个条件是考察两圆的位置关系。两圆的关系话就是两圆的原距是。九半径半径的话，这个方程的方程我们看十相乘。好，那我们把它分开啊，分开啊，分一分。这是一跟二，然后这个35可以分成五和七。负负是吧？当然这个半径可可可以可以解出来了啊，半径可以解出来条件。

你看一个半径呢，是五。一个半径呢，是二分之七。是吧，所以它半径写出来，它d是等于九，咱判断两圆位置关系的话，好，那接下来咱们来看一下r 1+r。等于五加二分之七好，这个就等到八点五。是吧，因为二分之七是三点五，然后加上五得到八点五八点五，

它正好是小于这个九的。那有，所以两圆外离。两页面内应该有四条工业线。有四条公线，所以条件他说有两条公业线啊，这个也是错的，这条件是错的，所以建议大家应该选择e选项。好，这是它的做题方法，思路看是不懂了啊，就通过这道题，大家呢，要会分析它这个距离的最值，

另外呢，也会找它的判断。判断两圆的位置关系，然后来分析它有几条空间线来进行求解。好，接下来咱们来看这个题，这个题啊，问r的最大值是二减根号二，然后第一个条件是要满足，第一个条件它这是一个圆及圆内部啊，小于等于四，这个也是圆及圆内部。这r是大于零的。要满足m交n=nm交n=n。说明这个圆是包含关系是吧？

包含关系，因为相当于是这个n。正好落在这个m里面是吧？假设这个是m。好这个n啊，一定要落在里面，这n这个圆当然它都是圆即圆内部了。啊圆和圆内部是吧？这样m和n的交集，这样的等于n好，那落在圆内部，它又是一个包含关系，包含关系，我们看应该怎么分析呢？就是这个圆心距d啊，

圆心距d啊，圆心距我们求解出来。原句大家知道这个圆的原因是零零点，这个原因原因是一点，所以很容易求这个根号，二是吧根号二。根号，然后d要小于大圆的半径，减小圆的半径是吧？要小于。大圆半径减小圆半径就行了，好大圆半径是二，这个小圆半径是r是吧r小于二减r就可以了？啊二减r当然这个取等号也行，取等号取等号就是说跟它边界刚好在它边界上这个也行。

是吧，去等号也行。好，那接接下来，接下来我们看一下这个r就可以解出来r小于等于二减根号2r小于二减根号r，最大值就是二减根号，所以题目一呢是成立的。对吧，只有两元包含关系时候，它是什么情况？当然两元这个趋等号趋等号就是相当于是内切，那这个内切它也可以的。这样内切它它也算啊，也可以好吧。好，

那么条件两圆有交点。这个有有交点那么原句只要一个半径，另外一个圆的半径为r好，那接下来我们知道两页有交点。有些人当然包含这个相切啊，包含内切外切，知道吧，所以d应该小于r 1+r二。大于他这个可以取等号，取等号相切也行。因为这两圆半径不知道谁大谁小，要加一个绝对值的啊，要加一个绝对值。好，那这是它的这个方法。

那接下来咱们来看一下那把这个带到里面去，带到里面去，那将来是一个半径是一一个半径是r。小于等于d是三减根号二。然后小于等于一+r。那大家知道这个三减根号二啊，这个肯定是比一要小，因为一+r这r肯定是正数了，半径肯定是正的。所以一+2肯定比它大，比它大，这边就不用再解了是吧？这右边肯定是成立的，所以只要解左边啊，解左边就行了。

截图完，大家知道这个一减r的绝对值可以写成r减一的绝对值，这个是没有什么影响。好把绝对值去掉就可以先三减根号二。大于等于。负三加根号二，然后把这个一都给它加上，一都给它加上一就是四。减根号二。大于等于负二加根号二，其实这个负的就不要了好吧，这个负的就不要了。所以在这里面啊，这个它r肯定是大于零的嘛r肯定正的，所以左边就不要了，

其实这r肯定是大于零的，小于等于四减根号二。啊，所以这个算下来应该四减根号是吧？所以条件条件得不到最小值是二减根号，所以条件是不充分的，所以这道正确答案应该选择a选项好，这是它做题方法。思路看是不懂了好，这是它的考试要点。好，那接下来咱们来看一下这个题，甲乙两带奖券获奖的分别是p或q，某人从两人各随机抽一张奖券。得此获奖概率不小于四分之三，

不小于四分之三，就大于等于四分之三。另外，这道题还隐含了至少有一个啊。现在这个中奖获奖。获奖的代表至少有一个获奖就行了啊，所以在这里面大家注意获奖或者中奖。就至少有一个获奖。好知道有一个获奖就可以了，所以这道题咱们要从反面做好吧，就两袋里面各出去一张好，那先把这个题干写一下。题干题干，他的获奖的概率。用p来表示。

好，我们写出它的表达式。PA就等于一个那么一减去，甲乙都没获奖。好，这样来写就行了，好吧，就它反面，因为它的获奖代表至少有一个中奖，有一减去甲抽的奖券没中奖，乙抽的奖券也没中奖，这样就可以写出来。这样稍微整理一下，就是p+q，加上pq。

啊，然后这样就写出来了好吧啊，这样就可以写它的表达式，然后因为这个乘开嘛啊，乘开乘开的话应该减掉pq。是吧，这一块应该减。好，这个写好了啊，写好了，然后先先把这个化简看完，那接下来咱们看一下条件，一看行不行？所以这道题不要着急联合啊，不要着急联合，

先看单独是否充分填空，1 p+q=1 p+q=1大家。带到里面去，这个p+q可以求出来，那有同学说pq不不值啊pq，我们可以用一下均值定理啊，大家知道p+q大于等于二倍根号pq。啊，这样就可以得到pq呢，应该小于等于四分之一是吧？通过这个通过这个不等式解出pq小于等于四分之一pq小于等于四分之一，那负的pq应该大于等于负的四分之一。是不是所以这样的话，我们就可以算成PA？papa就等于p加q，

减pq就大于等于一减四分之一就是四分之三。所以这个不小于四分之三，不小于四分之三，就代表大于等于四分之三，所以它这个是充分的，所以条文一它是成立的。是充分的对吧？条件一是满足的，接下来我们看条件二。条件条件pq等于四分之一pq。等等于四分之一那p加q怎么算呢？我们把p加q求出来p加q又大于等于二倍的根号pq。这个大家知道pq正好等于四分之一嘛pq等于四分之一，大家可以把这个四分之一带到里面去开根号乘以二就得到是一。所以p+q大于等于1 p+q大于等于一，

那接下来我们PA也可以算出来PA就等于p+q。减pq它大于等于因为p加q是大于等于一的p乘以q是四分之一，所以这个也是四分之三。在那里面也生产，所以条件他单独也充分，但也充分正确，答案应该选d选项，所以两个条件单独均充分呃，答案正确，答案应该选4d选项。看这块儿是不是听懂了，是不是明白它的做题方法啊？看是不是明白，所以这道题它要结合平行定理，平行定理，

然后呢，再结合这个概率来进行变形和分析。好，我们来看这个题，这个题是古典概率来求这个最值甲两种品牌手机共20部啊，总共呢是共20部，从中任意取两部，下一步甲品牌手机的概率为p。则p要大于二分之一好，那这道题也考察概率的大小情况，条件一和条件二，咱们做重新判例，还是那句话先呢。把题干给化简一下好吧，化化简化简完，

我们这里设甲有x步。甲是x部甲的x部那乙呢？就是20-x部了。好，这样写好了，他任取两部下一步假手机的概率为p那这个p我们就可以写出来分母呢，就c22乘。从20步里面任意取两步，所以总情况数c22分子分子的话，那就可以写成甲是一步乙呢是一步。甲是一步，乙是一步，这样写出来了，然后呢？分母分母c22正好算出来190，

哪位有上上面就x×20-x？它要大于二分之一，然后接下来把这个一百九要给它乘过来用一下，不等式啊，一百九乘过来，一百九乘过来，变成九十五就x乘以个二十减x大于。95得到这个值得要是，然后再把这个s给它移过来，移过来就变成x方减20 x+95要小于零。是吧啊，要消零，现在大家注意这个穷呃方程这个不等式啊，使相乘分解不开。然后分不开，

那只能用求公式，求公式先看delta delta=b^2减4 AC。就等于400减去个380，就等于20。然后它的求公式x应该小于在两根之间嘛，就2a分之负b。加上根号德尔塔是吧？根号德尔塔二倍根号五，然后这是二分之。负b减根号多少？减根号德尔塔，然后这个x就可以写成小于十加根号五大于十减根号五，大家知道这个根号五大概是二点二几？是吧，然后二点二几的样子，

所以说这个12点几，但是s只能取整数，因为手机它只能取整数小于等于12。大于等于八，所以这个题干要想成立，必须满足这样的要求，接下来看条件是不是符合这样的要求啊？条件是不是符合这样要求？好，我们看条案，一条案一甲手机不少于八部，甲手机不少于八部，就是相当于甲大于等于八部，甲就代表x大于等于八。条件一，

光是s大于等于八，这还不行。s大于等于八，还得小于12。是吧，还得小小于12，所以说条件一呢，这个是不可以的。条件儿乙手机大于七部，乙手机大于七部，乙手机只要2x减，20-x代表乙手机啊。20-s代表一首，一首要大于七。啊大于七，

大于七就相当于是20-s，大于等于八，大于等于八，就像s要小于等于12。是吧，要小小于等于12数值，要小于等于12好，要小于等于12，那么单独条件二小于等于12，这个也不充分是吧？也不充分。然后联合要找交集，大家注意联合。零号就是x要满足两个条件，要找交集x在八到12要找它交集八到12的话，

那这个就OK了是吧？两解正好跟这个是一样的，一样正确答案就选择c选项啊。连起来那么正好，满足要求，正确答案就选c，所以这里又用了咱们的不等式范围来求概率的大小范围。好吧，通过这个来找到s取值范围h范围以后，咱们就可以上传答案了，看这块儿是不是明白了，是不是听懂了好，这是它的考试内容的方法，大家呢，要把这些知识点呢，

要弄清楚。好，这是给大家强调的全缩最值。从呃第一章那么实数的概念，到最后一章概率，每章呢，涉及到最值都给大家进行强调。到了大家把呃所讲到的每个题呢，好好整理和消化一下。然后体会出他的做题的方法，把他做题方法能够举一反三，能够以点带面，然后应用到其他题目里，这样大家就达到了提高的要求，各位同学，

大家要加油。

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