062.专项十四-练习-3

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:49:56

好，那接下来咱们看这个题等差数列a呢？公差d是小于零的。这是负的，且a1的平方=a 11的平方，那么SN前小取得最大值，那么项数n应该是等于几？好，那接下来咱们看一下d是小于0d小于零，那就推出就是什么推出a1肯定要大于a11。对不对？所以在这里面d小于零，它这个等差数列是单调递减，越放后越小，所以a1要大要大，

由于a1的平方又等于11平方。说明一肯定是正的，11肯定是负的，所以就可以推出一和11是互为相反数的。a是正的a11是负的啊，得到这个值，但是然后把这个移项移过来，移项移过去可以得到a 1+a 11正好等于0a一+a 11正好等于两倍的a6。它正好v零人，又推出a6是v0的。好a6是为零，那说明s5和s6是相等的，都为最大。都是最大值是吧？所以这一呢，

应该选择c答案就求解出来了，好，这是它做题方法啊，这道题也给了a和公差，然后把这个。化简化简，得到a6是等于零，那a6是等于零，那接下来我们就可以。算出它的这个数值，那s6和s5啊，这两个是相等都取最大值。啊，那么取最小值原因是什么原因？为a6它是等于零，

也就说这道题a1a2到a5它都是正数。a6是等于零的，然后a7a八点点点，后面都是负的，后面都是负的，所以在这里面那么前。求和的时候，前面求和的时候s5求和是最大的，因为a6=0s5和s6是相等的，它都是最大值。啊，这样它的数列的符号你就可以判断出来。好，那接下来咱们看这个题，以an为等差数列。

11比上十小于负一，且它的前项和有最大值，这个前项有最大值，就意味着它的抛物线开口应该向下，现在就隐含着这个d呢，是小于零的。这是它一个隐含条件啊，你看，虽然这道题还没写，但隐含条件d是小于零啊，所以说在这里面d是小于零。递交呢，就说明什么，说明a10肯定要大于a11。啊，

所以肯定是这样的一个情况，因为d2消幺0d二消幺零，也就说它这个数值啊，往后是递减的越来越小。那越小，所以说在这里面a10大于a11，由于a11比上a10是一个负的，小于负一肯定是负的。负的话，那就可以证明出a10肯定是正数啊，所以由。a11比上a10小于负一，我们可以得到这个a10又比它大，所以肯定是一正一负啊，不可能说两个都为负的。

不能量，因为两个都为负的，这个比值是正数，它不可能小于一个负一，这个就说明这个a10呢，肯定是正数。a11肯定是负的好，既然这个分母是正的，可以把a10呢给它。给他这个。乘过来乘过来，所以说由它可以得到。a11小于负的a10，然后把它移项，可以得到a 10+a 11是小于零的，

可以得到这个值。但是大家知道a 10+a 11。啊，那么这个小小于零小于零，那么在这里面大家呢，就可以看出它的变号的位置啊。啊，变换位置，因为它前面都为正嘛啊，前面都为正好那么11+10呃十+11。我们可以把它变成一个什么虚拟，一个点五。虚拟个点，我虚拟个点，我就相当于什么意思呢？

就相当于是。啊，相当于是十十+11就相当于是两个a十点五。小于零，也就是说a十点五是小于零的。啊a十点五是小于0a十点五是小于零，那说明什么问题呢？说明什么？什么情况？说明它这个是。递减的十是正的十，之后它都是负的是吧？都是负的，所以说这道这道题我们就可以得到这个数列的变号的情况，就是相当于是。

a1。a2到a10，它都是正数。都都正的是吧，然后11开始12别这样，它都是小于零的，前面都是正的，后面这块都是负的。前面那都是正数啊，后面都是负的，所以在这里面他问SN要取得最小值，最小正值时。那么的值到底是多少？它这里其实让让我们应该求和是吧？求和求和的话，

那么它要取得最小正值最小正的话，那么通过这个十是正的。这道题啊，没有问SN的最值啊，如果问SN最值的话，应该s10是是最大的。啊s最大这道题呢，没问SN最值没问SN最值，那接下来我们看SN它为正的时候应该什么情况？为证的时候，大家看，如果因为大家知道a10为正a10为正的话，大家知道s19。这样等于19倍的a10，是不是诶诶19可以写成19倍的a10，

19倍的a10肯定是是正的。正的那s二十呢啊s二十s二十啊，应该写成什么二分之a一加a二十？乘以个20，大家知道a+a 20正好等于a10，加上a11。是吧，它这个是变成负的了，所以它要啊，为取得最小的正值的时候，那么n的值。就可以求解出来有19这个答案就写出来，这个答案应该选择c选项。选择c也就在这里面，它是正数，

因为s20之后就是负的了。啊负的啊，这是它的这个特征是吧？然后大家会进行分析，所以通过这a 10+a 11啊，这样的数数值。你可以通过十点儿五来进行判断，也可以呢，通过啊，这个加20=10+11来判断都是可以的。啊，这都是没问题的，然后判断出来啊，它的数值正负情况，然后再选答案。

好，接下来咱们看这个题。好那么长，为2a的木棍AB斜靠在地面垂直的这个墙上啊，这个就是。墙上好那地面呢，就是om就是地面这个on就是一个墙，这木棍的中点为p。啊，目光的终点，这个p点是是终点。好若木棍a是沿着墙往下滑b呢？是沿着这个向右滑向右滑。然后在木棍的滑动过程中p到。o点的距离到底多少？

大家知道，对任意直角三角形啊，对直角三角形。好，那这个OP正好是中线是吧？就是斜边上中线。始终等于斜边的一半。好斜边中线始终就等于斜边的一半。啊，斜边中线，它正好是斜边的一半儿啊，这个写好了好吧，就斜边的中线正好等于斜边的一半儿。好，那这是他的这个内容好，

那这道题这道题大家知道OP始终就等于AB的一半。是吧a比一半，所以它是不变的，这个答案选e它不发生变化。然后在滑动过程中，那么三角形aob的面积最大值是多少？这是面积最大值第二问。第二，大家知道它在滑动过程中可以产生无数多个直角三角形，这个直角三角形斜边它都是固定的。是吧，斜边固定斜边固定的话，大家可以证明出那么当三角形为。等腰直角三角形的时候，面积最大啊，

所以叫等腰直角三角形。这个面积是最大的，大家知道等腰直角三角形面积最值就等于四分之斜边的平方。就四分之二a的平方正正好等于a方这个选择b啊等腰直角三角形，它面积的公式就等于四分之斜边的平方，用这个来计算就可以了啊。用这个来求解。好，接下来咱们简单的说一下，直角三角形面积的最值的几个结论说一下啊，说一下第一个啊，第一个结论就是。斜边。为常数。十斜边为承数时，

那为什么它是等腰直角三角形？它的面积是最大的啊。好，假如这是a，这是b，大家知道斜边为常数，就说明a方加b方是等于一个常数的，对吧？大家知道a方加b方大于等于2 AB。是吧a方加b方是大于等于2 AB的，那也说这个c方它是一个常数嘛，咱们a方加b方大于等于2 AB。那这样就可以推出两边同除一个四，同时为四就是AB二分之一AB。小于等于四分之c方，

那就是面积是吧？就面积这样就写好了好吧，写好这斜边为常数，这大家要知道。第二个，如果。它的这个直角边之和为常数啊，两直角边之和为常数。直角边之和。就a+b，它要为常数。好为常数，时为常数，它也是等腰，直角，

三角形的时候，它面最大啊，有两直角边之和为常数。之和为常数啊，那说明a+b。应该大于等于二倍的根号AB是不是？然后这样话除以二就得到AB。小于等于。这个二分之a加b括号的平方是不是得到这个值对不对？但是然后呢，两边再除以二除以二就可以得到面积。二分之AB小于等于八分之a加b括号的平方是吧？它也是啊，那么等腰直角三角形时候。面面积最大啊，

因为它去等号条件是a和b相等a和b相等，正好都是等腰直角三角形好，这两个结论给大家进行概括，总结一下大家看。是不是明白了？好，接下来咱们看这个题边长为16的一个正方形草坪安装喷水龙头，使得整个草坪都要喷到水。只要每个喷水灯，它的喷洒范围都是半径为六的圆，半径为六，说明直径就为12啊，按照最少的个数是多少？好，大家知道它是一个正方形。

这是一个正方形。好正方形的话它。他的直径为12，直径为12的话，那他得装。装四个是吧啊，然后装四个装三个呃，不太行，装三个装三个啊，这个不太行，装三个看这再一个这边一个，它总是有一点。它覆盖不到是吧？四个四个话，它可以多知道吧？

四个话，它也它也可以多把这个呢？就全给覆盖上了。那这四个这个全给覆盖上好吧，所以它至少要装四个。啊，这样就可以判断出来好，这是它的方法啊，这个大概看看它直径为12。啊，我们可以看到它最少最少要装四个才可以，要不然的话三个的话它不够啊，差一点点。好，那我们来看这个题p点，

在这个直线上先满足这个好，那么这个直线大家很好画啊是吧？所以大家画个图。它求p到坐标原点距离的取值范围好，到原点距离取值范围，它p点到原点距离取值范围可以求根号x方加y方。角p点坐标是xy。它到原点距离就是根号下x方加y方得到原点距离。啊，如果要没有根号，没有根号，如果要直接求x方加y方，它的几何意义是代表是这个点到原点距离的平方好吧，这个点到原点距离平方，接下来咱们画一下图。

好，那这个直线是过原点一条直线，它斜率是负的三分之四啊，负的三分之四这样一条线。啊，这是4 s+3 y=0。然后这个这个代表什么呀？代表是两条平行线啊，两条平行线在x-y，它是在x-y=7和x-y=- 14之间的。两条平行线x-y=7就相当于是斜率，斜率为一的一条线是吧？斜率为一的。解为一的话，就相当于s=0的时候y=1个负七啊，

这样的当y为零时候s=7，所以就这样一条线。啊，这是七。这是负七，然后另外当I=0的时候y=14 y为零的时候s=- 14。啊，这是。14这是负的14。好，那这样的线是吧？所以它的这个p点呢？要满足这个直线，还要满足在这两平行直线之间的区域啊，就这两条线平平行直线。

之间的区域，所以说p点只能在这个红色这一段来进行运动。红色这一段来运动好，他要问这个p点到坐标原点，距离最小最小化，那显然显然就是在零这块儿啊，刚好。啊，距离就为零，然后最大最大显然是这个值这个值这个值的话，我们呢就解它交点就4x。加3 y=0跟x，减y等于负的14，我们找一下它的交点就可以了。啊，

找一下焦点。然后交点那就可以得到那么一个值，那这个你可以让第二方通乘以三三x- 3 y=- 42。然后两个相加两两个相加就得到7 s=- 42 s=- 6。啊y又等于个八是吧啊，所以这个焦点就s=- 6 y=8，所以它最大值。这根号下六方加八方六六八十嘛，所以直接就写的就是十，所以它应该是零到十，这个答案应该选择b选项，答案就求解出来。好，这是它的做题方法和思路，但如果这道题改的稍微难点啊，

如果啊，这个线它没有经过原点。是吧，这个线没有经过原点，比如说要把这个题改成4 x+3 y等于一四x+3 y=1，那么它呢？是这样一条线。这条线的话，那么要看原点到它最近的要利用点到之间的距离关系啊，来求解就行了好吧，所以这个题刚好是经过坐标原点。就作为圆点，它最小值它就是零了。最小就为零。最小就为零好，

这样写出来了，这个答案选b啊，这是它的做题方法。好，接下来咱们看一些文字应用题，一些最值文字应用题，当然这里面还涉及到几何问题啊？这一个是用了一个几何，而且求最值。它某村计划建造一个室内面积为800平米的一个巨型蔬菜温室。好，这样的一个句型。啊，蔬菜温室在温室内沿左右两侧与后侧内墙各保持一米宽的通道。前侧内墙保持三米宽的空地啊，

就相当于是它这个。啊，这个里面呢？它它因为边上要留着走走走人嘛，所以这个。他这个保三米。这都是一米。还有这样的一个情况是吧？这是一米。好，前面的商品就是找讲的就是钱。啊前好前侧呢，这个离墙这个是三米。三米，然后这边这边呢，

这个都是一米。距离墙都都是一米。啊，都是一米，然后通过优化这个矩形温室边上使种植面积，这里面是种植面积。中间这这这种菜。然后外面这一圈儿又留着人走路啊，所以说要是种植面积大，那则最大种植面积到底是多少？啊，最大的种植面积，求它这个种植面积到底是多少？好，那接下来咱们来看一下它的这个表达式好，

我们呢一个是可以设这个种植面积啊，一个边长为a，一个边长为b。是吧，好一个边长为加这个边长是a。啊，这个编程是a这个编程是b。是吧，变成b，所以它相当于求a×b的最值。a乘上b的最值好，那么这块儿是a这块儿是b，那接下来大家知道那么这个矩形这个矩形这段儿的长这段儿长就是a+4。是吧，因为这段长度是一这段长度三，

所以这个边上就a+4了。然后咱们再看这个边上，这个边上有b+2。是吧，这个边上就是b尖。那这边呢？是b加。这就可以得到a+4乘以个b+2。这样等于八百八百，它满足这个式子a+4×b+2，它等于800=800，然后在这里面，然后让求什么求。a×b的最大值。好，

这种方法，这种设备，这种方法，大家可以发现，您看就不好解了啊，不好解，因为它这个表表达式这个乘开。这个稍微复杂点儿是吧？所以这是哎一种设备的方法，但这种设备的方法呢？可能解起来要稍微麻烦一点儿。所以接下来考试时候，大家同一个题。设备数不一样，它的做题的这个复杂程度是不一样，

所以接下来我们就可以反过来设。好反反过来设，反过来设还是跟上面一样。所以有时候呢，你写一两步，你先观察一下，比如说有同学不知道怎么设，会说咱观察一下，观察里面呢，还是这样的一个一一个。这样的一个。曲线。对吧行，然后这个呢？还是三？

这都是一。这个也都为一好，那接下来我们看设外面是a和b看行不行？外面是a和b。好，外面是a和b，我们看里面里面那这一块这块就是a- 4了是吧？这块就变成a- 4了。然后这块就b- 2啊b- 2，所以这样就这样a×b=800 a×b=8，要求什么求s。啊求，这个ss等于什么？s=a- 4乘以个b- 2，它的最大值。

啊求，这个最大值是吧？所以这是它的第二个方法，第二个方法我们看这个乘写是不是要简单点是吧？因为a×b等于等于800，这个要简洁点。然后我们设最外面的就是a。这个边长是b这个矩形，然后根据它的面积等于800，然后再算里面这个种植的面积，这个面一个边长是a减四一个边长b- 2。好，那我们就可以把这个a- 4×b- 2给它乘开，就这个算完就AB。AB，

然后这个正好是减2a，这个减4b，然后再加上一个八是不是这样的？然后这AB等于八百八百的话，那这个就是808了。然后减去二倍的a+2 b这样的一个数值好，那接下来大家知道a+2 b。我们就可以用矩阵定理了是吧？a+2 b应该大于等于二倍的根号下两个相乘。是吧啊，然然后两个相乘，然后在这里面，我们可以把这个数值带到里面去。二×800而二十八百一千六一千六开出来四十四十，这就变成80了是吧？

所以二×40变成80。所以a+2 b大于等于80大于等于80，它这个数就小于等于因为它前面是减号嘛，减号现在就小于等于。八百零八二×1个，这个80，因为它前面还有个二倍是吧？前面还有二倍。所以就相当于减一个160就行了啊，减160-160，那这个好好算了。是吧，所以这这个就648啊，这样就写它答案了，这个答案就选择c选项答案就求解出来了。

好，这道题大家呢？要知道怎么设备数要简单，考试时候比如说一开始呃呃，第一个思路设备数发现不好解不好解，赶紧换好吧，考试时候比如说你不知道怎么做啊，赶赶紧换一个换一个，然后这样啊。就是找一个最简单的设备制作方法，求出答案就可以了。好，接下来我们看这个题，建一个面积为360平米的矩形场地，由于矩形的一边利用旧墙。

好，假如这是一面旧旧墙。然而，其他三面都要新建。其他三面啊，这个不一样，都要新建在就像对面，这就像对面的新墙，要留一个宽度为两米的进出口。那一个两米的，这这一个口。然后已知旧墙的维修费用是45。元每米啊，这是实际上造价是180元每米。啊甲利用旧钱的长度为x。

啊，就像只要这就像长度是x。然后通过优化x要使整个那么面积要最小啊最小，那我问最小费用到底多少？大家知道它总共面是360对吧？总面360，大家知道面积就等于长乘以宽，如果这块儿是x，那这块儿长度这块儿长度，那就是多少呢？就是360。除以x对吧？所以这块长度就360，除以x这样就写好了。行，

那接下来我们看总的费用。怎么会用YY的话，那就相当于这个是s×45。就是长度乘以它的单价。然后这块这块这边。啊，这边长度是多少呢？这边长度就是x360，还要乘以二，因为它这两个边。是一样的。是吧，所以说x分之三百六，然后再乘以二。还有这个边，

这个边也要新建，这个边要减去个二，你看这个总边长是x怎么样s要减成一个二？减x- 2，然后再乘以它的单价是180，这样写好了单价180好，这个写出来了。是吧，然后接下来我们把这个数呢啊往里带。好，这个180 x+45就二二五x加上这个x分之。720。啊s分之这个720。700，然后再乘180。

啊乘180，然后减去二×180好这样的，所以做到这我们呢就可以用咱们学过的。金属定理啊，来分析是吧？这一块用咱们金属定理来进行求解就行了，金属定理它大于等于。这个大于等于二倍的根号下，这两个相乘二二五×720，再乘以180，然后减二×180。当然，这个数会比较大，数比较大，大家要会计计算是吧，

然后呢，把这个数呢，逐个往外开就行了。引导到这个，这个七二零七二零七二零我们呢？就可以把它。啊，这样算啊，这样算就等于二倍的根号下啊，这二二五啊二二五就是15的平方是吧？所以这个这个二二五。15的平方。然后七二零可以写成四乘以个180。720嘛，现在四×180-2×180好，

这个计算这个就好算了，对吧？大家看着大家知道15。直接开出来，四开出来就是二，然后再180，然后再减二×180，然后这样啊，就计计算要简单一点儿。然后这个呢，就相当于是60×180减掉二×180。60-2得到五十八五十八。乘一百八五八×180，这时候大家看它的十位，十位就是四是吧？

十位就是四，所以58。乘乘乘180，或者说你直接用60×180也行，六六六十×180-2×180。这样也可以是吧？你可以好，大家知道这个呢，正好是幺零。八零零减去一个三百六啊，这样也可以是吧？这样也可以这样，正好是这个。啊七减它四啊四，所以这样的话，

我们就可以求出它的这个数值答案就写出来，这个答案应该选择的是a选项。是吧，幺零四零零。啊啊，就幺零四四零。啊幺零四四零好，这样就写好了好，这是它的计算计算，大家要知道怎么算啊？正确答案选择a好，这是它的求解方法啊。是这样的，首先要把图和题意弄清楚，然后再算它的费用，

费用拿长度乘以单价算为总费用，每面墙的总费用总费用，然后算出来，然后再用均衡定理来进行求解，就可以得到答案了。好看，各位同学是不是听懂了？好，接下来这道题是考察表示最值一个动点。在某图形运动求表示最值，这是求y比s最值y比s最值的话，我们就列。y BS=k。这样就变成y=kx，那这个圆跟这条直线一定要有交点，

有交点就圆心到直线，距离圆心我们可以写出来。原因是三根号三到这个直线距离到kx-y=0，它的距离d。现在根号下a方加b方是吧？a方加b方，然后把三和根号三带到里面去，三减根号三。垂直。啊，要小于等于半径r。半径r是等于根号六是吧？根号六这样就写出来了，然后这样。就可以算出答案来好吧，

当然这个k解的会有两个值是吧？有两个值有两个值，咱们要找最大的就可以了。所以这是它的做题方法，然后接下来在解的时候一定要会解呃下有根号上有绝对值，它的表达式，然后平方就行了啊平方。平方把分母乘过来算平方，算平方就变成九方，减去一个六倍根号三，然后再加三。小于等于六倍的k方再加六。是吧，得到这个值啊，所以把这个乘过来，

然后进行平方进行平方以后，那接下来我们呢就可以看出它的数值。然后这个把这个k方6k方给它移过来，移过来就变成3k方减六倍根号3k，然后减三它小于。等于零就行了。它呢，也可以同时除以个三，同时除以个三，又变成k方减二倍，根号3 k- 1。它小于等于零是吧？是这样的一个结果。好，这样就写好了。

好，这是它的这个处理方法啊，都除以个三，所以这样，然后这个十相对，要不会分的话，大家用求公式做一下，求公式先求德尔塔。多少好多少就等于b方减CC。是吧b方b方b方就是12-4ac+4，这样等于16，所以说它的。跟跟一个是2a分之负b。加上根号德尔塔根号德尔塔是四，还有一个2a分之负b。

减根号，德尔塔。所以这个k求出来就根号三+2。这边是根号三减二，他要求最大是吧？这边是最大的。好，这边是最小的，所以这样我们就可以求它最大值和最小值，求它最大值是根号三+2是吧？是吧，最大值是根号三+2好，那这样就写着这个呢，应该选择b选项。好，

如果这里要求最小值，最小值就根号三减二，这样写出来答案了，好，这是它做题方法，看是不懂了。好，下面咱们看这个题。啊，这个题是求这个最值问题啊，然后在这里面大家呢，要会分析和思考。啊，当然考试时候像有的方程确实是难解一点儿，然后这时候呢，

大家呢，不过还好，都是一次方程啊，一次方程一次方程在解的时候呢，就是呃。你就是想想方法吧，就数稍微大一点儿啊，就一次方程，在解的时候呢，大家呢，就是不像二次方程那么复杂吧，虽然数大一点儿。但是解的时候细心点，去求解就行了。好，

那接下来咱们看这个题，在直角坐标系中一次函数y=kx+b的图像与x轴y轴的正半轴分别交于AB点。要使得三角形ABC的面积的值等于。oa+ob+3则三角形oab的面积最小值是多少？这道题。是运算量比较大的，对大家来说是一个运算的考验。而且里面的变形的。啊过程，这也是比较复杂的，所以说这道题呢，因为咱们考试呢，个别难题，它会考察大家的运算能力啊，测试一下运算压力，

看能不能承受。啊，这个运算压力，所以这道题大家呢，要注意它的这个方法好吧，掌握它的方法来进行分析。然后接下来咱们呢，就看这道题，当然可以给大家讲两个方法，第二方法稍微简单点，但简单同时运算量也是比较大的。呃，这个题大家呃，两方法区别是什么？就是这个直线方程，

一个是用一般式来表示，一个是用什么？啊，用这个。截距式来表示，为什么想到截距式来表示？因为它这都是截距好，我们来看一下图。看一下图啊，它的依次上的ux轴y轴的正半轴。正版轴分别交AB点啊，与它正版轴分别交AB点的话，那接下来我们呢就可以看出它这样的。好，这是正半轴。

交于AB点与x轴正反轴交于a点。以y轴正反轴交于BB点。再交a点，再交为b点。啊，交于a点b点这两个点，大家可以看这斜的k1定也是负的。对吧，因为它的交第一象限的这这些点嘛，所以它这个肯定要是呃斜率是负的。然后使三角形o ABO呢，是坐标原点oab。然后正好等于这个值好，那么第一个方法就稍微麻烦点，给大家写写第一个方法呢，

就相当于是先把a点和b点找到，大家知道直线与x轴的交点令y=0就行了。y连接负的k分之b。让x呃让y为零把x给它解出来，解就负的k分之b，然后这个b点的话就让x为零x为零，得到y的值是b。啊b也就说b要大一点啊，这个b要大一点，所以这是一个隐含条件啊，因为它在y轴的正半轴有交点。好，要设这个三角形的面积，我们看三角形面积怎么求解三角面积？s又等于二分之一这个底乘以高。

底乘以高啊。底乘以高，底乘以高的话，那这个就是呃负的k分之b方了。啊，这是二分之一底乘以高这三个面值，面值正好等于一个呃oa的，这个截距的长度截距长度就负的k分之b。然后加上这个b的这个。数值，然后再加三啊，再加三这个写好了好，这是它的这个表达式，然后接下来我们呢？要求这个三角形面积求三角面，

反正这里面得有一个参数，把它表示出来，表示到底把k表示出来还是b表示出来，我们观察一下，大家发现这里面有b有。必有平方。b平方要把b给解出来，那不好解，因为它是个二次的，但k大家发现是个一次的，所以我们解这个k吧解k，所以把右边这一项给它移到左边来。啊，右边这一项给它移到左边来。右边这一项给它移过来。

移过来以后就变成这样一个情况，变成一个。看下k分之b减去个二k分之b方等于个b加三。是吧，把这个负的k分之b给它移到左边，变成正的k分之b，然后减去这个二分之一，这个分母的二乘到这个分母上就二k分之b方。然后在这里面，我们把这个这个通分吧，通分通分都变成二k算了，二二k算了，这就变成二k分之二b减b方。这运算是比较复杂了，然后接下来这个k我就可以解出来了，

对吧k？q=2倍的b+3上面是2 b-b^2。好，这个k呢就可以写出来k呢就就求解出来了k的值。好k值解出来以后解到这以后那接下来我们看它应该怎么去处理？好，接下来我们要求面积对吧？它要求这个面积值好，那我们看一下它的面积值。看一下面积，三角形的面积。面积大家知道，剩下面积应该怎么算呀？s是不是等于二分之一底乘以高啊啊？二分之一底乘以高？

这负的。k分之b方是吧？好了，把这个k带过来就行了。可以可以可以带过来，大家注意这个负号，我把它交换一下，把b方写成b方减2b好吧，把它作为作为交换吧。交换，然后这个这个就变成了这个b方减2b。对吧，上面这个有个二倍的，就上面就是b方乘以个二倍的b+3啊，就这样的。

所以在这就把这个k给它带到这个分母上来，表示分母上接下来约一约，应该说这个二分之一，这个二我们可以把它给约掉。啊约掉，然后那个b上下可以约掉一个b上下约掉一个，所以说is就可以写成分母就剩b- 2了。分子就剩一个b乘，一个b+3就相当于b方加3b。好得到这个值啊，得到b方。加3b。然后接下来往下怎么去处理呢？往下看，大家就想不到了，

往下都要把它变成一个b- 2就OK了，都把它变成一个b- 2都把它变成b- 2就好办了。这接下来我们又得拼凑啊，变成一个b- 2^2。然后再多退少补呗b- 2平方，这个是减4b，再加3b要要变成个7b，这7b七倍的b- 2。就再看常数呗，然后这个是加四，这减14就给它加个十就行了是吧？加个十就OK了。好，那做到这我们就可以得到它的这个数值了，就等于一个b- 2给它除下来。

不要了，加上七七我放放到后头。好，这一块儿大家用矩阵定理就可以了，这块儿用矩阵定理，因为它面积肯定是正数啊b肯定是这个这个这是正数啊b- 2肯定为正数啊。是吧，肯定为正数正数，然后这个用矩阵定理把b加上看成一个整体，那么前两项大家用矩阵定理做就可以了，用定理就是要大于等于。七+2倍的根号十，然后这样得到它的答案啊，七+2倍根号十。所以答案我们就找找七+2倍根号四正确答案，

就选择a选项。好，这是它的考试点，看懂了没有？这个呢？你选择a它的知识点，看明白没有啊？它的考试内容。所以这道题那就比较难是吧？你看运算也很复杂。然后拆分列项，所以这个第一步先把这个直线跟坐标轴交点，找到交点，找到以后，然后接下来我们呢写作面积根据已知条件得到这个等式。

然后呢？把k用b表示出来qb表示出来以后，然后接下来我们写成面积关键点做到这时候一个分式如何来求它的最值，一定要把它拆分。啊，拆分拆分以后，然后呢？这个怎么得到就得拼凑啊，都拼凑成b-2平方项啊，什么一次项都变成b-2，然后都得少补，然后写出这个结果，有几个得到答案就行了。好吧，这是它的方法思路。

那接下来另外一种方，另外一种方法其实简单一点点，但是呢，也没有简单太多啊，就相当于把这个直线弄成截距式，因为刚才麻烦点就在于它斜率啊，它里面有好多。好多这种。倒数是吧？所以说我们把它变成截距式，这是a这是b。啊，这个直线把它弄成截距式。就a分之s加上b分之y为一，这种急矩式把直线呢，

把它学过的急矩式弄了。什么时候用节约式呢？就当它啊，与这个节约相关的考题的时候，我们用节约式来做就行了是吧？这个用节约式来进行分析和思考。好，那接下来咱们来看它，根据已知条件，已知条件还是这个三角形，这个面积是吧？这个三角形面积。啊，那么等于这个，所以这个是a点。

这是b点，这是o点好，那赛文面积赛文面积就等于二分之一a乘以b。就等于a+b再加三。是吧，然后这里面你把a用b表示或者b用a表示都无所谓，好吧，这个都没没事儿，然后两边同乘以二你把b用a表示也行，两边同乘以二。通知二以后就变成AB。减2b等于。2 a+6是吧？两边通乘以二嘛？两边同乘以二目的，

为了把这个二分之一给它写过来就，然后接下来我就可以把这b就会写在b就等于。a减二分之二倍的a加三。是吧，这个提出个二啊a减二分之二倍a加三，得到这个值啊b的值写出来了，写完了，接下来算它面积面积s等于二分之一AB。9点2分之一。乘以个这个a减二分之二a乘以个a加三。啊，因为这个a我就写在这儿啊a乘以b把b呢，用这个分来代这个二跟二分之一约掉又变成。a减二分之a方加三a。好做到这儿，

做到这儿以后呢，仍然要把它变成a- 2变成a- 2变成a- 2变法一样，就是a- 2分之把这a方写成a- 2^2。对吧a+2平方。然后加上七倍的a- 2，然后再添上一个十就行了。填上一个十，然后这样的话，它仍然可以得到a- 2括号，加上十÷a- 2再加七。然后做到这儿前面这一块儿，仍然用基中定理。啊，仍然用均衡定理确定，然后接下来就大于等于七+2倍的根号十啊，

它是一样的是吧？大于等于七+2倍根号十得到结果呢？它是一样的。好，这样就写好好吧，这是它的做题的方法思路，看是否明白了啊，它的考试内容。在这里呢，都选择a选项好这个题呢，就稍微难一点，大家在做的时候呢，要掌握好它的处理角度，处理方法，这样就。

可以把它求解出来。好，那接下来咱们来思考这个题。大家一起想一想，假设圆c的方程为x- 2^2，加上y- 3^2等于25，那通过这个所给的圆马上就可以确认它的。圆心是在二三这个点是吧？大家首先呢，要看它的圆心，圆心呢是二三这个点，然后半径呢，正好是五。啊，半径呢啊，

就可以看到半径，它的值正好就等于五。好直线l的方程呢？是这个方程。m呢，是属于r，它里面含有一个MM属于r则圆，被直线所截的线长最短到底多少啊？求这个最短值。最小值到底是等于多少？好，那这道题那么大家呢？关键点这个直线我们怎么分析？另外还要用到弦长公式是吧？所以弦长公式大家要会分析。

所以这道题涉及到知识点，咱们先给大家进行分析一下，分析完我们一起来做这个题好吧，大家一起来加油思考，看谁会做这个题。加圆c的方程是x- 2^2，加上y- 3^2等于25，我们就可以得到它。圆心是二三这个点啊，圆心的坐标值是二和三这个点。它半径r呢，正好等于五。发现r=5。好，这个圆不是很难是吧？

所以大家遇到一个数学题啊，把每句话要认真的理解，然后进行翻译好吧，所以第一个条件大家知道啊，圆心知道了，半径知道。对不对？然后接下来我们再来看一下这个l的方程是这道题的一个难点和突破口。把这个方程弄清楚了，我们才能够求它的这个弦长问题。大家记住，以后含有参数的直线方程，它都是一个直线系，为什么直线系呢？它是一个直线系列，

就像咱们太阳系，银河系一样，它是一个系列。知道吧，为什么是一个系列，比如m取一，它是一条线m取二，它又是一条线m取三，又一条线，所以它是无数多条线的一个直线系，懂了吧？所以在这里面，大家以后记住啊，考试也经常考，知道吧，

含参数的直线方程。啊，它叫直线方，它是表示这个直线系。表示什么样直线系呢？中间这个定语很重要啊，表示横过定点的直线系。好表示，横过定点的一个直线系。好，为什么是横国定点呢？比如说首先要知道第一个问题，要知道直线系啊，直线系它有很多构成的一个系列。比如说咱们在学校里面有各种系，

是不是？然后呢？就是这种，它就组成了一个系列，是不是啊？所以在这里面大家呢，就可以看出。它比如说MM取一，你可以看它一条线m取二，这条线m取负的包括m取零呀m取很多实数是不是在这里面，大家可以看它m有很多种实实数。实数好，那这些呢？那都是啊m属于任何实数，它这都是直线对吧？

表示无数的这条线。只不过，无数多条线都是横过定点好，所以说在这里面要知道考试横过定点的线，它应该怎么去分析和思考好吧，大家呢？啊，要明白好，那接下来大家都想想这个题。怎么样？第一步啊，怎么样？求这个横过定点，要把这横过定点给找到是吧？这第一步。

第一步，找到以后，然后再找第二步，再求弦长，所以说把一个题啊，根据它的这个给的条件，我们分成。几个步骤来去求解，所以做题的框架一定要明显明确下来，明确下来就好做了。好，大家都可以思考一下。好第一步，大家如何求这个定点，看谁会把这个定点给它求解出来。

啊，都思考完没有第一步要求这个定点。好，那么求定点。它呢，有两种方法啊，两种方法，那么第一种方法就是特值法。第一种方法，特值法。特值法。可能啊，好想一点特值法。特值法，比如说m取零是一条线或者m取一又是一条线是吧？

所以这叫特值法。然后就可以找它去焦点好吧，所以在这里面我们来一起来写特值法。是吧，大家可能容易想到m=0，m=0的话就变成2x。加y- 13=0是吧？所以m=0的时候。接下来你可以让m=1的时候m=1。好m=1的时候带到里面去就变成5x。减去y。是吧，把m=1带到里面去。然后这块儿m=1的时候就减13，减九就减22，

它等于零。是吧，所以这样就写出来了。当然，你m还可以取其他值啊，取其他值啊，因为它表示无数多条线，无数多条线啊，也就是说它给大家画一个示意图，就是它表示无数多多条线。无多条线，那这个定点的话，你只要找到其中两条线的交点就可以了，其他线它一定也也经过这个点。懂了吧好，

有没有同学快速把这个解出来，大家想想这个解的结果到底是多少？看会不会分析解的结果。解的指导力是等于几？啊，这个很好解，两个相加就行了，2200不是不是7 x- 1个35吗？那x就等于五是不是是不是x就等于五啊？方程都会解吧，所以说大家注意。几几何这一块儿都要用代数知识，你看方程呀，包括联立啊，求这个方组的解啊，

这个大家都会思考啊，五然后呢y就等于三。是吧，我也就等于三啊，有同学已经做完了是吧？五三这个点好，这是一个内容，看大家能不能跟上？另外，求横过定点还一个方法，还一个方法呢，就相当于是。把这重新整整理法，另外一个方法。列方列方法就相当于是啊，

把这含m的重新整理含m的就相当于是3 x- 2 y- 9。加上不含m的，不含m的话就是2 x+y- 13。等等于零是不是？然后就把含m的放在一起和不含m的放在一起。啊，得到这样一个值。对吧，得到这个，因为它对m属于任何实物都得成立，都得成立的话就可以得到这些括号为零，这个括号也为零。啊，就可以退出。好，

那这个括号为零。3 x- 2 y- 9，它等于零。2 x+y- 13。等于零是吧？得到这个值。好，为什么让这个括号为零？这个括号也为零啊，因为它对任意的m都成立，任意m都成立，只能是m×0+0它才横为零。知道吧m×0+0，它对任意的m都都成立，比如说m取一百一千一万，

它这个横横成立。知道吧啊，如果还理解不了，我给你举一个反例，假设这个系数要不为零，系数不为零，比如说m×3+2=0，它这就不是对所有的m成立了，比如说m取100，它就不行了。m取200，它这个也不行。是吧m取300它也不行，它这个不能满足对任意的m都成，因为m属于任何实数，

它这个等式都得成立嘛。是不是m不管取什么值都得成立，所以这就是理解了为什么系数必须得为零，我们就用反证法假设系数要不为零的时候，它会得到什么样的矛盾情况？假设系数要不为零。那这个时候它不能够保证对任意的m都成立。懂了吧，所以这就是为什么它必须括号都为零的原因好，那这样话你也去解解，解完后跟上面一样解这个方程好吧？解方程组二。x=5，y=3，好看这个是不是明白了？

好一样的。好了，那么这是第一步，第一个环节，听懂没有？在咱们二零一九年最后一个考题里面啊，那就涉及到了含m含参数的一个直线方程。啊，之前考的也出现过好吧，所以大家呢，要注意这个特征，所以大家要拿到题要观察特征，只要以后在执业方式里面还有一个待定的参数。那么，这个特征都是表示什么样的几何意义呢？

表示横过定点的直线系，它是无数多条线构成的啊，这个直线系。然后求这个这个定点的关键方法有特值法，随便取特征，认为怎么简单就怎么取特质。另外一个呢？大家可以呢啊，重新整理，重新整理一下，系数为零，反正这两个方法啊，它的本质都是一样，都是要解这个方程组。是吧，

把这个方程组xy的方程组解出来，解出来就行了。好，那接下来大家可以看五三这个点，正好在这个圆内部，那怎么判断一个点在圆内呢？大家想想怎么判断一个点在圆内啊？你把这个点的坐标带到里面去，如果要小于25。说明这个点就在圆内部，知道吧？小于25。就在圆内部好，如果大于25就说明就在圆外部。知道吧，

所以大家可以把这个五三带到里面去。五三这个点正好在这个圆。内部。为什么在圆内不能看，把五带到里面就五减二的平方，五减二的平方就三的平方？加上加上y减三的平方YY减三的平方就三减三的平方。这样小于二二十五，所以在圆内部，如果要大于25，就在圆外，知道吧？如果等于25。那也是刚好在在圆周上好吧，看这个懂了没有？

对吧，接下来有没有同学做完我们呢？给大家画个图画的这个圆，大家会画吧，这个圆圆心正好坐标二三这个点嘛。啊，这个货币化原坐标正好是在23这个点。啊，谁做完了看看算算答案等于几啊，画一个坐标系。好圆心坐标，正好在x=2 y为三，大概就在这个位置是吧？然后它半径正好为五。半径为五的一个圆。

知道吧，知道它在半径嘛，正好就为五嘛，所以在这么大家就可以看出它的数值是吧，所以大概呢，就这样就画出来了。好，这个能看懂吧？就这是它圆好，这是它圆心坐标是二三这个点。然后这个直线横过点在哪呢？横过点正好是五三，这个点正好是五三，这个点啊，五三这个点也比较简单，

叫这是五三这个点。啊，这个是五啊五三这个点。然后呢，大家想如果过圆了一点，那么最短的弦应该什么情况啊？过圆了一点啊，过圆了一点应该最短的弦。谁知道是多少吧，怎么样过圆里面一点这个斜长最短应该什么情况？是不是垂直于？圆心。和这个点连线的这个弦是最短的，大家想想是不是这样的？啊，

这个弦是最短的，对不对？弦弦最短，这弦最短，大家要用勾股定理啊，勾股定理，然后大家知道这个是半径rr，正好等于个几啊。rr这样等于五是吧？r呃等于五，然后这个距离是多少？大家看这个距离值。啊，这个距离值。好，

那这个距离大家发现正好是从二到五，大家回答一下，你看是多少从二到五从二到五，它的距离长度是多少？想一想。啊，这个聚集长了，这聚集长了，是不是刚好就三？啊根号三好，大家想这这个斜边长是五，斜边长是五，那这个边长是三，那这个边长是几啊？大家背背勾股数，

谁背过勾股数啊？这个边长啊，这一段长度这长是不是正好就为四啊？是不是正好就为四？对不对？正好为四啊，这个四正好是形成了一半儿啊啊，这个四就形成一半儿，然后答案就给求解出来了是吧？整个最短行程就是八，知道吧？最短线呢，就是八这样就写出来了啊，因为这正好是弦长一半儿，所以最短的弦长就是。

八。好这个呢，应该选择d啊，看看是不是做对了，然后接下来我把后面这个概念还要再加强一下啊，有的同学可能不太明白。啊，再加强一下啊啊，再加强一个什么问题呢？我们再给大家进行说一说，就是过圆那一点最短的写。啊，那么因为刚才这个点是比较特殊啊，刚刚这个点正好是跟这个圆心在一条水平线上，知道吧，

它正好在一条水平线上，这个比较特殊，咱们画的一般一点，画的稍微斜一点。好吧，稍微斜斜一点，叫圆心是o点。然后这个点是p点过原点p点。好，也就说我们写写过源类。一点p它最短的弦。最短的弦就是垂直于。OP的弦。这条弦又垂直于OP的弦，知道吧？

就跟这条这个垂直的这样一条弦。啊，这个红色的是它最短的，知道吧？这个是最最短的。啊，最短的弦好，那这个弦长。好，为什么这个是最短的，你知道吧？为什么这个对那有同学说会不会画的其他的比较短，这个不会大家知道斜端公式，斜端公式应该是什么情况，知道吧，

假如这个是半径r。应该等于一个二倍的根号下r方减d方，这个d其实就是这个圆心到它的距离。知道吧，这个d就原因到它的距离，因为咱们这个题，它这两点这种水平的两点水平的话，它的这个两点距离就很好算了，两点距离直接用二跟五。它的这个长度就可以算出来，如果它这个两点要不是水不是水平得用咱们讲过两点具体公式做啊，两点具体公式，比如说这道题p点不是五三点。比如p点是五四这个点啊，假设p点这个横过点是五四这个点，

如果这个点要是五四五五四这个点的话，它会斜一点儿，会斜点儿，这时候呢？啊，这时候你得用两点距离公式做好吧，两点距离公式来进行分析和思考啊，把它求解出来就，然后这样就写出来了好吧。然后接下来咱们再来看，如果要最长的写，那么大家看看啊，最长的写啊，这样。所以有同学可能一开始就想到用圆心到直线的距离，

圆心到直线距离这里面还有参数，参数化运算量是比较大啊，不好做，对不对？你的方法呃，思路是没问题的，知道吧？思路说明就圆心到直线的。距离然后然后再求线上线上化，然后再讨论它的最值，这时候m呢就比较复杂是吧？比较复杂就不好解啊，不好解。啊，所以在这里大家要会转化好这个弦长就求解出来，

那么最长的弦大家知道这是最短的弦。那如果这里要改成最长写，你们会不会做啊？比如还过这个点过这点最长写应该怎么写？最最长写。语言里面最长弦应该是谁呀？这张弦就直径是吧？这张弦就直径啊？啊，比如说这道题正好过圆心的，这这个弦就最长弦最长弦就是十知道吧，最最长弦就是十。啊，如果问最长最长就圆的直径啊，就十好，

那这是大家要注意它的方法好，所以大家呢，要通过这道题要掌握两方面，以后呢啊，横过定点的这个特征。和求解恒温定律的方法，要知道另外一个呢，就是过圆的一点，那么求最短弦和最长弦这两个最值要会分析和思考。看大家是不是明白了，是不是听懂了啊？另外，这里还可以给大家进行演变一下，它要取最短弦的时候，那么m为几啊m等于几的时候能不能告诉我这个弦长最短，

大家一起来思考m是等于几的时候最短。你认为m等于几的时候对的m等于几，大家发现这条线正好是一个竖直线的时候。竖线竖线的时候，它这个在咱们这个题啊，它竖线的时候那么这个这个是OK的，谁求一下m上为几它这样竖线？啊，竖线的时候正好是这样的好，那谁求求m正好正好是多少m的值？到底为几？代表竖线的方程。竖线方程是s=1个常数。是吧，竖线方程就s等于一个常数就叫条竖线I等于常数就说明y的系数一定要为零y的系数为零就让一减二m等于零就行了。

那一减二m等等于零一减二m等于零，记住一减二m等于零，它是要竖线。如果让x系数为零，只剩y等于一个数y等于个数就是条水平线，知道吧？所以刚才有同学回答对了是吧？就m正好等于二分之一的时候，那这个是可以的。m等于二二分之一的时候，它取这个最短线啊，如果这个要问最长线，最长线的话，它这个正好正好是一个水平线。知道吧，

就是水平线，所以在这边呢，要注意水平线。是y=1个常数啊，就特殊的线都给大家写水平线的方式，有y等于个常数y等于常数让x系数为零就行了，x系数为零让3 m+2。3 m+2，它等等于零的时候，那这时候呢，我们算它一条水平线，知道吧，这样一条画出来是一条水平线。好了，这是给大家今天讲的特殊的线，

就竖线和水平线，大家要弄清楚好吧，看看这个学的还有没有印象？而且大家注意水平线，它斜率是为零，竖线的话，它斜率是无穷啊，斜率是不存在，知道吧？水平线，它的斜率。k是等于零的，然后呢？这个竖线斜率。k是等于无穷，

或者说你说斜率不存在也行，这两种说法都对啊，斜率是不存在也行，或者说斜率是无穷，这样都OK的。啊，这样都是没问题，都OK。好吧，这是它的这个方法思路，看是不是不懂了？

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