061.专项十四-练习-2-

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:49:44

好，接下来咱们来看这个题，这个题它要求最低售价，这道题利用不等式啊，利用不等式。来求它的最值。列不等式来求最值好，我们来看一下不等式怎么写的？某商店以每件21元的价格购入商品啊，购上每件都是21块钱。然后每件上面售价是a元啊，卖a元则每天能卖出350-10a件。商品，但物价局呢？限定商品出入价格时，

规定商品加价不得超过进价的20%。那计划每天。从该商品中至少要赚400元。好，那么他这个定价应该多少？那么要列两不等式，第一个不等式加价不得超过进价的百20%啊，这第一个。加价不得超过20%，说明它售价。售价不能超过，不能超过就小于等于21乘以个一加20%。是吧，它的它的加价不得超过20%，就利润率不能超过20%是吧？

所以咱们就可以按照这个来写啊，它是。它售价小等于进价乘以一加20%，那这第一个方程，然后第二个方程，他每天至少要赚赚的钱，应该怎么写呢？赚的钱就拿。销量再乘以一件商品赚的钱就是销量是350-10a就是它的销量好，卖出这么多件。然后每件赚的钱是a- 21，这每件赚的钱好，这是一件赚的钱，然后再乘它的销量就代表总的赚的钱。总体上至少要达到400元，

就大于等于400，大于等于400，好，那接下来解这个不等式就可以了，那第一个不等式，其实大家可以不用解，因为什么？因为它这个选项，这个选项的话，它没有这个小小数点，所以第一个呢，你想写就写，看它没啥关系，乘以一点二，因为它这个肯定是一个小数。

因为它这个选项没有小数，然后第二个第二个怎么去写第二个稍微复杂点儿，第二个先两边同约掉一个十约掉十的话就变成35-a。乘以个a- 21大于等于40，然后第二个方程稍微复杂点儿，把这个给它乘开啊，主要解第二个，第一个就不用管它了啊。主要解第二个乘开，乘开就变成35a减去。35×21好，然后再减去a方。加上21 a- 40要大于。等于零好，这样的情况，

然后这个21a。这个是呃。这个是21a。然后这是35a加在一起，应该是56a是吧？因为他这个都是负的，负的话我们再乘一个负号变成a方。减去个56a。然后这个变成加上了啊，加上加上啊，那么35乘以二二十一。再加上一个40。好，再加一个40好大于等于零好，那这样就写出来了，

然后接下来我们来看这块儿给它合并一下好，那大家知道35×20是得到700。对吧，35×20得到七百七百，然后再加35就是735，735。然后再加40就得775。啊775得到这个值，因为刚才咱们两边同乘一个负号了，同乘一个负号，这个大于号要变成小于号是吧？然后这样a的范围我们就可以求解出来。接下来，咱们十日相乘来进行因式分解，大家知道775它应该是25的倍数，

为什么25的倍数呢？因为它嗯，末尾有个75，75是25的倍数，末两位是25倍数，所以整个数能被25整除。所以在这里面，大家可以分解一下这个25，然后这边呢，就变成一个31。是吧，变成31，然后负负，然后这个大家知道小雨小雨就取中间就可以了好吧？小于就取，

中间就25到31好，那么第一个要想算的话，第一个就相当于是二十五点二啊，第一个第一个这个算出来就二十五点二。好，那要找它交集，知道吧？要找这两者的交集。找这两两者交集就行了，交集的话，最后得到这个x这个AA呢，应该在25到二十五点二。好，这样的一个取值范围。好，

这样取值范围，然后接下来最低定价，他问最低最低的话就是25块钱是吧a最小？最小就取25就可以了，所以这道题正确答案应该选择c选项好，这是它的做题方法思路。通过这道题，大家呢，就是根据它的条件列两不等式，列两不等式，第二不等式在解的时候，它要注意它的这个小窍门方法好吧，所以大家呢啊，在解的时候别给解错了。然后这时候我们呢啊，

十字相乘分解解它的范围，然后把两不等式找它交集，就最后a满足条件，在满条件里面找一个a最小。啊，最小到底是多少啊？这样就写好了，当然这道题也可以问a最大到底多少啊？AA最大a最大d的话就是二十五点二就不能太大了。太大就超过物价局的要求了，好，这是它的考试内容和方法，看是不是懂了？好，那接下来咱们来看一下下个题，

这里主要考察这个基准定理，然后来求最值。那考点。啊，均值定理。然后来求这个最值。所以大家大家注意要分开使用矩阵定理，然后整个用的话，这个不好用，要分开使用啊，分开使用就前面。然后用一下，后面用一下好吧，所以大家可以看这个a方，加上b方加c方大于等于三倍的三的根号下三个数相乘。

啊，三个数相乘。然后接下来这个a分之一加b分之一加c分之一，它大于等于三倍的三的根号下，它也是相乘。现在然后两边平方。因为它都正数两边可以平方，比方这个变成大于等于九倍的。然后三次根号下，然后这个ABC。的平方，所以我这个这个平方把它放在根号里面了啊，根号里面，然后再把这两个做一下加法。好，

这两个再做一下加法好吧，加法，然后呢，再进行嗯，用一下平行定理就可以了好吧，就这两个呃相加。相加相加的话就变成了这个a方加b方加c方。加上a分之一加b分之一加c分之一，它的平方。然后这两个相加的时候，然后再用一下平行定理，再用一下，因为这个数呢，它要大于等于三倍的三的根号下a方b方c方。这是九倍的三次根号下，

这个ABC它的平方。然后大家知道两个数相加大于等于二倍的根号下，两个相相乘就二倍的根号啊27。好，27，然后这样就得到是六倍根号，三一会求解出来了，这样答案应该选择的是a选项，答案就写好了。在哪里选的a好？这是它的方法思路啊。然后等号乘以条件第一个要取等号哈ABC相等，第二个要取等号也是这三个数相等ABC要相等。然后这个区的话是这两个相等是吧？这两个数要相等，

接下来我们就可以写它的这个值。好吧，这是用这个均衡定理做就可以了。当然还可以把它什么把它拆开拆开，两两拆两两拆的话就拆的比较多，这样呃也可以好吧，也可以把它都都拆开拆开做。做这样也行啊，也是可以的。啊，都把它这个展开做展开做的话就稍微这个麻烦一点儿啊，反正就整体做吧，整体做这里就告诉我们几部分。呃，分别用平平平定理在一个题多次用平衡定理的时候一定要验证它等号能不能成立啊？

等号成立条件是什么？要知道它的方法。好，接下来咱们看二十二题，这个题已知x大于零函数y等于x分之二加三十平方最小值到底多少？那这道题可能想用居中定律，居中定律首先正数它满足了接下来我们要拆分定值是吧？我们把它拆分。所以把这s分之二可以拆成s分之一加s分之一，再加三x平方就行了。把拆分拆分完后，这个就用a+b+c大于等于三倍的三的根号下ABC。然后相乘，所以大于等于三倍的三次根号下，这三个相乘，

所以三次根号三。啊，这样写出来，这样答应该选d是吧？这样答就是选d，所以这个平行定理啊，直接拆分，拆分完后就可以得到它的最值方法，大家会分析和思考。好，那接下来咱们看一下这个题好，这个题的话，其实它也是考察一个优化问题啊，考优化问题又考察不等式和优化问题。为什么是优化问题呢？

大家首先根据这个fi小于等于二恒成立，大家知道f2它是一个一次函数，对吧？这是个一次函数，如果一次函数在某个区间小于等于二成恒成立的话。那大家知道，只要在。区间两端点。就它是一次函数，不管是单调增还单调递减，不要不管单调增还是单调递减啊，那只要两端点，那都比二小，那中间的肯定比二小是吧？不管是单调增的。

还单调递递减的只有两端点，指他不能超过二是吧，然后这个二他不能超过二就这样的。所以接接下来我们就可以一这一弹轴一弹轴两端点就可以限定它在这个区间的整个的取值情况啊，如果抛物线不行，抛物线它中间会拐弯儿。中间是是拐弯儿的话，那就不好说了好吧，所以咱们这个就可以看出，就是只要在零到一，它小于等于二横成立，我们就可以得到零。l零把s=0带到里面就b- 2a，要小于等于二，然后f1f一把s=1带到里面I=1带进去就4 a- 3，

加上b- 2a。然后这样的情况，然后这样的话，我们就可以得到这个是2a。加b- 3小于等于二是吧啊，小小于等于二，然后接下来我们把这个稍微化简一下，就b- 2a小于等于二。然后这个呢是2 a+b小于等于五，其实这就相当于是个优化问题是吧？优化问题你看它都是依次表示优化问题，求a+b的最值。a+b垂直，我们要找它交点是吧？接下来我们就求交点就行了啊，

跟它们优化问题差不多，找这个求交点。当然，这时候也不用画图了好吧，找这个焦点，这样就令b- 2a等于二二a+b，这样等于五，然后两个方程相相加。b就可以得到二分之七啊，这个很好解，两个方程相加就可以把二a给它抵消掉，抵消掉，然后两个啊相加完以后就可以把b求出来。好b，求出来以后那么a就可以算出来a，

你带到第一个也好，带到第二也好，那么都可以求出这个这个a的值a的值就等于四分之三。好a的值b的值求出来了，那这个最后那么呃t的最大值max最大值最大值就是把a和b带到里面去。好，这样就得到四分之十七，这样就求出求解出来了，好，这样答案应该选择e选项好，这是它做题方法思路，看是不是听懂了，好吧，这道题。首先要知道呃，

这个直线它两端点就可以限制它的取值啊，中间的话它就限制住了，然后另外大家遇到依次表达式，我们可以转换成线优化线优化就不用再画图，因为画图它比较。耽误时间，所以我们就不用画图了，然后写他的答案就可以得到他的结果，看这块是不是听懂了？好，接下来咱们看这个题，这个题要求最小值，求分式最小值，大家只要看到分式啊，往往都要想到它平均定理，

知道吧？所以x大于0y大于0 xa by正好成等差数列好，这个成等比数列我们可以看一下。我们都用sy去表示吧啊，如果这四个数啊成等差数列，大家知道跟自然等差数列性质，就外面两个相加等于中间两个相加，也就说a+b应该等于x+y。然后这个四个数要成等比成等比就说明外面两个数相乘等于中间两个数相乘，是不是这就得到c×d？就等于x×y，而且这sy都是正数，大家写的都是正数好，那么这个写完后，那么就可以得到a+b括号的平方除以CD。

就等于分母就是xy分母就是xy分子就是x+y括号的平方是吧？分子就是x+y括号的平方。好，这样写好。是吧，分子就是s+y括号的平方。然后把这个你可以可以把这个平方给它拆开也行，平方拆开，这样也可以平方拆开就变成s方加y方，加上2 sy。除以个xy是吧？把它拆开，这样也可以，或者说不拆开也行，不拆开就x+y大于等于二倍根号xy这个也行。

如果拆开的话，拆化它可以变成什么变成x分之y。啊，加上y分之x再加二是吧？变这样的啊，这个二xy除以它除下来，然后这块用平行定理。平等于大于等于二，加上二，所以前面这两个互为倒数嘛，互为倒数，它最小值就为二，然后这个也为二，所以二+2就得到四。是吧，

四它最小值呢，就为四这个答案就选d，或者说你不拆开也行，不拆开直接把这这做也行，直接就得到什么得到就是。x+y^2÷xy它大于等于因为大家知道x+y大于等于二倍的根号xy。是吧，所以说做到这做到这，这个算出来也为四算出来一样，也都为四好，这样就可以写出来好吧，大家呢，这些答案都是一样的，这些答案就选择四，这个答案就写出来了。

好，这是它的做题的方法和思路，看是不是听懂了啊，大家要明白它的平均定理的使用。下面咱们看这个题已知AB属于正实数，且a+b=4下列各式恒成立的到底是多少？好，那这道题它主要的考点就考察它的均值定理，它的一个使用情况啊，好，我们来看一下，由于a+b大家知道大于等于二倍根号AB。然后题目说了a+b正好等于四。好，这样的话，

我们就可以把。它写出来就根号AB，肯定是小于等于二了，在这呢，那a×b就小于等于四好，那这是它的这个方法a×b的值。好，那么咱们看a选项。啊，当它两边是正数的时候，我们可以取倒数好吧，所以在这里面我们呢，就可以取倒数啊，这由AB。小于等于四，

我们就可以推出啊，那么它取倒数倒数这边就变四分之一，变大于等于四分之一。所以a选项它这个错了，但是如果它要没告诉我们是正数的话，两边不能取倒数啊，也就说。如果m要小于等于n推不出来m分之一，大于等于n分之一，这两个谁也推不出来谁，大家要知道啊这两。那谁也推不出来谁。啊，只有两者同号的时候，它的取倒数大小相反，

比如说两个都为正或两个都为负的时候，它取倒数呢，是大小相反的好，这是。给大家强调了它的这个方法啊，取倒数的运算，然后咱看b选项变a分之一加b分之一。好，我们知道这个a分之一加b分之一，它大于等于二倍的根号下。啊AB分之一是不是？所以在这里面我们就可以写成这个二除以根号AB。这样的二除以根号AB。好，那接下来咱们来看一下，

因为根号AB小于等于二，那么倒过来以后就大于等于二分之一啊，大于等于这个二分之一。那二分之一，所以说这个大a等于一，这样就写好了好，那这是通过这个式子啊，然后呢根号AB。它的倒过来倒过来的话，我们就可以得到结果，所以b选项是正确的。好，那在这里面，大家如果要知道调和平均值的话，那么还有一个方法啊，

还有方法大家知道调和平均就是二除以个它的倒数和。啊，应该小于等于一个啊，它的几何平均值？小于等于它的算术平均值是不是这样的？好，这样的话我们就可以看出来好，由于a+b=4，所以在这里面就可以把a+b=4。然后带到里面去啊，带带到里面，带到里面去，这个得到是二了是吧？这个式子就二，这就二除以个a分之一加b分之一就是小于等于二。

在这儿，然后给它分母乘过来，然后二两边约一下就可以得到a分之一加b分之一，大于等于一啊，这样也可以。好，前面这个是调和平均值，这个就是几何平均值，这个就是算术平均值，然后还有一个就是平方平均值。好，那么它三者的一个大小关系要弄清楚好吧，好，这是它的这个方法，要把它搞清楚啊。

所以通过这个，我们呢，就可以判断出来啊，所以条件二啊，第二个我们可以用两个方法做。啊，第一个根据根号AB的范围算出来的范围，第二个呢，我们用小额平均值和数量平均值的关系来进行做，这样也可以。然后c选项c选项其实就就是根号AB根号b，这个应该是小于等于二啊，所以c选项错因就在这，应该是小于等于。啊a选项错因这应该四分之一。

啊，所以说这个没错了，然后d选项d选项，大家可以用这个平方平均值来进行分析啊，也可以呢啊，用a方加b方大于等于2 AB来进行思考。好吧，所以说咱们看d选项，现在这a方加b方是大于等于2 AB的。是不是然后在这里面大家知道这个AB，它是小于等于四的。AB小于等于四在这里面啊，我们看一下，这是大于等于号是吧？大于等于号，

然后这个。啊，又是小于等于号，所以说这个呢，它的取值范围必须同向时候它才可以写，知道吧，所以AB它是小于等于号这个呢，就呃没法往下写了。啊，因为这是a方加b方啊，大于等于大于等于AB呢，这地方又小于号，所以说它的方向不一样，方向不一样，不等式就没法传递。

知道吧，好，那接下来我们这个怎么用呢？可以用这个平方平尺来进行分析啊，平方平尺，比如说我们可以把这个两边平方。两个平方就变成二分之a加b的平方。小于等于二分之a方加b方好，大家知道a加b的值正好等于四a加b的值等于四好，那么四除以二。啊，就得到二是吧？得到二得到二的话，然后这个呢？就是四。

啊，因为它这个有个平方啊，平方平方的话就是四小于等于这个二分之a方。加b方好，把这二乘过来就八就a方加b方，你看大于等于八。好，那这样就可以写出它的数值是吧？a方加b方大于等于八的好a方加b方大于等于八，然后在这里面我们来取倒数。的a方加b方应该小于等于八分之一。啊小于等于八分之一，所以它不是小于等于十分之一，所以这个呢也错了啊错了，然后e选项e选项，

它错了e选项，因为b选项它大于等于一，所以e选项它大于等于二，这个是错的。好吧，那这个是不可以的，这个应该是八分之一，这个二应该是一好，这是这个题给大家强调的方法，就大家呢，出现倒数和。还有相乘，还有两个数的和还有它的平方和这时候呢，我们就要用它的均均值定理来进行分析和思考，而且在用不等式的时候注意它性质，

去倒数的话比同号的时候它取倒数。它大小才相反啊，如果异号的时候它取倒数呢，大小是不变的，所以大家要注意，另外呢？还要知道咱们的不等式传递性，必须同向的时候才能传递啊，好，这是给大家讲的这个做题的方法，看是不是明白了，所以大家把这个题它用到一些结论，要把它记住。好，接下来咱们来看这个题，

如果正数abcd，它满足a+b=c+d=4，那么下列哪个是成立的是吧？哪些成立？其实这道题就考到咱们均值定理的三要素。军定的三要素三要素一证二定三等。其实就围绕这个就可以了好吧啊，一正这个正数它已经满足了，大家看到没有这个正数，它已经有了正数，已经满足了。第二个是定定值，你看有没有定值，然后另外看它等号能不能成立好，那它给的都是AB，

还有CD它之间的关系是吧？好，那接下来我们根据题目那说a+b正好等于一个c×d，那正好为四。好，大家知道a+b啊AA+BA+b肯定大于等于二倍的根号AB。是吧，所以这个a+b大于等于二倍的根号AB好，这样的一个一个情况。是吧，这这是a+b用一下平衡定理。啊，平行定理的话，那这时候呢，我们看它给的都是CC+d是吧？

然后这一块儿好，所以说这个咱们就可以得到a+b。又大于等于二倍根号AB啊，先写到这。然后接下来咱们看c+DC+d是不是大于等于二倍的根号CD？是吧，只有二倍根号。CCD.好，大家知道这个a+b的值，它正好是为四。a+b值为4 a+b值为四，通过这个通过第一个我们就可以解出a×b它的取值情况啊，因为把这个二跟这个二约掉，两边平方就可以得到AB是小于等于四的。

AB小于等于四，然后第二个第二个CD=4 CD=4带到这个里头来，带到带到这里带到这个里面，知道c+d是大于等于四的。是吧啊c×d四四c=d的值为四为四的话，然后这个在里面去c+d大于等于四，然后通过这两个。通过这两个就可以得到AB呢，是小于等于4 c+d，大于等于四，然后就可以得到这AB呢，应该小于等于。c+d啊，这样的一个数值。好，

大家知道这个等号要成立的话啊，等号要成立时，所以咱们AB应该小于等于c+d，所以AB应该小于等于c+d应该在。在这个BB选项错了d选项也错了是吧？AB应该小于等于c+d的。然后接下来我们来看等号成立时，它取值是不是唯一的？那取值应该是唯一的是吧？因为它等号成立的相等时。相等式就说明a和b要要要相等是吧？相等是a和b这个要相等。c和d它也要相等，它都要等于二是吧？因为a+b=4 c×d，

它也等于四，所以ABC都等于二，所以它取值呢？是唯一的，所以这呢？应该选择a，这是成立的。所以答案选a好这道题主要考的平日定理，它的这个等号成立的条件大家会分析和思考，而且用了两次均值不等式，然后再把这两个呢。给它合在一起，因为都跟四相关四呢，相当于一个中间量中间量，把这两个关联在一起就可以得到答案了，

好看各位同学是否明白了？好，接下来咱们看27题，这个题好已知a大于0b大于0 a+BA+4 b=1。求这个表是它最大值到底多少？其他的表达式最大值。好，那这道题我们来先观察一下好吧，观察观察一下这个a方和这个16b方，大家发现正好是a+4 b括号平方，可以简单配个方是不是？所以在这里面呢，咱们知道a+4 b，它正好为一，因为AB都正数两边可以平方，

两边平方就变成a方。加上十六b方正好等于一减去八AB是不是？所以在这个等号两边同时，平方同平方就变成a方。加上16b方，然后正好就等于一，然后这边呢，有个平方产有个8ab8ab1-8ab，然后把这个呢给它替换一下就可以了是吧？对啊，所以s就等于二倍根号AB。然后这个a方b方替换成这个值替换这个值就相当于加上8 AB，然后再减一个一。是吧，把这个做一个替换，

这样替换大家可以利用换元嘛，换元利用t等于根号AB。当然t要大于零了，因为t还等不了零，因为AB都是正数，它AB它取不了零，所以t呢正数。这样s又变成什么？变成这个a×b又变成8t方写在前面，这个变成2 t- 1，所以这个把它看开口向上抛物线，当然这个。呃t的，它有取值范围啊t取值范围怎么求呢？跟a加四BA加四b大于等于二倍的根号下四AB是吧？

然后大家知道a加四b正好为一为一的时候，然后这个地方把把二除过来，二除过来以后变二分之一，两边在平方。变四分之一，然后再除以个四得到AB，或者说算出根号AB也行，根号AB小于等于。这个是二分之一，然后四开出来又是二分之一，又是四分之一了，所以这个t的范围啊t的范围啊t的范围算出来应该小于等于四分之一，小于等于四分之一，那么大家看看它开口向上一个抛物线。看向量抛物线对称轴，

我们看是多少对称轴，对称轴大家可以发现就是负的二一分之b啊，所以说这个呢，就是负的八分之一，它的对称轴。啊负的八分之一，好负的八分之一，以后那接下来我们呢就可以看出t呢是小于等于四分之一大于零的啊，所以零到四分之一。从零开始到四分之一这样一段儿，所以它的抛物线的一段儿啊，它的它的抛物线一段儿好，抛物线一段儿，那接下来我们就可以看出来那s它的取值范围。体积范围的话，

那么范围当大家发现它这一段儿正好落在什么落在是单调增的一个范围，单调增的范围的话，那就相当于是。s应该是当t=0的时候t=0的时候，它这是负一是吧？t=0的时候，它这是负一。然后当t等于四分之一的时候，当t等于四四分之一的时候，它它最大的是吧TT离对称轴远嘛，它最大就八乘以个十六分之一加上。二分之一再减减一，这又是二分之一，这也是它，所以这个就是零了是吧？

这是零，所以所以它最大值就为零，这个答案应该选择c选项，答案就求解出来了。好，这道做题方法思路，看是不是听懂了，所以这道题大家要掌握的考试要点和内容就是我们呢，先把这个看好，正好a方和16b方想到给大家进行替换。替完了，然后再换一下，把它转成一个抛物线，发现还要用到均衡定理，均衡定理把t的范围求出来，

在抛物线这一段儿范围里面，然后求出它这个抛物线的取值情况。据情况，就算出它的最值就可以了，所以这道题包含的知识点还是比较多的，所以有同学没有想到把a方和16b方进行一个转化，那这道题不好做了，这里也是刚好是一个巧合，知道吧？如果比如16b方改成一个15b的平方，那这个题这个题不好做了，你看这个平方完以后这个就不好去化解啊，这叫数它凑的刚好是。巧合的情况。好，

接下来咱们来看这个题，这个题的话，它最小值是多少？最小值的话，那我们呢？可以呃，前面用一下金属定理啊，后面再用再用，只要用两次，只要它等号能够同时成立就行了啊。有a分之一加b分之一，加上二倍根号AB。然后前两前两先用，前两先用大于等于二倍的根号下。AB分之一是吧？

所以前两个用啊，前两前两个用一下就是大于等于二倍根号下AB分之一，然后再加上二倍的根号AB。然后这个这个等号成立条件就a和b相等就可以了是吧？a和b相等，然后做这这两个，然后再用它平行定理，这样平行大于等于二倍，这两个相乘，所以大于等于四。所以这个答案应该选择的是c选项，答案就写出来了。然后它成立条件，成立条件就a和b相等，它都等于一的时候，

因为前面这个a分之一和b分之一用平行定理的时候是a和b要相等。后面再用平行定理的时候分开写吧，后面用平行定理的时候就a×b应该为一。是吧，后面用平均值这两项呢a×b应该为一，所以说合在一起就可以推出a和b，它都等于一，所以它这个最小值是可以取到的。那最小值就是四答案就写出来了，这是它做题方法。好，接下来咱们看这个题a大于0b大于零则二，当a大于零的时候，函数它最小值到底多少？那这里我们把这分式一定要拆分，

拆分完后，然后再用平行定理做就好做了，所以fs等于。分母是x分子上x+a乘，以x+b给它拆开，变成x平方，加上ax+bx，再加上AB。然后把它除下来，就得到x加上x分之AB加上a再加b。好，我把a和b这个常数放在后面，然后前面这一块儿大家可以用平行定理，平平行定理要大于等于二倍的根号下。AB加加a+b，

它这块可以把它配方配成根号a加根号b括号的平方就可以了，所以这个答案应该选择c选项好，这是它的做题方法。和思路看是不是听懂了啊？这它考要点，所以通过这道题大家呢？要知道它的方法是我们用先把这个分式给它展开展开，然后拆分，拆分完后，然后这一块用平行定理，平行定理，然后最后再配方就可以得到答案。好，这是它的处理方法，思路遇到分式呢啊，

一定要把它列开再做。好，下面咱们看这个题。大家想想。好已知a大于b，它大于零。则a方加上b乘以a减b分之一的最小值到底是多少，大家想想。好，我们来看一下AB都是正数，而且是a大于b，就这个是如何用咱们的基准定理来进行分析和思考，大家想一想。好，各位同学都思考一下。

大家想想这个a方它怎么弄？是吧，这个a-b。还有这个b，还有这个一啊，想要怎么弄？首先，大家注意，大家知道b×a-b。我们知道啊，两个数相乘。小于等于二分之x加y括号的平方，看这个明白没有？所以说把这个b看成xa-b，把它看成y。

好，看看这个能不能想到？好自己琢磨琢磨这个能不能想到，然后这样它就小于等于二分之b，加上a减b括号的平方。好，这样来写，这样算正好等于四分之a方。啊，是不是a方好看？这个明白没有？好，这样的方法。好，那接下来啊，

我们就可以得到a方加上。这个b×a-b。大家知道这个分母小于等于它。那么倒过来就是分之一，倒过来倒过来就变大于。等于a方。加上。四分之a，方分之一。好，这样的情况。啊，你看这个懂了没有？然后这样的话就四就翻到上面去。a方加上a方分之四好看，

这个明白没有？这个可能大家很难想到。然后这样的话，它乘积就是定值了是吧？乘就定值那咱们学过x+y大于等于二倍根号xy。对吧，当然这个sy都得是正数啊，这个我刚才省略了sy都得是正数。而大于等于二倍的根号下，两个相乘会得到四这样写出来。对吧，得到四。所以它最小值就可以算出来，最小值就是四。好，

这是它的做题方法。好，那在这里面大家发现咱们用了两次均衡定理，用了两次均衡定理，要看等号能不能取到？是吧，所以军令它用了两次，然后第一次啊，这地方用了一个。另外一个，它取等号条件就是b和。a-b要相等。所以等号的条件咱们判断一下，就b和a-b这个要相等。啊，

就这两个数要相等是吧？然后第二个，第二个这又用上了。用一次均衡定理，因为均衡定理有a方要等于二。是吧a方值要等于二。啊，这样是可以取到的，因为这个相当于是a=2倍的b。啊a=rbb，因为a是正数，a等于根号二，所以这个AB是没问题的是吧？等号。是可以存在的啊，

在这种情况下，它是可以取到的。好，这是没问题，好看，这个是不懂了啊。好，下面咱们再看这个题。已知s大于0y大于零，且sy+2 s+y=2，则s+y的最小值到底是多少？好，大家想想它最小值到底是零几？啊，求它最小值到底是多少？

好，大家思考一下它的最小值。好，那这个最小值我们应该怎么去分析啊？想一想，其实咱们前面在讲课，给大家强调过。如果遇到xy还有x还有y，一定要给它进行分解因式。所以大家总是想不到，因式分解是吧？其实做多了，大家可以发现它套路性东西大同小异。是不是所以在这里面就xy。加2 x+y。

是吧，我们给它进行分解一下。分解分解后再加一个二，这就等于四。是吧，加以二。可有同学又忘记了啊，就xy。加as+by+a×b。就可以把显得x+b乘以个y+a，知道吧？它可以这样分解，知道吧？也可以分成x+b×y+a。好看，

这懂了没有？好，所以说这个因式分解唉，又又想不起来了，好把这个给它进行分解，分解完以后我们就可以把它变成x。加一×y+2。要等于四好这一步看懂了没有？咱们之前在给大家讲的时候讲过这个可以换元是吧？你可以令s+1=my+2=n。来进行换，当然咱们还讲过一个不换元的方法，不换元方法就是x+y。我可以把它写成x+1，加上一个y+2。

然后再减掉一个三是吧？再减掉一个三。这样的，然后这个就把s+1 y+2，把它看成。s+y大于等于二倍根号sy靠近公式。因为它都要求正数。正数所以x+1和y加那都是正数是吧？正数它可以套公式，所以大于等于二倍的根号下。它这两个相乘，是不是它两个相乘就x+1？乘以y+2。啊，这样的看到没有？

把s+1看成整体y+2，把它看成整体，它的公式，因为呢，这s+1×y+2正好等于四，所以根号里面这个有四。啊四，然后这个就等于二倍根号下。四再减三，这个算出来正好就等于一好，这样答案就选择a选项。好看，这个明白没有？那求s+y它的最值方法，它会分析和思考。

好，那接下来咱们再看一下这个log好吧，再看一下这个log。好像这个log我们应该怎么处理？先把这个log给它做一下化解好吧？log做一下化解。好做一下化简，然后接下来我们看它得到什么情况啊？大家知道同底对数相加，确定真数相乘是吧？大家还记不记得这个log啊？就log 2 x+log。8y。好，大家就等于log 2x×8y。

看这个懂了没有啊？就等于二的x，因为两个同底对数相加，就等于帧数相乘。这样的好看，这个肿了没有？假如说这个八的y次方可以写成二的3y次方。是吧，所以说这样就可以写成二的x+3 y。因为二的x次方乘以二的3y次方啊，就二的x次方乘以二的3y次方。这样可以写成二的x+3 y。好，它正好等等于log 2。当然就可以得到什么问题啊，

这二可以写二的，一次方就可以得到x+3 y=1看这个懂了没有？s加三二正好等于一。好x加三y等于一，它要求x分之一加上三y分之一，它最小值。这个大家就可以用什么用地位等价，所以地位等价x跟y它是不等价的。但是s跟3y它它是等价。懂了吧x和3y是等价，所以咱们咱们前面讲过蒙猜的方法。是吧s和3y是是等价，我们看s和3y。啊，如果看不出来，

你可以令z=3 y。你像x加z它等于一求x分之一，加上z分之一，这时候大家可以看看的很明显。就咱们前面讲过的。s和z它等价。是不是s跟z它两个是等价的，等下让x和z相等。都等于二分之一就可以了是吧？所以s和z相等。都等于二分之一，这时候s分之一加y分之一，它最大值就是四。这是用蒙猜的方法做的。是吧？

啊蒙猜方法。啊，这个求解出来了。然后接下来这道题如果一般化做怎么做做，你可以用咱们讲过的全方和不等式。全和什么时候用出现这种分式的时候就可以用啊？就x分之一加三y分之一。它大于等于一+1，这个一可以写成平方，知道吧？你可以写成平方一+1^2。所以x+3 y。就分子相加，这个分母相加这样的，因为s+3嘛，

它正好为一唯一，这算就等于四。是吧，就等于四好，这样就写好了。好看，大家是不是听懂？好看，明白没有？当然，这这这地方用那个基准定理做也行，有同学用用基准定理做。另外，就s+3 yi=2倍的根号下两个相乘。这边正好是是是一。

啊，这样也可以。x分之一加三y分之一。大于等于二倍的根号下。三，xy。是吧啊。我写成二除以根号下。三，xy。是吧，有同学把3 xy，然后范围给大家找找到找到，然后再翻翻过来再倒过来。在倒过来做。

好吧啊，这样也行啊，给大家再颠倒一下。电脑这个电脑这个很简单嘛，电脑电脑过来把它倒过来倒过来正好。正好就通过上面可以得到。有根号三xy，它大于等于二分之一。啊啊，这个大于等于二，然后再再颠倒一次，因为它它这个分母，它再再颠倒一次是吧？有时候你通过这儿。得到三xy啊，

小于等于二分之一。啊小于等于20，小于等于20之一，然后再颠倒过来就大于等，等于二了。是吧，在颠倒，因为它这有个倒数。找到一个倒数。好，这样也写好了好吧，所以通过这个大家呢，再倒一次，所以用这个有时候用钉子定理做，这样也行。

用圈圈好好做也行，或者用它的地位等价做也可以，好吧，答案都行。好，所以说这就是地位等价法。好用这个地位等价方法来进行分析思考。好看，这懂了没有啊？好，那接下来咱们再看下一个题。下题大家看这道题呢，看起来非常可怕，它存在一个实数，这个存在怎么去理解？

好使得sy除以个y减x等于个五s加四y分之一。括号s在负43到43。问，输入x的最大值到到底多少？就最大值。这大家记住，以后存在一个实数。就说明关于y的方程应该有十根。所以这个题大家不要害怕，看这个分式看的很可怕是吧？不要害怕。你可以交叉相乘，知道吧？给它交叉相乘一下。就像然后把它看成关于y的一个函数。

咳咳咳。所以给他交叉相乘。就5x方y。好，这两层。再加上四。xy方等于个。这两层得到乘以个y-x。是不是然后把它看成关于y的一个方程啊？关于y的方程就4x括号。y方。然后把这个y给它移过来。用5x方减一×y，再加x到等于零，是不是这样的好得到这个式子？

得示以后，然后这个y呢它是？有实根的是吧？关于y的方程。YY的二次方程。它这个要有十根，要有十根delta，肯定要大于等于零。所以delta要大于等于零，delta就等于b方减CC。是吧，就b方减CC好b有5s平方减一的平方b方减4c。然后这变成16了，对吧？因为这个四倍再乘以个四得到16，

然后它大于等于零。好，这样就写好。这样，然后把x范围给大家找出来。好，这个方程它怎么去解大家呢？一定要用什么呢？呃，用这个平方差公式啊，但千万不要把这个平方给展开，平方展开，那就不好弄了，因为大家知道后面这一块儿正好是16s平方。4x平方，

你可以把它变成平方差知道吧？5x平方减一平方减4x。括号平方。这这种平方差公式，那学过平方差公式等于两个相加乘以两个相减。就5x平方减4 x- 1。乘以个5x平方。两个相相加是吧？加上4s两个相减。大于等于零就行了。对不对？这咱们学过的啊，这个公式。然后这个大家怎么用呢？用咱们前面介绍不等式，

里面穿线法给它进行分解。问题就这个因式分解，大家都会对吧？这个一跟五。这是负的。是吧啊，这是负的。然后后面这个因式分解怎么分一跟五一一？啊负的在这地方是吧？所以它就可以把它分成x加一五x- 1。好，这个x- 1就5 x+1。是不是然后大家忘记穿线法，同学，咱们再简单说说这个穿线法。

那么就画一个数轴来记笔的。画一个数轴。从小到大把这个点给它标注上，知道吧？标注上这个点是负一。这点是负的五分之一。这是五分之一。这是一。嗯，然后从右上方穿一条线。啊，从右上方穿一条线，让它大于等于零，就找这个数轴上方的部分。把数轴上方部分好，

这样就写好了，然后接下来我们就可以看到它，这个就相当x应该小于等于负一。x大于等于负的五分之一。小小于等于五分之一。或者x大于等于一是吧，这样写好了。但是。但这题目它要求x在负四分之三到四分之三之间是吧？所以x还要求在负四分之三。到四分之三之间，知道吧，所以说这个就最后就可以推出x的取值范围。x取的范围而h范围，因为这不能超过四分之三是吧？

所以说x取的范围只能取。小于等于五分之一，大于等于负的五分之一，只能取这一段。所以由这个我们就可以得到s这个，所以s最大值就是五分之一了。最大值五分之一，所以这项答案应该选择e选项。而这它做题方法就这道题呢，可能有同学找不到思路，其实还是咱们最基本的问题就是判别式德尔塔。它的灵活应用把它弄清楚，这样题就好做了好吧，看这块儿是不是听懂啊，然后它的答题方法思路。

好，那接下来咱们再看这个题。好a大于b大于零，且a+b=2。a+b的值等于二就二，除a+3 b+1，除a-b，它最小值到底是多少？啊，其他最小值，大家想想那最小值到底怎么去分析思考？大家遇到这种分式，求最值啊，一定要想到全方和。全和就m，

分之x方。这样n分之y方。大于等于x+y括号的平方，除以m+n。这样的，所以我们首先看这个分母。分母相加。把这个分母相加，正好是2 a+2倍的b，所以这正好它是一个定值就好办了，是不是？所以这道题呢？对呀，就可以写成。a+3 b。

上面这个二一定要把它写成某个数的平方，这个能想到吧，所以上面这个二写的根号二的平方啊。由二写成根号二的平方。这个一可以写成一的平方是吧？这一可以写成一的平方，这二写成根号二的平方能懂吧？所以大于。等于然后分子相加括号的平方分子加分子加就是根号二。加一括号平方是吧？就根号二+1加括号平方。分母相加，分母相加就是a+3 b+a。减b是不是？所以在这里面大家呢？

就把这分母加在一起，加在一起正好是二倍的a+b。这样是不是这样的？是吧，这正好有两个a，两个b由于题目告诉我们a+b正好等于2 a+b=2 a+b=2，这个带到里面就给到四。根号二+1^2。根号二+1平方把它展开，这样的三+2倍根号二。是吧，然后再除以四。好，这样答就选择a选项好，这是它的处理方法好，

看懂了没有？那通过这道题，大家呢，要掌握的基本思路。啊，要弄清楚。是吧，所以在这里面，大家只要遇到这种分式，想到全方和套对公式这道题，它的分母。相加正好是已知条件，它这个数。是吧，这个时候就把已知条件带到里面去，

就可以得到答案了，好看这块儿是不是明白了？好，那接下来咱们看这个题，这个题它是求这个阿尔法方加贝塔方最小值，因为在这里面一定要是注意两个实根。雅斯特拉在用贝塔定理的时候一定要注意它的陷阱啊，就阿尔法方加贝塔方，大家用贝塔定理就可以得到阿尔法加贝塔。平方减二倍的阿尔法贝塔。是吧，二倍的阿尔法v了，然后做到这，我们呢就可以把这个阿尔法加倍的阿尔法加倍的正好是两根之和啊，两之和等于负的a分之b嘛，

负分之b正好m的平方。那阿尔法贝塔正好是a分之c。然后把beta正好等于这个a分a分之c啊，这还有个四。是吧，所以在这里面大家呢，就可以算出它两根之和就等于m，然后两个乘积正好等于四分之m加带到里面，带到里面，这样就可以得到。等于个m方减去个二分之m再减一。是吧，都得到这个值这这这个开口向上抛物线向上抛物线，然后那个对称轴它能不能？渠道咱们还要看一下p面data。

delta delta就等于b方，b方就是16m方b方减4 AC。要不然大于等于零这块不要忘记了好吧，就b的平方减CC。啊减CC大于等于零，然后两边把15约掉，又得到m方减m- 2大于等于零，然后这个可以用十相乘写一写。谢谢，就这样相当于这个一，这是负二，这个写出来写出来，然后它一个根是负一，一个根正二，它大于UN取两边。

就是小于等于负一。或者m大于等于二，然后这样就写出来了，所以大家可以发现它这个对称轴啊，正好是一个负的二一分之b，正好是一个四分之一。它的抛物线的对应轴正好是一个四分之一。它发现这个四分之一呢，它不在这个取值范围里面去，不在取值范围，我们看谁离四分之谁离它近，谁离它远？是吧，所以这里面大家可以看负一离，它的距离是四分之五。

然后二离它距离是四分之七，那说明这个负一离它要近点是吧？所以它的取值范围是这样的，好在负一的左侧。和二的右右侧啊，这块儿，所以它要求什么求最小值就最小值，它显然负一的时候在这里面，它有最小值是吧，这就可以得到当这个m=- 1时。这个阿尔法方加贝塔方，它最小。把负一带到里面，负一带到里面，这个变成一加上二分之一减一就等于二分之一了，

它最小值就是二分之一。这样就求解出来，所以这道题正确答案应该选择a选项好，这是它的做题方法和思路，就这个题大家呢，跟咱们前面讲过的类型啊，这个都是一样的，就换了一个数。那阿尔法方加贝塔方，首先呢，用一下啊，这个韦达定理，然后把它用m来表示出来，表示出来以后，这关于m的二次函数，

二次函数，大家。这个对称轴对称轴，它能不能取到一定要验证一下，判别式德尔塔，因为要保证方程有实根，把这个m范围取出来m范围找到以后，然后看一下抛物线图像什么时候最低。就负一的时候，你对的时候近，它是最低的，所以这样话你们可以写它的答案方法，看看是不是听懂了，是不是明白了？好，

这是它的考试要点和内容。好，接下来这个题这个题跟上个题类似是吧，所以它则x方x1方加x2方最小值到底是多少？只不过这个数呢，稍微复杂点而已啊x1方加x2方。现在s 1+s二括号平方减去二倍的s1x2是吧？然后把这个数带到里面去，带到里面去就x 1+x二就相当于3 k+1^2。减二倍的3k方，减2 k+3，然后把它给合并一下，大家知道这个展开有个是9k方，这个减掉一个。6k方，

所以剩一个3k方。这个展开以后有个6k。加上一个4k就相当加10k。然后这后面有个一有个一，然后再减掉一个六一减六，得到就负啊，这样的数值，然后接下来我们还要写它德尔塔，德尔塔就等于b方。减CC。它要大一。等于零啊，这样的一个情况好，那么通过这个我们就可以把这个k的取值范围给它解释k的范围。啊，

这个大家自己去解，两边化简化简把它解出来，这个k的值应该在一到三分之十一这样范围，然后再看一下它的这个。对称轴那对称轴呢？我们看是多少？它这个抛物线开口向上。它对轴k。k大家知道等于负的二一分之b就负的三分之五。不知道呢，显然它不在这个范围里头，它k的值是在一到三分之十一，一到三分之十一的话，它是这一段。从一到三分之十一是这一段，

这大家知道离正轴越近，它的数值是越小的，对吧？离正轴越近，它的数值越小。所以在这里面，如果这里要求最大值啊，求最大值的话就k等于三分之十一，在这里面求最大值。知道吧，要求最小值的话，那么当k。等于一的时候。在s1方加s2方，它有最小值。

最好是把这些k=1带到里面去，就三+10-5就等于个八啊，这样就写出来了好吧，它最小值就求出来。这个呢，应该选择e选项好，这是它的求解方法和思路，看是不是听懂了，所以这是它的做题要点啊，跟前面一个题差不多，大家会分析和思考。掌握它的考试内容和要点。所以大家注意判别式这个过程呢，不要给省略了，不要漏掉了。

好，接下来咱们来看这个题数列an是首项为23。公差为整数的一个等差数列，且第六项为正，第七项为负好，这是已知条件，它设置两问，第一问前项和SN的最大值到底是多少？好，那看一下第一问。好SN最大值，那我们要求SN最大值应该怎么求呢？首先根据a6和a7它的编号的点。因为a6是大于零的a7是小于零的。好，

那么在这里面，它可以看作最后一项为正的是第六项，那显然就s6是最大的。但是要求s6的话，要知道把公差给求解出来，所以我们先把公差求出来，那a6的值就等于a1。加上五个d就等于23，加上五个d，它大于零。然后a7就等于a1，加上六个d。就23+6d，它小于零好，通过这个我们就可以得到d的取值范围。

然后这个d这个d是大于负的五分之二三。这个小于负的六分之二三。好，这样我们就可以把d的值给它求解出来，好d的值就算算正好就等于负四。因为d它整数，所以d它的取值范围就等于负四好d的取值范围求出来了，那么它最大值。SN最大最大化就是s6。因为第六项之后都是负的啊，所以说在这里面它的最大值是6l6l六，那么a知道了d知道，那我们就可以用。求个公式六倍的a一，加上二分之六乘以五倍的d。

就等于六×23。然后这个d呢是等于负四的，负四又减掉一个60了，相当这样就求解好了。然后这个算出来就等于138，138-60得到78。啊，这样就写出来的结果这样呢，应该选择b啊，这是第一问。好，第二问要求SN它的一个增负情况SN要大于零，那么问a那最大值到底是多少？好，大家知道SN。

要大于零，相当于。SN÷n是大于零的，因为n是。正整数，所以呢xn除以n为什么在这里面除以n呢？因为n分之xn它是一个依次不等式，一次不等式肯定比二次不等式要好解。因为大家知道n分之SN。就等于a一加上二分之n减一倍的d。那这个肯定要好解，这是一个依次不等式，肯定要好解是吧？所以在这里面，咱们用依次不等式来进行求解。

然后a的值正好是23。加上d的值上等于负四啊，负四负四就变成负二了。然后这个大于零，所以n就小于一个啊十二点五。啊，这样解出来n小于等于十二点五，它问n最大n最大就取12。n最大九×12这样写好了好，那这样呢，应该选择d选项答案就求解出来了。好，那这道题那根据a6和a7的范围，大家会求d另外一个d知道了，那么要会求SN的最值SN最值咱们讲的有两种方法，

一个是通过an变号的位置来分析SN最值，还有一个就是。找到那么它SN抛物线的对称轴，两种方法都是可以的。然后第二个大家呢，又会用n分之SN，然后呢来进行分析n分之SN，这样变成一个依次表达式，这样求解且。要方便啊，依次不不等式解要好解，然后把a和d带到里面去就可以得到它的答案。

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