059.专项十三-题型5～7

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:48:15

下面咱们看题五图形概率问题，图形概率问题往往要结合例一法来进行分析和求解啊，把它各种情况给它列举出来。比如说他给了几条线，或给了几个点选几个点，或选几条线组成某某图形之类的，然后进行列举，在列举的时候一定要有规律。啊，如果没有规律的话，就会列多了或列少了，怎么样有规律呢？比如说含a点的啊，有多少含b点多少含AB的，或者说含c点的，

按照这样的。呃标上字母啊，如果标不标字母的话，那么很容易呃就容易就多了或少了，也不好检查，容易写错。下面咱们看这道题，这里主要考察这个列举法和奥数思维。就列举法啊，它的圆圈数有128个孩小孩啊，就这个圆圆圈数。然后从元素开始，经过每个路口都有一半儿向上走，一半儿向右走，就是它人都分一半儿。

四个路口，它的人数由多到少，它排序是什么？在这里面，我们就在图上给它标注就可以了啊，给它标注一下。好，这是128啊，一二八一二八，然后再往这走就64个，这64个它有一半。啊一半，然后这六四往这边有32这条路有32个。然后这64，这32，

这也32个是吧？也32个。好，那接下来a点a点的话啊，就可以看出来他得有32个小孩是吧？a点32小孩32小孩16个向这边走，16个向向向上走。所以a点我们就可以写出来a点。啊，在a路口呢，这有32个小孩，然后接下来咱们呃往往下再看，然后这个十六十六往这走，八个往这走。有八个是吧，

然后八个，这有四个啊，这有四个啊，这有两个。啊，在这里面大家呢，还要注意它向上的这个情况啊，向上情况，因为这个是16个16个分为八个和八个。然后这16个16个往往上八个。呃呃，往右八个。是吧，然后这个呢就是。那这个点还要还要把下面的给算上啊，

下面给算上我们把下面都给算上好，这64往这32往这32，然后这个点就64个。比如四个往上32。往这边删这儿。然后这32往上是16往这16是吧？然后这16往上八。往这边是八好，然后这个八往上四往往这边走也是好吧，走也是。然后接下来咱们再看这个点。啊，这个点。呃，这个点这个点，

其实这边是32个过来，32个人这边上来是16个人，相当于48个人，48个人的话，它这块就是24个人。啊，向上也24个人是吧？这样的，然后那32人32人走过来，走过来到这又是48个人。啊48帧，48帧，然后这边24个向上，24个。好到这点就是四十八两二十四，

所以说往这边走24往上走24是吧？然后这个24过来，24过来，加上八三十二个，这个24加八三十二个32个的话，然后往这边走，16个往上走，十十六个。然后这24+16就四十四十的话，往这边走20个往上走也是20个。对吧，这样的，然后这四+16是20个20个往上走，十个往这边走，十个。

所以地点应该是30个人啊，地点就可以写出来。地点有30个人。三个人往上就走，15个人。往这边走15个人。然后接下来咱们再看一下。看一下啊，这块这块的话，刚才咱们算的啊，算的这二十四二十四，加上这个八三十二三十二三十二，这是走16，这也走16。然后这16+24，

40个40个过来，20往上走啊，20所以b点就40个人。b点40个人，然后这个40个人，40个人往这边走，20往上走，20所以c点就35个人。这点35个人好接着由多到少排序，大家可以看b点是最多的，然后其实c点，然后a点d点，所以这个呢，应该选择a选项。好，

这道题大家列举法可能有同学想有没有简便方法，没有什么简便方法，列举就是最佳方法啊，大家不要觉得哎，列举比较麻烦，其实列举下来列的快的话啊，一两分钟就列完了，其实看的数挺多。其实列起来挺快好不好？对于这种图形的概率题或者排组合题或者奥数题啊，都要学会列举，列举是咱们数学解题的很重要的一个思想。大家呢，要掌握这个列举的思维。好，

接下来咱们看一下这个题图中，若若干个点任取三个点，则可构成三角形的概率大于七分之六。可以构成三角形的概率是大于七分之六的好，那接下来咱们看看看题干一它是这样的，大家知道我们。构成三角形是不共线，三点可以可以构成三角形是吧？所以我们可以用总的情况数减去无法构成三角形的概率，好用反面做好吧，所以这道题考点是考的。图形的概率题。这应该条件一，我们可以看条件一，它就等于一减去。

他总情况数是他给的是八个点是吧？总共是八个点，八个点选三个。然后分子呢，是不能构成三角形，不能构成三角共线的，这个点不能构成三角形，这是四个这四个选三个。然后还要乘以二，因为第一行有c四三，本来第一行c四三+c四三c四三+c四三可以写成二倍的c四三。好吧，这样算完就等于七分之六。七分之六。所以这二倍c13是两种情况，

就第一个第一行的四个点取三个点，不能构成三角形第二个。取三个点啊，好，那接下来咱们看条件，条件一减去分母是c九三。分子呢，大家可以看看大家列举一下列有几种情况，可以看一行一行一行这三个。然后竖竖竖这三个这三个，然后呢？这个交交叉总共是八个是吧？交叉总共是八个，这样的情况啊。就八个，

所以说这八就写出来了，好八然后这样就得到是二一分之十九。所以它都是。这个满足大于七分之六是吧？它要满足这个概率大于七分之六啊，大于七要比七分之六要大是吧？所以在这里面。这个这个条件。二是充分的对吧？题号一刚好等于七分之六，这个是不可以正确答案就选择b选项好，这是它做题的方法思路，所以遇到图形题，大家不要慌。知道吧，

考的时候要观察图形的特征，然后来进行分析概，有的时候在几个点列举法，然后分类讨论就可以得到它的答案。而且有时候正面不好做，大家可以从反面来分析来进行求解，这样就可以找到它解题的突破口，而且考试时候一定要看出它的大于七分之六。不是等于七分之六啊，是大于七分之六，所以这七分之六这是不能选的啊，所以别给做错了，好，这是它的考试的内容方法，看各位同学是不是听懂了？

好，下面咱们看这个题。好，如果一个三角形的任意两边都不相等。称它为不规则三角形。用一个正方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中构成不规则三角形的概率是多少？好，那这道题主要考察图形的概率题。啊，大家想想好吧，现在咱们考试也比较流行啊，给你一些点，让你取一些三角形要构成什么样三角形？它的这个内容。好，

大家看一下它的要求，每个同学都思考一下。而任意两条边都不相等。对吧，称为不规则的三角形。啊，也就说在一个三角形里头。但是呢，它三条边都不相等，比如说ABC。它都不相等，没有出现相等的边，这把称为不规则三角形。好一个正方体上的任意三个顶点，就选三个顶点，

大家知道正方体中有八个顶点。是吧，选三个构成的所有三角形的不规则，三角形的有多少？好，这个题考点主要考察图形的概率题。好，我们画个图。画画一个图，它总情况数总是c八三。是吧CC八三大家要会算c八三就等于56。所以从八个点任意选三个点，总共有56个。组成三角形的，接下来咱们看它这个长度有哪些要不相等的，

大家知道。在正方体里面，任意两个顶点之间的长度啊，长长度有三种情况。长度我们假设棱长就为一好吧，这个咱们。好分析，各位同学都想想假棱长，它正好就为一。棱长为一的话，那么这个棱长是唯一的。啊，长度为一的就是棱长。啊棱长是唯一的，你看这些棱长它都唯一。

然后面对角线正好是根号二。对吧，面儿对角线，什么叫面儿对角线，每个面儿它的对对角线长度也都是根号二。是吧，根号二。然后体对角线就根号三。体对角线的长度正好是根号三好看，这个懂了没有？好，大家想一想。对吧，所以说在这里面它要三条边都不相等，必须有棱长为一的，

还有根号二的，还有根号三的。这样才可以，比如说给你画一个图画画一个。我没听懂的画一个。好，你看。他这个。是吧啊。它这个就是看这个边长是一这个绿色的是根号二，这个长度是根号三，这就是一个不规则三角形。我们一个分析，大家发现含有绿色的，含有绿色的话，

它有两个三角形，能看到吗？还有绿色的。啊，有两个三角形，一个是咱们现在画的这个，还有绿色，还有这这样的画的。这个蓝色的跟绿色的。所以说一个面对角线可以画出两个。这不可以画两个。对不对？一个面这条线可以画出两个。画两，然后接下来大家发现每个面儿上有两条面儿对角线，

你这样连它也是一个面儿对对角线。这样列它也能画出两个，所以每个面儿就可以画出四个，知道四个怎么来的？没有啊，就这个绿色的，我们可以看搭配出两个不规则三角形。然后这条面儿对角线，另外一条面儿对角线画出来，它也是两个，所以每一个平面儿上，它应该有画出四个。是现在这个正方体有六个面儿啊，六六个面儿，所以不规则三角形给求解出来。

啊不个三角形就是。四×6这个四个代表是每个面上的。啊，两条面儿对角线可以画出四个，它有六个面儿，这是总共这个三角形24个。24好看，这个懂了没有？然后接下来算get p就行了啊p。六点二十四除以五十六。然后上下都约了一个八。是吧，这样都除以个八。啊除以八然后呢？就得到七分之三。

好，这是它的方法思路，看是不是懂了这个呢？就选择这个b选项。好，这道题比较难一点，知道吧？大家呢？要会分析和思考，当然这里还可以改成什么改成构成等腰三角形的多少个？啊等腰三角形的多少个？是吧，让你找一些等腰三角形，到时候呢，一定要去分析好吧，

这块儿呢，你自己去相应的去啊，进行扩展。和变形就可以得到答案了，看是不是听懂了啊？好，接下来咱们看一下比赛闯关问题，比赛闯闯关问题这道题呢是独立事件中最难的部分，为什么难？难点在于什么呢？要从技能入手，对比赛的胜负情况进行全盘分析。此外呢，还要看赛制是吧？核心关键点是赛制。

赛制刚刚咱们讲的是传统赛制，就几局几胜制，传统赛制还有一些其他赛制好吧，所以说有的比较赛制比较特殊。然后有时候呢，还要先画图是吧，所以说做这个题不要着急，不管通过画这个树形图或者列表格等等的，那这个画图是关键。图纸要画对了，把每局比赛的成败图画出来好吧，就画。每局。比赛的成败图。画每局比赛成败图，

然后来进行分析好吧，然后最后呢，有的再列一下表格来求解就可以了，好看是不是懂了？下面我们来看30题，这个题。某陶瓷厂准备烧制甲乙丙三件不同的工艺品。制作过程必须要先后经过两次烧制。第一次烧制合格后，方可进入第二次烧制，两次烧制过程中相互独立的。根据该厂现有的技术水平，第一次烧制后，那甲品合格概率分别零点五，零点六和零点四。

这第一次烧制。好，第一次烧制合格的，再经过第二次烧制，第二次烧制以后，因为第二次烧制的过程中有可能产生合格，有可能产生不合，第二次烧制合格概率分为零点儿，六零点儿，五和零点儿，七五。好，第一问他的，第一次收到后恰好一件产品合格，那第一次我们看甲是零点五，

乙是零点六。丙是零点四是吧？我们看第一问，第一问就是甲乙丙。好，甲乙丙，那我们要先画图，因为恰有一键合，恰有一键合格化，那这时候不能用玻璃公式啊，因为三个里面有同学，三个里面恰有一个。成功不就可以用写13页吗？那前提是必须是每次概率一样，大家可以发现零点五零点六零点四，

它不一样是吧？这零点五。零点儿六和零点儿四，它不一不一样的话，那只能是分类讨论，比如说一件合一件合格，有可能甲合格乙和丙不合格。是吧，有可能乙合格甲丙不合格，有可能甲丙不合格。啊，甲乙不合格，丙合格是吧？好，所以第一问的概率p我们呢，

就可以写到这p。p就等于什么？就等于甲如果合格的话是零点五，乙不合格是零点四，丙不合格零点六加上。加上甲不合格是零点五，乙合格是零点六，丙不合格是零点四啊啊，丙不合格零点六。好，这是乙合格啊，甲跟丙不合格，再加上再加上甲乙甲甲乙甲乙就是甲不合格零点五乙不合格零点四。丙合格是零点四是吧？好，

这样的一个结果好，那做到这我们就可以写出它的式子了。然后这个把它加在一起，就是这个很好加啊，这个零点五提提提出来提出来，然后这个就是零点三零点三，然后这个一一一六。是吧，所以在这里面，然后再乘以个它零点五正好等于零点三八。啊零二三八这个答案选e选项好，这是第一问他的做题方法来看一下第二问。第二问，第二问，那就经过前后两次操作后和平的。

个数为m，那么则下列结论不正确的是什么啊？不要选错了，人家问的是不正确的。好，那接下来我们来看下两次烧制。两次操作，我们看甲合格概率是多少？我们拿甲分别用ABC来表示吧，甲用a，乙用b，丙用c。好甲合格概率甲合格概率的话就第一次，第二次都得合格就零点五×0点六是吧？就零点五×0点六。

加上那么第二次合格呃，这个这个这这就是这就是假了啊，不用加了，就是零点三。然后再看乙乙的话，第一次要合格，第二次也合格PB。p就等于零点六×0点五。它也等于零点三再看PC PC的话，就是丙丙的话，那么第一道工序，第二道工序都合格，就零点四×0点四七五。这算得也等于零点三是吧？也零点三这就写好了，

写好以后那么当它的这个概率都相同的时候就可以用玻璃公式，所以这点我们可以对照一下啊，如果三个概率要不同，那么。这时候就不能用玻璃公式写，只能是按照这个图来进行写，它的式子知道吧，如果三个概率要相同，比如都是零点三。改项呢，你可以用玻璃公式，然后这m代表合格的产品的个数，那接下来我们看m为零的时候。MV 0就相当于三个合格的个数v0v0的话，就相当于三个都不合格啊，

都不合格，都不合格就等于零点三四三。啊，零点三三次三是吧？这零点七的三次方啊，这样就可以写出来。好，那接下来第二个p等m=1的时候。m=1代表什么意思？代表三件里面恰好有一个合格。就c3有一个合格，另外两个是不合格。这样话就等于零点九×0点四九。是吧，所以这个七的平方嘛，

就49，然后三×0点三就零点九，然后这样就可以写出来它的这个值。然后第二个这个呢是错的好吧，这个九九八十一嘛，显然这个是不可以的是吧，然后在这里面大家呢，可以发现这个个位它就不太显，所以必然就错了。b错了，然后剩下的m=2的时候。然后等下就说两个合格。还有一个是不合格。然后大家知道这个三啊三三×0点七就二点一，二点一就零点零九乘以个二点一。

是吧，然后这个正好等于零点一八九，这个是没问题的。啊，零点一八九好的m=2，然后m正好为三的时候m为三的时候就三件，它都合格零点三的三次方就零点零二七。啊，这样就写出来了是吧？m=3这零点零二七。好，那么其他都正确，就b是叙述不正确的好吧，这道题就告诉我们什么用玻璃公式什么不能用玻璃公式，一定要看它概率是否相同？

啊，这个是它的一个判断的关键的方法，看是不是掌握住了？好，接下来咱们看这个题。栽培前两种果树。先要培育成苗，然后再进行移栽，甲乙两种果树成苗的概率分为零点六和零点五。移栽后成活概率分为零点七和零点九。啊，就是跟刚才工艺品烧制经过两步一一样，这道题也是两步，一个是先给它进行。啊，

果树成苗啊，首先它要变成苗苗的话，然后把这苗再移栽成活是吧？还要再再移到其他地方栽。是吧，好，那接下来咱们看第一问第一问，至少有一个果树成苗就是第一步啊，成苗至少有一个成苗，至少有个成苗的话，我们可以用反反面做。就一减它都不成标，甲乙都不成标甲，不成标概率是零点四乙，不成标概率是零点五。

现在零点八是吧？是这样就选择e选项第一问。第二个嵌入一种果树，培育成苗，且移栽成活的概率是多少啊？那我们来看一下甲就用PA吧ppa正好等于零点六乘以个零点七。就是它要成苗，而且还要移栽，能成活就等于零点四二。然后PB代表乙乙的话就零点五×0点九。就等于零点四五好，等于零点四五这个写好了行，那这里面因为这两个概率它不一样不一样，那也就不能用玻璃公式做了啊，那么恰好有一种。

那第二个呢？概率p2恰好一种有可能是啊，那么甲那么。成苗了啊，乙再成活了乙呢，是没有零点五五，加上有可能是。乙是。呃，有有点像，有点是接下来就是甲不行是吧？甲不行甲不行，四二四二就是五八。乘以零点四五。是吧，

这样就可以写出它的数值。好把这两个这个加在一起，当然数这个稍微大一点好吧，然后这算完之后正正好等于零点四九二。算的时候细心点啊，零点四九二这样就写好了，然后这样答案就选出来了，这样答案应该选择a选项。好，这是他的做题的方法思路，看是不是明白了啊？然后通过这道题，大家呢啊，要知道那么什么用能用玻璃公式什么不能用玻璃公式是吧，大家呢，

要会分析和思考。而且恰好一个我们应该怎么去求解大家呢？要会分析啊。好，接下来我们来看一下这个题，某项选拔共有四轮考核，每轮是有一个问题能正确回答问题者进入下一轮考核，否则就被淘汰。已知某学生能正确回答一二三四轮问题的概率分别为五分之四，五分之三，五分之二和五分之一，且四轮回答呢？互不影响。啊，互不影响好，

那接下来我们来看一下。第一问啊，第一问进入第四轮才被淘汰，就在第四轮淘汰了，说明前三轮没有。呃，都过了是吧？所以说这它的图就一二三四就第一轮过了，第二轮过了，第三轮过了，第四轮被淘汰了。好，这是第一轮的概率好，那第一轮过的概率是五分之四。第二轮过了概率是五分之三，

第三轮过了概率是五分之二，第四轮被淘汰，淘汰就五分之四好吧，五分之四，然后把这个。写一写这个分母承载体就是625。125上面承载起这个二三得六啊，六六×16得到96正确答案，应该选择a。好，这是第一问。第二本就至少至多问题，大家呢，就是容易出错，至多进入第三轮，

可以从正面做，也可以从反面做啊，一般咱讲过遇到至少至多问题。好至少至多问题好，那么大家可以从正面做，也可以从反面做好，至多进入第三轮。啊，第三轮过不过咱不管他，反正就进入第三轮了。就是至多已经进到第三轮就行了，进去就行了，那第一题第三轮赢不赢咱不管它，反正就是进入第三轮，那说明什么？

啊，至多进入第一第三轮考核，那有可能什么有可能第一轮就败了，第一轮败了，连第二轮都没进去。是吧，连第二轮都没嗯都没进，还有可能什么？还还可能第一轮过，第二轮败了，那就相当于是没有进入第三轮。是不是然后这样的试着看这个懂了没有？至多进入第三轮嘛，是吧？至多意思就小于等于嘛？

12等于嘛，是吧这？进到第三轮，然后这样行了啊，那就不能进入第四轮了，是不是？所以在这里面第一轮过，第二轮过，第三轮败了。第三版它就没有进入d4的啊，这它的这个情况在正面好正面，我们把这个概率加在一起，当然也可以从反面做啊，讲完正面咱们再说一下反面。增加反面好，

那正面做第二问的概率p二好，那我们来看一下第一轮的概率是五分之四是吧？五分之四，五分之三，五分之二。最后是五分之一啊，好，那么第一轮要败了，败了就是五分之之一了。啊，分类用加法加上。第二个，第二个就是第一轮。胜了第二轮败了。加上第一轮胜了，

第二轮胜了，第三轮败了，这样的把这个都通分通分分母呢，就125。是吧，然后这个呢？就是25。啊，这个呢，就40。嗯，这个呢，就是36算成等于125分之幺零幺。好，这个就写好了，

把这几种情况概率相加。得到答案是125分之幺零幺。正确答案应该选择c选项。这个答案选c就可以了好，这是它做题方法思路，看是不是懂了？当然，这里还可以从反面做。反面就是超过三轮，总共是四轮，对不对啊？总共呢？它有四轮比赛，四轮比赛呢？超过三轮。

超过三轮儿话，那只要是第一轮儿胜，第二轮儿胜，第三轮儿胜就行了，第四轮儿胜不胜无所谓了，反正他只要进入第四轮儿就行了，所以它反面反面就一减去。一减第一轮儿胜是五分之四，第二轮儿胜是五分之三，第三轮儿胜是五分之二啊五分之二。啊，这样也可以好吧，所以大家呢，就是它的这个方法，所以说第一轮儿胜，

第二轮儿胜，第三轮儿胜。这样也可以，这就一减去一百二十五分之二十四。就等于125分之幺零幺啊，都是可以的好，这是它的做题方法和思路，看是不是听懂了？好，那这些答案都是选c选项，所以以后遇到至少制多问题的时候，大家可以看一下，正面做简单还是反面做简单啊都可以。来，求解。

好，接下来咱们来看这个题。某人经营打靶设计训练，每次精准概率分别为零点六。求第一问，射击五次，恰好命中三次，直接用玻璃公式做就行了是吧？因为他没有什么要求，第一问概率用p来表示。只有c五三。然后呢，乘以个零点六命中三次方零点六三次方，然后还有两次没中是吧？这样就写好了。

啊，就是c五三零点六三×0点四的平方，那这个数比较大，它就不让我们算了，直接就看一下表达式c选项就对了。是吧c选项，这个是跟这个是吻合的套玻璃公式就行了。好，第二问是直到首次命中发现共涉及到五次，那这个呢？大家呢？稍微复杂点，咱们画一下它的图。好，第五次是首次中首首中。

那说明前四都没中。是不是前四它都不能打中，所以它的p2？这就说明前40他都失败了嘛，失败了，所以零点四的四次方，然后乘以第五次重零点六。就行了，所以要知道它的区别。啊，这个所以这个答案应该选择a啊a是可以的，大家可以看一下。a选项是满足的，对不对？这样就行了。

然后接下来咱们看第三问，在第二次成功后发现共涉及了五次，第二次成功。第二次成功。好，还要画图一二三四五画画图，第五次是第二次成功。第二次承诺。那说明前四次还要成功一次。所以前四是用玻璃公式啊，所以这个什么时候用玻璃公式啊，就多次里面它成功多少次用玻璃公式啊，所以这时候呢，我们就可以写它玻璃公式。所以它的p3我们就可以写出来。

p3就等于c四一，他成功一次。还有失败了三次，这是前四次第五次呢，他又成功了是吧？第五次他他又成功，这样就写出来了。当然c四一跟c四三它是一样的，所以说数是一样啊，所以写c四三也行c3就零点四的三次方乘零点六的平方，这样写也可以。这样写也行，所以正确答案应该选择c选项是吧？c选项跟这个数是一样的。好，

接下来第四问，第四问一定要画图，知道吧？其实这道题主要是考察大家呃，要理解它的题意，要把图画出来，图画出来，这个答案就很好做了。在成功命次命中第二次之前，已经失败了三次。成功命中第二次之前，已经失败了三次。好，那说明说明总共打了几次，一定要知道总共总共打了五次。

对吧啊，五五次五次，而且在成功命中第二次之前啊，它这个命中第二次不是连着命中第二次啊。不是不是，连着命中第二次，所以就一二三四五，所以第五次呢是？命中第二次。之前。他失败了三次是吧？所以在成功命中第二次。啊，这是成功命中第二次。之前他前面已经失败了三次。

好，已经失败三次的话，那在这里面就相当于成功了。一次失败三次。啊，成功率是430，其实它表达式跟它是一样的是吧？跟就同上了，就是相当于描述不不一样含义，它是一样的。意义是一样，所以表达式也一样，咱就不用再写了。然后第五问。在第五次打靶之前，

注意第五次还没打，第五次马上要打。第一次打靶之前失败了三三三次，就前面失败了三次。失败三次相当于成功一次，失败三次，但第五次还没打，知道吧？就第五次马上拿着枪要打。之前是吧，就第五次打法之前，所以他只打了四次啊，所以在这大家不要给写错了好吧，所以四次里面这个成功。一次失败三次，

所以第五问他的概率。就是写的c四一成功一次，失败三次，这样的当然c4也可以写成c四三啊c四一写c四三都行，建议大家就选d选项。所以答案就选d好他的做题方法思路，看这个是不懂了他的考要点。好，那这个关键是呃，有的文字不要理解错了，理解错的话，那表达式就没法写，另外呢，这个表达式把图画出来，然后再写。

图只要写的没问题，那么这个表达式啊，就是写的都很好写了。好，这是它的要点，看是不是懂了？接下来咱们看一下题型，七条件概条件概率呢，这是了解一下。好吧啊，了解一下，这个主要是防止它考啊，主要现在考试有时候呢，它会考一些考纲之外的创新题啊。啊，

所以了解一下它什么时候条件就在什么什么前提下，它才发生。懂了吧，比如说。在你听课的情况下啊，你考试成功的概率是多多少是吧？然后在不听课的条件下，那么考成功概率是多少？或战役呃，好好做练习题的情况下，那么考试成功的概率，那这也都把它称为条件概率条件概率的话。在a发生的条件下，b发生的概率就称为这个条条件概率。然后这里就p。

b1竖线a。这个呢，这个条案概其实它主要为了解什么解决概率没有除法知道吧，咱们概率有加法公式减法公式就没有除法公式。知道吧，所以说在这里面他呢，就是演演变演变成一个条件概率，他就可以。定义式就等于pab。除一个PA。啊除以个PA好吧，就这样的，这个分母就是条件，它的概率分子呢，就是PA BP AB，

它又同时发生的概率。知道吧，好那么尤其一个特殊情况。在独立的时候。所以咱们前面讲独立概念，对吧？独立概念pab就等于PA×PB。这是咱们讲过独立试验的，它的定义啊pab=PA×PB好，那这个时候如果在独立的情况下。那这时候PB在a发生的条件下概率。因为这个分子分子pab又可以写成PA×PB，直接就等于PB了。好，如果独立的话呢，

这个怎么去列？如果要独立的话，你这个a这个条件啊，你发生不发生？跟b也没有关系，对不对？这个根本不影响b是吧？比如说你听课不听课，那么对你这个考试。成功这件事没有任何影响，没有任何影响的话，就听课也行，不听课也行，反正呢啊，对PB这件事没有任何影响是吧？

就a。不管他在不在啊，相当于谁也不干扰谁，没有任何影响，一点都都不影响好吧，就这样去理解。啊，这是条件概概率条件概率，它的计算方法啊，计计算方法计算方法哈啊，有两个一个呢，就是求出和。然后用这个公式做，还有一种方法就缩减样本空间好吧，就怎么去做好那什么样的题呃，

是要用条件概念，它会有一个非常明显的，这比如在什么什么条件下？好吧，所以它这个在什么什么条件下有这样很明显的一个描述。啊，所以说这个你也不用担心那么做题，想不到或者说呃呃，想不到或者说不知道该不该用这个它会有。很明显的，这个情况在某某条件下，他会告诉你的好吧。好，那它的计算方法。计算一个呢，

就套公公式啊，方法一吧。就套公式。它光这个p。b在a条件下发生概率要求出PA的概率和pab。的概率把这个概率求出来，所以要求两个概率，一个a的概率，一个pab好吧，求出来方法二。方法二是什么呢？方法二大家呢？可以用缩减样本空间的方法来做，就缩减样本空间。什么叫缩减项目空间？

把这个看成一个全集，因为咱们知道求概率就是一个比值，咱们前面讲比值分母是总情况数，现在这个分母就不是总情况数了。叫缩减样本空间。咱们画个图，你就明白了。画个图。只要这个是a，这个是b。这个a这个是b，然后那么这个条应该是什么？是PB PB是这一块？是吧，这块就是pab。

这一块就pab。peb正好是是是这边一块，这是peb。然后再除以PA，就把a作为一个样本全集，知道吧？就把a作为一个欧米伽。啊，就不看整个欧米伽了啊，这不将啊，首先我们空间e是将a。看成一个样本空间。知道吧a看的样本空间，然后这时候呃或者说呃有点像咱们好理解的，就几何的面积，

就看a交b这块面积占a这个面积的比例就行了好吧，就看a交b这块面积。占a这块面积的比例情况到底是多少啊？把这个比例找了，看到底是多少就OK了好，这是它的这个计算方法。接下来，咱们就通过题来讲解一下这些方法，这两个方法都行的啊。好，接下来我们看这个题。把伊米萨德连续质两次，已知在看看在什么什么情况下，他都是这样描述，所以你也不至于想不到，

知道吧，他的题目特征很明显。在第一次抛出是偶数点的情况下，然后第二次抛出也是偶数点，那咱把这个这个a再把它看成个b。好吧b啊，就是前面这个a就第一次抛出的偶点用事件a表示，第二次抛出的也是偶数点，那么用b来表示它求的是。b在a条件下发生的概率。就等于pab。除以一个PA。是吧啊，除以PA。好，

那在这里面大家知道，那么第一次要抛出这个偶数点。知道吧，第一次要抛偶数点，那它的情况数我们看有多少种，第一次抛偶数点，大家色色子嘛，色子的话就是二四六。这个偶数点是吧？所以说第一次要抛出偶数点的话，那么就二四六三个选选一个就三种情况。第二次就无所谓了，对吧？嗯，这个papa分母分母就是第一次是偶点，

因为它抛两次嘛。抛两次知道吧，抛里抛抛两抛两次吧，注意它的样本空间应该是c六一×c六一，但是现在作为分母了PA作为分母应该CC 3a×c六一。因为因为第二层有六种情况嘛，它总总情况数嘛。总总情况数就六种。分子分子a交b代表什么？a交b第一次是偶数，第二次也是偶数，第一次是偶数，第二次它也是偶数。然后算完就等于二分之一好吧，这样答案就选择。

这个d啊，这样就写好了，这是套公式来进行分析的，接下来咱用缩减样本空间来进行思考。啊，缩减样本空间，他的方法来进行写。好，那大家知道缩减样本空间需要样本空间的话，这个就是a好吧，这就是a，这就是b。这个a这就是b。好，那这个它的这个情况，

然后接下来咱们来看一下它的这个整个的表达式表达式，这个a交b我们看有多少种情况AA交BA交b的话就相当于。第一次是偶数点，第二次它也是偶偶数点。对吧，两次它都是偶数点嘛。比方说他都是偶数点的话，那这时候我们呢就可以看出来他的这个情况嘛。是吧，它就第一次是偶数，第二次它也是偶数，所以这个a交b啊，我们呢就可以看出来。啊，就第一次抛偶数，

第二次它也抛偶数点。是不是所以这样就可以写写出来，然后除以AA的这个这这个数量啊AA的数量a的数量的话就a的数量就是b它不管是偶数还是奇数？它都有是吧？有了这一块就相当于b是奇数。知道吧好，这这个写这个就代表是a交b。这是a交b非。是不是这样的，你看所以这块面积不就是AA交b嘛？对吧，这块儿就是a交BC嘛，是不是这样的话就可以写写出来嘛，然后AA交BA交b正好是c三一×c三一嘛，就是第一次偶数，

第二次也是偶数嘛。是吧，这样的，所以在这里面大家呢，就可以写出它的值。概概率p。就等于c三一×c三一，然后分母分母就是a交b这块面积，加上这块面积就就总总的嘛，是吧？aaa交BC三一c三一加上。这块面这块面a交b非a交b非就是第一次是偶数b非就代表，第二次是奇数，第二次奇数它也是c3e。是吧，

也CC三a算算也等于二分之一是吧？一样的啊，这块儿就a交b这块儿a交a交BC两个算在一起a交BC就代表什么呀？代表第二次是奇数啊。第一次是偶数，第二次是奇数，这样的情况懂了吧？所以这样嗯，这些答案就选择d选项。啊，这是它的方法思路。好，另外还有一个小技巧，什么还有一个小技巧就独立是吧？还还有一个小小技巧这道题。

它是它是独立的。为什么独立这色子，它其实又不不影响，对吧？那色子第一次抛完以后，第二次抛，第二次抛，跟第一次第一次抛，你这个没有任何关系，对不对？就色子你随便抛，随便抛色子呢，它它之间并不是说你第一次抛的时候一定要把色子的磨了一个角啊，第一次抛的时候把色子磨成一条，第二次抛的时候可能出现偶数呢，

它概率高，那这时候就互相干扰。所以说什么时候独立什么不独立呢，就看它互相会不会影响，就第一次抛完这色子还是完好无损的，对不对，所以。是独独立，既然独立的话，那么这个b在a发生的情况下，直接就等于PB。ppp大家知道，总共是六个点，六个点要出现偶数的话，那么就是占一半是吧？

这样是吧？你说第二次，所以说不管是第一次，第二第第三次，每次抛出偶偶数点概率都是二分之一。是吧，不管是他让这个还可以让求第三次，第三次它抛点还是二分之一，对不对？它没有任何影响，你看它都独立的嘛。只要色子，它还是完好无损的都独立，比如说像啊，咱们有放回的取样呀，

它每次概率都不影响啊，都是独立的，知道吧，所以说你怎么判断，看它会不会互相影响？只要不影响，都独立独立的话，那这个条件就可以不用考虑了，好吧，这样做也行。好，那接下来咱们看这个题，一个合成有20个大小形状相同的小球。请问五个红，五个黄，

十个是绿的，从中任意一个取任意一个取，如果它不是红球，这个就是条件在不是红球的情况下求这个，它是绿球的概率是多少？好在它不是红球情况下取一个球啊，我们看一下它的条件概率。在它不是红球的情况下啊，这是pab。除以一个PA。大家想想，它分母就不是红球，不是红球的话，有可能是黄球，有可能是绿球是吧？

就是c十五一。对吧，就是黄球或者绿球，所以十五一分子PA BP AB p ab就不是红球，而且是绿绿球，那只能是绿球了a交b，它只能是绿的了。是吧a交b嘛，他只能是绿球，不是红球，他只能是绿球。啊氯氯气的话CC 11。这样得到三分之二。是吧，三分之二这个答案就选c选项。

选c选项啊，这个肯定是不能是独立的，知道吧？为什么不独立？如果它不是红球，肯定会影响这个绿球的取法。对吧，所以它这个肯定不是独立的啊，大家呢，要注意一下，当然这道题也可以用啊，这个缩减样本空间来进行分析。好，这个呢a呢？就代表不是红红球非红。

黑红，然后这个b呢，就代表是绿绿球好，它交集就是绿绿球。他总总情况数总情况数就是飞红飞红里面的话，就相当于是只能是黄或者绿，就相当于十五十五种情况。啊，这个率的话是十十种，所以说这个直接可以写出来，十除以十五得到三分之二，这个写好。是不是这样就求出来了？看这个懂了吧？用这个缩进样本空间，

这是十种情况，这总共是15种情况，所以这样算出来，答案是一样的。好，接下来咱们看这个题抛掷红黄两颗色子，当红色色子点数为四或者六时，两颗色子点数之积大于20的概率是多少？那这个就不独立了，因为红的色子是四的时候，它会影响后面色子成绩大于20的这种，这这个情况的。所以它互相干扰，互相干扰，所以说当什么什么时，

这也是一个条件概率，你把前面这个看成个a。后面把它看成一个b好吧，就是把前面看成一个a，后面把它看成一个b好，这样的情况。好，那接下来咱们来看一下，这也是要求b在a发生的概率分子就是pab。分母呢就PA。好，这样的一个特征。好，那接下来咱们来看一下它的这个情况，数分母很好写，

分母的话呃a的话，红色色子是四或者六。就c二一有两种情况啊，那么黄色子的话是六种情况，六个面嘛，六种情况是吧？接下来pab我们要列举法。列列举列举，这个AA交b代表什么？a交b就是红的色子四六，而且。两者成交大于20，那我们看一下，如果第一个要是四的话。四×6型。

对吧，四×6是可以的。对不对？好那么四的话，是不是就没有了？要大于20嘛，然后看六呃六×4行六×5行。六六×6也行是吧啊，也行也要算出来，也有四种情况是吧，例如说就四四种情况。这种情况上下约也就等于三分之一。这个呢，应该选择b选项好列出来，剩的三分之一，

这样就写好好看，这个方法是不是听懂了？是吧，所以在这里面大家会算这个总的情况数。首先大家大家注意，在算的时候b呢是可以任意选啊，有六种情况，所以说这个地方一定要再乘一个六，知道吧？好，因为其实这个这个分母你怎么去理理解，知道吧，这是a这个是b，其实这个就相当于是a交b。所以你不要在算a的时候a是有两部分a交b和a交b非两部分知道吧，

所以说这个b跟b非合在一起就是六。知道吧，有六啊，所以在这里大家呢，要注意它这分母的写法好，这是给大家讲一讲一点点条件概率条件概率呢，咱们。不用重点掌握，稍微了解一下考试也不会考太复杂啊，不会考太难的问题。好，大家把这些概率呢啊，好好的去琢磨琢磨概率，要想学好排列组合是一个基础啊，如果概率没弄明白，

同学一定要把排列组合。啊，这个知识点各类题型方法，然后再好好看看，排除我学好了概率题，其实学起来很简单，这样就不会出出错了。

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