057.专项十三-题型1

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:47:44

下面咱们来学习专项13概率，初步内容概率呢，也是大家比较害怕的一个短板，其实概率的求解呢，主要建立在排列组合基础之上。好，只要大家把排列组合的基础打扎实，概率呢，求解起来就更加简单，更加轻松，更加容易了，所以在这里面大家呢，要学会我们概率如何来用排列组合来进行分析和思考。好，我们看一下第一节核心决例。

概率初步在考中，主要考察两种理想化的模型，一种呢，是古典概率，古典概念呢，它主要是最大特征呢，就是等可能。来进行求解概率，它每种发生可能性呢，是相等利用所求其的个数，除以总数得到的份数来表示概率。啊，它是用除法来表示概率，当条件排列组合语言求概率时，我们用古典。

概型来求解与学问，重点在于计算能力的考察。啊，另外一种为独立事件，以互不干扰为模型，就互不影响啊，利用多个独立事件同时发生的概率就等于多个概率直接相乘，它是主要是乘法。啊，当条件是已知概率求概率时，我们可以用独立事件的模板来进行求解，重点呢在于它这个事件发生的过程的梳理，发生过程梳理是什么？就是谁成功谁失败，就是咱们讲的成败图。

用它的一个成败图就行了。啊，成功失败图就可以得到啊，它的概率表达式就OK了啊。好，我们来看一下第一个题型就是古典概型。好古典概型的话，那么主要就是第一个就是取样问题，所以古典概型咱们总共有三类。啊，三类古典概率，三类古典第一类就是取样问题。好，那么其他问题也是考试频率较高的一类题目，基本上每年都要考。

好，一方面从样品的类型分析，另一方面从取样方式一次取样或者逐次取样来进行考察。好吧，所以这是取样它的这个考试的方法啊。所以啊，那么注意，比如说类型类型，它按照颜色可以分为红球，黑球也可以按照产品分为正品，次品。是吧，然后这一块，另外还有取样方式就怎么取的？可以一次性取样，

还可以逐次性取样来进行考察。好，那接下来咱们一起来看一下第一个题。甲盒内有三个黑，三个红，四个黑，乙盒内有五个红，四个黑，现在甲乙两盒各任取两个球。就每个盒都任取两个球。第一问，取出四个球均为红球的概率是多少？第二问，取出四个球恰好一个红球的概率是多少？啊切，

有一个红球的概率到底是等于几好？我们来看看好，那来看一下第一问。第一，大家想想要取得四个球，正好为红球，四个球正好为红球，那说明那么甲取得两个球是红的，乙取两个球也应该是红的。好，那我们来看一下甲取两个红球的概率，甲的球是三个红球，三个红球写c三二。是吧，就写c三二，

然后分母分母甲，总共呢有七个球是吧？所以甲总共呢是七个。好，所以在这里面我们就可以写出它的式子，所以就c七二好，这是甲，然后乘以乙要取红球，乙要取红球，就是c五二。啊，已取红球，红球五个里面取两个c五二啊，除以个除以个c九二。除以c九二啊，

所以在这里面大家可以看到那么甲里面他取红球的概率就c三二那么除以一个c七二。然后然后乙呢乙呢就c五二÷c九二这样就写好了，然后这是它的式子。然后接下来大家呢，把这个呢剩下化简。和处理化简完后就可以得到，这样呢，应该选择的是。答案算出来等于一百二十六分之五。啊，选择b选项啊，这是他的做题方法啊，然后第二个。第二个，咱们看一下p2。

p2那么取出四个球，恰好一个红球概率。四个球恰好一个红球，四个球恰好一个红球，这时候要讨论对吧？因为这个红球到底是甲的还是乙的，这时候我们要讨论一下啊。啊，要讨论分析一下好，那接下来我们看一下那甲有可能是一个红一个黑。加有可能是一个红，一个黑。然后分母呢，是c七二。撑一个。

所以乙那么乙呢？正好是。好乙正好是。呃，都是黑球是吧？因为它恰好一个是红的嘛，乙呢b是黑的c四二，除以一个c九二。加上分类，用加法就行了啊，分类用加法。加上第二种情况，第二种情况，那么这红球呢？是来自于乙的红球来来自于乙的，

所以在这里面应该是。甲是黑的。然后乙呢是一红一黑。啊乙呢？是一红一黑啊，这样的一个情况。好，那这个大家上下化简一下，然后呢，把它求解，这样约完后答案就等于六十三分之十六。好，这个答案应该选择d选项。好，那这道题考察这个取样问题，

如果这些改的难一点，各位学霸们可以思考，比如把它改成四个球，至少有一个红球的概率是多少？是吧，如果改成。铁四个球，至少有一个红球。大家都写表达式，各位学霸们加油，都写表达式，至少有一个红球。只要有红球概率，那么我们就可以写成什么？写成反面做就一减去没有红球。

那一减去没有红球，又取了四个球啊。至少有个红球的反面就没有红，没有红球说明说明甲取的是黑的，那么乙取的也是黑的。甲取的是黑的。好已取的，它也是黑的，好已取的黑的就是四个黑球，已取的也是黑的。好c12，它有四个黑球好，这至少有个红球啊，如果改成各位同学改成红黑都有。比如说他取的这四个球，

四个球红黑都有。红黑都有，那么我们可以从正面来进行分析，红黑都有，要么就是啊，那么一红三黑是吧？如果要要红黑都有红黑都有，大家可以分类做。从正面分类做，分类做的话，要么就是啊，一个红三个黑。或者说脸红脸黑。或者说那么三个红一个黑，这时候呢，

一红三个黑的时候还要讨论这一个红球是来源于。那么甲的红还来源于乙的红，然后两红两黑还要再讨论到底谁是呃红球，谁黑球正面情况复杂，我们可以用反面做。反面反面话就相当于是红黑都有，反面就全都是红球或者全都是黑球，刚才咱们讲过这都是黑球。就c四二c七二×1个c四二c九二是吧？那么这四个球都是黑的，全都是黑的。还有可能那么再减去，他都是红的，都红的c三二c七二。乘以个c九二。

上面都是红的c五二。啊，用反面做个简单红黑都有它的反面，就是全都是红的，没有黑的或者全都黑的，没有红的来进行分析和思考，看这一块儿是不是懂了？好，要掌握它的思路和要点。好，接下来咱们看第二题。啊，一个坛子里有编号为一到12的12个大小相同的球。那一到十二十二个大小相同的球，一到六号是红的，

那其他都是黑的，就相当于七到12都是黑球。如果从中任意取两球，任意取两取到都是红球。选择红球则至少有个球的号码是偶数的，概率是多少？啊，至少有个求的号码是偶数的概率到底是多少？好，那这是他的这个方法，那接下来我们来看看他。要是偶数。注意，这有个且知道吧，这有个且注意这道题，

虽然遇到了至少有一个。大家不能够直接用总的用用反面用一减来算，知道吧，不要用总的用一减来来分析。用一减，因为其他前面还有一部分知道吧，前面还有，所以这道题要注意掌握一个局部的反反面，要么就从正面分类做，要么就局部的反面。什么叫局部反面？因为他取的都是红球是吧，所以说这要给他画个图就行了，比如这是总总情况数。然后这个呢，

是代表球都是红球。然后且至少有个号码，要是偶。偶数至少一偶。探求的是这块儿发生的概率是吧？就是且嘛，且就代表交集能懂吧，所以前面大家可以看成啊一个事件。就是都是红球。b都是红球，这个呢且呢，至少有个号码是偶数。啊，他在企业的话就交集交集，就这块就这块，

大家不用一减，因为一要要减掉减掉很多部分是吧，减掉外面的还减掉这些空白的。才能得到中间的，所以这个不要用反面用一去减。这里是什么？这样您可以用红球减掉这块儿的反面，知道吧？红球减掉这块儿的反面，这样就可以写出来了。啊，如果不懂的同学，我可以给大家去选公式，然后这是a集合，这是b集合，

这是a交b。a交b可以写成。写成什么呢？写成a减去。a教b飞。是不是也可以写成b-b交AC？是不是这样的，这样写好了，好，那接下来咱们来看一下他的概率p。分母分母化就可以写成是12个里面任取两个c十二二。啊，分母里面就12个球，里面任取两个。列分母。

然后分子分子的话，我们用都是红球的，都是红球的。啊，这个取法都是红球，就是一到六，那么取红球就c六二。也就说a这个圈a这个圈相当于c六二知道吧？a这个圈是是c六二，然后减到这一块，这一块是什什么意思啊？这块就要代表都是红球，而且呢，没有偶数。都是红球，

没有偶数都是红球，没有偶数就相当于是红球奇数区，大家知道一到六一到六红球奇数就是一三五。你像一三五三个奇数，里面取两个好吧，这代表都是红球，且都是奇数好，这样就写出来了。好，那这个分母是66分子15-3。然后上面有十二是吧？十二十二，然后剩下月月月就得到是d啊，得到d十一分之二。这个答案就选d进行写好了。

当然，如果从正面分类做也行，或者有同学说没有这样减法，从正面分类做。c十二二。正面分类，正面分类的时候，大家在写的时候呢，要注意一个什么情况，在写的时候在写的时候，那么要么就至少有一个是偶，要么一偶一奇，所以说就c三一c三一这个c三一代表什么意思？代表是从二四六选一个，这个从一三五选选一个，

所以c三一c3 a+1个什么加上一个c三二加上。因为它至少有一个是偶数嘛，有可能是两个都是偶数，对吧？两个都是偶偶数，这个上面算的12，这是66得到的答案是一样。知道吧，它的答案是一样，所以遇到至少可以从反面做也可以呢，从正面分类做都是可以的，好看这块儿是不是听懂了？要掌握它的方法，这个答案选d选项。好，

那接下来咱们看一下第三题，大家思考一下第三题。啊，想想第三题。k个坛子各装n个球，编号为一到n。从每个坛子各取一个球。则取则取得k个球最大编号是m的概率是多少？好，这个编号是m这个概率到底是几好？这个题大家想想应该怎么做？这里大家之所以不会做，就是题意没理解清楚，没读懂。那像这个题意是什么样的题意，

怎么去理解是吧？题要理解清楚，理解清楚这道题就好做了。好吧，理解清楚就OK了。好，那接下来咱们看一下这个题，那怎么去进行转化？好，咱们画图k个坛子，各装n个球啊，有k个坛子，各装了n个球。就是只要这是一个第一个弹字。第二毯子。

啊，这个是画一个这个坛子吧，这个是坛子。这是AK。第k个坛子是吧？这第一个坛子，第二个坛子，第三个坛子，第第k个坛子里面都是n个球，都是一到n。都是一到n是吧？都是一到n。啊，这是从一到n的。好，

现在从每个团子各取一个球，这只能取一个球。这样这个取一个球是吧？这个才能取一个，这个才能取一个，这个才能取一个，这个才能也取一个。好，取完一个球以后发现最大编号是是m的概率是多少？最大编号正好是m。啊，最大编号呢？正好是m就最大号呢？发现最大是是m好，这个最大号怎么m？

我们怎么去思考是吧？最大号。vm我们怎么去思考啊？最大号要vm。最大编号要为m的话，那怎么思考呢？最大号。那说明说明呢，至少有一个编号得是m是吧？得至少有一个是m。你不能说你这个取出来k个球。啊，一个都没有是吧？比如说咱们如果遇到字母，大家感觉比较抽象的话，

考试告诉你一个小好的方法，你可以取特值法做。知道吧，所以遇到符号比较抽象化，你也可以取特值来进行呃，找找规律或者。或者观察一下答案，这样也行。取特值那比如说m。等于5n，等于个六。啊啊啊m得得到一个四吧等于六啊，这样写好吧，然后比如说最大号，要是四号最大号要为四，

那说明取得这个个球。取得这个k个球那么肯定，至少里面得有一个四，但有可能是一个四，有可能两个四，有可能三个四。对吧，然后另外呢，其他剩下的啊，其余的还得小于m。歧义不能大，你比如比如说除了有四之外，里面要有个五，要有五的话，那最大号就不是四了，

最大号就是五是吧？你手里面取出来的这个球。最大号它变成五了，那这样就不行是吧？就在这里面，最大号为那么就得到，至少它有一个是，而且其余要小于。是吧，就这样的一个情况，但大家想想那么。这个还可以，怎么去转化？大家知道，至少有一个它的反面，

就是一个都没有是吧？大家发现这个时候我们至少有一个是m，至少有一个号是m号。其他号呢，都要小于m号。就至少有一个号是等于m号，其他都要小于m号，这两个并在一起。啊，并在一起，并在一起就说明说有所有取的球球号都得小于等于是不是啊？这样就说明什么意思，所以说这道题主要是做一个语文的理解，知道吧？这相当于是。

取出来k个球，取出来球。都得小于等于m是不是嗯，不管是你等于m也好，或者小于m好是吧，要么等于m，要么小于m，就是你取得那么多个球，每一个球，要么是等于m，要么是小于m。那你就可以把它理解成取出的球，要小于等于m。但小于等于m还不行，小于等于m万一呢？

万一他没有等的，因为他说至少有一个的反面是一个都没有，就是万一一个都没有，等于m怎么办？全都小于m怎么办？所以再减去。减去减去取出来，求小于m的。对吧啊，取出的球全都小于m的，把这种去给它减掉就行了。是吧啊，都给它嗯，减掉一些，因为至少有一个就代表一个都没有，

万一没有得到m号了是吧？没有m号了。那这时候大家呢，要知道怎么分析好，那接下来咱们看概率p分母分母，大家知道他的次方分母。分母的话，大家可以发现。发现它的这个内容，所以大家大家知道每一个坛子都有n种情况，知道吧？你看这有n种区法，第一个坛子有n种区法，第二个坛子有n种区法，第三个坛子有n种区法，

第四个坛子也有n种区法。然后这有n种n种n种n种，所以有n×n×n所以的弹子有n的k次方是吧？就它分母应该是n×n。乘以n因为第一个弹的有n种，第二个弹的有n种，第三个弹的也有n种。分子分子取出来求出来小于等于m，小于等于m，就相当于第一个它呢，取的是小于等于m，小于等于m，就是从一到m。啊，有m种取法是吧？

就啊m种取法。减去取出的角度小于等于小于m，小于m就相当于是m- 1，从一到m- 1好第一个条件取的是从一到m- 1取一个。一到m- 1，有m- 1种方法。好，这样写好了，好概率p这样求出来了，分母就是n的k次方分子是m的k次方减去m- 1的k次方。好正确答案就选择的是a选项，答案就求出来了，好，这是他的方法和思路是吧？好看这个题是不是懂了？

啊，如果没懂的同学，咱们呢？也可以把这道题呢给你举个数值好吧啊，估计有同学听到这可能还没听懂，没听懂的话，给大家举个数值啊。用特值法给你理解一下规律，比如特值。特斯拉假设有三个。坛坛子，然后每个坛坛子呢是六一到六六个球，然后m呢就取的最大的是四。啊，现在现在给大家进行解释一下，

你把这个弄懂了，那么刚才那个也又懂了。假如我就有三个坛子a1a2a3有三个坛子。有三个坛子，第一个坛子有一到六号球，第二个坛子也是一到六号球，第三个坛子也是一到六号球球是吧？所以这个坛子一到六，这个坛子一到六，这个坛也是一到六。是吧，这样的，然后我们各取一个，它取出一个，它取一个，

它也取一个，然后最大号呢是四号。最大号四号，最大号四号，那么在这里面，它有什么样的可能性呢？最大号假如是四号再取一个，再取一个，最大号四号，最大号四号有可能是一个四。另外都是都是什么都是一到三。啊，一到三是不是有可能是两个四？剩下是一到三，有可能三个四号球。

是吧，如果从正面做的话，那么应该把它加在一起，加在一起，你可以看啊，假如说第一个坛子取的是四，第一个坛子取的是这个坛子是一到三。他没有四这个，他也是一到三也没有四是吧？也没没有四这样的情况。啊，这样的数值懂了吧？好，这是给大家写的，然后这是一第一个坛子，

有四这个坛子是一到三，这个坛子也是一到三是吧？也是一到三，然后在这里面大家呢？要知道它的方法和思路。是吧，然后在这面大家看看它的这个内容，所以在这里面大家可以发现这是三种这三种。是吧啊，这是三种，这是三种，但是但是咱们现在讲的第一个坦克是41000，有可能是第二个坦克是四呢，第三个坦克是四呢？对不对？

所以还要还要再乘以个三倍啊，就是三×3后面再乘以三倍是什么意思呢？因为咱们假设第一个坛子为四，有可能第二个坛子有可能第三个坛子为四，所以它有三种情况。懂了吧啊，这是它的这个方法，看这个是不是明白了是吧，这是第一个弹次，第二弹次，第三弹次，比如说第二弹次是四，第一个弹次一到三，第二弹次一到三。懂了这个道理没有？

好，接下来有可能是两个四，比如说一二，这两个是四，这个是三。但是为但是后面还要再乘三为什么乘三呢？有可能是一二两个弹次式都是四，有可能一三两个弹次都是四，有可能二三两个弹次都是四，所以它有三种情况。三种情况，然后这个呢，就就一种情况都是四就是一种情况。这样的好吧，这样就就写出来。

懂了吧好，那接下来有同学说能不能这样这样写写啊，我选一个才能让他为四，剩下都是一到四，他有同学想这样图省事，知道吧，比如说。这个弹的是四，剩下剩下都让它从一到四选。这样的话，一个就是你很难排序，然后有可能第二是四，第二是它呢是一到四，那如果乘以三倍，它又重复了。

知道吧，你自己不信可以列列列，那样做就重复了，所以一定要讨论它有几个四，知道吧，就一个四两个四，还有三个四。这样的这样分析好，那么分母分母。分母的话就是每个坛子，它假设都是都是n=6嘛n=6，每个坛子都六六种情况是吧？就六的。三次方是吧？所以你看这有六种情况，

六种情况，六种情况，它都有六的三次方，然后分子分子的话，那么这个是。27种27+9，再加一就等于37。所以你可以把这个数啊k=3 n=6 m=4带到这个五个选项，只有a选项算出来呢，这个分子是37知道吧，这样的话只有a选项是符合的，其他选项都排除了。这样做也行，好通过这个正面做法，我们就可以发现这个简便方法，

简便方法，我们可以把这个东西呢给它进行理解成什么东西呢？列成什么呢？列成每个都在一到四。第一个弹一到四，第二弹一到四，第三弹也一到四，然后减去什么减去他没有出现四的情况，因为咱们刚才讲了，他要至少出现一个四。所以它反面就没有出现，没有出现速度一到三一到三。一到三的情况，所以这个概率p用可以这样写分子就四的三次方，因为它一到四它有第一个，

它有四种情况，第二个它有四种情况，第三个它有四种情况。然后减去啊，第一个参数有三种情况，第二个参数有三种情况，第三个参数也有三种情况。然后除以六的三次方好，这样也得得到37了，是不是啊？也是可以的。好看，这个是不是明明白了好吧，然后大家呢？要注意它的这个方法。

好，那通过这个题，大家呢，就知道这个题，所以通过这个实例呢，是不是再回来看这个符号就懂了，因为有同学这个符号看不懂，知道吧，你自己呢，再写两个例子，自己在纸上。呃画一画列一列，你就可以看出来，你写小点儿的数，我们来列，

列完后你就可以知道它的情况数，这样一些的选项，所以考试遇到这个符号的时候千万不要慌。知道吧啊，静下心来取几个数，排除一下选项答案就找到了。好，接下来咱们看一下第四题，这个题。某市共有八个旅游景点。其中有两个卫生不合格，上级来抽查卫生，若在八个进展中抽查五个，至少有一个。至少抽查到一个不合格经典概率释放，

那这个遇到至少那我们就可以从反面做好吧，就可以从反面来分析，所以这道题用反面法。啊，就可以选一减去。啊，一减一一减一什么呢？就相当于是他至少抽到一个不合格，它的反面是没有不合格，没有不合格就说明这八个都合格。八个景点抽查了五个都合格，知道吧？这个八个景点抽查了五个都合合格。懂了吧，所以在这里面，

他这个五个呢，都是合合格的，都考察取样嘛，因为因为在这八个里面。它有两个不合格。六个合格。所以就一减去它从这八个里面随便挑了五挑五个分母，总行数就是八五，那总的选法是吧？总的选法就是八五。从八个里面随便选五个c八五。然后分子分子的话，然后在这里面分子分子的话，大家可以看一下。他八个里面抽查这五个，

五个都要合格是吧？因为至少有一个不合格反面嘛，这五个都合格就是从六个里面选五个。然后这样话答案就等于二十八分之二十五。建议大家选择a选项。好，接下来做题方法思路，看是不是懂了这里取样不是特别难是吧？遇到至少大家可以从反面做。好，接下来咱们看一下第五题，这个题。若十名学生，其中六名男生，四名女生。

他选了四个人参加学生座谈会。选四个人参加学生座谈会，则选了四个人中至多有三名男生的概率是多少啊？这有个至多。啊，制作制作的话，四个人里面最多有三个男生。那它反面就多一三个，多一三个就四个，全都是男生就行了好吧，这道题也从反面做。从反应分析啊，概率p就一减去。那分母呢？就十个里面选四个好吧，

十个里面选的是c14，十个里面选四个。这是分母，然后分子分子的话就相当于至多要有三个男生。是之后有三个男生，他的反面有多余，三个男生多余，三四个全是男生，四个全是男生，就从六个男生里面选四个男生。这样就写好了好吧，这样答案就求出来了，这样就等于十四分之十三。正确答案就选择e选项好吧，正确答案就选择e，

而且要做题方法思路看是否懂。好，接下来咱们看考前二分房问题。好方法问题是考生容易出错的一类题目啊，方法问题，方法问题，因为他要结合两个一个方密法，一个分组法。好吧，好那么什什么时候用方位法方法就无数量要求的时候呃，无要求的时候随便去。是吧，这个会出现方面在方面咱们讲过这个房间数在底数啊，人数在组上面。好吧，

这是方秘法。然后第二个就是分组法，分组法就是有数量要求的时候，有要求的时候。有要求的时候，你得按照人家数量呢，先分组，分组的时候还要注意消序是吧，出现相同的分组要消序。然后这时候呢，还要注意它的消息问题。好，接下来咱们看一下这个题，将四个小时随机的放入六个盒。那盒可以放足够多的球。

啊，就是那个盒可以放足够多个球，什么意思啊？就是这个四个小球都放在一个盒也行，比如说这样的。根据下列a到e的描述，概率为二百一十六分之二十五的情况到底是什么？好吧，咱们看哪个概率是二百一十六分之二十五，大家可以发现总情况数。四个球放六个盒的总情况数，总情况数就是六的四方是吧？所以总情况数。这个咱们前面学过方密法是吧？总情况数就六的四次方。

啊，这个写好了，因为盒子在底数上面，球在指数上面，它这个没有要求，没有要求用方密法做。啊总情况数，我们来看一下PA的概率PA分母就是每个盒子至多放一个球。至多放一个球，至多放一个球，那应该怎么写呢？想想至多放一个球。好，那至多放一个球的话，在这里面我们呢就可以看出，

就相当于是四个球要。一个球一个和是吧？没有没有出现球挤在一起的情况，是不是？然后在这里面没有出现球挤在一起的，所以这接下来我们呢就可以写它的数值。的方法对不对？好，那接下来就相当于是从。六盒要选四个盒，然后每个盒放一个球就行了。是不是所以在这里面大家呢？就可以得到它的数值和结果。好看，这个懂了吧？

这个这个第一个就相当于是啊，那么。啊，每个球单独放一个盒子是吧？所以从六个盒子里面选四个盒，然后再来放这，剩下约约就等于十八分之五。啊，十八分之五。然后咱看PB。PB PB第一个盒中恰有两个小球，第一个盒恰有两个球。第一和切掉两个就分母还是六的四次方了是吧？分母还是六的四次方分子就第一个和假如这是第一个和。这是第一个和这是第二个和第三个和第四个和是吧？

好，那第一个和必须要有两个求，那从第一个。从这两个球里面要选从这四个球选两个球放到第一个和。然后剩下是不是还有三呃还有？还有两个球是吧？还有还有两两个球。是吧，所以在这里面大家呢注意。你看第一个和就放好了嘛，放好放好两个球了，对不对？就在这么点样呢，就可以看出来这是选了。两个来来进行放是吧啊，

给它放好了，放好后那么第一个盒放好以后，那接下来。剩下的盒剩下还有几个球呢？剩下还有两两个球是吧？剩下还有两个球，还有六个盒对不对？所以这个把这些写完吧，五六。是吧，所以剩下还有两个球，还有五个核，因为去掉第一个核，还有五个核，总共是六个核嘛，

还有五个核，这样就写好了。上月完后正好是25，这是216。好b选项是正确的，对吧？b选项正确，然后咱们看c啊，再看CC呢，是四个小球去指定的四个盒子。啊去指定这个指定这个词，咱们出现了好好多次是吧指指定。指定话，他这个就不用再去选了。是吧，

所以分母还是六的四次方分子呢，四个小球去指定四个和那指定啊，直接让球排序就行了。啊，求排序就可以了是吧？给它五十四分之一。好，五十四分之一好，这是这是c啊，就写出来了，然后咱们看dd的话，恰有四个和各有一个球跟a是一样的是吧，所以跟a选项描述是一样，只不过它的文字不太一样，这样表达。

含义是一样，就等于PA。是吧，就等于p，然后它都等于六的四四次方，然后c六四×4的阶乘。都等于十八分之五。好，这个pd的含义跟a一样e选至少有两个球在一个核，如果从正面做的话就比较麻烦，至少两个球在一个核有可能是两个球在一个核有可能三个球在一个核有可能四个球都在一个核。所以它这个不好分析，所以咱们就从反面做。反反面反面就一减去啊，一一减去六的四方。

然后分子的话，分子的话，它这个这个一个一个求一个和其实分子就是PA啊，它的反面正好是PA或者ppd它的。反面是吧？正好是c六四×4的阶乘。就等于十八分之十三好吧，它所以e它跟a或者d它正好是对立事件，正好它的反面。这样就写好了，所以这道题正确答案就选的b好看，这个方米法大家是不是弄清楚了？是不是弄懂了？教他做题要点。好，

接下来咱们来看一下第七题，这个题将四个相同小小球啊，那么在这里面大家注意。相同小球。啊，如果题目没说啊，没说比如说咱们遇到红球或者白球，如果题目没说，先默认是不同的，除非他。除非他这个强调了好吧，一般咱们求概率式啊，求概率式。比如考试说呃，三个白球，

几个红球，默认这个白球是不一样的，红球是不一样的，因为默认不一样才能够去选。然后如果他题目没说啊，求概率十，然后呢，他默认。是不同的啊，默认是不同的，除非他他额外强调强调的话，那就把它当做相同的。好将四个箱子小时一放，六个盒盒子中每个盒子可以放足够多的球。那他这个盒子默认就不同了，

因为他嗯嗯，没有说嘛啊求呢，他这个说了相同的好，那么接下来看一下。大家注意相同元素去进行分的时候啊，要用隔板法好吧，所以相同元素。分配。好，这时候要用隔板法。啊，这是用用隔板法就行了。好，那接下来咱们看一下a每个盒子至多一个球，每个盒子最多一个。

至多一个球。好制作一个球，那我们看看他应该怎么去表示是吧？每个盒子最多最多就放一个球。因为它可以空嘛，可以空是吧，所以在这里面大家呢，就可以写出来他的这个方法。啊，方法好，那先咱们先看一下总情况数好吧，先把总情况数给他求出来。好，大家还记不记得咱们前面学过隔板法？在高尔指南学过隔板法或前面的课学过隔板法，

隔板法的话，那么如果任意放，因为四个相同的小球放到六个盒子，它任意分。只有这个盒子，它可以空可空的隔板法，就是总情况数。总平方数就c6+4。减一四减一就等于c九三。是吧啊，这有个c九三。好，这是他的这个方法，大家呢？要知道好吧，

这算就等于126。126好，这是他的求解方法。然后看这个是不是懂了？好它放六个核，放六个核的话，应该是六减一对吧？放六个核，比如c九五了，放六个核c九五就等于c九四对吧？因为这个隔板法公式，咱们要知道好吧，就隔板法公式给大家进行说说，这个隔板法。可方法如果要非空的话，

他的公式。非功能就是CN+m- 1呃cn- 1 m- 1。然后可控的格板法公式就CN+m- 1 m- 1是吧就是。把这个物品啊分给，比如有n个n个相同的东西分给m个对对象是吧？就n个物品。分给m个对象或m个人，这样的是吧？n个物品分给m个对。对象或者m个人。好，那这时候呢，我们呢，就可以用隔板法，如果飞空就每个人至少要分一个，

要分一个是由cnn- 1 m- 1。如果可控的话CN+m- 1m减一直接六个和把它看成六个人，然后四个球，然后这样就可以写它的。格巴塔公式。啊c九五这样就写出来了。好，这总情况数，然后咱们看a选项嗯，看看一下a选项a选项在这里面，大家呢，看看应该怎么写啊，这个是a选项PA。分母呢，是126分子呢，

每盒制作一个球就相当于四个球放四个盒，直接从六个盒选四个盒就行了。因此，球是相同的，就不用再排序。这跟上一题的区别又在于什么？上一题要乘以四的阶乘四个球，因为不同的它在放的时候要排个序。是吧，这时候呢，它就不要再排序了，好这个大家上下约一约c六四c六四就等于c六二c六二15，这是幺二六。但剩下都约掉一个三啊，约掉一个三就得到这个结果好吧，

所以a选项他的概率求出来了。b选项咱们看一下b。比如说第一个和敲两个球。啊，这是第一个和第二个和。第三个，第四个。第五个，第六个。对吧啊，第六个第一个核他要敲两两个球，敲两个球，因为注意他这个球是一样的，知道吧，球一样球一样的话，

你不要写c四二，有同学说那我能不能写c四二从？四个球里面选两个球，放在第一个盒，不要因为他这球一样，你随便挑哪两个是一样的，对吧？对不对？所以这个方法就是省略就一种就省略了。然后剩下还有三个球。其他球是吧，剩下还有两个球。剩下还有还有两个球，还有两个球呢，还有五个核是吧？

还有五个核，那这个时候再用下隔板法就行了。啊，分母就126分子呢，就是用刚才讲过的，可空的就是两个球分给这么多是吧？那么就是两个球就是五加。二就两个球，分给五个核减一。然后这个是五减一。这样就写好了是吧？这样一百二六分之c六四。这好，这样就写出来了啊，这样就是。

他的这个方法看这个是不是懂了啊，所以在这里面大家呢，就是还剩下五五个，对吧？五个五个。五个的话，然后其实跟第一个答案是一样，一百二十六分之十五，一百二十六分之十五上下约掉一个三，约掉三也等于四十二分之五。是吧，约掉一个三跟上面表达式一样啊，可供格外好，再强调一下这两个球放给。给六个给给这五个，

因为第一个他已经分好了，所以这两个球给这五个给五个的话，那么套这个可控的隔板法就行了。然后咱们看c。c好c的话，四个球去指定的四个和那么在这里面，大家可以发现啊，这个就是只有一种情况了，因为他这个。盒子指定了，指定了就不要再选了，对吧？指定就不用再选了。然后这球是一样的，也不用再排序了，

所以c选项就是正确答案。然后d选项。d选项好，那么d选项跟a选项是一样的是吧？他又等等于PA。好吧，就等于p。就等于四十二分之五。好，这也不用多说了。好e选，至少有两个球在同一个盒，至少有两个球在同一个盒，那么这个e选项。用反面做，

反面做就相当于一减一pd或者一减p，那都都可以好吧，都都都OK。然后这个算出来那么只有c选项是满足的，所以这两个题大家对照一下啊，那么相同求不同求它的做题的区别是什么？隔板法如何使用的？懂了吧？别把隔板法用错了好，这是他的知识点和内容，看是不是懂了？好，那接下来咱们看一下第八题，这个题好，这个题要涉及到分组问题啊，

涉及到这个分组。好那么三问是吧？三问随机的将九名男性爱好者，爱好者平均分为三组，请问运动员有三位是职业运动员？第一问，每组都有职业运动员概率，第二问，这三位职业运动员。那么都在同一组的概率。第三，三位不能在同一组概念啊，不能在同一组好，那接下来咱们看看咱们这里，首先从分组的角度来做，

另外。还可以给大家进行讲一个技巧，抽签的角度来做好吧，所以这给大家进行讲两个方法好，那么第一个方法分组分组，我们看一下总情况数。好，怎么因为这三组他没有区别，知道吧？三组没有区别，我们看总情况数。呃，总情况数总因为因为这九个人嘛。这几个人平均分成三组嘛，就三人。

三人，三人。是吧，然后他这个啊，这个是这样的啊，这样的话，我们就可以写成c九三。c六三c三三要消个序，因为三组完全一样，三组一样就说明数字一样，后面的汉字也要一样，知道吧？完全一样，完全一样的话，那在这里面，

我们就再除以三的阶乘消个序。这样写好了，都等于280种。好，这个总情况算成280种。然后接下来我们再看一下第一问他的这个情况数。再看第一问他的情况是第一问呢，每组都有一个职业运动员，每组都有职业运动员，职业运动员假设就是甲乙丙吧。好吧，假如职业运动员就就甲乙丙呗或者什么的好吧，然后在在这一块儿职业运动员就是就是甲乙丙。好，那接下来我们来看一下他的思路，

他思路你可以把呃去掉减去掉这个职业运动员的去掉职业运动员六个人给他进行分组。啊，所以说所以第一问的话，大家可以这样思考就不同思考都一样，可以把去掉这个职业呢，六个人给大家进行分组。分组完了就c六二c四二c2÷3的阶乘是吧？除以三的阶乘好分好，然后再把这三组给甲乙丙。给甲乙丙给甲乙丙的话，那么这这两人谁去谁跟甲这个职业运动员在一组，谁跟乙职业运动员在一组，再排个序。好，这第一问的概率p1，

然后再除以280就行了是吧？除以280，这样就等于二二十八分之九。二八分之九这样写好。是吧，这样就可以写出来，得到答案就是二八分之九。好，这种思考方法可能有同学没有没有呃，按照这个思考，第一问就选择d选择这个二十八分之九选择c了是吧？是吧，第一问那就选择c。啊，或者这样思考也行，

或者说呃，不分开思考，或者说你这样想也行，这样想的话就是两个人，然后一个甲。两个人一个乙，两个人一个丙，一个丙好，或者这样写。get p分子呢，就写c六二c四二c2，除以280，除以280，这样就写好了，那有同学说这个为什么不除呢？

我刚才给你讲的时候，你可能没听到，是不是？啊，相同的组才出什么叫相同组不是光看数字，还要看汉字数字一样，汉字一样就完全的一样，就像全等一样，有点像三维全等完全一样。你看数字一样，都是三汉字也一样，都是人，那这块那么就可以出。然后这块呢，它有甲乙丙，

那甲乙丙这三个汉字肯定不一样呀，是吧？汉字不一样，汉字不一样，这时候不要除。是吧，这时候就不用除了那得到结果也是九÷280，所以说该不该除其实很简单就看。汉字是不是一样？速度是不是一样？所以你把每个圈啊，每个圈都给我写出来好吧，写出来就行了。好，这是两种思路，

得到答案都是可以的。好，这是第一个方法，看是不是懂了好，接下来咱们看。那看第二问，看第二问，第二问的话，三名职业呢，都在一组啊，三名职业运动员都在一组，都在一组，那相当于是画图啊，相相当于是这样的。好的，

有甲乙丙这三个职业运人在一组，剩下的就三个人，三个人就剩下六个人再分组。好，那他get p第二问呢？get p我们就可以写出来。这样盖了P2P2就可以，怎么写呢？大家想想p2我们就可以把它给它求解出来。这个是不是就这样写啊？分母还是280对不对？分母还是280分子的话，那这个甲乙丙这块这这个这个汉字。跟后面不一样，看这是这是甲乙丙汉字，

这是人字，所以它这个是不一样的，不一样的话，然后这个就看后面两后面两写c六三c三三。然后这个要除以二的阶乘，为什么除以二阶乘看这两组它汉字一样，速度也一样，除以二阶乘就行了是吧？这样算就等于二十八分之一。啊，二十八分之一这样就写好了，二十八分之一这就写出来了。好，第二个这个答案就选择a二八分之一，这样写出来结果。

那咱们看第三问三位职业运动员不能在同一组啊，不能在同一组就不不不出现在同一组。不出现在同一组，那你就减就行了是吧？你就减减它在同一组，因为不在同一组。他的正面情况比较复杂，正面有可能是两个人在一组跟另外一个人不在一组，有可能三个人都分开的。是吧，有可能三个人他他都分开了，是不是所以在这里面大家呢？就是从反面做要简单，所以第三个呢，咱们用反面法。

啊，所以p三就是一减到同一组，同一组其实就是p二是吧？就p二就等于一减二十八分之一就等于二十八分之二十七，这样就写好了。二十八分之二十七就写出来了是吧？它的反面这个就求出来了好，这是他的这个思路，所以第三问二十八分之二十七选e，这样就写出来了。在哪里选e好，他的方法就求出来了好，这是他的知识点和内容，看这些是不是懂了他的考试内容？好，

这是咱们用概率角度来做的，另外咱们这里可以用抽签的方法做好吧，求概率时可以用抽签法。抽签法什么意思？就几个人就几个签，那九个人就九个签，然后分成三组，那么就相当于每组三个，每组三个话，你就把这个这个九个签分一分。比如说一到三是第一组。四到六是第二组，七到九是第三组是吧？就一到三第一组，四到六是第二组，

七到九是第三组。这样就写好了好吧，一到三一组，四到六一组，七到九又是一组。好看，这个明白没有好，这是抽签法啊，他的这个情况，然后弄好以后接下来第一问每一组都有职业运动员，直接让让职业运动员抽就行了，其他人就不用抽了。好吧好，那就是第一问第一问，每组都有职业运动员，

就让甲乙丙分别抽。好，第一问的概率好，那么甲出的时候总共是九个签对吧？所以分母就代表总签数总共是九个签。分子代表，它能够允许它抽到签。因为他抽个签，他九个签都可以抽嘛，你说他哪个签不能抽，假如你说他哪个签不能抽，哪个签都可以抽，是不是他哪哪个签他都？都可以抽。好，

这个甲抽完了，然后再让乙抽乙还剩下八个签儿是吧？乙是不是还剩下八个签儿？如果没听懂的同学，我给你举个例子，比如说甲抽的是五号签儿。比如甲抽的是五号，签甲抽的是五号签，然后让乙乙还剩下八个签，可以抽是吧？去掉五号签八个签可以抽。由于他第一问他说。呃，每组都有职业运动员，那说明乙不能跟甲在一组，

比如说甲抽五号签，甲抽五号签，就在第二组，那乙就不能抽四跟六号签。啊乙只能在一到三可以抽，七到九可以抽，所以他乙还剩下六个签，他可以抽是吧？然后再乘以丙。好假设，假设乙抽的是二号签，假设乙抽的是二号签。那这个丙还剩下七个签七个签，那他能抽的是哪一签呢？因为大家知道乙抽了二号签丙就不能抽一二一三签了。

然后丙也不能抽四个六签，因为乙甲已经抽过了。然后然后丙呢，只能抽在这个七到九这个来进行抽是吧？所以这样大家就可以写作抽签原理。然后上下都给他约掉一个二约二就得到，这是九这是二八，这样就写好，你看这个跟这个答案是一样的，是二八分之九。所以我把这个原言再给大家进行讲讲好吧，就相当于是什么时候可以可以用这个抽签原理，就在分组求概率的时候都可以用抽签原理。分子求和原理它求和原理很简单，就这几步第一步呢，

有几个人有几个签儿，第二步就是把这个签儿按照它组的要求给它编个号，比如一到三号求。签是一组四到六号签，七到九号签，随便编怎么编都行，反正每一个每一小组都是三个签。那接下来让甲乙丙分别抽啊，这个分母就代表是它总钱数，分子代表可以抽的钱。所以甲九分之九代表什么意思？九分之九代表分母就是第一个人抽，总是n分之n啊，第一个人抽总是n分之n是吧，然后分母他的九就是总钱数。

分子呢，是可以抽到签是吧？是可以抽到这个签？好，这样的九分之之九×1个现在第二个就是啊，它有八个桥。还剩下八个签儿，减一个签儿嘛，剩下八个签儿，然后分子它可以抽的签儿就六个签儿是吧？就六个签儿，因为去掉去掉，只要甲抽了一个以后那么四六，它就不能抽了，不管甲抽的是哪个签儿？

他在一组的钱就不能抽了是吧？然后依次让丙来抽就可以了好吧，上一约就可以得到答案，看这个是不是明白了他的方法？好，如果方法懂的话，那么大家那有同学说为什么不考虑其他人抽甲乙丙抽完不是其他还有几个人吗？其他人为什么不用考其他人下人抽都是六分之六？啊，因为六个，剩下还有六个签儿，因为甲乙丙抽完三个签儿完，剩下六个签儿，六个签儿分母就六分子，它六个签儿都可以选就六分之六就是一，

所以后面都乘以一啊，乘以这五分之五。乘以四分之四，没必要是吧？所以后面都是一其他人就不用再考虑了，然后第二问第二问是甲乙丙他在一组甲乙丙他在一组，我们来看。前面它在在一组在一组get p2。那如果听懂的同学，大家可以自己先写，写完后然后再对答案好吧？就九分之九。然后第二个人抽，比如让乙抽乙说假设甲抽的是五号，签甲抽的是五号签，

那么乙只能抽四跟六号签，因为他要在一组。是吧，所以说它可以抽的，还有两个签儿，然后再让丙来抽，丙还剩下七个签儿，七个签儿只有一个签儿可以抽。那只有一个签儿，它是可以抽的，因为比如说甲抽的是五号签儿，乙抽的是六号签儿，丙只能抽四号签儿，这样的话，他们三个人才能在一组。

是吧，这样就可以得到二十八分之一。好，那么第三问第三问的话就用一减，第二问就行了好吧，这个就不用说了。好用，反面做就可以了，好，这是他的这个方法思路，看是不是懂了？好，那通过这道题，我们就给大家讲讲抽签原理。抽签的技巧。

条件它用于什么？用于分组求概率的时候。分组求概率的时候，我们都可以用抽样验证来做好吧，分组求概率好，那使用第一个第一个就相当于什么，有几个人就有几个签。人数就等于其他数。第二个将签编号分组啊，这个编号你怎么编都行啊？编号。分组好，那么第三个第三个就依次抽签。啊，一直抽签就行了，

好第一个人抽总是n分之n啊。现抽总的n分之n，然后第二次抽，你看分母就代表剩下的签有多少个分子代表它能够抽的签有多少个，一次抽签就行了。好吧，再给大家讲那种，看是不是听懂了，所以大家掌握这样的小窍门儿来做，要简单一点。接下来咱们看考量三就数字问题。ctrl加速度问题好，速度问题难点在于分类讨论。啊，分类讨论啊，

就是分类，有同学就分不清楚是吧？由于出现速度零的时候要根据零的位置，然后分情况讨论。啊，根据零的位置情况分啊零，比如说什么零在个位零在十位零在百位是吧，然后考中啊，速度呢，有时候还要借用列举法。啊列一下，尤其结结合数字运算的时候要列举一下啊，列举别列错了是吧？就是列举有多少种情况？好，

那接下来咱们看一下第九题，这个题列也要列，那正好组成，他说他说这个。一到十八十八名回于首，如同选用三人。则选择火力守则编号，能组成以三为公差，而且公差告诉我们等差数列概率到底多少好，它要组成这个公差为三。好，那接下来咱们来看一下他公差为3d是为三的。好，第一个大家知道等差数列关键点就首项和公差了。是不是首项和公差公差是排在第一位的啊？

公差d和首项是关键的，所以接下来我们就按照首首项来进行进行讨论是吧？所以在列举的时候，很多同学就担心什么时候呃重复了，少了或者多了自己呢？弄不清楚这时候呢，你要固定一个标准，把标准固定。那这时候就不会担心它重复了或漏掉了是吧？这个就就不会影响。所以接下来大家可以看一下首项，首项a1。这a1比如a1，它正好为一的时候。a1为一的时候a1为一的时候，

大家可以发现，那么这时候他大家可以看出。他就是一四七是吧？然后这样的。啊，一四七嘛，这样的一个方法对不对？好，那么这是他的这个情况是吧？所以这个公差正好为三啊，就一四四七同样的道理，它为二的时候就二五八。三六九。好，其实大家发现你就看他的首项能到多少，

最后一项，最后一项十八十五十。二是不是所以在这边大家可以看一下这个就十二十五十八，所以看看首项的规定，看一二三一到12。是吧，到12，所以这里面大家可以发现列车总有12个。是吧，列出这样有12个，所以分子呢，就十二十二种情况。共12种。好分母，分母的话总共是几个？

总共是18个，18个选三个是吧？18个来选三个。这样就可以了，是不是？所以大家呢，要掌握他的做题的方法思路。对不对？所以在这里面大家呢，就选出来这些人，他的编号能主动以三为公差，他的概率。是多少大家呢？要知道它的思路对吧？所以大家呢，

只要确定了它的这个表达式，那就好办。然后把表示给它确定确定出来。就是一定要列举，知道吧就是。好，那接下来咱们就可以写出分母呢，就c十八三。啊c十八三。对吧，就18个人里面任选三个人嘛，任选三个人就行了。然后分子分子的话，总共呢就12种。好c十八三就等于18×17×16再除以三的阶乘，

是不是这样的？啊，然后这个剩下约约约就得到六十八分之一。好一，然后得到六十八分之一，这样写好正确答案，应该选择的是b选项。在哪选的是b好？这是他的做题方法，看是不是懂了，就通过这道题，大家呢，就要知道列举啊，比如说这个要改成等比数列，比如说以几为公比的等比数列大家呢？

一样的去进行分析是吧？一样去列等比数列列等比数列要少一点，知道吧？到时候列的时候细心点就可以了。好，那接下来咱们看这个题，从一二三四五六七八九任选三个数。零点三小时则实验a的概率为二十一分之四。啊，是这个a的概率条件一它的和为三的倍数条件二和为五的倍数好，所以这些考点主要考察排列组合。它的取样的概率。排除它取样的概率好，那在这里面大家呃做的时候我们应该怎么去思考，知道吧，

它思考方法什么？以后记住和要为几的倍数。大家呢，在做的时候。你要看余数啊，就和。它为倍数关关系。我们又找什么分就余数，按照余数分类。按照余数来分类就可以了好吧，按照余数来进行分类。好，那么条件一我们来看一下，条件一好，那么试验a表示表示三个数的和为三的倍数。

啊，如果要是三的倍数，我们按照三它除以三的余数来分类，那一个数除以三它的余数要么就是零，要么一，要么就是二是吧，因为余数肯定要小于除数，大家注意。啊，余数的范围。余数大于等于零，小于它的除数。余数大于等于零小于它除数，这是它的范围好，那接下来咱们看一下，

看一下第一个。看一下第一个，第一个按照除以三的余数来进行分析，除以三的余数，三的余数，要么就余零。要么就余一，要么就余二。好，要么就鱼鳞，要么就鱼一，要么就鱼二，然后这块。好，余零余零的话就是三三六九是吧？

这样就可以写出来就是三六九。余零就三六九余一余一就一四七。啊余，它有17。余二余二就是二五八。好，二五八好把余数分类，接下来咱们看三个数的和要为三的倍数，三个和为三的倍数，只要是呢余数。余数相加为三的倍数就可以了，余数相加为三的倍数，它就和就为三的倍数好，我们看条件一它的概率，我用p来表示。

分母很很简单，分母就c九三。分母就c九三啊，九个里面取三个c九三分子分子，我们看它分为这几类，有可能三个。都被三除余零三个余零的数相加，它余数还是零，还能整除，所以说c三三。这三就代表第一个圈，它三个圈全选第一个圈，然后三个全选。那三个全选，那接下来接下来有可能三个全余一的全全全一的就c三三。

是吧，全一的全一的加在一起，它余数又变为三变为三，它余数又能整整除。是吧，余数它又能整除它三个加在一起，然后三个余二的就二+2+2。三个相加，三个加在一起，余二的啊，余二的加在一起，它还是能被三整除，所以c三三。还有可能什么还有可能我余一的一个余零的一个余零的一个余一的一个余二的一个，这三个余数加在一起还能被三整除。

所以说就从余零的选一个c三一，从余一的选一个，从余二的选一个，这样就写好了。然后大家知道c九三正好等于八四。分子上等于30上下都约掉一个，约掉一个六约掉六就得到15，得到14啊，约掉一个六就行了，好这条一它的方法。接下来看条件儿，条件儿这个要麻烦一点，条件儿你除以五的余数，因为情况特别多啊，所以除以五的余数，

大家做的时候别做错了。大家想想一个数，它除以五，除以五，它余余数。余数要么就是余零。要么就余一。要么就余二。要么就余三。要么就余四是吧？好那么余零的余零的就是五，所以这里面只有一个余一的话就是一跟六。余二的话就二跟七，余三的话就三跟八，余四的话就四跟九这样的。

就这样的好，那接下来咱们看三个数，它的和。这样是五的倍数。删除和是五的倍数。好三数和是五的倍数，大家说所以三数的和要是五的倍数的话，它余数要是五的倍数。余数五倍，数有两种情况，不要漏了，一个是余数的和等于五一个余数的和等于十也行。等于十也可以。懂了吧，所以说就像刚才咱们一样，

它余数的和是三的倍数三的倍数，我们看三个倍数六也行，六三个余数加在一起等于六，这样也行。那余二，余二，余二加在一起，就像余六，余六的话，又能被三整除是吧？这样的情况。好，那接下来咱们来看一下啊，它的这个方法，它的这个方法啊。

我们来看一下，如果要是刚好是五余数，刚好是五，如果刚好是五的话啊，当然还有可能是零啊，但是它零的话不行，余零的话它只有一个数。只有一个数，它是不可以的是吧？所以它不可能说零零零这样的，不可能这样的，是不是？所以在这里面它呢？就可以与。余五型啊，

余数之和为五或余数之和为十型，余数之和为五的话，我们看有几个零+1+4？零+2+3是吧啊，这个余数都是五就是一个余零的，一个余一的，一个余四的，它加在一起一定是五的倍数。一个余零的，一个余二的，一个余三的，它加在一起也是五的倍数。是不是然后这样的？还有两个余一的，一个余三的，

这样也行是吧？两个余一的，一个余三的，这样也可以。是不是这样也也行吧？也可以，对吧？还有一个余一的两余二的，这样也也可以。是吧，这样也行。好，大家看还有没有？啊，应该没了吧？

好，这样的好相加等于五的看相加为十的有没有相加为十比如说？啊，两个余三的。一个余四的，这样可以是吧？两余三的，一个余二的，两个余四的，这样也行。啊，这样也行。这样也可以好吧，然后这是两个余三的，一个余四的，

两余四的，一个余二的，这样都可以。都可以，接下来写一下它每种情况，第一种情况就是余零的，余零的话就相当于是。c1就因为五它就一个嘛，五它一个，然后这个余一的余一的选一个。好于是的也选一个。是吧啊，鱼刺的加上鱼鳞的选一个鱼鳞只有一个，你可以省略鱼二的选一个鱼三的选一个。加上两个余一的，

两余一的就两余一就写C2C二二。这两个余一的全选，然后再选一个余三的就c二一。所以这个两余一的千万不能写c二一×c一一啊，就先选一个余一的，再选一个余一的。这样放在时候里面，它会出现重复。重复懂了吧，所以这个不要写错了，然后接下来选一个余一的，选两余二的，选一个余一的。选两个余二的好，选两个余三的，

选一个余四的。选两余三的，选一个余四的。再加上选一个余二的，选两个余四的。然后再加在一起，正好等于16个。好加在一起就十十六个，然后这样就写出来了16个，所以get p第二问呢？get p2就等于一个。c九三分之十六。然后又16÷84。然后剩下都约掉一个四得到二一分之四。得到二十一分之四，

这就写好了。好，二十一分之四最后写出来了，好，二十一分之四，那接下来我们来看一下这个条件二啊，正好能推出它这个值。是吧，答案就写好了啊，正确答案就选择条件成分的。这答案就选择b好看，这个题是不懂了啊。讲它的做题方法和思路啊。好，接下来咱们看一下第11题，

这里也考察列举法电子钟一天显示时间从。零零到二三五十九，每十个都有四个数字组成，每十个它都有四个数字组成。这一天中，任意时刻的四个数之和为23，到底多少？好，那在这里面，大家可以看一下。他呢，就是有时针和分针就不用考虑秒针了好吧，时针和分针啊，这样的。这样。

好，大家知道这个前面这个前面这个从零零到23是吧？就从零零到二二二十三。好零零开始一到二二三。好，大家注意，前面这个第一位啊，第一位第一位，他可以取零一二是吧？零一二这样的。后面后面这数字，后面就是当前面取零跟一的时候。它可以取零到九是吧？比如说呃零九就是九九点零七就是七点。是吧，

然后19就九点或者一零一零就有十十点是吧，所以当前面的数前面的数是零一的时候。前面数零一的时候，后面这个数就是从零到九。是吧，就从零到九这样写好了，但前面的数如果要是二前面的数是二的话，后面的数值取零到三。是吧，零到三，所以说这个数位要受前面的影响，这是一个难点，很多同学弄不清楚，然后后面这个后面这个大家可以发现。后面这个是这两个数位，

他倒他他倒是这个这个独立的是吧？第一个数位，他可以是零到。五是吧？零到五这个数字是零到九。啊，领导者，他是独立，他不影响，只有前面这块，前面这块呃，这个第二位是要受第一位影响啊，如果第一位要是二的时候，第二位他只能取。零一二三是吧？

受到影响好，这是他的情况，那他说这四个数字之和要为二三，咱们先看一下最大。最大多少从大往小来看啊，就是最大它的和。最大和注意并不是他取二，他取三就大，知道吧？他不不是最大的，最大和应该是这个一，这是九的时候是最大。一九，这最大。然后这个呢，

就取它这个，因为它这两个数位是独立的，独立的话，每一个最大就行了，没有它最大，它也最大，每个最大就是整体就是最大。是吧，它独立的这两个呃，可以互相呃任意取是吧？谁也不限制谁互相任意取就行了。然后这个这个24是吧？也就是最大最大这个数加在一起24，而他给的23给的23的话，那么就比这个就少少一个。

是吧，比这个就少一个，比这少一个的话，我们看看到底谁少一个，那刚才咱们不算的是一九吗？一九一九一九那么有可能它是少一个。它或者它少一个，或者它少一个，或者它少少一个，就有这几种情况嘛，是不是就这样大家呢？就可以写出来，你看要么它少一个，要么它少一个，要么它少一个，

要么它少一个。好，他要少少一个就变成零九五九是吧？他少一个，这时候23或者说其他不变，他少一个。就幺八五九。是吧，要么这个少少一个幺九四九。好，要么后面这个少一个。后面这个少一个，后面少一个就幺九五八是吧？少一个这样就行了，所以列车总有四种情形。

四种分子是四种是吧？列举出来就是这四种，然后分母分母看有多少种情况？分母的话，大家可以看啊，不要一味被看，因为前两位它是它是这个重复的啊，它是互相影响的，前两位它互相影响。所以前面从零零到23，总共有24种情况。乘以后面这个你可以分开看，或者一块看都没事，因为这个有六种情况，这个有十种情况就60种情况。

或者说从零零到五九也行，零零到五九也是60种情况。啊，这样就写好了，然后上下把它约一约是吧？约约上下约掉一个四得到三百六十分之一。三角分d这个答案就选择c选项，看各位同学是不是懂了？好，如果懂的话，大家各位学霸们，如果把这个23改成22，各位学霸们可以做一做好吧，都思考一下，23改成二二十二。

其他不变，分母是不变的啊，总情况数是不变，就是四个数之和为22。四个数字。之和为22。所以之和为22，我们看应该怎么写？啊，四个数之和为a为二二十二四个数之和为22，刚才咱们讲的还是一九。五九最大就24，他要二二十二十二的话，那让每个数都减二，但这个减二的话是不可能发现没这个减二不可能。

它减让它变成负的不可能，那这个可以减二是吧？或者说减两个一也行啊，减两个一也可以是吧，咱们先看减二的行不行？是吧，减二减二的话，大家列减二的话就是一七五九是吧？它减二或者说。一九三九。是吧，或者说他减二一九五七是吧？这都都减二或者减两个一减两个一的话就零八五九。有八点五五十九分。是吧，

然后他两个减减减掉一。对不对？或者他两个减一也行，他两个减一，反正这个这个都列呗，他两个减一，他两个减一就是。零九四九。是吧，他俩减一或他跟他减一，他跟他减零九五零，这样也行。是吧，就在这里面啊，他两个减减一减一二零零九五八。

是吧啊啊，零九五八这些都是22是吧？还有这中间这两个减掉一也行，中间减减减一是一八。四九是吧？然后减18点49分，这两个减一也行，或这两个减一也行，一八五八。十八点五十八这样也可以，对吧？也可以这两个减一。好，那接下来后面这两个减一行一九四八，这两个减一也行。

是吧，一九四八。好，这两个简易，它也是可以的，是不是？然后这是它的这个方法，看到没？这把这24给大家进行找出来，然后变成22这样呢。就可以这样去分析和思考好看这块大家是不是是不是听懂了是吧？然后在这里面，大家呢，注意这个22，如果第一位要是二的话，

大家呢，还要再找找有没有知道吧，有没有就是否否则的话，这样大家呢？啊就嗯，容易嗯，出错好吧，如果要是二的话二的话，因为这个数位它就它就最多就是三了，它达不到，所以这时候呢就没有了，因为这个这个其他情况它就不可能了。懂了吧，不可能好，这是给大家进行列的，

这一些方法大家要知道，就第一位是一的情况，那么列完第一位要是二的话，它不可能达到22那么大。知道吧，因为第一位要二的话，第二位它只能是从零到三零到三加在起，它达不到那么大好，这是给大家讲的做题的方法啊，这个就。就列出来就是九种看跟看各位同学是不是分析清楚了，所以大家呢，在做题的时候呢，我们呢，就是一定要掌握规律，

这就时间问题好吧，也是一个小的奥数的。啊，一个方法，大家对时间啊，它的一个列举结合咱们排列组合来进行分析的思考。好，这改成22，看各位同学是否列对了？好，接下来咱们看一下第12题，这个题先后抛掷两枚均匀的正方体色子，他们六个面分别标有一二三五六。在上下点的分别xy则这个对数等于一，大家把这对数给它转化一下，

然后再列举好吧，这道题对数大家要知道它的运算公式。求log 2 xy它等于一，大家知道对数值要为一说明底数，真数要一样是吧？所以这个推出y=2 x好，这个y=2 x就行了是吧？y=2 x。好，这是他的这个方法。啊y=2 x是吧？就是底数增数一样是吧？对数值就等于一，然后接下来我们来看一下x，如果等于一的时候y=2，

这是一种是吧x=2的时候y=4。第二种s=3的时候y=6，这是第三种，总共就这三种情况是吧？所以列出来就有三种情况，所以概率p分子有三分母呢。就掷色子要掷两次，掷两个的话，那就六乘以六，所以这样就可以算等于十二分之一这呢，应该选择选项。就十二分之一，这就写好了好吧，这是它的方法思路好，这是它的考知识点，

看是不是懂了？总共这三种情况是吧？三种情况，然后呢？来进行分析和思考好，那通过这道题，大家呢？要掌握他的。考试要点对数常用的对数值，要知道好吧，常用的对对数值。查这个值一个呢，就是如果帧数要唯一的时候对数值为零，如果底数真数要一样的话，那对数值为一。

如果底数和真数互为倒数，对数值就等于负一啊，对数值等于负一，这样就写好了是吧？就常用对数值，这就写出来了。好，这给大家强调做题知识点方法。

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