056.专项十三-练习

罗泽兵 · 发表于 2024-4-12 10:47:32

古典概率，它的做法要跟排列组合呢呃密切相关，要联系排列组合来进行分析和思考。接下来我们看一下每个题的思路，第一个题三位男生，三位女生排天排，恰好三位女生排在相邻位置的概率到底是多少？好三位女生要挨在一起，那么在这里面，三位女生就打包这道题，主要考点就相邻问题，它的打包法另外还有三个男生。好，那么它的总情况数就六个人随便排分母呢，就六的阶乘就六个人站成一排总的战法六的阶乘。

分子三个女生给她打包，打包包内部要讲究顺序三个阶层，然后这个包就看成一个整体跟剩下三个男生一起来排序。然后乘以四的阶乘就可以了。好，这是它的做题的方法和思路，这道题大家化简一下，可以得到是五分之一。建议大家就选择a选项，这是给大家强调的做题点，看是不是学会了，不是很难啊，就是相邻问问题。还有不相邻都采用插空法啊，比如说三位女生要排在不相邻位置，

就采用插空法来做就可以了啊。第二题50件运动衫中有45件白色，五件红色，从任取三件制造邮件，为红色的概率到底是多少？好遇到至少有一个那这道题属于取样问题，至少有一个我们从反面做总情况数就是53就50取三件。至少有件为红色，就相当于三件没有红色，三件没有红色，就说明三件啊，它取的都是白色。啊，这样我们就可以写它的数值，最后大家运算一下都等于零点二八，

这个大家上下自己约一分化简一下。得到就是零点二八这个呢，就选择b选项好，这道题比较简单，考察取样遇到至少之多，大家可以。从反面来思考，要简单一点。第三题两部不同的长篇小说各由一二三四卷儿构成，每卷儿一本共八本。比如说这里a ab两部小说好吧AB两部小说a呢，它有a1a2a3a4有四卷。b小数有b1，b2，b3和b4。

把它任意的排成一排，左边四本恰好属于同一部小说的概率好，先算总情况数，把这个八个不同的排成一排，总情况数有八的阶乘。是不是总共八个阶层，然后左边四本恰好属于同一部小说，就相当于我们讲过的相邻的打包法是吧？就是相当于同一部小说，它得打个包，这边呢？打个包。好，这是这道题，其实相当于要打两包，

因为左边这个四本要属于同一部小说，右边四本呢，也会属于同一部小说，左边四本属于同一部小说包，内部四的阶层。右边这个b小说也是四的阶层，注意不要忘记乘以二×2代表什么意思，就是AB它可以两个包可以左右换啊，有可能a这个包在左边，有可能a这个包在右边，所以要乘以二啊。乘以二大家注意，这个二不要忘记了好，那这道题我们呢？算完就等于三十五分之一答案就求解出来了。

啊，如果你要。啊，忘记乘了这个二倍，你就是会选七十分之一，这就会出错啊，不要给选错了，好，这是给大家强调的做题的方法。考察打包问题就同种咱们呃呃呃讲过一个摆画展是吧？比如油画，国画之类的油画这一类呢？要摆在一起，那要同种摆在一起。跟这个题同一部小说，

它几卷儿摆在一起是同样的道理好吧，大家呢呃，仿照它的打包法思考就可以了。好，第四题在考察分组问题，七个人含甲乙分成三组，一组三人，另外两组两两人就三二不同的分组，方方分组数为a。方法数为a好，那么第二个就是甲乙分到同一组，概率为p，其实大家可以发现这个a就作为这个概率p的啊，分母总情况数是吧？所以我们来看三二二总共的分法。

总分法那么这个a应该等于多少呢？a应该等于c七三c四二c二二应该除以二的阶乘。是不是所以在这里面c七三=35？然后c六二=c四二=6c四二=6÷2得到三就得到105啊，所以在这里面大家呢，就可以看到a的值就等于105。然后甲乙要分到同一组，甲乙分到同一组的话，那么有两种情况，有可能甲乙都在。三人组。甲乙都在三组，三组那么甲乙这一块儿呢，还差一个人，另外两人两人是吧，

所以它的方法数应该是c。呃，五一c五一就代表是从这五个人选，一个人选择给甲乙这样的话，这个三人组就分好了，分好还剩下四个人，四个人按按照二分c四二c2。除以二的阶乘，然后这样就可以得到它的这个结果好吧，然后呢，得到15那么甲乙这两人还可以去两人组，由于这个组与组之间没有区别去这个两人组跟去这两组是同样一回事啊。所以他呢，就不用再进行挑到底去哪个两人组了，所以在这里面就三人组，

那么甲乙就假如说在这个列列两人组。啊，剩下还有两个人是吧？所以三人组就相当于是c七三哎，不是c七三c五三是吧？因为这七个人要去掉甲乙，还有五个人。c五三，然后剩下c2，这时候就不用除了啊，因为只要出现小组的成员名字的话，这一组呢就不用管他了，然后呢就不用再除了，因为三跟二这两组数量不一样啊。就不用再除了，

所以这个十这个加在一起共呢是25种，那么这个概率p我们就可以写出来。p呢就等于25÷105。然后这样同时除以五就得到二二十一，所以这样答案应该选择a选项啊，好，我们把这个分组简单的给大家进行强调一下，首先要知道分组的总情况数，总情况数，如果出现。数量相同的分组，那么要除一个阶层，第二个甲乙在同一组的时候，甲乙在同一组的时候，那么在这里面，

甲乙要分类，有可能甲乙都在三人组。有可能甲乙都在二人组，这两二人组没有区别，所以甲乙在哪一个二人组，它对后面没有影响，所以这个你就随便弄一个二人组就可以了。好，第五题从长度为一二三四五的五条线的任取三条不同取法，有n种这个c五三，因为它取完不用再排序啊。所以说五个随便取三个就c五三，在这些区划中以取出三条线呢，为边可以组成钝角三角形的个数到底是多少？好那么钝角三角形代表什么意思呢？

怎么判断呢？我们知道这个a方加b方。啊，如果等于c方，这是直角是吧？这是直角三角形。假如这个c是最大边啊，假如c为最大边。c为最大边，如果a方加b方等于c方就直角，如果a方加c方小于c方就钝角。钝角就说明它这个超过9度啊，因为它这个c它比这个勾股定理的那个直角还要大一点儿，大一点儿，它对应的角也大，

就超过90度。这个就是锐角。锐角就小于90度好吧，咱们规定的c是最长的，所以在这里面我们来看一下它组成的三角形里面。组成三角形，先看三三角形的情况，在三角形里面再挑钝角啊，三角形里面再挑这个钝角好吧，所以在这里面大家呢，就不要给挑错了。首先，大家可以看这个一跟其他两边都构成不了三角，一跟二三构构成不了三角形，因为这个两边之和要大于第三边是吧？

任意两边只要大于第三边，不满足这个。所以说一肯定是跟其他构成不了，所以它构成三角形的话，那在这里面我们可以看一下二。二三四，它可以构成三角，我们先把所有构成三角形挑出来，一会儿咱们看哪个是钝角的？二三四，它可以构成三角形。对不对？然后二四五是不也可以构成三角形？好，那么接下来还有就三四五也可以构成三角形，

好在这大家知道这三四五它是一个直角。对吧，只有三角形勾股数嘛。然后二四五二四我们看一下它最长边，它的平方数，这个二的平方是四+4^216。16这个是25。大家可以看一下这个五的平方是25，这个二的平方。四，这四加十二十比它小，所以这个呢，就是一个钝角。然后二三四我们来看一下，二三四就二的平方是四三的平方是九，

然后四的平方16。16，16，这个也是钝角。所以钝角三角形有两个，直角三角形有一个啊，总共三角形就这么三个好吧，钝角两个，所以它的总情况数。就十上面呢，有两个是这个。钝角三角形，所以正确答案就选择b选项就是五分之一，看是不是学会了？好，

第六题十把钥匙中里面有两把呢，能打开某锁。则从中任意取两把，能将锁打开的概率，就是你取出两把，你自己取去打啊，能把锁打开，能把锁打开，这就有点像咱们的。这个中奖的这个道理一样啊，隐含了至少有一个就这两把，里面至少有一把能打开，听到没？就取这两把，这两把你就去试试。

是这两把里头第一个不行，第二个你去开，反正这个能开开就行，好吧，就至少有一把。要能打开。能改下，又要制造一个，大家可以从反面做，要简单，是不是就一减去总共情况是c12从十把里面取两把c12？这总情况数分子的话，分子化就相当于是十把，里面有两把能打开，说明有八把打不开。

八把里取两把，这样就可以写出来，结果好，这是八×7，这是十×9。好，然后这个大家呢自己。化简一下等于四十五分之十七上下，给它约一约好吧，约约约得到四五分之十七就写好了，所以这道题能怎么怎么样？啊，这个东西要知道它的含义是什么，它要隐含了至少有一个好吧，要知道至少有一个这样的特征方法得要学会啊。

好第七题。六位身高全部相同。都不能够相同的，然后大家拍照留念。摄影师要求前后两排各三人好吧，这是一个前排。一个后排。好，那么这这是前排。这是后排，前排，后排也有这个后排，任何一个人就每一个人均比前排同学都得高好吧，去前排这些同学都得比他们要高，大家看看。

它的方法，所以在这里面要涉及到大小的一个排序问题，看咱们前面学的内容是不是掌握住了？好在这里面大家呢，要注意这六位身高全都不相同，我们可以给大家写一下六位身高，分别是一二三四五六好吧，它都是不一样。好，那么要求后排的任何一个人都比前排高，那就说明较高的三个人得站在后排，对不对？较高的三个人，比如四五六，他的身高要高一点，

他得站在后排。这样话后排里面任何一个人，他有任何这个词，任何人均比前排前排前排有三个同学均比前排三个同学都要高的概率。不要理解错了，有同学可以理解成什么啊，他只要比他自己前面的高就行了，那那这个这就错了啊，不是理解成他比他正前方的同学高他。他是这个人比下前排每一个同学都高，这个人也比前排每个同学高，这个也比前排每个同学高好吧，所以在这里面我们来看一下。所以分母就六的阶层就六个人，随便占六个位置，

随便占分子的话就较高的三个人站在后排，这时候不用再挑了啊，不要从六个人选三个人。直接三个较高的就过来，三个较高过来，直接就站在后排去就行了，所以在这里面啊，那大家就不要再再去选了，所以有的同学呢啊，又去挑选，那这个就错了好吧？比方三个较高的三较高的，比如四五六这三个较高，站在后排，他有三的阶层，

然后还有较低的有一二三，这较低的站在前排。这样就行了好，那这一块我们就可以算出它的这个结果，那么上限六×6是吧？下面这个就六×120。这算就等于二十分之一正确答案，就选择c选项。给大家约一约好吧，所以这道题不要理解错了，不是每个人比他自身的潜面高啊，是每个人均比前。前排同学前排同学有几个有三个人，就每一个都比前排同学都要高好吧，这块儿文字理解，

不要产生在歧义。好第八题将一到九的九个数平均分成三组，则每每组的三个数都得成等差数列的概率到底是多少？啊，这道题遇到数字问题，而且遇到分组，所以综合了几个考点，一个分组得会，因为要要知道总额的分组的情况数，作为这个概率的分母。第二个就每组都得成等差数列，每组三数都要成等差，注意每组的公差不一定一样，比如第一组的公差是一，第二组的公差有可能是二好。

好吧，所以说呃，每组的公差不要理解错，以有的同学以为这三个组每组的公差d呢是一样的，不一定，所以这时候呢，要结合数字等差数列里面列举法。要学会分析，首先这个分成三三组，九个人分成，平均分成三组嘛，每组都三个数是吧？三三三。来分来分，总情况数就是c九三c六三c三三，

除以三的阶乘好吧，这是总共的方法数，这个比较简单。就平均分组就行了，接下来我们要列举成等差数列要列举。等差数列。大家呢，要列举一下，列举时候不要列多了，或者列少了，大家按照公差来进行列就可以了。接下来，我们给大家演示一下如何来列举。其实大家心里都明白，要列举是吧？

就不少同学在做列举的时候呢，心里明白就心有余而力不足。就知道要列举，但是总是列不好，是不是大家是不是有这个感觉列不好？根本原因，你得找到一个固定的参照物，这样就比较简单，大家知道等差数列比较关键的数就是公差d是吧？公差d我们看第一组啊，就第一组，第一组d要为一的时候看行不行，一的时候一的时候就第一组，比如说一二三。第一组一二三，

那么后面呢？然后呢？也都为一好吧，四五六七八九。好，这第一组，它为公差为一的时候一二三。四五六七八九好，那么第一组公差为一的时候看看还有没有其他的其他四五六七八九还可以什么？还可以四六八。第二组为二，然后这是五七九，这个公差为二，这样也可以，是不是？

所以在这里面大家呢，要掌握一下它的这个方法啊，公差为二，这样这样行。后面产生公差为三的话，这个不太行，公差为三的话，你看公差要为三的话就四七十，它这个没有十公差为三就不太行了啊。第一组咱们就列好了，看是不是明白了？第二呃，接下来我们来看一下第一组，你想还是从一开始啊，一定要固定，

都从一开始。一开始的公差为一的都列完了，你看这个一二三这个也是一二三一开头的，然后还是一从一开始一开始，然后公差为二的就一三五。反正记住，我们把一始终都放在第一组，这样话呢也不容易错啊，都把这个一放到第一组。看到没？这个一都在。第一组好，接着我们来看一下一三五啊一三五情况，一三五呢公差为二一三五，那么后面我们看公差也为二行不行二四六？

是吧，就26。或者说后面剩下就七八九了是吧？所以在这里面好，那这一块儿就是一三五弄完了，一三五弄完，接下来一最小的那。这第二组最小就是二好吧，我们一定要由小到大，不要随便排，不要一会儿把这个四五六排在。前面一会儿排在后面，一会儿把七八九排在前面，排在后面，这个大家容易错啊，

固定好标准，看老师固定标准什么最小的一定要挨个排，你看一。这个排在最前面一排最前面，如果它二跟三用过了，接下来第二组最小的就是四了。好一排在最前面，然后接下来三五用过了，接下来最小的就是二二排在第二组，最前面就是每一组的。第一个数都是最小的，也就说在它能取掉的就去掉前面组数以外，把前面用过的数去掉，以后它要取一个最小的。明白吧，

你要知道它的规律啊，好，那这一三五我们就列好了，然后这公差为二的公差为三的，我们看有没有公差为三，公差为三就一四七。好，这个开头还是一开头好，一四七用过，刚按照刚才老师讲过，把前三位数用掉，以后接下来的数最小的是多少呢？最小是不是二开头的？二开头二开头二开头公差呃为为一的话，那这一块儿是不太行的是吧？

公差为一的话，因为公差为一二三四这个四呢，它用不了，所以这时候你就得掰着手肘看看吧。反正每组都讨论公差嘛，公差你看我们刚才讨论第一组公差为一。然后第一组公差为二。啊，然后第一组公差讨论完了，第二组公差公差为一，公差为二，你都从四开始听到没有，都从最小的开始开始，然后公差为一，公差为二，

公差为三，不太行。然后接下来这个呢，就从二开始二开始公差为一不行，公差为一二三四这个三用过了，然后就公差为二。公差为三也不行，公差为三的话是二五八，这个五前面用过了也不行是吧？反正每组都讨论公差呗，因为这道题公差又不能为零，因为数它又不能一样。是不是好？那在这里面这个一四机用了二二的话，大家看公差为一行不行？

公差为一的话呢？二三四这个四用了不行？公差为二行不行？为二的话就二四六。这二四六这四也用了，这也不行是吧？那公差为三就二五八。公差为三，那就二五八二五八，剩下的数呢？就它它它剩下数就三六九了，是不是反正最后一组呢？不用管它，其实你排好前两组，剩下三个数就就最后一组了。

是吧，最后一种在验证一下，剩下三个数能不能构成等差数列，它是可以构成的是吧，然后一四七拍好了，这是公差为三。好公差为四，我们看行不行？公差为四，就一四九一四九，按照刚才老师讲的方法，然后。去掉一四九以后，剩下最小数是几啊？告诉我最小数是不是二最小数二嗯，

做到这是不是听懂了最小数为二？接下来我们就讨论公差为一行不行，公差为一二三四不行，这四它用过了。对不对？公差为一不行，公差为二，公差为二，公差为二的话就是二四六，这个也不行，也四也用过了，那公差为三行吗？公差为三就是。就是这个。这个呃公差为三，

看这个行不行是吧？所以在这里面大家呢，要掌握它的方法啊，这是一五九公差为四一五九。是吧，好，这是一五九啊。好，刚刚才的公差为三弄完了，公差为四，这是一五九啊，好一五九，然后接着第二组，第二组按照老师刚才讲的方法，它去掉一五九最小是不是就二二的话，

我们就开始讨论二公差为一看行不行，公差为一的话就二三四。四呃共差为一，共差为二，行不行？共差为二，就二四六是吧？所以说在这里面啊，我一会儿再写吧。好公差为一，剩下的数我们就就写在一起嘛，剩下的数就写就就是六。七八是吧？剩下数，然后一五九一五九里面我们看刚才讲的公差为一看公差为二行吗？

公差为二就是二四六。对吧，空三围二的就26这玩意儿剩几呢？这说剩一个三。剩一个七，剩一个八，这个好像不太行是吧？所以说这个三七八不是等差数列？然后这样就找完了公差为三，这个也不行也不行，所以所以公差为四的就找完了公差为五，那就不行了，就超过九了。好，讲到这，

我给大家讲思路，各位同学听思路啊，题不重要，听思路好，那么列好几组等差数列怎么列？各位同学听好好没有？首先那么第一组，它每一组。第一个数都是它能取到最小，什么叫能取到最小的就去掉前面用过的，它自己能取到最小的，这是第一个数的固定。不能够随便儿给我弄啊，随便儿四五六一会儿放前一会儿放在后面，你一会儿就晕了。

第二个原则就相当于是讨论公差第一组，先把公差为这个一的讨论好，讨论完了检查一下，写公差为一的时候，第二组也是从公差为一开始往下讨论，看行不行？好公差为一的讨论完了，公差为二，公差为二，第二组也是从公差为一，公差为一，不太行，那就公差为二，公差为二，讨论完看公差为三，

行不行？把一直讨论完。只要把前两组定下，第三组就可以写了，然后第一组公差为三的，第一组公差为四，公差为四的话，那么第二种这种情况呢？是不符合要求的，所以总共列举出来，这有五种情况好吧？所以概率p就等于五除以个c九三c六三c三三÷3的阶乘。好，最后大家自己算一下答案就可以了啊，最后得到是五十六分之一。

选择a选项，这样就写好了，看是不是明白了？好，第九题在正方体上任选三个顶点，连成三角形。则所得三角形是直角三角形，但非等腰直角三角形，因为有的时候呢，它又是直角，但呢，还是等腰的，这就不行，好给大家画个图，这道题也是要列举。

大家知道正方体总共是几个顶点，总共是八个，对不对？好，那总共是八个。好，八个顶点，八个顶点的话，那在这里面，你看这这这八个顶点分别是abcd。好，这是a1b1。c1d1好吧，这是正方形啊，八个顶点，

八个顶点，总情况数大家会写对吧？总总情况数共多少种？共c八三种。对吧，所以总共呢是c八三种。这种情况数。好，那么在这里面好，我们再看一下，它要是直角三角直角三角形什么情况呢？直角三角形，直角三角是不是得出现垂垂直的垂直的话，在这里面大家看看还不能出现等腰直角三角形。比如说要出现等腰直直角，

这也不行。等腰直角等腰直角是什么时候会出现？等腰直角的呢？看看我们先看等腰直角它怎么产生？等腰直角比如说abd。就在同一个面里面，它会出现等腰的直角，你看abd这个三角形就是等腰直角三角形。是不是这是一个等腰的好，现在人家题目要求不能是出现等腰的，不能出现等腰的，那应该是什么情况呢？大家想想是不是应该在在在这个对角面里面？是不是所以在这里面大家呢？要知道这个对角面儿。

比如说这个a。bde这个就可以产生一个直角了，因为这个是垂直的。要垂直，而且这个三角形，它是个直角三角，但是三边呢，它没有出现等腰。是不是所以在这里面，大家可以看看好，那我们就锁定了我们想要的这个面儿，就是一个对角面儿里面。好，这个对角面里面大家知道对角面它是一个矩形，是不是就相当ab cede是不是一个矩形？

矩形那么这四个点四个点任取三个点，它都可以构成。等腰非直角的三角形是吧？所以在对角面儿里面这个面儿叫对角面儿啊，什么叫对角面儿就这个呃含了？体对角线的这个面叫对角面。对角面儿四个点，里面选三个点就就行了是吧？接下来我们看它有几个对角面呢？大家想一想啊，有几个对角面？啊，有几个对角面看啊，这个是一个对角面，还有这个斜过来就CD跟a1b1又是个对角面，

然后BC跟a1d1又是个构成的对角面。还有AD跟b1c1构成对角面是吧？所以在这里面你就从不同的方向，还有这个CD跟a1b1。是不是还有这个c1d1跟AB，所以它有啊，这个六个对角面，六个对角面，所以再乘以六。所以就等于24个，所以概率p就等于24，除以一个c八三。这样就可以写它的结果，最难就等于七分之三。啊，

七分之三这样就写出来这个答案，选c选项好，这是给大家强调的这个题，这个题需要大家一定的空间想象能力啊，就在这个取样的时候，要想象到底如何来进行。区好第十题。好，第13题主要呃考点是考察这个也是几何里面取样跟几何相关的图形问题啊？好三角形，每条边上各取三个分点，就就各取三个分点，比如说这是ABC吧？好，假如这是a1a2a3。

则b1，b2，b3。这是c1C2C3好，那么各有三个点，你这九个点啊，就就就不算这个ABC的顶点了，反正就以中间这九个点就a1a2a3b1B2B3c1C2C3。啊，那这些呢？九个点，每顶点可以画若干个三角形，要画到这个三三角形。然后从中任意取一个三角形，则其三个顶点分别落在原三角形三条不同边上的概率啊，

就是落在原来原来这不是一个三角形吗？看这个大的是不是一个三角形啊？好落在不同边上的概率好这道题分母分母注意九个点，不要写c九三，如果写c九三这道题就会出问题。因为c九三是从这个a1a2a3b1B2B3c1C2C二九个点里面，随便取三个点，随便取三个点，人家说要画出三角形。要减去贡献的。贡献呢，是不能组成三角形的，大家要注意。好，所以在这里面呢，

贡献的贡献的要减掉三贡献的，比如说ala 3这三个点不能构成三角形BB 2b3，不能构成三角CC 2c3，也不能构成三角形。啊，讲到这个分子要求三个顶点落在不同边上，不同边上就从这个三个点AA 3取一个。点从b这个里面取一个点c里面取一个点是吧？所以这样结果最后得到就三分之一正确答案就是选择b选项。看这个是不是学会了，所以这道题大家呢，要注意构成三角形，先用总的啊，这个选点的方法选三点方法减去贡献的情况，这样就可以写出来结果。

第11题三名老师从三男三女共六个人各选两名学生进行实验，每名老师各带一名男生，一名女生的概率到底？说好这道题就也考察分组问题。分组问题。就每一个都是一个老师。一个男生，一个女女生，这是一组，这也是一个老师，一个男生，一个女生。这也是一个老师，一个男生，一个女生。

好，那下面我们来看一下总的这个分组的方法，总的分组就就是九个人，对不对？三个老师，三男生三女。然后总共九个人，九个人33分，33分就c九三。c六三c三三。除以三的阶乘好，这是总的这个分组的方法。然后分子来看一下分子的话，大家记住我们前面讲过的啊，如果它不同类型的分组，

比如说有老师，有男生，有女生，分完后只出一次，这个阶层他要等式上分，只出一次阶层啊。啊，我们前面举例子还举过，比如说啊啊三个法国人，三个英国人，三个美国人来分组，每一组都是一个。呃，英国人一个，法国人一个，

美国人是吧？那那个题那个题就相当于第一组选一个老师，选一个男男生，选一个女生。好，这第一组就写好了，对吧？老师从三个老师选一个，然后男生从三个男生选一个，女生选一个。然后剩下第二组c二一c二一c二一，第三组c1c1c1分完，注意只出一个三的技能就可以了，不要多了，不管他这。

有比如说有一个老师，一个男生，一个女生，然后再加上一个小学生是吧？那么比如说再来三个小学生，再加上一个小学生，那么他分完还是处于一次三的阶层？不要处多了就行了啊，你记住它的原理，不管它的各类型，它怎么分，只出一个阶层就行了啊，所以这是大家要掌握的，它分组的特征，别给写错了。

好，最后算完后就等于五分之二，这个呢，就选择a选项。好，这是第14题讲的做题的方法。下面咱们看一下第12题，某人射击五枪，命中三枪，三枪中签有两枪，连中好概率到底是多少？好注意这个命中和不命中，它是属于相同的问题，到时候不要给写错了好吧？啊，

这个命中五就是五枪，命中三枪，然后他总情况数应该c五三。就像从五枪里面选三枪打中，这三枪打中都是一样的，就跟咱们讲过灯泡一样亮灯和暗灯，亮灯都是一样的，暗灯也都是一样好不好？这个命中都是一样的。然后三枪中恰有两枪连中，这两连连中什么意思呢？就五枪命中三枪，还有两枪不中就画个叉。剩下的三枪联动里面啊，打个包跟另外一枪，

然后插空就行了，因为这两个不中，这两个不中，它也是一样的，不要再排序了。听到没？不要再赔，这时候它是不是有三个空位呀？有三个空位，是不是选从三个空位里面是不是选两个空位，选两个空位，把这个包和这个呢往里放？注意这个包里面也不要选了，这个两枪是一样的，也不要去选了，

直接打包就行了，但注意空位是不同的，所以要选空位。然后把这个东西和这个东西往里放的时候是不一样的，因为这是两枪，这是一枪。虽然命中是一样，但这是两个命中，这是一个命中，它是可以排序的啊，乘以二的阶乘。好，这个得到十分之六就等于五分之三，最难就选择b选项好吧，看这块儿是不是明白，

是不是学会了啊？所以这道题就考察咱们前面学过的。呃相邻和不相邻，虽然这道题改成两枪连中，虽然连中表面是相邻，但还用到了不相邻问题，大家呢，要学会思考。好吧，要用到查控法啊，好，接下来我们看第13题接种某疫苗出现发热反应的概率为零点八。现在五人接种苗，至少有三人出现发热反应的概率，到底说至少有三人，

那么就相当于三个人，四个人，五个人从正面做吧。反面是零个人，一个人两个人反面差不多好吧，我们输入之后从正面做正面做就五个人，里面有三个人出现发热反应。另外两个人没有出现发热反应是吧？用玻璃攻势，然后五个人里面有四个人出现了发热反应，有一个人没有出现发热反应。加上五个人都出现了发热反应，这样就可以写出来结果，然后这个数大家呢？去算算就等于零点九四。

当这个数稍微大一点，大家算的时候细心点儿啊，好这个呢，就选择d选项，看这块儿是不是学会了？好，接下来我们再学习玻璃公式，玻璃公式大家一定要知道CN k的含义，还有p的k次方一减p括号的n减k次方，它的含义啊，再套公式。好，第14题。好投篮测试中，每人投三次，

至少投中两次才通过测试。已知某同学每次投篮概率为零点六，问该同学通过测试的概率到底是多少？好，那在这里面，我们来看一下它，至少通过两次，包括两种情况，一个是三次，里面恰中两次。还有一次没中。有可能三次呢，都中了，是不是？都中了，

这样也可以，好在这里面甚至等于零点六四八，这样咱就选择a选项答案就求解出来了。所以把这个式子分成两类啊，一类是三次投中，两次一类三次都投中。好，第15题在四次独立实验中，实验a恰好发生一次的概率不大于。就这四次，恰好发生一次不大于七，恰好发生两次概率问在这个p的取值范围好，那这道题就用了不等式和范围，大家注意，这几年考试都在考察。

概率的大，小概率的范围好那么。事件恰好发生一次，概率应该怎么写呢？就四次，里面恰好发生一次，发生概率是p，还有三次呢，没发生。好，这个套玻璃公式看学会没有啊，就四次发生一次，然后他的这个式子。然后呢，恰好发生两次c四二的平方。

乘以一减p的平方还有两次没中，还要大不大于它，不大于小于等于。相等于好，因为咱们知道这个概率p这这个概率p，然后这个这个东西两边呢，可以约约是不是，然后可以约约它的这个特征。啊，越狱的话，然后呢？我们看它的这个特征，然后这个c四一c四一就是四。两边约掉一个p，约掉一个一减p方，

这是变成一减p了。小于等于c四二就是六六约掉一个p。是吧，然后这边约了一个一减p方。好，然后接下来我们这个边可以得到是二减二p小于等于。这边是3p，然后这个p的值就可以写p，应该大于等于。零零点六是不是？大于等于五分之二。啊零零点四。大于等于零点四，这样就可以了，所以说选择e选，

只要大于等于零点四就行了，因为概率它不能超过一。这样就写它的这个数值的要求，看这块儿是否明白了，所以这道题首先它告诉你两个事件的玻璃公式写出来，然后根据两者概率大小，大家解一个。不等式，这样就可以写出它的数值和结果好吧，这道题就是要求p不能为零啊p不能为零，因为p要为零的时候，那这个这个概率也为零，这个概率它也为零，虽然两两者是相等的。但这道题呢呃，

就选项里面它又没有产生零零呢，咱们就不再考虑了啊。好，我们来看一下第16题，这里考察几何？里面坐标位于直角坐标系原点的啊，解压这个是直角坐标系原点的一个质点p。按下列规则，移动支点每次只能动一个单位，移动方向，要么向左，要么向右，不能向上或者向下啊。并向左移动概率为三分之一，向右移动概率为三分之二。

好移动五次位于一这个点一零这个点。啊，把它移动五五次，以后移动到这儿。好移动五次以后，它在一这块。移动五次，这一块儿在一就相当于什么意思呢？大家想想一想，这个五次如果第一次向右移动的话。这个五次里面其实这样的五次里面有一次是向右移动。剩下还有四什么，剩下还有四就两次向前，两次向后正好抵消掉，明白吧？

就是这个五次里面应该有一次呢，是向右的。向右的剩下四次的话，应该有两次向前，两次向后。然后他的这个情况，或者这样去理理解型，这样分析完就五次，里面有三次向右。两次向左是吧？有五次中。有三次向右。两次向左。好，这样的话，

它最终就落在一这个点了，明白吧？落在一这个点，然后这时候呢，我们用top的公式就c。五三有三次向右向右的概率是三分之二。还有两次向左。然后这样就可以写出它的数值分母呢，有三的五次方，三的五次方就等于243上面这是二的三次方是八八呢乘以。乘以乘以前面十就八十这样答案就二百四十三分之八十选d选项，看是不是学会了？所以通过它最终停留点，要分析这五次里面有几次向右移动，有几次向左移动啊，

所以这几次都在考什么图形的移动，像咱们上一次考试出现的机器人儿。怎么移动那么很多同学呢？在考场上不会做大家呢？现在要会画图分析啊。然后第17题就是一枚硬币，连制五次，这个这一枚硬币，然后呢，出现k的正面向上概正正好等于出现。k+1次正面向概率，这个等于可以换成大于啊或者小于啊，让你解这个k的值是吧？跟刚才有一个题差不多好吧，所以在这里面大家呢，

要知道它的方法。好k是正面向上，我们写一下c5k，因为这个概率都是二分之之一嘛，直接写二分之一五次方，因为正面向反面上都二分之一二分之一合在一起就二分之一五次方。它等于。出现k+1次正面向上。出现k加一次正面向上也就二分之一，五次方好，最后二分之一，五次方两面约掉就得到c五k就等于c五k加一。大家可以得到这个k=2或者三一呢，知道c五二跟c五三是相等的是吧，然后c五二啊kk取三不太行啊，

所以验证一下选项。k=2，这是可以的是吧？所以k=2，正好c五二跟c五三是相等的，因为咱们讲过啊，这个公式是吧？就是CN。x如果等于s in y。他就推出x=y或者是x+y=n这道题，就相当于这个k跟k+1相加，要么等于五。或者说k和k+1相等，这道题不可能出现k和k+1相等，所以这种情况呢，

是不可能的啊，所以它有两种情况啊，就是或两种情况不要忘记啊。考试很多同学只想到右边这一种情况，没想到左边这种情况就没想到左边那个情况，如果做重新判断就会呃分析上少一种情况，就会判断出错啊，判断错误。好，这给大家强调的做题方法思路，这一答案呢，应该选择c看这一块儿是不是明白了，是不是学会了这玻璃公式，是不是知道它怎么使用了？下面我们学习条件重新判断题，

然后第18题从一到九的九个数任取n个不同的数，这n个数的和要为偶数，它的概率到底是多少？好，那么题案一它是n相当于等于二这道题，我们只能由下往上推了，好，那么n=2 n=2的时候就取两个数。好，这两个数的和要为偶数。和要为偶数，它的概率p应该怎么表示呢？就说明这两个数，要么都是偶数分母就c九二啊。分母九个数任，

取两个分子，要么这两个数都是偶数，偶数就是二四六八有四个。二四六八选两偶数，要么两个数都为奇数，奇数是一三五七九，所以五个数选两个。然后这个。大家算一下它的结果，分母呢就是三六。分子这个c四二十6c五二十十六。然后这样就可以上下约掉一个四。得到九分之四，所以条件一呢不行，条件二n要等于三，

那要等于三，就说明选三个数。三个数的和它要为偶数。好，那在这里面概率p分母就c九三。分子分子呢？三个数的和要为偶数，有可能三个都为偶数c四三。也有可能三个数里面有两个奇数，一个偶数，两个奇数，一个偶数。好，那在这里面c有三，我们就可以。

算一下它的结果，最后就得到二十一分之十一好，这是给大家强调的做题的方法。通过这道题，大家要学会的方法就几个数的和奇数，偶数要学会分类讨论啊，分成两类来分析。所以条件二是充分的正确答案，就选择b选项，看这道题是不明白了。好，第四个题口袋内装有十个不同的球，其中五个标有零五个标有一从袋中取出五个球，好，这道题是有数字运算，

那数字的和小于二。数的和大于三好，那在这里面我们来看条形一。调音他说五个求的和这是五个球，一二三。四五。它的和要小于二。和小小于二，我们看因为它有五个零。还有五个一。好，那么在这里面和要小于二呃，只能是一个一，然后五个零。啊，

一个一四个零或者五个都为零是吧？所以它概率p分母呢，就c15分母就从十个。取出五个球c15分子呢，有可能这五个都为零，五个都为零，就c五五只有一种写法，有可能是四个零。然后一个一这样就行了好吧，这是给大家强调这个结果，然后剩的等于一百二十六分之十三。好，这样就写出来了。好，这是给大家强调的做题的方法条件，

二它的和要大于三和要大于三的话，正面情况是不是？呃，看看有几种情况和要大于三，有可能和为四，有可能和为五啊，这面情况还可以，这面情况就有两种情况啊，我们就可以写出来。啊，分母还是c15？分子分子的话啊，要么大于三大于三，它五个和有可能等于四要等于四的话就什么情况呢？呃，

等等于四=4的话。那就相当于是四个一一个零。四个一，一个零。啊，或者等于五=5的话，那么这五个都需要选等于五，这五个数都需要是吧？c有等等于五。然后这表达式跟上面表达式一样的，你发现没有？所以说也是一百二十六分之十二，这两条件单独均充分正确答案。就选d选项，这样就可以写出它的结果，

看是不是学会了好第二题那么一件？一批零件共100个，有95个合格，五个次品。好任取一个零件装配机器，则p 2=p三好，那么条件一第二次取到合格好任取。一个装配机器，这就属于无放回的，因为取完了，然后就安到机器上了，那零件就少了一个是吧，所以根据题目要求，这个可以发现它是无放回的。好，

那是无返回的情况，好，那接下来我们来看一下啊，它的表达式。好，第二次要取得和平的概率。第二次要取到和平，那相当于是第一次是什么情况？第一次。第一次那么有可能合格，有可能不合格是吧？所以在这里面无范围取样，我们来看一下。分母就是c110。c9十九一因为无返回的话，

那么第一次取的时候是100个取一个，第二次取的时候啊，还剩99个。分子分子化，那第二次要合格，第一次有可能是合格c9十五一。c94e加上第一次，有可能是不合格c五一c9十五一是吧？第一次，有可能取得次品，第二次再取一个合格品。有可能第一次合格，第二天取合格。好，这是p2给大家写的这个表达式。

好那么。这道题肯定要联合，因为条件一它只有p2，没有p三条件二只有p3，显然要联合啊，显然要联合分析。然后这是p2，这是p3p3的话，第三次要取到合合格品，第三次要取到合格品。那么在这里面那么第一次，第二次大家呢，就可以写出来就是c110。c9十九一c九十八一是吧？就第一次是100个取一个，

第二次100个取一个，第三次98的一个取一个。好，第三条起到合格品，有可能第一次是合格。第二次合格，第三次呢？也是合格的。好，有可能是第一次合格。第二次不合格，第三次是合格的。有可能是第一次不合格，第二次合格。啊，

第一次呢是不合格，第二次合格，第三次是合格的加上。真的第一次不合格，第二次不不合格是吧？第一次是不合格，这是第一次不合格，第二次合格。然后这样的情况好，那么加上第一次不合格，第二次不合格，第三次呢是合格的。好，那这样写，写完才可以发现，

那么它这个概率它都是一样的，好吧，这两个化简完都是一样。好，那接下来啊，化简完你可以发现一个小规律，好在这里面我们呢，就可以写成。就跟第一次取到合格是一样了，第一次取到合格，那就95，然后这个是100。是吧，一百所以这个就得到二十分之十十九，这个化简完也等于二十分之十九。

好，这是按照第一次，第二次，第第三次啊，这样来写，当然在写的时候，那么还有一个简便的写法，简便写法就我先写第二次，然后再写第一次。是吧，好那么peer还可以这样写。啊，这样写分母还是c110c9十九一？先写第二次，第二次他不取到合格品吗？

第二次就假如这是第一次，第二次，那第二次我先给他弄个合格品。就c9十五一啊，第二次弄完了，第一次第一次他他随便弄对吧？第一次这时候还剩下几个？还剩下几个，还剩下99个，对吧？99个随便再取一个。这样写那p3或者这样写也行。分母还是c110c9十九一c九十八一。啊，我先写什么呢？

先写第三次，比如这第一次，第二次，第三次，第三次是合格品。好，第三次是合合格品在这里面，我们呢就可以看出来，第三次就c9十五一。啊，第三次就c9 15亿。这样的特征。c9十五一啊，这样就第三次。好，

他就写好了c9 15亿乘以一个乘以一个，那么前两次前两次就可以任意选了，对不对？任意选了前两次，再从99里面。再挑两个挑两个，这两个可以排个序是吧？因为产品都看着不同的，然后再排个序，这样就写好了。好，这种写法跟这个表达式写法是一样的。好，那么通过这道题，想给大家总结的结论是什么呢？

总结结论就是啊，如果要无返回的取它，其实就是抽签原理。抽签原理不管啊，这道题就选c了，不管他第几次取取到合格品的概率都相同，就像咱们抽签一样，不管第几个人抽。那么，中奖的概率它都是一样的是吧？不要想着啊，你在后面抽那么中奖的概率就高是吧？有时候大家呃要决定这个面试顺序是吧？比如说我写一二三四五这五个同学呢，你们抽。

抽到几你就第几个，比如抽到第一个你就第一个去面试，其实大家呢啊，不管有放回的无放回去抽抽到。比如甲同学抽到第一个序号的概率，它都是一样的，明白吧？所以说在这里面大家呢，通过这个也证明了咱们抽签原理的公平性。是吧，一开始大家总是心里感觉，最后抽是不是抽的概率高，那不一定是不是因为你最后抽的话，你还要考虑前面人他抽中了没有，还没抽中是吧，

这些都有可能。都有可能，所以要分类啊，这是给大家总结的一个结论，记住一个抽签原理。然后21题就考到这个点，数成等差数列。这时候又要用列举法。所以遇到数字一些关系的时候，那么都要列举数字啊，用列举法来分析。好，那接下来我们看题号一那要知四次依次成等差数列，那就根据公差呗，公差为零的时候，

公差为零的时候，比如说四个一。四个二，四个三到四个六。它有六个等差数列，是不是？然后公差角为一的时候为一的时候只能一二三四。啊，二三四五。三四五六接下来我们就数数啊d为一的时候啊，一二三四二三四五三四五六啊，总共呢就这三个。总共三个好，那么d=- 1 d=- 1，大家注意它也是三个啊，

就把它倒过来就明白吧，就四三二一。五四三二，然后六五四三是吧？给它倒过来就行了，倒过来它也是三个。所以这个p就可以写成分子就十二个是吧，所以六加三加三十二个除以六的四次方，你让它至四次就六的四次方，这个不等于十二分之一，所以它不充分。然后调价。好条件将excel连续抛斥三次，它向上点数依次成等差数列抛三次。大家知道d=0也是六个。

d=1，这是四个。好，那d=- 1也是四个了是吧？然后d等于。二的时候那么就有两个d=- 2。也是两个也两个，所以总共呢就18个。总共十八个，十八个的话，然后这时候呢，就除以六的三次方，这个就等于十二分之一。那十二分之一条件二成分，这个答案就选择b选项好，

这是给大家强调的做题方法思路，看是不是明白了？接着我们看22题，这个题啊，只要是抽签。抽签儿不管有放回无放回，讲完这个题就可以跟前面题做一下对照，有放回无放回，那么第k次抽或者第k个人。抽到某个签的概率，它都相同，所以这个是无放回的，这个是有放回的，所以条案一那么每每次。抽到一号。

它的概率。p都等于n分之一，你看他，因为他有放回嘛啊，他这个不放回，不过刚才我们给大家震震过了啊，不放回第一次就是说抽到一号签儿，因为n个里面有一个。是中奖的是n分之一，然后第二次再抽，第二次抽中奖是要看第一次中还是不中，所以说算完还是n分之一啊，所以每次抽到都是这个。然后条件条件它是有放回的。有返回那那就就就更一样了，

对吧？有返回它的样本是不变的。样本不变，所以每次。它的概率p也等于n分之一是不是？所以也是一样的正确答案，就选d选项。好，这是给大家强调的做题方法思路，看是不是学会了？二十三题制n次均匀硬币出现正面次数多于反面次数，它的概率为二分之一。啊，出现正面次数多于反面次数好，那么条件一我们来看n要为偶数。

n要为偶数，有可能正面次数大于反面次数。啊，有可能正面次数。等于反面词组。有可能正面次数小于反面。次数好，那么它让求的是正面次数，多于反面次数，求的是这种情况。啊，其实是这种情况，其实这种情况我们可以直接去证啊，也可以用另外一个对称的角度来分析好吧，如果直接做的话，

正面要大于反面。啊，那么在这里面那么正面大于反反面，它应该应该是怎么写？想想正面大于反面，正面大于反面，有可能是正面取n次。是吧，正面是n反面就是零，是不是这样的情况？正面这nn次它都是正面反面没有？是吧啊n大大于零，还有可能这个再取n- 1，这个就一是吧好第二点。点儿点儿，

然后呢？这个呢？又取二分之n加一，这个就是二分之n。减一是不是这样的？这就叫二分之n减一，这样的特征。好，那么接下来我们来看看它的这个式子，式子大家知道这个字均匀，硬币每次盖都是。呃，二分之一都二分之一，它就可以用CN k二分之一的N次方。二分之一的N次方来表示是不是好，

那么它这个题一它概率pp正面大于反面就可以写出，这n次都是。就是CNN啊，CN零吧，反正CNN CN零都行，就二分之一的N次方。将CN一二分之一的N次方。一加到CN二分之n加一这呃，这个加一减一都可以啊，这二分之一的。N次方好吧，就CN零啊二分之一的N次方CN一啊，一直到CN二分之n减一。啊，这样的情况。

大家可以发现，每一项它是不是都有二分之一的N次方呀？每一项都有二分之一的N次方，每一项都有二分之一N次方，然后这里面又剩CN零加CN一。一加到CN二分之n减一。是不是这样的，然后括号再乘以二分之一的N次方好，那在这里面我们知道一个公式就CN零加CN一。也加到。CN它应该等于二的N次方是不是这有个恒等式c 0+CN一一加到CN=2的N次方？这个恒等式。好，这是一个呃恒等式好，既然这是一个恒等式的话，

那在这里面我们呢？就可以看出来一半儿啊，就以中间一半儿，大家知道因为CN 0=CNN CN 1=cnn- 1。以中间一半儿分开，一半儿分开，这个括号里面正好就占前一半儿是吧啊，正好呃占。前前面好占前面的话，但是在这里面它中间少了一个CN二二分之n。是不是所以在这里面，它比这个二二分之一呢？要稍微小一点啊，所以在这里面这个括号里面，我们可以。

写成什么情况呢？就是大家知道。有CN 0如果n要为偶数啊加CN 1。一加到CN 2分之。它应该等于它的一半。对吧，所以在这里面大家呢，因为这个首尾它是一样的，明白没有首尾它是一模一样的。讲这儿有同学可能对这个符号弄得有点儿晕，给大家举个数就行了，比如说n取10n取十的时候大家知道。c十零+c 11。加到c14，加到c15，

加c16，意思加到c十十，它应该等于二的十次方是吧？所以说我就怕有同学听不懂，又能给你举个数啊，比如说n取十这个c十0c11加到。c 14+c 15c十六一+c十=2的十次方在这里面，这个就相当于是c十零一直加到c14。听到没有，一加到这儿，它相当于是是这一部分。大家可以看。除了中间这之外，这个c是零跟c14是不是就相等呀？刚才咱们画的这个，

如果弄不明白，就是给你讲讲一讲是不是，所以说这个。它这个c是零跟c十十一样c11跟这个c十九一样c14跟c16是一样的，所以前面这个跟后面这个它是一模一样的。是吧，一模一样的好，一模一样的话，你把这个c15给它移过来，移过来，然后再除以二就行了，是吧？把中间这个移走移走，这两个不是一模一样吗？一模一样，

所以在这里面就可以给大家进行写出它的表表达式了，是不是所以在这里面可以写成二的N次方减去CN？二分之。然后这个到。n减一啊，就CN零是CN一一到CN二分之n减一正好呢，再除一个二这样就写好了好吧，所以这个括号里面我们就可以写出它的式式子。啊式子呢，就可以写成把这二放到里面去，放到里面就是二的n减一次方减去二分之一CN二分之n。然后再乘以二分之一。的。这个这总共就是N次方。是不是好？

这叫N次方，然后这样就写好了，写好，然后呢？这个二分之n减一乘，以二分之一的N次方就等于二分之一就等于二分之一减去。CN二分之n乘以二分之一的n加一次方好这个信号，所以大家可以发现第一问呃。第一个条件算的这个就是它小于二分之一是吧？它比二分之一小，让二分之一减掉，后面这个数嘛，就它概率。好把这个情况再给大家说一下n要为偶数n要为偶数，那么正面要大于反面，

它的这个表达式。好正面大于反面，好那么正面有可能是n次反面零次，有可能n减一次反面是一次，有可能二分之n加一次反面就二分之n减一次。然后把这个用玻璃公式给他写出来，写出来这个总共这个概率给他加在一起，这些情况的概率给他加在加在一起，每一项都有二分之一N次方。然后把它提出来，提出来以后括号里面括号里面，我们就用这个组合恒等式，然后再去变形，在变的时候怕大家听不懂，所以在这里面我们呢？

就给大家写了啊，这样一个公式，这样大家就可以求出来好，这是第一个条件的第一个方法。好，那这些我们就把它擦掉，我们看第二个方法。第二方法是是什么情况呢？第二方法是这样的。我们用对称的角度来进行分析，刚才咱们看了正面大于反面和正面小于反面，其实这个表达式你可以发现是一样的。啊，你观察一下自己可以在原文纸上写一写，其实是表达式，

它是一样的。就正面大于反面和正面小于反面啊，那它这个表达式它是一样的，是不是？啊，正面大于反面，正面小于反面，它表达式是一模一样的，一模一样的话，那这两个概率它肯定也一样是吧？一样，所以就相当于是。好，这个概率是p，这个概率也是p是吧？

就这三个加在一起是一个全部的概率，三个加在一起概率应该为一啊，构成一个全部的。所以相当于是第一个第一个，假如是概率是p，这个概率它也是p是吧，然后就p+p，再加上中间这个。中间的正面要等于反面，正面等于反面。n要为偶数，n要为偶数的话，在这里面大面，大家就可以看到。n要为偶数。

那这个都是二分之n次是吧？CN二分之n，然后再乘以二分之一的N次方，然后这个应该为一就它的概率加它概率加它概率就所有概率加在一起，应该为一。就像它所有的比例相加，应该等于100%等于一一样道理好吧，这个p我们就可以写出来。p这这变成二p二p的话，然后呢，给它除以二是吧？这个给它移过来除以二就得到二分之一。减去CN二分之n，这个二分之一的n加一次方，所以跟刚才的第一个表达式写的是一模一样的，

大家看到没有？是一样的，所以它肯定是小于二分之一，所以它不等于二分之一，所以它这个不充分。不充分好，如果n要为奇数，我就直接在原原题上改n要为奇数，如果这要改成奇数啊。跟奇数化，那正面等于反面，这种情况是不存在的，比如说你质五次质五次正面和反面次数不可能相等是吧？这种情况呢？是不存在，

只有这种情况和这种情况，而且这两种情况呢，也是对称的啊，也是对称的，所以说我们用第二种方法做第一种方法，你自己去思考就行了。用第二种方法做，就相当于是。p加p，它又为一，所以这p就等于二分之一好，所以说第二问条件，二是充分正确答案，就选b选项。看这个是不是学会了，

所以通过这道题，大家要学会一个组组合，恒等式，如果考试遇到符号比较多的同学啊，不要着急，然后这时候呢，大家呢，就是可以取些数帮助你呢。把这规律性的东西找到规律性的东西，找到以后我们呢，再写它的表达式就可以了。好，24题我们看这个题。好甲乙丙人物五个人站了一排，甲乙相邻甲丙不相邻，

这个逗号代表且啊，逗号代表且。好，这是第一个条件，第二五个站牌，甲乙丙三人都连在一起，连在一起就相邻就行了，好那么调音，你可以把前面这个看成AA条件。这个把它看成了b条件，就像a且b那么a交b，我们可以说了，可以采用分类法做。那也可以用减法，减法可以用总情况来减欧米伽，

减去AC并上BC。还可以写成a-a交b费。你可以写成b减去。b交AC是不是这是a且b好，那在这里面我们看呃第一个条件，我们多用几个方法帮大家建立思维方式啊。第一个我们可以讨论分类讨论，因为甲乙这两人呢，是相邻的甲丙两个人不相邻，但乙丙两人不确定，对吧？所以说方法一我们可以分类。分类我们分成什么分成乙丙？啊乙丙有可能是相邻的。乙丙有可能是不相邻的。

对吧，好乙丙有可能相邻，乙丙有可能是不相邻，好那么乙丙要相邻，甲乙相邻，但甲丙不相邻，它的图应该怎么写啊？画个图嘛，图是甲乙相连。然后呢，乙丙也得相相邻是吧？乙丙也得相邻甲乙相邻，乙丙也得相邻。啊，这样的情况。

就相当于乙站在中间。甲乙站在乙两边是吧？因为甲跟乙得挨着嘛啊，乙跟丙也得挨着是不是？然后剩下还有丁跟戊。好，接下来写表达式这个包内的税包，内税人只能是甲丙两人排序是吧？就二的阶层好，甲丙两人排序就二的阶层这个包排好了。拍好这个包，看着一个东西跟丁跟戊这样三个一块儿排，这样就得到12种。好，那么这个乙丙要不相邻，

乙丙不相其呃，他说甲乙要相邻。甲要打包，然后他他这个甲跟丙不相连，乙跟丙也不相连，这时候要插空，知道吧丁跟午？排好排好，然后这有三个空，三个空呢，把甲乙这个包跟丙往这个空里插，我们来写它表达式第一个二的阶层代表丁跟午两人先站好。好，第二个二的阶层是代表甲乙两人左右在包内部排序，甲乙打包包内部排序。

接下来写c三二c三二就相当于从三个空位，三个空位选两个空位。三空位选两空位，三空位选两空位，然后呢，再把这两个往空位里放就行了，再乘以二的阶乘。这样得到24，所以总共加在一起有36概率p就可以写出来分子36分，母呢就是五的阶乘120。这样就可以算出它的这个情况。啊，算出它的这个结果好，那等于十分之三。啊，

十分之三这样就写出来，结果了好，这是方法一啊，第一问的方法二方法二什么方法二我们用减法做啊，可以用加法，我们前面讲过。可以用加法，这是用加法做的，用减法这三个里面，你挑我们来看一下，第一个挑，第一个挑这个，且变成或这个不太方便是吧？它的反面变成甲乙不相邻或者甲丙相相邻，那这这个不好弄啊，

不好弄，所以在这里面我们呢？这个就不用从。不用这个做，用这个做看行不行？AA是甲乙相邻减去a交b，非a交BB，非是甲丙相邻是吧啊？这个否定词啊，取反面变成肯定词，要方便一点。啊，所以这个甲乙相邻且甲丙相邻，这个要好做点儿，所以方法二我们来看用a-a交BC，

我们先算情况数再算概率啊。好a呢，就像甲乙相邻的所有方法，甲乙相邻就甲乙打包是吧？二者间打包打包这个丙丁戊还有三个三个加包四个。减去减a交b费a交b费就甲乙相邻且甲丙也相邻是吧？那只能是什么甲乙相邻甲丙也相邻，那相当于甲站中间。这乙跟丙站在它两边，这还有丁跟戊。是吧，定根物，所以在这里面就是甲站在中间乙丙左右两边排个序，然后这个包打好，这个包跟丁跟物，

然后看成三个一块排。这算呢，也等于36。好，刚才咱们这算了，也等于三十六，三十六概率呢，也是十分之三p呢，也等于三十六除以五的阶乘，也等于十分之三。啊，一样的结果，所以说不管用方法一方法二都行啊，好那么条件儿条件儿的话，甲乙甲乙丙三个人连在一起。

联系呢，这个很简单，甲乙丙打个包打包，甲乙丙看成一个整体打包，然后他还要跟丁根务三个一块儿排序。然后除以这个是五的阶乘。这个也等于十分之三啊，所以条件二也充分，这个答案就选择d选项就可以了，所以这个条件二比较简单，就没有给大家画图，大家自己可以去分析一下。好，25题啊，停车场可把12辆车停在一排。

好，那么题案一当有九辆车停放以后，还有三个空位连在一起，连在一起就采用相邻做就行了啊，三个空位连在一起。啊，分母总情况数，我们来看总情况数，就是12辆12个停车位是吧？12个停车位。选九个停车位，这九个停车位可以排个序。是吧啊，所以就是这个这种的，这个停车的方法数嘛。

是吧，所以在这里面就像这个停车场有12个停停车位，12停车位，现在开过来九辆车，开过九辆车，这九辆车。随便选九个车位，然后这九个车它不一样，可以排个序，然后分子分子它要三个空位连在一起，三个空位就打个包。打包这还有九个车。九个车一块儿排就行了，九个车九个车，加上这个包一块儿排是不是？

所以九个车九个车加这个包一块儿排就相当于把它看十个对象。一块拍。就等于十除以个c十二九这个呢，显然是不充分。条件儿，条件儿，分母就是c十二八×8的阶乘，是不是这样的乘以八的阶乘？那它要四个空位，要连在一起。四个空位连连连在一起，好四个空位加上八个车，把它看成九个东西一块儿排。等于九÷c十二八，所以它充分，

这个答案就选择b选项，答案就求解出来了。好，这是给大家强调做题方法和思路。26题，这个题目考察这个分房问题条件一就是信箱。好，那么他说这五封信任意投入信箱，那么这个分母总情况数应该二的五次方是吧？就五个东西任意放。两个盒子里头，所以二的五次方。然后它这个就相当于是两个邮邮筒都有信都有信，你可以从反面做，要简单都有。

都有正面做也行，都有的话正面做，你就得分堆了，分堆的话有可能是一四分堆，也有可能是二三。分堆三二跟二三，它是一样的好吧，一样就不再区别了，分堆它有c五一c四四。加上c五二c三三括号要乘以二的阶乘，为什么乘以二的阶乘因为负号两对以后？分好两两队以后，然后呢往两个系统里放的时候，那么它可以排个序好吧，或者你从反面做也行，

从反面做就相当于是二的五次方分之。分支不是两个信统都有信，就是要空一个信统是吧？就五封信都放到甲或都放到乙，就两种情况，比如五封信都投到甲里头。或五封信都投到乙一里面是吧？然后这个得到十五分之十五。好，这是给大家强调的这个条件，一是充分的。调教调教六个运动员，有两个强队，把六个队任意分成两组，要求每组三个队进行比赛，

这是又考察分组问题。啊，分组问题就六个，给它分成三三。然后分成三三，然后总情况数。总情况数就c六三c三三÷2的阶乘好，这是分组分两组，因为这两组数量一样，就除以二的阶乘。然后两个强队要被分到第一组啊，被分到第一组，因为他这既然出现了第一组，第二组，那么就相当于这两组是不一样的。

啊，分完堆以后，然后再排个序是吧？比如这是第一组。有三个人，这第二组有三个人。所以这个这个时候这先分堆，然后再排序，当然这二者阶层可以约掉，也可以省略了。然后两强呢，都在第一组，比如说甲乙两强呢，都在第一组，第一组是不是还差一个人呀？

还差一个人，差一个人就c3呃c。c呃四一是不是差一个人好？这个根两强队再添一个人，这一组三个人就好了。然后剩下还有三个人。这时候就不要再排序了，因为这个甲乙只能在第一组好吧，这样写出来，结果这个不等于呃，这个十五分之十五，所以条件一充分条件二不充分。好，这给大家强调的分组问题，而且我们重点强调cnc同组cnc不同组，

大家会分析和思考。下面咱们看27题，这个题考察血型有六个人，其中a是两个人B型血，一个人还有AB型血和O型血，所以取两两人相同的概率。条件一，我们有条件条件1 AB型是两个人。天文一就是相当于是A型血，两个人B型血，一个人AB，两个人那说明O型血，还有一个人。是不是我们写一个人，然后这时候两人血型相同，

分母就c六二c六二分子两人血型相同，有可能都是A型血。有可能都是AB型血，是不是？所以这样就可以得到是十五分之二填往一充分。好条件条件同上。条件因为他O型血有一个人根据这六个人可以算AB型血，有两个人，所以说表达式跟这个是一样的，所以在这里面啊，两个条件都充分建议答案就选d啊，所以这两个条件没区别。好来看28题，这个题就考察同一个颜色，比如说颜色相同，

或者说咱们来自相同的国家，不同的国家等等的好吧。好题干一，它有放回的取样，我们看看有放回的。啊，有范围的取样，我们前面讲过，不管有范围无范围，只要逐次取样。这个默认。每次都是取一个的。啊，如果没特殊说明，默认每次都取一个好吧，

所以它两次都取同一种颜色概率为p好有范围取，那么总共是几个呃？几呀几个总共是12个是吧c十二一×c十二一就它每次取完放回去，样本是不变的c十二一×c十二一。然后两次都要取到同一种颜色，如果取同一种颜色，有可能都是红色。都是黄色。都是白色。好分母就等于幺四四分子是25+16+9。得到是50。五十约掉一个二就得七十二分之二十五，然后在这里面调，一是充分的。条件不放回来取不放回去，

这个分母就变成c十二一×1个c11了。它两个取同一种颜色，有可能都取红色c五一c四一都取黄色c五四一c三一都取白色c三一c二一。好，这个算出来是不等于它的啊，所以这个条件一充分条件二不充分，这个答案选择a就可以了。好，29题29题，这道题在一小时内至多有两台机床，需要人工照看的概率是零点九七二八。调养一一台这个机床，在一小时内不需要照顾的，这是零点八啊，这是一台，

但是在这里面咱不知道总共有多少台啊，所以单独调养一不充分。但条件只告诉你有四台独立的工作。互相不干扰，但是呢，你不知道每一台它召开的概率，所以说显然要联合。你看至多有两台，至多有两台啊，那么在这里面，你从正面写，从反面写都可以正面写至多两台，有可能是。e台有可能是啊，有可能两台有可能一台有可能零零台正面写它的概率p应该这样的，

有可能两台需要照看。啊，两台需要照看。就零点二的平方照看，不需要照看零点八的平方好，这是不需要照看是零点八，不要看错了。好，我们加上加上刚才咱们讲的，这是两台需要照看的是吧？有两台需要照看两台，不需要照看。有可能是一台需要照看。三台不需要照看。有可能。

四胎啊，有可能四胎。四台呃，有可能灵台灵台需要照看，灵台需要照看就相当于四台都不需要照照看。是吧，四台都不需要照看，好在这有可能是两台需要照看，两台不需要照照看。明白吧，两台需要照看，两台不需要照看，这样的特征。啊，有可能是一台需要照看。

啊，三台不需要照看，有可能四台啊，然后这样有可能零台需要照看，四台不需要照看。或者从反面做一些。反面一减去一减去反面有三台。需要照看。第一台不需要震撼，有可能。四台，然后呢？它是不需要呃，四台需要照看是吧？反正这个算盘都是零点九七二八。

所以理让企业充分，这个呢，就选择c选项好，这遇到至少至多大家呢，要分类分类，每一类分别用波璃公式写就可以了。接下来，我们看第三十题可以确定该射手一次命中率是三分之二，我们可以设每次命中率都是p。好，那么这个跟上一题差不多，题完一像。目标连续试了四次，至少命中一次从反面做一减一减p的四次方等于八十一分之八十，推出p等于三分之二。

调一充分条件儿，它的命中三次啊，条件儿就是一二三命中三次，只有第二次没中，只说明一跟三中了。一跟三中了，第二次没中就一跟三中了，应该是p方，然后乘以一减p，第二次不中它等于二十七分之二。等于二十七分之二，然后这个p算呢，应该等于一个三分之一。p算呢等于三分之一啊，它这不是三分之二，

所以条件二是不行的，所以呢，你选择a这样就可以了。好了，本章我们就讲解完毕，大家把对应的一些难题啊，尤其遇到一些古典概率的题，大家把它好好再加强一下。最后祝大家金榜题名，拜拜！

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